小学数学教材中渗透的类比思想课件
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什么是数学？数 学就是符号加逻
辑。
罗素
英国著名哲学家数学家
数学思想方法在小学数学的渗透人民教 育出版社小学数学室陶[001]
1．数学符号系统的形成。
➢萌芽状态
从数学早期到17世纪以前，数字的符号化处于低 级的萌芽状态。这个时期的数学家虽然有时也创用一 些符号来代替文字，但其思想总不能脱离具体的事和 物，和“符号化”还有相当的距离。以记数符号为例。
xAiiai-、, 9Ebx、, ii+cI、表2O示6x已表-知示2数未4知∞数0 x3x-, B9y、x,2Gz+、表2D示6表x未-示知2已数4知=数0
数学思想方法在小学数学的渗透人民教 育出版社小学数学室陶[001]
笛卡尔 (1596-1650 )
➢开始注意符号的科学性和合理性。
17世纪后半叶，数学家们不仅普遍地使用符号 去表述、研究数学，而且开始注意符号的科学性和 合理性。反复研究用怎样的符号才能简洁、准确地 反映数学概念的本质。
如： =, ≈, >, <等。 ∥ Ａ B
➢性质符号：表示数或形的性质符号。如：正号“＋”负号 “－”。
➢结合符号：如：( )〔 〕{ }等。
数学思想方法在小学数学的渗透人民教 育出版社小学数学室陶[001]
➢ 建立约定的规范的数学符号系统
17、18两个世纪里，形成共同约定的、规范的、形 式化的数学符号系统。
由三个层次构成： 基本符号：+ ，-；△，□；a，x。 组合符号：“3×2”“a +b”“n!” 公式符号：“3×2＜7”“a +b =b +a”“a∥b”
2．符号化思想的含义。
人们有意识地、普遍地运用符号去表述、研究 数学的思想。
浅谈在小学数学中数与代数教学中如何渗透数学思想方法精品PPT课件
的数学能力、提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。
•小学数学教材中渗透的数学思想方法主要有：
数形结合、集合、对应、分类、函数、极限、化归、归纳、 符号化、数学建模、统计、假设、代换、比较、可逆等思 想方法。
教学中，要明确渗透数学思想方法的意义，认识数学思想 方法是数学的本质之所在、是数学的精髓，只有方法的掌 握、思想的形成，才能使学生受益终生。
我们所经历的工作、圈子的人际交往 或多或 少会带 给人一 些疑问 。
我的意见和想法是否能被ta接受？ ta对于我的idea又是一种怎样的想法 ？ 如果彼此都不满意，我们求同存异这 样真的 会好吗 ？
这种存在差异性的想法，换个角度稍 加思索 一番， 就可以 发现： 其实，人与人之间的沟通和理解几乎 是不可 能的。
三、困惑 在实践研究中，我又面临着如下困惑与思考：
1、新课程将数学思想方法纳入到“知识与技能”这 一教学目标范畴，丰富了数学知识的内涵。但在小 学阶段的“内容和要求”中，对数学思想方法的教 学要求略显笼统，没有明确细化为适合不同学段的 数学思想方法，这给教师的教学把握带来一定困难。
• 2、对小学生数学学习的评价偏重于传统意义上的“双基”， 体现与运用数学思想方法的数学问题偏少，不便考察教师 对数学思想方法的教学效果和学生的数学素养，对于学生 应用数学思想方法促进创造性数学思维活动的评价有待于 进一步的探索。
• （2）数的运算
• 着重复习整数、小数、分数的四则运算，包括四则运算 的意义、计算方法、运算定律及其应用。
• 例如新教材将“运算定律、性质”整合在一起学习，就是 要突出“归纳类比”的思想方法，发展学生的直觉思维， 促进学生的学习迁移，实现对“运算定律、性质”的完整 认识。当然在学习过程中还要用到“观察，猜想，验证” 等方法。只有在教学预设中确定了要渗透的主要数学思想 方法，教师才会去研究落实相应的教学策略，减少盲目性 和随意性。
•小学数学教材中渗透的数学思想方法主要有：
数形结合、集合、对应、分类、函数、极限、化归、归纳、 符号化、数学建模、统计、假设、代换、比较、可逆等思 想方法。
教学中，要明确渗透数学思想方法的意义，认识数学思想 方法是数学的本质之所在、是数学的精髓，只有方法的掌 握、思想的形成，才能使学生受益终生。
我们所经历的工作、圈子的人际交往 或多或 少会带 给人一 些疑问 。
我的意见和想法是否能被ta接受？ ta对于我的idea又是一种怎样的想法 ？ 如果彼此都不满意，我们求同存异这 样真的 会好吗 ？
这种存在差异性的想法，换个角度稍 加思索 一番， 就可以 发现： 其实，人与人之间的沟通和理解几乎 是不可 能的。
三、困惑 在实践研究中，我又面临着如下困惑与思考：
1、新课程将数学思想方法纳入到“知识与技能”这 一教学目标范畴，丰富了数学知识的内涵。但在小 学阶段的“内容和要求”中，对数学思想方法的教 学要求略显笼统，没有明确细化为适合不同学段的 数学思想方法，这给教师的教学把握带来一定困难。
• 2、对小学生数学学习的评价偏重于传统意义上的“双基”， 体现与运用数学思想方法的数学问题偏少，不便考察教师 对数学思想方法的教学效果和学生的数学素养，对于学生 应用数学思想方法促进创造性数学思维活动的评价有待于 进一步的探索。
• （2）数的运算
• 着重复习整数、小数、分数的四则运算，包括四则运算 的意义、计算方法、运算定律及其应用。
• 例如新教材将“运算定律、性质”整合在一起学习，就是 要突出“归纳类比”的思想方法，发展学生的直觉思维， 促进学生的学习迁移，实现对“运算定律、性质”的完整 认识。当然在学习过程中还要用到“观察，猜想，验证” 等方法。只有在教学预设中确定了要渗透的主要数学思想 方法，教师才会去研究落实相应的教学策略，减少盲目性 和随意性。
五年级下册数学数与代数教学中如何渗透数学思想方法人教版11张标准课件
等。 纵比向较： 上包述括方自法然的数异、同整，数结、果小发数现、方分法数①、是百通分法数，的方有法关②概—念—，⑥以是及巧负法数。的初步认识；
“小数学与 数代学数教”材是中渗《透数的学数课学程思标想准方》法标主准要设有计：的四个学习领域之一。 ⑥《1课1标00》÷指25出＝：10培00养÷学2生5＋“1用00数÷学25的眼光去认识自己所生活的环境和社会”，学会“数学地思考”，即运用数学知识、方法去 ③分1析1事00物÷、25思＝考11问00题÷。5÷5 ④1100÷25＝11×（100÷25）
表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式 思如想何， 在再小通学过数给学这教些学数中分渗类透，数引学入思质想数方、法合数的概念，渗透分类思想。
⑤（141）0式0÷与2方5＝程1100÷100×4 ④用1字1母00表÷示25数＝、11简×单（的10方0÷程2及5应）用。 数着形重结 复合习、小集学合阶、段对所应学、数分的类概、念函。数、极限、化归、归纳、符号化、数学建模、统计、假设、代换、比较等思想方法。
通过研究长度计量单位之间的转换，迁移到面积，体积， 容积的转化。例如1米=10分米，而在教学生1平方米=多少 平方分米的时候，先让学生自己去猜测，然后让学生理解1 平方米其实就是1米×1米得来的，因此把1米换成10分米，1 米×1米=10分米×10分米，得出1平方米=100平方分米。学 生在学习的过程中应用了代换的数学思想。
（2）数的运算 整数、小数、分数的四则运算，包括四则运
算的意义、计算方法、运算定律及其应用。 新教材将“运算定律、性质”整合在一起学
习，就是要突出“归纳类比”的思想方法，发展 学生的直觉思维，促进学生的学习迁移，实现对 “运算定律、性质”的完整认识。当然在学习过 程中还要用到“观察，猜想，验证”等方法。
“小数学与 数代学数教”材是中渗《透数的学数课学程思标想准方》法标主准要设有计：的四个学习领域之一。 ⑥《1课1标00》÷指25出＝：10培00养÷学2生5＋“1用00数÷学25的眼光去认识自己所生活的环境和社会”，学会“数学地思考”，即运用数学知识、方法去 ③分1析1事00物÷、25思＝考11问00题÷。5÷5 ④1100÷25＝11×（100÷25）
表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式 思如想何， 在再小通学过数给学这教些学数中分渗类透，数引学入思质想数方、法合数的概念，渗透分类思想。
⑤（141）0式0÷与2方5＝程1100÷100×4 ④用1字1母00表÷示25数＝、11简×单（的10方0÷程2及5应）用。 数着形重结 复合习、小集学合阶、段对所应学、数分的类概、念函。数、极限、化归、归纳、符号化、数学建模、统计、假设、代换、比较等思想方法。
通过研究长度计量单位之间的转换，迁移到面积，体积， 容积的转化。例如1米=10分米，而在教学生1平方米=多少 平方分米的时候，先让学生自己去猜测，然后让学生理解1 平方米其实就是1米×1米得来的，因此把1米换成10分米，1 米×1米=10分米×10分米，得出1平方米=100平方分米。学 生在学习的过程中应用了代换的数学思想。
（2）数的运算 整数、小数、分数的四则运算，包括四则运
算的意义、计算方法、运算定律及其应用。 新教材将“运算定律、性质”整合在一起学
习，就是要突出“归纳类比”的思想方法，发展 学生的直觉思维，促进学生的学习迁移，实现对 “运算定律、性质”的完整认识。当然在学习过 程中还要用到“观察，猜想，验证”等方法。
浅谈在小学数学中数与代数教学中如何渗透数学思想方法23页PPT
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
浅谈在小学数学中数与代数教学中如何 渗透数学思想方法
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
浅谈在小学数学中数与代数教学中如何 渗透数学思想方法
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
小学数学知识点解读与学习策略60——类比思想
小学数学知识点解读与学习策略60——类比思想小明有6块糖，小红有3块糖，小明的糖块数是小红的2倍；小明有6块糖，小红有4块糖，小明的糖块数是小红的1.5倍；小明有6块糖，小红有6块糖，小明的糖块数是小红的1倍；小明有6块糖，小红有8块糖，小明的糖块数是小红的0.75倍；小明有6块糖，小红有9块糖，小明的糖块数是小红的2/3倍；……当他们的糖块数的倍数关系不能用整数或小数表示时，可以用分数来表示，于是得到了“求一个数是另一个数的几分之几”与“求一个数是另一个数的几倍”有着相同的本质，这便是通过类比推理而得到的结论。
类比是合情推理常用的思维方法，其特点就是利用两个或多个对象的某些方面的相同或相似性，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法。
郑毓信教授在论述数学类比时指出：成功应用类比的关键是“求同存异”。
所谓“求同”，就是在抽象分析的基础上找到两个对象的相似之处，这是产生联想的必要前提；所谓“求异”，则是指新的猜测的产生并不是简单的重复、模仿，而是一种创造性的工作。
特别是在由已知事实去引出新的猜测时，必须注意分析两者之间存在的差异，依据具体的情况做出调整。
例如：在理解等边三角形与等腰三角形的关系时，类比就是一种很好的学习方法。
用长度为8cm、8cm和5cm的小棒去拼三角形，并指出它的腰、底、顶角和底角，接着思考：这个等腰三角形的底，还可以换成怎样长度的小棒？动手操作试一试，并记录数据。
（可以是长度为1cm到15cm的小棒）当底边小棒长度为8cm时，原三角形仍然是等腰三角形，这一点孩子是同意的。
但此时的等腰三角形具有特殊性，它的三条边都相等三个角也都相等。
于是，人们就给这样的三角形起了个特殊的名称叫等边三角形。
接着进行类比：等边三角形还是等腰三角形吗？它与等腰三角形有怎样的关系？通过类比等腰三角形和等边三角形腰的特点，寻找出“两腰相等”仍是它们相同的特征，因此可以说等边三角形仍是等腰三角形，只不过是一种特殊的等腰三角形，从而建构起等边三角形与等腰三角形的关系。
如何在小学数学课堂教学当中渗透数学思想方法(农村适用)精品PPT课件
1．对应思想方法
对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。
小学数学教学中主要利用虚线、实线、箭头、计数器等图形将元素与元素、实物与实物、数与算式、量与量联系起来，渗透对应思想。
如直线上的点（数轴）与表示具体的数是 一一对应。
一、小学数学课堂教学中为什么要渗透数学思想方法？
结论：在教学中不仅要重视知识的形成过程，还要十分重视发掘在数学知识的发生、形成和发展中所蕴含的重要数学思想方法。
一、小学数学课堂教学中为什么要渗透数学思想方法？
所谓的数学思想：是指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中普遍的规律，它直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性认识。
又如一年级的“加法和减法”等都会用到数形结合的思想。
六年级上册的数学广角体现的就是数形结合的思想。
10．统计思想方法
在生产、生活和科学研究时，人们通常需要有目的地调查和分析一些问题，就要把收集到的一些原始数据加以归类整理，从而推理研究对象的整体特征，这就是统计的思想和方法。小学数学中的统计图表是一些基本的统计方法，求平均数解决问题是体现出数据处理的思想方法。我们要比较两个班的学习情况，以班级学生的平均成绩作为该班成绩的标志是有一定说服力的，这是一种最常用、最简单方便的统计方法。
如平行四边形面积推导，当教师通过创设情境使学生产生迫切要求出平行四边 形面积的需要时，可以将“怎样计算平行四边形的面积”直接抛向学生，让学生 独立自由地思考。这时学生就会调动所有的相关知识及经验储备， 寻找转化的方法，解决问题。学生可以动手把平行四边形剪一剪、拼一拼， 最后得到的长方形和原来的平行四边形的面积是相等的（等积转化）。在这个 前提之下，长方形的长就是平行四边形的底，宽就是高，所以平行四边形的面积就等于底乘高。
人教版六年级上册数学《比的认识》课堂PPT
引入新课
通过生活中的实例，引导学生认识到 比的重要性，比如通过比较身高、体 重等数据来评估健康状况。
简要介绍本节课将要学习的内容，包括 比的定义、性质、应用等。
明确学习目标
掌握比的定义和性质， 理解比与分数、除法 之间的关系。
能够运用比的知识解 决一些实际问题，如 按比例分配、比较大 小等。
能够正确读写比，掌 握求比值和化简比的 方法。
02 比的基本概念
比的定义
比是两个同类量之间的关系，表 示两个数相除。
比的前项和后项必须是同一种量， 且不能为0。
比的结果是一个商，没有单位。
比的表示方法
用“:”表示比，如3:2，读作“三比 二”。
用除法表示比，如3÷2，读作“三除 以二”。
用分数表示比，如3/2，读作“三分 之二”。
比与除法、分数的关系
斐波那契数列
斐波那契数列又称黄金分割数列， 因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔 子繁殖为例子而引入，故又称为 “兔子数列”。这个数列从第3项 开始，每一项都等于前两项之和。
黄金分割与斐波那契 数列的关系
斐波那契数列与黄金分割有着密 切的联系。当斐波那契数列的项 数趋于无穷大时，前一项与后一 项的比值越来越逼近黄金分割的 比值0.618。
人教版六年级上册数学《比 的认识》课堂PPT
目录
• 课程导入 • 比的基本概念 • 比的性质 • 比的应用 • 解决问题策略 • 课堂小结与拓展延伸
01 课程导入
回顾旧知
01
复习之前学过的分数知识，包括分 数的意义、性质、四则运算等。
02
回顾与比相关的概念，如比例、比 值等，为后续学习打下基础。
THANKS
感谢观看
比例尺的种类
数学课件第1章 1.1、1.2 归纳与类比
解：如右图，在四面体 A-BCD 中，任取一点 O，连接 AO，
DO，BO，CO 并延长分别交四个面于点 E，F，G，H，
则OAEE＋ODFF＋OBGG＋OCHH＝1.
证明如下：
在四面体 O -BCD 与 A-BCD 中，
1
OAEE＝hhOA
-BCD＝3S△BCD·hO
-BCD
1 3S△BCD·hA
做势能．
[想一想] 4.橡皮筋拉的越长，弹性势能越大吗？ 提示：不是.在弹性限度内，橡皮筋拉的越长，弹性势能越大 ;如果超过了橡皮筋的弹性限度，弹性势能就不再随着橡皮筋 的拉长而增大.
对动能的理解
1．动能是标量 动能只与运动物体的质量以及速率有关，而与其运动方向无 关，即动能只有大小，没有方向． 2．动能是状态量 速度是状态量，一定质量的物体，速率不同，动能不同，动 能也是状态量．
5．类比推理的一般步骤 第一步，找出两类事物之间的相似性或一致性；第二步， 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的 命题(猜想)． 6．根据解决问题的需要，我们有时对概念、结论进行类 比，有时对方法进行类比．
7．归纳推理与类比推理的区别与联系 (1)联系 ①都是合情推理，都是常用的思维方法． ②都能由已知推测未知，都能用于猜测、推理，得出的结 论都有待于进一步证明． ③二者的推理过程可概括为：
2．已知 O 是△ABC 内任意一点，连接 AO，BO，CO 并延 长交对边于点 A′，B′，C′，则OAAA′′＋OBBB′′＋OCCC′′＝1， 这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”．
OAAA′′＋OBBB′′＋OCCC′′＝SS△△OABBCC＋SS△△OABCCA＋SS△△OABACB＝SS△ △AABBCC＝1. 请运用类比思想，对于空间中的四面体 A-BCD，存在什么 类似的结论？并证明．
浅谈在小学数学中数与代数教学中如何渗透数学思想方法共23页PPT
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
浅谈在小学数学中数与代数教学中如何 渗透数学思想方法
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
45、自己的饭量自己知道。——苏联
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
浅谈在小学数学中数与代数教学中如何 渗透数学思想方法
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
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例2：如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙 （墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔 有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2． （1）求S与x的函 数关系式；
17
（2）如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的 长是多少米？ （3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果 能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能， 请说明理由．
18
例3：全国高考题：如果实数x、y满足
y
（x-2）2 + y2 =3，那么 是．
x
的最大值
y
2
x
1 x2
4 x
1
19
4、化归与转化思想
化归与转化思想是解决数学问题的一种重 要思想方法。化归的手段是多种多样的,其最 终目的是将未知的问题转化为已知问题来解。 实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简 单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽 象问题向具体问题转化等。如在加法的基础 上，利用相反数的概念，化归出减法法则， 使加、减法统一起来，得到了代数和的概念； 在乘法的基础上，利用倒数的概念，化归出 除法法则，使互逆的两种运算得到统一。
2
一、对概念的理解
所谓数学思想，是指人们对数学理 论与内容的本质认识，是对数学知识和 数学方法的进一步抽象和概括，它直接 支配着数学的实践活动，属于对数学规 律的理性认识的范畴。
所谓数学方法， 是指某一数学活动 过程的途径、程序、手段，它具有过程 性、层次性和可操作性等特点。
3
数学思想是数学方法的灵魂，数学 方法是数学思想的表现形式和得以实现 的手段，同一数学成果，当用它去解决 别的问题时，则称为方法；当论及它在 数学体系中的价值和意义时，则称之为 思想。
A
AE42 2或 １
17
（2）如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的 长是多少米？ （3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果 能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能， 请说明理由．
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例3：全国高考题：如果实数x、y满足
y
（x-2）2 + y2 =3，那么 是．
x
的最大值
y
2
x
1 x2
4 x
1
19
4、化归与转化思想
化归与转化思想是解决数学问题的一种重 要思想方法。化归的手段是多种多样的,其最 终目的是将未知的问题转化为已知问题来解。 实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简 单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽 象问题向具体问题转化等。如在加法的基础 上，利用相反数的概念，化归出减法法则， 使加、减法统一起来，得到了代数和的概念； 在乘法的基础上，利用倒数的概念，化归出 除法法则，使互逆的两种运算得到统一。
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一、对概念的理解
所谓数学思想，是指人们对数学理 论与内容的本质认识，是对数学知识和 数学方法的进一步抽象和概括，它直接 支配着数学的实践活动，属于对数学规 律的理性认识的范畴。
所谓数学方法， 是指某一数学活动 过程的途径、程序、手段，它具有过程 性、层次性和可操作性等特点。
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数学思想是数学方法的灵魂，数学 方法是数学思想的表现形式和得以实现 的手段，同一数学成果，当用它去解决 别的问题时，则称为方法；当论及它在 数学体系中的价值和意义时，则称之为 思想。
A
AE42 2或 １
小学数学思想方法第5讲类比与转化
小学数学思想方法第五讲类比和转化当一个比较陌生或复杂的问题与一个比较熟悉或简单的问题之间具有某种相似性的时候，可以把解决前者所用的方法加以推广应用到后者，这种思想方法叫做类比。
类比是一种非常有用的思想方法，不过因为任何两个相似的对象之间总会有一定的差异，不恰当的类比也可能产生错误，因此在使用类比方法时要注意避免发生这种情况。
例1 如图，一个正方形可以分成4个小正方形。
能否把一个正方形分成6个、7个、8个，以至更多的小正方形(大小不一定相同)？解：用类比的方法容易想到，可以先把一个正方形分成9个小正方形，再反其道而行之，把其中4个小正方形合并成1个较大的正方形，就能得到6个正方形(图1)。
进而想到分成7个小正方形的方法(图2)。
再与分成6个正方形的方法类比，就能想到分成8个小正方形的方法(图3)。
要得到10个小正方形，只要先分成7个小正方形，再把其中的1个小正方形分成4个更小的正方形就可以了。
照这样，分成再多的小正方形都是可以做到的。
图1图2图3例2 一段楼梯有10个台阶，如果规定每一步只能登上一个或两个台阶，那么，要登上第10个台阶，有多少种不同的走法？解：从最简单的情况入手：根据已知条件，登上第1个台阶只有1种走法。
登上第2个台阶就有2种走法。
登上第3个台阶，既可以从第2个台阶向上一步登一个台阶，也可以从第1个台阶向上一步登两个台阶。
登上第4个台阶，既可以从第3个台阶向上一步登一个台阶，也可以从第2个台阶向上一步登两个台阶。
由此得到一种带有普遍性的走法：登上第n个台阶的走法an ，等于登上第n－1个台阶的走法an-1和登上第n－2个台阶的走法an-2的和，即an ＝an-1＋an-2。
由于a1＝1，a2＝2。
所以，登上各个台阶的走法数依次为1, 2，3, 5，8, 13, 21, 34, 55, 89。
于是登上第10个台阶有89种不同的走法。
这里所使用的方法也叫“递推”，就是一步一步推下去的意思，著名的菲波那契数列就是用这种方法得到的。
小学数学拓展课程之数学思想方法渗透解读及设计(K)精品PPT课件
小学数学拓展课程之数学思想方法渗透解读及设计
例2 明明家有一些苹果和梨，苹果的个数如果再 增加5个，就恰好是梨个数的3倍。若每天吃4个苹 果和2个梨，当梨吃完时苹果还剩15个。原来梨和 苹果各有多少个？
小学数学拓展课程之数学思的速度，需 11天；用一天70页的速度，需9天。现在 要使每天读的页数能跟读完这本书的天 数相等，每天应读多少页？
归纳思想、演绎思想、类比思想、公理 化思想、转化思想、化归思想、代换思 想、逐步逼近思想等。
简化思想、量化思想、函数思想、方程 思想、优化思想、随机思想、统计思想 等。
《义务教育数学课程标准（2011版）解读》 P119
小学数学拓展课程之数学思想方法渗透解读及设计
第二种分法： 观念型思想、策略型思想和概念型思想
小学数学拓展课程之数学思想方法渗透解读及设计
例16 甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行， 相遇时离A地80米，相遇后各自仍以原速前进，各 自到达对方出发点后立即返回，结果又在离A地60 米处相遇，A、B两地相距多少米？
小学数学拓展课程之数学思想方法渗透解读及设计
小学数学拓展课程之数学思想方法渗透解读及设计
小学数学拓展课程之 数学思想方法渗透解读及设计
慈溪市第三实验小学 罗忠强
小学数学拓展课程之数学思想方法渗透解读及设计
小学数学拓展课程之数学思想方法渗透解读及设计
小学数学拓展课程之数学思想方法渗透解读及设计
教材中用方程解？？
小学数学拓展课程之数学思想方法渗透解读及设计
例13 小明一分钟吹一次肥皂泡，每次恰好吹出 100个。肥皂泡吹出后，经过一分钟有一半破了， 经过两分钟还有 没210有破，经过两分钟半肥皂 泡全部破了。小明在第20次吹出100个新的肥皂 泡的时候，没有破的肥皂泡一共有多少个？
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小学数学教材中渗透的类比思想
类比的一般模式： S对象具有（或不具有） 性质a、b、c、d； S′对象具有（或不具有）
性质a′、b′、c′； a′、b′、c′与a、b、c、相 同或相似。
整个思维过程是以“联想”为前提；以“相 似性”为向导；以提出“猜想”为使命；以发 现“新规律”为目的。
小学数学教材中渗透的类比思想
例如：“比的基本性质”的教学 “乘法运算律”的教学
小学数学教材中渗透的类比思想
小学数学教材中渗透的类比思想
小学数学教材中渗透的类比思想
小学数学教材中渗透的类比思想
（2）渗透类比思想建构知识网络
运用类比法将各知识点串联起来有利于 学生更好的掌握知识，能使所学的知识更加 系统化。
如在小学数学应用题中，“工程问题”中的 三个数量有：工作效率×工作时间=工作总 量 “行程问题”中的三个量也有类似的关 系：速度×时间=路程。因此，工程问题的 解法可以类推到行程问题中去。
对不同的数学概念运用类比进行比较 分析，通过异同的比较能使学生加深对 概念内涵的理解。 例如“反比例”的教学
小学数学教材中渗透的类比思想
y／x =2 与xy=3 两者的区别在哪？前者可以 用通式y／x= k（k为常数，k≠0）来表示，后 者呢？
小学数学教材中渗透的类比思想
小学数学教材中渗透的类比思想
类 比 思 想 方 法
小学数学教材中渗透的类比思想
类比思想
内涵：把某一或几个方面彼此一致的新旧
事物放在一起相比较, 让学生由旧事物的已知 属性推出或猜想新事物也具有相同或类似属 性的一种逻辑推理方法。
类比是一种间接推理的思想方法 ，也是一 种科学研究的方法。它包含特殊到特殊的类 比, 也包含一般到一般的类比。
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
小学数学教材中渗透的类比思想
小学数学教材中渗透的类比思想
客车从甲地开往乙地要10小时，货车从乙地 开往甲地要15小时，如果两车分别从甲、乙 两地同时相对开出，几小时可以相遇？
想一想
【解析】可以把总路程看作单位“1”，客车速 度看作1/10，货车速度看作1/15。
从上一题的解法可以类推出本题的解法 为：1÷（1/15+1/10）。
在小学数学课堂教学中渗透类比思想，通 过以下几个方面实现：
（1）渗透类比思想探究新知 （2）渗透类比思想建构知识网络 （3）渗透类比思想激发创新思维 （4）渗透类比思想加深对概念的理解
小学数学教材中渗透的类比思想
（1）渗透类比思想探究新知
数学中有些知识是难以让学生理解 和接受的，倘若在教学中，讲授新知识 时联系旧知识，将新旧类比分析，将能 让学生更加理解知识，同时也能突破难 点，降低教学难度。
小学数学教材中渗透的类比思想
一件工程，甲队单独做20小时完成，乙 队单独做30小时可以完成，两队合做， 几小时可以完成全工程？
想一想
【解析】工作总量可以看作单位“1”，甲 队的工作效率可以看作1/20，乙队的工 作效率以看作1/30，根据工作总量÷工 作效率和=工作时间 这题的解法是：1÷（1/20+1/30）。
小学数学教材中渗透的类比思想
（3）渗透类比思想激发创新思维 在新知教学中，将某些公式的推导过程方 法进行类比迁移，则能激发学生进行探索与 创新。
小学数学教材中渗透的类比思想
小学数学教材中渗透的类比思想
小学数学教材中渗透的类比思想
小学数学教材中渗透的类比思想
小学数学教材中渗透的类比思想
（4）渗透类比思想加深对概念的理解
类比的一般模式： S对象具有（或不具有） 性质a、b、c、d； S′对象具有（或不具有）
性质a′、b′、c′； a′、b′、c′与a、b、c、相 同或相似。
整个思维过程是以“联想”为前提；以“相 似性”为向导；以提出“猜想”为使命；以发 现“新规律”为目的。
小学数学教材中渗透的类比思想
例如：“比的基本性质”的教学 “乘法运算律”的教学
小学数学教材中渗透的类比思想
小学数学教材中渗透的类比思想
小学数学教材中渗透的类比思想
小学数学教材中渗透的类比思想
（2）渗透类比思想建构知识网络
运用类比法将各知识点串联起来有利于 学生更好的掌握知识，能使所学的知识更加 系统化。
如在小学数学应用题中，“工程问题”中的 三个数量有：工作效率×工作时间=工作总 量 “行程问题”中的三个量也有类似的关 系：速度×时间=路程。因此，工程问题的 解法可以类推到行程问题中去。
对不同的数学概念运用类比进行比较 分析，通过异同的比较能使学生加深对 概念内涵的理解。 例如“反比例”的教学
小学数学教材中渗透的类比思想
y／x =2 与xy=3 两者的区别在哪？前者可以 用通式y／x= k（k为常数，k≠0）来表示，后 者呢？
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小学数学教材中渗透的类比思想
类 比 思 想 方 法
小学数学教材中渗透的类比思想
类比思想
内涵：把某一或几个方面彼此一致的新旧
事物放在一起相比较, 让学生由旧事物的已知 属性推出或猜想新事物也具有相同或类似属 性的一种逻辑推理方法。
类比是一种间接推理的思想方法 ，也是一 种科学研究的方法。它包含特殊到特殊的类 比, 也包含一般到一般的类比。
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小学数学教材中渗透的类比思想
客车从甲地开往乙地要10小时，货车从乙地 开往甲地要15小时，如果两车分别从甲、乙 两地同时相对开出，几小时可以相遇？
想一想
【解析】可以把总路程看作单位“1”，客车速 度看作1/10，货车速度看作1/15。
从上一题的解法可以类推出本题的解法 为：1÷（1/15+1/10）。
在小学数学课堂教学中渗透类比思想，通 过以下几个方面实现：
（1）渗透类比思想探究新知 （2）渗透类比思想建构知识网络 （3）渗透类比思想激发创新思维 （4）渗透类比思想加深对概念的理解
小学数学教材中渗透的类比思想
（1）渗透类比思想探究新知
数学中有些知识是难以让学生理解 和接受的，倘若在教学中，讲授新知识 时联系旧知识，将新旧类比分析，将能 让学生更加理解知识，同时也能突破难 点，降低教学难度。
小学数学教材中渗透的类比思想
一件工程，甲队单独做20小时完成，乙 队单独做30小时可以完成，两队合做， 几小时可以完成全工程？
想一想
【解析】工作总量可以看作单位“1”，甲 队的工作效率可以看作1/20，乙队的工 作效率以看作1/30，根据工作总量÷工 作效率和=工作时间 这题的解法是：1÷（1/20+1/30）。
小学数学教材中渗透的类比思想
（3）渗透类比思想激发创新思维 在新知教学中，将某些公式的推导过程方 法进行类比迁移，则能激发学生进行探索与 创新。
小学数学教材中渗透的类比思想
小学数学教材中渗透的类比思想
小学数学教材中渗透的类比思想
小学数学教材中渗透的类比思想
小学数学教材中渗透的类比思想
（4）渗透类比思想加深对概念的理解