2020年高考数学课时59几何证明选讲单元滚动精准测试卷文
浙江专版2020届高考数学一轮复习单元检测九平面解析几何单元检测含解析
单元检测九 平面解析几何(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l 经过点(3，－2)和(0,1)，则它的倾斜角是( ) A ．30°B．60°C．150°D．120° 答案 D解析 由斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1－(－2)0－3＝－3，再由倾斜角的范围[0°，180°)知，tan120°＝－3，故选D.2．直线kx －y －3k ＋3＝0过定点( ) A ．(3,0) B ．(3,3) C ．(1,3) D ．(0,3) 答案 B解析 kx －y －3k ＋3＝0可化为y －3＝k (x －3)，所以过定点(3,3)．故选B.3．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( ) A.7B ．22C ．1D ．3 答案 A解析 圆的圆心为(3,0)，r ＝1，圆心到直线x －y ＋1＝0的距离为d ＝|3＋1|2＝22，所以由勾股定理可知切线长的最小值为(22)2－12＝7.4．一束光线从点A (－1,1)发出，并经过x 轴反射，到达圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上一点的最短路程是( )A ．4B ．5C ．32－1D ．2 6 答案 A解析 依题意可得，点A 关于x 轴的对称点A 1(－1，－1)，圆心C (2,3)，A 1C 的距离为(2＋1)2＋(3＋1)2＝5，所以到圆上的最短距离为5－1＝4，故选A.5．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为原点，则实数a 的值为( ) A ．2B ．－2C ．2或－2D.6或－ 6 答案 C解析 由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得|OA →＋OB →|2＝|OA →－OB →|2，化简得OA →·OB →＝0，即OA →⊥OB →，三角形AOB 为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为2，即|a |2＝2，a ＝±2. 6．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( ) A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 答案 B解析 由已知条件得直线l 的斜率为k ＝k FN ＝1，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式相减并结合x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30得，y 1－y 2x 1－x 2＝4b 25a 2，从而4b 25a2＝1，即4b 2＝5a 2，又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝4，b 2＝5，故选B.7．(2018·绍兴市、诸暨市模拟)如图，已知点P 是抛物线C ：y 2＝4x 上一点，以P 为圆心，r 为半径的圆与抛物线的准线相切，且与x 轴的两个交点的横坐标之积为5，则此圆的半径r为( )A ．2 3B ．5C ．4 3D ．4答案 D解析 设圆与x 轴的两个交点分别为A ，B ，由抛物线的定义知x P ＝r －1，则P (r －1,2r －1)，又由中垂线定理，知|OA |＋|OB |＝2(r －1)，且|OA |·|OB |＝5，故由圆的切割线定理，得(2r －1)2＝(1＋|OA |)(1＋|OB |)，展开整理得r ＝4，故选D.8．(2018·绍兴市、诸暨市模拟)已知双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1，F 1，F 2为其左、右焦点，若P 是双曲线右支上的一点，且tan∠PF 1F 2＝12，tan∠PF 2F 1＝2，则此双曲线的离心率为( )A.5B.52C.355D. 3 答案 A解析 由tan∠PF 1F 2＝12，tan∠PF 2F 1＝2知，PF 1⊥PF 2，作PQ ⊥x 轴于点Q ，则由△PF 1Q ∽△F 2PQ ，得|F 1Q |＝4|F 2Q |＝85c ，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35c ，45c ， 代入双曲线的方程，有b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫35c 2－a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫45c 2＝a 2b 2，又a 2＋b 2＝c 2，则(9c 2－5a 2)(c 2－5a 2)＝0， 解得ca ＝5或c a ＝53(舍)，即离心率e ＝5，故选A. 9．(2019·宁波模拟)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点P (5,0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，若|BF |＝5，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF等于( ) A.56B.2033C.1531D.2029 答案 D解析 由题意知直线AB 的斜率存在，则由抛物线的对称性不妨设其方程为y ＝k (x －5)，k >0， 与抛物线的准线x ＝－1联立，得点C 的坐标为(－1，－6k )， 与抛物线的方程y 2＝4x 联立，消去y 得k 2x 2－(10k 2＋4)x ＋25k 2＝0，则x A ＋x B ＝10k 2＋4k2，x A x B ＝25， 又因为|BF |＝x B ＋1＝5，所以x B ＝4， 代入解得x A ＝254，k ＝4，则y A ＝5，y B ＝－4，y C ＝－24， 则S △ACF ＝12|PF |·|y A －y C |＝58，S △ABF ＝12|PF ||y A －y B |＝18，则S △BCF S △ACF ＝1－S △ABF S △ACF ＝2029，故选D. 10．已知直线l ：kx －y －2k ＋1＝0与椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，与圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1交于C ，D 两点．若存在k ∈[－2，－1]，使得AC →＝DB →，则椭圆C 1的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1答案 C解析 直线l 过圆C 2的圆心，∵AC →＝DB →， ∴|AC 2→|＝|C 2B →|，∴C 2的圆心为线段AB 的中点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b2， 化简可得－2·b 2a 2＝k ，又∵a >b ，∴b 2a 2＝－k 2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1，所以e ＝1－b 2a 2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22. 第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．(2018·台州质检)已知直线l 1：mx ＋3y ＝2－m ，l 2：x ＋(m ＋2)y ＝1，若l 1∥l 2，则实数m ＝________；若l 1⊥l 2，则实数m ＝________.答案 －3 －32解析 l 1∥l 2等价于⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋2)＝3，m ≠2－m ，解得m ＝－3.l 1⊥l 2等价于m ＋3(m ＋2)＝0，解得m ＝－32.12．(2018·浙江十校联盟考试)抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是________，焦点到准线的距离是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 18解析 由y ＝4x 2，得x 2＝y4，可得2p ＝14，所以p ＝18，即焦点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，焦点到准线的距离为18.13．(2018·衢州模拟)已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，|AB |＝2，圆C 的半径为________；圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________． 答案2 －1－ 2解析 设圆心C (1，b )，则半径r ＝b . 由垂径定理得，1＋⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＝b 2，即b ＝2，且B (0,1＋2)． 又由∠ABC ＝45°，切线与BC 垂直， 知切线的倾斜角为45°，故切线在x 轴上的截距为－1－ 2.14．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点到渐近线的距离等于焦距的34倍，则双曲线的离心率为________，如果双曲线上存在一点P 到双曲线的左右焦点的距离之差为4，则双曲线的虚轴长为________． 答案 2 4 3解析 由于右焦点到渐近线的距离等于焦距的34倍，可知双曲线渐近线y ＝b a x 的倾斜角为π3，即ba ＝3，所以e ＝c a＝1＋3＝2， 因为a ＝2，从而b ＝16－4＝23， 所以虚轴长为4 3.15．已知点A (0,1)，抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点为F ，线段FA 与抛物线C 相交于点M ，FA 的延长线与抛物线的准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶3，则实数a 的值为________． 答案2解析 依题意得焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0， 设点M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接KM (图略)， 由抛物线的定义知|MF |＝|MK |， 因为|FM |∶|MN |＝1∶3， 所以|KN |∶|KM |＝22∶1，又k FN ＝0－1a 4－0＝－4a ，k FN ＝－|KN ||KM |＝－22，所以4a＝22，解得a ＝ 2.16．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A (2,1)，B 是E 上不同的两点，且四边形AF 1BF 2是平行四边形，若∠AF 2B ＝2π3，2ABF S＝3，则双曲线E 的标准方程为________． 答案x 22－y 2＝1解析 如图，因为四边形AF 1BF 2是平行四边形， 所以2ABF S＝12AF F S，∠F 1AF 2＝π3，所以|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1||AF 2|cos π3，即4c 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|AF 1||AF 2|，① 又4a 2＝(|AF 1|－|AF 2|)2，所以4a 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1||AF 2|，② 由①②可得|AF 1||AF 2|＝4b 2， 又2ABF S＝12×4b 2×32＝3， 所以b 2＝1，将点A (2,1)代入x 2a2－y 2＝1，可得a 2＝2，故双曲线E 的标准方程为x 22－y 2＝1.17．在平面直角坐标系xOy 中，A (3,0)，P (3，t )，t ∈R ，若存在C ，D 两点满足|AC ||OC |＝|AD ||OD |＝2，且PD →＝2PC →，则t 的取值范围是________． 答案 [－25，25]解析 设C (x ，y )，因为A (3,0)，|AC ||OC |＝2，所以(x －3)2＋y2x 2＋y 2＝2，整理得(x ＋1)2＋y 2＝4，即点C 在圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝4上． 同理由|AD ||OD |＝2可得点D 也在圆M 上．因为PD →＝2PC →，所以C 是PD 的中点， 过点M 作MN ⊥CD ，垂足为N ，连接CM ，PM .设|MN |＝d ，|PC |＝|CD |＝2k ，分别在Rt△CMN ，Rt△PMN 中，由勾股定理，得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋d 2＝4，9k 2＋d 2＝t 2＋16，消去k 2得，t 2＝20－8d 2.因为0≤d 2<4，所以t 2≤20，解得－25≤t ≤25， 所以t 的取值范围是[－25，25]．三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18．(14分)已知过点A (0,1)，且斜率为k 的直线l 与圆C ： (x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点． (1)求实数k 的取值范围； (2)求证：AM →·AN →为定值．(1)解 由题意过点A (0,1)且斜率为k 的直线的方程为y ＝kx ＋1， 代入圆C 的方程得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，因为直线与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点， 所以Δ＝[－4(1＋k )]2－4×7×(1＋k 2)>0， 解得4－73<k <4＋73，所以实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， AM →＝(x 1，y 1－1)，AN →＝(x 2，y 2－1)，由(1)得，x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2，所以y 1＋y 2＝(kx 1＋1)＋(kx 2＋1)＝k (x 1＋x 2)＋2.y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1.所以AM →·AN →＝(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1)＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1 ＝x 1x 2＋k 2x 1x 2＝(1＋k 2)·71＋k 2＝7，所以AM →·AN →为定值．19.(15分)(2018·浙江名校高考研究联盟联考)如图，以P (0，－1)为直角顶点的等腰直角△PMN 内接于椭圆x 2a2＋y 2＝1(a >1)，设直线PM 的斜率为k .(1)试用a ，k 表示弦长|MN |；(2)若这样的△PMN 存在3个，求实数a 的取值范围．解 (1)不妨设直线PM 所在的直线方程为y ＝kx －1(k <0)，代入椭圆方程x 2a2＋y 2＝1，整理得(1＋a 2k 2)x 2－2ka 2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2ka21＋a 2k2，则|PM |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝－2ka 21＋k21＋a 2k2， 所以|MN |＝2|PM |＝－22ka 21＋k21＋a 2k 2. (2)因为△PMN 是等腰直角三角形，所以直线PN 所在的直线方程为y ＝－1kx －1(k <0)，同理可得|PN |＝－21k a 21＋1k 21＋a 21k2＝2a 21＋k 2k 2＋a 2.令|PM |＝|PN |，整理得k 3＋a 2k 2＋a 2k ＋1＝0，k 3＋1＋a 2k (k ＋1)＝0，(k ＋1)(k 2－k ＋1)＋a 2k (k ＋1)＝0， 即(k ＋1)[k 2＋(a 2－1)k ＋1]＝0.若这样的等腰直角三角形PMN 存在3个，则方程k 2＋(a 2－1)k ＋1＝0有两个不等于－1的负根k 1，k 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(a 2－1)2－4>0，k 1＋k 2＝1－a 2<0，k 1k 2＝1>0，1－(a 2－1)＋1≠0，因为a >1，所以a > 3.20．(15分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长为4，其上顶点到直线3x ＋4y －1＝0的距离等于35.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，交x 轴的负半轴于点E ，交y 轴于点F (点E ，F 都不在椭圆上)，且FA →＝λ1AE →，FB →＝λ2BE →，λ1＋λ2＝－8，证明：直线l 恒过定点，并求出该定点． 解 (1)由椭圆C 的长轴长为4知2a ＝4，故a ＝2， 椭圆的上顶点为(0，b )，则由|4b －1|5＝35得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，E (m,0)(m <0，m ≠－2)，F (0，n )， 由FA →＝λ1AE →，得(x 1，y 1－n )＝λ1(m －x 1，－y 1)， 所以A ⎝⎛⎭⎪⎫λ1m 1＋λ1，n 1＋λ1.同理由FB →＝λ2BE →，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2m 1＋λ2，n 1＋λ2， 把A ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ1m 1＋λ1，n 1＋λ1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2m 1＋λ2，n 1＋λ2分别代入x 24＋y 2＝1 得：⎩⎪⎨⎪⎧(4－m 2)λ21＋8λ1＋4－4n 2＝0，(4－m 2)λ22＋8λ2＋4－4n 2＝0，即λ1，λ2是关于x 的方程(4－m 2)x 2＋8x ＋4－4n 2＝0的两个根，∴λ1＋λ2＝－84－m2＝－8， ∴m ＝－3，所以直线l 恒过定点(－3，0)．21．(15分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >1)上的点A 到其焦点的距离为32，且点A 在曲线x ＋y2－52＝0上． (1)求抛物线C 的方程；(2)M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是抛物线C 上异于原点的两点，Q (x 0，y 0)是线段MN 的中点，点P 是抛物线C 在点M ，N 处切线的交点，若|y 1－y 2|＝4p ，证明：△PMN 的面积为定值． (1)解 设点A (x A ，y A )， ∵点A 到抛物线焦点的距离为32，∴x A ＝32－p 2，y 2A ＝2px A ＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－p 2， 又点A 在曲线x ＋y 2－52＝0上，∴32－p 2＋2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－p 2－52＝0， 即p 2－52p ＋1＝0，解得p ＝2或p ＝12(舍去)，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明 由(1)知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，|y 1－y 2|＝8， 设抛物线C 在点M 处的切线的斜率为k (k ≠0)， 则该切线的方程为y －y 1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 214， 联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 214，y 2＝4x ，消去x ，整理得 ky 2－4y ＋4y 1－ky 21＝0，∵M 是切点，∴Δ＝16－4k (4y 1－ky 21)＝0，即4－4ky 1＋k 2y 21＝0，解得k ＝2y 1， ∴直线PM 的方程为y －y 1＝2y 1(x －y 214)，即y ＝2y 1x ＋y 12， 同理得直线PN 的方程为y ＝2y 2x ＋y 22， 联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y 1x ＋y 12，y ＝2y 2x ＋y 22，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝y 1y 24，y ＝y 1＋y 22， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 24，y 1＋y 22， ∵Q 是线段MN 的中点，∴y 0＝y 1＋y 22， ∴PQ ∥x 轴，且x 0＝x 1＋x 22＝y 21＋y 228，∴△PMN 的面积S ＝12|PQ |·|y 1－y 2| ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1y 24－x 0·|y 1－y 2| ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1y 24－y 21＋y 228·|y 1－y 2| ＝116|y 1－y 2|3＝32， 即△PMN 的面积为定值．22．(15分)(2018·嘉兴测试)如图，已知抛物线x 2＝y ，过直线l ：y ＝－14上任一点M 作抛物线的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B .(1)求证：MA ⊥MB ；(2)求△MAB 面积的最小值．(1)证明 方法一 设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，－14，易知直线MA ，MB 的斜率都存在，分别设为k 1，k 2， 设过点M 的抛物线的切线方程为y ＋14＝k (x －x 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋14＝k (x －x 0)，x 2＝y ，得x 2－kx ＋kx 0＋14＝0， Δ＝k 2－4kx 0－1＝0，由题意知，k 1，k 2是方程k 2－4x 0k －1＝0的两个根，所以k 1k 2＝－1，所以MA ⊥MB .方法二 设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，－14，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，易知直线MA ，MB 的斜率都存在，分别设为k 1，k 2. 由y ＝x 2，得y ′＝2x ，则MA ，MB 的斜率分别为k 1＝2x 1，k 2＝2x 2，所以2x 1＝x 21＋14x 1－x 0，整理得x 21＝2x 1x 0＋14，同理可得，x 22＝2x 2x 0＋14，两式相减得，x 21－x 22＝2x 0(x 1－x 2)，因为x 1≠x 2，所以x 1＋x 2＝2x 0，于是x 21＝x 1(x 1＋x 2)＋14，所以x 1x 2＝－14，即k 1k 2＝4x 1x 2＝－1，所以MA ⊥MB .(2)解 由(1)得k 1＝2x 1，k 2＝2x 2，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 12，k 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 22，k 224， 易知k 1k 2＝－1，k 1＋k 2＝4x 0， 所以|MA |＝1＋1k 21|y A －y M |＝1＋1k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 214＋14＝(k 21＋1)324|k 1|，同理，|MB |＝(k 22＋1)324|k 2|， 所以S △MAB ＝12|MA |·|MB |＝12·[(k 21＋1)(k 22＋1)]3216|k 1k 2|＝(k 21＋k 22＋2)3232＝[(4x 0)2－2×(－1)＋2]3232＝[(4x 0)2＋4]2332≥32432＝14.综上，当x 0＝0时，△MAB 的面积取得最小值，最小值为14.。
2020年高考模拟题库数学59
智乐星优题库数学59一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（2分）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠3B．x＜3C．x＞3D．x＝32．（2分）若a＝，则实数a在数轴上对应的点P的大致位置是（）A．B．C．D．3．（2分）如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（）A．棱柱B．圆柱C．棱锥D．圆锥4．（2分）二元一次方程组的解为（）A．B．C．D．5．（2分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，3），点B的坐标（2，1）．将线段AB沿某一方向平移后，若点A的对应点A'的坐标为（﹣2，0）．则点B的对应点B'的坐标为（）A．（5，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，﹣3）D．（0，﹣2）7．（2分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地起飞，垂直上升1000米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则AB两地之间的距离约为（）A．1000sinα米B．1000tanα米C．米D．米8．（2分）如图1，动点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→C→D以1cm/s的速度运动到点D．设点P的运动时间为（s），△P AB的面积为y（cm2）．表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则a的值为（）A．B．C．2D．2二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）分解因式：x2y﹣y＝．10．（2分）某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差S2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是．甲乙丙丁7887 s21 1.20.9 1.8 11．（2分）如果x﹣y＝，那么代数式（x+2）2﹣4x+y（y﹣2x）的值是．12．（2分）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAC+∠ACD ＝°．13．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若直线y1＝﹣x+a与直线y2＝bx﹣4相交于点P（1，﹣3），则关于x的不等式﹣x+a＜bx﹣4的解集是．14．（2分）用一组k，b的值说明命题“若k＞0，则一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限”是错误的，这组值可以是k＝，b＝．15．（2分）如图，B，C，D，E为⊙A上的点，DE＝5，∠BAC+∠DAE＝180°，则圆心A 到弦BC的距离为．16．（2分）运算能力是一项重要的数学能力．王老师为帮助学生诊断和改进运算中的问题，对全班学生进行了三次运算测试．下面的气泡图中，描述了其中5位同学的测试成绩．（气泡圆的圆心横、纵坐标分别表示第一次和第二次测试成绩，气泡的大小表示三次成绩的平均分的高低；气泡越大平均分越高．）①在5位同学中，有位同学第一次成绩比第二次成绩高；②在甲、乙两位同学中，第三次成绩高的是．（填“甲”或“乙”）三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形ABCD是平行四边形．求作：菱形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；③连接EF．所以四边形ABEF为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AF＝AB，BE＝AB，∴＝．在▱ABCD中，AD∥BC．即AF∥BE．∴四边形ABEF为平行四边形．∵AF＝AB，∴四边形ABEF为菱形（）（填推理的依据）．18．（5分）计算：19．（5分）解不等式﹣≥1，并把它的解集在数轴上表示出来．20．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根大于3，求m的取值范围．21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+2与双曲线y＝的一个交点是A（m，3）．（1）求m和k的值；（2）设点P是双曲线y＝上一点，直线AP与x轴交于点B．若AB＝3PB，结合图象，直接写出点P的坐标．23．（6分）2019年中国北京世界园艺博览会已于2019年4月29日在北京市延庆区开展，吸引了大批游客参观游览．五一小长假期间平均每天入园人数大约是8万人，佳佳等5名同学组成的学习小组，随机调查了五一假期中入园参观的部分游客，获得了他们在园内参观所用时间，并对数据进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：a．参观时间的频数分布表如下：时间t（时）频数（人数）频率1≤t＜2250.0502≤t＜385a3≤t＜41600.3204≤t＜51390.2785≤t＜6b0.1006≤t≤7410.082合计c 1.000b．参观时间的频数分布直方图如图：根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）这里采用的调查方式是；（2）表中a＝，b＝，c＝；（3）并请补全频数分布直方图；（4）请你估算五一假期中平均每天参观时间小于4小时的游客约有多少万人？24．（6分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OC，过点A作AD∥OC交BC的延长线于点D，∠ABC＝45°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若sin∠CAB＝，⊙O的半径为，求AB的长．25．（6分）如图，点B是所对弦DE上一动点，点A在ED的延长线上，过点B作BC⊥DE交于点C，连接AC，已知AD＝3cm，DE＝6cm，设A，B两点间的距离为xcm，△ABC的面积为ycm2．（当点B与点D，E重合时，y的值为0．）小亮根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x3456789y0 4.477.079.008.940（2）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△ABC的面积为8cm2时，AB的长度约为cm．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1与y轴交于点C．（1）试用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1沿直线y＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点D．若m＞0，CD＝8，求m的值；（3）已知A（2k，0），B（0，k），在（2）的条件下，当线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点时，直接写出k的取值范围．27．（7分）如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．（1）求证：BD＝CE；（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；（3）在（2）的条件下，若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形P和直线AB，给出如下定义：M为图形P 上任意一点，N为直线AB上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P和直线AB之间的“确定距离”，记作d（P，直线AB）．已知A（2，0），B（0，2）．（1）求d（点O，直线AB）；（2）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1，若d（⊙T，直线AB）≤1，直接写出t的取值范围；（3）记函数y＝kx，（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形Q．若d（Q，直线AB）＝1，直接写出k的值．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．【分析】根据分母不等于0列不等式求解即可．【解答】解：由题意得，x﹣3≠0，解得x≠3．故选：A．【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．2．【分析】根据，即可选出答案【解答】解：∵，故选：C．【点评】本题主要考查了是实数在数轴上的表示，熟悉实数与数轴的关系式解答此题的关键．3．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由俯视图易得几何体的底面为圆，还有表示锥顶的圆心，符合题意的只有圆锥．故选：D．【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力以及对立体图形的认识．4．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①+②得：2x＝4，解得：x＝2，①﹣②得：2y＝0，解得：y＝0，则方程组的解为，故选：C．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．5．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．【分析】根据点A、点A的对应点的坐标确定出平移规律，然后根据规律求解点B的对应点的坐标即可．【解答】解：∵A（1，3）的对应点的坐标为（﹣2，0），∴平移规律为横坐标减3，纵坐标减3，∴点B（2，1）的对应点的坐标为（﹣1，﹣2）．故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，本题根据对应点的坐标确定出平移规律是解题的关键．7．【分析】在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝1000米，根据tanα＝，即可解决问题．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝1000米，∴tanα＝，∴AB＝＝米．故选：C．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．【分析】由图2知，菱形的边长为a，对角线AC＝，则对角线BD为2＝2，当点P在线段AC上运动时，y＝AP×BD＝×x，即可求解．【解答】解：由图2知，菱形的边长为a，对角线AC＝，则对角线BD为2＝2，当点P在线段AC上运动时，y＝AP×BD＝×x，由图2知，当x＝时，y＝a，即a＝××，解得：a＝，故选：B．【点评】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【分析】观察原式x2y﹣y，找到公因式y后，提出公因式后发现x2﹣1符合平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．【解答】解：x2y﹣y，＝y（x2﹣1），＝y（x+1）（x﹣1），故答案为：y（x+1）（x﹣1）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．10．【分析】先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛．【解答】解：因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，所以丙组的成绩比较稳定，所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．故答案为：丙．【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义．11．【分析】根据x﹣y＝，可以求得所求式子的值，本题得以解决．【解答】解：∵x﹣y＝，∴（x+2）2﹣4x+y（y﹣2x）＝x2+4x+4﹣4x+y2﹣2xy＝x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＝（）2＝2，故答案为：2．【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．12．【分析】证明△DCE≌△ABD（SAS），得∠CDE＝∠DAB，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论．【解答】解：在△DCE和△ABD中，∵，∴△DCE≌△ABD（SAS），∴∠CDE＝∠DAB，∵∠CDE+∠ADC＝∠ADC+∠DAB＝90°，∴∠AFD＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝90°，故答案为：90．【点评】本题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，本题构建全等三角形是关键．13．【分析】观察函数图象得到当x＞1时，函数y＝﹣x+a的图象都在y＝bx﹣4的图象下方，所以不等式﹣x+a＜bx﹣4的解集为x＞1；【解答】解：当x＞1时，函数y＝﹣x+a的图象都在y＝bx﹣4的图象下方，所以不等式﹣x+a＜bx﹣4的解集为x＞1；故答案为x＞1．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．14．【分析】直接利用一次函数的性质结合经过象限的特点分析得出答案．【解答】解：若k＞0，则一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限，故b＞0，则说明此命题错误时，b≤0即可．则这组值可以是k＝2，b＝﹣3（答案不唯一）．故答案为：2，﹣3（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了命题与定理，正确掌握一次函数的性质是解题关键．15．【分析】延长CA交⊙A于F，连接BF，作AH⊥BC于H，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出BF，根据垂径定理得到CH＝HB，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：延长CA交⊙A于F，连接BF，作AH⊥BC于H，∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠BAF＝∠DAE，∴＝，∴BF＝DE＝5，∵AH⊥BC，∴CH＝HB，又CA＝AF，∴AH＝BF＝，故答案为：．【点评】本题考查的是垂径定理、三角形中位线定理、圆心角、弧、弦之间的关系，掌握垂径定理、三角形中位线定理是解题的关键．16．【分析】①看横坐标比纵坐标大的有几个同学；②看甲、乙两位同学哪个的气泡大．【解答】①在5位同学中，有3个同学横的横坐标比纵坐标大，所以有3位同学第一次成绩比第二次成绩高；故答案为：3；②在甲、乙两位同学中，甲的气泡大，所以第三次成绩高的是甲．故答案为：甲．【点评】考查了象形统计图，象形统计图是人们描述数据常用的一种方法，其类型较多，其中用所统计的物体的象形图形来表示的一类统计图叫做象形统计图．解题的关键是得出每个象形符号代表什么．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可．【解答】解：（1）四边形ABEF为所求作的菱形．（2）∵AF＝AB，BE＝AB，∴AF＝BE，在▱ABCD中，AD∥BC．即AF∥BE．∴四边形ABEF为平行四边形．∵AF＝AB，∴四边形ABEF为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形．）故答案为：AF，BE，邻边相等的平行四边形是菱形．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．【分析】直接利用负指数幂的性质、绝对值的意义、零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1+﹣1+2﹣，＝2．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．19．【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．【解答】解：去分母得：2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≥6，4x﹣2﹣15x﹣3≥6，﹣11x≥11，x≤﹣1，在数轴上表示不等式的解集为：．【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，能求出不等式的解集是解此题的关键，难度适中．20．【分析】（1）根据判别式△＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2≥0即可得；（2）因式分解法得出x1＝1，x2＝m﹣1，由方程有一个根大于3知m﹣1＞3，解之可得．【解答】（1）证明：依题意，得△＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2≥0，∵（m﹣2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）x2﹣mx+m﹣1＝0，（x﹣1）（x﹣m+1）＝0，∴x1＝1，x2＝m﹣1，∵方程有一个根大于3，∴m﹣1＞3，∴m＞4．∴m的取值范围是m＞4．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．21．【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．（2）证明△AEF∽△BCF，推出＝＝，由此即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形AEBD是矩形．（2）解：∵四边形AEBD是矩形，∴∠AEB＝90°，∵∠ABE＝30°，AE＝2，∴BE＝2，BC＝4，∴EC＝2，∵AE∥BC，∴△AEF∽△BCF，∴＝＝，∴EF＝EC＝．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）分两种情形①当点B在第四象限时，作AE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，由AE∥PF，得到＝＝3，推出BF＝1，②当点B在第一象限时，作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，由AE∥BF，得＝＝3，推出BF＝1，由此即可解决问题．【解答】解：（1）把点A（m，3）的再把代入y＝得到m＝2，再把A（2，3）的再把代入y＝kx+2，3＝2k+2，解得k＝，所以m＝2，k＝．（2）①当点P在第三象限时，如图1，作AE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，∵AE∥PF，∴＝＝3，∴＝3，∴PF＝1，∴P（﹣6，﹣1）．②当点P在第一象限时，如图2，作AE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，∵AE∥PF，∴＝＝3，∴＝3，∴PF＝1，∴P（6，1），综上所述，满足条件的点P坐标为（﹣6，﹣1）或（6，1）．【点评】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用分类退了的思想思考问题，属于中考常考题型．23．【分析】（1）由抽样调查的概念求解可得；（2）根据频率＝频数÷总数求解可得；（3）根据以上所求结果补全图形；（4）总人数乘以样本中对应部分的频率和即可得．【解答】解：（1）这里采用的调查方式是抽样调查，故答案为：抽样调查；（2）c＝25÷0.05＝500，a＝85÷500＝0.17，b＝500×0.1＝50，故答案为：0.17，50，500；（3）补全直方图如下：（4）五一假期中平均每天参观时间小于4小时的游客约有8×（0.05+0.17+0.32）＝4.32（万人）．【点评】本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是掌握频率＝频数÷总数及样本估计总体思想的运用．24．【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理可知∠AOC＝2∠ABC＝90°，利用平行线的性质即可求出∠OAD＝90°，从而可知AD是⊙O的切线；（2）过C作CE⊥AB于E，根据勾股定理得到AC＝5，根据三角函数的定义得到CE＝3，AE＝4，于是得到结论．【解答】解：（1）连接OA，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COA＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；（2）过C作CE⊥AB于E，∵∠AOC＝90°，AO＝OC＝，∴AC＝5，∵∠AEC＝90°，∴sin∠CAE＝＝，∴CE＝3，AE＝4，∵∠CEB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BCE＝45°，∴CE＝BE＝3，∴AB＝AE+BE＝7．【点评】本题考查了勾股定理，圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．25．【分析】（1）如图1，x＝5时，点B在B′处，x＝7时，点B在B处，此时，B′C′＝BC，则y＝S△ABC＝S△AB′C′，即可求解；（2）依据表格数据描点即可；（3）从图象可以看出，当△ABC的面积为8cm2时，AB的长度约为5.43或8.30．【解答】解：（1）如图1，x＝5时，点B在B′处，x＝7时，点B在B处，此时，B′C′＝BC，则y＝S△ABC＝S△AB′C′＝9.898≈9.9，故答案为9.9；（2）图象如下图所示：（3）从图象可以看出，当△ABC的面积为8cm2时，AB的长度约为5.43或8.30，故答案为：5.43或8.30．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，主要是通过已知点数据，确定确定未知点数据，再描绘图象，从图象查看相关数据．26．【分析】（1）化成顶点式即可求得；（2）根据题意求得OC＝3，即可得到m2﹣1＝3，从而求得m＝2；（3）将点A（2k，0），B（0，k），代入抛物线，此时时抛物线与线段刚相交的时候，k 在此范围内即可使抛物线与线段AB有且只有一个公共点．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（m，﹣1）；（2）由对称性可知，点C到直线y＝﹣1的距离为4，∴OC＝3，∴m2﹣1＝3，∵m＞0，∴m＝2；（3）∵m＝2，∴抛物线为y＝x2﹣4x+3，当抛物线经过点A（2k，0）时，k＝或k＝；当抛物线经过点B（0，k）时，k＝3；∵线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点，∴≤k＜或k＞3．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，数形结合解题是解决本题的关键．27．【分析】（1）由等边三角形的性质和旋转的性质可得∠DAB＝∠CAE，AB＝AC，AD＝AE，即可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE；（2）过点C作CG∥BP，交EF的延长线于点G，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得CG＝BD，∠BDG＝∠G，∠BFD＝∠GFC，可证△BFD≌△CFG，可得结论；（3）由题意可证点A，点F，点C，点E四点在以AC为直径的圆上，由直径是圆的最大弦可得EF的最大值．【解答】证明：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°∴△ADE是等边三角形∵△ABC为等边三角形∴AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝60°∴∠DAB＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE∴△ADB≌△AEC（SAS）∴BD＝CE（2）如图，过点C作CG∥BP，交EF的延长线于点G，∵∠ADB＝90°，∠ADE＝60°∴∠BDG＝30°∵CG∥BP∴∠G＝∠BDG＝30°，∵△ADB≌△AEC∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝90°∴∠GEC＝∠AEC﹣∠AED＝30°∴∠G＝∠GEC＝30°∴GC＝CE，∴CG＝BD，且∠BDG＝∠G，∠BFD＝∠GFC∴△BFD≌△CFG（AAS）∴BF＝FC∴点F是BC中点（3）如图，连接AF，∵△ABC是等边三角形，BF＝FC∴AF⊥BC∴∠AFC＝90°∴∠AFC＝∠AEC＝90°∴点A，点F，点C，点E四点在以AC为直径的圆上，∴EF最大为直径，即最大值为1【点评】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．28．【分析】（1）如图1中，作OH⊥AB于H．求出OH即可解决问题．（2）如图2中，作TH⊥AB于H，交⊙T于D．分两种情形求出d（⊙T，直线AB）＝1时，点T的坐标即可．（3）当直线经过点D（2﹣，0）与直线AB平行时，此时两直线之间的距离为1，该直线的解析式为y＝﹣x+2﹣，求出直线y＝kx经过点E，点F时，k的值即可．【解答】解：（1）如图1中，作OH⊥AB于H．∵A（2，0），B（0，2），∴OA＝OB＝2，AB＝2，∵×OA×OB＝×AB×OH，∴OH＝，∴d（点O，直线AB）；（2）如图2中，作TH⊥AB于H，交⊙T于D．当d（⊙T，直线AB）＝1时，DH＝1，∴TH＝2，AT＝2，∴OT＝2﹣2，∴T（2﹣2，0），根据对称性可知，当⊙T在直线AB的右边，满足d（⊙T，直线AB）＝1时，T（2+2，0），∴满足条件的t的值为2﹣2≤t．（3）如图3中，当直线经过点D（2﹣，0）与直线AB平行时，此时两直线之间的距离为1，该直线的解析式为y＝﹣x+2﹣，当直线y＝kx经过E（1，1﹣）时，k＝1﹣，当直线y＝kx经过F（﹣1，3﹣），k＝﹣3+，综上所述，满足条件的k的值为﹣3+或1﹣．【点评】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，图形P和直线AB之间的“确定距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。
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课时54 推理与证明模拟训练（分值：60分建议用时：30分钟）1．（2018·福建厦门外国语学校11月月考试题,5分）下面哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较合适( )A．三角形B．平行四边形C．梯形D．矩形【答案】B【解析】因为平行六面体的侧面和底面都是平行四边形，故选B.【失分点分析】类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法.例如分式与分数类比、平面几何与立体几何的某些对象类比等.当然类比时有可能出现错误，如：在平面内，直线a、b、c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c；在空间内，三个平面α、β、γ，若α⊥β,β⊥γ，但α与γ之间可能平行，也可能相交.2．(2018·山东潍坊模拟,5分)若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)则P、Q的大小关系是( )A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值确定【答案】C3．（2018·湖北孝感高三上学期第一次统考,5分）在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提．其中正确的命题是( ) A．①②B．②④C．①③D．②③【解析】大前提是增函数的定义，小前提是函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义．【答案】C[知识拓展]三段论推理的依据用集合论的观点讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提,它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起,揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断：结论.4．(2018·浙江五校联考,5分) 如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点．一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点．该青蛙从5这点跳起，经2012次跳后它将停在的点是( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】a n表示青蛙第n次跳后所在的点数，则a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝1，a5＝2，a6＝4，…，显然{a n}是一个周期为3的数列，故a2012＝a2＝2.5．(2018··皖南八校联考,5分)为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈(0,1)(i＝0,1,2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )A．11010 B．01100C．10111 D．00011【答案】C6．(2018·北京宣武二模,5分)如图，一个质点在第一象限运动，在第一秒钟它由原点运动到点(0,1)，而后按图所示在与x轴、y轴平行的方向运动，且每秒移动一个单位长度，那么经过2000秒后，这个质点所处的位置的坐标是( )A．(24,24) B．(24,44)C．(44,24) D．(44,44)【答案】C【解析】第一、二、三、…个正方形边长分别是1,2,3，…，故走完第一、二、三、…个正方形分别用时3,5,7，…秒．由3＋5＋7＋…＋(2n＋1)<2000，∴n<44.走完前43个正方形共用时3＋5＋7＋…＋87＝1935(秒)，此时动点坐标为(0,43)．再走65秒后，动点坐标为(44,24)．7．(2018·菏泽市二模,5分)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n(n ∈N *)，则a 3＝________，a 1·a 2·a 3·…·a 2012＝________.【答案】－1218．（2018·四川武胜高三第一次联考,5分）若三角形内切圆的半径为r ，三边长为a 、b 、c ，则三角形的面积等于S ＝12r (a ＋b ＋c )，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别是S 1、S 2、S 3、S 4，则四面体的体积V ＝________.【答案】13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4) 【解析】找出它们的相似可比性和对应关系，即可得答案．9．(2018·浙江五校联考,5分) 已知等式：sin 25°＋cos 235°＋sin5°cos35°＝34； sin 215°＋cos 245°＋sin15°cos45°＝34； sin 230°＋cos 260°＋sin30°cos60°＝34；…. 由此可归纳出对任意角度θ都成立的一个等式，并予以证明．证明：归纳已知可得：sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°)＝34.证明如下：∵sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°)＝sin 2θ＋⎝⎛⎭⎪⎫32cos θ－12sin θ2＋sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ－12sin θ ＝sin 2θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ－12sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ＋12sin θ ＝sin 2θ＋34cos 2θ－14sin 2θ＝34. ∴等式成立．12．（5分）已知命题：若数列{an }为等差数列，且am ＝a ，an ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，则am ＋n ＝bn －am n －m；现已知等比数列{bn }(bn >0，n ∈N *)，bm ＝a ，bn ＝b (m ≠n ，m 、n ∈N *)，若类比上述结论，则可得到bm ＋n ＝________. 【答案】n －m b na m。
北师大版2020年高考数学一轮复习课时作业59坐标系文含解析2
6
2
∴曲线
C2
的极坐标方程为
ρ2
6 ＝1＋2sin2θA.
E
(2)∵M( A
3EA，0)，N(0,1)，PA 23，21EA.
E
π
∴OP 的极坐标方程为 θ＝ ，
6A
A
E
把
π θ＝ 代入
6
ρsinθ＋π6 ＝
3 ，得 2
ρ1＝1，P1，π6 .
把
π θ＝ 代入
6
ρ2＝1＋2s6in2θ，得
E
|OA|＝|OD|cosAπ4 －θE A
或|OA|＝|OD|cosAθ－π4 E
.
A
E
E
所以圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ－π4 .
(2)由
ρsinθ＋π4 E
＝1，得
A
A
2 ρ(sin
2A
θ＋cos
θ)＝1，
E
E
E
∴直线 l 的直角坐标方程为 x＋y－ 2＝0，
＝－
A
A
3 与极
2A
E
E
E
E
轴的交点，求圆 C 的极坐标方程．
[解]
在
ρsinAθ－π3 E A＝－A
3 中，
2A
E
E
E
令 θ＝0，得 ρ＝1，
所以圆 C 的圆心坐标为(1,0)．
因为圆 C 经过点 P 2，π4 ，
所以圆 C 的半径|PC|＝
22＋12－2×1×
π 2cos ＝1，于是圆 C 过极点，所以圆
不管过去如何，过去的已经过去，最好的总在未来等着你。
有时候你必须跳出窗外，然后在坠落的过程中长出翅膀。
(黄冈名师)2020版高考数学大一轮复习滚动评估检测(二)理(含解析)新人教A版
滚动评估检测(二)(第一至第五章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2019·南宁模拟)已知集合A={x|x2-1<0},B=,则A∩B= ( )A.(-1,1)B.(1,+∞)C. D.【解题指南】求出集合A和B,由此求出A∩B.【解析】选D.A={x|x2-1<0}={x|-1<x<1},B=,所以A∩B=.2.(2018·德州模拟)“<1”是“>1”的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由题意得,根据<1,解得x>0,又由>1,解得0<x<1,所以“<1”是“>1”的必要不充分条件.【变式备选】“若x=0或x=1,则x2-x=0”的否命题为( )A.若x=0或x=1,则x2-x≠0B.若x2-x=0,则x=0或x=1C.若x≠0或x≠1,则x2-x≠0D.若x≠0且x≠1,则x2-x≠0【解析】选D.“若x=0或x=1,则x2-x=0”的否命题为:若x≠0且x≠1,则x2-x≠0.3.已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,),若(a-2 b)⊥c,则k等于( )A.2B.2C.-3D.1【解析】选C.因为(a-2 b)⊥c, a-2 b =(,3),所以k+3=0,k=-3.4.设a=,b=,c=ln,则( )A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c【解析】选B.由<1可得c=ln<0,由题意可得a>0,b>0,又因为函数f(x)=在区间(0,e)上单调递增,故f>f,即:>,则ln>ln,据此有:ln>ln,结合对数函数的单调性有:>,即a>b,综上可得:a>b>c.5.已知点P(-4,-3m)在角α的终边上,且sin α=,则cos的值为( )A.-B.-C.-D.-【解析】选A.由题意可得x=-4,y=-3m,r=,所以sin α===,y>0,解得m=-1或1(舍去),所以x=-4,y=3,r=5,cos α==-,cos=cos αcos-sin αsin=×-×=-.6.(2019·广安模拟)“函数y=lncos x的图象是( )【解析】选B.由题意得f(-x)=lncos(-x)=lncos x=f(x),所以函数f(x)是偶函数,所以图象关于y轴对称,所以排除A,C.由题得f=ln<0,所以排除D.7.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,2=+,且||=||,则向量在向量方向上的投影为( )A. B.- C.- D.【解析】选D.由题意可得:(-)+(-)=0,即+=0,=-,即外接圆的圆心O为边BC的中点,则△ABC是以BC为斜边的直角三角形,结合||=||=1,则∠ACB=,|CA|=,则向量在向量方向上的投影为||cos=×=.8.已知cos=,则cos 2α= ( )A. B.-C. D.-【解析】选B.由题意结合诱导公式可得:sin α=cos=,则cos 2α=1-2sin2α=1-2×=-.9.已知函数f(x)=+cos x,下列说法中正确的个数为( )①f(x)在上是减函数;②f(x)在(0,π)上的最小值是;③f(x)在(0,2π)上有两个零点.A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选C.f′(x)=--sin x,当x∈时,f′(x)<0,故f(x)在上是减函数,①正确;f=<,故②错误;由y=和y=-cos x的函数图象可知在(0,2π)上有两个交点,所以f(x)在(0,2π)上有两个零点,③正确.10.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1+x)=f(1-x),f(4+x)=f(4-x),且-3<x≤3时,f(x)=ln(x+),则f(2 018)= ( )A.0B.1C.ln(-2)D.ln(+2)【解析】选D.因为f(1+x)=f(1-x),f(4+x)=f(4-x),所以f(x)=f(2-x),f(x)=f(8-x),所以f(2-x)=f(8-x),所以T=8-2=6,所以f(2 018)=f(2)=ln(2+).11.将函数f(x)=cos+(ω>0)的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在上为增函数,则ω的最大值为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.f(x)=cos+=sin ωx-2×+=sin ωx-cos ωx=2sin ,将f(x)的图象向左平移个单位,得y=2sin的图象,所以函数y=g(x)=2sin ωx.又y=g(x)在上为增函数,所以≥,即≥,解得ω≤2.所以ω的最大值为2.【变式备选】在△ABC中,a=1,b=,A=,则角B等于()A.或B.C.D.【解析】选A.因为a=1,b=,A=,所以由正弦定理得:=.则sin B===,又因为0<B<π,b>a,所以B=或.12.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且对任意的实数x都有f′(x)= e-x(2x+3)-f(x)(e是自然对数的底数),且f(0)=1,若关于x的不等式f(x)-m<0的解集中恰有两个整数,则实数m的取值范围是( )A.(-e,0]B.[-e2,0)C.[-e,0)D.(-e2,0]【解析】选A.由题意可知,[f(x)+f′(x)]e x=2x+3,即[f(x)e x]′=2x+3,所以f(x)e x=x2+3x+C,由f(0)=1⇒C=1,所以f(x)=(x2+3x+1)e-x,由f(x)可以知道f′(x)=-e-x(x2+x-2),f(x)在(-∞,-2),(1,+∞)上递减,在(-2,1)上递增,所以f(x)有极小值f(-2),f(-2)=-e2,f(-1)=-e,f(-3)=e3,且x>1时,f(x)>0,结合f(x)的图象,要使关于x的不等式f(x)-m<0的解集中恰有两个整数,则f(-1)<m≤0,即-e<m≤0,所以实数m的取值范围是(-e,0].二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c, b∥c,则|a+ b|= _____.【解析】由题意可得: a·c =2x-4=0,所以x=2,因为b∥c,所以=,y=-2,故a=(2,1), b =(1,-2),a+ b =(3,-1),据此可得:| a+ b |==.答案:14.若函数f(x)=的值域为R,则a的取值范围是________.【解析】因为f(x)=log4x在x>2的值域为,要使值域为R,x+a最大值必须大于等于,即满足2+a≥,解得:a≥-.答案:a≥-15.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=1-log2x,则不等式f(x)<0的解集是________.【解析】由题意得,f(x)<0等价于或即或解得x>2或-2<x<0,所以不等式的解集是(-2,0)∪(2,+∞).答案:(-2,0)∪(2,+∞)【变式备选】若f(x)=ln(e x+1)+kx是偶函数,则k=________.【解析】因为f(x)是偶函数,所以f(-1)=f(1),所以ln-k=ln(e+1)+k,k=-,经检验k=-符合题意.答案:-16.对于△ABC,有如下命题:(1)若sin 2A=sin 2B,则△ABC一定为等腰三角形.(2)若sin A=sin B,则△ABC一定为等腰三角形.(3)若sin2A+sin2B+cos2C<1,则△ABC一定为钝角三角形.(4)若tan A+tan B+tan C>0,则△ABC一定为锐角三角形.则其中正确命题的序号是________.(把所有正确的命题序号都填上)【解析】对于命题(1),2A=2B或2A+2B=π,所以△ABC为等腰或直角三角形,不正确;对于命题(2),因为sin A=sin B,由正弦定理可知,a=b,所以该三角形为等腰三角形,正确;对于命题(3)由sin2A+sin2B+cos2C<1可得sin2A+sin2B<sin2C,由正弦定理可得a2+b2<c2,再由余弦定理可得cos C<0,C为钝角,命题(3)正确.(4)因为tan A+tan B=tan (A+B)(1-tan Atan B)=-tan C(1-tan Atan B)所以tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C>0,所以A,B,C全为锐角,命题(4)正确,故其中正确命题的序号是(2)(3)(4).答案:(2)(3)(4)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)计算:(1)-+0.2×.(2)lg25+lg2-lg-log29×log32.【解析】(1)原式=-4-1+×()4=-3.(2)原式=lg2+lg2-lg1-log232×log32=lg(2×2×1)-2×log32=lg1-2=-2=-.18.(12分)已知函数f(x)=lo(x2-2ax+3).(1)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.(2)若f(x)在(-∞,1]内为增函数,求实数a的取值范围.【解析】令u=x2-2ax+3,y=lo u.(1)f(x)的值域为R⇔u=x2-2ax+3能取(0,+∞)的一切值,所以Δ=4a2-12≥0⇒a∈(-∞,-]∪[,+∞).(2)f(x)在(-∞,1]内为增函数⇔u=x2-2ax+3在(-∞,1]内单调递减且恒正,所以⇒⇒a∈[1,2).19.(12分)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2cos2+sin 2A=1.(1)求A.(2)设a=2-2,△ABC的面积为2,求b+c的值.【解析】(1)因为2cos2+sin 2A=1,所以1+cos(B+C)+sin 2A=1,所以cos(B+C)+sin 2A=0,所以-cos A+2sin Acos A=0,又因为△ABC为锐角三角形,所以sin A=,所以A=30°.(2)因为S=bcsin A=2,所以bc=8,又因为a2=b2+c2-2bccos A,所以12+4-8=b2+c2-8,所以b2+c2=16,故b+c===4.20.(12分)函数f(x)=2x-的定义域为(0,1](a∈R).(1)当a=-1时,求函数y=f(x)的值域.(2)若函数y=f(x)在定义域上是减函数,求a的取值范围.(3)求函数y=f(x)在定义域上的最大值及最小值,并求出函数取最值时x的值.【解析】(1)函数y=f(x)=2x+≥2,当且仅当x=时取等号,所以函数y=f(x)的值域为[2,+∞).(2)若函数y=f(x)在定义域上是减函数,则任取x1,x2∈(0,1]且x1<x2都有f(x1)>f(x2)成立,即(x1-x2)>0,只要a<-2x1x2即可,由x1,x2∈(0,1],故-2x1x2∈(-2,0),所以a≤-2,故a的取值范围是(-∞,-2].(3)当a≥0时,函数y=f(x)在(0,1]上单调递增,无最小值,当x=1时取得最大值2-a;由(2)得当a≤-2时,y=f(x)在(0,1]上单调递减,无最大值,当x=1时取得最小值2-a;当-2<a<0时,函数y=f(x)在上单调递减,在上单调递增,无最大值,当x=时取得最小值2.【变式备选】已知定义在实数集R上的奇函数f(x),当x∈(0,1)时,f(x)=.(1)求函数f(x)在(-1,1)上的解析式.(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性.(3)当λ取何值时,方程f(x)=λ在(-1,1)上有实数解?【解析】(1)因为f(x)是x∈R上的奇函数,所以f(0)=0,设x∈(-1,0),则-x∈(0,1),因为f(-x)===-f(x),所以x∈(-1,0)时,f(x)=-,所以f(x)=(2)设0<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)==, 因为0<x1<x2<1,所以<,>20=1,所以f(x1)-f(x2)>0,所以f(x)在(0,1)上为减函数.(3)当x∈(0,1)时,因为f(x)在(0,1)上为减函数,所以f(1)<f(x)<f(0),即f(x)∈,同理,x∈(-1,0)时,f(x)∈,又f(0)=0,所以当λ∈或或λ=0时方程f(x)=λ在(-1,1)上有实数解.21.(12分)已知f(x)=-x2-3,g(x)=2xlnx-ax且函数f(x)与g(x)在x=1处的切线平行.(1)求函数g(x)在(1,g(1))处的切线方程.(2)当x∈(0,+∞)时,g(x)-f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)f′(x)=-2x,g′(x)=2lnx+2-a,因为函数f(x)与g(x)在x=1处的切线平行,所以f′(1)=g′(1),解得a=4,所以g(1)=-4,g′(1)=-2,所以函数g(x)在(1,g(1))处的切线方程为2x+y+2=0.(2)当x∈(0,+∞)时,由g(x)-f(x)≥0恒成立得2xlnx-ax+x2+3≥0,即a≤2lnx+x+恒成立, 设h(x)=2lnx+x+(x>0),则h′(x)==,当x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增,所以h(x)min=h(1)=4,所以a的取值范围为(-∞,4].22.(12分)已知函数f(x)=lnx-(1+a)x2-x.(1)讨论函数f(x)的单调性.(2)当a<1时,证明:对任意的x∈(0,+∞),有f(x)<--(1+a)x2-a+1.【解析】(1)由题意得f′(x)=(x>0),当a≠-1时,由f′(x)=0得2(1+a)x2+x-1=0,且Δ=9+8a,当Δ>0时,有x1=,x2=,①当a=-1时,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;②当a>-1时,f(x)在(0,x2)上单调递增,在(x2,+∞)上单调递减;③当a≤-时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;④当-<a<-1时,f(x)在(0,x2)和(x1,+∞)上单调递增,在(x2,x1)上单调递减;(2)当a<1时,要证f(x)<--(1+a)x2-a+1在(0,+∞)上恒成立,只需证lnx-x<--a+1在(0,+∞)上恒成立,令F(x)=lnx-x,g(x)=--a+1,因为F′(x)=-1,易得F(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故F(x)≤F(1)=-1,由g(x)=--a+1,得g′(x)=-=(x>0),当0<x<e时,g′(x)<0;当x>e时,g′(x)>0,所以g(x)≥g(e)=-+1-a,又a<1,所以-+1-a>->-1,即F(x)max<g(x)min,所以lnx-x<--a+1在(0,+∞)上恒成立, 故当a<1时,对任意的x∈(0,+∞),f(x)<--(1+a)x2-a+1恒成立.【变式备选】已知函数f(x)=ln-ax.(1)讨论f(x)的单调性.(2)当x∈(0,1)时,e ax-e-ax<,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为>0.所以-1<x<1,f′(x)=-a,因为-1<x<1,所以f′(x)≥2-a,①当a≤2时,f′(x)≥0,所以f(x)在(-1,1)上单调递增;②当a>2时,f′(x)<0⇒x∈,所以f(x)在上单调递减;所以f(x)在,上单调递增.(2)①当a≤2时,由(1)知f(x)在(-1,1)上单调递增;所以x∈(0,1)时,f(x)>f(0)=0,即有:ln>ax,ln<-ax,从而可得:>e ax,<e-ax,所以e ax-e-ax<.②当a>2时,由(1)知f(x)在上单调递减,所以x∈时,f(x)<f(0)=0,即有:ln<ax,ln>-ax,从而可得:<e ax,>e-ax,所以e ax-e-ax>,不合题意,舍去.综上所述,实数a的取值范围为a≤2.。
2020版高考数学人教A(理)必刷滚动检测卷(规范卷)全辑(有解析)滚动检测七(1～12章)(规范卷)
滚动检测七(1～12章)(规范卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{x |(x ＋3)(x －6)≥0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2x ≤14，则(∁R A )∩B 等于( ) A ．(－3,6) B ．[6，＋∞)C ．(－3，－2]D ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)答案 C解析 因为A ＝{x |(x ＋3)(x －6)≥0} ＝{x |x ≤－3或x ≥6}, 所以∁R A ＝{x |－3<x <6}，又因为B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x ≤14 ＝{x |x ≤－2}，所以(∁R A )∩B ＝{x |－3<x ≤－2}＝(－3，－2]，故选C.2．已知直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，则“a ＝5”是“OA →·OB →＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋a ＝0，x 2＋y 2＝2，化为5y 2－4ay ＋a 2－2＝0，∴Δ＝16a 2－20(a 2－2)>0，解得－10<a <10， ∴y 1＋y 2＝4a5，y 1y 2＝a 2－25，OA →·OB →＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0， ∴(2y 1－a )(2y 2－a )＋y 1y 2＝0，∴5y 1y 2－2a (y 1＋y 2)＋a 2＝0， ∴5×a 2－25－2a ×4a 5＋a 2＝0，解得a ＝±5，则“a ＝5”是“OA →·OB →＝0”的充分不必要条件，故选A.3．已知定义域为R 的奇函数f (x )，当x >0时，满足f (x )＝⎩⎨⎧－log 2(7－2x )，0<x ≤32，f (x －3)，x >32，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)等于( ) A ．log 25 B ．－log 25 C ．－2 D ．0答案 B解析 由已知，f (1)＝－log 25, f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝log 25， f (3)＝f (0)＝0，f (4)＝f (1)＝－log 25， f (5)＝log 25，f (6)＝0，f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝673×(－log 25＋log 25＋0)－log 25＝－log 25.4．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( ) A.2π15 B.3π20 C ．1－2π15D ．1－3π20答案 C解析 直角三角形的斜边长为52＋122＝13，设内切圆的半径为r ，则5－r ＋12－r ＝13，解得r ＝2， ∴内切圆的面积为πr 2＝4π，∴豆子落在其内切圆外部的概率是P ＝1－4π12×5×12＝1－2π15，故选C.5．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6,3a 4，－a 5成等差数列，则S 4S 2等于( ) A ．3 B ．9 C ．10 D ．13 答案 C解析 设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ，q >0， ∵满足a 6,3a 4，－a 5成等差数列， ∴6a 4＝a 6－a 5，∴6a 4＝a 4(q 2－q )，q >0， ∴q 2－q －6＝0，q >0，解得q ＝3， 则S 4S 2＝a 1(34－1)3－1a 1(32－1)3－1＝10，故选C. 6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据，根据下表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35，则下列结论错误的是( )A.线性回归直线一定过点(4.5,3.5) B ．产品的生产能耗与产量呈正相关 C ．t 的取值是 3.15D ．A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨 答案 C解析 由x ＝184＝4.5，故A 正确；又由线性回归的知识可知D ，B 是正确的，故选C.7．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎫2x ＋π3图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π12个单位得到函数g (x )的图象，在g (x )图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为( ) A ．x ＝－π24B ．x ＝π4C ．x ＝5π24D ．x ＝π12答案 A解析 g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3，由4x ＋2π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝k π4－π24，k ∈Z ，当k ＝0时，离原点最近的对称轴方程为x ＝－π24，故选A.8．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤4，y ≥a ，目标函数z ＝3x －2y 的最小值为－4，则a 的值是( )A ．1B ．0C ．－1 D.12答案 C解析 作出约束条件所对应的可行域如图中阴影部分(包含边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，y ＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －1，y ＝a ， ∴A (a －1，a )，目标函数z ＝3x －2y 可化为y ＝32x －12z ，平移直线y ＝32x －12z 可知，当直线经过点A 时，截距取最大值，z 取最小值， ∴3(a －1)－2a ＝－4，解得a ＝－1，故选C.9．如图所示的三视图表示的几何体的体积为323，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π答案 C解析 由三视图可得该几何体为底面边长为4和m ，一条侧棱垂直底面的四棱锥，其高为4，则13×4×m ×4＝323，∴m ＝2，将该几何体补成一个长方体，则其外接球半径为R ＝1242＋22＋42＝3, 故这个几何体的外接球的表面积为4πR 2＝36π.10．若抛物线C ：y 2＝2x cos A (其中角A 为△ABC 的一个内角)的准线过点⎝⎛⎭⎫25，4，则cos 2A ＋sin 2A 的值为( )A ．－825 B.85 C.825 D.1－2625答案 A解析 因为抛物线C ：y 2＝2x cos A (其中角A 为△ABC 的一个内角)的准线过点⎝⎛⎭⎫25，4， 所以抛物线C ：y 2＝2x cos A 的准线方程为x ＝25，所以cos A 2＝－25，即cos A ＝－45，因为角A 为△ABC 的一个内角，所以sin A ＝35，cos 2A ＋sin 2A ＝cos 2A ＋2sin A cos A ＝⎝⎛⎭⎫－452＋2×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－825. 故选A.11．设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α； ②若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，则l ∥m ∥n ； ④若α∩β＝m ，β∩γ＝l ，γ∩α＝n ，且n ∥β，则l ∥m . 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 ①正确，②中直线l 与α可能平行也可能在α内，故②错；③中直线l ，m ，n 可能平行还可能相交于一点，故③错；④正确，故选B.12．已知A ，B 是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ex －2a，x ≥a ，f (2a －x )，x <a (其中常数a >0)图象上的两个动点，点P (a,0)，若P A →·PB →的最小值为0，则函数f (x )的最大值为( )A ．－1e 2B ．－1eC ．－e e 2D ．－e e答案 B解析 作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ex －2a，x ≥a ，f (2a －x )，x <a (其中a >0)图象如图所示，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝a 对称， 当x <a 时，f (x )＝f (2a －x )＝－e (2a－x )－2a＝－e －x ，设P A 与f (x )＝－e －x 相切于点A ，设A (x 0，y 0)，∴f ′(x )＝e －x ，∴k AP ＝f ′(x 0)＝e －x 0＝－e －x 0x 0－a ，解得x 0＝a －1，∵此时P A →·PB →取得最小值0，∴P A →⊥PB →， ∴k P A ＝tan 45°＝1，∴e －x 0＝1，∴x 0＝0， ∴a ＝1，∴f (x )max ＝f (1)＝－1e，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知⎝⎛⎭⎫x ＋ax (2x －1)5展开式中的常数项为30，则实数a ＝________. 答案 3解析 ⎝⎛⎭⎫x ＋a x (2x －1)5＝⎝⎛⎭⎫x ＋a x [C 05(2x )5＋…＋C 45(2x )(－1)4＋C 55(－1)5]， ∴展开式中的常数项为a x ·C 45·2x ＝30，解得a ＝3.14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为2，若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为________． 答案 x 28－y 28＝1解析 设双曲线的左焦点F (－c,0)， 离心率e ＝ca ＝2，c ＝2a ，则双曲线为等轴双曲线，即a ＝b ，双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±x ，则经过F 和P (0,4)两点的直线的斜率k ＝4－00＋c ＝4c ＝1，∴c ＝4，a ＝b ＝22，∴双曲线的标准方程为x 28－y 28＝1.15．已知三棱锥A －BCD 中，AB ＝3，AD ＝1，BC ＝4，BD ＝22，当三棱锥A －BCD 的体积最大时，其外接球的体积为________． 答案125π6解析 当BC ⊥平面ABD 时，三棱锥的体积最大， 由于AB ＝3，AD ＝1，BC ＝4，DB ＝22， ∴BD 2＋AD 2＝AB 2，则△ABD 为直角三角形，三棱锥A －BCD 的外接球就是以AD ，BD ，BC 为棱的长方体的外接球， 长方体的体对角线等于外接球的直径， 设外接球的半径为r ，则(2r )2＝42＋(22)2＋1，解得r ＝52，∴球体的体积为V ＝43π⎝⎛⎭⎫523＝125π6.16．数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 020＝________. 答案4 0402 021解析 ∵对任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，且a 1＝1， ∴令m ＝1代入得，都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则a n ＋1－a n ＝n ＋1， ∴n ≥2时，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ， 以上n －1个式子相加可得，a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ＝(n －1)(n ＋2)2， 则a n ＝a 1＋12(n －1)(n ＋2)＝12n (n ＋1)(n ≥2)，当n ＝1时，符合上式， ∴1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 020＝2⎝⎛1－12＋12－13＋…＋12 020⎭⎫－12 021＝2⎝⎛⎭⎫1－12 021＝4 0402 021.三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d (a 1 ∈Z ，d ∈Z )，前n 项的和为S n ，且S 7＝49,24<S 5<26.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项的和为T n ，求T n . 解 (1)由题意得⎩⎨⎧7a 1＋7×62d ＝49，24<5a 1＋5×42d <26，∵a 1∈Z ，d ∈Z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴ a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N *)．(2)∵ 1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝n 2n ＋1. 18．(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos A ＋33a ＝c .(1)求cos B ；(2)如图，D 为△ABC 外一点，若在平面四边形ABCD 中，D ＝2B ，且AD ＝1，CD ＝3，BC ＝6，求AB 的长．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理得 sin B cos A ＋33sin A ＝sin C ，又C ＝π－(A ＋B )， 所以sin B cos A ＋33sin A ＝sin (A ＋B )， 故sin B cos A ＋33sin A ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin A cos B ＝33sin A ， 又A ∈(0，π)，所以sin A ≠0，故cos B ＝33. (2)因为D ＝2B ，所以cos D ＝2cos 2B －1＝－13，又在△ACD 中，AD ＝1，CD ＝3，所以由余弦定理可得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos D ＝1＋9－2×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12， 所以AC ＝23，在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝23，cos B ＝33， 所以由余弦定理可得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ， 即12＝AB 2＋6－2·AB ×6×33，化简得AB 2－22AB －6＝0，解得AB ＝3 2. 故AB 的长为3 2.19．(12分)如图，在三棱锥P －ABC 中，平面P AB ⊥平面ABC, AB ＝6, BC ＝23， AC ＝26， D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且AD ＝2DB, CE ＝2EB, PD ⊥AC .(1)求证： PD ⊥平面ABC ；(2)若P A 与平面ABC 所成的角为π4，求平面P AC 与平面PDE 所成的锐二面角．(1)证明 由题意知AD ＝4，BD ＝2. ∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴∠ACB ＝90°. ∴cos ∠ABC ＝BC AB ＝236＝33.在△BCD 中，由余弦定理得 CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD cos ∠DBC＝4＋12－2×2×23×33＝8. ∴CD ＝2 2.∴CD 2＋AD 2＝AC 2，∴∠CDA ＝90°，∴CD ⊥AB ，又∵平面P AB ⊥平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，CD ⊂平面ABC ， ∴CD ⊥平面P AB ，又PD ⊂ 平面P AB ，∴CD ⊥PD ，又PD ⊥AC, AC ∩CD ＝C ，AC ，CD ⊂平面ABC ， ∴PD ⊥平面ABC .(2)解 由(1)知PD ，CD ，AB 两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，由P A 与平面ABC 所成的角为π4，知PD ＝4，则A (0，－4,0)，C (22，0,0)， B (0,2,0)，P (0,0,4)，∴CB →＝(－22，2,0)，AC →＝(22，4,0)， P A →＝(0，－4，－4)， ∵AD ＝2DB ，CE ＝2EB ， ∴DE ∥AC ，由(1)知AC ⊥BC, PD ⊥平面ABC ， ∴BC ⊥DE ，PD ⊥BC ，∵DE ∩PD ＝D ，DE ，PD ⊂平面PDE ， ∴CB ⊥平面PDE .∴CB →＝(－22，2,0)为平面PDE 的一个法向量． 设平面P AC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥AC →，n ⊥P A →，∴⎩⎨⎧22x ＋4y ＝0，－4y －4z ＝0，令z ＝1，则x ＝2，y ＝－1，∴n ＝(2，－1,1)为平面P AC 的一个法向量．∴|cos 〈n ，CB →〉|＝|n ·CB →||| |n CB →| ＝|－4－2|4·12＝32. 故平面P AC 与平面PDE 所成的锐二面角的余弦值为32， ∴平面P AC 与平面PDE 所成的锐二面角为30°.20．(12分)为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩u 0；(精确到个位)(2)研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布N (u ，σ2)(u ＝u 0，σ约为19.3)，按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%.(ⅰ)估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？(精确到个位) (ⅱ)从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y ，求Y 的分布列及均值E (Y )．(说明：P (X >x 1)＝1－φ⎝⎛⎭⎫x 1－μσ表示X >x 1的概率．参考数据：φ(0.725 7)＝0.6，φ(0.655 4)＝0.4)解 (1)该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为u 0＝65×0.05＋75×0.08＋85×0.12＋95×0.15＋105×0.24＋115×0.18＋125×0.1＋135×0.05＋145×0.03＝103.2≈103.(2)(ⅰ)记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为x 1，根据题意，P (x >x 1)＝1－φ⎝⎛⎭⎫x 1－u σ＝1－φ⎝⎛⎭⎫x 1－10319.3＝0.4，即φ⎝⎛⎭⎫x 1－10319.3＝0.6. 由φ(0.725 7)＝0.6，得x 1－10319.3＝0.725 7， 解得x 1≈117，所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为117分．(ⅱ)因为Y ～B ⎝⎛⎭⎫4，25，所以P (Y ＝i )＝C i 4⎝⎛⎭⎫25i ⎝⎛⎭⎫354－i ，i ＝0,1,2,3,4.所以Y 的分布列为所以E (Y )＝4×25＝85. 21．(12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4.(1)求抛物线C 的方程；(2)设M ，N 是抛物线C 上异于原点O 的两个动点，且满足k OM ·k ON ＝k OA ·k OB ，求△OMN 面积的取值范围．解 (1)不妨设A ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫p 2，－p ， 过A 点切线斜率存在，设为k (k ≠0)，则切线方程为y －p ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，代入y 2＝2px ， 消去x 得ky 2－2py ＋(2－k )p 2＝0，Δ＝4p 2－4k (2－k )p 2＝0，解得k ＝1，∴抛物线C 在A 处的切线斜率为1，由抛物线C 的对称性，知抛物线C 在B 处的切线斜率为－1，抛物线在A 处的切线方程为y －p ＝x －p 2， 令y ＝0，得x ＝－p 2， ∴S ＝12·2p ·p ＝4，解得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由已知可得k OA ·k OB ＝－4,设M ⎝⎛⎭⎫14y 21，y 1，N ⎝⎛⎭⎫14y 22，y 2(y 1y 2≠0)，则k OM ·k ON ＝y 1y 2116y 21·y 22＝－4，∴y 1y 2＝－4. 令直线MN 的方程为x ＝ty ＋n ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝ty ＋n ，消去x 得y 2－4ty －4n ＝0, 则y 1y 2＝－4n ，y 1＋y 2＝4t ，∵y 1y 2＝－4，∴n ＝1.∴直线MN 过定点(1,0)，∴S △OMN ＝12|y 1－y 2|＝12(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1216t 2＋16＝2t 2＋1. ∵t 2≥0，∴S △OMN ≥2.综上所知，△OMN 面积的取值范围是[2，＋∞)．22．(12分)(2018·吉林省长春外国语学校模拟)已知函数f (x )＝ax ＋ln x (a ∈R )．(1)若a ＝2，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝x 2－2x ＋2，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＜g (x 2)，求a 的取值范围．解 (1)由已知得f ′(x )＝2＋1x(x >0)，f ′(1)＝2＋1＝3，f (1)＝2，所以斜率k ＝3， 又切点(1,2)，所以切线方程为y －2＝3(x －1)，即3x －y －1＝0，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处切线的切线方程为3x －y －1＝0.(2)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x(x >0)， ①当a ≥0时，由于x ＞0，故ax ＋1>0，f ′(x )＞0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a ＜0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a. 在区间⎝⎛⎭⎫0，－1a 上，f ′(x )＞0，在区间⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上，f ′(x )<0， 所以，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞. (3)由已知，转化为f (x )max ＜g (x )max .g (x )＝(x －1)2＋1，x ∈[0,1]，所以g (x )max ＝2，由(2)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意．当a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减， 故f (x )的极大值即为最大值，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1－ln(－a )， 所以2>－1－ln(－a )，解得a <－1e3.。
2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测五十九二项式定理含解析
课时跟踪检测（五十九） 二项式定理[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5D ．20解析：选A 由二项展开式的通项可得，第四项T 4＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2(－2y )3＝－20x 2y 3，故x 2y 3的系数为－20，选A.2．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 210的展开式中的常数项是( )A ．180B ．90C ．45D ．360解析：选A ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 210的展开式的通项为T k ＋1＝C k 10·(x )10－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2k ＝2k C k10，令5－52k ＝0，得k ＝2，故常数项为22C 210＝180.3．在(1＋x )n(x ∈N *)的二项展开式中，若只有x 5的系数最大，则n ＝( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11解析：选C 二项式中仅x 5项系数最大，其最大值必为C n2n ，即得n2＝5，解得n ＝10.4．(2019·东北三校联考)若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝( )A ．0B ．1C ．32D ．－1解析：选A 由(1－x )5的展开式的通项T r ＋1＝C r5(－x )r＝C r5(－1)r x r，可知a 1，a 3，a 5都小于0.则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.在原二项展开式中令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝0.故选A.5．(2019·广西阳朔中学月考)(x －y )(x ＋2y ＋z )6的展开式中，x 2y 3z 2的系数为( ) A ．－30 B ．120 C ．240D ．420解析：选B [(x ＋2y )＋z ]6的展开式中含z 2的项为C 26(x ＋2y )4z 2，(x ＋2y )4的展开式中xy 3项的系数为C 34×23，x 2y 2项的系数为C 24×22，∴(x －y )(x ＋2y ＋z )6的展开式中x 2y 3z 2的系数为C 26C 34×23－C 26C 24×22＝480－360＝120，故选B.6．(2019·太原模拟)在多项式(1＋2x )6(1＋y )5的展开式中，xy 3的系数为________．解析：因为二项式(1＋2x )6的展开式中含x 的项的系数为2C 16，二项式(1＋y )5的展开式中含y 3的项的系数为C 35，所以在多项式(1＋2x )6(1＋y )5的展开式中，xy 3的系数为2C 16C 35＝120.答案：120[B 级 保分题——准做快做达标]1．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 展开式中的第5项是常数，则自然数n 的值为( )A ．6B ．10C ．12D ．15解析：选C 由二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 展开式的第5项C 4n (x )n －4⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 4＝是常数项，可得n2－6＝0，解得n ＝12.2．(2019·新乡模拟)(1－3x )7的展开式的第4项的系数为( ) A ．－27C 37 B ．－81C 47 C ．27C 37D ．81C 47解析：选A (1－3x )7的展开式的第4项为T 3＋1＝C 37×17－3×(－3x )3＝－27C 37x 3，其系数为－27C 37，选A.3．(2019·益阳、湘潭高三调考)若(1－3x )2 018＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 018x 2 018，x ∈R ，则a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018的值为( )A ．22 018－1 B ．82 018－1C ．22 018D ．82 018解析：选B 由已知，令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝3，得a 0＋a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018＝(1－9)2 018＝82 018，所以a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018＝82 018－a 0＝82 018－1，故选B.4．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为( )A ．6B ．9C ．12D ．18解析：选B 在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，令x ＝1得各项系数之和为4n ，即A ＝4n，二项展开式中的二项式系数之和为2n ，即B ＝2n .∵A ＋B ＝72，∴4n ＋2n＝72，解得n ＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x 3的展开式的通项为T r ＋1＝C r 3(x )3－r⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝3r C r 3x 3－3r 2，令3－3r 2＝0，得r ＝1，故展开式中的常数项为T 2＝3×C 13＝9，故选B.5．(2019·山西五校联考)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－3x ＋4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 5的展开式中常数项为( ) A ．－30 B ．30 C ．－25D ．25解析：选C ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－3x ＋4x⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 5＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 5－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 5＋4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 5，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(－1)r⎝⎛⎭⎪⎫1x r ，易知当r ＝4或r ＝2时原式有常数项，令r ＝4，T 5＝C 45(－1)4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4，令r ＝2，T 3＝C 25(－1)2·⎝⎛⎭⎪⎫1x 2，故所求常数项为C 45－3×C 25＝5－30＝－25，故选C. 6．(2019·武昌调研)若⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3x n的展开式中所有项系数的绝对值之和为1 024，则该展开式中的常数项为( )A ．－270B ．270C ．－90D ．90解析：选C ⎝⎛⎭⎪⎫3x－3x n 的展开式中所有项系数的绝对值之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3x n的展开式中所有项系数之和．令x ＝1，得4n＝1 024，∴n ＝5.则⎝⎛⎭⎪⎫3x －3x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3x 5，其通项T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 5－r ·(－3x )r ＝C r 5·35－r·(－1)r·，令r －52＋r3＝0，解得r ＝3，∴该展开式中的常数项为T 4＝C 35·32·(－1)3＝－90，故选C.7．(2018·四川双流中学月考)在(x －2)6展开式中，二项式系数的最大值为m ，含x 5项的系数为n ，则nm＝( ) A.53 B ．－53C.35D ．－35解析：选D 因为n ＝6是偶数，所以展开式共有7项，其中中间一项的二项式系数最大，其二项式系数为m ＝C 36＝20，含x 5项的系数为n ＝(－1)C 16×2＝－12，则n m ＝－1220＝－35.故选D.8．(2019·河南师范大学附属中学月考)已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( )A ．39B ．310C ．311D ．312解析：选D 由题意得，因为(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，两边同时求导，可得9(x ＋2)8＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋9a 9x 8，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋9a 9＝310，令x ＝－1，得a 1－2a 2＋3a 3－4a 4＋…＋9a 9＝9，又(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＋6a 6＋7a 7＋8a 8＋9a 9)·(a 1－2a 2＋3a 3－4a 4＋5a 5－6a 6＋7a 7－8a 8＋9a 9)＝310×9＝312.9．(2019·衡水调研)若(x －2y )6的展开式中的二项式系数和为S ，x 2y 4的系数为P ，则PS为( )A.152 B ．154C ．120D ．240解析：选B 由题意知，S ＝C 06＋C 16＋…＋C 66＝26＝64，P ＝C 46(－2)4＝15×16＝240，故P S ＝24064＝154. 故选B.10．(2019·达州期末)已知(3x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n (n ∈N *)，设(3x －1)n展开式的二项式系数和为S n ，T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n (n ∈N *)，S n 与T n 的大小关系是( )A ．S n ＞T nB ．S n ＜T nC ．n 为奇数时，S n ＜T n ，n 为偶数时，S n ＞T nD ．S n ＝T n解析：选C S n ＝2n，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n，令x ＝0，得a 0＝(－1)n，所以T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝S n －a 0＝S n －(－1)n ，所以当n 为偶数时，T n ＝S n －1＜S n ，当n 为奇数时，T n ＝S n ＋1＞S n ，故选C.11．(2019·成都检测)在二项式⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中，若常数项为－10，则a ＝________.解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r×⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝，令10－5r2＝0，得r ＝4，所以C 45a5－4＝－10，解得a ＝－2.答案：－212．(2019·济南模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x 4项的系数为________．解析：因为展开式中各项系数的和为2，所以令x ＝1，得(1－a )×1＝2，解得a ＝－1.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 25－r C r 5x 5－2r ，令5－2r ＝3，得r ＝1，展开式中含x 3项的系数为T 2＝(－1)×24C 15＝－80，令5－2r ＝5，得r ＝0，展开式中含x 5项的系数为T 1＝25C 05＝32，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x ⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中含x 4项的系数为－80＋32＝－48.答案：－4813．(2019·贵阳调研)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x9的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________．解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x9－r⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r ＝a r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，所以a 3C 39＝－84，所以a＝－1，所以二项式为⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 9，令x ＝1，则(1－1)9＝0，所以展开式的各项系数之和为0.答案：014．(2019·天水一中一模)已知(1－2x )5(1＋ax )4的展开式中x 的系数为2，则实数a 的值为________． 解析：因为(1－2x )5的展开式中的常数项为1，x 的系数为C 15×(－2)＝－10；(1＋ax )4的展开式中的常数项为1，x 的系数为C 14·a ＝4a ，所以(1－2x )5(1＋ax )4的展开式中x 的系数为1×4a ＋1×(－10)＝2，所以a ＝3.答案：3。
2020届高考数学总复习课时跟踪练(五十九)用样本估计总体文(含解析)新人教A版(最新整理)
课时跟踪练（五十九)A组基础巩固1．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为［20,40)，［40，60），［60，80)，［80，100］．若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是( ）A．45 B．50 C．55 D．60解析：由频率分布直方图，知低于60分的频率为（0.010＋0。
005）×20＝0。
3.所以该班学生人数n＝错误!＝50.答案:B2．(2017·全国卷Ⅲ）某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据,绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小，变化比较平稳解析:观察2014年的折线图，发现从8月至9月,以及10月开始的三个月接待游客量都是减少的，故A选项是错误的．答案：A3。
（2019·肇庆检测)右面茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（)A．5，8 B．4，9C．6，7 D．3，10解析：由题意根据甲组数据的中位数为15,可得x＝5；乙组数据的平均数为16。
8，则错误!＝16。
8,求得y＝8。
答案:A4．若样本数据x1,x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为( )A．8 B．15C．16 D．32解析：已知样本数据x1,x2，…,x10的标准差为s＝8，则s2＝64，数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差为22s2＝22×64，所以其标准差为错误!＝2×8＝16。
答案：C5．（2019·西宁检测)某班一次测试成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图,根据图中的信息可确定被抽测的人数及分数在［90,100]内的人数分别为( )A．20，2 B．24，4C．25,2 D．25，4解析：由频率分布直方图可得分数在［50,60）内的频率是0。
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题59 几何概型(解析版)
考点59 几何概型1．(2018佛山模拟)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )A ．16.32B ．15.32C ．8.68D ．7.68【答案】A【解析】设椭圆的面积为S ，则S4×6＝300－96300，故S ＝16.32.2．（华大新高考联盟2018届高三上学期11月教学质量测评数学理）在区间[]0,1上随机取两个数,x y ,则事件“221x y +≤”发生的概率为（ ）A ．4πB ．22π- C ．6π D ．44-π【答案】A【解析】在区间[0,1]上随机取两个数,,x y 点(,)x y 构成的区域为边长为1的正方形及其内部，事件“221x y +≤”构成的区域为圆221x y +=及其内部，所以概率2114114P ππ⨯⨯==⨯ 3．(2018辽宁五校联考)若实数k ∈[－3,3]，则k 的值使得过点A (1,1)可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx －2y －54k ＝0相切的概率等于( ) A.12 B ．13C ．14D ．16【答案】D【解析】由点A 在圆外可得k ＜0，由题中方程表示圆可得k ＞－1或k ＜－4，所以－1＜k ＜0，故所求概率为16.故选D. 4．（湖南省2019届高三高考冲刺预测卷六理）最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（ ） A ．140B ．1121C ．1364D ．11093【答案】C 【解析】由题意，可设1,2,3,4,5,6 扇形区域的面积分别为,3,9,27,81,243x x x x x x ，则由几何概型得，消费88 元以上者抽中一等奖的概率1392781243364x P x x x x x x ==+++++ ，故选C. 5．(2018宁夏银川模拟)在正三棱锥S －ABC 内任取一点P ，使得V P －ABC ＜12V S －ABC 的概率是( )A.78 B ．34C ．12D ．14【答案】A【解析】如图，分别取D ，E ，F 为SA ，SB ，SC 的中点，则满足条件的点P 应在棱台DEF －ABC 内，而S △DEF ＝14S △ABC ，∴V S －DEF ＝18V S －ABC . ∴P ＝V DEF －ABC V S －ABC ＝78.故选A.6．（2017届四川省成都市石室中学高三二诊模拟考试数学理）设函数2()log f x x =，在区间(0,5)上随机取一个数x ，则()2f x <的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】D 【解析】由()2f x <,得2log 2x <,即04x <<,根据几何概型的概率公式可得从区间()0,5内随机选取一个实数x ,() 2f x <的概率为404505-=-,故选D. 7．(2018石家庄一模)在区间[0,1]上随意选择两个实数x ，y ，则使x 2＋y 2≤1成立的概率为( ) A.π2 B ．π4C ．π3D ．π5【答案】B【解析】如图所示，试验的全部结果构成正方形区域，使得x 2＋y 2≤1成立的平面区域为以坐标原点O 为圆心，1为半径的圆的14与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成的区域，由几何概型的概率计算公式得，所求概率P＝π41＝π4.故选B.8．（2017届吉林省长春市普通高中高三下学期第二次模拟考试数学理）如图，扇形AOB 的圆心角为120，点P 在弦AB 上，且13AP AB =，延长OP 交弧AB 于点C ，现向扇形AOB 内投一点，则该点落在扇形AOC 内的概率为A ．14B ．13C ．27D ．38【答案】A 【解析】设3OA =，则AB AP ==OP =30AOP ∠=︒，所以扇形AOC 的面积为34π，扇形AOB 的面积为3π，从而所求概率为31434ππ=.故选A.9．(2018湖南十校联考)如图所示，正方形的四个顶点分别为O (0,0)，A (1，0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2经过点B ，现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是()A.12 B ．14C ．13D ．25【答案】C【解析】由题意可知，阴影部分的面积S 阴影＝⎠⎛10x 2dx ＝13x 31＝13，又正方形的面积S ＝1，故质点落在图中阴影区域的概率P ＝131＝13.故选C.10．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）如图，在正方形OABC 内任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分内的概率为（ ）A ．14B ．13 C ．25D ．37【答案】B 【解析】由图可知曲线与正方形在第一象限的交点坐标为（1，1），由定积分的定义可得：S 阴1=⎰（1dx ＝（x 3223x -）101|3=，设“点M 恰好取自阴影部分内”为事件A ， 由几何概型中的面积型可得：P （A ）11313S S ===阴正方形， 故选：B ．11.(2018武汉武昌区调研)在区间[0,1]上随机取一个数x ，则事件“log 0.5(4x －3)≥0”发生的概率为( ), A.34 B ．23C ．13D ．14,【答案】D【解析】因为log 0.5(4x －3)≥0，所以0＜4x －3≤1，即34＜x ≤1，所以所求概率P ＝1－341－0＝14.故选D.,12．（湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟三理）若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为（ ） A ．0.18 B ．0.32C ．0.36D ．0.64【答案】C【解析】设305路车和202路车的进站时间分别为x 、y ，设所有基本事件为:W 010010x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩,“进站时间的间隔不超过2分钟”为事件A ，则{(,)|010,010,||2}A x y x y x y =≤≤≤≤-≤,画出不等式表示的区域如图中阴影区域，则10108836S =⨯-⨯=，则36()0.36100A S P A S Ω===. 选C.13．(2018济南模拟)如图所示，在边长为1的正方形OABC 内任取一点P (x ，y )，则以x ，y,1为边长能构成锐角三角形的概率为(),A.1－π4B ．1－π6C.1－π3D ．π12【答案】A【解析】连接AC ，首先由x ＋y ＞1得构成三角形的点P 在△ABC 内，若构成锐角三角形，则最大边1所对的角α必是锐角，cos α＝x 2＋y 2－122xy ＞0，x 2＋y 2＞1，即点P 在以原点为圆心，1为半径的圆外．∴点P 在边AB ，BC 及圆弧AC 围成的区域内．∴所求概率为12－π4×1212＝1－π4.故选A. 14．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理）阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马P ABCD -中，PC 为阳马P ABCD -中最长的棱，1,2,3AB AD PC ===，若在阳马P ABCD -的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（ ） A ．127πB ．427πC ．827πD ．49π【答案】C 【解析】根据题意，PC的长等于其外接球的直径，因为PC =，∴3=，∴2PA =，又PA ⊥平面ABCD ，所以314431223332P ABCD V V π-⎛⎫=⨯⨯⨯==⨯ ⎪⎝⎭球，， ∴3483274332P ππ==⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.15.(2018重庆检测)在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，所表示的平面区域内随机地取一点P ，则点P 恰好落在第二象限的概率为________． 【答案】29【解析】画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为S △ABC ＝12×3×32＝94，S△AOD＝12×1×1＝12，所以点P 恰好落在第二象限的概率为S △AOD S △ABC ＝1294＝29. 16．（湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学理）如图在圆O 中，AB ，CD 是圆O 互相垂直的两条直径，现分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．1πB ．12πC ．1142π-D ．112π- 【答案】D 【解析】设圆O 的半径为2，阴影部分为8个全等的弓形组成，设每个小弓形的面积为S ,则2112111424S ππ-=⋅-⨯⨯=，圆O 的面积为224ππ⋅=，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是P ，则82411442S P ππππ-===-,故本题选D. 17．(2018邢台摸底考试)有一个底面半径为1，高为3的圆柱，点O 1，O 2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 1，O 2的距离都大于1的概率为________． 【答案】59【解析】由题意知，所求的概率为1－⎝⎛⎭⎫4π3×13÷(π×12×3)＝59. 18．（广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试6月数学理）勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现， 其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为( )ABCD【答案】B 【解析】如图：设2BC =，以B 为圆心的扇形面积是22263ππ⨯=，ABC ∆的面积是12222⨯⨯⨯=所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即2323ππ⨯-=- 所以在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率是= B.19．(2018沈阳模拟)某人家门前挂了两盏灯笼，这两盏灯笼发光的时刻相互独立，且都在通电后的5秒内任意时刻等可能发生，则它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率是________． 【答案】2125【解析】设两盏灯笼通电后发光的时刻分别为x ，y ，则由题意可知0≤x ≤5,0≤y ≤5，它们通电后发光的时刻相差不超过3秒，即|x －y |≤3，做出图形如图所示，根据几何概型的概率计算公式可知，它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率P ＝1－2×12×2×25×5＝2125.20．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学理）如图，在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为()A ．e3B ．43e- C ．33e- D ．13e - 【答案】B【解析】由题意，阴影部分的面积为11=10x xS e dx ee ==-⎰阴影，又矩形OABC 的面积为=3OABC S 矩形，所以在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为4=3OABC OABCS S eP S --=阴影矩形矩形. 故选B21．(2018河南检测)若m ∈(0,3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m )y －3＝0与x 轴，y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为________． 【答案】23【解析】对于直线方程(m ＋2)x ＋(3－m )y －3＝0，令x ＝0，得y ＝33－m ；令y ＝0，得x ＝3m ＋2.由题意可得12·⎪⎪⎪⎪3m ＋2·⎪⎪⎪⎪33－m ＜98，因为m ∈(0,3)，所以解得0＜m ＜2，由几何概型的概率计算公式可得，所求事件的概率是23.22．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）如图，矩形ABCD 满足2BC AB =，E 为BC 的中点，其中曲线为过,,A D E 三点的抛物线.随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A ．16B ．13C ．14D ．24π-【答案】A 【解析】以BC 所在的直线为x 轴，以E 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设1,2AB BC ==，则()()1,01,0B C -，，()()1,11,1A -，D ,过,,A D E 三点抛物线方程为2y x =,阴影部分面积为123111111211233S x dx x--=⨯⨯-='-=⎰,又矩形ABCD 得面积为122ABCD S =⨯=,故点落在阴影部分的概率为11326ABCD S P S '===.故选：A23．(2018云南昆明统测)在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形ABCD ，矩形的一边BC 在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，则该点取自矩形内的最大概率为________．【答案】12【解析】设AD ＝x ，AB ＝y ，则由三角形相似可得x a ＝a －y a，解得y ＝a －x ，所以矩形的面积S ＝xy ＝x (a －x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋a －x 22＝a 24，当且仅当x ＝a －x ，即x ＝a 2时，S 取得最大值a 24，所以该点取自矩形内的最大概率为a 2412×a ×a ＝12. 24．（河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学理）关于圆周率，数学发展史上出现过多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验，受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高二年级n 名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对()(),y 01,01x x y <<<<；②若卡片上的x ，y 能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m ；④根据统计数n ，m 估计π的值.那么可以估计π的值约为（ ）A ．m nB ．n m n -C ．()4n m n -D ．4m n【答案】C【解析】由题意，实数对()(),01,01x y x y <<<<，即面积为1且卡片上的x ，y 能与1构成锐角三角形，即满足221x y +>，且0101x y <<⎧⎨<<⎩ ，所以面积为14π-所以x ，y 能与1构成锐角三角形的概率为：14π- 由题，n 张卡片上交m 张，即4()14m n m n nππ-=-⇒= 故选C。
2020高考数学(理)一轮复习课时作业59二项式定理 含解析
C．14D．84
解析：由二项式系数之和等于128，得2n＝128，解得n＝7.二项展开式的通项Tr＋1＝C (2x2)7－r· r＝27－r(－1)rC x14－3r，令14－3r＝－1，得r＝5，展开式中含 项的系数为27－5×(－1)5×C ＝－84，选A.
答案：A
9．[2019·合肥检测]已知(ax＋b)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与－18，则(ax＋b)6展开式所有项系数之和为()
优解令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝3①；令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝－243②.①＋②，得a0＋a2＋a4＋a6＝－120.又a6＝1×25＝32，所以a0＋a2＋a4＝－152，故选D.
答案：D
7．[2019·洛阳统考]若a＝ sinxdx，则二项式 6的展开式中的常数项为()
答案：－48
答案：B
二、填空题
11．[2018·天津卷]在 5的展开式中，x2的系数为________．
解析：本题主要考查二项展开式特定项的系数．
由题意得Tr＋1＝C x5－r r＝ rC x5－ r，
令5－ ＝2，得r＝2，所以 rC ＝ 2C ＝ .
故x2的系数为 .
答案：
12．[2019·福州四校联考]在(1－x3)(2＋x)6的展开式中，x5的系数是________．(用数字作答)
解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝0，得a0＝1，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1.
答案：－1
[
15．[2019·石家庄检测]若a＝2 (x＋|x|)dx，则在 a的展开式中，x的幂指数不是整数的项共有()
2020版高考数学北师大版(理)一轮复习单元质检卷：八 立体几何(B) Word版含解析
单元质检卷八立体几何(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2018广东化州一模,6)设m,n为两条不同的直线,α为平面,则下列结论正确的是()A.m⊥n,m∥α⇒n⊥αB.m⊥n,m⊥α⇒n∥αC.m∥n,m⊥α⇒n⊥αD.m∥n,m∥α⇒n∥α2.(2019河北唐山摸底,9)已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧),则该几何体的表面积为()A.1-B.3+C.2+D.43.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()A.1B.2C.4D.84.(2019届吉林长春质监一,7)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为()A.1B.C.D.5.已知正三角形ABC的三个顶点都在球心为O、半径为3的球面上,且三棱锥O-ABC的高为2,点D 是线段BC的中点,过点D作球O的截面,则截面积的最小值为()A.B.4πC.D.3π6.如图所示的三棱锥P-ABC中,D是棱PB的中点,已知PA=BC=2,AB=4,CB⊥AB,PA⊥平面ABC,则异面直线PC,AD所成角的余弦值为()A.-B.-C. D.二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2018福建厦门外国语学校模拟,15)已知棱长为1的正方体有一个内切球(如图),E为底面ABCD的中心,A1E与球相交于EF,则EF的长为.8.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AA1=2AB,E为AA1中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2019届河北衡水中学一模,18)在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,AB=2BC=2CD,如图1.以DE为折痕将△ADE折起,使点A到达点P的位置,如图2.图1图2(1)证明:平面BCP⊥平面CEP;(2)若平面DEP⊥平面BCED,求直线DP与平面BCP所成角的正弦值.10.(15分)(2019湖南岳阳一中质检二,18)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=a,∠ABC=60°,平面ACFE⊥平面ABCD,四边形ACFE是矩形,AE=a,点M在线段EF上.(1)求证:BC⊥平面ACFE;(2)当EM为何值时,AM∥平面BDF?证明你的结论;(3)求二面角B-EF-D的平面角的余弦值.11.(15分)(2019届贵州遵义航天高中模拟,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,△PAB为正三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD,E为线段AB的中点,M在线段PD上. (1)当M是线段PD的中点时,求证:PB∥平面ACM;(2)是否存在点M,使二面角M-EC-D的大小为60°,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.参考答案单元质检卷八立体几何(B)1.C对于A,当m⊥n,m∥α时,可能n⫋α或n与α斜交,故A错;对于B,m⊥n,m⊥α⇒n∥α或m⫋α,故B错;对于C,m∥n,m⊥α⇒n⊥α,C正确;对于D,m∥n,m∥α⇒n∥α或m⫋α,故D错;故选C.2.D由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体,底面面积为1×1-π=1-π,底面周长为1+1+π=2+π,柱体的高为1,所以该柱体的表面积为S=2×1-+2+π×1=4.3.B由条件知,该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面圆直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成,其表面积是一个矩形面积、两个半圆面积、圆柱侧面积的一半、球表面积的一半相加所得,所以表面积为S表=2r×2r+2×πr2+πr×2r+×4πr2=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2.4.D如图所示:连接A1D,与AD1交于点O,连接OC1,在正方体中,∵AB⊥平面AD1,∴AB⊥A1D,又A1D⊥AD1,且AD1∩AB=A,∴A1D⊥平面AD1C1B,所以∠A1C1O即为所求角,在Rt△A1C1O中,sin∠A1C1O=,所以A1C1与平面ABC1D1所成角的正弦值为,故选D.5.A设正三角形ABC的中心为O1,连接O1O,O1C,O1D,OD,∵O1是正三角形ABC的中心,A,B,C三点都在球面上,∴O1O⊥平面ABC,结合O1C⫋平面ABC,可得O1O⊥O1C,∵球的半径R=3,O1O=2,∴在Rt△O1OC中,O1C=.又D为BC的中点,∴在Rt△O1DC中,O1D=O1C=.在Rt△OO1D中,OD==.过D作球O的截面,当截面与OD垂直时,截面圆的半径最小,此时截面圆的半径r==,可得截面面积为S=πr2=.故选A.6.D因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥BC.过点A作AE∥CB,又CB⊥AB,则AP,AB,AE两两垂直.如图所示,以A为坐标原点,分别以AB,AE,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(4,0,0),C(4,-2,0).因为D为PB的中点,所以D(2,0,1).故=(-4,2,2),=(2,0,1).所以cos<,>===-.设异面直线PC,AD所成的角为θ,则cos θ=|cos<,>|=.7.设球心O到FE的距离为d,则在△OA1E中,A1E=,OE=.由等面积法可得××=××d,∴d=,∵球的半径为,∴EF=2=.故答案为.8.连接A1B,则∠A1BE是BE与CD1所成的角.设AA1=2AB=2a,则BE=a,A1B=a,则cos∠A1BE==.9.(1)证明在题图1中,因为AB=2BC=2CD,且D为AB的中点.由平面几何知识,得∠ACB=90°.又因为E为AC的中点,所以DE∥BC.在题图2中,CE⊥DE,PE⊥DE,且CE∩PE=E,所以DE⊥平面CEP,所以BC⊥平面CEP.又因为BC⫋平面BCP,所以平面BCP⊥平面CEP.(2)解因为平面DEP⊥平面BCED,平面DEP∩平面BCED=DE,EP⫋平面DEP,EP⊥DE.所以EP⊥平面BCED.又因为CE⫋平面BCED,所以EP⊥CE.以E为坐标原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.在题图1中,设BC=2a,则AB=4a,AC=2a,AE=CE=a,DE=a.则P(0,0,a),D(a,0,0),C(0,a,0),B(2a,a,0).所以=(-a,0,a),=(-2a,0,0),=(0,-a,a).设n= (x,y,z)为平面BCP的法向量,则即令y=1,则z=1.所以n=(0,1,1).设DP与BCP平面所成的角为θ,则sin θ=sin<n,>=|cos<n,>|== =.所以直线DP与平面BCP所成角的正弦值为.10.解 (1)证明:在梯形ABCD中,∵AB∥CD,AD=DC=CB=a,∠ABC=60°,∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90°,∴AC⊥BC,又∵平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,∴BC⊥平面ACFE.(2)当EM=a时,AM∥平面BDF,在梯形ABCD中,设AC∩BD=N,连接FN,则AB==2a,∵△CND∽△ANB,∴CN∶NA=CD∶AB=1∶2.又AC=a,∴AN= a.∵EM=a,而EF=AC=a,∴MF=AN=,MF与AN平行且相等,∴四边形ANFM是平行四边形,∴AM∥NF,又∵NF⫋平面BDF,AM⊈平面BDF,∴AM∥平面BDF.(3)由(1)知CF,CA,CB两两垂直,以点C为原点,CA,CB,CF所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),B(0,a,0),D a,-,0,F(0,0,a),E(a,0,a),∵=(0,a,-a),=(-a,0,0),=-,,a.设平面BEF的法向量m=(x,y,z),则取y=1,则m=(0,1,1).同理可得平面EFD的法向量为n=(0,-2,1),所以cos<m,n>==-.又二面角B-EF-D 的平面角为锐角,所以B-EF-D的平面角的余弦值为.11.解 (1)证明:连接BD交AC于H点,连接MH,因为四边形ABCD是菱形,所以点H为BD的中点.又因为M为PD的中点,所以MH∥BP.又因为BP⊈平面ACM,MH⫋平面ACM,所以PB∥平面ACM.(2)因为ABCD是菱形,∠ABC=60°,E是AB的中点,所以CE⊥AB.又因为PE⊥平面ABCD,以E为原点,分别以EB,EC,EP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系E-xyz,则E(0,0,0),B(1,0,0), P(0,0,),C(0,,0),D(-2,,0).假设棱PD上存在点M,设点M坐标为(x,y,z),=λ(0≤λ≤1),则(x,y,z-)=λ(-2,,-),所以M(-2λ,λ,(1-λ)),所以=(-2λ,λ,(1-λ)),=(0,,0),设平面CEM的法向量为n=(x,y,z),则解得令z=2λ,则x=(1-λ),得n=((1-λ),0,2λ).因为PE⊥平面ABCD,所以平面ABCD的法向量m=(0,0,1),所以cos<n,m>===.因为二面角M-EC-D的大小为60°,所以=,即3λ2+2λ-1=0,解得λ=,或λ=-1(舍去).所以在棱PD上存在点M,当=时,二面角M-EC-D的大小为60°.。
2020年北京第五十九中学高三数学文模拟试题含解析
2020年北京第五十九中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，，，则的大小关系是参考答案：B略2. 函数（，）的部分图象如下图所示，则ω的值为（）A. ω=1B.C. ω=2D.ω=3参考答案：C3. 若，则|z|=（）A．B．1 C．5 D．25参考答案：B【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解： ==，则|z|==1．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4. 若全集，，则=（）A. B. C. D.参考答案：A略5. 已知P是中心在原点，焦距为的双曲线上一点，且的取值范围为，则该双曲线方程是(A) (B)(C) (D)参考答案：6. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π参考答案：C【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π∴空间组合体的表面积是28π，故选：C．7. 四面体中,各个侧面都是边长为的正三角形,分别是和的中点,则异面直线与所成的角等于( )A．B．C．D．参考答案：C略8. 执行如图所示的程序框图，输出的n为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，f（x）=1，满足f（x）=f（﹣x），不满足f（x）=0有解，故n=2；当n=2时，f（x）=2x，不满足f（x）=f（﹣x），故n=3；当n=3时，f（x）=3x2，满足f（x）=f（﹣x），满足f（x）=0有解，故输出的n为3，故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9. 已知直角坐标原点O为椭圆C：的中心，F1，F2为左、右焦点，在区间(0,2)任取一个数e，则事件“以e为离心率的椭圆C与圆O：没有交点”的概率为（）A．B．C．D．参考答案：A10. 函数的图象大致是（）参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知底面边长为2的四棱锥的顶点都在球O的表面上，且PA ⊥平面ABCD ．若PA=2,则球O 的表面积为_________．参考答案：解：可以将四棱锥补成球的内接长方体，其对角线的长等于，即球的半径长等于，所以其表面积等于12. 设，，，若，则.参考答案：由题意可得：，由向量垂直的充要条件有：，求解关于实数的方程可得：.13. 抛物线的焦点到直线的距离是 ____ ____参考答案：14. 在平面直角坐标系xOy 中，设D 是由不等式组，表示的区域，E是到原点的距离不大于l 的点构成的区域，若向E 中随机投一点，则所投点落在D 中的概率是 。
2020高考理科数学课时作业59
高考数学 课时作业(五十九)1．若l 1：x ＋(1＋m )y ＋(m －2)＝0，l 2：mx ＋2y ＋6＝0平行，则m 的值是( ) A ．m ＝1或m ＝－2 B ．m ＝1 C ．m ＝－2 D ．m 的值不存在答案 A解析 方法一：据已知若m ＝0，易知两直线不平行，若m ≠0，则有1m ＝1＋m 2≠m －26⇒m ＝1或m ＝－2.方法二：由1×2＝(1＋m )m ，得m ＝－2或m ＝1.当m ＝－2时，l 1：x －y －4＝0，l 2：－2x ＋2y ＋6＝0，平行． 当m ＝1时，l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y ＋6＝0，平行．2．直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则n 的值为( )A ．－12B ．－2C ．0D ．10 答案 A解析 由2m －20＝0，得m ＝10.由垂足(1，p )在直线mx ＋4y －2＝0上得10＋4p －2＝0， ∴p ＝－2.又垂足(1，－2)在直线2x －5y ＋n ＝0上，则解得n ＝－12. 3．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 答案 A解析 设直线方程为x －2y ＋c ＝0，又经过点(1,0)，故c ＝－1，所求方程为x －2y －1＝0.4．光线沿直线y ＝2x ＋1射到直线y ＝x 上，被y ＝x 反射后的光线所在的直线方程为( )A ．y ＝12x －1 B ．y ＝12x －12 C ．y ＝12x ＋12 D ．y ＝12x ＋1答案 B解析 由⎩⎨⎧ y ＝2x ＋1，y ＝x ，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1，即直线过(－1，－1)．又直线y ＝2x ＋1上一点(0,1)关于直线y ＝x 对称的点(1,0)在所求直线上， ∴所求直线方程为y －0－1－0＝x －1－1－1，即y ＝x 2－12.5．(2014·郑州质检)“ab ＝4”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行”的( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行的充要条件是－2a ＝－b 2且1a ≠1，即ab ＝4且a ≠1，则“ab ＝4”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行”的必要而不充分条件，故选C.6．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0答案 A解析 令y ′＝4x 3＝4，得x ＝1，∴切点为(1,1)，l 的斜率为4.故l 的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.7．设a ，b ，c 分别是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线sin A ·x ＋ay ＋c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直答案 C解析 由正弦定理，得a sin A ＝bsin B .∵两直线的斜率分别为k 1＝－sin A a ，k 2＝bsin B ， ∴k 1·k 2＝－sin A a ·bsin B ＝－1，∴两直线垂直．8．若三条直线l 1：4x ＋y ＝4，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my ＝4不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个答案 C解析 三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－16；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m ＝－1或23.故实数m 的取值最多有4个．9．下面给出的四个点中，到直线x －y ＋1＝0的距离为22，且位于⎩⎨⎧x ＋y －1<0，x －y ＋1>0表示的平面区域内的点是( ) A ．(1,1) B ．(－1,1) C ．(－1，－1) D ．(1，－1) 答案 C解析 验证法，A 、B 两选项不能满足线性约束条件⎩⎨⎧x ＋y －1<0，x －y ＋1>0；C 选项表示的点满足到直线x －y ＋1＝0的距离为22；而D 选项中点到直线x －y ＋1＝0的距离为322，故排除A 、B 、D ，选C.10．若直线x a ＋yb ＝1通过点M (cos α，sin α)，则( )A ．a 2＋b 2≤1B ．a 2＋b 2≥1 C.1a 2＋1b 2≤1 D.1a 2＋1b 2≥1答案 D解析 直线x a ＋yb ＝1通过点M (cos α，sin α)，我们知道点M 在单位圆上，此问题可转化为直线x a ＋yb ＝1和圆x 2＋y 2＝1有公共点，圆心坐标为(0,0)，由点到直线的距离公式有|－1|1a 2＋1b 2≤1⇒1a 2＋1b 2≥1，故选D. 11．直线(2λ＋1)x ＋(λ－1)y ＋1＝0(λ∈R )，恒过定点________． 答案 (－13，23)解析 整理为x －y ＋1＋λ(2x ＋y )＝0， 令⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，2x ＋y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13，y ＝23，∴恒过点(－13，23)．12．点P (－1,3)到直线l ：y ＝k (x －2)的距离的最大值等于________． 答案 3 2解析 P (－1,3)到直线l ：y ＝k (x －2)的距离为d ＝3|k ＋1|1＋k 2＝31＋2kk 2＋1，由于2k k 2＋1≤1，所以d ≤32，即距离的最大值等于3 2.13. 如图，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是________．答案 210解析 由题意，求出P 关于直线x ＋y ＝4及y 轴的对称点分别为P 1(4,2)、P 2(－2,0)，由物理知识知，光线所经路程即为|P 1P 2|＝210.14．设一直线l 经过点(－1,1)，此直线被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0和l 2：x ＋2y －3＝0所截得线段的中点在直线x －y －1＝0上，求直线l 的方程．答案 2x ＋7y －5＝0解析 方法一：设直线x －y －1＝0与l 1，l 2的交点为C (x C ，y C )，D (x D ，y D )，则⎩⎨⎧ x ＋2y －1＝0，x －y －1＝0⇒⎩⎨⎧x C ＝1，y C ＝0，∴C (1,0)． ⎩⎨⎧x ＋2y －3＝0，x －y －1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝53，y D ＝23，∴D (53，23)．则C ，D 的中点M 为(43，13)．又l 过点(－1,1)，由两点式得l 的方程为 y －131－13＝x －43－1－43， 即2x ＋7y －5＝0为所求方程．方法二：∵与l 1，l 2平行且与它们的距离相等的直线方程为x ＋2y ＋－1－32＝0，即x ＋2y －2＝0.由⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，x －y －1＝0，得M (43，13)．(以下同方法一) 方法三：过中点且与两直线平行的直线方程为x ＋2y －2＝0， 设所求方程为(x －y －1)＋λ(x ＋2y －2)＝0，∵(－1,1)在此直线上，∴－1－1－1＋λ(－1＋2－2)＝0，∴λ＝－3，代入所设得2x ＋7y －5＝0.方法四：设所求直线与两平行线l 1，l 2的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋2y 1－1＝0，x 2＋2y 2－3＝0⇒(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)－4＝0. 又A ，B 的中点在直线x －y －1＝0上， ∴x 1＋x 22－y 1＋y 22－1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 22＝43，y 1＋y 22＝13.(以下同方法一)15．直线4x ＋3y －12＝0与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点． (1)求∠BAO 的平分线所在直线的方程； (2)求点O 到∠BAO 的平分线的距离； (3)求过B 与∠BAO 的平分线垂直的直线方程． 答案 (1)x ＋2y －3＝0 (2)355 (3)2x －y ＋4＝0解析 (1)由直线4x ＋3y －12＝0，令x ＝0，得y ＝4，令y ＝0，得x ＝3，即B (0,4)，A (3,0)．由图可知，∠BAO 为锐角，∴∠BAO 的平分线所在直线的倾斜角为钝角，其斜率为负值．设P (x ，y )为∠BAO 的平分线上的任意一点，则点P 到OA 的距离为|y |，到AB 的距离为|4x ＋3y －12|42＋32＝|4x ＋3y －12|5.由角平分线的性质，得|y |＝|4x ＋3y －12|5.∴4x ＋3y －12＝5y 或4x ＋3y －12＝－5y ，即2x －y －6＝0或x ＋2y －3＝0.由于斜率取负值，故∠BAO 的平分线所在直线的方程为x ＋2y －3＝0.(2)由(1)知，原点O (0,0)到∠BAO 的平分线所在直线x ＋2y －3＝0的距离为|0＋0－3|12＋22＝35＝355.(3)由于∠BAO 的平分线所在直线的斜率为－12，∴与其垂直的直线的斜率为2，∴过点B 且与其垂直的直线方程为y ＝2x ＋4，即2x －y ＋4＝0.16．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值． 答案 (1)(－∞，－6)∪(－6,0] (2)2 解析 (1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0. 即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－(a 2＋12)2＋14.因为a 2≥0，所以b ≤0.又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6. 故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]． (2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0. 显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a ，|ab |＝|a ＋1a |≥2. 当且仅当a ＝±1时等号成立． 因此|ab |的最小值为2.。
最新高考数学课时几何概型单元滚动精准测试卷文
课时31几何概型模拟训练（分值：60分 建议用时：30分钟）1．(2018•上海市虹口区质量测试,5分)已点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离|PA |<1的概率为( ) A.14B.12C.π4D ．π【答案】：C【解析】：由题意可知，当动点P 位于扇形ABD 内时，动点P 到定点A 的距离|PA |<1，根据几何概型可知，动点P 到定点A 的距离|PA |<1的概率为S 扇形ABD S 正方形ABCD ＝π4，故选C.2. (2018•辽宁实验中学月考,5分)如图，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为 ( )A.12B.32C.13D.14 【答案】：C【解析】：当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′=3π，由圆的对称性 及几何概型得P =213.23ππ=3．(2018•广东北江中学测试,5分)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( ) A.116 B.18 C.14 D.12 【答案】：C【解析】：正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间，所以正方形的边长介于6 cm 到9 cm 之间．线段AB 的长度为12 cm ，则所求概率为9－612＝144．(2018•陕西西安八校期中联考,5分）在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为( )A.14B.12 C. 34 D.78 【答案】：C【解析】：设任取两点所表示的数分别为x ，y ，则0≤x ≤1且0≤y ≤1.由题意知|x -y |＜12，所以所求概率为P =5. (2018·聊城东阿实高月考,5分)方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根的概率为( ) A.12B.13C.14D.34【答案】：C【解析】：由Δ＝1－4n ≥0得n ≤14，又n ∈(0,1)，故所求事件的概率为P ＝14.6.(2018·湖南十二所联考,5分)已知平面区域U ＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域U 内随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为________．【答案】：29【解析】：依题意可在平面直角坐标系中作出集合U 与A 所表示的平面区域(如图)，由图可知S U =18，S A =4，则点P 落入区域A 的概率为29A U S S . 7.(2018·广东恩平测试,5分)向面积为9的△ABC 内任投一点P ，那么△PBC 的面积小于3的概率是__________． 【答案】：59【解析】：如图，由题意，△PBC 的面积小于3，则点P 应落在梯形BCED 内，∵，∴S △ADE =4，∴S 梯形BCED =5，∴P =59.8．(2018·抚顺二模,5分)《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为910，那么该台每小时约有________分钟的广告． 【答案】：6【解析】：60×(1－910)＝6分钟．9．(2018·皖南八校联考,10分)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤6，0≤y ≤6.表示的区域为A ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤6，x －y ≥0.表示的区域为B .(1)在区域A 中任取一点(x ，y )，求点(x ，y )∈B 的概率；(2)若x ，y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x ，y )在区域B 中的概率．10．(2018·潍坊质检,10分)已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n .(1)设集合P ＝{－2，－1,1,2,3}和Q ＝{－2,3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率；(2)实数m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n －1≤0－1≤m ≤1－1≤n ≤1，求函数y ＝mx ＋n 的图象经过一、二、三象限的概率．【解析】：(1)抽取的全部结果的基本事件有：(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件，设使函数为增函数的事件为A ，则A 包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P (A )＝610＝35.(2)m 、n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n －1≤0－1≤m ≤1－1≤n ≤1的区域如图所示：要使函数的图象过一、二、三象限，则m ＞0，n ＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m ，n )的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事件的概率为P =112772=.[新题训练] （分值：15分 建议用时：10分钟）11（5分）．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) A.18B.116C.127D.38【答案】：C【解析】：一个棱长为3的正方体由27个单位正方体组成，由题意知，蜜蜂“安全飞行”的区域即为27个单位正方体中最中心的1个单位正方体区域，则所求概率P ＝127，应选C.12．（5分）若a 是从区间[0,3]内任取的一个实数，b 是从区间[0,2]内任取的一个实数，则关于x 的一元二次方程x 2－2ax ＋b 2＝0有实根的概率为( ) A.23B.14C.35D.13【答案】：A【解析】：方程有实根，则Δ＝4a 2－4b 2≥0，则a ≥b ≥0，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤30≤b ≤2a ≥b 所满足的可行域如图中阴影部分所示，则根据几何概型概率公式可得，所求概率P ＝S 四边形OABD S 矩形OABC ＝46＝23，故选A.。
(浙江专版)2020届高考数学滚动检测五(1_8章)(含解析)
滚动检测五(1～8章)(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x 2>x ，x ∈R }，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<x <2，x ∈R ，则∁R (A ∩B )等于( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<x <2C.{}x |x ≤1或x ≥2D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12或x ≥1答案 C解析 ∵A ＝{}x |x 2>x ，x ∈R ＝{}x |x <0或x >1，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，x ∈R ，∴A ∩B ＝{x |1<x <2，x ∈R }， ∴∁R (A ∩B )＝{x |x ≤1或x ≥2}．2．设向量a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，则“a ⊥b ”是“x ＝2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由a ⊥b ⇏x ＝2， 由x ＝2⇒a ⊥b ，故选B.3．设a ＝20.1，b ＝ln 52，c ＝log 3910，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a答案 A解析 a ＝20.1>20＝1，b ＝ln 52<lne ＝1，即0<b <1，c ＝log 3910<log 31＝0，∴c <b <a .4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋4x－3，x >1，则f (x )的值域是( )A ．[1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[0,1)∪(1，＋∞)答案 B解析 当x ≤1时，0≤x 2≤1， 当x >1时，x ＋4x－3≥2x ×4x－3＝1， 当且仅当x ＝2时取等号，综上有f (x )≥0，故选B. 5．若a >0，b >0，ab ＝a ＋b ＋1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．32＋3 B ．32－3 C ．3＋13 D ．7答案 D解析 当b ＝1时，代入等式a ＝a ＋2不成立，因而b ≠1， 所以ab －a ＝b ＋1.a ＝b ＋1b －1＝1＋2b －1，易知b －1>0， 所以a ＋2b ＝1＋2b －1＋2b ＝3＋2b －1＋2(b －1) ≥3＋22b －1×2(b －1)＝3＋2×2＝7， 当且仅当a ＝3，b ＝2时，取等号，即最小值为7.6．已知函数f (x )＝3sin2x －cos2x 的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，4π3上均单调递增，则正数a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π12，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3 答案 B解析 f (x )＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，因为函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，4π3上均单调递增， ⎩⎪⎨⎪⎧a 3≤π3，2a ≥5π6，2a <4π3，解得5π12≤a <2π3.7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，若对任意n ∈N *，都有1≤p (S n －4n )≤3成立，则实数p 的取值范围是( ) A ．(2,3)B ．[2,3]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，92 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，92 答案 B解析 S n ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－120＋4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－121＋…＋4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝4n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4n ＋23－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，所以1≤p ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ≤3对任意n ∈N *都成立，当n ＝1时，1≤p ≤3， 当n ＝2时，2≤p ≤6， 当n ＝3时，43≤p ≤4，归纳得2≤p ≤3.8．已知a ，b ，c 是平面向量，|a |＝2，|c |＝22，若a 与b 的夹角为π6，c 与b 的夹角为π4，a 与c 的夹角为5π12，则|c －b |－|a －b |的最大值是( ) A.6－2 3 B.6－3 2 C.8－4 3 D.8－4 2答案 C解析 方法一 如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点A 关于OB 的对称点为A ′，则|BA ′→|＝|BA →|，因为∠AOB ＝π6，∠BOC ＝π4，∠AOC ＝5π12，所以∠A ′OC ＝π12.|c －b |－|a －b |＝|BC →|－|BA ′→|≤|CA ′→|， 且在△A ′OC 中，由余弦定理得，A ′C 2＝OC 2＋OA ′2－2OC ·OA ′cos π12＝8＋4－2×22×2×6＋24＝8－43， 所以|CA ′→|＝8－4 3.故选C. 方法二 如图，建立平面直角坐标系，则可设OC →＝c ＝(2,2)，OA →＝a ＝(3，－1)， OB →＝b ＝(t,0)，则点A 关于x 轴的对称点A ′的坐标为(3，1)，则OA ′→＝(3，1)，|BA ′→|＝|BA →|，所以|c －b |－|a －b |＝|BC →|－|BA ′→|≤|CA ′→| ＝(3－2)2＋(1－2)2＝8－43，故选C.9．已知函数f (x )＝e x，g (x )＝a x (a ≠0)，若函数y ＝f (x )的图象上存在点P (x 0，y 0)，使得y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与y ＝g (x )的图象也相切，则a 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．(0，2e]C ．(1，2e] D.⎝⎛⎦⎥⎤12e ，2e答案 B解析 f (x )＝e x的切点为P (x 0，0e x)，设切线与y ＝g (x )的图象相切于点(t ，a t )．f ′(x 0)＝0e x ，g ′(t )＝a2t.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧0e x ＝a2t >0，e x －a t x 0－t ＝e x 0，解得x 0＝1－t ，所以a ＝2t 0e x ＝2t e 1－t，t >0，令h (t )＝2t e 1－t，t >0， 则h ′(t )＝1te1－t－2t e1－t＝1te1－t(1－2t )，令h ′(t )＝0，解得t ＝12，当t >0时，h (t )>0；当0<t <12时，h ′(t )>0，函数h (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增； 当t >12时，h ′(t )<0，函数h (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减， 当t 从右侧趋近于0时，h (t )趋近于0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2e ；当t 趋近于＋∞时，h (t ) 趋近于0， 所以a ∈(0，2e]．10．(2018·浙江七彩阳光联盟联考)如图，已知Rt△ABC 的两条直角边AC ＝2，BC ＝3，P 为斜边AB 上一点，沿CP 将三角形折成直二面角A －CP －B ，此时二面角P －AC －B 的正切值为2，则翻折后AB 的长为( )A ．2B.5C.6D.7 答案 D解析 方法一 如图1，在平面PCB 内过点P 作CP 的垂线交BC 于点E ，则EP ⊥平面ACP . 在平面PAC 内过点P 向AC 作垂线，垂足为D ，连接DE ，则∠PDE 为二面角P －AC －B 的平面角，且tan∠PDE ＝EPPD＝2，设DP ＝a ，则EP ＝2a .如图2，在Rt△ABC 中，设∠BCP ＝α，则∠ACP ＝90°－α， 则在Rt△DPC 中，PC ＝a sin (90°－α)＝acos α，又在Rt△PCE 中，tan α＝PE PC， 则acos α·tan α＝2a ，sin α＝2cos 2α.又0°<α<90°，所以α＝45°. 因为二面角A －CP －B 为直二面角，所以图1中cos∠ACB ＝cos∠ACP ·cos∠BCP ，于是有AC 2＋BC 2－AB 22·AC ·BC ＝cos∠ACP ·sin∠ACP ＝12.解得AB ＝7.方法二 如图3，在平面PCB 内过点P 作CP 的垂线交BC 于点E ，则EP ⊥平面ACP . 在平面PAC 内过点P 向AC 作垂线，垂足为D ，连接DE ，则∠PDE 为二面角P －AC －B 的平面角，且tan∠PDE ＝EP PD＝2，设DP ＝a ，则EP ＝2a .如图4，在Rt△ABC 中，设∠BCP ＝α，则∠ACP ＝90°－α， 则在Rt△DPC 中，PC ＝a sin (90°－α)＝acos α，又在Rt△PCE 中，tan α＝PE PC， 则acos α·tan α＝2a ，sin α＝2cos 2α，又0°<α<90°，所以α＝45°，在Rt△ABC 中，过点A 作AM ⊥PC 于点M ，过点B 向CP 的延长线作垂线，垂足为N . 由∠BCP ＝∠ACP ＝45°，得AM ＝2，BN ＝322，MN ＝22，翻折后AB →＝AM →＋MN →＋NB →，且AM →，MN →，BN →两两垂直， 故|AB →|＝(AM →＋MN →＋NB →)2＝7.第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．(2018·浙江名校联盟联考)已知复数z 满足z ·(－3＋4i)＝1－2i ，则z ＝________，|z |＝________. 答案 －1125＋225i 55解析 由题意知z ＝1－2i －3＋4i ＝(1－2i )(－3－4i )25＝－11＋2i 25＝－1125＋225i ，∴|z |＝|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－11252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2252＝55. 12．(2018·浙江省高考模拟试卷)若函数f (x )＝sin x2cos x2－3cos 2x2，则函数f (x )的最小正周期为________，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π2上的值域是________．答案 2π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋32，1－32解析 f (x )＝sin x 2cos x2－3cos 2x2＝12sin x －3×1＋cos x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－32，则f (x )的最小正周期为2π.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π2， 所以x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，π6，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋32，1－32.13．(2018·浙江省高考研究联盟联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_________，侧面积为________．答案3π23π＋4 解析 由三视图，可得该几何体为底面半径为1，高为2的圆柱切掉四分之一后剩余的几何体，因而其体积V ＝34×π×12×2＝3π2，侧面积S ＝34×2π×1×2＋2×1×2＝3π＋4.14．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c,4b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，△ABC 的面积为15，且b 2＝ac ，则a ＋c ＝________. 答案 27解析 方法一 由正弦定理、两角和的三角函数公式及诱导公式，得 4sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， 因为0<B <π，所以sin B ≠0，cos B ＝14，则sin B ＝154，由三角形的面积公式知12ac sin B ＝15，得ac ＝8，则b 2＝ac ＝8，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－12ac ，即8＝a 2＋c 2－12ac ＝(a ＋c )2－52ac ＝(a ＋c )2－20，所以(a ＋c )2＝28，a ＋c ＝27.方法二 由4b cos B ＝a cos C ＋c cos A ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ，得cos B ＝14，则sin B＝154， 由三角形的面积公式知12ac sin B ＝15，得ac ＝8，则b 2＝ac ＝8，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－12ac ，即8＝a 2＋c 2－12ac ＝(a ＋c )2－52ac ＝(a ＋c )2－20，所以(a ＋c )2＝28，a ＋c ＝27.15．已知函数f (x )＝ln(1＋4x 2－2x )－2e x＋1e x ＋1，则f (0)＝________，f (2019)＋f (－2019)＝________. 答案 －32－3解析 f (0)＝ln(1－0)－2e 0＋1e 0＋1＝0－32＝－32.令g (x )＝ln(1＋4x 2－2x )，h (x )＝－2e x＋1e x ＋1，则f (x )＝g (x )＋h (x )，g (x )＝ln(1＋4x 2－2x )＝ln 11＋4x 2＋2x， g (x )＋g (－x )＝0，又h (x )＝－2e x ＋1e x ＋1＝－2(e x＋1)－1e x＋1＝－2＋1e x ＋1， h (x )＋h (－x )＝－2＋1e x＋1－2＋1e －x ＋1＝－4＋1e x ＋1＋ex1＋ex ＝－3，∴f (2019)＋f (－2019)＝g (2019)＋h (2019)＋g (－2019)＋h (－2019)＝－3.16．已知S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧ x －3y ≤0，x ＋3y －63≤0，x ≥0，点P (3，3)，T ＝{(x ，y )|PM →＋PN →＝0，N (x ，y )，M (x 0，y 0)，且(x 0，y 0)∈S }，则S ∩T 表示的平面区域的面积为________．答案 6 3解析 如图，S 所表示的平面区域为正三角形OAB 的内部区域(含边界)，其中P 刚好是正三角形OAB 的中心，作△OAB 关于点P 的对称区域△O ′A ′B ′(包含边界)，即为T 所表示的平面区域．则S ∩T 所表示的区域为正六边形DEFGHI 区域，可求得A (33，3)，B (0,6)．故O ′(23，6)，A ′(－3，3)，B ′(23，0)，所以|OA |＝6，|EF |＝2，所以S 六边形DEFGHI ＝6×12×2×2×32＝6 3.17．已知x >0，y >0，若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋2x ＋y 2，则(x ＋y )2的最大值是________．答案 8＋4 5解析 令xy ＝t ，则0<t ≤(x ＋y )24，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋2x ＋y 2 ⇔xy ＋1＋(x ＋y )2xy －2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋2x ＋y 2， 且知当xy ＝(x ＋y )24时取“＝”，所以题意可转化为函数f (t )＝t ＋1＋(x ＋y )2t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，(x ＋y )24上有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫(x ＋y )24，即恒有(x ＋y )24≤1＋(x ＋y )2，所以(x ＋y )2≤8＋45，故(x ＋y )2的最大值是8＋4 5.三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(14分)如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 边上的动点(含端点)，记∠BAD ＝α，∠ADC ＝β.(1)求2cos α－cos β的最大值；(2)若BD ＝1，cos β＝17，求△ABD 的面积．解 (1)由△ABC 是等边三角形，得β＝α＋π3，0≤α≤π3，故2cos α－cos β＝2cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3，故当α＝π6，即D 为BC 中点时，原式取最大值 3.(2)由cos β＝17，得sin β＝437，故sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝sin βcos π3－cos βsin π3＝3314，由正弦定理得AB sin∠ADB ＝BDsin∠BAD，故AB ＝sin βsin α·BD ＝4373314×1＝83，故S △ABD ＝12AB ·BD ·sin B ＝12×83×1×32＝233.19．(15分)已知数列{a n }的各项均是正数，其前n 项和为S n ，满足S n ＝4－a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝12－log 2a n (n ∈N *)，数列{b n ·b n ＋2}的前n 项和为T n ，求证：T n <34.(1)解 由S n ＝4－a n ，得S 1＝4－a 1，解得a 1＝2，而a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(4－a n ＋1)－(4－a n )＝a n －a n ＋1，即2a n ＋1＝a n ，∴a n ＋1a n ＝12， ∴数列{a n }是首项为2，公比为12的等比数列．∴a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2.(2)证明 ∵b n ＝12－log 2a n ＝12－(2－n )＝1n ，∴b n b n ＋2＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.故数列{}b n b n ＋2的前n 项和T n ＝12⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－16＋⎦⎥⎤…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2<34.20．(15分)设函数f (x )＝x 2－3x .(1)若不等式f (x )≥m 对任意x ∈[0,1]恒成立，求实数m 的取值范围；(2)在(1)的条件下，当m 取最大值时，设x >0，y >0且2x ＋4y ＋m ＝0，求1x ＋1y的最小值．解 (1)因为函数f (x )＝x 2－3x 的对称轴为x ＝32，且开口向上，所以f (x )＝x 2－3x 在x ∈[0,1]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝1－3＝－2，所以m ≤－2. (2)根据题意，由(1)可得m ＝－2， 即2x ＋4y －2＝0.所以x ＋2y ＝1. 因为x >0，y >0，则1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y (x ＋2y )＝3＋2y x ＋x y≥3＋2x y ·2yx＝3＋22， 当且仅当2y x ＝x y ，即x ＝2－1，y ＝1－22时，等号成立．所以1x ＋1y的最小值为3＋2 2.21.(15分)(2018·浙江名校联盟联考)如图，在直三棱柱ADF －BCE 中，AB ＝BC ＝BE ＝2，CE ＝2 2.(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)若EB ＝4EK ，求直线AK 与平面BDF 所成角φ的正弦值． (1)证明 在直三棱柱ADF －BCE 中，AB ⊥平面BCE ， 所以AB ⊥BE ，AB ⊥BC . 又AB ＝BC ＝BE ＝2，CE ＝22， 所以BC 2＋BE 2＝CE 2，且AC ⊥BD ， 所以BE ⊥BC .因为AB ∩BC ＝B ，AB ，BC ⊂平面ABCD ， 所以BE ⊥平面ABCD .因为AC ⊂平面ABCD ，所以BE ⊥AC . 因为BD ∩BE ＝B ，BD ，BE ⊂平面BDE ， 所以AC ⊥平面BDE .(2)解 方法一 设AK 交BF 于点N ，由(1)知，AB ，AF ，AD 两两垂直且长度都为2， 所以△BDF 是边长为22的正三角形．所以点A 在平面BDF 内的射影M 为△BDF 的中心，连接MN ，MF ，AM ，如图所示，则∠ANM 为AK 与平面BDF 所成的角φ. 又FM ＝23×32×22＝263，所以AM ＝FA 2－FM 2＝22－⎝⎛⎭⎪⎫2632＝233. 因为EB ＝4EK ，所以BK ＝32，所以AK ＝AB 2＋BK 2＝4＋94＝52. 因为AN KN ＝AF BK ，所以AN AK －AN ＝AFBK，即AN52－AN ＝232，解得AN ＝107. 在Rt△ANM 中，sin φ＝AM AN ＝233107＝7315，所以直线AK 与平面BDF 所成角φ的正弦值为7315.方法二 由(1)知，AB ，BC ，BE 两两垂直，以B 为坐标原点，BC→，BA →，BE →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，F (0,2,2)，A (0,2,0)，D (2,2,0)， BD →＝(2,2,0)，BF →＝(0,2,2)．因为EB ＝4EK ，所以K ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32. 设平面BDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·BF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，2y ＋2z ＝0，取x ＝1，则n ＝(1，－1,1)为平面BDF 的一个法向量．又AK →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－2，32，于是sin φ＝|n ·AK →||n |·|AK →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋323× 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝7315，所以直线AK 与平面BDF 所成角φ的正弦值为7315.22．(15分)(2019·嘉兴调研)已知函数f (x )＝x e x. (1)讨论函数g (x )＝af (x )＋e x的单调性；(2)若直线y ＝x ＋2与曲线y ＝f (x )的交点的横坐标为t ，且t ∈[m ，m ＋1]，求整数m 所有可能的值．解 (1)g (x )＝ax e x＋e x，所以g ′(x )＝(ax ＋a ＋1)e x，①当a ＝0时，g ′(x )＝e x，g ′(x )>0在R 上恒成立，所以函数g (x )在R 上单调递增； ②当a >0时，当x >－a ＋1a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，当x <－a ＋1a时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减； ③当a <0时，当x >－a ＋1a 时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减，当x <－a ＋1a时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增．综上，当a ＝0时，函数g (x )在R 上单调递增； 当a >0时，函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a ＋1a 内单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1a ，＋∞内单调递增；当a <0时，函数g (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－a ＋1a 内单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1a ，＋∞内单调递减． (2)由题意可知，原命题等价于方程x e x＝x ＋2在x ∈[m ，m ＋1]上有解，由于e x>0，所以x ＝0不是方程的解，所以原方程等价于e x －2x －1＝0，令r (x )＝e x－2x－1，因为r ′(x )＝e x＋2x2>0对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以r (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)内单调递增．又r (1)＝e －3<0，r (2)＝e 2－2>0，r (－3)＝e －3－13<0，r (－2)＝e －2>0，所以直线y ＝x ＋2与曲线y ＝f (x )的交点有两个， 且两交点的横坐标分别在区间[1,2]和[－3，－2]内， 所以整数m 的所有值为－3,1.。
浙江专版2020届高考数学一轮复习单元检测九平面解析几何单元检测含解析2.pdf
单元检测九 平面解析几何(时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l 经过点(，－2)和(0,1)，则它的倾斜角是( )3A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°答案 D解析 由斜率公式k ＝＝＝－，再由倾斜角的范围[0°，180°)知，tan120°y 2－y 1x 2－x 11－(－2)0－33＝－，故选D.32．直线kx －y －3k ＋3＝0过定点( )A ．(3,0) B ．(3,3) C ．(1,3) D ．(0,3)答案 B解析 kx －y －3k ＋3＝0可化为y －3＝k (x －3)，所以过定点(3,3)．故选B.3．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( )A.B ．2C ．1D ．372答案 A解析 圆的圆心为(3,0)，r ＝1，圆心到直线x －y ＋1＝0的距离为d ＝＝2，所以由|3＋1|22勾股定理可知切线长的最小值为＝.(22)2－1274．一束光线从点A (－1,1)发出，并经过x 轴反射，到达圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上一点的最短路程是( )A ．4B ．5C ．3－1D ．226答案 A解析 依题意可得，点A 关于x 轴的对称点A 1(－1，－1)，圆心C (2,3)，A 1C 的距离为＝5，所以到圆上的最短距离为5－1＝4，故选A.(2＋1)2＋(3＋1)25．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且|＋|＝|－|，其中O 为原点，OA → OB → OA → OB →则实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．2或－2D.或－66答案 C解析 由|＋|＝|－|得|＋|2＝|－|2，化简得·＝0，即⊥，三角OA → OB → OA → OB → OA → OB → OA → OB → OA → OB → OA → OB →形AOB 为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为，即＝，a ＝±2.2|a |226．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.－＝1 B.－＝1x 23y 26x 24y 25C.－＝1 D.－＝1x 26y 23x 25y 24答案 B解析 由已知条件得直线l 的斜率为k ＝k FN ＝1，设双曲线方程为－＝1(a >0，b >0)，x 2a 2y 2b 2A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有Error!两式相减并结合x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30得，＝，从而＝1，即4b 2＝5a 2，y 1－y 2x 1－x 24b 25a 24b 25a2又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝4，b 2＝5，故选B.7．(2018·绍兴市、诸暨市模拟)如图，已知点P 是抛物线C ：y 2＝4x 上一点，以P 为圆心，r 为半径的圆与抛物线的准线相切，且与x 轴的两个交点的横坐标之积为5，则此圆的半径r 为( )A ．2B ．53C ．4D ．43答案 D解析 设圆与x 轴的两个交点分别为A ，B ，由抛物线的定义知x P ＝r －1，则P (r －1,2)，r －1又由中垂线定理，知|OA |＋|OB |＝2(r －1)，且|OA |·|OB |＝5，故由圆的切割线定理，得(2)2＝(1＋|OA |)(1＋|OB |)，展开整理得r ＝4，故选D.r －18．(2018·绍兴市、诸暨市模拟)已知双曲线的标准方程为－＝1，F 1，F 2为其左、右焦点，x 2a 2y 2b2若P 是双曲线右支上的一点，且tan∠PF 1F 2＝，tan∠PF 2F 1＝2，则此双曲线的离心率为( )12A. B. C. D.5523553答案 A解析 由tan∠PF 1F 2＝，tan∠PF 2F 1＝2知，12PF 1⊥PF 2，作PQ ⊥x 轴于点Q ，则由△PF 1Q ∽△F 2PQ ，得|F 1Q |＝4|F 2Q |＝c ，85故P ，(35c ，45c )代入双曲线的方程，有b 22－a 2·2＝a 2b 2，(35c )(45c )又a 2＋b 2＝c 2，则(9c 2－5a 2)(c 2－5a 2)＝0，解得＝或＝(舍)，即离心率e ＝，故选A.c a 5c a 5359．(2019·宁波模拟)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点P (5,0)的直线与抛物线相交于A ，B两点，与抛物线的准线相交于点C ，若|BF |＝5，则△BCF 与△ACF 的面积之比等于( )S △BCF S△ACFA. B. C. D.56203315312029答案 D解析 由题意知直线AB 的斜率存在，则由抛物线的对称性不妨设其方程为y ＝k (x －5)，k >0，与抛物线的准线x ＝－1联立，得点C 的坐标为(－1，－6k )，与抛物线的方程y 2＝4x 联立，消去y 得k 2x 2－(10k 2＋4)x ＋25k 2＝0，则x A ＋x B ＝，x A x B ＝25，10k 2＋4k2又因为|BF |＝x B ＋1＝5，所以x B ＝4，代入解得x A ＝，k ＝4，254则y A ＝5，y B ＝－4，y C ＝－24，则S △ACF ＝|PF |·|y A －y C |＝58，12S △ABF ＝|PF ||y A －y B |＝18，12则＝1－＝，故选D.S △BCF S △ACF S △ABF S △ACF 202910．已知直线l ：kx －y －2k ＋1＝0与椭圆C 1：＋＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，与圆C 2：(x －x 2a 2y 2b22)2＋(y －1)2＝1交于C ，D 两点．若存在k ∈[－2，－1]，使得＝，则椭圆C 1的离心率AC → DB →的取值范围是( )A. B. C. D.(0，12][12，1)(0，22][22，1)答案 C解析 直线l 过圆C 2的圆心，∵＝，AC → DB → ∴||＝||，∴C 2的圆心为线段AB 的中点．AC 2→ C 2B →设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则Error!两式相减得，＝－，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2化简可得－2·＝k ，b 2a 2又∵a >b ，∴＝－∈，b 2a 2k 2[12，1)所以e ＝∈.1－b 2a 2(0，22]第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．(2018·台州质检)已知直线l 1：mx ＋3y ＝2－m ，l 2：x ＋(m ＋2)y ＝1，若l 1∥l 2，则实数m ＝________；若l 1⊥l 2，则实数m ＝________.答案 －3 －32解析 l 1∥l 2等价于Error!解得m ＝－3.l 1⊥l 2等价于m ＋3(m ＋2)＝0，解得m ＝－.3212．(2018·浙江十校联盟考试)抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是________，焦点到准线的距离是________．答案 (0，116)18解析 由y ＝4x 2，得x 2＝，可得2p ＝，所以p ＝，即焦点的坐标为，焦点到准线y 41418(0，116)的距离为.1813．(2018·衢州模拟)已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，|AB |＝2，圆C 的半径为________；圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________．答案 －1－22解析 设圆心C (1，b )，则半径r ＝b .由垂径定理得，1＋2＝b 2，(|AB |2)即b ＝，且B (0,1＋)．22又由∠ABC ＝45°，切线与BC 垂直，知切线的倾斜角为45°，故切线在x 轴上的截距为－1－.214．若双曲线－＝1(a >0，b >0)的右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，则双曲线的离x 2a 2y 2b 234心率为________，如果双曲线上存在一点P 到双曲线的左右焦点的距离之差为4，则双曲线的虚轴长为________．答案 2 43解析 由于右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，34可知双曲线渐近线y ＝x 的倾斜角为，ba π3即＝，所以e ＝＝＝2，b a 3c a1＋3因为a ＝2，从而b ＝＝2，16－43所以虚轴长为4.315．已知点A (0,1)，抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点为F ，线段FA 与抛物线C 相交于点M ，FA 的延长线与抛物线的准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶3，则实数a 的值为________．答案 2解析 依题意得焦点F 的坐标为，(a4，0)设点M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接KM (图略)，由抛物线的定义知|MF |＝|MK |，因为|FM |∶|MN |＝1∶3，所以|KN |∶|KM |＝2∶1，2又k FN ＝＝，k FN ＝－＝－2，0－1a 4－0－4a |KN ||KM |2所以＝2，解得a ＝.4a2216．已知双曲线E ：－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A (2,1)，B 是E 上不x 2a 2y 2b2同的两点，且四边形AF 1BF 2是平行四边形，若∠AF 2B ＝，＝，则双曲线E 的标准2π32ABF S 3方程为________．答案 －y 2＝1x 22解析 如图，因为四边形AF 1BF 2是平行四边形，所以＝，2ABF S 12AF F S ∠F 1AF 2＝，π3所以|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1||AF 2|cos ，π3即4c 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|AF 1||AF 2|，①又4a 2＝(|AF 1|－|AF 2|)2，所以4a 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1||AF 2|，②由①②可得|AF 1||AF 2|＝4b 2，又＝×4b 2×＝，2ABF S 12323所以b 2＝1，将点A (2,1)代入－y 2＝1，可得a 2＝2，x 2a2故双曲线E 的标准方程为－y 2＝1.x 2217．在平面直角坐标系xOy 中，A (3,0)，P (3，t )，t ∈R ，若存在C ，D 两点满足＝＝2，|AC ||OC ||AD ||OD |且＝2，则t 的取值范围是________．PD → PC →答案 [－2，2]55解析 设C (x ，y )，因为A (3,0)，＝2，|AC ||OC |所以＝2，(x －3)2＋y 2x 2＋y 2整理得(x ＋1)2＋y 2＝4，即点C 在圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝4上．同理由＝2可得点D 也在圆M 上．|AD ||OD |因为＝2，所以C 是PD 的中点，PD → PC →过点M 作MN ⊥CD ，垂足为N ，连接CM ，PM .设|MN |＝d ，|PC |＝|CD |＝2k ，分别在Rt△CMN ，Rt△PMN 中，由勾股定理，得Error!消去k 2得，t 2＝20－8d 2.因为0≤d 2<4，所以t 2≤20，解得－2≤t ≤2，55所以t 的取值范围是[－2，2]．55三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18．(14分)已知过点A (0,1)，且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点．(1)求实数k 的取值范围；(2)求证：·为定值．AM → AN →(1)解 由题意过点A (0,1)且斜率为k 的直线的方程为y ＝kx ＋1，代入圆C 的方程得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，因为直线与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点，所以Δ＝[－4(1＋k )]2－4×7×(1＋k 2)>0，解得<k <，4－734＋73所以实数k 的取值范围是.(4－73，4＋73)(2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，＝(x 1，y 1－1)，＝(x 2，y 2－1)，AM → AN →由(1)得，x 1＋x 2＝，x 1x 2＝，4(1＋k )1＋k 271＋k 2所以y 1＋y 2＝(kx 1＋1)＋(kx 2＋1)＝k (x 1＋x 2)＋2.y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1.所以·＝(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1)AM → AN →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝x 1x 2＋k 2x 1x 2＝(1＋k 2)·＝7，71＋k 2所以·为定值．AM → AN →19.(15分)(2018·浙江名校高考研究联盟联考)如图，以P (0，－1)为直角顶点的等腰直角△PMN 内接于椭圆＋y 2＝1(a >1)，设直线PM 的斜率为k .x 2a2(1)试用a ，k 表示弦长|MN |；(2)若这样的△PMN 存在3个，求实数a 的取值范围．解 (1)不妨设直线PM 所在的直线方程为y ＝kx －1(k <0)，代入椭圆方程＋y 2＝1，x 2a2整理得(1＋a 2k 2)x 2－2ka 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝，2ka 21＋a 2k 2则|PM |＝|x 1－x 2|＝－，1＋k 22ka 21＋k 21＋a 2k 2所以|MN |＝|PM |＝－.222ka 21＋k 21＋a 2k 2(2)因为△PMN 是等腰直角三角形，所以直线PN 所在的直线方程为y ＝－x －1(k <0)，1k同理可得|PN |＝－＝.21ka 21＋1k21＋a 21k 22a 21＋k 2k 2＋a 2令|PM |＝|PN |，整理得k 3＋a 2k 2＋a 2k ＋1＝0，k 3＋1＋a 2k (k ＋1)＝0，(k ＋1)(k 2－k ＋1)＋a 2k (k ＋1)＝0，即(k ＋1)[k 2＋(a 2－1)k ＋1]＝0.若这样的等腰直角三角形PMN 存在3个，则方程k 2＋(a 2－1)k ＋1＝0有两个不等于－1的负根k 1，k 2，则Error!因为a >1，所以a >.320．(15分)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的长轴长为4，其上顶点到直线3x ＋4y －1＝0的x 2a 2y 2b2距离等于.35(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，交x 轴的负半轴于点E ，交y 轴于点F (点E ，F 都不在椭圆上)，且＝λ1，＝λ2，λ1＋λ2＝－8，证明：直线l 恒过定点，并求出该定点．FA → AE → FB → BE →解 (1)由椭圆C 的长轴长为4知2a ＝4，故a ＝2，椭圆的上顶点为(0，b )，则由＝得b ＝1，|4b －1|535所以椭圆C 的方程为＋y 2＝1.x 24(2)设A (x 1，y 1)，E (m,0)(m <0，m ≠－2)，F (0，n )，由＝λ1，得(x 1，y 1－n )＝λ1(m －x 1，－y 1)，FA → AE →所以A .(λ1m 1＋λ1，n 1＋λ1)同理由＝λ2，得B ，FB → BE →(λ2m 1＋λ2，n 1＋λ2)把A ，B 分别代入＋y 2＝1(λ1m 1＋λ1，n 1＋λ1)(λ2m 1＋λ2，n 1＋λ2)x 24得：Error!即λ1，λ2是关于x的方程(4－m 2)x 2＋8x ＋4－4n 2＝0的两个根，∴λ1＋λ2＝＝－8，－84－m 2∴m ＝－，所以直线l 恒过定点(－，0)．3321．(15分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >1)上的点A 到其焦点的距离为，且点A 在曲线x ＋y 2－32＝0上．52(1)求抛物线C 的方程；(2)M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是抛物线C 上异于原点的两点，Q (x 0，y 0)是线段MN 的中点，点P 是抛物线C 在点M ，N 处切线的交点，若|y 1－y 2|＝4p ，证明：△PMN 的面积为定值．(1)解 设点A (x A ，y A )，∵点A 到抛物线焦点的距离为，32∴x A ＝－，y ＝2px A ＝2p ，32p 22A (32－p 2)又点A 在曲线x ＋y 2－＝0上，52∴－＋2p －＝0，32p 2(32－p 2)52即p 2－p ＋1＝0，解得p ＝2或p ＝(舍去)，5212∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明 由(1)知M，N，|y 1－y 2|＝8，(y 214，y 1)(y 24，y 2)设抛物线C 在点M 处的切线的斜率为k (k ≠0)，则该切线的方程为y －y 1＝k ，(x －y 214)联立方程得Error!消去x ，整理得ky 2－4y ＋4y 1－ky ＝0，21∵M 是切点，∴Δ＝16－4k (4y 1－ky )＝0，21即4－4ky 1＋k 2y ＝0，解得k ＝，212y1∴直线PM 的方程为y －y 1＝(x －)，即y ＝x ＋，2y 1y 2142y 1y 12同理得直线PN 的方程为y ＝x ＋，2y 2y 22联立方程得Error!解得Error!∴P，(y 1y 24，y 1＋y 22)∵Q 是线段MN 的中点，∴y 0＝，y 1＋y 22∴PQ ∥x 轴，且x 0＝＝，x 1＋x 22y 21＋y 28∴△PMN 的面积S ＝|PQ |·|y 1－y 2|12＝·|y 1－y 2|12|y 1y 24－x 0|＝·|y 1－y 2|12|y 1y 24－y 21＋y 28|＝|y 1－y 2|3＝32，116即△PMN 的面积为定值．22．(15分)(2018·嘉兴测试)如图，已知抛物线x 2＝y ，过直线l ：y ＝－上任一点M 作抛14物线的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B .(1)求证：MA ⊥MB ；(2)求△MAB 面积的最小值．(1)证明 方法一 设M ，(x 0，－14)易知直线MA ，MB 的斜率都存在，分别设为k 1，k 2，设过点M 的抛物线的切线方程为y ＋＝k (x －x 0)，14由Error!得x 2－kx ＋kx 0＋＝0，14Δ＝k 2－4kx 0－1＝0，由题意知，k 1，k 2是方程k 2－4x 0k －1＝0的两个根，所以k 1k 2＝－1，所以MA ⊥MB .方法二 设M ，A (x 1，x )，B (x 2，x )，(x 0，－14)212易知直线MA ，MB 的斜率都存在，分别设为k 1，k 2.由y ＝x 2，得y ′＝2x ，则MA ，MB 的斜率分别为k 1＝2x 1，k 2＝2x 2，所以2x 1＝，整理得x ＝2x 1x 0＋，x 21＋14x 1－x 02114同理可得，x ＝2x 2x 0＋，214两式相减得，x －x ＝2x 0(x 1－x 2)，212因为x 1≠x 2，所以x 1＋x 2＝2x 0，于是x ＝x 1(x 1＋x 2)＋，2114所以x 1x 2＝－，即k 1k 2＝4x 1x 2＝－1，14所以MA ⊥MB .(2)解 由(1)得k 1＝2x 1，k 2＝2x 2，所以A ，B ，(k 12，k 214)(k 22，k 24)易知k 1k 2＝－1，k 1＋k 2＝4x 0，所以|MA |＝|y A －y M |＝1＋1k 211＋1k 21|k 214＋14|＝，同理，|MB |＝，(k 21＋1)4|k 1|(k 2＋1)4|k 2|所以S △MAB ＝|MA |·|MB |＝·1212[(k 21＋1)(k 2＋1)]16|k 1k 2|＝＝(k 21＋k 2＋2)32[(4x 0)2－2×(－1)＋2]32＝≥＝.[(4x 0)2＋4]323243214综上，当x 0＝0时，△MAB 的面积取得最小值，最小值为.14。
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课时59几何证明选讲
模拟训练（分值：60分建议用时：30分钟）
1. （2020 •萧山中学10月月考,5分）关于单峰函数，有下列说法：
①在区间［a, b］上的单峰函数就是只有一个极大值点的函数；
②在区间［a，b］上的单调函数不是单峰函数；
③区间［a，b］上的单峰函数可以是不连续函数.
其中正确的个数有（）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
【答案】B
【解析】由单峰函数的定义可知
2. （2020 •江西省会昌中学第二次月考,5分）下列函数中在［—1,4］上不是单峰函数的是（）
A. y = 2|x|
B. y = x2—2x+ 3
C. y = sin x D . y= cos x
【答案】D
【解析】函数y= cos x在［—1,4］上既有最大值，也有最小值，故不是单峰函数.
3.
（2020 •白鹭洲中学第一次月考,5分）在应用0.618法确定试点时，n次试验后的精度为（）
1 n—1
n —1
A. 0.382
B.（㊁）
_ n —1 n
C. 0.618
D. 0.618
【答案】C
【解析】直用O.filS法确定试点时，从第2次试验开始，每次试验都把存优范围谿小为原来的1 615 倍,故幻次试验后的精康为0©旷」.
4. （2020 •徐闻中学测试题,5分）在粉笔加工设计中，每支粉笔都要丢掉一段一定长的粉笔头，单就
这一点来说，愈长愈好，但太长了，使用起来既不方便，也容易折断，每断一次，必然多浪费一个粉笔
头，反而不合适，因而就出现了 "粉笔多长最合适”的问题，技术员王工在长度为10 cm至15 cm范围内
经过多次尝试，最后发现12 cm长的粉笔最合适.这个问题的最佳点是（）
A. 10 cm B . 15 cm C . 12.5 cm D . 12 cm
【答案】D
【解析】本题是寻找粉笔的合适长度，因此最佳点就是最合适的粉笔长度数据，即12 cm,故选D.
5. （2020 •微山一中月考,5分）某主要因素对应的目标函数如图所示，若c是最佳点，则下列说法中
正确的是
A. d, e都是好点
B. 区间［a, d］是一个存优范围
C. d不是好点
D. a, b是分界点
【答案】B
【解析】a孑比?％/为塞点，匚为好点，所以以.才为外界昴含有好点的g盼为存优范围-所以区间6圧是一个存优范围，故选孔
6. （ 2020 •浙江杭州西湖测试题,5分）某车床的走刀量（单位：mm/r）共有如下13级：0.3,0.33 ,
0.35，0.40,0.45,0.48,0.50,0.55,0.60,0.65,0.71,0.81 ，0.91.那么第一次和第二次的试点分别为
【答案】0.55 0.45
【解析】该已知条件符合分数法的优选要求.•••第一次应优选0.55，第二次应优选0.45.
7.
如图，用平行线法处理双因素问题时，首先将难以调整的因素n固定在0.618处，得到最佳点在A 处，然后再把因素H固定在0.382处，得到最佳点A，若A处的试验结果比A1处的好，则第三次试验时，
将因素n固定在__________ 处.
【答案】0.236
【解析】因为A处的试验结果比A处的好，所以好点在因素n的0〜0.618之间，由0.618法…第三次试验时，将因素n固定在0.618 + 0-0.382 = 0.236处.
8. （2020 •咸阳模拟,5分）有一双因素优选试验，2W x<4,10 < y< 20.使用纵横对折法进行优选.分
别对因素x和y进行了一次优选后其新的存优范围的面积为_____________ .■:
【答案】10
【解析】由纵横对折法知对因素x和y进行了一次优选后得到两个好点，无论哪个好点的试验结果更
X (4 —2) X (20 —10) = 10.
优，其新的存优范围的面积为原存优范围面积的一半，即殳
9. (2020 ?四川省成都石室中学二诊模拟,10分)为了提高某产品的质量，对影响质量的一个因素进行优选.已知此因素范围为［1 000,2 000］，用0.618法安排试验，第一个和第二个试点安排在何处？如果第一点效果比第二点好，第三个试点应选在何处？
【解析】在因素范围［1 000,2 000］内，用0.618法安排试验，第一个试点x i,满足X i= 1 000+ 0.618(2 000-1 oao)= l 6L8.
第二个试点毛满足』^=1COO + 2 000-L61S=13S2.试验结果，如果近的效果比兀好［消去^ = 1382 以下砌则第三个试点趋满足,T-2000 + 1 382-1 618=1 764
示意團如下：
1 U3
2 0W
10. (2020 ?湖北黄石二中调研,10分)设有一优选问题，其因素范围为1 000〜2 000，假设最优点在1 0 00 处.
(1) 若用0.618法进行优选，写出第二、三、四试点的数值；
(2) 若第一试点取在1 950处，写出第二、三、四试点的数值.
【解析】(1)由0.618法得第一试点为X1= 1 000 + 0.618 X (2 000 — 1 000) = 1 618处.由“加两头，减中间”法则得X2= 1 000 + 2 000 — 1 618 = 1 382.
•••最优点在1 00 0处，
X2 优于X1,
•••新的存优范围为［1 000,1 618］,
••• X s= 1 000 + 1 618 —1 382 = 1 236 ,
同理新的存优范围为［1 000,1 382］,
X4= 1 000 + 1 382 —1 236 = 1 146.
(2) T X1= 1 950 ,
•X2= 1 000 + 2 000 — 1 950 = 1 05 0,
•••最优点在1 000处，
•X2优于X1,
•••新的存优范围为［1 000,1 950］.
•X s= 1 000 + 1 950 — 1 050 = 1 900.
同理新的存优范围为［1 000,1 900］,
•X4= 1 000 + 1 900 — 1 050 = 1 850.
［新题训练］(分值：10分建议用时：10分钟)
11. (5分)利用纵横对折法解决双因素问题时，先将因素I固定在试验范围的中点G处，对因素n进行单因素优选得到最佳点A,同样将因素n固定在中点C2,对因素I进行单因素优选得到最佳点A,若A
处的试验结果比A处的好，则下图中阴影部分能表示好点所在范围的是()
12.
（ 5分）在配置一定量的某种清洗液时，需要加入某种溶剂，经验表明，加入量大于 5 000 mL 或
小于3 000 mL 时，效果肯定不好，用 0.618法来确定这种溶剂的最佳加入量，则前两次试验加入的量分别
为（）
B. 4 382,3 618
C. 4 236,3 764
D. 4 618,3 618
【答案”
【解折】曲=3 000+0.618X(5 000-3 000)=4 236,盂三3 000+5 000-4 225=
764.
【答案】D
【解析】因为A 处的试验结果比 A 处的好，所以存优范围包含点
A .
A. 4 500,3 500 N 亲II 囲察II 丙素II 丙索n。