矩法估计的分析及应用

矩法估计的分析及应用

金融数学10本 黄小听 17

摘要：矩法估计就是根据子样所提供的信息，对母体的分布或分布的数字特征等作出合理的统计推断的一种方法。它不仅在数学领域应用广泛，对于解决实际问题(比如预测股市行情，教育统计学等），也有很大的用途。

关键字：矩法估计；应用；评选标准；优缺点

一 什么是矩法估计

对于随机变量来说，矩是其最广泛，最常用的数字特征，母体ξ的各阶矩一般与ξ的分布中所含的未知参数有关，有的甚至就等于未知参数。由辛钦大数定律知，简单随机子样的子样原点矩依概率收敛于相应的母体原点矩E ξr ,r = 1,2，…。这就启发我们想到用子样矩替换母体矩（替换原则），进而找出未知参数的估计，基于这种思想求估计量的方法称为矩法。用矩法求得的估计称为矩法估计，简称矩估计。它是由英国统计学家皮尔逊Pearson 于1894年提出的。

二 矩法估计的理论依据

由辛钦大数定律知：

… 即对任意

，有

或

三 如何求解矩法估计

设母体ξ具有已知类型的概率函数),,,;(21n x f θθθ ， (1θ，2θ，…，k θ)∈Θ

是k 个未知参数。1ξ，…，n ξ是取自母体ξ的一个子样，假设ξ的k 阶矩k υ=E ξk

存在，显然j υ，j

1ξ。 我们设 j υ(1θ，2θ，…，n θ)=j

ξ，j=1,2, …，k （＊） 得到含k 个未知数1θ，2θ，…，k θ的k 个方程式，解这k 个联立方程组就可以得到1θ，2θ，…，k θ的一组解：

i θˆ=i θˆ（1ξ，2ξ，…，n ξ），i=1,2, …，k

用（＊）中的解i θˆ估计参数i θ就是矩法估计。

由于i θˆ是1ξ，2ξ，…，n ξ子样的函数，所以i θˆ是统计量。

(在数理统计中，我们一般用表示θ的估计量。)

四 矩法估计在解决数学问题与实际问题上的应用

例1： 母体均值E ξ与方差D ξ为矩法估计。

解 ：设1ξ，2ξ，…，n ξ是母体ξ的子样。母体具有均值E ξ和方差 D ξ=E ξ2-（E ξ2)

按照（＊）式得方程式组

1υ= E ξ=ξ

2υ= E ξ2=（E ξ2)+ D ξ=2

ξ 解这一方程组得E ξ和D ξ的矩法估计

=ξE ˆ=ξ∑=n i i n 11ξξ

=ξD ˆ22)(ξξ-

=21

)(1∑=-n

i i n ξξ =2n S

例2: 已知大学生英语四级考试成绩ξ~N (μ,σ2)，均值μ,方差σ2均未知， ξ1,…,ξn 为取自母体ξ的一个子样，(x 1,…,x n )是子样的一组观测值,求μ与σ2的 矩法估计。

解：注意到有两个未知参数，由矩法估计知需两个方程，按照(＊)式得方程组

解这一方程组得μ与σ的矩法估计量μ

ˆ=ξ，2ˆσ=22)(ξξ- 分析：注意到我们这里求出μ与σ2的矩法估计未用到母体ξ的分布。这样对μ,σ2作出了估计，也就对整个母体分布作出了推断，进而对大学生英语四级考试成绩ξ相关的其它数字特征（如标准分、标准差、偏态系数等）作出了估计。

矩法估计还有很多其他实际应用，如根据几天前的交易数据估计当天的股市行情、根据随机抽样的结果估计生产线上螺丝钉的合格率、教育统计学等。

五 估计量的评选标准

1.一致估计

定义：设母体ξ具有概率函数);(θx f ，θ∈Θ为未知参数。n θˆ=n

θˆ（1ξ，2ξ，…，n ξ）为θ的一个估计量，n 为子样容量。若对任意ε>0，式

lim ∞→n P

()0ˆ=>-εθθ

成立，则称n

θˆ为θ参数的一致估计。 ξ是母体均值E ξ的一个一致估计，r ξ是的E ξr 一个一致估计，子样方差2

n S 是母体方差D ξ的一致估计。

2.无偏估计

估计的一致性是大子样所呈现的性质，当子样容量不大时，估计的这种性质就不存在。现在给出另一种对任何子样容量都适用的评价估计量的准则，没有系统偏差的性质在统计学上称作无偏性，显然它可以作为衡量一个估计量好坏的另一准则。

定义： 设θˆ=θˆ（2ξ，…，n ξ）为母体ξ的概率函数{}Θ∈θθ:);(x f 的未知参数θ的一个估计量。若对一切θ∈Θ，关系式

)],(ˆ[1n ，E ξξθθ =0

成立。则称),(ˆ1n ，ξξθ 为θ的无偏估计，否则称为有偏的。

显然，子样均值ξ是母体E ξ的无偏估计，子样原点矩k ξ是母体原点矩E ξk 的无偏估计，子样方差2n S 不是母体方差D ξ的无偏估计。一般地，二阶或二阶以上的子样中心矩就不是母体中心矩的无偏估计。

若我们取

2

*n S =1-n n E 2n

S =∑=--n i i n 12)(11ξξ 作为母体方差D ξ的估计，则有

E 2*n S =1

-n n E 2n S =n n n n 11-⋅- D ξ= D ξ 由此推出2*n S 是母体方差D ξ的无偏估计。

从2n S 不是D ξ的无偏估计也可看出，若1

ˆθ，…，k θˆ是参数1θ，…，k θ的无偏估计，函数)ˆ,,ˆ(1k

θθϕ 并不一定是),,(1k θθϕ 的无偏估计。 由有偏估计2n S 修改成无偏估计2

*n S 是一种常用的方法，一般说来，如果θˆ是参数θ的有偏估计，并且E θˆ=a+b θ，这里a 、b 是常数（b ≠0），于是我们能构造的一个

无偏估计*θˆ=b a

-θ 。

若θ的一个估计θ

ˆ不一定无偏，但当n →∞时，E θˆ→,θ则称θˆ为θ的渐近无偏估计。