材料力学计算题库

第一章绪论

【例1-1】钻床如图1-6a所示，在载荷P作用下，试确定截面m-m上的内力。

【解】（1）沿m-m 截面假想地将钻床分成两部分。取m-m 截面以上部分进行研究（图1-6b），并以截面的形心O为原点。选取坐标系如图所示。

（2）为保持上部的平衡，m-m 截面上必然有通过点O的内力N和绕点O的力偶矩M。

（3）由平衡条件

∴

【例1-2】图1-9a所示为一矩形截面薄板受均布力p作用，已知边长=400mm，受力后沿x方向均匀伸长Δ=0.05mm。试求板中a点沿x方向的正应变。

【解】由于矩形截面薄板沿x方向均匀受力，可认为板内各点沿x方向具有正应力与正

应变，且处处相同，所以平均应变即a 点沿x 方向的正应变。

x 方向

【例1-3】 图1-9b 所示为一嵌于四连杆机构内的薄方板，b=250mm 。若在p 力作用下CD 杆下移Δb=0.025，试求薄板中a 点的剪应变。

【解】由于薄方板变形受四连杆机构的制约，可认为板中各点均产生剪应变，且处处相同。

第二章 拉伸、压缩与剪切

【例题2.1】 一等直杆所受外力如图2. 1 (a)所示，试求各段截面上的轴力，并作杆的轴力图。

解：在AB 段范围内任一横截面处将杆截开，取左段为脱离体(如图2. 1 (b)所示)，假定轴力N1F 为拉力(以后轴力都按拉力假设)，由平衡方程

0x

F

=∑，N1300F -=

得 N130kN F =

结果为正值，故N1F 为拉力。

同理，可求得BC 段内任一横截面上的轴力(如图2. 1 (c)所示)为

N2304070(kN)F =+=

在求CD 段内的轴力时，将杆截开后取右段为脱离体(如图2. 1 (d)所示)，因为右段杆上包含的外力较少。由平衡方程

0x

F

=∑，N330200F --+=

得 N3302010(kN)F =-+=-

结果为负值，说明N3F 为压力。

同理，可得DE 段内任一横截面上的轴力N4F 为

N420kN F =

F N4(f)

(a)

C B

A 20kN

30kN

F

30kN

(b)

(c)20kN

20kN (e)(d)

(a)

N1

F N2

F N3

F N4

(f)(a)

E

D

C

B

A 20kN

20kN

F 30kN 40kN

(b)

(c)30kN

20kN

20kN

(e)

(d)

(b) F N2F N3F N4

(f)(a)30kN

E

D C

20kN

20kN

80kN 40kN F

(b)

(c)30kN 20kN

20kN (e)

(d)

30kN

(c)

N2

F N4(f)(a)30kN E

B A

70kN

30kN

20kN

80kN

40kN 30kN

F 30kN 40kN (b)

(c)

20kN (e)(d)30kN

(d)

F N2

F N3F (f)

(a)

E D C B

A 70kN

30kN

80kN 40kN

30kN

F 30kN 40kN (b)

(c)

(e)

(d)

30kN

N2

(f)

(a)30kN

E

A

20kN 80kN 40kN 30kN F

30kN

(b)

(c)

20kN

(e)

(d)

30kN

(f)

图2. 1 例题2.1图

【例题 2.2】 一正方形截面的阶梯形砖柱，其受力情况、各段长度及横截面尺寸如图2.8(a)所示。已知40kN P =。试求荷载引起的最大工作应力。

解：首先作柱的轴力图，如图2.8(b)所示。由于此柱为变截面杆，应分别求出每段柱的横截面上的正应力，从而确定全柱的最大工作应力。

Ι、ΙΙ两段柱横截面上的正应力，分别由已求得的轴力和已知的横截面尺寸算得

3N1114010N 0.69(MPa)(240mm)(240mm)

σ-⨯===-⨯F A (压应力)

3N22212010N 0.88(MPa)(370mm)(370mm)

F A σ-⨯===-⨯(压应力)

由上述结果可见，砖柱的最大工作应力在柱的下段，其值为0.88MPa ，是压应力。 【例题2.3】 一钻杆简图如图2.9(a)所示，上端固定，下端自由，长为l ，截面面积为A ，材料容重为γ。试分析该杆由自重引起的横截面上的应力沿杆长的分布规律。

解：应用截面法，在距下端距离为x 处将杆截开，取下段为脱离体(如图 2.8(b)所示)，设下段杆的重量为()G x ，则有

()G x xA γ= (a)

设横截面上的轴力为N ()F x ，则由平衡条件

0=∑x

F

，N ()()0-=F x G x (b)

将(a)式值代入(b)式，得

N ()F x A x γ=⋅⋅ (c)

即N ()F x 为x 的线性函数。

当0x =时，N (0)0F =

当x l =时，N N,max ()F l F A l γ==⋅⋅

(a) (b) (a) (b) (c)

图2.8 例题2.2图 图2.9 例题2.3图

式中N,max F 为轴力的最大值，即在上端截面轴力最大，轴力图如图2.9(c)所示。那么横截面上的应力为

N ()

()F x x x A

σγ=

=⋅ (d) 即应力沿杆长是x 的线性函数。

当0x =时，(0)0σ=

当x l =时，max ()l l σσγ==⋅