数列中蕴涵的数学思想(新)

数列中蕴涵的数学思想

数学思想是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中。数学思想与数学知识的形成过程同步发展，同时又贯穿于数学知识的学习理解和应用过程，是学生形成数学能力的必由之路。而数列知识中蕴涵着丰富的数学思想。

一、

10100100=+=b b 是关于n 例2、已知数列{}n c ，其中n

n n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p 。

解：因为{}n n pc c -+1是等比数列， 所以

q pc c pc c n

n n n =--+++11

2（q 为公比）即 ()n n n n pc c q pc c -=-+++112

所以 ()()[]

n n n n n n n n p q p 32323232

111122

+-+=+-+++++++

整理得 ()()023223

311

=⋅+⋅+--+--++n n n n pq pq q p q p

即 ()()022243339=+--++--n

n

pq q p pq q p 对于一切自然数都成立。 而 n

3＞0，n 2＞0，

所以

{

03390

224=+--=+--pq q p pq q p 解得

{

23

==p q 或

{

32

==p q 所以 2=p 或3=p 。

评析：此题从数列与方程的交汇处着手，根据等比数列的定义，得出一个关于自然数的恒等式，进而列方程组求解。这其中蕴涵着函数和方程的思想。

二、

例1(f S n =知：=+S q p 例2设函数f 为函数y 23评析：数形结合就是“数”与“形”的相互转化，但解决过程中往往偏重于由“数”到“形”的转化。

三、 分类讨论思想

例1、已知等比数列的前n 项之和为n S ，前1+n 项之和为1+n S ，公比q ＞0。令1

+=

n n

n S S T ，求n n T ∞→lim 。

解：当1=q 时，1na S n =，11

lim

lim =+=∞→∞

→n n

T n n n 。

当1≠q 时，()

q q a S n n --=111 ∴ 1

111++--==n n

n n n q

q S S T 若0＜q ＜1时，1lim =∞→n n T ；若q ＞1时，q

q q q

T n n

n n n 1111

lim

lim =--=∞→∞→。

n a 。 。 1

11-⎭⎝-A A n n 1评析：本题中容易误认为1≠A ，从而忽视对A 是否为1的讨论。解题中要注意讨论的分类标准和分

类的完整。

四、 化归与转化思想

例1、等差数列前n 项和为30，前n 2项和为100，则它的前n 3项和为（ ）。 （A ）130 （B ）170 （C ）210 （D ）260

解：令1=n ，则3011==a S ，100212=+=a a S 。故702=a ，则公差40=d 。∴

11040703=+=a ∴ 210323=+=a S S 故选（C ）项。

评析：化归与转化思想是指在解决数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，从而使问题得到解决。其特点在于灵活性和多样性，常用变换方法有一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化等。由于本题是选择题，因此可利用化归思想中从一般到特殊的思想。对n 进行赋值，令1=n ，较易得出答案，使解法简单化。

例2、定义：若数列{}n a 对任意+∈N n ，满足

k a a n n =-++1

2（k 为常数）。则称数列{}n a 为等差比

数列。（（数列，但31

321321

32132112112=-⨯-+⨯-⨯-+⨯=--++++++n

n n n n n n n a a a a 为常数，是等差比数列。 评析：本题把一个新定义的数列问题，通过分析、类比，转化为等差（比）数列，把未知转化为已

学、已知，体现了化归这一基本思想。

五、 特殊与一般思想

例1、已知数列{}n a 中，11=a ，且()k

k k a a 1122-+=-，k

k k a a 3212+=+，其中k =1，2，3，……。

（Ⅰ）求3a ，5a ；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式。

解：（Ⅰ）∵ ()k

k k a a 1122-+=- (1)

令1=k ，有：()01111

12=-=-+=a a

∵a 令k 又 因此{}n a 的通项公式为：

当n 为奇数时，()112123

2121--+=-+n n n a ；当n 为偶数时，()112

1

2322

--+=n n n a 。 评析：本题在由1a 求2a 、3a 、4a 、5a 时，将所给递推式中的字母k 赋以特殊值1和2分别计算，体现了由一般到特殊的过程；在求几个特殊项的过程中，观察其规律，找到数列递推关系式的特点，从而找到解题思路和方法，这就是由特殊到一般的思维飞跃。

六、有限与无限思想

例1、已知{}n a 是各项为正数的等差数列，1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列．又21

n

n b a =，1,2,3,n =．

(Ⅰ) 证明{}n b 为等比数列；

(Ⅱ) 如果无穷等比数列{}n b 各项的和1

3

S =

，求数列{}n a 的首项1a 和公差d ． (

∴ 则 限与无限思想。随着高中课程的改革，这种思想的体现和运用必将随着新增内容而得到不断加强，应该引起我们的重视。