高考数学中圆锥曲线重要结论的全总结

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高中数学圆锥曲线重要结论

圆锥曲线重要结论椭圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 假设000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 假设000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=. 8.椭圆22221x y a b+=〔a ＞b ＞0〕的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即0202y a x b K AB-=。

双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.〔内切：P 在右支；外切：P 在左支〕5. 假设000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=〔a ＞0,b ＞0〕上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 假设000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=〔a ＞0,b ＞0〕外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b -=. 7.双曲线22221x y a b-=〔a ＞0,b ＞o 〕的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8.双曲线22221x y a b-=〔a ＞0,b ＞o 〕的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b -=〔a ＞0,b ＞0〕的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。

圆锥曲线知识要点及结论个人总结

《圆锥曲线》知识要点及重要结论一、椭圆1定义平面内到两定点 F 「F 2的距离的和等于常数 2a(2^|F^2)的点P 的轨迹叫做椭圆•若2a = F ,F 2，点P 的轨迹是线段F I F 2・若0 ：：： 2a ：：： F ,F 2，点P 不存在•2 2务与=1(a b 0)，两焦点为 R (_c,0), F 2(c,0). a b2 2=1(a b ■ 0)，两焦点为 F i (0,_c), F 2(0,C ).其中 a 2"2 cla b3几何性质椭圆是轴对称图形，有两条对称轴 .椭圆是中心对称图形，对称中心是椭圆的中心椭圆的顶点有四个，长轴长为2a ，短轴长为2b ，椭圆的焦点在长轴上•2 2若椭圆的标准方程为务•与=1(a b ■ 0)，则- a 空x 空a, -b 曲乞b ； a b2 2若椭圆的标准方程为=1(a b 0)，则-b 辽x 乞b,-a y 乞a .a 2b 2二、双曲线1定义平面内到两定点 F 1, F 2的距离之差的绝对值等于常数 2a(0 ：：： 2a ：：：R F ?)的点的轨迹叫做双曲线.若2^|F 1F 2，点P 的轨迹是两条射线.若2^|F 1F 2，点P 不存在.2 22 标准方程务—£=1(a ■ 0,b0)，两焦点为 F 1(-c,0), F 2(C ,0).a b2 2令…占二“ 0,b 0)，两焦点为 F 1 (0^c ), F 2(0, c ).其中 c 2 二 a 2 b 2. a b3几何性质双曲线是轴对称图形，有两条对称轴；双曲线是中心对称图形，对称中心是双曲线的中心双曲线的顶点有两个 A 1, A 2，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，双曲线的焦点在实轴上2 2J 壬-1(a 0,b 0)，则 x 乞-a 或x — a, y R ；a b2-牛=1(a 0,b 0)，则 y — -a 或 y — a, x R .b 22标准方程若双曲线的标准方程为若双曲线的标准方程为2a4渐近线双曲线的渐进线是它的重要几何特征，每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线, 组渐进线却对应无数条双曲线 .2 2 2 2与双曲线笃-与 "(a 0,b ■ 0)共渐进线的双曲线可表示为笃-笃二a ba b定要“消元后的方程的二次项系数=0”和“ .0”同时成5等轴双曲线：实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线2 2 2 2等轴双曲线的标准方程为笃一爲=1(a . 0)或爲-笃=1(a .0).a aa a等轴双曲线的渐近线方程为 y= x .6共轭双曲线：实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线互为共轭双曲线2 2 2 2如：笃-Xr =1(a 0,b - 0)的共轭双曲线为 Xr =1(a 0,b - 0)，它们的焦点到 a b b ax 禾廿y = _ a三、抛物线1定义平面内与一个定点 F 和一条定直线l(F 不在I 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线•定点F 叫做抛物线的焦点，定直线 I 叫做抛物线的准线• 2标准方程(1) y 2=2px(p>0)，焦点为(#,0)，准线方程为x =—号，抛物线张口向右.⑵ y 2- -2px(p0)，焦点为(-号,0)，准线方程为x =号，抛物线张口向左•⑶x 2=2py(p0)，焦点为硝) ，准线方程为y = 一号，抛物线张口向上.⑷X 2 = -2 py (p 0)，焦点为 (0,诗) ，准线方程为y 二号，抛物线张口向下. 其中p 表示焦点到准线的距离. 3几何性质2 2 双曲线x y2-.2ab2 2yx 2.2 a b=1( a 0, b 0)有两条渐近线y=1( a 0, b 0)有两条渐近线y a a x 和yx .即b b 2 2 x y=02■ 2ab22yx2.2ab但对于同直线与双曲线有两个交点的条件,原点的距离相等，因而在以原点为圆心,..a 2 b 2为半径的圆上•且它们的渐近线都是双曲线抛物线是轴对称图形，有一条对称轴.若方程为『=2px(p .0)或y = _2px(p ■ 0),则对称轴是x 轴，若方程为x 2 =2py(p . 0)或x 2 =_2py(p 0)，则对称轴是y 轴.若抛物线方程为 2y = 2 px( p . 0)，则 x _ 0, y R . 若抛物线方程为 2y - -2 px( p - 0)，则 x _ 0, y R . 若抛物线方程为 x = 2 py( p . 0)，则 y _ 0,x R .若抛物线方程为 x = -2py (p 0)，则 y _ 0, x R .圆锥曲线的一些重要结论【几个重要结论】2 21已知椭圆笃•与 "(a b 0)的两焦点为Fj-cQEgO)，P(x 0,y 0)为椭圆上一a b点，则 PF 」=J(x ° +c)2 +y ； = J(x ° +c)2 +b 2(1 —爭)ms 丿丿cx 0 cx 0因为一a 乞 x 0 乞 a ， -c 0 _ c,0 ：：： a -c 0a c ，aa所以 PF^-cx°+a .同理，PF 2 =2a — PF,| =a —绝.aa2 2已知双曲线务-占-1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为Fj-cQ), F 2(C ,0) ,P(x 0,y 0)为a b双曲线上一点，则PF 1， PF 2 = 也—aaa2 22椭圆 J 七=1(a b 0)的两焦点为F I ,F 2，P 为椭圆上一点，若• F 1PF 2 7，则 a bb 2 sin ： ’ 2 丄 b tan 1 cos ： 2解：根据椭圆的定义可得 PR + PF 2 =2a ①c X 。

圆锥曲线的相关结论192条

结论1：过圆2222a y x =+上任意点P 作圆222a y x =+的两条切线，则两条切线垂直．结论2：过圆2222b a y x +=+上任意点P 作椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的两条切线，则两条切线垂直．结论3：过圆2222b a y x -=+（0>>b a ）上任意点P 作双曲线12222=-by a x 的两条切线，则两条切线垂直．结论4：过圆222a y x =+上任意不同两点A ，B 作圆的切线，如果切线垂直且相交于P ，则动点P 的轨迹为圆：2222a y x =+．结论5：过椭圆12222=+by a x （0>>b a ）上任意不同两点A ，B 作椭圆的切线，如果切线垂直且相交于P ，则动点P 的轨迹为圆2222b a y x +=+．结论6：过双曲线12222=-by a x （0>>b a ）上任意不同两点A ，B 作双曲线的切线，如果切线垂直且相交于P ，则动点P 的轨迹为圆2222b a y x -=+．结论7：点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）上，过点M 作椭圆的切线方程为12020=+byy a x x ．结论8：点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为12020=+byy a x x ．结论8：（补充）点M （0x ，0y ）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）内，过点M 作椭圆的弦AB （不过椭圆中心），分别过B A 、作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：12020=+byy a x x ．结论9：点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）上，过点M 作双曲线的切线方程为12020=-byy a x x ．结论10：点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为12020=-byy a x x ．结论10：（补充）点M （0x ，0y ）在双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）内，过点M 作双曲线的弦AB （不过双曲线中心），分别过B A 、作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：12020=-byy a x x ．结论11：点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）上，过点M 作抛物线的切线方程为)(00x x p y y +=．结论12：点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为)(00x x p y y +=．结论12：（补充）点M （0x ，0y ）在抛物线px y 22=（0>p ）内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过B A 、作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：)(00x x p y y +=．结论13：点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-bn y am x 上，过点M 作椭圆的切线方程为1))(())((2020=--+--b n y n y a m x m x ．结论14：点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---bn y am x 上，过点M 作双曲线的切线方程为()()()()12020=-----b n y n y a m x m x ．结论15：点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22上，过点M 作抛物线的切线方程为()()()m x x p n y n y 200-+=--．结论16：点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-bn y am x 外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为1))(())((2020=--+--b n y n y a m x m x ．结论17：点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---b n y a m x 外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()()12020=-----b n y n y a m x m x ．结论18：点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()m x x p n y n y 200-+=--．结论16：（补充）点M （0x ，0y ）在椭圆()()12222=-+-b n y a m x 内，过点M 作椭圆的弦AB （不过椭圆中心），分别过B A 、作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：1))(())((2020=--+--b n y n y a m x m x ．结论17：（补充）点M （0x ，0y ）在双曲线()()12222=---b n y a m x 内，过点M 作双曲线的弦AB （不过双曲线中心），分别过B A 、作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：()()()()12020=-----b n y n y a m x m x ．结论18：（补充）点M （0x ，0y ）在抛物线()()m x p n y -=-22内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过B A 、作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线：()()()m x x p n y n y 200-+=--．结论19：过椭圆准线上一点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．结论20：过双曲线准线上一点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．结论21：过抛物线准线上一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的直线必过焦点F ，且MF 垂直切点弦AB ．结论22: AB 为椭圆的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在相应的准线上．结论23: AB 为双曲线的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在相应的准线上．结论24: AB 为抛物线的焦点弦，则过A ，B 的切线的交点M 必在准线上．结论25:点M 是椭圆准线与长轴的交点，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是通径．结论26: 点M 是双曲线准线与实轴的交点，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是通径．结论27:M 为抛物线的准线与其对称轴的交点，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 就是其通径．结论28：过抛物线px y 22=（0>p ）的对称轴上任意一点)0,(m M -（0>m ）作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(m N ．结论29：过椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的对称轴上任意一点),(n m M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）当0=n ，a m >时，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(2m a P ；（2）当0=m ，b n >时，则切点弦AB 所在的直线必过点),0(2nb Q ．结论30：过双曲线12222=-b y a x （0,0>>b a ）的实轴上任意一点)0,(m M （a m <）作双曲线（单支）的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在的直线必过点)0,(2ma P ．结论31：过抛物线px y 22=（0>p ）外任意一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，弦AB 的中点为N ，则直线MN 必与其对称轴平行．结论32：若椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）与双曲线12222=-ny m x （0>m ，0>n ）共焦点，则在它们交点处的切线相互垂直．结论33：过椭圆外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论34：过双曲线外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BPAQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论35：过抛物线外一定点P 作其一条割线，交点为A ，B ，则满足BP AQ BQ AP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论36：过双曲线外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作双曲线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论37：过椭圆外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作椭圆的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论38：过抛物线外一点P 作其一条割线，交点为A ，B ，过A ，B 分别作抛物线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结论39：从椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点向椭圆的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222a y x =+．结论40：从12222=-by a x （00>>b a ，）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222a y x =+．结论41：是椭圆（）的一个焦点，是椭圆上任意一点，则焦半径．结论42：是双曲线（）的右焦点，是双曲线上任意一点．（1）当点在双曲线右支上，则焦半径；（2）当点在双曲线左支上，则焦半径．结论43：是抛物线（）的焦点，是抛物线上任意一点，则焦半径=．结论44：椭圆上任一点处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角），亦即椭圆的光学性质．结论45：双曲线上任一点处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角），亦即双曲线的光学性质．结论46：抛物线上任一点处的切线平分该点的焦半径与该点向准线所作的垂线的夹角，亦即抛物线的光学性质．结论47：椭圆的准线上任一点处的切点弦过其相应的焦点，且⊥．结论48：双曲线的准线上任一点处的切点弦过其相应的焦点，且⊥．结论49：抛物线的准线上任一点处的切点弦过其焦点，且⊥．结论50：椭圆上任一点处的切线交准线于，与相应的焦点的连线交椭圆于，则必与该椭圆相切，且⊥．结论51：双曲线上任一点处的切线交准线于，与相应的焦点的连线交双曲线于，则必与该双曲线相切，且⊥．结论52：抛物线上任一点处的切线交准线于，与焦点的连线交抛物线于，则必与该抛物线相切，且⊥．结论53：焦点在轴上的椭圆（或焦点在轴）上三点，，的焦半径成等差数列的充要条件为，，的横坐标（纵坐标）成等差数列．结论54：焦点在轴上的双曲线（或焦点在轴）上三点，，的焦半径成等差数列的充要条件为，，的横坐标（纵坐标）成等差数列．结论55：焦点在轴上的抛物线（或焦点在轴）上三点，，的焦半径成等差数列的充要条件为，，的横坐标（纵坐标）成等差数列．结论56：椭圆上一个焦点关于椭圆上任一点处的切线的对称点为，则直线必过该椭圆的另一个焦点．结论57：双曲线上一个焦点关于双曲线上任一点处的切线的对称点为，则直线必过该双曲线的另一个焦点．结论58：椭圆上任一点（非顶点），过的切线和法线分别与短轴相交于，，则有，，及两个焦点共于一圆上．结论59：双曲线上任一点（非顶点），过的切线和法线分别与短轴相交于，，则有，，及两个焦点共于一圆上．结论60：椭圆上任一点（非顶点）处的切线与过长轴两个顶点，的切线相交于，，则必得到以为直径的圆经过该椭圆的两个焦点．结论61：双曲线上任一点（非顶点）处的切线与过实轴两个顶点，的切线相交于，，则必得到以为直径的圆经过该双曲线的两个焦点．结论62：以椭圆的任一焦半径为直径的圆内切于以长轴为直径的圆．结论63：以双曲线的任一焦半径为直径的圆外切于以实轴为直径的圆．结论64：以抛物线的任一焦半径为直径的圆与非对称轴的轴相切．结论65：焦点在轴上的椭圆（或焦点在轴上）上任一点（非短轴顶点）与短轴的两个顶点，的连线分别交轴（或轴）于，，则（或）．结论66：焦点在轴上的双曲线（或焦点在轴上）上任一点（非顶点）与实轴的两个顶点，的连线分别交轴（或轴）于，，则（或）．结论67：为焦点在轴上的椭圆上任一点（非长轴顶点），则与边（或）相切的旁切圆与轴相切于右顶点（或左顶点）．结论68：为焦点在轴上的双曲线右支（或左支）上任一点，则的内切圆与轴相切于右顶点（或左顶点）．结论69：是过椭圆（）的焦点的一条弦（非通径），弦的中垂线交轴于，则=．结论70：是过双曲线（）的焦点的一条弦（非通径，且为单支弦），弦的中垂线交轴于，则=．结论71：是过抛物线（）的焦点的一条弦（非通径），弦的中垂线交轴于，则=．结论72：为抛物线的焦点弦，分别过，作抛物线的切线，则两条切线的交点在其准线上．结论73：为椭圆的焦点弦，分别过，作椭圆的切线，则两条切线的交点在其相应的准线上．结论74：为双曲线的焦点弦，分别过，作双曲线的切线，则两条切线的交点在其相应的准线上．结论75：为过抛物线焦点的焦点弦，以为直径的圆必与其准线相切．结论76：为过椭圆焦点的焦点弦，以为直径的圆必与其相应的准线相离（当然与另一条准线更相离）．结论77：为过双曲线焦点的焦点弦，以为直径的圆必与其相应的准线相交，截得的圆弧度数为定值，且为．结论78：以圆锥曲线的焦点弦为直径作圆，若该圆与其相应的准线相切，则该曲线必为抛物线．结论79：以圆锥曲线的焦点弦为直径作圆，若该圆与其相应的准线相离，则该曲线必为椭圆．结论80：以圆锥曲线的焦点弦为直径作圆，若该圆与其相应的准线相交，则该曲线必为双曲线，此时截得的圆弧度数为定值，且为．结论81：为过抛物线（）焦点的焦点弦，（，），（，），则=．结论82：为过椭圆（）焦点的焦点弦，（，），（，），则=．结论83：为过双曲线（）焦点的焦点弦，（，），（，）．若为单支弦，则=；若为双支弦，则=结论84：为抛物线的焦点，，是抛物线上不同的两点，直线交其准线于，则平分的外角．结论85：为椭圆的一个焦点，，是椭圆上不同的两点，直线交其相应的准线于，则平分的外角．结论86：为双曲线的一个焦点，，是双曲线上不同的两点（同一支上），直线交其相应的准线于，则平分的外角．结论87：为双曲线的一个焦点，，是双曲线上不同的两点（左右支各一点），直线交其相应的准线于，则平分．结论88：是椭圆（）过焦点的弦，点是椭圆上异于的任一点，直线、分别交相应于焦点的准线于、，则点与点的纵坐标之积为定值，且为．结论89：是双曲线（）过焦点的弦，点是双曲线上异于的任一点，直线、分别交相应于焦点的准线于、，则点与点的纵坐标之积为定值，且为．结论90：是抛物线（）过焦点的弦，点是抛物线上异于的任一点，直线、分别交准线于、，则点与点的纵坐标之积为定值，且为．结论91：，为椭圆（）的长轴顶点，为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线（）于，，则为定值，且有．结论92：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论93：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论94：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论95：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论96：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论97：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论98：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论99：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有．结论100：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论101：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论102：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论103：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论104：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论105：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论106：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论107：，为椭圆（）的长轴顶点，为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有==．结论108：，为椭圆（）的长轴顶点，为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有==．结论109：，为椭圆（）的长轴顶点，为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论110：，为椭圆（）的长轴顶点，为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论111：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论112：，为椭圆（）的长轴顶点，，，（），为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论113：，为椭圆（）的任一直径（中心弦），为椭圆上任一点（不与，点重合），则为定值，且有==．结论114：，为椭圆（）的任一弦（不过原点且不与对称轴平行），为弦的中点，若与均存在，则为定值，且有==．结论115：为椭圆（）的任一弦（不与对称轴平行），若平行于的弦的中点的轨迹为直线，则有==．结论116：过椭圆（）上任意一点(不是其顶点)作椭圆的切线，则有==．结论117：椭圆（）及定点，（），过的弦的端点为，，过点，分别作直线的垂线，垂足分别为，，直线与轴相交于，则直线与恒过的中点，且有．结论118：椭圆（）及定点，（±），过任作一条弦，为椭圆上任一点，连接，，且分别与准线相交于，，则有=．结论119：椭圆（）及定点，（，），过任作一条弦，为椭圆上任一点，连接，，且分别与直线相交于，，则有=．结论120：，为双曲线（）的顶点，为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线（）于，，则为定值，且有==．结论121：，为双曲线（）的顶点，为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线（）于，，则为定值，且有=．结论122：，为双曲线（）的顶点，为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线（）于，，则为定值，且有=．结论123：，为双曲线（）的顶点，为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线（）于，，则为定值，且有=．结论124：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论125：，为双曲线（）的顶点，，，（），为双曲线上任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则为定值，且有=．结论126：为双曲线（）的任一直径，为双曲线上任一点（不与，点重合），则为定值，且有==．结论127：为双曲线（）的任一弦（不过原点且不与对称轴平行），为弦的中点，若与均存在，则为定值，且有=．结论128：为双曲线（）的任一弦（不与对称轴平行），若平行于的弦的中点的轨迹为直线，则有==．结论129：过双曲线（）上任意一点(不是其顶点)作双曲线的切线，则有==．结论130：双曲线（）及定点，（或），过的弦的端点为，，过，分别作直线的垂线，垂足分别为，，直线与轴相交于，则直线与恒过的中点，且有．结论131：双曲线（）及定点，（±），过任作一条弦，为双曲线上任一点，连接，，且分别与准线相交于，，则有=．结论132：双曲线（）及定点，（或），过任作一条弦，为双曲线上任一点，连接，，且分别与直线相交于，，则有=．结论133：抛物线（）及定点，（），过的弦的端点为，，过，分别作直线的垂线，垂足分别为，，直线与轴相交于，则直线与恒过的中点，且有．结论134：抛物线（）及定点，（），过任作一条弦，为抛物线上任一点，连接，，分别与准线相交，，则=．结论135：抛物线（）及定点，（），过任作一条弦，为抛物线上任一点，连，，分别与直线相交，，则=．结论136：过抛物线（）的焦点（，0）的弦（焦点弦）与抛物线相交于，，过作直线与轴平行，且交准线于，则直线必过原点（即其准线与轴交点与焦点的线段的中点）．结论137：为椭圆（）的焦点的弦，其相应的准线与轴交点为，过，作轴的平行线与其相应的准线分别相交于，，则直线，均过线段的中点．结论138：为双曲线（）的焦点的弦，其相应的准线与轴交点为，过，作轴的平行线与其相应的准线分别相交于，，则直线，均过线段的中点．结论139：过圆锥曲线（可以是非标准状态下）焦点弦的一个端点向其相应的准线作垂线，垂足与另一个端点的连线必经过焦点到相应的准线的垂线段的中点．结论140：AB为垂直于椭圆长轴上的动弦，其准线与轴相交于，则直线AF与BQ（或直线BF与AQ）的交点M必在该椭圆上．结论141：AB为垂直于双曲线实轴的动弦，其准线与轴相交于，则直线AF与BQ（直线BF与AQ）的交点M也恒在该双曲线上．结论142：AB为垂直于抛物线对称轴的动弦，其准线与轴相交于，则直线AF与BQ（直线BF与AQ）的交点M也恒在该抛物线上．结论143：AB为垂直于圆锥曲线的长轴（椭圆）（或实轴（双曲线）或对称轴（抛物线））的动弦，其准线与轴相交于，则直线AF与BQ（直线BF与AQ）的交点M也恒在该圆锥曲线上．结论144：圆锥曲线的焦点弦AM（不为通径，若双曲线则为单支弦），则在x轴上有且只有一点Q使．结论145：过F任作圆锥曲线的一条弦AB（若是双曲线则为单支弦），分别过A B 作准线l的垂线（是其相应准线与轴的交点），垂足为，则直线与直线都经过QF的中点K，即及三点共线．结论146：若AM、BM是圆锥曲线过点F且关于长轴（椭圆）对称的两条动弦(或实轴（双曲线）或对称轴（抛物线）)，如图5，则四线共点于K．结论147：，分别为椭圆（）的右顶点和左顶点，为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于，，则以线段为直径的圆必过二个定点，且椭圆外定点为（，0）及椭圆内定点为（，0）．结论148：，分别为双曲线（）的右顶点和左顶点，为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线（）于，，则以线段为直径的圆必过二个定点，且双曲线内定点为（，0）及双曲线外定点为（，0）．结论149：过直线（）上但在椭圆（）外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，，则直线必过定点，且有．结论150：过直线（）上但在双曲线（）外（即双曲线中心所在区域）一点向双曲线引两条切线，切点分别为，，则直线必过定点，且有．结论151：过直线（）上但在抛物线（）外（即抛物线准线所在区域）一点向抛物线引两条切线，切点分别为，，则直线必过定点，且有．结论152：设点是圆锥曲线的准线上一点（不在双曲线的渐近线上），过点向圆锥曲线引两条切线，切点分别为，，则直线必过准线对应的焦点，且⊥．结论153：过直线上但在椭圆（）外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，，则直线必过定点．结论154：过直线上但在双曲线（）外（即双曲线中心所在区域）一点向双曲线引两条切线，切点分别为，，则直线必过定点．结论155：过直线（）上但在抛物线（）外（即抛物线准线所在区域）一点向抛物线引两条切线，切点分别为，，则直线必过定点．结论156：，是椭圆（）的左右顶点，点是直线（，）上的一个动点（不在椭圆上），直线及分别与椭圆相交于，，则直线必与轴相交于定点．结论157：，是在双曲线（）的顶点，点是直线（，）上的一个动点（不在双曲线上），直线及分别与双曲线相交于，，则直线必与轴相交于定点．结论158：，是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若直线过定点（，0），则⊥，且，的横坐标之积及纵坐标之积均为定值．结论159：，是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若⊥，则直线必过定点（，0），且，的横坐标之积及纵坐标之积均为定值．结论160：，是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若⊥，过作⊥，则动点的轨迹方程为（）．结论161：，是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若⊥，则=．结论162：过抛物线（）上任一点（，）作两条弦，，则⊥的充要条件是直线过定点（，）．结论163：过抛物线（）上任一点（，）作两条弦，，则=（）的充要条件是直线过定点（，）．结论164：过椭圆（）上任一点（，）作两条弦，，则⊥的充要条件是直线过定点（，）．特别地，（1）当为左、右顶点时，即=，=0时，⊥的充要条件是直线过定点（，）．（2）当为上、下顶点时，即=0，=时，⊥的充要条件是直线过定点（0，）．结论165：过双曲线（，）上任一点（，）作两条弦，，则⊥的充要条件是直线过定点（，）．特别地，当为左、右顶点时，即=，=0时，⊥的充要条件是直线过定点（，0）．结论166：过二次曲线：（，，，，为常数，）上任一点（，）作两条弦，，若⊥，则直线恒过定点．值得注意的是：在结论166中（1）令，，，就是结论159；（2）令，，就是结论162；（3）令，，就得到结论164；（4）令，，就得到结论165．结论167：，是椭圆（）上不同的两个动点，若⊥，则+=．结论168：，是椭圆（）上不同的两个动点，若⊥，则有+=，+=．结论169：，是双曲线（）上不同的两个动点（在同一支上），若⊥，则有+=．结论170：在抛物线（）的对称轴上存在一个定点，使得过该点的任意弦恒有．结论171：在椭圆（）的长轴上存在定点，使得过该点的任意弦恒有=．结论172：在双曲线（）的实轴上存在定点，使得过该点的任意弦恒有=．结论173：过椭圆（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，，与轴相交于，若，，则为定值，且．结论174：过双曲线（）的焦点作一条直线与双曲线相交于，，与轴相交于，若，，则为定值，且．结论175：过抛物线（）的焦点作一条直线与抛物线相交于，，与轴相交于，若，，则为定值，且．结论176：过椭圆（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，，与相应准线相交于，若，，则为定值，且．结论177：过双曲线（）的焦点作一条直线与双曲线相交于，，与相应准线相交于，若，，则为定值，且．结论178：过抛物线（）的焦点作一条直线与抛物线相交于，，与准线相交于，若，，则为定值，且．结论179：是垂直椭圆（）长轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线，分别交轴于，，若，，则为定值，且．结论180：是垂直双曲线（）实轴的动弦，是双曲线上异于顶点的动点，直线，分别交轴于，，若，，则为定值，且．结论181：是垂直抛物线（）对称轴的动弦，是抛物线上异于顶点的动点，直线，分别交轴于，，若，，则为定值，且．结论182：是垂直椭圆（）长轴的动弦，是椭圆上异于顶点。

(完整word版)高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)

椭圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB=。

高中数学圆锥曲线常用98条结论

高中数学圆锥曲线常用98条结论1.椭圆的离心率小于1，且焦点在中心到长轴的垂线上。

2. 长轴和短轴的长度分别为2a和2b，则椭圆的标准方程为(x/a)+(y/b)=1。

3. 椭圆的焦距为c=√(a-b)。

4. 椭圆的面积为πab。

5. 椭圆的周长近似为2π√((a+b)/2)。

6. 椭圆的离心率为e=c/a。

7. 双曲线的离心率大于1，且焦点在中心到长轴的垂线上。

8. 长轴和短轴的长度分别为2a和2b，则双曲线的标准方程为(x/a)-(y/b)=1。

9. 双曲线的焦距为c=√(a+b)。

10. 双曲线的面积为πab。

11. 双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x。

12. 双曲线的离心率为e=c/a。

13. 抛物线的离心率等于1，且焦点在抛物线的顶点上。

14. 抛物线的标准方程为y=4ax。

15. 抛物线的焦距等于a。

16. 抛物线的面积为2/3×a×(4a/3)。

17. 抛物线的顶点坐标为(0,0)。

18. 抛物线的准线方程为y=-a。

19. 圆的标准方程为(x-a)+(y-b)=r。

20. 圆的直径为圆心的两倍半径。

21. 圆的周长为2πr。

22. 圆的面积为πr。

23. 直线与圆相交，切点到圆心的距离垂直于直线。

24. 切线方程为y-y=k(x-x)，其中k为切线斜率。

25. 直线与圆相切，切点坐标为(x,y)，则切线方程为(y-y)=k(x-x)，其中k为直线斜率。

26. 椭圆的切线方程为(ay/b)+(x/a)=1。

27. 双曲线的切线方程为(ay/b)-(x/a)=1。

28. 抛物线的切线方程为y=2ax。

29. 椭圆的法线方程为(by/a)+(x/a)=1。

30. 双曲线的法线方程为(by/a)-(x/a)=1。

31. 抛物线的法线方程为y=-x/(2a)。

32. 椭圆的两条直径的交点在椭圆的中心点上。

33. 椭圆的两条直径的长度之和为2a。

34. 椭圆的两条直径的中垂线交于椭圆的中心点。

圆锥曲线常用结论(收藏版)

二、通径（垂直焦点所在轴的焦点弦）：
①椭圆：通径=2b2/a, 焦点弦以通径最短；
②双曲线：通径=2b2/a, 同侧焦点弦以通径最短；
③抛物线：通径=2p 焦点弦以通径最短；
1.已知椭圆 x 2 y 2 1 ，过焦点的直线与椭圆交于 A,B 两点，则弦|AB|的长度范围是
;
42
解：显然，焦点弦|AB|为通径时最小，为 2b2/a=2;
= 0, AF1
• AF2
= c2，
则椭圆离心率 e=
;
6.椭圆
左右焦点分别为 F1,F2，过 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点，若|AF2|+|BF2|的最
大值为 8，则 b 的值是（）
2.√3; 3.2; 4.1+√2; 5.(√5-1)/2; 6.√6
三、斜率结论：垂径定理
C
O A
B ①AB 为弦，中点为 C,
A
C
则 KAB·KOC= - b2/a2
B O
P A
O
②AB 为中心弦，P 为椭 B
P
圆上任意点，则有
B
KAP·KBP= - b2/a2
A
O
①AB 为弦，中点为 C, 则 KAB·KOC= b2/a2 ②AB 为中心弦，P 为双曲线上点，则有
KAP·KBP= b2/a2
1.4x2+9y2=144 内的一点 P(3,2)，过点 P 的弦以 P 为中点，那么这弦所在的直线方程是
为长轴时最大，为 2a=4;
∴2 ≤|AB|≤4
2.设直线 L 过双曲线 C:的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，L 与 C 交于 A,B 两点，|AB|为 C 的
实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为

高中数学圆锥曲线重要结论

专业整理分享圆锥曲线重要结论椭圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=. 8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

专业整理分享双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b -=. 7.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。

高中数学圆锥曲线二级结论大全

高中数学圆锥曲线二级结论大全
本文档总结了高中数学中与圆锥曲线有关的二级结论。

包括椭圆、双曲线和抛物线。

椭圆结论
1. 椭圆的定义：椭圆是到两个定点距离之和等于常数的点的轨迹。

2. 椭圆的离心率：椭圆的离心率介于0和1之间。

3. 椭圆的焦点和准线：椭圆有两个焦点和两条准线。

4. 椭圆的长轴和短轴：椭圆的长轴是两个焦点之间的距离，短轴是两个准线之间的距离。

5. 椭圆的离心率和长轴短轴的关系：离心率等于长轴和短轴的差除以长轴。

双曲线结论
1. 双曲线的定义：双曲线是到两个定点距离之差等于常数的点
的轨迹。

2. 双曲线的离心率：双曲线的离心率大于1。

3. 双曲线的焦点和准线：双曲线有两个焦点和两条准线。

4. 双曲线的长轴和短轴：双曲线的长轴是两个焦点之间的距离，短轴是两个准线之间的距离。

5. 双曲线的离心率和长轴短轴的关系：离心率等于长轴和短轴
的差除以长轴。

抛物线结论
1. 抛物线的定义：抛物线是到一个定点距离等于定直线距离的
点的轨迹。

2. 抛物线的焦点和准线：抛物线有一个焦点和一条准线。

3. 抛物线的顶点：抛物线的顶点是焦点和准线的交点。

4. 抛物线的对称轴：抛物线的对称轴垂直于准线，通过顶点。

5. 抛物线的方程：抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c。

以上是高中数学圆锥曲线二级结论的大全。

希望能对你的学习有所帮助！。

高考数学圆锥曲线知识点总结

高考数学圆锥曲线知识点总结高考数学里啊，圆锥曲线可是个让不少同学头疼的“大怪兽”。

但别怕，咱们今天就来好好把它“解剖”一下，把它的知识点都理清楚！先来说说椭圆。

椭圆就像是被压扁了的圆，它的定义是平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于两定点间的距离）的动点的轨迹。

打个比方，想象一下你在操场上跑步，有两个固定的杆子，你跑的路线使得你到这两个杆子的距离加起来总是不变的，这跑出来的轨迹可能就是个椭圆。

椭圆的标准方程有两种形式，焦点在 x 轴上时是\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\），焦点在 y 轴上时则是\（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）。

这里的 a 和 b 都有特别的含义，a 表示椭圆长半轴的长度，b 表示短半轴的长度。

而且还有个关键的关系\（c^2 ＝ a^2 b^2\），其中 c 是椭圆的半焦距。

再来说说双曲线。

双曲线长得有点像两个背靠背的抛物线，它的定义是平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数（小于两定点间的距离）的动点的轨迹。

比如说，你想象有两个机器人，一个在前面跑，一个在后面追，它们之间的距离差始终不变，那它们跑的轨迹可能就是双曲线。

双曲线的标准方程也有两种，焦点在 x 轴上时是\（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\），焦点在 y 轴上时是\（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）。

同样有\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。

然后是抛物线。

抛物线就像一个抛出去的物体的轨迹。

它的定义是平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的动点的轨迹。

比如你拿着喷壶浇水，水喷出来形成的曲线就可能是抛物线。

抛物线的标准方程也有多种，比如\（y^2 ＝ 2px\）、＼（y^2 ＝－2px\）、＼（x^2 ＝ 2py\）、＼（x^2 ＝－2py\），这里的 p 表示焦点到准线的距离。

圆锥曲线知识要点及结论个人总结

《圆锥曲线》知识要点及重要结论、椭圆1定义平面内到两定点 F 「F 2的距离的和等于常数2a(2^|F^2)的点P 的轨迹叫做椭圆•若2a = F ,F 2，点P 的轨迹是线段F I F 2・若0 ：：： 2a ：：： F ,F 2，点P 不存在•2 2务与=1(a b 0)，两焦点为 R (_c,0), F 2(c,0). a b2 2X2 =1(ab ■ 0)，两焦点为 F i (0,_c), F 2(0,C ).其中 a 2"2 cla b3几何性质椭圆是轴对称图形，有两条对称轴 .椭圆是中心对称图形，对称中心是椭圆的中心椭圆的顶点有四个，长轴长为2a ，短轴长为2b ，椭圆的焦点在长轴上•2 2若椭圆的标准方程为务•与=1(a b ■ 0)，则- a 空x 空a, -b 曲乞b ； a b2 2若椭圆的标准方程为 =1(a b 0)，则-b 辽x 乞b,-a y 乞a .a 2b 2二、双曲线1定义平面内到两定点 F 1, F 2的距离之差的绝对值等于常数 2a(0 ：：： 2a ：：：R F ?)的点的轨迹叫做双曲线.若2^|F 1F 2，点P 的轨迹是两条射线.若2^|F 1F 2，点P 不存在.2 22 标准方程务一―1(a ■ 0,b0)，两焦点为 F 1(-c,0), F 2(C ,0).a b2 2令…占二“ 0,b 0)，两焦点为 F 1 (0^c ), F 2(0, c ).其中 c 2 二 a 2 b 2. a b 3几何性质双曲线是轴对称图形，有两条对称轴；双曲线是中心对称图形，对称中心是双曲线的中心双曲线的顶点有两个 A 1, A 2，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，双曲线的焦点在实轴上2 2J 壬-1(a 0,b 0)，则 x 乞-a 或x — a, y R ；a b2-牛=1(a 0,b 0)，则 y — -a 或 y — a, x R .b 22标准方程若双曲线的标准方程为若双曲线的标准方程为2a4渐近线双曲线的渐进线是它的重要几何特征，每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线，但对于同组渐进线却对应无数条双曲线 •2 2 2 2与双曲线笃-与 "(a 0,b ■ 0)共渐进线的双曲线可表示为笃一笃=，(・=0).a ba b直线与双曲线有两个交点的条件，一定要“消元后的方程的二次项系数同时成立•5等轴双曲线：实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线•2 2 2 2等轴双曲线的标准方程为务一爲=1(a . 0)或爲-笃 "(a ■ 0).a aa a等轴双曲线的渐近线方程为 y =「x .6共轭双曲线：实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线互为共轭双曲线2 2 2 2如：笃-与=1(a0,b - 0)的共轭双曲线为每-务=1(a0,b - 0)，它们的焦点到a bb a原点的距离相等，因而在以原点为圆心，.a 2 b 2为半径的圆上.且它们的渐近线都是b b y x 和 y x .aa三、抛物线1定义平面内与一个定点 F 和一条定直线l(F 不在I 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F 叫做抛物线的焦点，定直线 I 叫做抛物线的准线. 2标准方程(1) y 2 =2px(p 0)，焦点为(号,0)，准线方程为x = -号，抛物线张口向右.⑵y 2 =-2px(p 0)，焦点为(-p,0)，准线方程为x =号，抛物线张口向左.⑶x 2 =2py (p 0)，焦点为 (0导，准线方程为y = 一号，抛物线张口向上.⑷X 2 - -2 py (p 0)，焦点为 (0』) ，准线方程为y = _p ，抛物线张口向下. 其中p 表示焦点到准线的距离. 3几何性质抛物线是轴对称图形，有一条对称轴.若方程为y 2 = 2 px( p - 0)或y 2 = -2 px( p - 0)，2 2双曲线x y2 -.2ab2 2yx 2.2 a b=1(a 0, b 0)有两条渐近线y=1( a 0, b 0)有两条渐近线y a a x 和yx .即b b 2 2x y=02■ 2ab22yx2.2ab=0” 和“二.0双曲线则对称轴是x 轴，若方程为x 2 =2py(p . 0)或x 2 =_2py(p 0)，则对称轴是y 轴.若抛物线方程为y 2 =2 px( p 0)，则x 亠0, y 尸R . 若抛物线方程为y 2 - -2 px( p .0)，则x _ 0, y• R .2若抛物线方程为x =2py(p . 0)，则y_0,x ・R . 若抛物线方程为x 2 - -2 py( p .0)，贝V y 込0, x 三R .圆锥曲线的一些重要结论【几个重要结论】2 21已知椭圆笃•与 "(a b 0)的两焦点为F !^c,0),F 2(c,0)，P(x °,y °)为椭圆上一a b点，则I PF.H c)*2冷冷心讪1一予)ms 丿丿cx 0 cx 0因为一a _ x 0 _ a ， -c 仝乞 c,0 ：：： a -c 0 a c ，aa所以 |PF^-cx ° +a .同理，PF 2 =2a — PF,| =a —也.a a. b sin a 2a L F!PF 2的面积为b tan .1 +cos^2解：根据椭圆的定义可得|PF_, +|PF 2| =2a ①由余弦定理可得 4c 2 = F J F 2 2 =|PFj 2 +|PF 2 2 — 2PF 」PF 2 COS 。

圆锥曲线的一些重要结论

圆锥曲线的一些重要结论：1. 以椭圆的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相离。

2. 以双曲线的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相交。

3. 以抛物线的的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相切。

4. 以椭圆上的任一点为顶点的焦点三角形中，过任一焦点作其外角平分线的垂线，垂足的轨迹必为一圆（除开两点）。

5. 双曲线上不同于顶点的任一点与两焦点所构成的三角形的内切圆必切于与该点同侧的双曲线顶点。

6. 抛物线的焦点弦，被焦点所分两线段长的倒数和为定值。

7. 椭圆上到一焦点的距离最值点必为长轴两顶点。

8. 椭圆上短轴顶点对两焦点所张的角是椭圆上任一点对两焦点所张角的最大者。

椭圆1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角。

2.若PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴两个端点。

3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离。

4.以焦半径PF 1为直径的圆必与长轴为直径的圆内切。

5.若),(000y x P 在椭圆12222=+b y a x 上，则过0P 的切线方程是12020=+b y y a x x 。

6. 若),(000y x P 在椭圆12222=+by a x 外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为21,P P ,则切点弦21P P 所在的直线方程是12020=+b yy a x x 。

7. 椭圆12222=+b y a x 上任一点P ，若θ=∠21PF F ，则θcos 12||||221+=b PF PF ;2tan 221θb S PF F =∆。

8. 椭圆12222=+by a x 的焦半径公式：01||ex a MF +=，02||ex a MF -=。

其中)0,(),0,(21c F c F -。

9.设过椭圆的焦点F 作直线与椭圆交于P,Q 两点，A 是椭圆长轴的一个端点，连接AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆的准线于M,N ，则MF ⊥NF.10. 设过椭圆的焦点F 作直线与椭圆交于P,Q 两点，A 1,A 2是椭圆长轴的端点，A 1P 与A 2Q 相交于点M ，A 2P 和A 1Q 相交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆12222=+b y a x 的不平行于对称轴的弦),(00y x M 是弦AB 的中点，则22ab k k OM AB -=；AB 是椭圆12222=+b y a x 的长轴的端点,P 是椭圆上不同于A,B 的任一点,则22a b k k PB PA -=; AB 是椭圆12222=+by a x 的关于原点对称的两点,,P 是椭圆上不同于A,B 的任一点,则22ab k k PBPA -=.12.若),(000y x P 在椭圆12222=+b y a x 内，则被),(000y x P 平分的弦的方程是：=+2020by y a x x 220220b y a x +。

高考数学圆锥曲线常用8大结论

x2 y2 1 （ a 0, b 0 ）外，则过 P0 作双曲线的两条切线切点为 P1 、P2 ， a 2 b2
则切点弦 PP 1 2 的直线方程是
x0 x y0 y 2 1. a2 b
3.抛物线 y 2 2 px 中，过点 P 的切线方程为 y0 y p( x x0 ) . 4.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 5.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 6.椭圆
x2 y2 1（ a b 0 ）的两个顶点为 A1 ( a, 0) , A2 (a, 0) ，与 y 轴平 a 2 b2
x2 y2 行的直线交椭圆于 P1 、 P2 时 A1P1 与 A2 P2 交点的轨迹方程是 2 2 1 .双 a b
曲线
x2 y2 1（ a b 0 ）的两个顶点为 A1 ( a, 0) , A2 ( a, 0) ，与 y 轴平行 a 2 b2 x2 y2 1. a 2 b2
圆锥曲线常用 8 大结论
1.若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆
x2 y2 1上，则过 P 0 的椭圆的切线方程是 a 2 b2 x2 y2 在双曲线 2 2 1（ a 0, b 0 ）上，则过 P0 的 a b
x0 x y0 y 2 1 ；若 P0 (x0 , y 人人网：新东方优能中学
双曲线的切线方程是 2.若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆
x0 x y0 y 2 1. a2 b
x2 y2 1外，则过 P0 作椭圆的两条切线切点为 P1 、 a 2 b2

高中圆锥曲线结论总结

高中圆锥曲线结论总结
圆锥曲线是高中数学中的一个重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

在学习圆锥曲线的过程中，我们需要掌握一些重要的结论，这些结论对于解题和理解圆锥曲线的性质都有很大的帮助。

对于椭圆来说，它的离心率小于1，且它的两个焦点在椭圆的长轴上。

椭圆的中心点位于长轴和短轴的交点处，而长轴和短轴的长度分别为2a和2b。

此外，椭圆的面积为πab，其中a和b分别为长轴和短轴的一半。

对于双曲线来说，它的离心率大于1，且它的两个焦点在双曲线的中心轴上。

双曲线的中心点位于中心轴和两支曲线的交点处，而中心轴的长度为2a。

双曲线的面积为πab，其中a和b分别为中心轴和两支曲线的距离的一半。

对于抛物线来说，它的离心率等于1，且它的焦点在抛物线的顶点上。

抛物线的中心点位于顶点的下方，而抛物线的面积为2/3×b×h，其中b为抛物线的焦距，h为抛物线的高度。

除了上述结论外，我们还需要掌握圆锥曲线的一些性质，例如椭圆和双曲线的渐近线、抛物线的对称轴等。

这些性质对于解题和理解圆锥曲线的性质都有很大的帮助。

掌握圆锥曲线的结论和性质是学习高中数学的重要内容之一。

只有
深入理解这些结论和性质，才能更好地解决圆锥曲线相关的问题。

高考数学圆锥曲线部分重要公式及结论

高中数学圆锥曲线部分重要公式及结论（椭圆部分）● 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.● PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.● 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.● 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.● 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.● 椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).● 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.● 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.● AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a xb K AB -=。

● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.● 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.● 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.● 过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.● 若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+. ● 设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.● 若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.● P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.● 椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.● 已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +. ● 过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. ● 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.● 设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b γ∆=.● 设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PABa b S b a γ∆=-. ● 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. ● 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.● 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.● 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). ● （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） ● 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. ● 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.（双曲线部分）● 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.● PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.● 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.● 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）● 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. ● 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b -=.● 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.● 双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c● 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a=-. ● 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a=--● 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.● 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.● AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。

(整理总结)圆锥曲线经典结论总

圆锥曲线必背的经典结论1. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.2. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.3. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.4. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.5. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+.1. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 2. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.3. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.4. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K ABOM =⋅，即0202y a x b K AB =。

高中数学圆锥曲线重要结论.总结

圆锥曲线重要结论椭圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=. 8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即0202y a x b K AB-=。

双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b -=. 7.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。

【高中数学】圆锥曲线的相关结论192条

的充要条件为，，的横坐标（纵坐标）成等差数列．
结论 54：焦点在轴上的双曲线（或焦点在轴）上三点，，的焦半径成等差数
列的充要条件为，，的横坐标（纵坐标）成等差数列．
结论 55：焦点在轴上的抛物线（或焦点在轴）上三点，，的焦半径成等差数
列的充要条件为，，的横坐标（纵坐标）成等差数列．
x0
mx
a2
m
y0
n y
b2
n
1．
结论 18：点 M （ x0 ， y0 ）在抛物线 y n2 2 px m外，过点 M 作抛物线的两条切
线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为
y0 ny n px x0 2m．
结论 16：（补充）点 M
（
x0
，
y0
）在椭圆
x
a
【高中数学】圆锥曲线的相关结论192条
结论 1：过圆 x 2 y 2 2a 2 上任意点 P 作圆 x 2 y 2 a 2 的两条切线，则两条切线垂直．
结论 2：过圆 x 2
y2
a2
b
2
上任意点
P
作椭圆
x a
2 2
y2 b2
1（ a
b 0 ）的两条切线，
则两条切线垂直．
结论 3：过圆 x 2
结论 47：椭圆的准线上任一点处的切点弦过其相应的焦点，且 ⊥ ．
结论 48：双曲线的准线上任一点处的切点弦过其相应的焦点，且 ⊥ ．
结论 49：抛物线的准线上任一点处的切点弦过其焦点，且 ⊥ ．
结论 50：椭圆上任一点处的切线交准线于，与相应的焦点的连线交椭圆于，
则必与该椭圆相切，且 ⊥ ．

高中圆锥曲线结论总结

高中圆锥曲线结论总结
高中圆锥曲线结论总结
1. 圆锥曲线的四个结论
（1）射线定理：从一点到圆锥曲线的任意一点所经过的射线的数量等于该点到曲线的曲线线切线的数量。

（2）弦定理：任意一点到圆锥曲线的弦的长度大于等于这个点到曲线的曲线线切线的长度。

（3）指数定理：圆锥曲线的指数为1/2。

（4）矩定理：圆锥曲线的曲线线切线的长度等于任意一点到圆锥曲线的弦的弧长的平方。

2. 圆锥曲线的曲线线切线
圆锥曲线的曲线线切线的斜率大于等于0，且圆锥曲线的曲线线切线的斜率没有上限。

3. 圆锥曲线的曲线长
圆锥曲线的曲线长是指从曲线的一端到另一端的距离，它等于圆锥曲线的椭圆长度加上圆锥曲线的半径长度。