二次函数图像性质

【解答】解：①∵ 抛物线的开口向下， ∴ a＜0，错误； ②∵ 抛物线与 y 轴的交点为在 y 轴的正半轴上， ∴ c＞0，正确； ③∵ 抛物线与 x 轴有两个交点， ∴ b2﹣4ac＞0，正确． ∴ 有 2 个正确的． 故选 C． 2．
【分析】由抛物线的开口向下得到 a＜0，由与 y 轴的交点为在 y 轴的正半轴上得到 c＞0，进一步得
∵ 对称轴为 x=
＜1，a＜0，
∴ 2a+b＜0， ∴ a＜0，b＞0， ∴ 2a﹣b＜0 ∴ 有 2 个正确． 故选 A． 3． 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称
轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：①错误，由函数图象开口向下及与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴可知，a＜0，c＜0，则
C．第三象限
D．第四象限
3．已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则 a、b、c 满足（ ）
A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0
4．抛物线 y=﹣x2+bx+c 的部分图象如图所示，若 y＞0，则 x 的取值范围是
【解答】解：∵ 二次函数 y=ax2+bx+c 的顶点在第一象限， 且经过点（0，1），（﹣1，0）， ∴ 易得：c=1，a﹣b+c=0，a＜0，b＞0， 由 a=b﹣1＜0 得到 b＜1，结合上面 b＞0，所以 0＜b＜1①， 由 b=a+1＞0 得到 a＞﹣1，结合上面 a＜0，所以﹣1＜a＜0②， ∴ 由①②得：﹣1＜a+b＜1，且 c=1， 得到 0＜a+b+c＜2， ∴ 0＜s＜2． 故选 A．
∵ 对称轴为 x=
＞0，
∴ a、b 异号，即 b＞0．
故选 D． 5． 【分析】先根据所给条件和图象特征，判断出正确图形，再根据图形特征求出 a 的值．
【解答】解：因为前两个图象的对称轴是 y 轴，所以﹣ =0，又因为 a≠0，所以 b=0，与 b＞0 矛盾；
第三个图的对称轴﹣ ＞0，a＞0，则 b＜0，与 b＞0 矛盾；
x…﹣3﹣20 1 3 5…
y… 7 0 ﹣8﹣9﹣57 …
二次函数 y=ax2+bx+c 图象的对称轴为 x=
，x=2 对应的函数值 y=
．
参考答案：
当堂检测
1.
【分析】由抛物线的开口向下得到 a＜0，由此判定①错误； 由抛物线与 y 轴的交点为在 y 轴的正半轴上得到 c＞0，由此判定②正确； 由抛物线与 x 轴有两个交点得到 b2﹣4ac＞0，由此判定③正确． 所以有 2 个正确的．
D．a＜0，b＞0，c＜0
5．已知 b＞0 时，二次函数 y=ax2+bx+a2﹣1 的图象如下列四个图之一所示：
根据图象分析，a 的值等于（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
6．二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．a＞0
B．b＞0
C．c＜0
D．abc＞0
7．二次函数 y=ax2+bx+c 的图象过原点，且与 x 轴的正半轴相交，则下列各式正确的（ ）
2． 【分析】由抛物线的开口向下知 a＜0，与 y 轴的交点为在 y 轴的负半轴上可以推出 c＜0，然后就可
以判定 ac 的符号，对称轴为 x=
＞0 可以判定 ab 的符号；由于当 x=1 时，y=a+b+c＞0，
当 x=﹣1 时，y=a﹣b+c＜0；由对称轴为 x=
＜1，a＜0 可以判定 2a+b 的符号；由 a＜
．
5．已知抛物线 y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示，若 y＞0，则 x 的取值范围是
．
6．如图，⊙O 的半径为 2，C1 是函数 y= x2 的图象，C2 是函数 y=﹣ x2 的图象，则阴影部分的面
积是
．
家庭作业
1．若二次函数 y=ax2+bx+c 的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（﹣1，0），则 S=a+b+c 的变化范
图象求出 y＞0 时，x 的范围． 【解答】解：根据抛物线的图象可知： 抛物线的对称轴为 x=﹣1，已知一个交点为（1，0）， 根据对称性，则另一交点为（﹣3，0）， 所以 y＞0 时，x 的取值范围是﹣3＜x＜1． 故答案为：﹣3＜x＜1． 5． 【分析】由图可知，该函数的对称轴是 x=1，则 x 轴上与﹣1 对应的点是 3．观察图象可知 y＞0 时 x
则阴影部分的面积 s=
=2π．
故答案为：2π． 家庭作业
1．
【分析】由二次函数的解析式可知，当 x=1 时，所对应的函数值 y=s=a+b+c．把点（0，1），（﹣1， 0）代入 y=ax2+bx+c，得出 c=1，a﹣b+c=0，然后根据顶点在第一象限，可以画出草图并判 断出 a 与 b 的符号，进而求出 S=a+b+c 的变化范围．
＜0，因为 c＜0，所以 4a+2b+c＜0； ⑥正确，因为 x=1 时，由函数的图象可知 y＞0，所以 a+b+c＞0．
故选 A． 4． 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后
根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：由抛物线的开口向下知 a＜0， 与 y 轴的交点为在 y 轴的负半轴上， ∴ c＜0，
可以得到图象与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，故可以确定抛物线 y=ax2+bx+2 的顶点所在 象限． 【解答】解：∵ 抛物线 y=ax2+bx+2 中，a＜0，b＞0， ∴ 图象开口向下，
∵ 对称轴 x=﹣ ＞0，
∴ 对称轴在 x 轴的正半轴， ∵ c=2＞0， ∴ 图象与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上， 故抛物线 y=ax2+bx+2 的顶点在第一象限． 故选 A． 10． 【分析】根据对称轴的位置、开口方向、与 y 轴的交点的位置即可判断出 a、b、c 的符号，进而求
的取值范围． 【解答】解：已知抛物线与 x 轴的一个交点是（﹣1，0）对称轴为 x=1， 根据对称性，抛物线与 x 轴的另一交点为（3，0）， 观察图象，当 y＞0 时，﹣1＜x＜3． 6． 【分析】不规则图形面积通过对称转化为可求的图形面积． 【解答】解：由图形观察可知，把 x 轴上边的阴影部分的面积对称到下边就得到一个半圆阴影面积，
①ac＜0；②ab＞0；③2a＜b；④a+c＞b；
⑤4a+2b+c＞0；⑥a+b+c＞0．
A．两个
B．源自文库个
C．四个
D．五个
4．二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，根据图象可得 a，b，c 与 0 的大小关系是（ ）
A．a＞0，b＜0，c＜0
B．a＞0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＜0，c＜0
13．如图是二次函数 y=（a x+1）2+2 图象的一部分，该图在 y 轴右侧与 x 轴交点的坐标是
．
14．抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A（1，0），B（3，0），则此抛物线的对称轴是直线 x=
．
15．如图所示的抛物线是二次函数 y=ax2﹣3x+a2﹣1 的图象，那么 a 的值是
．
16．二次函数 y=ax2+bx+c 的部分对应值如下表：
到 ＜0，由对称轴为 x=
＞0 可以推出 b＞0，最后即可确定点 M（b， ）的位置．
【解答】解：∵ 抛物线的开口向下， ∴ a＜0， ∵ 与 y 轴的交点为在 y 轴的正半轴上， ∴ c＞0，
∴ ＜0，
∵ 对称轴为 x=
＞0，
∴ a、b 异号，即 b＞0， ∴ 点 M（b， ）在第四象限．
故选 D． 3．
故第四个图正确． 由于第四个图过原点，所以将（0，0）代入解析式，得： a2﹣1=0， 解得 a=±1， 由于开口向下， a=﹣1． 故选 B． 6． 【分析】由抛物线的开口方向向上可以得到 a＞0，由与 y 轴的交点为在 y 轴的负半轴上可以推出 c
＜0，而对称轴为 x=
＞0 可以推出 b＜0，由此可以确定 abc 的符号．
C．a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＜0 D．a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0
12．初三数学课本上，用“描点法”画二次函数 y=ax2+bx+c 的图象时，列了如下表格：
x
…
﹣2
﹣1 0
1
2
…
y
…
﹣4
﹣2
…
根据表格上的信息回答问题：该二次函数 y=ax2+bx+c 在 x=3 时，y=
．
ac＞0；
②错误，由函数图象开口向下可知，a＜0，由对称轴在 x 轴的正半轴上可知，﹣ ＞
0，由于 a＜0，故 b＞0，ab＜0； ③正确，由于 a＜0，b＞0，所以 2a＜b； ④错误，由于 a＜0，c＜0，b＞0，所以 a+c＜0，故 a+c＜b；
⑤错误，由函数图象可知对称轴 x=﹣ ＞0，0＜﹣ ＜1，因为 a＜0，所以 4a+2b
围是（ ）
A．0＜s＜2
B．S＞1
C．1＜S＜2
D．﹣1＜S＜1
2．已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列 6 个代数式：ab，ac，a+b+c，a﹣b+c，2a+b，
2a﹣b 中，其值为正的式子的个数是（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
3．二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下面四个结论中正确的结论有（ ）
0，b＞0 可以判定 2a﹣b 的符号． 【解答】解：∵ 抛物线的开口向下， ∴ a＜0， ∵ 与 y 轴的交点为在 y 轴的负半轴上， ∴ c＜0， ∴ ac＞0，
∵ 对称轴为 x=
＞0，
∴ a、b 异号， 即 b＞0， ∴ ab＜0， 当 x=1 时，y=a+b+c＞0， 当 x=﹣1 时，y=a﹣b+c＜0，
【分析】由于开口向下可以判断 a＜0，由与 y 轴交于正半轴得到 c＞0，又由于对称轴 x=﹣ ＜0，
可以得到 b＜0，所以可以找到结果． 【解答】解：根据二次函数图象的性质， ∵ 开口向下， ∴ a＜0， ∵ 与 y 轴交于正半轴， ∴ c＞0，
又∵ 对称轴 x=﹣ ＜0，
∴ b＜0，
所以 A 正确． 故选 A． 4． 【分析】根据抛物线的对称轴为 x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合
a、b 异号． 【解答】解：∵ y=ax2+bx+c 的图象过原点，∴ c=0；
又∵ x=
＞0，
∴ ＜0，
∴ ab＜0． 故选 B． 8． 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称
轴及抛物线中自变量 x=1 及 x=﹣1 的情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①当 x=1 时，y=a+b+c＜0，错误；
②当 x=﹣1 时，y=a﹣b+c＞0，正确；
③由抛物线的开口向下知 a＜0，与 y 轴的交点为在 y 轴原点，c=0，对称轴为 x=
＜0，a、b 同号，即 b＜0，因此 abc=0，错误；
④∵ 对称轴为 x=
=﹣1，得 2a﹣b=0，错误；
故选 A． 9．
【分析】由 a＜0，b＞0，故其图象开口向下，由对称轴 x=﹣ ＞0 在 x 轴的正半轴，而 c=2＞0，
A．a＞0，b＜0，c＜0
B．c=0，ab＜0 C．a≠0，b＜0，c=0 D．a≠0，b≥0，c=0
8．已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①a+b+c＞0；②a﹣b+c＞0；③abc＜0；
④2a+b=0．其中正确的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
9．已知 a＜0，b＞0，那么抛物线 y=ax2+bx+2 的顶点在（
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．4 个 ） D．第四象限
10．已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，那么点（
）在平面直角坐标系中的（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
11．已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则 a，b，c 满足（ ）
A．a＜0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0，b2﹣4ac＞0
二次函数的图象
当堂检测 1．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a＞0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0， 其中正确的个数是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
2．二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，则点 M（b， ）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
【解答】解：∵ 抛物线的开口方向向上， ∴ a＞0， ∵ 与 y 轴的交点为在 y 轴的负半轴上， ∴ c＜0，
∵ 对称轴为 x=
＞0，
∴ a、b 异号，即 b＜0， ∴ abc＞0． 故选 B． 7．
【分析】二次函数 y=ax2+bx+c 的图象过原点，则可判断 c=0，由对称轴公式 x=
＞0，即可判断