3.1正整数指数函数
数学高一- 必修1 3.1 正整数指数函数 学案
3.1正整数指数函数学习目标1. 了解正整数指数函数模型的实际背景．2. 了解正整数指数函数的概念．(重点)3. 理解具体的指数函数的图像特征．(重点)4. 会用正整数指数函数解决某些实际问题．(难点)情景导入世界人口的快速增长是伴随着全球社会经济的快速发展而发生的。
两千年前，地球上的人口还不足2.5亿人，到了1650年，人口总数增加了一倍。
又过了200年，人口总数再次翻番，至1830年，已超过10亿人。
此后，人口翻番的间隔年份越来越短，从10亿到20亿，只用了100年，而从20亿到40亿，仅仅花了45年的时间。
进入20世纪后，世界人口呈现爆炸式增长：全球人口于1999年6月已达到60亿，约是1900年全球人口的4倍，是1960年全球人口的2倍。
世界人口从50亿增长到60亿，只花了12年时间，这比之前任何一个10亿数人口增长的速度都要快。
有关机构还预计，2025年，全球人口将突破80亿大关，2050年全球人口将增长至90亿，到世纪末世界总人口将达到110亿。
如果人口每年按2％的比例增长，大约2500年，每平方米土地上就有一个人；而到2800年，地球上人口会像在拥挤的公共汽车上那样密集。
一、自主学习[基础·初探]教材整理正整数指数函数的概念阅读教材P61～P63有关内容，完成下列问题．1. 一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.2. 正整数指数函数的图像特点前面我们学习过的一次函数与二次函数，它们的图像是连续不间断的，而正整数指数函数的图像是在第一象限内的一群孤立的点．3. 当0<a<1时，y＝a x(x∈N＋)是减函数，当a>1时，y＝a x(x∈N＋)是增函数．4. 指数型函数把形如y＝ka x(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正整数指数函数的定义域为N.()(2)正整数指数函数的图像是间断的．()(3)函数y ＝2·3x ，x ∈N ＋是正整数指数函数．( )【答案】 (1)× (2)√ (3)×二、合作探究探究一：正整数指数函数的定义 [小组合作型](1)下列函数中是正整数指数函数的是( ) A ．y ＝10x ＋1，(x ∈N ＋) B ．y ＝(－2)x ，(x ∈N ＋) C ．y ＝5·2x ，(x ∈N ＋)D ．y ＝⎝⎛⎭⎫13x，(x ∈N ＋)(2)函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是正整数指数函数，则a ＝________. 【精彩点拨】 明确正整数指数函数的结构形式是求解本例的关键． 【尝试解答】 (1)A 中y ＝10x＋1的指数为x ＋1，而不是x ，故不是正整数指数函数；B 中y ＝(－2)x 的底数－2<0，故不是正整数指数函数；C 中y ＝5·2x 的系数为5，不是1，故不是正整数指数函数；D 中y ＝⎝⎛⎭⎫13x符合正整数指数函数的定义．(2)由正整数指数函数定义知⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a ＋3＝1，a >0，a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2或1，a >0，a ≠1，∴a ＝2.【答案】 (1)D (2)21. 正整数指数函数解析式的基本特征：a x 前面的系数必须是1，自变量x ∈N ＋，且x 在指数的位置上，底数a 是大于零且不等于1的常数．2. 要注意正整数指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1，x ∈N ＋)与幂函数y ＝x a 的区别． [再练一题]1. 正整数指数函数f (x )过点⎝⎛⎭⎫2，12，则f (x )＝______. 【解析】 设f (x )＝a x (a >0，a ≠1)，∴a 2＝12，∴a ＝22， ∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x，x ∈N ＋. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫22x ，x ∈N ＋探究二：正整数指数函数的图像与性质(1)画出函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x(x ∈N ＋)的图像，并说明函数的单调性； (2)画出函数y ＝3x (x ∈N ＋)的图像，并说明函数的单调性．【精彩点拨】 使用描点法画图像，但因为函数的定义域是N ＋，所以图像应是一些孤立的点，画图像时就没有“连线”步骤了．【尝试解答】 (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x (x ∈N ＋)的图像如图①所示，从图像可知，函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x(x ∈N ＋)是单调递减的．(2)函数y ＝3x (x ∈N ＋)的图像如图②所示，从图像可知，函数y ＝3x (x ∈N ＋)是单调递增的．① ②1. 正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的．2. 当0<a <1时，y ＝a x (x ∈N ＋)是减函数；当a >1时，y ＝a x (x ∈N ＋)是增函数． [再练一题]2. 若函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x的定义域为{1,2,3,4,5}，则函数的值域为________． 【解析】 当x ＝1时，f (x )＝13，当x ＝2时，f (2)＝⎝⎛⎭⎫132＝19， 当x ＝3时，f (3)＝⎝⎛⎭⎫133＝127， 当x ＝4时，f (4)＝⎝⎛⎭⎫134＝181， 当x ＝5时，f (5)＝⎝⎛⎭⎫135＝1243.所以函数f (x )的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，19，127，181，1243.【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，19，127，181，1243探究三：正整数指数函数的应用 [探究共研型]探究1 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去，你能用列表法表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5时，得到的细胞个数吗？用图像表示呢？【提示】分裂次数(n)12345细胞个数(y)2481632探究 2 请你写出探究1中得到的细胞个数y与分裂次数n之间的函数关系式．【提示】细胞个数y与分裂次数n之间的关系式为y＝2n，n∈N＋.雾霾对人的身体健康的危害日益严重，患呼吸道疾病的人数明显增多，据不完全统计，某地从2009年到2013年间平均每年上升2%.若按这个增长率进行研究，设从2008年开始经过x(x∈N＋)年，患呼吸道疾病的人数为y人，若2013年患病人数为11万人：(参考数据1.023≈1.06,1.025≈1.1)(1)试计算出2008年患呼吸道疾病的人数；(2)写出x，y之间的关系式，并计算2016年患呼吸道疾病的人数．【精彩点拨】利用正整数指数型函数模型，列出关系式，计算．【尝试解答】(1)设2008年患病人数为a万人，则a(1＋2%)5≈11，即a×1.025≈11.∵1.025≈1.1，∴a≈10(万人)，∴2008年患呼吸道疾病的人数约10万人．(2)2009年患病的人数为10(1＋20%)，2010年患病的人数为10(1＋20%)＋10(1＋2%)×2%＝10(1＋2%)2，2011年患病的人数为10(1＋20%)2＋10(1＋2%)2×2%＝10(1＋2%)3.…x年后患病的人数为10(1＋20%)x.故y＝10(1＋2%)x＝10×1.02x(x∈N＋)，在2016年，x＝8，故患病人数y≈10×1.028＝10×1.025×1.023≈10×1.1×1.06＝11.66(万人)．∴2016年患呼吸道疾病的人数约11.66万人．1. 由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段．2. 在实际问题中，对于平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值或总产量y ，可以用公式y ＝N (1＋p )x 表示．[再练一题]3. 日本福岛核电站爆炸中释放的碘-131不断衰变，每经过8天(周期)剩留的这种物质是原来的50%，写出这种物质的剩留量y 随时间x (周期)变化的函数解析式．【解】 设这种物质最初的质量是1，经过x 个周期，剩留量是y . 经过1个周期，剩留量y ＝1×50%＝0.51； 经过2个周期，剩留量y ＝(1×50%)×50%＝0.52； …经过x 个周期，剩留量y ＝0.5x (x ∈N ＋).三、课堂检测1. 给出下列函数：①y ＝πx ；②y ＝4－x ；③y ＝x 3；④y ＝(1－2)x .当x ∈N ＋时，是正整数指数函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由正整数指数函数的定义，知①y ＝πx ， ②y ＝4－x ＝⎝⎛⎭⎫14x 是正整数指数函数． 【答案】 B2. 函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，x ∈N ＋是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．奇函数D ．偶函数【解析】 正整数指数函数，不具备奇偶性，故C 、D 错误，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，x ∈N＋的底数0<12<1，故此函数是减函数．【答案】 B3. 指数型函数y ＝2x ，x ∈{1,2,3,4,5}的值域为________． 【解析】 当x ＝1,2,3,4,5时，y ＝2,4,8,16,32， 故y ＝2x ，x ∈{1,2,3,4,5}的值域为{2,4,8,16,32}． 【答案】 {2,4,8,16,32}4. 某药品经过两次降价，每瓶的零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率相同，设为x ，则求两次降价的百分率列出的方程为________．【解析】 由题意，两次降价后的药品价格满足100(1－x )2＝81. 【答案】 100(1－x )2＝815. 由于某款手机的制作成本不断降低，若五年内每年手机价格降低原来的13，设现在的手机价格为8 100元．(1)写出手机价格y 随年数x 的变化的关系式，并写出定义域； (2)画出其函数图像．【解】 (1)y ＝8 100⎝⎛⎭⎫1－13x ＝8 100⎝⎛⎭⎫23x (1≤x ≤5，x ∈N ＋)， ∴y 与x 的关系式是y ＝8 100×⎝⎛⎭⎫23x . 其定义域为{x |1≤x ≤5，x ∈N ＋}． (2)作图：四、 课堂小结1．正整数指数幂的运算应注意以下几点：(1)同底数正整数指数幂的乘、除，底数不变，指数进行加减运算；(2)正整数指数幂的运算也符合有关的运算律及运算步骤，如结合律，即在运算中先算乘除，后算加减，有括号的先算括号内的部分；(3)要注意运算律的逆用，如a mn ＝(a m )n ＝(a n )m ；(4)运算结果要统一，如负整数指数幂，最后一般化成正整数指数幂．2．形如y ＝N (1＋P )x 的函数叫做指数型函数．在实际问题中，常常遇到有关增长率的问题，如果原来产值的基础数为N ，增长率为P ，则对于时间x 的总产值y ＝N (1＋P ) x .。
正整数指数函数
函数
a>1
0<a<1
图像
定义域
单调性
图像特征
点评：归纳总结本节所学的内容，学习心得和收获； 知识方面： 思想方面：
快乐多一点，合作多一点，自信多一点，我们就进步大一点！
第五时段 总结提升评价（5分钟）
01
优秀小组:
02
优秀个人:
优秀小组和个人:
要求： （1）开始讨论时，迅速起立并将凳子轻轻地放在课桌下； （2）先组内一对一分层讨论，再组内所有学生集中交流，积极探讨，主动发言，不要大声喧哗，不准下位，不准影响其他组讨论。 （3）组长引导控制，提醒同学们记下重要讨论结果，指派一名组员记录存在疑问的地方。展示结束时讨论结束，立即坐下； （4）组长选派展示和点评人员，分工明确，团结协作，积极落实。
第二时段 小组展示（10分钟）
要求： （1）展示者要书写规范，字迹工整，抓住要点，把握时间； （2）其他学生继续讨论，讨论好后注视黑板。组内学生随时准备补充，保证展示内容正确和全面。点评者做好充分准备。 （3）小组长检查落实，力争全部达标。
题目
展示
自主学习
8
例1
7
例2
6
例3
5
例4
4
例5
3
检测1,2
【教育类精品资料】
汇报人姓名
汇报时间：xx月xx日
§3.1正整数指数函数
阜阳二中高一年级数学组
汇报时间：xx月xx日
5
请同学们拿出导学案 、课本、错题本、双色笔、草稿纸，还有你的激情！
全心投入你会与众不同，
你是最优秀的，你一定做得更好！
温馨提示：带着你100%的热情，
3.1正整数指数函数
练习：下列给出的四个正整数指 数函数中，是增函数的为（ ）
（1）y=3x (x ∈ N+ ); (2)y=3-x (x∈ N+ ); (3)y=0.93x (x ∈ N+ ); （4）y=（1/2）x (x ∈ N+ ).
小结
1.正整数指数函数的概念； 2.正整数指数函数的图像特征.
第三章指数函数和对数函数3.1正整数源自数函数画板世界人口
例1细胞分裂 例题2氟化物破坏臭氧层
分析理解
问题1研究了随分裂次数增加细胞个 数增加的趋势，可以知道，细胞个数y与 分裂次数n之间存在着函数关系
y=2n ,n∈N+ ;
问题2研究了随年份增加臭氧含量
减少的趋势，同样可知，臭氧含量Q与时
间t之间存在着函数关系
Q=0.9975t ,t∈ N+ .
分析 y=2n ,n∈N+ Q=0.9975t ,t∈ N+
1）底数是常数； 2）自变量在指数的位置上； 3）自变量在正整数范围内取值； 4）自变量的系数为1； 5）幂前面的系数也是1.
正整数指数函数的定义：
一般的，函数y=ax (a>0,a≠1,x ∈ N+ )叫做正整数指数函数，其中x是 自变量，定义域是正整数集N+ .
在研究增长问题、复利问题、浓 度问题中常见这类函数.
练习：判断下列函数是否 为正整数指数函数？
（1）y=3x (x ∈ N+ ); (2)y=3-x (x∈ N+ ); (3)y=2×3x (x ∈ N+ ); （4）y=x3 (x ∈ N+ ).
思考：
在y=ax (a>0,a≠1,x ∈ N+ )中，当 a>1时，增减性如何？当0<a<1呢？
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.1 正整数指数
1
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解析： (1)函数 y＝3x(x∈N＋)的图像如图(1)所示，从图像可知，函数 y＝3
x(x∈N＋)是单调递减的．
(2)函数 y＝3x(x∈N＋)的图像如图(2)所示，从图像可知，函数 y＝3x(x∈N＋)是
单调递增的．
[规律方法] (1)正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正 整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的．
第三章 指数函数和对数函数
§1 正整数指数函数
自主学习·新知突破
1．初中我们学习了正整数指数幂的运算，你还记得有哪些运算性质吗？
[提示] 设 a>0，b>0，m，n∈N＋，则 (1)an·am＝am＋n；(2)an÷am＝an－m；(3)(an)m＝anm；
a an (4)(ab)n＝anbn；(5)bn＝bn.
1．灵活运用正整数指数幂的运算法则．(重点) 2．掌握正整数指数函数的图像和性质．(重点、难点) 3．利用正整数指数函数解决实际问题．(重点)
正整数指数函数
一般地，函数 y＝_a_x_(a_＞__0_，___a_≠__1_，__x_∈__N_＋_)__叫作正整数指数函数，其中 x 是 _自__变__量___，定义域是__正__整__数__集__N_＋___.
(2)原式＝－9＋[( 5－2)( 5＋2)]2＋3＝－9＋1＋3＝－5；
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(3)原式＝(－6)40×640＝640×640＝1.
正整数指数函数的图像和性质
1 (1)画出函数 y＝3x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性； (2)画出函数 y＝3x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性． [思路探究] 使用描点法画图像，但因为函数的定义域是 N＋，所以图像应是一些孤立的点， 画图像时就没有了“连线”步骤了．
3.1正整数指数函数学案(北师大必修1).doc
3.1正整数指数函数一、学习目标：(1) 结合实例,了解正整数指数函数的概念．(2)能够求出正整数指数函数的解析式,进一步研究其性质．二、重点:正整数指数函数的定义．难点：正整数指数函数的解析式的确定．三、学习过程(一) [过程1]：（1）用列表表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5,6,7,8时,得到的细胞个数;（2）用图像表示1个细胞分裂的次数n()与得到的细胞个数y之间的关系;（3）写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关系式,试用科学计算器计算细胞分裂15次、20次得到的细胞个数．解:（1）利用正整数指数幂的运算法则,可以算出1个细胞分裂1,2,3,4,5,6,7,8次后,得到的细胞个数（2）1个细胞分裂的次数与得到的细胞个数之间的关系可以用图像表示,它的图像是由一些孤立的点组成（3）细胞个数与分裂次数之间的关系式为,用科学计算器算得,所以细胞分裂15次、20次得到的细胞个数分别为32768和1048576．探究:从本题中得到的函数来看,自变量和函数值分别是什么?此函数是什么类型的函数? 细胞个数随着分裂次数发生怎样变化?你从哪里看出?小结：从本题中可以看出我们得到的细胞分裂个数都是底数为2的指数,而且指数是变量,取值为正整数．细胞个数与分裂次数之间的关系式为．细胞个数随着分裂次数的增多而逐渐增多．[过程2]：电冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层,臭氧含量Q近似满足关系式Q=Q00．9975 t,其中Q0是臭氧的初始量,t是时间(年),这里设Q0=1．（1）计算经过20,40,60,80,100年,臭氧含量Q；（2）用图像表示每隔20年臭氧含量Q的变化；（3）试分析随着时间的增加,臭氧含量Q是增加还是减少．解:（1）使用科学计算器可算得,经过20,40,60,80,100年,臭氧含量Q的值分别为0．997520=0．9512, 0．997540=0．9047, 0．997560=0．8605, 0．997580=0．8185, 0．9975100=0．7786; （2）用图像表示每隔20年臭氧含量Q的变化如图所示,它的图像是由一些孤立的点组成．（3）通过计算和观察图形可以知道, 随着时间的增加,臭氧含量Q在逐渐减少．探究:从本题中得到的函数来看,自变量和函数值分别又是什么?此函数是什么类型的函数?,臭氧含量Q随着时间的增加发生怎样变化?你从哪里看出?小结：从本题中可以看出我们得到的臭氧含量Q都是底数为0．9975的指数,而且指数是变量,取值为正整数．臭氧含量Q近似满足关系式Q=0．9975t,随着时间的增加,臭氧含量Q 在逐渐减少．[过程3]：上面两个问题所得的函数有没有共同点?你能统一吗?自变量的取值范围又是什么?这样的函数图像又是什么样的?为什么?正整数指数函数的定义:一般地,函数叫作正整数指数函数,其中是自变量,定义域是正整数集．说明: 1．正整数指数函数的图像是一些孤立的点,这是因为函数的定义域是正整数集．2．在研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数．（二）、例：某地现有森林面积为1000,每年增长5%,经过年,森林面积为．写出,间的函数关系式,并求出经过5年,森林的面积．分析:要得到,间的函数关系式,可以先一年一年的增长变化,找出规律,再写出,间的函数关系式．解: 根据题意,经过一年, 森林面积为1000(1+5%);经过两年, 森林面积为1000(1+5%)2;经过三年, 森林面积为1000(1+5%)3;所以与之间的函数关系式为,经过5年,森林的面积为1000（1+5%）5=1276．28(hm2)．练习:课本练习1,2思考题:高一某学生家长去年年底到银行存入2000元,银行月利率为2．38%,那么如果他第n个月后从银行全部取回,他应取回钱数为y,请写出n与y之间的关系,一年后他全部取回,他能取回多少?解：一个月后他应取回的钱数为y=2000(1+2．38%),二个月后他应取回的钱数为y=2000(1+2．38%)2;,三个月后他应取回的钱数为y=2000(1+2．38%)3,…, n个月后他应取回的钱数为y=2000(1+2．38%)n; 所以n与y之间的关系为y=2000(1+2．38%)n (n∈N+),一年后他全部取回,他能取回的钱数为y=2000(1+2．38%)12．补充练习:某工厂年产值逐年按8%的速度递增,今年的年产值为200万元,那么第n年后该厂的年产值为多少?（三）、小结：1．正整数指数函数的图像是一些孤立的点,这是因为函数的定义域是正整数集．2．在研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数．。
精 品 教 学 设 计3.1正整数指数函数
精品教学设计§1 正整数指数函数教学目的：1.理解正整数指数函数的概念，了解其图象及性质.2.能初步应用正整数指数函数性质解决实际应用问题教学重点：正整数指数函数的图象、性质教学难点：正整数指数函数的概念及图象.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教材分析：正整数指数函数是在初中学习了正整数指数幂运算、以及函数的基本概念性质的基础上，并结合实际问题引入.这样既说明指数函数同时，由于正整数指数函数的局限性（定义域为正整数集），为后面学习指数幂概念的扩充及指数函数留下伏笔.教学过程：一、复习引入：引例1：某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，……一直分裂下去.（1）用列表表示1个细胞分裂次数分别为1，2，3，4，5，6，7，8时，得到的细胞个数；)与得到的细胞个数（2）用图像表示1个细胞分裂次数n(n∈N+y之间的关系；（3）写出y与n之间的关系式，试用科学计算器计算细胞分裂15、20次得到的细胞个数.)和它的图引例1主要目的是为了得出函数关系：2ny= (n∈N+像.引例2：电冰箱使用的氟化物的释放会破坏大气层中的臭氧层. 臭氧含量 Q 近似满足关系式 Q=Q×0.9975t,其中0Q是臭氧的初始量，t是时间(年). 这里设Q =1.(1)计算经过20，40，60，80，100年，臭氧量Q；(2)用图像表示每隔20年臭氧含量Q 的变化；(3)试分析随着时间的增加，臭氧含量Q 是增加还是减少.引例 2 除了进一步认识函数0.9975()t Q t N +=∈的图像外，又直观感受其单调性.在2n y =(n ∈N + ),0.9975()t Q t N +=∈中指数为正整数的n,t 是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.我们把这种自变量在指数位置上且自变量取正整数而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做正整数指数函数.二、新授内容：1．正整数指数函数的定义：函数(01,)x y a a a x N +=>≠∈且叫做正整数指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是正整数集N +.注意： (1)定义域是正整数集;(2)图像是一列孤立的点；(3)当a>1时是增函数，当0<a<1时是减函数.2. 复利和公式：正整数指数函数在研究增长问题，复利问题，质量浓度问题中常有应用. 通过概括这类问题，我们得到一个常用模型，通常称之为“复利和公式”.复利和公式：设本金为a ，年增长率为p ，则x 年后本利和A 为(1)x A a p =+三、讲解范例：例1 某地现有森林面积为1000 h ㎡，每年增长5%.经过x (x ∈N +)年,森林面积为y h ㎡. 写出x,y 间的函数关系式，并求出经过5年，森林的面积.解： y 与x 之间的函数关系式为1000(15%)()x y x N +=+∈.经过5年，森林的面积为 521000(15%)1276.28()hm +=. （答略）例2 已知镭经过100年剩留原来质量的95.76﹪.设质量为1的镭经过x 年后的剩留量为y ，求y 关于x 的函数解析式.解：设经过1年，镭剩留原来质量的a ﹪.则,()100xa y x N +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭∵1000.9576100a ⎛⎫= ⎪⎝⎭, ∴11000.9576.100a = ∴1000.9576,().x y x N +=∈ （答略）例3 某商品1月份降价10﹪，此后价格又上涨三次，使目前价格与1月份降价前相同. 问三次价格的平均上涨率是多少？ 解： 设原价格为1，平均上涨率为x ﹪，则 30.9(1%)1x +=∴%1x =.1. （答略） 例4已知光线通过1块玻璃，光线的强度要损失掉10﹪ . 要使通过玻璃的光线的强度减弱到原来的1／3以下，问至少需要重叠多少块玻璃？解： 设需要重叠n 块玻璃，则1(110%)3n -≤ 利用计算器可解得n ≥11. （答略）四、练习：1. 给出下列函数:(1)4x y =;(2)4y x =(x N +∈);(3)4x y =-(x N +∈);(4)(4)x y =-(x N +∈);(5)x y π=(x N +∈);(6)1(21)(,1,)2x y a a a x N +=->≠∈. 其中为正整数函数的是＿＿＿＿＿.2. 比较大小：(1)191.58,201.58;(2)20080.5,20090.5.3. 按复利计算利息是目前储蓄计息的一种方式.设本金为a 元，每期利率为r ，记本利和为y ，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式.如果存入本金1000元，每期利率为2.25﹪，试求5期后的本利和是多少？（精确到1元）解：本利和y随存期x变化的函数关系式为y a r=+(1)x当a=1000,r=2.25﹪,x=5时，利用计算器可得y≈1118.即5期后的本利和是1118元.4. 画出函数1=(x∈Z)的图像，分析函数图像的对称性,单调性.2xy-函数有无最值？解：（图像略）函数的图像关于直线x=1对称.函数在{x∈Z|x<1}上是减函数；在{x∈Z|x≥1}上是增函数.函数有最小值1.五、小结本节课学习了以下内容：正整数指数函数概念，正整数指数函数的图象和单调性.研究增长等问题常用的“复利和公式”. 六、课后作业：。
数学：3.1《正整数指数函数》课件(北师大版必修1)
C. y=0.999x , x∈N+;
x
D. y=πx , x∈N+.
1 练习2.画出函数 y ( x N ) 的图像，并说明函数的 2
单调性.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例3.某地现有森林面积为1 000 hm2,每年增长5%，经过 x （ x∈N+）年，森林面积为 yhm2.写出 x, y间的函数关系式， 并求出经过5年，森林的面积. 解：y与 x之间的函数关系式为 y=1 000(1+5%)x （ x∈N+）, 经过5年，森林的面积为 1 000(1+5%)5 =1 276.28（hm2). 练习3.一种产品的年产量原来是10 000件，今后计划使年产量
导入新课：
1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平 均增长率为2%,到2009年底人口将达到多少亿？ 设年数为x，人口数为y，则 y=54.8(1+2%)x,其中 x∈N+
一、实例分析： §1 正整数指数函数 问题1. 归纳1：细胞分裂次数n与细胞个数 y之间的函数关系式为 y=2n , n∈N+. 问题2. 归纳2： 臭氧含量Q与时间 t之间的函数关系近似地满足 Q=0.9975t , t∈N+. 注意！在研究增长问题、复利问题、质量溶度问题中 常见这类函数.
每年比上一年增加 p%.写出年产量随经过年数变化的函数关
系式. y=10 000(1+ p%)m （ m∈N+）, 练习4.抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气 8 少于原来的0.1%，则至少要抽_________ 次.
四、小
结
1.一般地，函数 y=ax (a>0, a≠1, x∈N+)叫做正整数指数函 数，其中x是自变量，定义域是正整数集N+. 2.正整数指数函数的图像特征： （1）图像是一群点； （2）当a>1时，是单调递增函数； （3）当0<a<1时，是单调递减函数； （4）ax的系数为1.
高中数学知识点精讲精析 正整数指数函数
3.1正整数指数函数
1.根式的概念：
①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即若a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，
1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；
2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n .
②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =；
3）当n 为偶数时，⎩
⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n . 2.正整数指数幂：
①两个实例，细胞分裂中细胞个数y 与分裂次数n 之间的关系是y=2n ，大气中臭氧含量Q 与时间t 之间的关系是Q=0.9975t ，t ∈N +.
②一般地，函数
叫作正整数指数函数，其中，x 是自变量，定义域是正整数集N +.
③若a>1，则；若，则；其中 正整数指数幂
零指数幂 (0,1,)x y a a a x N +=>≠∈1a n >1a 0<<01n
a <<n N +∈*)(N n a a a a n n ∈⋅⋅⋅=
个)0(10≠=a a。
高中数学北师大版必修一《3.1正整数指数函数》课件
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谢谢大家 • 三级 • 四级 1
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•
三级 3
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(3)3
4 (10)4
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3 (3 )6
a2 2ab b2
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(2)用图像表示每隔20年Q的变化。
（3）分析随时间增加， Q是增加还是减小？
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• 单击当此n处为编辑正母整版文数本时样式,y=ax(a>0,a ≠ 1)叫做正 • 二整级数指数函数。
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• 四级
练习1 • 五级 p63:1,2
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练习3 • 单击此处编辑母版文本样式
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• 三级
已知a=(2+ 3 )-1
• 四级求
(a b 1、 • 五级
1
3 3) 2
2、a-b
,b= (2- 3 )-1
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正整数指数函数
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高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.1 正整数指数函数 3.1.1 指数函数概念素材2 北师大
高中数学第三章指数函数和对数函数3.1 正整数指数函数3.1.1 指数函数概念素材2 北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章指数函数和对数函数3.1 正整数指数函数3.1.1 指数函数概念素材2 北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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3。
1 正整数指数函数一、教材分析1。
《指数函数》在教材中的地位、作用和特点2。
教学目标、重点和难点(1）知识目标：①掌握指数函数的概念;②掌握指数函数的图象和性质；③能初步利用指数函数的概念解决实际问题；（2）技能目标：①渗透分类讨论、数形结合的基本数学思想方法②培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳的能力；（3)情感目标:①体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题②通过教学互动促进师生情感，激发学生的学习兴趣，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力③领会数学学科的应用价值。
(4）教学重点：指数函数的图象和性质。
（5）教学难点：指数函数的图象性质与底数a的关系.二、教法设计1.创设问题情景。
2。
强化“指数函数”概念.3。
突出图象的作用。
4.注意数学与生活和实践的联系.三、学法指导1。
再现原有认知结构。
2。
领会常见数学思想方法。
3。
在互相交流和自主探究中获得发展。
4.注意学习过程的循序渐进.四、程序设计1.创设情景、导入新课2。
启发诱导、探求新知3。
巩固新知、反馈回授4。
归纳小结、深化目标5.板书设计五、教学评价通过多种评价方式让更多的学生获得学习的自信，在轻松融洽的课堂评价氛围中完成本节课的教学和学习任务。
3.1《正整数指数函数》(北师大版必修1)概论
盘的小格内摆放麦粒：在第一格内放一粒，第二格内放两 粒，第三格内放四粒……还没摆到第二十格，一袋麦子已 经用光了。国王这才发现，即使把全国的麦子都拿来，也 兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺，这位大臣所要求的麦 粒数究竟是多少呢？
4
1.了解正整数指数函数的概念 2.能画出一些简单的正整数指数函数的图像，了解它们 的特征
13
判断下列函数是否为正整数指数函数？
1y 3x
3y 2x 1
（2）y 3-x
4y 2 x1
5Байду номын сангаас 3 2x
6y x 2 其中x N
14
例 某地现有森林面积为 1000hm2,每年
增长 5%，经过 x(x N ) 年，森林面积
为 y hm2，写出 x, y 间的函数关系式，
并求出经过 5 年后，森林的面积.
是由一些孤立的点组成；
(3)通过计算和看图可以知道，随着时间的增加， 臭氧的含量在逐渐减少.
11
分析这两个关系式的异同：
y 2n y 0.9975t
12
一般地，函数 y ax (a 0, a 1, x N )
叫做正整数指数函数，
其中 x 是自变量，定义域是正整数集 N .
如增长问题、复利问题、质量浓度问题.
第三章 指数函数和对数函数
§1 正整数指数函数
1
国际象棋发明者的奖励
2
国际象棋发明者的奖励
印度舍罕王打算奖赏发明国际象棋的大臣西萨•班•达依尔， 并问他想得到什么样的奖赏，大臣说：“陛下，请您在这 张棋盘的第一个小格内赏给我一粒麦子，在第二个小格内 给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格 内都比前一小格内的麦粒数加一倍，直到把每一小格都摆 上麦粒为止。并把这样摆满棋盘上六十四格的麦粒赏给您 的仆人。”国王认为这位大臣的要求不算多，就爽快地答 应了。国王叫人抬来麦子并按这位大臣的要求，在棋
高一数学正整数指数函数
3.1正整数指数函数一、教学目标：1、知识与技能： (1) 结合实例,了解正整数指数函数的概念． (2)能够求出正整数指数函数的解析式,进一步研究其性质．2、 过程与方法： (1)让学生借助实例,了解正整数指数函数,体会从具体到一般,从个别到整体的研究过程和研究方法． (2)从图像上观察体会正整数指数函数的性质,为这一章的学习作好铺垫．3、情感．态度与价值观：使学生通过学习正整数指数函数体会学习指数函数的重要意义,增强学习研究函数的积极性和自信心．二、教学重点: 正整数指数函数的定义．教学难点：正整数指数函数的解析式的确定．三、学法指导：学生观察、思考、探究．教学方法：探究交流，讲练结合。
四、教学过程（一）新课导入[互动过程1]：（1）请你用列表表示1个细胞分裂次数分别 为1,2,3,4,5,6,7,8时,得到的细胞个数;（2）请你用图像表示1个细胞分裂的次数n(+∈N n )与得到的细胞个数y 之间的关系;（3）请你写出得到的细胞个数y 与分裂次数n 之间的关系式,试用 科学计算器计算细胞分裂15次、20次得到的细胞个数．解:（1）利用正整数指数幂的运算法则,可以算出1个细胞分裂1,2,3, 4,5,6,7,8次后,得到的细胞个数（2）1个细胞分裂的次数n(n N)∈与得到的细胞个数y之间的关系可+以用图像表示,它的图像是由一些孤立的点组成（3）细胞个数y与分裂次数n之间的关系式为n=∈,用科学y2,n N+计算器算得32768220=215=,1048576所以细胞分裂15次、20次得到的细胞个数分别为32768和1048576．探究:从本题中得到的函数来看,自变量和函数值分别是什么?此函数是什么类型的函数? 细胞个数y随着分裂次数n发生怎样变化?你从哪里看出?小结：从本题中可以看出我们得到的细胞分裂个数都是底数为2的指数,而且指数是变量,取值为正整数．细胞个数y与分裂次数n之间的关系式为n=∈．细胞个数y随着分裂次数n的增多而逐渐增y2,n N+多．[互动过程2]：问题2．电冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层,臭氧含量Q近似满足关系式Q=Q00．9975 t,其中Q0是臭氧的初始量,t是时间(年),这里设Q0=1．（1）计算经过20,40,60,80,100年,臭氧含量Q；（2）用图像表示每隔20年臭氧含量Q的变化；（3）试分析随着时间的增加,臭氧含量Q是增加还是减少．解:（1）使用科学计算器可算得,经过20,40,60,80,100年,臭氧含量Q 的值分别为0．997520=0．9512, 0．997540=0．9047, 0．997560=0．8605, 0．997580=0．8185, 0．9975100=0．7786;（2）用图像表示每隔20年臭氧含量Q 的变化如图所示,它的图像是由一些孤立的点组成．（3）通过计算和观察图形可以知道, 随着时间的增加,臭氧含量Q 在逐渐减少．探究:从本题中得到的函数来看,自变量和函数值分别又是什么?此函数是什么类型的函数?,臭氧含量Q 随着时间的增加发生怎样变化?你从哪里看出?小结：从本题中可以看出我们得到的臭氧含量Q 都是底数为0．9975的指数,而且指数是变量,取值为正整数． 臭氧含量Q 近似满足关系式Q=0．9975 t ,）（+∈N t 随着时间的增加,臭氧含量Q 在逐渐减少． [互动过程3]：上面两个问题所得的函数有没有共同点?你能统一吗?自变量的取值范围又是什么?这样的函数图像又是什么样的?为什么? 正整数指数函数的定义:一般地,函数x y a (a 0,a 1,x N )+=>≠∈叫作正整数指数函数,其中x 是自变量,定义域是正整数集+N ．说明: 1．正整数指数函数的图像是一些孤立的点,这是因为函数的定义域是正整数集．2．在研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数．（二）、例题：某地现有森林面积为10002hm ,每年增长5%,经过x）（+∈N x 年,森林面积为y 2hm ．写出x ,y 间的函数关系式,并求出经过5年,森林的面积．分析:要得到x ,y 间的函数关系式,可以先一年一年的增长变化,找出规律,再写出x ,y 间的函数关系式．解: 根据题意,经过一年, 森林面积为1000(1+5%)2hm ;经过两年, 森林面积为1000(1+5%)22hm ;经过三年, 森林面积为1000(1+5%)32hm ;所以y 与x 之间的函数关系式为x y 1000(15%)=+）（+∈N x ,经过5年,森林的面积为1000（1+5%）5=1276．28(hm 2)．练习:课本练习1,2补充例题:高一某学生家长去年年底到银行存入2000元,银行月利率为2．38%,那么如果他第n 个月后从银行全部取回,他应取回钱数为y,请写出n 与y 之间的关系,一年后他全部取回,他能取回多少? 解：一个月后他应取回的钱数为y=2000(1+2．38%),二个月后他应取回的钱数为y=2000(1+2．38%)2;,三个月后他应取回的钱数为y=2000(1+2．38%)3,…, n 个月后他应取回的钱数为y=2000(1+2．38%)n ; 所以n 与y 之间的关系为y=2000(1+2．38%)n (n ∈N +),一年后他全部取回,他能取回的钱数为y=2000(1+2．38%)12．补充练习:某工厂年产值逐年按8%的速度递增,今年的年产值为200万元,那么第n 年后该厂的年产值为多少?（三）、小结：1．正整数指数函数的图像是一些孤立的点,这是因为函数的定义域是正整数集．2．在研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数．（四）、作业:课本习题3-1 1,2,3五、教学反思：。
高中数学 3.1《正整数指数函数》课件(1) 北师大版必修1
(5)y＝xx(x∈N＋)； (6)y＝(2a－1)xa>12，a≠1，x∈N＋. [分析] 严格按照正整数指数函数的定义进行判断，注意 它的形式特征．
[解析] (1)(6)是正整数指数函数，因为它们符合正整数 指数函数的定义．
(2)为幂函数． (3)中函数的系数为－1，不符合正整数指数函数的定义． (4)中函数的底数 a＝－4<0，不符合正整数指数函数的定 义． (5)中函数的底数是变量而不是常量，也不符合正整数指 数函数的定义．
所以经过 x 年后木材蓄积量为 200(1＋5%)x. 所以 y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x∈N＋)．
(2)作函数 y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)的图像，如图所示．
设直线 y＝300 与函数 y＝200(1＋5%)x 的图像交于 A 点， 则 A(x0,300)，A 点的横坐标 x0 的值就是 y＝300 时(木材蓄积量 为 300 万立方米时)所经过的年数 x 的值．因为 8<x0<9，则取 x0＝9，所以经过 9 年后，林区的木材蓄积量能达到 300 万立 方米．
y＝1000×(1＋2.25%)5＝1000×1.02255. 由计算器得 y＝1117.68(元)． 所以函数关系式为 y＝a(1＋r)x,5 期后的本利和为 1117.68 元．
[方法总结] 在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的 问题，如果原来产值数为 N，平均增长率为 p，则对于时间 x 的总产值或总产量 y，可以用公式 y＝N(1＋p)x 表示．
3．正整数指数幂的运算性质(a>0，a≠1，m，n∈N＋) (1)am·an＝________ (2)am÷an＝________ (3)(am)n＝________ (4)(ab)m＝________ (5)(ab)m＝________(b≠0)
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.1 正整数指数函数 3.1.1 指数函数概念教案2 北师大
高中数学第三章指数函数和对数函数3.1 正整数指数函数3.1.1 指数函数概念教案2 北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章指数函数和对数函数3.1 正整数指数函数3.1.1 指数函数概念教案2 北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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§3.1。
1指数函数概念一。
教学目标：1．知识与技能：①通过实际问题了解指数函数的实际背景；②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想.2．情感、态度、价值观：①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理；②培养学生观察问题，分析问题的能力。
3．过程与方法：展示函数图象,让学生通过观察，进而研究指数函数的性质。
二．重、难点：重点：指数函数的概念和性质及应用。
难点:指数函数性质的归纳，概括及其应用。
三、学法与教法：①学法:观察法、讲授法及讨论法；②教法: 探究交流,讲练结合. 四、教学过程: （一)、情境设置①在本章的开头，问题(1）中时间x 与GDP 值中的 1.073(20)x y x x =∈≤与问题(2)t 1中时间t和C-14含量P的对应关系P=[(2,请问这两个函数有什么共同特征。
②这两个函数有什么共同特征:157301][()]2t P =t57301把P=[()变成2，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用x y a =（a ＞0且a ≠1来表示）。