2001-2007年天津大学数学竞赛试题(打印版)
前三届全国大学生高等数学竞赛真题及答案大纲非数学类
中国大学生数学竞赛竞赛大纲为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。
一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。
“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。
二、竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。
中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n 阶导数.5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必达(L ’Hospital)法则与求未定式极限.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8. 函数最大值和最小值及其简单应用. 9. 弧微分、曲率、曲率半径. 三、一元函数积分学1. 原函数和不定积分的概念.2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6. 广义积分.7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值． 四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()n (x f y = ),,(y x f y '='' ),(y y f y '=''. 4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7. 欧拉(Euler)方程.8. 微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1.多元函数的概念、二元函数的几何意义.2.二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4.多元复合函数、隐函数的求导法.5.二阶偏导数、方向导数和梯度.6.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7.二元函数的二阶泰勒公式.8.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.7.初等函数的幂级数展开式.8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
最近十年全国大学生数学竞赛真题
2001年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一．填空1．函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=-0,cos 0,)(212x x x a x x e x f x 在),(∞+-∞上连续，则=a .2．设函数)(x y y =由方程0)cos(=-+xy e y x 所确定，则==0x dy . 3．由曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积=A . 4．设E 为闭区间]4,0[π上使被积函数有定义的所有点的集合，则=⎰dx x x Esin cos .5．设L 是顺时针方向的椭圆1422=+y x ，其周长为l ，则⎰=++Lds y x xy )4(22 . 二．选择题.1．若0)(lim 0u x x x =→ϕ，且A u f u u =→)(lim 0，则（ ）（A ）)]([lim 0x f x x ϕ→存在； （B ）A x f x x =→)]([lim 0ϕ（B ）)]([lim 0x f x x ϕ→不存在 （C ）A 、B 、C 均不正确.2．设⎰=x dx x x f sin 02)sin()(，43)(x x x g +=，则当0→x 时，（ ） （A ）)(x f 与)(x g 为同阶但非等价无穷小； （B ）)(x f 与)(x g 为等价无穷小；（C ）)(x f 是比)(x g 更高阶的无穷小； （D ）)(x f 是比)(x g 更低阶的无穷小3．设函数)(x f 对任意x 都满足)()1(x af x f =+，且b f =')0(，其中a 、b 均为非零常数，则)(x f 在1=x 处（ ）（A ）不可导； （B ）可导，且1)(='a f ； （C ）可导，且b f =')1(； （D ）可导，且ab f =')1(. 4．设)(x f 为连续函数，且)(x f 不恒为零，⎰=t s dx tx f t I 0)(，其中0,0>>t s ，则I 的值（ ）（A ）与s 和t 有关； （B ）与s 和t 及x 有关 （C ）与s 有关，与t 无关； （D ）与t 有关，与s 无关.5．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上具有二阶连续偏导数，且满足02>∂∂∂yx u及02222=∂∂+∂∂yux u ，则（ ） （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部； （B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；（C ）),(y x u 的最大值点在区域的内部，最小值点在区域D 的边界上；（D ）),(y x u 的最小值点在区域的内部，最大值点在区域D 的边界上.三．求极限)]21ln(2[cos lim2202x x x ex x x -+--→.四．计算⎰∞+--+02)1(dx e xe x x. 五．设函数),(y x u 的所有二阶偏导数都连续，2222yux u ∂∂=∂∂且x x x u =)2,(，21)2,(x x x u ='，求)2,(11x x u ''. 六．在具有已知周长p 2的三角形中，怎样的三角形面积最大？七．计算⎰⎰⎰⎰+=121214121y yxy yxy dx e dy dx e dy I .八．计算曲面积分⎰⎰∑+++++=dxdy ay z dzdx ax y dydz az x I )()()(232323，其中∑为上半球面222y x a z --=的上侧. 九．已知0>a ，01>x ，定义⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+31341n n n x a x x （ ,3,2,1=n ） 求证：n n x ∞→lim 存在，并求其值.十．证明不等式()2211ln 1x x x x +≥+++，),(∞+-∞∈x .十一. 设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，且⎰=143)0()(4f dx x f ，求证：在开区间)1,0(内存在一点ξ，使得0)(='ξf .十二. 设函数)(x f 在区间),[∞+a 上具有二阶导数，且0)(M x f ≤，2)(0M x f ≤''<，（+∞≤≤x a ）. 证明202)(M M x f ≤'.2002年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一．填空 1．=-+∞→xx x x 1sin 1312lim2 . 2．设摆线方程为⎩⎨⎧-=-=ty t t x cos 1sin ，则此曲线在3π=t 处的法线方程为 .3．=+⎰∞+e x x dx)ln 1(2 . 4．设22y xy x z +-=在点)1,1(-处沿方向)1,2(51=l 的方向导数=∂∂l z . 5．设∑为曲面222R y x =+介于R Z ≤≤0的部分，则=++⎰⎰∑222z y x dS. 二．选择题.1．曲线)2)(1(1arctan 212-++-=x x x x e y x 的渐近线有（ ）（A ）1条； （B ）2条； （C ）3条； （D ）4条. 2．若2)]([)(x f x f ='，则当2>n 时=)()(x f n （ ）（A ）1)]([!+n x f n ； （B ）1)]([+n x f n ； （C ）n x f 2)]([； （D ）n x f n 2)]([!. 3．已知函数)(x f 在),(∞+-∞内有定义，且0x 是函数)(x f 的极大值点，则（ ）（A ）0x 是)(x f 的驻点； （B ）在),(∞+-∞内恒有)()(0x f x f ≤； （C ）0x -是函数)(x f --的极小值点； （D ）0x -是函数)(x f -的极小值点.4．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,222222y x y x y x xy z ，则),(y x z z =在点)0,0(（ ）（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但不可微；（C ）不连续且偏导数不存在； （D ）不连续但偏导数存在. 5．设⎰⎰⎰Ω++=dV e e e I z y x )(，其中1:222≤++Ωz y x ，0≥z ，则=I （ ）（A ）⎰⎰⎰ΩdV e z 3； （B ）⎰⎰⎰ΩdV e x 3；（C ）⎰⎰⎰Ω+dV e e z y )2(； （D ）⎰⎰⎰Ω+dV e e z x )2(.三．已知极限011lnarctan 2lim≠=-+-→C x x xx nx ，试确定常数n 和C 的值.四．已知函数)(x f 连续，⎰-=x dt x t f t x g 02)()(，求)(x g '.五．设方程04=++b ax x ，（1）当常数b a ,满足何种关系时，方程有唯一实根? （2）当常数b a ,满足何种关系时，方程无实根?六．过曲线2x y =（0≥x ）上某点A 作一切线，使之与曲线及x 轴所围成图形的面积为121，试求：（1）A 点的坐标；（2）过切点A 的切线方程；（3）该图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.七．计算⎰+dx x 32)1(1. 八．设),,(z y x f u =，0),,(2=z y x ϕ，x y sin =，其中ϕ,f 具有连续的一阶偏导数，且0≠∂∂z ϕ，求dxdu. 九．求2222),(y y x x y x f ++=在{}1),(22=+=y x y x S 上的最大值与最小值.十．计算⎰⎰+=Ddxdy y x I )cos(，其中区域D 为：20,20ππ≤≤≤≤y x .十一. 证明：当10<<x 时，x e xx211-<+-. 十二. 设C 是取正向的圆周1)1()1(22=-+-y x ，)(x f 是正的连续函数，证明：⎰≥-Cdx x f ydy y xf π2)()(.2003年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一． 填空.1．设对一切实数x 和y ，恒有)()()(y f x f y x f +=+，且知1)2(=f ，则=)21(f .2．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-+=⎰0 ,0,12)1ln()(2222sin 0x a x e e dt t x f x x x ，在0=x 处连续，则=a . 3．设2),,(yz e z y x f z =，其中),(y x z z =是由方程0=+++xyz z y x 所确定的隐函数，则=-')1,1,0(y f . 4．⎰∞+=+022)1(x dx. 5．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0243444222z y x z y x 在点)1,1,1(M 处的切线方程为 .二． 选择题.1．当0→x 时，下列无穷小量① x x sin 1tan 1+-+； ② 33121x x +-+；③ x x x sin )cos 3134(--； ④ 14--x x e从低阶到高阶的排列顺序为（ ）（A ）①②③④； （B ）③①②④； （B ）④③②①； （C ）④②①③.2．设⎩⎨⎧=≠=0 ,00,cot )(3x x x arc x x f ，在0=x 处存在最高阶导数的阶数为（ ）（A ）1阶； （B ）2阶； （C ）3阶； （D ）4阶 .3．函数)(x f y =在1=x 处有连续导函数，又21)(lim 1=-'→x x f x ，则1=x 是（ ）（A ）曲线)(x f y =拐点的横坐标； （B ）函数)(x f y =的极小值点； （C ）函数)(x f y =的极大值点； （D ）以上答案均不正确. 4．设函数g f ,在区间],[b a 上连续，且m x f x g <<)()(（m 为常数），则曲线)(x g y =，)(x f y =，a x =和b x =所围平面图形绕直线m y =旋转而成的旋转体体积为（ ）（A ）dx x g x f x g x f m ba ⎰---)]()()][()(2[π；（B ）dx x g x f x g x f m ba⎰-+-)]()()][()(2[π；（C ）dx x g x f x g x f m ba⎰-+-)]()()][()([π；（D ）dx x g x f x g x f m ba⎰---)]()()][()([π.5．设2222:a z y x S =++（0≥z ），1S 为S 在第一卦限中的部分，则有（ ） （A ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS xdS ； （B ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS ydS ；（C ）⎰⎰⎰⎰=14S SxdS zdS ； （D ）⎰⎰⎰⎰=14S SxyzdS xyzdS ；三．a ，b ，c 为何值时，下式成立⎰=+-→x bx c tdt t ax x 2201sin 1lim四. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,0,cos )()(x a x xxx x f ϕ，其中)(x ϕ具有连续二阶导数，且1)0(=ϕ. (1) 确定a 的值，使)(x f 在点0=x 处可导，并求)(x f '； (2) 讨论)(x f '在点0=x 处的连续性.五．设正值函数)(x f 在),1[∞+上连续，求函数⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x dt t f t t x x x F 1)(]ln 2ln 2[)(的最小值点.六．设2)1arctan()(-='x x y ，且0)0(=y ，求⎰10)(dx x y .七．设变换⎪⎩⎪⎨⎧+=+=yx v ya x u 2把方程0212222=∂∂-∂∂-∂∂y z y z y x z 化为02=∂∂∂y u z ，试确定a . 八．设函数),(y x Q 在xoy 平面上具有连续一阶偏导数，曲线积分dy y x Q xydx L⎰+),(2与路径无关，并且对任意的t 恒有dy y x Q xydx dy y x Q xydx t t ⎰⎰+=+),1()0,0()1,()0,0(),(2),(2，求),(y x Q .九．设函数)(x f 具有二阶连续导函数，且0)0(=f ，0)0(='f ，0)0(>''f . 在曲线)(x f y =上任意取一点))(,(x f x （0≠x ）作曲线的切线，此切线在x 轴上的截距记作μ，求)()(lim 0x f f x x μμ→.十．设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，且1)1(,0)0(==f f ，试证明：对于任意给定的正数a 和b ，在开区间)1,0(内存在不同的ξ和η，使得b a f bf a +='+')()(ηξ 十一. 设⎰----++-=1112)1(21)(dt e t x e x F t ，试证明在区间]1,1[-上)(x F 有且仅有两个实根.十二. 设函数),(y x f 在单位圆域上有连续的偏导数，且在边界上的值恒为零，证明：⎰⎰+'+'-=+→D y x dxdy y x f y f x f 22021lim )0,0(πε其中：D 为圆域1222≤+≤y x ε.2004年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一．填空：1．设函数x x x f -+=11ln)(，则函数)1()2(xf x f +的定义域为： . 2．设要使函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0 ,)(cos )(21x a x x x f x 在区间),(∞+-∞上连续，则=a .3．设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧-=-=)1()(3te f y t f x π所确定，其中f 可导，且0)0(≠'f ，则==0t dx dy. 4．由方程2222=+++z y x xyz 所确定的函数),(y x z z =在点)1,0,1(-处的全微分=dz .5．设)()(1y x y xy f xz ++=ϕ，其中f 、ϕ具有二阶连续导数，则=∂∂∂yx z2 . 二．选择题：1．已知311tan )(1lim20=--+→x x e x x f ，则=→)(lim 0x f x （ ） （A ）12； （B ）3； （C ）1； （D ）0； 2．设函数)(x f 在0x 的一个领域内有定义，则在0x 处存在连续函数)(x g 使)()()()(00x g x x x f x f -=-是)(x f 在0x 点处可导的（ ）（A ）充分而非必要条件； （B ）必要而非充分条件； （C ）充分必要条件； （C ）既非充分，也非必要条件.3．设⎩⎨⎧≤<-≤≤= 21,210 ,)(2x x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(，则=)(x F ( )（A ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤≤21,223110,323x x x x x ； （B ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤21,2210,323x x x x x ； （C ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤≤21,22310,3233x x x x x x ； （D ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤21,226710,323x x x x x 4．函数xy y x f =),(，在点)0,0(处),(y x f （ ）（A ）可微； （B ）偏导数存在，但不可微； （C ）连续，但偏导数不存在； （D ）不连续且偏导数不存在; 5．设)(x ϕ为区间]1,0[上正值连续函数，b a ,为任意常数，区域}1,0),({≤≤=y x y x D ，则⎰⎰++Ddxdy y x y b x a )()()()(ϕϕϕϕ＝（ ） （A ）a ； （B ）b ； （C ）b a +； （D ）)(21b a +.三．设函数)(x f 在0=x 的某领域内具有二阶导数，且310)(1lim e x x f x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛++→，求)0(f ，)0(f '，)0(f ''及xx x x f 10)(1lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→. 四．计算⎰+-+dx x x xx )1(ln )1ln(. 五．求函数)1ln()(2x x x f +=在0=x 点处的100阶导数值.六．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上，以0>T 为周期的连续函数，且⎰=TA dx x f 0)(，求xdtt f x x ⎰+∞→0)(lim.七．在椭球面122222=++z y x 上求一点，是函数222),,(z y x z y x f ++=在该点沿方向j i l-=的方向导数最大.八．设正整数1>n ，证明方程01121212=-+++--x a x a x n n n 至少有两个根.九．设00>x ，112)1(2--++=n n n x x x （ 3,2,1=n ）. 证明n n x ∞→lim 存在，并求之.十．计算曲面积分⎰⎰∑-=xdxdy dydz xz I sin 2，其中∑是曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=012x z y （21≤≤z ）绕z 轴旋转而成的旋转面，其法线向量与z 轴正向的夹角为锐角.十一. 设),(y x P 、),(y x Q 具有连续的导函数，且对以任意点),(00y x 为圆心，以任意正数r 为半径的上半圆θθsin ,cos :00r y y r x x L +=+=（πθ≤≤0），恒有0),(),(=+⎰Ldy y x Q dx y x P ，证明：0),(≡y x P ，0),(≡∂∂xy x Q . 十二. 设函数)(x f 在]1,0[上连续，且0)(10=⎰dx x f ，1)(10=⎰dx x xf ，试证： （1）]1,0[0∈∃x ，使得4)(0>x f ；（2）]1,0[1∈∃x ，使得4)(1=x f .2005年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一．填空题： 1．=+++-+-∞→xx x x x x sin 114lim22 .2．曲线⎪⎩⎪⎨⎧==te y te x ttcos 2sin ，在点)1,0(处的法线方程为 . 3．设函数)(x f 为连续函数，且x dt t f x =⎰-103)(，则=)7(f .4．函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(A 处，沿点A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数为 .5．设2)(=⋅⨯c b a ，则=+⋅+⨯+)()]()[(a c c b b a. 二．选择题：1．设函数)(x f 与)(x g 在开区间),(b a 内可导，考虑如下的两个命题： （1）若)()(x g x f >，则)()(x g x f '>'； （2）若)()(x g x f '>'，则)()(x g x f >. 则（ ）（A ）两个命题均正确； （B ）两个命题均不正确；（C ）命题（1）正确，命题（2）不正确; （D ）命题（1）不正确，命题（2）正确.2．设函数)(x f 连续，)(x F 为)(x f 的原函数，则（ ） （A ）当)(x f 为奇函数时，)(x F 必为偶函数； （B ）当)(x f 为偶函数时，)(x F 必为奇函数； （C ）当)(x f 为周期函数时，)(x F 必为周期函数；（D ）当)(x f 为单调递增函数时，)(x F 必为单调递增函数；3．设平面π位于平面022:1=-+-z y x π与平面062:2=-+-z y x π之间，且将此两平面的距离分为3:1，则平面π的一个方程为（ ）（A ）02=+-z y x ； （B ）082=++-z y x （C ）082=-+-z y x ； （D ）032=-+-z y x 4．设),,(z y x f 为非零的连续函数，⎰⎰⎰≤++=2222),,()(t z y x dxdydz z y x f t F ，则当0→t 时（ ）（A ）)(t F 与t 为同阶无穷小； （B ）)(t F 与2t 为同阶无穷小； （C ）)(t F 与3t 为同阶无穷小； （D ）)(t F 是比3t 高阶的无穷小. 5．设函数)(x y y =满足等式042=+'-''y y y ，且0)(0<x y ，0)(0='x y ，则)(x y 在点0x 处（ ）（A ）取得极小值； （B ）取得极大值；（C ）在点0x 的一个领域内单调增加; （D ）在点0x 的一个领域内单调减少.三．求函数2sin )(2x e x f x -=的值域.四．设)(),(xyg y x xy f z +=，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求yx zx z ∂∂∂∂∂222,. 五．设二元函数),(y x u 在有界闭区域D 上可微，在D 的边界曲线上0),(=y x u ，并满足),(y x u yux u =∂∂+∂∂，求),(y x u 的表达式. 六．设二元函数),(y x f 具有一阶连续偏导数，且⎰=+),()0,0(22cos ),(t t t ydy x dx y x f ，求),(y x f .七．设曲线2ax y =（0,0≥>x a ）与21x y -=交于点A ，过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2ax y =围成一平面图形，试问：（1）当a 为何值时，该图形绕x 轴一周所得的旋转体体积最大？ （2）最大体积为多少？八．设S 为椭球面122222=++z y x 的上半部分，点S z y x P ∈),,(，π为S 在点P 处的切平面，),,,(z y x ρ为点)0,0,0(O 到平面π的距离，求dS z y x zS⎰⎰),,(ρ. 九．证明：⎰⎰+≤+2022021cos 1sin ππdx x x dx x x . 十．设正值函数)(x f 在区间],[b a 上连续，⎰=baA dx x f )(，证明：))(()(1)()(A a b a b dx x f dx e x f ba ba x f +--≥⎰⎰ 十一. 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上具有连续的二阶导数，证明：),(b a ∈∃ξ，使得)()()2(2)()(42ξf b f b a f a f a b ''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-- 十二. 设函数)(x f 在闭区间]2,2[-上具有二阶导数，1)(≤x f ，且4)]0([)]0([22='+f f ，证明：存在一点)2,2(-∈ξ，使得0)()(=''+ξξf f .2006年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一．填空：1．若⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->-=0 ,10 ,2arctan 1)(2sin x ae x x e x f x x是),(+∞-∞上的连续函数，则=a .2．函数x x y sin 2+=在区间],2[ππ上的最大值为 .3．⎰--=+22)(dx e x x x .4．由曲线⎩⎨⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点)2,3,0(处的指向外侧的单位法向量为 .5．设函数),(y x z z =由方程2=+----x y z xe x y z 所确定，则=dz . 二．选择题：1．设函数)(x f 可导，并且5)(0='x f ，则当0→∆x 时，该函数在点0x 处微分dy 是y ∆的（ ） （A ）等价无穷小；（B ）同阶但不等价无穷小； （C ）高阶无穷小； （D ）低阶无穷小.2．设函数)(x f 在点a x =处可导，则)(x f 在点a x =处不可导的充要条件是（ ）（A ）0)(=a f ，且0)(='a f ； （B ）0)(≠a f ，但0)(='a f ； （C ）0)(=a f ，且0)(≠'a f ； （D ）0)(≠a f ，且0)(≠'a f . 3．曲线12+-+=x x x y （ ）（A ）没有渐近线； （B ）有一条水平渐近线和一条斜渐近线;（C ）有一条铅直渐近线； （D ）有两条水平渐近线. 4．设),(y x f 与),(y x ϕ均为可微函数，且0),(≠'y x y ϕ. 已知),(00y x 是),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ下的一个极值点，下列选项中的正确者为（ ） （A ）若0),(00='y x f x ，则0),(00='y x f y ； （B ）若0),(00='y x f x ，则0),(00≠'y x f y ； （C ）若0),(00≠'y x f x ，则0),(00='y x f y ； （C ）若0),(00≠'y x f x ，则0),(00≠'y x f y . 5．设曲面}0,),({2222≥=++=∑z k z y x y x 的上侧，则下述曲面积分不为零的是（ ）（A ）⎰⎰∑dydz x 2； （B ）⎰⎰∑xdydz ； （C ）⎰⎰∑zdzdx ； （D ）⎰⎰∑ydxdy .三．设函数)(x f 具有连续的二阶导数，且0)(lim=→xx f x ，且4)0(=''f ，求xx x x f 10)(1lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→. 四．设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t u du u e y t x ln 211221（1>t ）所确定，求922=x dx y d . 五．设n 为自然数，计算积分dx xxn I n ⎰+=20sin )12sin(π. 六．设)(x f 是除0=x 点外处处连续的奇函数，0=x 为其第一类跳跃间断点，证明⎰xdt t f 0)(是连续的偶函数，但在0=x 处不可导.七．设),(v u f 有一阶连续偏导数，))cos(,(22xy y x f z -=，θcos r x =，θsin r y =，证明：)sin(2sin 1cos xy vzy u z x z r r z ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂θθθ.八．设函数)(u f 连续，在点0=u 处可导，且0)0(=f ，3)0(-='f ，求：⎰⎰⎰≤++→++2222)(1lim 22240t z y x t dxdydz z y x f tπ 九．计算⎰+++-=L yx x xdyydx I ，其中L 为1=++y x x 正向一周.十．（1）证明：当x 充分小时，不等式422tan 0x x x ≤-≤成立.（2）设∑=+=nk n k n x 121tan ，求n n x ∞→lim .十一. 设常数12ln ->k ，证明：当0>x 且1≠x 时，0)1ln 2ln )(1(2>-+--x k x x x . 十二. 设匀质半球壳的半径为R ，密度为μ，在球壳的对称轴上，有一条长为l 的均匀细棒，其密度为ρ. 若棒的近壳一端与球心的距离为a ，R a >, 求此半球壳对棒的引力.2001年天津市大学数学竞赛试题答案（理工类）一．填空：1. 22. dx -3. 12374. 385. 4二．选择：1. D2. A3. D4. C5. B三．解： )(!4!21cos 442x o x x x ++-==-22x e )()2(!21214222x o x x +-+-=)(821442x o x x ++- )(22)()2(212)21ln(2222x o x x x o x x x +--=+---=-由此得到：原式=2224424420)](222[)](821[)(!4!21lim x x o x x x x o x x x o x x x +--++--++-→ 241)(2)(121lim 44440=+-+-=→x o x x o x x 四．解：原式dx edx e e xe xd dx e xe x x x x x x ⎰⎰⎰⎰∞+∞+∞++∞∞++=+++-=+-=+=00000211111)11()1( 令t e x =，则dt tdx 1=，于是2ln 1)111()1(1)1(11102=+=+-=+=++∞∞+∞+∞+--⎰⎰⎰t tn l dt t t dt t t dx e xe x x 五．解：x x x u =)2,(两边对x 求导，得到：1)2,(2)2,(21='+'x x u x x u ，代入21)2,(x x x u ='求得：21)2,(22x x x u -='； 21)2,(x x x u ='两边对x 求导，得到：x x x u x x u 2)2,(2)2,(1211=''+''； 21)2,(22x x x u -='两边对x 求导，得到 x x x u x x u -=''+'')2,(2)2,(2221. 以上两式与2222yux u ∂∂=∂∂联立，又二阶导数连续，所以2112u u ''=''，故 x x x u 34)2,(11-=''. 六．解：设三角形的三边长分别为z y x ,,，由海伦公式知，三角形的面积S 的平方为))()((2z p y p x p p S ---=则本题即要求在条件p z y x 2=++之下S 达到的最大值，它等价于在相同的条件下2S 达到最大值. 设))()((),(2p y x y p x p p S y x f -+--==问题转化成),(y x f 在}2,0,0),({p y x p p y p x y x D <+<<<<<=上的最大值。
天津市大学生数学竞赛
2007年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。
请将最终结果填在相应的横线上面。
） 1. 设函数()()⎰⋅=xt at x f sin 02d sin ，()43x x x g +=，且当x →0时，()x f 与()x g 为等价无穷小，则a = 。
2. 设函数xx y 2=在0x x =点处取得极小值，则=0x 。
3.()=+⎰+∞121d x x x。
4. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+022401223:L 22222z y--z y x z--y x 在点（1，1，2）处的切线方程为 。
5.=+⎰⎰1132d 1d x y yxy x 。
二、选择题：（本题15分，每小题3分。
每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
）1. 设函数()x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） （A ）()()[]⎰⋅-+xt t f t f t 0d ； （B ）()()[]⎰⋅--xt t f t f t 0d ；（C ）()⎰x t tf 02d ； （D ）()[]⎰xt t f 02d 。
2. 设函数()x f 具有一阶导数，下述结论中正确的是（ ） （A ）若()x f 只有一个零点，则()x f '必至少有两个零点； （B ）若()x f '至少有一个零点，则()x f 必至少有两个零点； （C ）若()x f 没有零点，则()x f '至少有一个零点； （D ）若()x f '没有零点，则()x f 至多有一个零点。
3. 设函数()x f 在区间()+∞,0内具有二阶导数，满足()00=f ，()0<''x f ，又b a <<0，则当b x a <<时恒有（ ）（A ）()()a xf x af >； （B ）()()b xf x bf >； （C ）()()b bf x xf >； （D ）()()a af x xf >。
2007年全国高中数学联赛天津赛区预赛(含详细答案)
2007年全国高中数学联赛天津赛区预赛（含详细答案）一、选择题（每小题6分，共36分）1．方程6)5)(2()4)(1(33=-++-+x x x x 的实数解的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．大于2 2．正2007边形P 被它的一些不在P 内部相交的对角线分割成若干个区域，每个区域都是三角形，则锐角三角形的个数为（ ）A ．0B ．1C ．大于１D ．与分割的方法有关 3．已知关于参数a （0>a ）的二次函数aa a x a ax y 414131222+--+-+=（R x ∈）的最小值是关于a 的函数)(a f ，则)(a f 的最小值为（ ）A ．－2B ．64137-C ．41- D ．以上结果都不对 4．已知b a ,为正整数，b a ≤，实数y x ,满足)(4b y a x y x +++=+，若y x +的最大值为40，则满足条件的数对),(b a 的数目为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．75．定义区间),(d c ，),[d c ，],(d c ，],[d c 的长度均为c d -，其中c d >．已知实数b a >，则满足111≥-+-bx a x 的x 构成的区间的长度之和为（ ） A ．1 B ．b a - C ．b a + D ．26．过四面体ABCD 的顶点D 作半径为1的球，该球与四面体ABCD 的外接球相切于点D ，且与平面ABC 相切．若32=AD ， 45=∠=∠CAD BAD ，60=∠BAC ，则四面体ABCD 的外接球的半径r 为（ ）A ．2B ．22C ．3D ．32 二、填空题（每小题9分，共54分） 7．若关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=+=+10122y x by ax 有解，且所有的解都是整数，则有序数对),(b a 的数目为______________．8．方程2007322=+y x 的所有正整数解为_____________．9．若D 是边长为1的正三角形ABC 的边BC 上的点，ABC ∆与ACD ∆的内切圆半径分别为1r ，2r ，若5321=+r r ，则满足条件的点D 有两个，分别设21,D D ，则21,D D 之间的距离为_______________．10．方程1])9(9)4(4)1(1[32)9)(4)(1()9)(4)(1(33333333=++++++++++++---x x x x x x x x x x x x 的不同非零整数解的个数为_____________．11．设集合},,,,{54321a a a a a A =，},,,,{2524232221a a a a a B =，其中54321,,,,a a a a a 是五个不同的正整数，54321a a a a a <<<<，},{41a a B A = ，1041=+a a ，若B A 中所有元素的和为246，则满足条件的集合A 的个数为_____________．12．在平面直角坐标系中定义两点),(11y x P ，),(22y x Q 之间的交通距离为||||),(2121y y x x Q P d -+-=．若),(y x C 到点)3,1(A ，)9,6(B 的交通距离相等，其中实数yx ,满足100≤≤x ，100≤≤y ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长之和为________．三、论述题（每小题20分，共60分）13．已知ABC ∆的外心为O ，90<∠A ，P 为OBC ∆的外接圆上且在ABC ∆内部的任意一点，以OA 为直径的圆分别与AB ，AC 交于点E D ,，OE OD ,分别与PC PB ,或其延长线交于点G F ,，求证G F A ,,三点共线．14．已知数列}{n a （0≥n ）满足00=a ，11=a ，对于所有正整数n ，有1120072-++=n n n a a a ，求使得n a |2008成立的最小正整数n ．15．排成一排的１０名学生生日的月份均不相同，有n 名教师，依次挑选这些学生参加n 个兴趣小组，每个学生恰被一名教师挑选，且保持学生的排序不变，每名教师挑出的学生必须满足生日的月份是逐渐增加或逐渐减少的（挑选一名或两名学生也认为是逐渐增加或逐渐减少），每名教师尽可能多选学生．对于学生所有可能的排序，求n 的最小值．参考答案一、选择题（每小题6分，共36分）16=的实数解的个数为（ ）。
历年全国大学生高等数学竞赛真题及答案(2009-2011非数学类).
1
1 2 4 2 3 1 5 16
2 (12t t )dt 2 t t t
令t 1u ，则u 1t2 ，du 2tdt ，u2 12t2 t4 ，u(1u) t2 (1t)(1t) ，
0
(*) 2 (12t2 t4 )dt
1
2
d y
则 2 ________________.
dx
f (y ) y
x
解方程xe e ln 29 的两边对 求导，得
y
(x y ) ln(1 ) u ln u u ln v
1x y
坐标轴所围成三角形区域.
0 1
解令 ，则 ， ，
x y u,x v x v,y u v dxdy det dudv dudv
1 1
2 ．设f (x) 是连续函数，且满足f (x) 3x 2 f (x)dx 2 , 则f (x) ____________.
0
处的切平面方程是2(x 2) 2(y 1) (z 5) 0 ，即曲面z y 2 平行平面
2
2x 2y z 0 的切平面方程是2x 2y z 1 0 。
4 ．设函数y y (x) 由方程 f (y ) y 确定，其中 具有二阶导数，且 ，
xe e ln 29 f f 1
处的法向量为(z (x , y ), z (x , y ),1) ，故(z (x , y ), z (x , y ),1) 与(2,2,1) 平行，
x 0 0 y 0 0 x 0 0 y 0 0
D x dxdy D dudv
1x y 1u
1 u ln u u u u
4 2 10
解得A 。因此f (x) 3x 。
天津市大学数学竞赛历年试题及答案（完整）
天津市大学数学竞赛历年试题及答案（1）(人文学科及医学等类)一、填空：（请将最终结果填在相应的横线上面。
）1．.22322302220sin sin cos ()()lim 1,lim lim ()()34sin sin limlimcos 34cos sin 2sin cos lim6122sin 2cos lim lim 16126243x x x xxx x x a x xf x f xg x g x xxa x xxxa x a x xx xa x a x a x xx 2．2ln 1x0y2ln 22，得令xxx y 3．=.udue dxex u ux 2,12131令22222212212121222222222eeee e e e e e eee due ue udeu uu u4．,24,2222222x f xx f dxy d x x f dxdy 5．切线方程为. 1．3 2. -1/ln2 3.2e24. 5．06yx3)1(33y3y 1,3-1,x ,3,63312即切线方程：时，即得令而，切线的斜率为xx y y x xy x二、选择题：（每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
）1．设函数)(x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是( A ).(A)；(B)；(C)；(D).2. D3. B4. B5. C解：令)()()()()()()(,)()()(0u d u f u f u dt t f t f t x F dt t f t f t x F x x x )()()()()(0x F dtt f t f t duu f u f u xx 2．设函数)(x f 具有一阶导数，下述结论正确的是( D )。
(A)若)(x f 只有一个零点，则)('x f 必至少有两个零点；反例：y=2x(B) 若)('x f 至少有一个零点，则)(x f 必至少有两个零点；反例：y=x2(C) 若)(x f 没有零点，则)('x f 至少有一个零点；反例：y=2+sinx(D) 若)('x f 没有零点，则)(x f 至多有一个零点。
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而此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 即
令
V (a) 2 a 1 (1 2a) 8 (1 a) 0 ，
5
3
27
得
即
因此
a 5 ,b 3 ,c 1.
42
七、（15
分）已知 un (x)
满足 un (x)
un (x)
xn1e x (n
1,2,)
,且 un (1)
e n
,
求函数项级数
收敛；
（2）当
1且 sn
(n ) 时，级数
n1
an Sn
发散。
解：
（1） an >0, sn 单调递增
当
n1
an
收敛时，
an sn
an s1
，而 an
s1
收敛，所以 an
sn
收敛；
当
n1
an
发散时，
lim
n
sn
所以， an s n1 n
a1 s1
n2
sn sn1
dx x
a1 s1
（1） xesin ydy yesin xdx
L
D
x
( xesin
y
)
y
(
ye sin
x
)dxdy
而 D 关于 x 和 y 是对称的，即知
因此
（2）因
故
由
知
即 xesin ydy yesin ydx 5 2
L
2
五、（10 分）已知 y1 xex e2x ， y2 xex ex ， y3 xex e2x ex 是某
zy 2 y 知 2 zx (x0 , y0 ) x0 ,2 zy (x0 , y0 ) 2 y0 ， 即 x0 2, y0 1，又 z(x0 , y0 ) z(2,1) 5 ，于是曲面 2x 2 y z 0 在 (x0 , y0 , z(x0 , y0 )) 处的切平面方程是
上期天津市2000～2001学年度数学学科竞赛试题答案
上期天津市2000～2001学年度数学学科竞赛试题答案佚名
【期刊名称】《数学小灵通：小学1-2年级版》
【年(卷),期】2002()5
【总页数】1页(P39-39)
【关键词】数学学科;试题答案;天津市
【正文语种】中文
【中图分类】G62
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4.天津市2001～2002学年度数学学科竞赛决赛试题 [J], 叶佳苗
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天津大学数学考试题及答案
天津大学数学考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的顶点坐标是：A. (-1, 1)B. (-2, -2)C. (1, 4)D. (2, 2)答案：A3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B：A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}答案：B4. 若sinα = 0.6，则cosα的值是：A. 0.8B. -0.8C. -0.6D. 0.6答案：A5. 极限lim (x->2) [(x^2 - 4)/(x - 2)]的值是：A. 0B. 4C. 2D. 不存在答案：B6. 微分方程dy/dx = x^2 - y^2的解是：A. y = x^2B. y = x + CC. y = C/xD. y = C * e^x答案：B7. 曲线y = x^3在点(1, 1)处的切线斜率是：A. 3B. 2C. 1D. 0答案：A8. 定积分∫[0, 1] x dx的值是：A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/6答案：B9. 方程x^2 - 5x + 6 = 0的根是：A. 2, 3B. -2, 3C. 1, 6D. -1, 6答案：A10. 已知|z| = 5，且z的实部为3，则z的虚部可以是：A. 4iB. -4iC. 2iD. -2i答案：B和D二、填空题（每题4分，共20分）11. 圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，则该圆的半径为_________。
答案：312. 若函数f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 3x在x = 1处取得极小值，则f(1) = _______。
答案：-113. 已知向量a = (3, 4)，b = (-2, 1)，则向量a与向量b的夹角θ满足cosθ = __________。
2001—2010年天津市大学数学竞赛(用于打印)解析
2010年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题15分，每小题3分。
请将最终结果填在相应的横线上面。
） 1. 设nx n +++++++= 21131211，则=∞→n n x lim _______ 。
2.已知()x f 的一个原函数为x xsin ，则()='⎰ππx x f x 2d _______ 。
3.=⎰+∞e2ln d xx x_______。
4. 设a ，b 为非零向量，且满足（a + 3b ）⊥（7a – 5b ），（a – 4b ）⊥（7a – 2b ），则a 与b 的夹角为_______ 。
5.根据美国1996年发布的《美国能源报告》原油消耗量()t C 1的估计公式为（单位：十亿桶/年）：()15159060781000137021≤≤-++-=t ,.t .t .t C ，式中t 的原点取为2000年1月。
如果实测模型为：()15158761207000137022≤≤-++-=t ,.t .t .t C ，则自1995年至2015年共节省原油 _______ 。
二、选择题：（本题15分，每小题3分。
每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
）1. 设函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=.x ,x x ,x ,xxx f 0g 0cos 1其中()x g 是有界函数，则()x f 在0=x 点处（ ）。
（A ）极限不存在； （B ）极限存在，但不连续；（C ）连续但不可导； （D ）可导。
2. 设曲线的极坐标方程为ϑcos 1+=r ，则在其上对应于32πϑ=点处的切线的直角坐标方程为（ ）。
（A ）01=+x ； （B ）01=+y ； （C ）0=+y x ； （D ）0=-y x 。
3. 设函数()x f 连续，则()=-⎰x t t x f t x 0223d d d （ ）。
历年全国大学生高等数学竞赛真题及答案(2009-2011非数学类)
第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）2009一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=，dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)t t t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(22-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
2001年大学生数学竞赛(天津)试题及参考答案
2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。
请将最终结果填在相应的横杠上面。
）1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<-=，，；，0cos 01e )(22x x x a x xx f x 在（-∞，+∞）上连续，则a = 2 。
2. 设函数y = y (x ) 由方程0)cos(e =-+xy y x 所确定，则==0d x y x d - 。
3. 由曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A =1237。
4. 设E 为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则⎰=Ex x x d sin cos38。
5．设L 是顺时针方向的椭圆1422=+y x ，其周长为l ，则()=++⎰L s y x xy d 422 4l 。
二、选择题：（本题15分，每小题3分。
每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
）1. 若0)(lim 0u x x x =→ϕ且A u f =→)(lim 0u u ，则（ D ）（A ） )]([lim 0x f x x ϕ→存在； （B ） A x f x x =→)]([lim 0ϕ（C ） )]([lim 0x f x x ϕ→不存在； （D ） A 、B 、C 均不正确。
2. 设⎰=xx x x f sin 02d )sin()(，43)(x x x g +=，则当0→x 时，（ A ） （A ）)(x f 与)(x g 为同阶但非等价无穷小； （B ）)(x f 与)(x g 为等价无穷小；（C ）)(x f 是比)(x g 更高阶的无穷小； （D ）)(x f 是比)(x g 更低阶的无穷小。
3. 设函数)(x f 对任意x 都满足)()1(x af x f =+，且b f =)0('，其中a 、b 均为非零常数，则)(x f 在x = 1处（ D ）（A ）不可导； （B ）可导，且a f =')1(；（C ）可导，且b f =')1(； （D ）可导，且ab f =')1(。
2001—2007年天津市大学数学竞赛(打印版)
2007年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。
请将最终结果填在相应的横线上面。
） 1. 设函数()()⎰⋅=xt at x f sin 02d sin ，()43x x x g +=，且当x →0时，()x f 与()x g 为等价无穷小，则a = 3 。
2. 设函数x x y 2=在0x x =点处取得极小值，则=0x 。
3.()=+⎰+∞121d x x x。
4. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+022401223:L 22222z y--z y x z--y x 在点（1，1，2）处的切线方程为 。
5.=+⎰⎰1132d 1d xy yxy x 。
二、选择题：（本题15分，每小题3分。
每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
）1. 设函数()x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） （A ）()()[]⎰⋅-+x t t f t f t 0d ； （B ）()()[]⎰⋅--xt t f t f t 0d ；（C ）()⎰xt t f 02d ； （D ）()[]⎰xt t f 02d 。
2. 设函数()x f 具有一阶导数，下述结论中正确的是（ ） （A ）若()x f 只有一个零点，则()x f '必至少有两个零点； （B ）若()x f '至少有一个零点，则()x f 必至少有两个零点； （C ）若()x f 没有零点，则()x f '至少有一个零点； （D ）若()x f '没有零点，则()x f 至多有一个零点。
3. 设函数()x f 在区间()+∞,0内具有二阶导数，满足()00=f ，()0<''x f ，又b a <<0，则当b x a <<时恒有（ ）（A ）()()a xf x af >； （B ）()()b xf x bf >； （C ）()()b bf x xf >； （D ）()()a af x xf >。
2001年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题
2001年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题一、选择题(每题5分，共30分．) 1．350，440，530的大小关系为( )．(A)350<440<530(B)530<350<440(C)530<440<350(D)440<530<3502．二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，则点(a+b ，ac)在直角坐标系中的象限是( )．(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限3，凸五边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝120°，EA ＝AB ＝BC ＝2，CD ＝DE ＝4，则它的面积为 ( )．(A)63 (B)73 (C)83 (D)934.若x+y+z ＝30，3x+y-z ＝50，x ，y ，z 均为非负数，则M ＝5x+4y+2z 的取值范围是( )．(A)100≤M ≤110 (B)110≤M ≤120 (C)120≤M ≤130 (D)130≤M ≤1405．周长为有理数的等腰三角形，底边上的高是底边长的21，则该三角形的( )．(A)腰和底边的高都是有理数 (B)腰和底边的高都不是有理数 (C)腰是有理数，底边上的高是无理数 (D)腰是无理数，底边上的高是有理数6．如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠C ＝90°，若AD ＝31AC ，CE ＝31BC ，则∠l 和∠2的大小关系是( )，(A)∠l>∠2 (B)∠l<∠2 (C)∠l ＝∠2 (D)无法确定 二、填空题(每空5分，共30分，)7． 已知：x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14＝0，则x+y+z ＝ 8．计算：(3+1)2001-2(3+1)2000-2(3+1)1999+2 001=9．已知：m ，n 是有理数，并且方程x 2+mx+n ＝0有一个根是5-2，那么，m+n ＝ 10．如图，已知一个三角形的一边长为2，这边上的中线长为1，另两边之和为l+3，则这两边之积为11．已知：a 、b 满足a 3-3a 2+5a ＝l ，b 3-3b 2+5b ＝5，则a+b ＝ · 12．如图，由五个边长为1 cm 的正方形组成的图形中，过点A 的一条直线l 与ED 、CD 分别交于M 、N ，若直线l 将图形分为面积相等的两部分，则EM ＝cm ．三、解答题(每题15分，共60分．)13． 已知抛物线y ＝x 2+Px+q 上有一点M(x 0，y 0)位于x 轴下方． (1)求证：此抛物线与x 轴交于两点；(2)设此抛物线与x 轴的交点为A(x 1，0)，B(x 2，0)且x 1<x 2，求证:x 1<x 0<x 2 14．如图，任意五边形ABCDE 中，M 、N 、P 、Q 分别为AB 、CD 、BC 、DE 的中点，K 、L 分别为MN 、PQ 的中点．求证：KL ∥AE ，且KL ＝41AE ．15．如图，直线y ＝-33x+l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ ABC ，∠BAC ＝90°，如果在第二象限内有一点P(a ，21)，且△ ABP 的面积与△ ABC 的面积相等，求a的值．16．如图，已知点P 在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB(不含端点)上运动，PH ⊥OA ，垂足为H ，△OPH 的重心为G ．(1)当点P 在弧AB 上运动时，线段GO 、GP 、GH 中有无长度保持不变的线段?如果有，请指出并求其相应的长度；(2)设PH ＝x ，GP ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；(3)如果△PGH 是等腰三角形，试求出线段PH 的长，2001年天津市初中数学竞赛试题答案2002年全国初中数学联合竞赛天津赛区复赛一、选择题(本大题共6小题．每小题7分，满分42分．每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的，将正确结论的代号填在下表相应的括号中．填对得7分，不填、填错或所填代号多于一个得O分．)1．已知a=2－l，b=22-6，c=6－2，那么a、b、c的大小关系是( )．A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<b<aD ．c<a<b2．若m 2=n+2．n 2=m+2(m≠n)，则m 3－2mn+n 3的值为( )． A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－23．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，并设M==|a+b+c|—|a －b+c|+|2a+b|—|2a －b|，则( )． A ．M>0 B ． M=O C ．M<0D ．不能确定M 为正、为负或为04．直角三角形ABC 的面积为120，且∠BAC=90°，AD 是斜边上的中线，过点D 作DE⊥AB 于点E ，连CE 交AD 于点F ，则△AFE 的面积等于( )． A ．18 B ．20 C ．22 D ．245．如图所示。
天津市大学数学竞赛试题参考解答及评分标准经管类
1t→0+t2012年天津市大学数学竞赛试题参考解答及评分标准（经管类）一.填空题（本题15分，每小题3分）:1.设limx→01+f(x)sin2x-1e3x-1=2，则lim f(x)=6.x→02.设函数f(x)连续且不等于0，又⎰xf(x)dx=arcsin x+C，则⎰dx f(x)=3-(1-x2)2+C. 33.半径为R的无盖半球形容器中装满水，然后慢慢地使容器倾斜π，则流出的水量V= 3338πR3.4.设函数可微f(x)，且f(0)=0,f'(0)=1.又设平面区域D:x2+y2≤t2，则lim13⎰⎰Df(x2+y2)dσ=23π.f(x)5.设函数f(x)在点x=0处二阶可导，且limx→∞1-cos x二.选择题（本题15分，每小题3分）:=2，则f''(0)=21.设函数f(x)有连续的导数，且f(0)=1，f'(0)=3，则lim f(x)x→012x=（D）(A)1,(B)e,(C)e23(D)e322.设函数f(x)在点x=0的一个邻域内有定义，且满足f(x)≤x2，则有（B）(A)f(x)在点x=0处不一定可导(B)f(x)在点x=0处可导，且f'(0)=0(C)f(x)在点x=0处可导，且f'(0)≠0(D)f(x)在点x=0处取得极小值4. 设函数 f ( x ) 在区间 [0,1 ]上连续，且 f ( x ) > 0 .记 I = ⎰ f ( x )dx ，I =⎰2 f (sin x)dx ，1I = ⎰ 4f (tan x)dx ，则 （ B ）5. 设 f ( x ) 在 [0,1 ]有连续的二阶导数，f (0) = -1 ，f '(1) = 3 ，并且满足 ⎰ xf''(x)dx = 1 ， 三. 设 a = ⎛ 1 + a ⎪ ，n=1,2,…， a 0 = cos θ (0 < θ < π ) .求极限 lim 4n (1- a n ) 。
历届全国大学生数学竞赛真题与答案非数学类
高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009 年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5 分，共 20 分）(xy) ln(1 y)1．计算xdxdy ____________ ，其中区域 D 由直线 x y 1与两D1 x y坐标轴所围成三角形区域.1解 : 令 xy u, x v ，则 xv, y u v ，11( x y) ln(1y ) Dx dxdy1 xyu ln u u ln v dudvD1 u1u ln uu uu(udvln vdv)du0 1 01 u 0 1u 2 ln u u(u ln u u) 01 u 1 u du1u 2du（ * ）1 u令 t 1 u ，则u 1 t 2du2tdt ， u 21 2t 2t 4 ， u(1 u) t 2 (1 t)(1 t) ，(*)0 ( 12t2t 4)d t2112 t31 t 512t 4)dt 2 t2 (1 2t352．设 f ( x) 是连续函数，且满足f (x)3x 22f (x)dx16152 , 则 f (x)____________.令 A 23x2A 2 ，解:f (x)dx ，则 f ( x)A 2A 2)d x 82(A 2)4 2A ,( 3x 2解得 A4 。
因此 f (x) 3x 2 10 。
3 3 ．曲面 z x 2y 2 2 平行平面 2x 2 y z0 的切平面方程是 __________. 32解: 因平面2x2 yz 0 的法向量为 (2,2,1) ， 而 曲 面 z x 2 y 22 在2 ( x 0 , y 0 ) 处 的 法 向 量 为 ( z x (x 0 , y 0 ), z y ( x 0 , y 0 ), 1)， 故( z x ( x 0 , y 0 ), z y ( x 0 , y 0 ), 1) 与 ( 2,2, 1) 平 行 ， 因 此 ， 由 z x x ， z y 2y 知2 z x ( x 0 , y 0 ) x 0 ,2 z y (x 0 , y 0 )2y 0 ，即 x 02, y 0 1 ， 又 z( x 0 , y 0 ) z( 2,1) 5 ， 于 是 曲 面 2x 2yz 0 在( x 0 , y 0 , z( x 0 , y 0 )) 处的切平面方程是 2( x 2) 2( y 1) ( z5)0 ，即曲面zx 2 y 2 2 平行平面22x 2 y z 0 的切平面方程是 2x 2y z 1 0 。
天大2001年数学分析考试试卷
天大2001年数学分析考试试卷一.填空(本题共10分,每小题3分,满分30分)1.已知n x =,则lim _____n n x →∞= 2.曲面z xy =在点()1,1,1A 处的切平面方程为______3.已知cos sin t t x e t y e t⎧=⎨=⎩,则_____dy dx =4.2______x =⎰ 5.幂级数()()1321n n n n x n ∞=+-+∑的收敛域为________6.函数()22ln 1u x y =++的全微分为__________7.函数()4226f x x x =-+在[]2,2-上的最大值为__________ 8.幂级数111n n x n +∞=+∑的和函数为_____________9.曲线段()3204y x x =≤≤的弧长为_________________10.设()22y x y y F y e dx -=⎰,则()________F y '= 二,解答下列各题(本题共6小题,每小题5分,满分30分)1.求2020lim sin x t x x e dt x x→-⎰ 2.求曲线322y y x +=在()1,1点的切线方程和法线方程 3.展开1x d e dx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为x 的幂级数 4.若()f x 为偶函数，且()0f '存在，求()0f '5.已知正项级数1n n a ∞=∑收敛，讨论级数1n n ∞=∑的收敛性（包括条件收敛或绝对收敛） 三.(8分)证明2241n n x n ∞=+∑在[)0,+∞上不一致收敛,但在[)0,+∞上连续四.(6分)证明:若n x 上升,n y 下降,而n n x y -为无穷小量,则n n x y 和必有同一极限五.(6分)设()(),,n f tx ty t f x y =,其中(),f x y 有一阶偏导数,试证明ffx y nf x y ∂∂+=∂∂六.(6分)若(),f x y 在某一区域G 内对变量x 为连续,对变量y 满足Lipschitz 条件,即对任何 ()()12,,,x y G x y G ∈∈有()()1212,,f x y f x y L y y -≤-,其中L 为常数,则此函数在G内连续 七.(8分)抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆,求原点到这椭圆的最长与最短距离八.(6分)设()f x 在[]1,1-上可导,且()()()110,01f f f -===,试证曲线段 ()():11C y f x x =-≤≤上至少有一点处的切线平行于直线410x y -+=。
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2001年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。
请将最终结果填在相应的横杠上面。
）1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<-=，，；，0cos 01e )(22x x x a x xx f x 在（-∞，+∞）上连续，则a = 。
2. 设函数y = y (x ) 由方程0)cos(e =-+xy y x 所确定，则==0d x y 3. 由曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A = 4. 设E 为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则⎰=Ex x x d sin cos5．设L 是顺时针方向的椭圆1422=+y x ，其周长为l ，则()=++⎰L s y x xy d 422 。
二、选择题：（本题15分，每小题3分。
每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
）1. 若0)(lim 0u x x x =→ϕ且A u f =→)(lim 0u u ，则（ ）（A ） )]([lim 0x f x x ϕ→存在； （B ） A x f x x =→)]([lim 0ϕ（C ） )]([lim 0x f x x ϕ→不存在； （D ） A 、B 、C 均不正确。
2. 设⎰=xx x x f sin 02d )sin()(，43)(x x x g +=，则当0→x 时，（ ） （A ）)(x f 与)(x g 为同阶但非等价无穷小； （B ）)(x f 与)(x g 为等价无穷小；（C ）)(x f 是比)(x g 更高阶的无穷小； （D ）)(x f 是比)(x g 更低阶的无穷小。
3. 设函数)(x f 对任意x 都满足)()1(x af x f =+，且b f =)0('，其中a 、b 均为非零常数，则)(x f 在x = 1处（ ）（A ）不可导； （B ）可导，且a f =')1(； （C ）可导，且b f =')1(； （D ）可导，且ab f =')1(。
4. 设)(x f 为连续函数，且)(x f 不恒为零，I=⎰t sx tx f td )(，其中s > 0，t > 0，则I的值（ ）（A ）与s 和t 有关； （B ）与s 、t 及x 有关； （C ）与s 有关，与t 无关； （D ）与t 有关，与s 无关。
5. 设u (x ，y ) 在平面有界闭区域D 上具有二阶连续偏导数，且满足02>∂∂∂yx u及02222=∂∂+∂∂y ux u ，则（ ）。
（A ）u (x ，y ) 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部； （B ）u (x ，y ) 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；（C ）u (x ，y ) 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上； （D ）u (x ，y ) 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上。
以下各题的解答写在试题纸上，可以不抄题，但必须写清题号，否则解答将被视为无效。
三、求极限)]21ln(2[ecos lim222x x x x x x -+--→ 。
（本题6分） 解：。
四、计算()⎰∞+--+02d e 1e x x x x。
（本题6分） 解：五、设函数),(y x u 的所有二阶偏导数都连续，x x x u yux u =∂∂=∂∂)2,(2222且，21)2,('x x x u =，求)2(''11x x u ，。
（本题6分） 解：六、在具有已知周长2p 的三角形中，怎样的三角形的面积最大？（本题7分） 解：七、计算⎰⎰⎰⎰+=yyxy yxyx y x y I d e d d e d 121212141。
（本题8分） 解：八、计算曲面积分()()()⎰⎰∑+++++=y x ay z x z ax y z y az xI d d d d d d 232323，其中Σ为上半球面222y x a z --=的上侧。
（本题7分）解：九、已知a >0，x 1>0，定义() ,3,2,134131=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n x a x x n n n求证：n n x +∞→lim 存在，并求其值。
（本题8分）解：十、证明不等式()()∞+∞-∈+≥+++，，x x x x x 2211ln 1。
（本题7分）证明：十一、设函数)(x f 在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且⎰=143)0()(4f dx x f ，求证：在开区间（0，1）内至少存在一点ξ，使得0)('=ξf 。
（本题7分）证明：十二、设)(x f 在区间),[+∞a 上具有二阶导数，且0)(M x f ≤，2)(''0M x f ≤<，)(+∞<≤x a 。
证明202)('M M x f ≤。
（本题8分）证明：2002年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、 填空：（本题15分，每空3分。
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）1．=-+∞→xx x x 1sin 1312lim2 2．设摆线方程为⎩⎨⎧-=-=ty t t x cos 1sin 则此曲线在3π=t 处的法线方程为3．=+⎰∞+e2)ln 1(x x dx4．设22y xy x z +-=在点(－1,1)处沿方向{}1251，=→l 的方向导数=∂∂lz二、选择题：（本题15分，每小题3分。
每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
）1. 曲线)2)(1(1arctane 212-++-=x x x x y x 的渐近线有（ ） （A ） 1条； （B ） 2条；（C ） 3条； （D ） 4条。
2. 若2)]([)(x f x f ='，则当n>2时=)()(x fn （ ）（A ）1)]([!+n x f n ； （B ）1)]([+n x f n ；（C ）nx f 2)]([； （D ）nx f n 2)]([!。
3. 已知函数f (x )在（－∞，+∞）内有定义，且x 0是函数f (x )的极大值点，则（ ） （A ）x 0是f (x )驻点； （B ）在（－∞，+∞）内恒有f (x )≤f (x 0)；（C ）－x 0是－f (－x )的极小值点； （D ）－x 0是－f (x )的极小值点。
4. 设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,222222y x y x y x xyz ，则z = z (x ,y )在点（0，0）（ ）（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但不可微；（C ）不连续且偏导数不存在； （D ）不连续但偏导数存在。
5. 设⎰⎰⎰Ω++=dv e e eI z y x)(，其中Ω：x 2+y 2+z 2≤1，z ≥0则=I （ ）（A ）⎰⎰⎰Ωdv e z 3； （B ）⎰⎰⎰Ωdv e x3； （C ）⎰⎰⎰Ω+dv e e y z )2(； （D ）⎰⎰⎰Ω+dv e e zx )2(。
三、已知极限011lnarctan 2lim≠=-+-→C x x xx nx ，试确定常数n 和C 的值。
（本题6分）解：四、已知函数f (x ) 连续，⎰-=xdt x t f tx g 02)()(，求)(x g '。
（本题6分） 解：五、设方程04=++b ax x ，⑴ 当常数a ，b 满足何种关系时，方程有唯一实根？ ⑵ 当常数a ，b 满足何种关系时，方程无实根。
（本题7分） 解：六、在曲线y = x 2（x ≥ 0）上某点A 作一切线，使之与曲线及x 轴所围图形的面积为121，试求： ⑴ A 点的坐标；⑵ 过切点A 的切线方程；⑶ 该图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积。
（本题8分） 解：七、计算⎰+dx x 32)1(1。
（本题7分） 解：八、设x y z y x z y x f u sin ,0),,(),,,(2===ϕ，其中ϕ,f 具有连续的一阶偏导数，且dxduz ，求0≠∂∂ϕ。
（本题7分） 解：九、求{}1),(2),(22222=+=++=y x y x S y y x x y x f 在上的最大值与最小值。
（本题7分） 解：十、计算⎰⎰+=Ddxdy y x I )cos(，其中区域D 为：20,20ππ≤≤≤≤y x 。
（本题7分）解：十一、证明：当 0 < x < 1时，x xx2e 11-<+-。
（本题7分） 证明：十二、设C 是取正向的圆周1)1()1(22=-+-y x ，f (x )是正的连续函数，证明：π2)()(≥-⎰Cdx x f ydy y xf （本题8分）2003年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、 填空：（本题15分，每空3分。
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） 1．设对一切实数x 和y ,恒有)()()(y f x f y x f +=+，且知1)2(=f ，则=⎪⎭⎫⎝⎛21f 2．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-+=⎰,0,;0,1e 2e )1ln()(2222sin 0x a x dt t x f x x x 在x = 0处连续，则a = 。
3．设2e ),,(yz z y x f z =，其中),(y x z z =是由方程0=+++xyz z y x 所确定的隐函数，则=-')1,1,0(y f 。
4．⎰+∞=+022)1(x dx。
5．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++021444222z y x z y x 在点M (1,1,1)处的切线方程为 二、选择题：（本题15分，每小题3分。
每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
）1． 当0→x 时，下列无穷小量① x x sin 1tan 1+-+； ② 33121x x +-+； ③ x x x sin cos 3134⎪⎭⎫⎝⎛--； ④ 1e 4--x x ， 从低阶到高阶的排列顺序为（ ）（A ） ①②③④； （B ） ③①②④； （C ） ④③②①； （D ） ④②①③。
2． 设⎩⎨⎧=≠=0,00,cot )(3x x x arc x x f ，在x = 0处存在最高阶导数的阶数为（ ）（A ） 1阶； （B ） 2阶； （C ） 3阶； （D ）4阶。
3． 设函数)(x f y =在 x = 1处有连续的导函数，又21)(lim1=-'→x x f x ，则x = 1是（ ）（A ）曲线)(x f y =拐点的横坐标； （B ）函数)(x f y =的极小值点；（C ）函数)(x f y =的极大值点； （D ）以上答案均不正确。