自考概率论与数理统计复习资料要点总结

《概率论与数理统计》复习提要

第一章 随机事件与概率

1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则 （1）BA AB A B B A =⋃=⋃

（2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃

（3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）B A AB B A B A ⋃==⋃

3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP

（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===n

k k

n k k

A P A P 1

1

)()(

（n 可以取∞）

（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=

（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃

（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能

5．几何概率 6．条件概率

（1） 定义：若0)(>B P ，则)

()

()|(B P AB P B A P =

（2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有 （3） 全概率公式： ∑==

n

i i

i

B A P B P A P 1

)|()()(

（4） Bayes 公式： ∑==

n

i i

i

k k k B A P B P B A P B P A B P 1

)

|()()

|()()|(

7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用） 第二章 随机变量与概率分布

1． 离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）

∑i

i

p

=1

（3）对任意R D ⊂，∑∈=

∈D

x i i

i p

D X P :)(

2． 连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(

,0)(-=≥⎰

+∞

∞

dx x f x f ；

（2）⎰

=≤≤b

a

dx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P

3． 几个常用随机变量

4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质

（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续； （4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>； （5）对离散随机变量，∑≤=x

x i i

i p

x F :)(；

（6）对连续随机变量，⎰

∞

-=

x dt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =

5． 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有 （1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2

σμN X ，则)(

)(σ

μ

-Φ=x x F ；

（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6． 随机变量的函数 )(X g Y =

（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；

（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('

1

1

y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。

第三章 随机向量

1． 二维离散随机向量，联合分布列ij j i p y Y x X P ===),(，边缘分布列⋅==i i p x X P )(，j j p y Y P ⋅==)(有

（1）0≥ij p ；（2）

∑=ij

ij

p

1；

（3）∑=⋅j

ij i p p ，∑=⋅i

ij j p p 2． 二维连续随机向量，联合密度),(y x f ，边缘密度)( ),(y f x f Y X ，有 （1）0),(≥y x f ；（2）⎰⎰

+∞∞-+∞

∞

-=1),(y x f ；（3）⎰⎰=∈G

dxdy y x f G Y X P ),()),((；

（4）⎰

+∞

∞

-=

dy y x f x f X ),()(，⎰

+∞∞

-=dx y x f y f Y ),()(

3． 二维均匀分布⎪⎩

⎪

⎨⎧∈=其它 0, ),( ,)(1

),(G y x G m y x f ，其中)(G m 为G 的面积

4． 二维正态分布),,,,(~) ,(2

22

121ρσσμμN Y X ，其密度函数（牢记五个参数的含义）

⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-------=

22222121212

1222

1)())((2)()1(21ex p 121),(σμσσμμρσμρρσπσy y x x y x f 且

),(~ ),,(~2

22211σμσμN Y N X ；

5． 二维随机向量的分布函数 ),(),(y Y x X P y x F ≤≤=有 （1）关于y x ,单调非降；（2）关于y x ,右连续； （3）0),(),(),(=-∞-∞=-∞=-∞F y F x F ；

（4）1),(=+∞+∞F ，)(),(x F x F X =+∞，)(),(y F y F Y =+∞；

（5）),(),(),(),() ,(111221222121y x F y x F y x F y x F y Y y x X x P +--=≤<≤<；

（6）对二维连续随机向量，y

x y x F y x f ∂∂∂=),(),(2

6．随机变量的独立性 Y X ,独立)()(),(y F x F y x F Y X =⇔ （1） 离散时 Y X ,独立j i ij p p p ⋅⋅=⇔

（2） 连续时 Y X ,独立)()(),(y f x f y x f Y X =⇔

（3） 二维正态分布Y X ,独立0=⇔ρ，且),(~2

22

121σσμμ+++N Y X 7．随机变量的函数分布

（1） 和的分布 Y X Z +=的密度⎰

⎰+∞

∞

-+∞∞

--=-=dx x z x f dy y y z f z f Z ),(),()(

（2） 最大最小分布

第四章 随机变量的数字特征 1．期望

(1) 离散时 ∑=i

i

i p

x X E )(，∑=

i

i

i

p

x g X g E )())(( ；

(2) 连续时⎰

+∞

∞

-=

dx x xf X E )()(，⎰+∞

∞

-=dx x f x g X g E )()())((；