线性代数第十三讲PPT课件
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线性代数
Linear Algebra
十三
石春超
本讲主要内容
一. 矩阵的秩 —— 概念及求法。
矩阵秩的概念
子式的概念
定义 1 在mn矩阵A中任取 k行k列（ km, kn），位于这些行 处列 的交 个 k2叉 元素 ,不改 变它们A在 中所处的位置次 的k序 阶而 行得 列式， 称为矩A阵 的k阶子.式
或者推论 1 和 推论 2 可合并成下述一个命题：
推 若 可 论 P , Q ， 逆 P B A ， 使 矩 R A Q R 则 B 阵 .
矩阵的秩与标准形
推 若 可 论 P , Q ， 逆 P B A ， 使 矩 R A Q R 则 B 阵 .
若A的秩为 r,则A的标准形为
1 1
r4 4r2
0 0
0 0
0 0
wenku.baidu.com
4 8 4 8
r4 r3
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R(A)3.
求A的一个最高阶子. 式 R (A )3, 知A的最高阶非零子 3阶式. 为
A的3阶子式共有C 4 3•C 5 34个 0. 考察A的行阶梯形矩阵，
23
又A的3阶子式只有A一 ，且 个A0，
R (A )2.
秩的基本性质
mn矩A 阵 的R 秩 (A)是 A中不等于 子式的.最高阶数
① 显 0 R ( A 然 m n ) m m ： ， n i .n
② 对于AT，显R 有 (A T)R (A ).
③ m R A a , R B x R A B .(矩, 阵增广, 则秩增加)
0.
R A 2.
另解
对矩A 阵
1 0
3 2
2 1
32做初等变换
2 0 1 5
1 3 2 2 1 3 2 2 0 2 1 3~0 2 1 3,
2 0 1 5 0 0 0 0
显然，非零行的行数为2，
R A 2.
此方法简单！
谁发明了矩阵的秩的概念？
F. G. Frobenius(1849-1917)，德国数学家
由子式引入秩的概念
定义2 设在矩阵A中有一个不等0于的 r 阶子 式D，且所有r 1阶子式（如果存在） 的全 话等 于0，那末D称为矩阵 A的最高阶非零子式， r 数 称为矩阵A的秩，记作 R( A) .并规定零矩阵的秩 等于零.
例
求矩阵 A12
2 3
35的秩 .
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4
1 3
6 2
4 3
1 6
4 1
2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4
r1 r4
0 4
3
1 1
r2 r4
2 0 3 2
F. G. Frobenius(1849-1917)，德国数学家
• 1870年，获柏林大学博士学位，导师为“现代 分析之父”Weierstrass (维尔斯特拉斯)。 • 1892年，当选为普鲁士科学院院士。
• 对代数学域论、群论，以及对数论多有贡献。
矩阵秩的求法
初等变换与矩阵的秩
因 为 对 于 任 何 Amn矩 ,总阵可 经 过 有 限 次 等 行 变 换 把 它 变 梯为 形 .那 行么 阶， 是 否 可 利 其 行 阶 梯 形A来 的求 秩 呢 ？
④ 可逆矩阵的秩
设n阶可逆矩A阵 ， A0, A的最高阶非零子A,式为
R(A)n.
可逆矩阵的秩 ，等 故于 称阶 可数 逆矩 为满秩.奇 矩异阵 矩阵为降秩矩阵.
2 1 0 3 2
例
求矩阵 B00
3 0
1 0
2 4
35的秩 .
0 0 0 0 0
解 B是一个行阶梯其 形非 矩零 阵3行 ， 行有 ，
记 A (a 1 ,a 2,a 3,a 4,a 5)则 , B 矩 (a 1 ,a 阵 2,a 4)的行 阶梯形 1 6 矩 1 阵为
0 4 1 0 0 4 R (B )3, 0 0 0
故B中必3有 阶非零.子 且式 共有 4个. 计算B的前三行构成的子式
3 2 5 32 5 2 0 5 2 0 5 3 2 6 6 0 11
B的所4有 阶子式全 . 为零
2 1 3 而 0 3 2 0, R (B )3.
00 4
⑤ 行阶梯形矩阵的秩
行阶梯形矩阵的秩即 为其非零行的行数。
例
已知A
1 0
3 2
2 1
32，求该矩阵的
2 0 1 5
解
1
3 20,
计算A的3阶子式，
02
1 3 2 1 3 2 3 2 2 1 2 2 0 2 1 00, 2 3 20, 1 3 00, 1 3 0, 2 0 1 2 0 5 0 1 5 2 1 5
ii)i A~B的充要条m件 阶 可 是逆 存 P矩 在阵 及 n阶 可逆Q 矩 , 使 阵 得 PAQ B．
初等变换与矩阵的秩
推 若 可 论 P ， 逆 1 P B ， A 使 矩 R A R 则 B 阵 . 推 若 可 论 Q ， 逆 2 A B ， 使 Q 矩 R A R 则 B 阵 .
1 0
5 3 5 0
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4 r3 2 r1 r4 3 r1
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
1 6 4 1 4
r3 3r2
0
4
3
问题：经过初等变换矩阵的秩变吗？
定 若 A ~ 理 B , 则 R A R B .
回顾:初等变换的等价关系的基本矩阵性质
定理 设A 与 B 为 m×n 矩阵，那么
r
i) A~B的充要条m 件 阶 可 是逆 存P 矩 在 , 阵 使得 PA B．
c
ii) A~B的充要条n件 阶 可 是逆 存Q 矩 ,在阵 使 得 AQ B．
Er
0
0 0
.
初等变换求矩阵秩的方法
把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
3 2 0 5 0
例
设 A23
2 0
3 1
6 5
13, 求矩阵A的
1 6 4 1 4
秩，并求 A的一个最高阶非零 ．子式
解 对A作初等行变换， 阶变 梯成 形行 矩阵：
3 2 0 5 0
Linear Algebra
十三
石春超
本讲主要内容
一. 矩阵的秩 —— 概念及求法。
矩阵秩的概念
子式的概念
定义 1 在mn矩阵A中任取 k行k列（ km, kn），位于这些行 处列 的交 个 k2叉 元素 ,不改 变它们A在 中所处的位置次 的k序 阶而 行得 列式， 称为矩A阵 的k阶子.式
或者推论 1 和 推论 2 可合并成下述一个命题：
推 若 可 论 P , Q ， 逆 P B A ， 使 矩 R A Q R 则 B 阵 .
矩阵的秩与标准形
推 若 可 论 P , Q ， 逆 P B A ， 使 矩 R A Q R 则 B 阵 .
若A的秩为 r,则A的标准形为
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1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R(A)3.
求A的一个最高阶子. 式 R (A )3, 知A的最高阶非零子 3阶式. 为
A的3阶子式共有C 4 3•C 5 34个 0. 考察A的行阶梯形矩阵，
23
又A的3阶子式只有A一 ，且 个A0，
R (A )2.
秩的基本性质
mn矩A 阵 的R 秩 (A)是 A中不等于 子式的.最高阶数
① 显 0 R ( A 然 m n ) m m ： ， n i .n
② 对于AT，显R 有 (A T)R (A ).
③ m R A a , R B x R A B .(矩, 阵增广, 则秩增加)
0.
R A 2.
另解
对矩A 阵
1 0
3 2
2 1
32做初等变换
2 0 1 5
1 3 2 2 1 3 2 2 0 2 1 3~0 2 1 3,
2 0 1 5 0 0 0 0
显然，非零行的行数为2，
R A 2.
此方法简单！
谁发明了矩阵的秩的概念？
F. G. Frobenius(1849-1917)，德国数学家
由子式引入秩的概念
定义2 设在矩阵A中有一个不等0于的 r 阶子 式D，且所有r 1阶子式（如果存在） 的全 话等 于0，那末D称为矩阵 A的最高阶非零子式， r 数 称为矩阵A的秩，记作 R( A) .并规定零矩阵的秩 等于零.
例
求矩阵 A12
2 3
35的秩 .
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4
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6 2
4 3
1 6
4 1
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3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4
r1 r4
0 4
3
1 1
r2 r4
2 0 3 2
F. G. Frobenius(1849-1917)，德国数学家
• 1870年，获柏林大学博士学位，导师为“现代 分析之父”Weierstrass (维尔斯特拉斯)。 • 1892年，当选为普鲁士科学院院士。
• 对代数学域论、群论，以及对数论多有贡献。
矩阵秩的求法
初等变换与矩阵的秩
因 为 对 于 任 何 Amn矩 ,总阵可 经 过 有 限 次 等 行 变 换 把 它 变 梯为 形 .那 行么 阶， 是 否 可 利 其 行 阶 梯 形A来 的求 秩 呢 ？
④ 可逆矩阵的秩
设n阶可逆矩A阵 ， A0, A的最高阶非零子A,式为
R(A)n.
可逆矩阵的秩 ，等 故于 称阶 可数 逆矩 为满秩.奇 矩异阵 矩阵为降秩矩阵.
2 1 0 3 2
例
求矩阵 B00
3 0
1 0
2 4
35的秩 .
0 0 0 0 0
解 B是一个行阶梯其 形非 矩零 阵3行 ， 行有 ，
记 A (a 1 ,a 2,a 3,a 4,a 5)则 , B 矩 (a 1 ,a 阵 2,a 4)的行 阶梯形 1 6 矩 1 阵为
0 4 1 0 0 4 R (B )3, 0 0 0
故B中必3有 阶非零.子 且式 共有 4个. 计算B的前三行构成的子式
3 2 5 32 5 2 0 5 2 0 5 3 2 6 6 0 11
B的所4有 阶子式全 . 为零
2 1 3 而 0 3 2 0, R (B )3.
00 4
⑤ 行阶梯形矩阵的秩
行阶梯形矩阵的秩即 为其非零行的行数。
例
已知A
1 0
3 2
2 1
32，求该矩阵的
2 0 1 5
解
1
3 20,
计算A的3阶子式，
02
1 3 2 1 3 2 3 2 2 1 2 2 0 2 1 00, 2 3 20, 1 3 00, 1 3 0, 2 0 1 2 0 5 0 1 5 2 1 5
ii)i A~B的充要条m件 阶 可 是逆 存 P矩 在阵 及 n阶 可逆Q 矩 , 使 阵 得 PAQ B．
初等变换与矩阵的秩
推 若 可 论 P ， 逆 1 P B ， A 使 矩 R A R 则 B 阵 . 推 若 可 论 Q ， 逆 2 A B ， 使 Q 矩 R A R 则 B 阵 .
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3 2 0 5 0
A
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3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4 r3 2 r1 r4 3 r1
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
1 6 4 1 4
r3 3r2
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问题：经过初等变换矩阵的秩变吗？
定 若 A ~ 理 B , 则 R A R B .
回顾:初等变换的等价关系的基本矩阵性质
定理 设A 与 B 为 m×n 矩阵，那么
r
i) A~B的充要条m 件 阶 可 是逆 存P 矩 在 , 阵 使得 PA B．
c
ii) A~B的充要条n件 阶 可 是逆 存Q 矩 ,在阵 使 得 AQ B．
Er
0
0 0
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初等变换求矩阵秩的方法
把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
3 2 0 5 0
例
设 A23
2 0
3 1
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13, 求矩阵A的
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秩，并求 A的一个最高阶非零 ．子式
解 对A作初等行变换， 阶变 梯成 形行 矩阵：
3 2 0 5 0