第六章 对流传热原理(8)14
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10
几点说明
（1）相似理论对实验研究具有指示意义：实验中只需测量有关准则所包含的物理 量，使实验测定避免了盲目性，减少了工作量。 （2）相似倍数间的关系：相似倍数不是孤立的，而是相互制约的，相似现象所包 含的各个物理量场对应相似－如流场相似、温度场相似、压力场相似等。 （3）相似准则的物理意义:
•
hx x
0.332Re x 2 Pr
1
1
3
式中Pr为普朗特数，Re为雷诺数，它们都是无量纲参数，Nux为努塞尔数， 也是无量纲参数，这种以无量纲特征数形式表示的对流换热计算式称为特征 数方程，习惯上称为准则方程或关联式。 以上是通过求解微分方程组求得对流换热系数h的数学分析解过程 ；
3
ur r ~ umax R
tr r ~ t R
管内速度场相似
分析：同是水，在结构相似的管内流动，同样是受迫流动，速度场、温度场 成比例，所以他们是相似的物理现象。 对于两个稳态的对流换热现象，如果彼此相似，则必有换热面几何形状相似、 温度场分布相似、速度场分布相似及热物性场相似等。
凡是相似的物理现象，其物理量的场一定可以用一个统一的无量纲的场来表 示。如：普朗特数Pr ，雷诺数Re ，努塞尔数Nu ，它们都是无量纲参数。
9
a
Fo
Re
Pr
Nu
Gr
2
uL
a
hL
2
gL3 t
St
Nu Re Pr
对流换热特征数间的函数关系式，习惯上称为准则方程，或特征数方程。 常见的各类稳态无相变对流换热问题，其准则方程式如下：
Nu f (Re, Pr,Gr)
Nu f (Re, Pr)
Nu f (Re)
gl3 t 格拉晓夫准则 Gr ：它反映流体自然对流换热时，浮升力与粘性力的 2 v 相对大小。
11
•
三、 特征数实验关联式的确定和选用
常见的各类稳态无相变对流换热问题，其准则方程式如下：
Nu f (Re, Pr,Gr) C Re n Prm Gr k
Nu f (Re, Pr) C Re n Prm
特征数关联式 Nu C Ren 的图示
13
同理：对于单相流体稳态强迫对流换热，当自然对流的影响可以忽略时，准则 方程式为： Nu f (Re, Pr) C Re n Prm （2） 对式（2） 两边取对数，
lg Nu lg C n lg Re＋m lg Pr
以lgRe为横坐标、lgNu为纵坐标，取Pr为某一定值，先求出n，根据不同的Pr确 定出不同的n，然后取平均值，再求其它值。
三、边界层对流换热微分方程组
u, t f
y
t u
qx
tW , x
贴壁流体
t y x
y→0
x
x
流体流过平板的对流换热过程
u v 0 x y
u u p 2u u x y x y 2 t t 2t u a 2 x y y 1
•
雷诺准则 Re uL v : 它是通过对动量微分方程式进行相似分析得到的（由 惯性力项和粘性力项的相似倍数之比导出）。其物理意义是：反映流体强 迫对流时所受惯性力和粘性力（粘滞切应力）的相对大小。Re大，表明受 到惯性力相对较大，容易出现紊流，相反容易保持为层流。 所以用Re 数可 以判定流态。 普朗特准则 Pr v a ：它完全由流体的物性参数所组成，称之为物性准则， 其表达式的分子为流体的运动粘度。v大 流体比较稠 磨擦阻力向流体 内部传递远，即动量传递的距离大，流动边界层厚，分母a为流体的热扩散 率。a大→ 温度变化自壁面向流体内部传递的距离就大，即热边界层厚。Pr 准则反映流体的速度边界层和温度边界层这二个边界层厚度大小。因此Pr准 则的物理意义是：它反映流体动量扩散和热量扩散能力的相对大小。
8
常见相似准则数的物理意义 特征数名称 定义 释义
毕渥数Bi 傅里叶数Fo
雷诺数Re 普朗特数Pr 努赛尔数Nu 格拉晓夫数Gr 斯坦顿数St
Bi
h
Βιβλιοθήκη Baidu
固体内部导热热阻与其界面上换热热阻之比。 非稳态过程的无量纲时间，表征过程进行的深度。
惯性力与粘性力之比的一种度量。 动量扩散厚度与热量扩散厚度之比的度量。 壁面上流体的无量纲温度梯度。 浮升力与粘性力之比的一种度量。 流体实际的换热热流密度与流体可传递最大热流密 度之比。
在1880雷诺提出了一个对流动有决定性影响的无量纲物理量群-雷诺 数，发现管内流动层流向湍流的转变发生在雷诺数的数值为1800—2000之 间，澄清了实验结果之间的混乱，对指导实验研究作出了重大贡献。 从1881年至1916年，很多科学家对自然对流的理论解、管内换热的理 论解、凝结换热的理论解进行深入研究。 具有突破意义的进展首推1909和1915年努塞尔两篇论文的贡献。他 对强制对流和自然对流的基本微分方程及边界条件进行量纲分析获得了有 关无量纲数之间的原则关系。开辟了在无量纲数原则关系正确指导下，通 过实验研究求解对流换热问题的一种基本方法，有力地促进了对流传热研 究的发展。 考虑到量纲分析法在1914年才由白金汉(E.Buckingham) 提出，相 似理论则在1931年才由基尔皮切夫(M.B.Kilpiqev)等发表，他们的进一步 理论上的提炼是在努塞尔的研究成果基础完成的，而努塞尔的成果有其 独创性。因而努塞尔成为发展对流传热理论的杰出先驱。
f
(1) (2) (3)
u, t f
y t u qx
tW , x
t y x
贴壁流体
y→0
(4)
x
x
流体流过平板的对流换热过程
t t 2t u a 2 x y y
(5)
（2）利用相似理论通过实验测定。
4
二、相似理论及其应用
相似原理与量纲分析的理论形成于19世纪末到20世纪初，当时的工业发展急 需获得对流换热表面传热系数的计算公式，而影响对流传热的因素很多，如何减 少试验次数又能获得具有通用性的规律就成为急需解决的问题，相似原理与量纲 分析就是在这样的工业发展背景下产生的。
（2）不适用于非牛顿流体，即不满足 的流体，如少量高分子溶液油 y 漆、泥浆，沥青，液态金属。
2
u
需要指出的是：由此方程组求得的结果只是近似解，因为在求解时作了很多 假设，简化方案。 例如：流体外掠等温平板的无内热源层流对流换热时，解得局部对流换热系数的 表达式为 1 1 2 u x v 3 hx 0.332 x v a 或改写成 Nu x
7
凡是相似的物理现象，其物理量的场一定可以用一个统一的无量纲的场来表 示。如：普朗特数Pr ，雷诺数Re ，努塞尔数Nu ，它们都是无量纲参数。
凡是彼此相似的现象，都有一个十分重要的特性，即描写该现象的同名特征 数（即准则）对应相等。 相似理论应用：
（1）有利于减少试验次数。
例如管内强迫对流换热过程，其对流换热系数可表示成
温度场和速度场虽然微分方程形式相同，但物理内容不同，所以它们不属于同 一类现象。
自然对流换热和强迫对流换热虽然同属单相流体对流换热，但它们的微分方程 的形式和内容都有差异，也不属于同一类现象。 不同类的物理现象影响因素不同，不能建立相似关系。 同类的物理现象相似的时候，才能建立相似关系。
6
那么什么样的同类物理现象是相似的呢? 对于两个同类的物理现象，如果在相应的时刻与相应的地点上与现象有关的 物理量一一对应成比例，则称此两现象彼此相似。
单相流体稳态强迫对流换热，当自然对流的影响可以忽略时，准则方程式为： 对于空气，Pr≈0.7（0.67~0.73），Pr可以看作常数，则上式简化为：
对于自然对流换热，其准则方程式为：
Nu f (Pr,Gr) Nu f (Gr)
对于空气，Pr数可当作常数，它的自然对流换热准则方程式为：
按上述准则方程式的内容整理实验数据，得到的实验关联式，反映了一类物理 现象的变化规律，故可推广应用于相似的对流换热过程。这就解决了实验研究中， 实验数据如何整理的问题。 在以上各准则方程式中，Nu准则中包含了待求量对流换热系数h，故把Nu称为 待定准则或未定型准则。其它准则（Re、Pr、Gr等）中所包含的量都是已知的， 这些准则统称为已定准则。
(4)
Nu f (Gr) CGr k
如何确定C、n、m、k的值? 一般通过实验数据的整理确定。
(5)
12
例如：对于单相流体气体，若自然对流的影响可被忽略，则简化式为：
Nu f (Re) C Re n 将上式（3） 两边取对数， lg Nu lg C n lg Re
（3）
以lgRe为横坐标、lgNu为纵坐标，将实验数据整理成所需要的数值，画在坐标 图中，如图所示，并用作图法画出实验曲线(一般画成直线)。直线的斜率tanφ 就是式(3)中的系数n，直线与纵坐标的交点就lgC。
研究对流换热的中心任务是确定对流换热系数h。 主要方法：（1）数学分析解，通过求解微分方程组求得；
对流换热微分方程组
作业 思考6-11、 7-3 习题 6-9（0.018,0.8) 习题 7-12 （式7-3，0.813 式7-5，0.859 ）
若对于空气，Pr可以看作常数，则上式简化为：
(1)
单相流体稳态强迫对流换热，当自然对流的影响可以忽略时，准则方程式为： (2)
Nu f (Re) C Re n
对于自然对流换热，其准则方程式为：
(3)
Nu f (Pr,Gr) C Prm Gr k
对于空气，Pr数可当作常数，它的自然对流换热准则方程式为：
h f (u, d , , , cP , )
由该式可知，影响管内强迫对流换热系数的物理量有6个，若通过实验求得上 式的具体函数形式，假设实验时每一个物理量取5个不同的数值，即要做5次实验， 6个物理量共需做56＝15625次实验，实验次数惊人，难以实现。但是如果将某些 变量合并成无量纲参数，即准则数，则上式简化为 Nu=f(Re，Pr) ， 2个物理量 共需做52＝25次实验，实验次数大大减少。 （2）其次，由于实物太大或新设计的设备还未制造出来，在实物上做实验无法 进行，必须在模型上实验。应用相似理论建立实验模型，在实验模型上获得的实 验关联式适用于实物，这样可以减少人力、财力和时间上的浪费。
u v 0 x y u u p 2u u x y Fx x y 2 p 2 u x y Fy y x 2
t x hx (tW t f ) x y y 0
边界层对流换热微分方程组
hx
u v 0 x y
t x (tW t f ) x y y 0
f
(1) (2)
u, t f
y
t u
qx
tW , x
u u p 2u u x y x y 2
5
相似概念最早出现在几何学里。大家知 道：如果两个三角形相似，那么它们对应的 角相等，对应边成比例。
相似三角形
把几何相似概念可以推广到物理现象的相似。
稳态下物理现象相似是指：在同一类物理现象中，凡相似的现象，空间各对应 点的同名物理量分别成比例。 同一类物理现象：是指那些用相同形式和相同内容的微分方程所描述的现象。
贴壁流体
t y x
(3)
u
t t t a 2 x y y
2
y→0
(4)
x
x
流体流过平板的对流换热过程
四个未知量： h, u, , t ,
定解条件：包括初始时刻的条件及边界上与速度、压力、温度等有关的条件。
边界层对流换热微分方程组适用条件：
（1）凡是不符合流动边界层和热边界层的特点的场合都不适用，如流体纵掠 平壁时Re数很小时以及流体横掠圆管时流体脱离区等；
几点说明
（1）相似理论对实验研究具有指示意义：实验中只需测量有关准则所包含的物理 量，使实验测定避免了盲目性，减少了工作量。 （2）相似倍数间的关系：相似倍数不是孤立的，而是相互制约的，相似现象所包 含的各个物理量场对应相似－如流场相似、温度场相似、压力场相似等。 （3）相似准则的物理意义:
•
hx x
0.332Re x 2 Pr
1
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3
式中Pr为普朗特数，Re为雷诺数，它们都是无量纲参数，Nux为努塞尔数， 也是无量纲参数，这种以无量纲特征数形式表示的对流换热计算式称为特征 数方程，习惯上称为准则方程或关联式。 以上是通过求解微分方程组求得对流换热系数h的数学分析解过程 ；
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ur r ~ umax R
tr r ~ t R
管内速度场相似
分析：同是水，在结构相似的管内流动，同样是受迫流动，速度场、温度场 成比例，所以他们是相似的物理现象。 对于两个稳态的对流换热现象，如果彼此相似，则必有换热面几何形状相似、 温度场分布相似、速度场分布相似及热物性场相似等。
凡是相似的物理现象，其物理量的场一定可以用一个统一的无量纲的场来表 示。如：普朗特数Pr ，雷诺数Re ，努塞尔数Nu ，它们都是无量纲参数。
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a
Fo
Re
Pr
Nu
Gr
2
uL
a
hL
2
gL3 t
St
Nu Re Pr
对流换热特征数间的函数关系式，习惯上称为准则方程，或特征数方程。 常见的各类稳态无相变对流换热问题，其准则方程式如下：
Nu f (Re, Pr,Gr)
Nu f (Re, Pr)
Nu f (Re)
gl3 t 格拉晓夫准则 Gr ：它反映流体自然对流换热时，浮升力与粘性力的 2 v 相对大小。
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•
三、 特征数实验关联式的确定和选用
常见的各类稳态无相变对流换热问题，其准则方程式如下：
Nu f (Re, Pr,Gr) C Re n Prm Gr k
Nu f (Re, Pr) C Re n Prm
特征数关联式 Nu C Ren 的图示
13
同理：对于单相流体稳态强迫对流换热，当自然对流的影响可以忽略时，准则 方程式为： Nu f (Re, Pr) C Re n Prm （2） 对式（2） 两边取对数，
lg Nu lg C n lg Re＋m lg Pr
以lgRe为横坐标、lgNu为纵坐标，取Pr为某一定值，先求出n，根据不同的Pr确 定出不同的n，然后取平均值，再求其它值。
三、边界层对流换热微分方程组
u, t f
y
t u
qx
tW , x
贴壁流体
t y x
y→0
x
x
流体流过平板的对流换热过程
u v 0 x y
u u p 2u u x y x y 2 t t 2t u a 2 x y y 1
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雷诺准则 Re uL v : 它是通过对动量微分方程式进行相似分析得到的（由 惯性力项和粘性力项的相似倍数之比导出）。其物理意义是：反映流体强 迫对流时所受惯性力和粘性力（粘滞切应力）的相对大小。Re大，表明受 到惯性力相对较大，容易出现紊流，相反容易保持为层流。 所以用Re 数可 以判定流态。 普朗特准则 Pr v a ：它完全由流体的物性参数所组成，称之为物性准则， 其表达式的分子为流体的运动粘度。v大 流体比较稠 磨擦阻力向流体 内部传递远，即动量传递的距离大，流动边界层厚，分母a为流体的热扩散 率。a大→ 温度变化自壁面向流体内部传递的距离就大，即热边界层厚。Pr 准则反映流体的速度边界层和温度边界层这二个边界层厚度大小。因此Pr准 则的物理意义是：它反映流体动量扩散和热量扩散能力的相对大小。
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常见相似准则数的物理意义 特征数名称 定义 释义
毕渥数Bi 傅里叶数Fo
雷诺数Re 普朗特数Pr 努赛尔数Nu 格拉晓夫数Gr 斯坦顿数St
Bi
h
Βιβλιοθήκη Baidu
固体内部导热热阻与其界面上换热热阻之比。 非稳态过程的无量纲时间，表征过程进行的深度。
惯性力与粘性力之比的一种度量。 动量扩散厚度与热量扩散厚度之比的度量。 壁面上流体的无量纲温度梯度。 浮升力与粘性力之比的一种度量。 流体实际的换热热流密度与流体可传递最大热流密 度之比。
在1880雷诺提出了一个对流动有决定性影响的无量纲物理量群-雷诺 数，发现管内流动层流向湍流的转变发生在雷诺数的数值为1800—2000之 间，澄清了实验结果之间的混乱，对指导实验研究作出了重大贡献。 从1881年至1916年，很多科学家对自然对流的理论解、管内换热的理 论解、凝结换热的理论解进行深入研究。 具有突破意义的进展首推1909和1915年努塞尔两篇论文的贡献。他 对强制对流和自然对流的基本微分方程及边界条件进行量纲分析获得了有 关无量纲数之间的原则关系。开辟了在无量纲数原则关系正确指导下，通 过实验研究求解对流换热问题的一种基本方法，有力地促进了对流传热研 究的发展。 考虑到量纲分析法在1914年才由白金汉(E.Buckingham) 提出，相 似理论则在1931年才由基尔皮切夫(M.B.Kilpiqev)等发表，他们的进一步 理论上的提炼是在努塞尔的研究成果基础完成的，而努塞尔的成果有其 独创性。因而努塞尔成为发展对流传热理论的杰出先驱。
f
(1) (2) (3)
u, t f
y t u qx
tW , x
t y x
贴壁流体
y→0
(4)
x
x
流体流过平板的对流换热过程
t t 2t u a 2 x y y
(5)
（2）利用相似理论通过实验测定。
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二、相似理论及其应用
相似原理与量纲分析的理论形成于19世纪末到20世纪初，当时的工业发展急 需获得对流换热表面传热系数的计算公式，而影响对流传热的因素很多，如何减 少试验次数又能获得具有通用性的规律就成为急需解决的问题，相似原理与量纲 分析就是在这样的工业发展背景下产生的。
（2）不适用于非牛顿流体，即不满足 的流体，如少量高分子溶液油 y 漆、泥浆，沥青，液态金属。
2
u
需要指出的是：由此方程组求得的结果只是近似解，因为在求解时作了很多 假设，简化方案。 例如：流体外掠等温平板的无内热源层流对流换热时，解得局部对流换热系数的 表达式为 1 1 2 u x v 3 hx 0.332 x v a 或改写成 Nu x
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凡是相似的物理现象，其物理量的场一定可以用一个统一的无量纲的场来表 示。如：普朗特数Pr ，雷诺数Re ，努塞尔数Nu ，它们都是无量纲参数。
凡是彼此相似的现象，都有一个十分重要的特性，即描写该现象的同名特征 数（即准则）对应相等。 相似理论应用：
（1）有利于减少试验次数。
例如管内强迫对流换热过程，其对流换热系数可表示成
温度场和速度场虽然微分方程形式相同，但物理内容不同，所以它们不属于同 一类现象。
自然对流换热和强迫对流换热虽然同属单相流体对流换热，但它们的微分方程 的形式和内容都有差异，也不属于同一类现象。 不同类的物理现象影响因素不同，不能建立相似关系。 同类的物理现象相似的时候，才能建立相似关系。
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那么什么样的同类物理现象是相似的呢? 对于两个同类的物理现象，如果在相应的时刻与相应的地点上与现象有关的 物理量一一对应成比例，则称此两现象彼此相似。
单相流体稳态强迫对流换热，当自然对流的影响可以忽略时，准则方程式为： 对于空气，Pr≈0.7（0.67~0.73），Pr可以看作常数，则上式简化为：
对于自然对流换热，其准则方程式为：
Nu f (Pr,Gr) Nu f (Gr)
对于空气，Pr数可当作常数，它的自然对流换热准则方程式为：
按上述准则方程式的内容整理实验数据，得到的实验关联式，反映了一类物理 现象的变化规律，故可推广应用于相似的对流换热过程。这就解决了实验研究中， 实验数据如何整理的问题。 在以上各准则方程式中，Nu准则中包含了待求量对流换热系数h，故把Nu称为 待定准则或未定型准则。其它准则（Re、Pr、Gr等）中所包含的量都是已知的， 这些准则统称为已定准则。
(4)
Nu f (Gr) CGr k
如何确定C、n、m、k的值? 一般通过实验数据的整理确定。
(5)
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例如：对于单相流体气体，若自然对流的影响可被忽略，则简化式为：
Nu f (Re) C Re n 将上式（3） 两边取对数， lg Nu lg C n lg Re
（3）
以lgRe为横坐标、lgNu为纵坐标，将实验数据整理成所需要的数值，画在坐标 图中，如图所示，并用作图法画出实验曲线(一般画成直线)。直线的斜率tanφ 就是式(3)中的系数n，直线与纵坐标的交点就lgC。
研究对流换热的中心任务是确定对流换热系数h。 主要方法：（1）数学分析解，通过求解微分方程组求得；
对流换热微分方程组
作业 思考6-11、 7-3 习题 6-9（0.018,0.8) 习题 7-12 （式7-3，0.813 式7-5，0.859 ）
若对于空气，Pr可以看作常数，则上式简化为：
(1)
单相流体稳态强迫对流换热，当自然对流的影响可以忽略时，准则方程式为： (2)
Nu f (Re) C Re n
对于自然对流换热，其准则方程式为：
(3)
Nu f (Pr,Gr) C Prm Gr k
对于空气，Pr数可当作常数，它的自然对流换热准则方程式为：
h f (u, d , , , cP , )
由该式可知，影响管内强迫对流换热系数的物理量有6个，若通过实验求得上 式的具体函数形式，假设实验时每一个物理量取5个不同的数值，即要做5次实验， 6个物理量共需做56＝15625次实验，实验次数惊人，难以实现。但是如果将某些 变量合并成无量纲参数，即准则数，则上式简化为 Nu=f(Re，Pr) ， 2个物理量 共需做52＝25次实验，实验次数大大减少。 （2）其次，由于实物太大或新设计的设备还未制造出来，在实物上做实验无法 进行，必须在模型上实验。应用相似理论建立实验模型，在实验模型上获得的实 验关联式适用于实物，这样可以减少人力、财力和时间上的浪费。
u v 0 x y u u p 2u u x y Fx x y 2 p 2 u x y Fy y x 2
t x hx (tW t f ) x y y 0
边界层对流换热微分方程组
hx
u v 0 x y
t x (tW t f ) x y y 0
f
(1) (2)
u, t f
y
t u
qx
tW , x
u u p 2u u x y x y 2
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相似概念最早出现在几何学里。大家知 道：如果两个三角形相似，那么它们对应的 角相等，对应边成比例。
相似三角形
把几何相似概念可以推广到物理现象的相似。
稳态下物理现象相似是指：在同一类物理现象中，凡相似的现象，空间各对应 点的同名物理量分别成比例。 同一类物理现象：是指那些用相同形式和相同内容的微分方程所描述的现象。
贴壁流体
t y x
(3)
u
t t t a 2 x y y
2
y→0
(4)
x
x
流体流过平板的对流换热过程
四个未知量： h, u, , t ,
定解条件：包括初始时刻的条件及边界上与速度、压力、温度等有关的条件。
边界层对流换热微分方程组适用条件：
（1）凡是不符合流动边界层和热边界层的特点的场合都不适用，如流体纵掠 平壁时Re数很小时以及流体横掠圆管时流体脱离区等；