高考数学大题经典习题
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1. 对于函数()3
2
1(2)(2)3
f x a x bx a x =-+-+-。
(1)若()f x 在13x x ==和处取得极值,且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过
22sin cos t t t -+t 的取值范围;
(2)若()f x 为实数集R 上的单调函数,设点P 的坐标为(),a b ,试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。
1. (1)由()3
2
1(2)(2)3
f x a x bx a x =-+-+-,则
()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-
因为()13f x x x ==在和处取得极值,所以()13'0x x f x ===和是的两个根
因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2
2sin cos t t t -+
所以()2
'2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立,
而()()2
'21f x x =--+,其最大值为1.
故2
2sin cos 1t t t -≥
(2)当2a =-时,由()f x 在R 上单调,知0b =
当2a ≠-时,由()f x 在R 上单调()'0f x ⇔≥恒成立,或者()'0f x ≤恒成立. ∵()2
'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-,
2244(4)0b a ∴∆=+-≤可得224a b +≤
从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为
4S π=
2. 函数cx bx ax x f ++=2
3
)((0>a )的图象关于原点对称,))(,(ααf A 、))(,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点,且|AB|=2,αββα-=-)()(f f . (Ⅰ)求b 的值;
(Ⅱ)求函数)(x f 的解析式; (Ⅲ)若m
m x f x 6
)(],1,2[->-∈恒成立,求实数m 的取值范围. 2. (Ⅰ) b =0
(Ⅱ)
3'2()()30,f x ax cx
f x ax c αβ
=+∴=+=的两实根是
则 03c a αβαβ+=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩
|AB|=2222()()()()4()2f f αβαβαβ⇒-+-=⇒-= 又0
1a a >∴= 3()3
2
x f x x =-
(Ⅲ) [2,1]x ∈-时,求()f x 的最小值是-5
3. 已知()d cx bx ax x f +++=23是定义在R 上的函数,其图象交x 轴于A ,B ,C 三点,若点B 的坐标为(2,0),且()x f 在]0,1[-和[4,5]上有相同的单调性,在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性. (1)求c 的值;
(2)在函数()x f 的图象上是否存在一点M (x 0,y 0),使得()x f 在点M 的切线斜率为3b ?
若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由;
3. ⑴ ∵()x f 在[]0,1-和[]2,0上有相反单调性,
∴ x=0是()x f 的一个极值点,故()0'=x f , 即0232=++c bx ax 有一个解为x=0,∴c=0 ⑵ ∵()x f 交x 轴于点B (2,0) ∴()a b d d b a 24,048+-==++即
令()0'=x f ,则a
b
x x bx ax 32,0,023212-
===+ ∵()x f 在[]2,0和[]5,4上有相反的单调性
∴4322≤-≤a b , ∴36-≤≤-a
b
假设存在点M (x 0,y 0),使得()x f 在点M 的切线斜率为3b ,则()b x f 30'=
即 032302
=-+b bx ax ∵ △=()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+=-⨯⨯-94364334222
a b ab ab b b a b
又36-≤≤-a
b
, ∴△<0
∴不存在点M (x 0,y 0),使得()x f 在点M 的切线斜率为
4. 已知函数x x f ln )(=
(1)求函数x x f x g -+=)1()(的最大值; (2)当b a <<0时,求证2
2)
(2)()(b a a b a a f b f +->
-;
4. (1)x x f x g x x f -+==)1()(,ln )(
)1()1ln()(->-+=∴x x x x g 11
1
)(-+=
'x x g 令,0)(='x g 得0=x 当01<<-x 时,0)(>'x g 当0>x 时0)( ∴ 当且仅当0=x 时,)(x g 取得最大值0 (2))1ln(ln ln ln ln )()(b b a b a a b a b a f b f -+-=-==-=- 由(1)知b a b b b a a f b f x x -= --≥-≤+)()()1ln( 又2 2 222 2)(2212,0b a a b b b a b b a a b ab b a b a +->-∴+>∴>+∴<< 5. 已知)(x f 是定义在1[-,0()0 ,]1上的奇函数,当1[-∈x ,]0时,2 1 2)(x ax x f +=(a 为实数). (1)当0(∈x ,]1时,求)(x f 的解析式; (2)若1->a ,试判断)(x f 在[0,1]上的单调性,并证明你的结论; (3)是否存在a ,使得当0(∈x ,]1时,)(x f 有最大值6-. 5. (1)设0(∈x ,]1,则1[-∈-x ,)0,2 1 2)(x ax x f + -=-,)(x f 是奇函数,则21 2)(x ax x f - =,0(∈x ,]1; (2))1(222)(33x a x a x f +=+=',因为1->a ,0(∈x ,]1,113≥x ,01 3>+x a , 即0)(>x f ',所以)(x f 在0[,]1上是单调递增的. (3)当1->a 时,)(x f 在0(,]1上单调递增,2 5 )1()(max - =⇒==a a f x f (不含题意,舍去),当1-≤a ,则0)(=x f ',3 1a x -=,如下表)1 ()(3 max a f x f -= 0(2 2 226∈= ⇒-=⇒-=x a ]1, 所以存在22-=a 使)(x f 在0(,]1上有最大值6-.