黄雅兰教案东莞一中

课题：§1．2．1 任意角的三角函数

教材：《普通高中课程标准-数学必修④》（人教版）

授课教师：黄雅兰

一、教学目标：

1、知识与技能目标：

①全面理解并掌握任意角的三角函数的定义.②掌握三角函数值的符号的判定方法.

2、过程与方法目标：

①数形结合的方法.②由特殊到一般、再由一般到特殊的方法。

3、情感与价值观目标：

①通过初中的锐角三角函数的定义拓展到高中任意角的三角函数的定义，培养学生用发展的眼光看待问题、分析问题.②培养学生独立思考，交流合作，勇于创新的精神.

二、教学重点与难点：

重点：任意角的三角函数的定义

难点：①用单位圆上点的坐标刻画三角函数.②锐角的三角函数值推广到任意角，内容上是一个飞跃，导致了学生思维上难以逾越.

三、教学方法与手段：

本节课以“教师主导、学生主体”为原则，采用“体验、探究”的教学方法，围绕学习目标设置了一系列符合学生认知规律的问题情景，辅助动画演示，拓展思维空间，力求全体学生主动思考，体会定义产生、发展的过程，获取知识、培养能力。

四、教学过程：

（一）复习引入-锐角的三角函数：

前一节课，我们把锐角推广到了任意角，学习了角度制和弧度制，这节课该研究什么呢？探索任意角的三角函数（板书课题），

活动1：我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数. 请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？

学生口述后再投影展示，教师再根据投影进行强调：

设计意图：复习初中所学习过的锐角三角函数，初中学习的三角函数定义是直角三角形中线段长度的比值。加深对锐角三角函数概念的理解，它是学习任意角三角函数的基础．

活动2：如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数呢？请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！

（学生口述，教师板书图形和比值）：把锐角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合，终边落在第一象限，在角

α终边上任取一点P ，作PM ⊥x 轴于M ，构造一个Rt ΔOMP ，则∠

MOP=α（锐角），设P （x,y ）（x ＞

0、y ＞0），α的邻边OM =x 、对边MP=y ，斜边长|OP ∣=r.

根据锐角三角函数定义用x 、y 、r 列出锐角α的正弦、余弦、正切三个比值，并补充对应列出三个比值：

设计意图：初中以直角三角形边角关系来定义锐角三角函数，现在要用坐标系来研究，探索的结论既要满足任意角的情形，又要包容初中锐角三角函数定义. 这是理解任意角三角函数概念的关键之一，能够形成迁移能力。

活动3：三角函数值是否会随P 点的移动而变化？当锐角α大小发生变化时，比值会改变吗？

联系相似三角形知识，探索发现：当P 点在角的终边上运动时，3个比值都是确定的，

不会随P 的移动而变化.

再用几何画板动画演示，保持r 不变，让P 绕原点O 旋转，即α在锐角范围内变化，3

sin α=

斜边

对边，cos α=

斜边

邻边，tan α=

邻边

对边

（图1）

P sin α=斜边对边=r y ，cos α=斜边邻边=r x ，tan α=邻边对边=x

y

个比值随之变化的直观形象。结论是：比值随α的变化而变化.

得出结论(强调)：当α为锐角时，3个三角函数随α的变化而变化；但对于锐角α的每一个确定值，正弦、余弦以及正切值都是确定的，不会随P 在终边上的移动而变化. 所以，正弦、余弦以及正切函数分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数.

设计意图：通过上述探究，得到三角比值只与角的位置有关，符合函数定义.引导学生，推测出第一象限角的三角

比值都可以用角终边上的点的坐标来表示，为推出其他象限，甚至任意角的三角比值都可用点的坐标来表示做铺垫.

活动4：当α为锐角时，点P 在哪个位置，比值会更简洁？

教师引导学生进行对比，学生通过对比发现：取到原点的距离为1的点可以使表达

式简化（即分母变为1时为最简）。此时:sin 1y y α==、cos 1x x α==、tan y

x

α=

指出sin α＝y 的函数依旧表示一个比值，分母为1而已。

设计意图： 体现简约思想，引入单位圆。深化对单位圆作用的认识，用数学的简洁美引导学生进行研究，为定义

的拓展奠定基础。（在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度1为半径的圆称为单位圆）

（二）分析归纳-任意角的三角函数：

活动5：锐角α的三角比值可以用单位圆上点的坐标来表示，能否推广到任意角？ 先让学生自己思考，角的终边落在第一、二、三、四象限时，

写出三角函数为:sin y α=，cos x α=，tan y

x

α=

任意角是否有遗漏？

当点P 为（0，1）时，αααtan ,0cos ,1sin ==无意义 当点P 为（0，-1）时，αααtan ,0cos ,1sin =-=无意义

当点P 为（1，0）时，0tan ,1cos ,0sin ===ααα 当点P 为（-1，0）时，0tan ,1cos ,0sin =-==ααα

互动设计：请同学分小组分别写出角α的终边位于第二、三、四象限和x 轴、y 轴上时的三角函数。

怎样刻画任意角的三角函数呢？（板书）设α是一个任意角，α终边与单位圆交于点

(,)P x y ，那么：sin y α=、cos x α=、tan y x α=（0x ≠）

（特别的，2

k π

απ=+时，0x =，比值y

x

无意义）思考：α大小发生变化时，比值会改变吗？

先让学生思考，作出判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：使r 保持不变，P 绕原点O 逆时针、顺时针旋转即角α变化，3个比值随之改变的直观形象。结论是：各比值随α的变化而变化. 且随着α的确定，3个比值也唯一确定。

设计意图：大部分学生会只考虑其余三个象限，而把四个半轴的情况遗漏，这里引导学生完善任意角的概念，培养学生全面分析问题的能力. 进而为后续的三角函数定义域做准备。通过几何画板动画演示，深化理解三角函数内涵.

活动6：我们能否把αααtan ,cos ,sin 分别叫做任意角α的正弦、余弦、正切“函数”？函数概念的三要素是什么？

先由学生回想函数定义及函数三要素 (定义域、对应法则、值域)

自变量:由于角的集合和实数集之间可以建立一一对应的关系，因此，三角函数可以看成是以实数为自变量的函数。对应法则:如正弦函数sin y α=,对α的每一个确定的值，有唯一确定的坐标值与之对应，即f ：α→y .

综上（强调），3个比值分别是以角α为自变量、以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数。

教师说明：sin α不是sin 与α的乘积，sin α是一个整体,相当于函数记号()f x .

设计意图：对任意角的正弦、余弦、正切的定义是否符合函数的定义，这是本小节的核心问题.引导学生将三角比

值的定义与函数的定义对照，在学生深刻的体会到数学定义的产生过程.函数概念与三角函数概念是一般与特殊的关系。

（三）探索新知-三角函数的定义域、符号判断

活动7：

活动8： ①正弦值y 对于第一、二象限为正（0y >），对于第三、四象限为负（0y <）； ②余弦值x 对于第一、四象限为正（0x >），对于第二、三象限为负（0x <）；

③正切值y

x

对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）．

说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。