初中数学人教版 幂的运算 人教版
八年级数学上册高效课堂(人教版)14.1.1同底数幂的乘法优秀教学案例
为了提高教学效果，教师应运用多样化的教学手段，如PPT、教学课件、数学实验等，将抽象的数学概念形象化、具体化，降低学生学习难度。同时，注重启发式教学，引导学生主动探究、积极思考，提高学生分析问题和解决问题的能力。
八年级数学上册高效课堂（人教版）14.1.1同底数幂的乘法优秀教学案例
一、案例背景
本案例背景针对的是八年级数学上册（人教版）14.1.1同底数幂的乘法章节。该章节是初中数学的重要内容，旨在让学生理解同底数幂的乘法法则，掌握幂的运算性质。通过对同底数幂的乘法的学习，培养学生逻辑思维能力、创新意识和解决问题的能力。
（2）注重培养学生的团队合作精神，让学生在合作中成长。
（3）联系生活实际，让学生感受数学与生活的紧密联系，提高学生的数学应用能力。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：结合学生的生活实际，创设含有同底数幂的乘法问题的情境，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
2.数学情境：通过展示数学史料、数学实验等方式，引发学生对同底数幂的乘法的好奇心，激发学生学习兴趣。
1.合理分组，确保每个小组成员都能发挥自己的优势。
2.明确合作任务和要求，引导学生有序进行合作。
3.关注小组合作的过程，及时给予指导和反馈。
（四）反思与评价
1.引导学生对学习过程进行反思，让学生总结经验、提高认识。
2.组织学生进行自我评价、同伴评价，让学生了解自己的优点和不足，激发学生自我改进的动力。
为实现上述目标，教师在教学过程中应注重以下几点：
人教版数学八年级上册15.2.3.1《整数指数幂》说课稿1
人教版数学八年级上册15.2.3.1《整数指数幂》说课稿1一. 教材分析人教版数学八年级上册15.2.3.1《整数指数幂》是初中数学的重要内容，属于代数学的范畴。
本节课的主要内容是让学生理解整数指数幂的概念，掌握整数指数幂的运算性质及应用。
通过本节课的学习，为学生进一步学习分数指数幂、负整数指数幂以及指数函数等知识打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了有理数的乘方，对幂的概念有了初步的认识。
但在理解和应用整数指数幂方面，学生还可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，引导学生通过自主学习、合作交流等方式，逐步掌握整数指数幂的知识。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解整数指数幂的概念，掌握整数指数幂的运算性质及应用。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，让学生体会数学知识之间的联系，培养学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：整数指数幂的概念，整数指数幂的运算性质。
2.教学难点：整数指数幂的应用，以及与其他知识点的联系。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等，引导学生主动探究、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、教具等，辅助教学，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习有理数的乘方，引出整数指数幂的概念。
2.自主学习：让学生自主探究整数指数幂的运算性质，引导学生发现规律。
3.合作交流：学生分组讨论，分享学习心得，互相解答疑问。
4.教师讲解：针对学生的疑问和难点，进行讲解，梳理知识体系。
5.巩固练习：布置练习题，让学生及时巩固所学知识。
6.课堂小结：总结本节课的主要内容，强调重点知识。
7.拓展延伸：引导学生思考整数指数幂在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，突出整数指数幂的概念和运算性质。
幂的运算(3大知识点7类题型)(知识梳理与题型分类讲解)(人教版)(教师版)25学年八年级数学上册
专题14.1幂的运算（3大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解）第一部分【知识点归纳与题型目录】【知识点1】同底数幂的乘法法则+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.【要点提示】（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即mnpm n pa a a a++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m nm n aa a +=⋅（,m n 都是正整数）.【知识点2】幂的乘方法则()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.【要点提示】（1）公式的推广：(())=m n pmnpa a (0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式：()()nmmnm n a aa ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.【知识点3】积的乘方法则()=⋅n n nab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.【要点提示】（1）公式的推广：()=⋅⋅nnnnabc a b c(n 为正整数).（2）逆用公式：()n n na b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【知识点4】注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【题型目录】【题型1】同底数幂的乘法运算及逆运算...........................................2;【题型2】幂的乘方运算及逆运算.................................................4;【题型3】积的乘方运算及逆运算.................................................7;【题型4】幂的混合运算.........................................................9;【题型5】幂的运算的应用.......................................................11;【题型6】直通中考.............................................................13;【题型7】拓展与延伸...........................................................14.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】同底数幂的乘法运算及逆运算【例1】（23-24七年级上·河南周口·期中）在学习第一章有理数时，类比小学两个正数的运算法则学习了有理数的加减法、有理数的乘除法，在第二章整式的加减时，类比第一章有理数的学习过程学习了整式的加减，那么整式的乘法是否可以类比有理数的乘法进行学习呢?我们从特殊情况入手对两个同底数幂相乘进行探究．（1）探究根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律①53( )222⨯=，②42( )a a a ⋅=，③( )555m n ⨯=，（2）规律( )m n a a a ⋅=（,m n 都是正整数）．即__________________________．（文字表达）（3）应用①计算31m m a a +⋅；②把(2)x y +看成一个整体，计算23(2)(2)x y x y +⋅+．【答案】（1）①8；②6；③;m n +（2）;m n +同底数幂相乘，底数不变，指数相加（3）①41m a +；②5(2)x y +【分析】本题考查了同底数幂的乘法公式的推导和应用.掌握同底数幂的乘法公式的计算公式是关键；（1）（2）（3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答即可；解：（1）①853(35)2222+⨯==，②642(4+2)a a a a ⋅==，③555m n m n +⨯=，故答案为：8;6;;m n +（2）m n m n a a a +⋅=，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加；故答案为：;m n +同底数幂相乘，底数不变，指数相加；（3）①1314m m m a a a ++⋅=；②253.(2)(2)(2)x y x y x y +=+⋅+【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算3()()x y y x -⋅-=（）A ．4()x y -B ．4()x y --C ．4)y x -（D ．4()x y +【答案】B【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，把()x y -看作一个整体，利用同底数幂的乘法法则即可求解．解题的关键是熟练的掌握同底数幂的乘法法则．解：334()()()()()x y y x x y x y x y -⋅-=--⋅-=--，故选：B ．【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知1222162x x ⋅⋅=，则x =．【答案】4【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，将1222162x x ⋅⋅=变形为：241222x +=，从而得出2412x +=，再求出x 的值即可．解：42421622222x x x x x +⋅=⋅⋅⋅=，∵1222162x x ⋅⋅=，∴241222x +=，∴2412x +=，解得：4x =．故答案为：4．【例2】（2024七年级下·全国·专题练习）（1）已知23x =，求32x +的值；（2）若21464a +=，求a 的值．【答案】（1）24；（2）1a =【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键；（1）由33222x x +=⨯，再代入数据计算即可；（2）由21344a +=，再建立方程求解即可．解：（1）∵23x =，∴332238242x x +=⨯=⨯=；（2）∵21464a +=，∴21344a +=，∴213a +=，解得1a =．【变式1】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知23x =，26y =，则2x y +的值是（）A ．12B ．18C ．36D ．54【答案】B【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂的乘法法则进行变形即可求解，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则．解：由8232261x y x y +=⨯=⨯=，故选：B ．【变式2】（2024七年级上·上海·专题练习）已知4222112x x +-⋅=，则x 的值为．【答案】3【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算以及提取公因式法分解因式，熟练并正确掌握相关运算法则是解题的关键．解：∵4222112x x +-⋅=，∴()13221112x +⨯-=，故142162x +==，解得：3x =故答案为：3．【题型2】幂的乘方运算及逆运算【例3】（21-22七年级上·上海·期末）计算：()()()3254652x x x x x x ⎡⎤⋅-⋅+-⋅+-⎣⎦．【答案】12x 【分析】先计算幂的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项即可．解：()()()3254652x x x x x x ⎡⎤⋅-⋅+-⋅+-⎣⎦121212x x x =-++12x =．【点拨】本题考查了整式的运算法则，解题的关键是熟记幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项的知识．【变式1】（2022·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是（）A ．224325a a a +=B ．3332a a a -=C ．235a a a ⋅=D ．()325a a =【答案】C【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则逐项计算即可判断选择．解：222325a a a +=，故A 计算错误，不符合题意；3332a a a -=-，故B 计算错误，不符合题意；235a a a ⋅=，故C 计算正确，符合题意；()326a a =，故D 计算错误，不符合题意．故选C ．【点拨】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方．熟练掌握各运算法则是解题关键．【变式2】．若25 3 0x y +-=,则432⋅=x y ．【答案】8【分析】根据已知条件可得2+5=3x y ，根据幂的乘方运算以及同底数幂的乘法进行计算即可求解．解：∵25 3 0x y +-=∴2+5=3x y ，∴432⋅=x y 2525322228x y x y +⨯===，故答案为：8．【点拨】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．【例4】（2023八年级上·全国·专题练习）（1）若23m n a a ==，，求32m n a +的值；（2）若2639273x x ⨯⨯=，求x 的值．【答案】（1）72；（2）5【分析】（1）利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行变形，再利用整体代入计算即可；（2）把2639273x x ⨯⨯=变形为1232633x x ++=，得到关于x 的方程，解方程即可得到答案；熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法法则，并利用整体思想是解题的关键．解：（1）∵23m n a a ==，，∴32m na +32m na a =⋅()()32m na a =⋅3223=⨯89=⨯72=；（2）2639273x x ⨯⨯=，23263333x x=⨯⨯（）（），23263333x x ⨯=⨯，1232633x x ++=，12326x x ++=，5x =．【变式1】已知553a =，444b =，335c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．c b a<<C ．a b c<<D ．a c b<<【答案】A【分析】把a 、b 、c 三个数变成指数相同的幂，通过底数可得出a 、b 、c 的大小关系．解：∵a ＝（35）11＝24311，b ＝（44）11＝25611，c ＝（53）11＝12511，又∵125243256<<，∴c a b <<．故选：A ．【点拨】本题考查了幂的乘方的逆运算，解答本题关键是掌握幂的乘方法则，把各数的指数变成相同．【变式2】（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）已知433,33a b ==，则239a b ⨯=．【答案】16【分析】直接根据同底数幂的乘法以及幂的乘方运算法则进行计算即可得到答案．解：∵433,33a b==，∴()()()()222222243933333163a b a ba b ⎛⎫⨯=⨯=⨯=⨯= ⎪⎝⎭故答案为：16．【点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【题型3】积的乘方运算及逆运算25．【例5】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）()34222x x x ⋅-;（2）()()23332232x y x y +-【答案】（1）6x ；（2）66x y 【分析】（1）根据同底数幂乘法法则及幂的乘方计算法则计算，再合并同类项即可；（2）根据积的乘方计算法则去括号，再合并同类项即可．解：（1）()34222x x x ⋅-662x x =-6x =；（2）()()23332232x y x y +-666698x y x y =-66x y =．【点拨】此题考查了整式的计算，正确掌握同底数幂乘法法则及幂的乘方计算法则、积的乘方计算法则、合并同类项法则是解题的关键．【变式1】（2022·广东深圳·中考真题）下列运算正确的是（）A ．268a a a ⋅=B ．()3326a a -=C ．()22a b a b+=+D ．235a b ab+=【答案】A【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，单项式乘多项式及合并同类项的法则逐一判断即可．解：A 、268a a a ⋅=，计算正确，故此选项符合题意；B 、33(2)8a a -=-，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、2()22a b a b +=+，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、23a b +，不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：A ．【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【变式2】（20-21七年级下·江苏扬州·期末）已知am ＝10，bm ＝2，则（ab ）m ＝．【答案】20【分析】根据积的乘方计算法则解答．解：∵am ＝10，bm ＝2，∴（ab ）m ＝10220m m a b ⋅=⨯=，故答案为：20．【点拨】此题考查积的乘方计算法则：积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再把结果相乘，熟记法则是解题的关键．【例6】（2023九年级·全国·专题练习）用简便方法计算：(1)88552510.25(4)57⎛⎫⎛⎫-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)()201720180.1258⨯-．【答案】(1)1-；(2)8-.【分析】（1）原式逆用积的乘方运算法则进行计算即可；（2）先将20188-变形为201788-⨯，再逆用积的乘方运算法则进行计算即可．解：（1）88552510.25(4)57⎛⎫⎛⎫-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8585715()()()(4)547=-⨯⨯⨯-8855751(4)574⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯⨯-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦58751(4)574⎛⎫⎡⎤=-⨯⨯⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1(1)=⨯-1=-；（2）()201720180.1258⨯-()201720171888⎛⎫=⨯-⨯ ⎪⎝⎭()201720171888⎛⎫=⨯-⨯ ⎪⎝⎭20171888⎛⎫=-⨯⨯ ⎪⎝⎭18=-⨯8=-．【点拨】本题主要考查了积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【变式1】（22-23七年级下·河北沧州·期中）若n 为正整数．且24n a =，则()()223224nn a a -的值为（）A ．4B ．16C ．64D ．192【答案】D【分析】根据积的乘方以及逆运算对式子进行化简求解即可．解：()()2232642444nnn na a a a -=-()()322232444444nna a =-=⨯-⨯()32444448192=⨯-=⨯=，故选D ．【点拨】此题考查了幂的有关运算，解题的关键是熟练掌握幂的有关运算法则．同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方．【变式2】已知2232336x x x ++-⋅=，则x =．【答案】8．【分析】根据积的乘方和幂的乘方的逆运算，把等式变形，根据指数相同求解即可．解：2232336x x x ++-⋅=，根据积的乘方和幂的乘方，等式可变形为：223(23)(6)x x +-⨯=，即22666x x +-=，226x x +=-，解得，8x =故答案为：8．【点拨】本题考查了幂的运算的逆运算，解题关键是把等式恰当变形，依据底数相同，指数也相同列方程．【题型4】幂的混合运算【例7】（21-22八年级上·全国·课后作业）计算：（1）()()()2243224249()(2)--+-a a b a b ；（2）()()()22112()3------n n n nx x x x x ．【答案】（1）8425a b ；（2）31n x -．【分析】（1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂，最后合并同类项即可；（3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂，最后合并同类项即可．解：（1）()()()2243224249()(2)--+-a a b a b ，=62484916a a b a b ⋅⋅+，=8484916a b a b +，=8425a b ；（2）()()()22112()3------n n n nx x x x x ，=()()21212()3n n n n xx x x x -----，=()2112123n n n n x x -+++--+，=313123n n x x ---+，=31n x -．【点拨】本题考查整式的幂指数运算，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项是解题关键．【变式1】（20-21七年级下·甘肃兰州·阶段练习）下列各式计算正确的是（）A ．－3xy ·（－2xy ）2＝12x 3y 3B ．4x 2·（－2x 3）2＝16x 12C ．（－a 2）·a 3＝a 6D ．2a 2b ·（－ab ）2＝2a 4b 3【答案】D【分析】根据幂的运算法则逐一计算，可得结果．解：A 、()2333212xy xy x y -⋅--=，故选项错误；B 、()22384216x x x ⋅-=，故选项错误；C 、()236a a a -⋅=-，故选项错误；D 、()224322a b ab a b ⋅-=，故选项正确；故选D ．【点拨】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【变式2】已知2,3x x a t ==，则24x =.（用含,a t 的代数式表示）【答案】3a t解：∵2x =a ，3x =t ，∴24x =（23×3）x =23x ×3x =（2x ）3×3x =a 3t ．故答案为a 3t ．【题型5】幂的运算的应用【例8】（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为m n m n a a a += ，()()n m mn m n a a a ==，()mm m a b ab =；（m ，n 为正整数）．请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：(1)已知552a =，443b =，334c =，请把a ，b ，c 用“<”连接起来：；(2)若2a x =，3b x =，求32a b x +的值；(3)计算：2001001011284⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭．【答案】(1)a c b <<；(2)72；(3)8.【分析】（1）根据逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再比较大小；（2）根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方即可求解；（3）根据逆用同底数幂的乘法和逆用幂的乘方，化成指数相同的幂，再计算即可求解；本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方法则，掌握法则的逆用是解题的关键．（1）解：∵()11555112232a ===，()11444113381b ===，()11333114464c ==＝．又∵326481<<，∴a c b <<，故答案为：a c b <<；（2）解：32a bx +32a b x x =⋅，()()32a b x x =⋅，∵2a x =，3b x =，∴原式3223=⋅，89=⨯，72=；（3）解：2001001011284⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭()200210110031222⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，4001003031222⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭，400403122⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，40040031222⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭，40031222⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭，402312=⨯，8=．【变式1】（21-22八年级上·河南三门峡·期末）下列运算中，错误的个数是（）（1）224a a a ＋＝；（2）236a a a ⋅＝；（3）2n n n a a a ⋅＝；（4）()448a a a --⋅＝A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】利用同底数幂的乘法运算法则，合并同类项的法则对各式进行运算，即可得出结果．解：（1）22242a a a a ≠＋＝，故（1）错误；（2）2356a a a a ⋅≠＝，故（2）错误；（3）22n n n n a a a a ⋅≠＝，故（3）错误；（4）()4488a a a a ---⋅≠＝，故（4）错误，综上所述，错误的个数为4个，故选：D ．【点拨】本题主要考查同底数幂的乘法运算法则、合并同类项运算等知识，解题的关键是对相应的运算法【变式2】（20-21九年级下·湖南永州·期中）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S 1，第2次对折后得到的图形面积为S 2，…，第n 次对折后得到的图形面积为S n ，请根据图2化简，12320202021S S S S S +++++= ．【答案】202111()2-【分析】先具体计算出S 1，S 2，S 3，S 4的值，得出面积规律，表示S 2021，再设12320202021S S S S S S =+++++ ①，两边都乘以12，得到42320212022111111((()()+()222222S =++++ ②，利用①−②，求解S ，从而可得答案．解：∵42320211234202111111111,(,(),(),(242821622S S S S S ======== 设S =42320211234202111111()()((22222S S S S S +++++=+++++ ①12320202021111111222222S S S S S S ∴=+++++ 4232021202211111(()()()+()22222=++++ ②①-②得，2022111()222S ∴=-202111()2S ∴=-故答案为：202111()2-．【点拨】本题考查的是图形的面积规律的探究，有理数的乘方运算的灵活应用，同底数幂的乘法与除法的应用，方程思想的应用，正方形的性质，掌握以上知识是解题的关键．第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型6】直通中考【例9】（2024·河北·中考真题）若a ，b 是正整数，且满足8282222222a b a a a b b b ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯ 个相加个相乘，则a 与b 的关系正确的是（）A ．38a b +=B ．38a b =C ．83a b +=D ．38a b=+【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得：()8822a b ⨯=，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可．解：由题意得：()8822a b ⨯=，∴38222a b ⨯=，∴38a b +=，故选：A ．【例10】（2024·山东烟台·中考真题）下列运算结果为6a 的是（）A ．23a a ⋅B ．122a a ÷C ．33a a +D ．()32a 【答案】D【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握以上运算法则；根据同底数幂的乘法同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，运算法则计算即可解：A ．23235a a a a +⋅==，故选项不符合题意；B ．12212210a a a a -÷==，故选项不符合题意；C ．3332a a a +=，故选项不符合题意；D ．()32236a a a ⨯==，故选项符合题意；故选：D ．【题型7】拓展延伸【例11】（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示13223⨯，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（）A ．“20”左边的数是16B ．“20”右边的“□”表示5C ．运算结果小于6000D ．运算结果可以表示为41001025a +【答案】D 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键．设一个三位数与一个两位数分别为10010x y z ++和10m n +，则20,5,2,mz nz ny nx a ====，即4=m n ，可确定1,2n y ==时，则4,5,m z x a ===，由题意可判断A 、B 选项，根据题意可得运算结果可以表示为：()1000411002541001025a a a +++=+，故可判断C 、D 选项．解：设一个三位数与一个两位数分别为10010x y z ++和10m n+如图：则由题意得：20,5,2,mz nz ny nx a ====，∴4mz nz=，即4=m n ，∴当2,1n y ==时， 2.5z =不是正整数，不符合题意，故舍；当1,2n y ==时，则4,5,m z x a ===，如图：，∴A 、“20”左边的数是248⨯=，故本选项不符合题意；B 、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；∴a 上面的数应为4a ，如图：∴运算结果可以表示为：()1000411002541001025a a a +++=+，∴D 选项符合题意，当2a =时，计算的结果大于6000，故C 选项不符合题意，故选：D ．【例12】（19-20七年级下·江苏南京·期中）观察等式（2a ﹣1）a +2＝1，其中a 的取值可能是（）A ．﹣2B ．1或﹣2C ．0或1D ．1或﹣2或0【答案】D 【分析】存在3种情况：一种是指数为0，底数不为0；第二种是底数为1，指数为任意值；第三种是底数为－1，指数为偶数，分别求解可得．解：情况一：指数为0，底数不为0即：a +2=0，2a －1≠0解得：a =－2情况二：底数为1，指数为任意值即：2a －1=1解得：a =1情况三：底数为－1，指数为偶数即：2a －1=－1，解得a =0代入a +2=2，为偶数，成立故答案为：D【点拨】本题考查0指数和底数为±1的指数的特点，本题底数为－1的情况容易遗漏，需要关注．。
2024版人教版八年级(上)数学幂的乘方
人教版八年级(上)数学幂的乘方CONTENTS•幂的基本概念和性质•幂的乘方运算•幂的乘方在生活中的应用•典型例题解析与练习•幂的乘方与其他知识点的联系•课堂小结与拓展延伸幂的基本概念和性质01幂的定义与表示方法幂的定义幂是指乘方运算的结果，表示一个数自乘若干次所得到的数。
一般形式为a^n，其中a是底数，n是指数。
幂的表示方法在数学中，幂可以用不同的方式表示。
常见的表示方法有：a^n、aⁿ、a^n等。
其中，a是底数，n是指数。
同底数幂相除时，指数相减。
即a^m / a^n =a^(m-n)。
幂的乘方时，指数相乘。
即(a^m)^n = a^(m*n)。
同底数幂相乘时，指数相加。
即a^m * a^n =a^(m+n)。
积的乘方等于乘方的积。
即(ab)^n = a^n * b^n。
同底数幂的乘法同底数幂的除法幂的乘方积的乘方幂的运算规则零指数幂负整数指数幂分数指数幂幂的运算法则幂的性质负整数指数幂表示的是该数的倒数的正整数次幂。
即a^(-n) =1/a^n （a≠0）。
分数指数幂表示的是开方和乘方的复合运算。
即a^(m/n) =√n(a^m)（n 为正整数，且a>0）。
在进行幂的运算时，应遵循先乘方、后乘除、最后加减的运算顺序；同级运算从左到右依次进行；有括号时先算括号里面的。
任何非零数的0次幂都等于1。
即a^0 = 1（a≠0）。
幂的乘方运算02同底数幂的乘法乘法公式当底数相同时，指数相加。
即a^m ×a^n = a^(m+n)。
推导过程通过具体数值代入和运算验证公式的正确性。
应用举例计算表达式如2^3 ×2^4，运用同底数幂的乘法公式得出结果。
(a^m)^n = a^(m×n)。
即幂的乘方时，指数相乘。
通过数学归纳法或具体数值代入验证法则的正确性。
计算表达式如(3^2)^3，运用幂的乘方法则得出结果。
乘方法则推导过程应用举例幂的乘方法则积的乘方与幂的乘方综合应用综合应用公式(ab)^n = a^n ×b^n 和(a^m)^n =a^(m×n)。
初中数学公式大全_人教版_
⑶加权平均数： x
=
x1 f1
+ x2
f2 +Λ n
+ xk
fk
( f1
+
f2
+Λ
+
fk
= n) ;
⑷平均数是刻划数据的集中趋势（集中位置）的特征数。通常用样本平均数去估计总体
平均数，样本容量越大，估计越准确。
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5.不解方程，求二次方程的根 x1、x2 的对称式的值，特别注意以下公式：
① x12 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1x2
② 1 + 1 = x1 + x2 x1 x2 x1x2
③ (x1 − x2 )2 = (x1 + x2 )2 − 4x1x2 ④ | x1 − x2 |= (x1 + x2 )2 − 4x1x2 ⑤ (| x1 | + | x2 |)2 = (x1 + x2 )2 − 2x1x2 + 2 | x1x2 | ⑥ x13 + x23 = (x1 + x2 )3 − 3x1x2 (x1 + x2 )
当 Δ = b2 − 4ac =0 时,一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 有两个相等的实数根.反之亦然.
当 Δ = b2 − 4ac ＜0 时,一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 没有的实数根.反之亦然.
3．根与系数的关系： x1
+ x2
=
−
b a
4.工程问题：工作量=工作效率×工作时间（没告诉工作量时，工作量为 1）。 5.利息问题：本息和=本金+本金×利率×期数 6.数字问题：三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字 7.利润问题：单个利润=售价-进价；总利润=销量（每个售价-每个进价）
初中数学 人教版第八年级上册 十四章——幂的运算与整式乘法 教案
【例5.1】计算(1)(
)(
)
1232322
32
+-+--+a a a a a a a (2) ()122323
2-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-x x x
变式：计算：（1）2ab （5ab 2+3a 2b ） （2）（3
2ab 2
－2ab ）·
2
1ab
【例5.2】求值：)2()2()1()43(5322--+---x x x x x x x ，其中，2-=x .
变式：计算：1/3x n
y ·(3/4x 2
－1/2xy －2/3y －1/2x 2
y)，其中x=1，y=2
【知识点6】多项式乘以多项式
多项式乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
如计算(2x-1)(-x+3),2x 看成公式中的a ；－1看成公式中的b ；-x 看成公式中的m ；3看成公式中的n ． 运用法则(2x-1) 中的每一项分别去乘(-x+3) 中的每一项，计算可得：-2x 2
+6x+x-3 ． 注意：(1)解题书写和格式的规范性；
(2)注意总结不同类型题目的解题方法、步骤和结果；
(3)注意各项的符号，并要注意做到不重复、不遗漏
【例6.1】计算：（1）(x+y)(x 2-xy+y 2) （2）(2x+y)(x-y)
变式1：计算：(1)(x+2)(x-2)(x 2
+4)； (2)(1-2x+4x 2
)(1+2x)； （3）(3x+2)(3x-2)(9x 2
+4)。
人教版数学八年级上册14.1.2《幂的乘方》教案2
人教版数学八年级上册14.1.2《幂的乘方》教案2一. 教材分析《幂的乘方》是人教版数学八年级上册第14章第1节的一部分，本节内容是在学生已经掌握了有理数的乘方、幂的定义等知识的基础上进行授课的。
本节课主要让学生学习幂的乘方，即同底数幂相乘，以及积的乘方，即幂与幂相乘。
这两个概念在数学中是非常重要的，它们不仅在初中数学中占有重要的地位，而且在中考和高中数学学习中也是经常出现的。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的乘方，对幂的概念有了一定的了解。
但是，对于幂的乘方和积的乘方这两个概念，学生可能还比较陌生，需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。
此外，学生可能对于幂的运算规则和性质还不够熟悉，这也是需要在教学中加以引导和巩固的。
三. 教学目标1.让学生理解幂的乘方的概念，掌握幂的乘方的运算规则。
2.让学生理解积的乘方的概念，掌握积的乘方的运算规则。
3.培养学生的运算能力，提高学生的数学思维能力。
四. 教学重难点1.幂的乘方的概念和运算规则。
2.积的乘方的概念和运算规则。
3.幂的运算规则和性质的运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、分组讨论法等教学方法，引导学生通过自主学习、合作学习、探究学习，从而理解和掌握幂的乘方和积的乘方的概念和运算规则。
六. 教学准备1.PPT课件2.教学案例和练习题3.黑板和粉笔七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习有理数的乘方，引导学生回顾幂的概念，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）利用PPT课件，呈现幂的乘方和积的乘方的定义和运算规则，让学生初步感知这两个概念。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，通过实例来理解和掌握幂的乘方和积的乘方的运算规则，同时引导学生总结幂的运算规则和性质。
4.巩固（10分钟）进行一些幂的运算练习，让学生在实践中进一步巩固幂的乘方和积的乘方的概念和运算规则。
5.拓展（10分钟）引导学生思考幂的乘方和积的乘方在实际问题中的应用，让学生感受数学与生活的联系。
人教版初中数学幂的运算同步辅导(含解答)
幂的运算一、情境联想导入印度有个国王，为了奖赏一个发明了国际象棋的术士，就把术士召进宫来，国王问他有什么要求，术士说：“只请国王在这棋盘的第一个格子里赏给我1•粒小麦，第二个格子里给2粒，第三个格子里给4粒，以后每个格里所给小麦的粒数都是前一个格子的2倍，一直放到第64格，所有这些小麦就是我要的奖赏．”国王一听，•这点小麦算什么，就满口答案．经过计算，国王傻了眼，原来这些小麦全国要几百年才年生产出来，根本无法赏给这个术士．问题1：你能把小麦的粒数用式子表示出来吗？问题2：264有多大？你能想象264有多大吗？二、思维起点落实1．同底数幂相________，底数________，指数________．即a m·a n=_____（m，n为正整数）．2．幂的乘方，底数_______，指数______，即（a m）n=______（m，n为正整数）．3．积的乘方等于积中每一个因式分别_______，再把所得的幂________，即（ab）n=_______（n为正整数）．4．同底数的幂相除，底数不变，指数_________．用式子表示为a m÷a n=______（a≠，m、n都是正整数，且m>n）．三、重点难点突破重点1、同底数幂的乘法同底数幂是指底数相同的幂，如：24与25，（-3）4与（-3）2，（a2b）2与（a2b）3，（x+y）2与（•x+y）3等，幂的底数可以是任意有理数，也可以是单项式或多项式；当底数互为相反数时，要先转化为同底数；三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质．2、幂的乘方幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a2）3是指3个a2相乘，读作a的2次幂的三次方，（a m）n是指n个a m相乘，读作a的m次幂的n次方；幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算（底数不变），而同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算（底数不变）．3、积的乘方积的乘方是指底数是乘积形式的乘方，如（ab）2，（ab）m等三个或三个以上的因式乘方也具有这一性质，即（abc）n=a n b n c n．4、同底数幂的除法（1）明确使用范围：幂的底数相同，且幂与幂之间是相除关系；（2）掌握使用方法：底数不变，指数相减；当两个幂的指数相同时，其商为1；（3）底数a可以是数、字母，也可以是复杂的单项式和多项式；（4）三个或三个以上的同底数幂相除也具有这一性质，即a m÷a n÷a p=a m-n-p；（5）性质可逆用，即a m-n=a m÷a n=a m+1÷a n+1=…（6）法则后面的条件“a≠0，m、n都是正整数，且m>n”是这个法则的一部分，•不要漏掉．难点幂的运算性质的正确运用，注意幂的运算性质是在乘法中的应用在幂的运算中，底数可以为具体的数字，也可以是字母，还可以是整式，同时还要掌握和运用以下结论，互为相反数的偶次幂相等，互为相反数的奇次幂仍是互为相反数，有时需要对原式进行适当的变形，才能转化为同底数幂的乘法．四、思维能力拓展能力点幂的运算性质的逆用案例1（1）（313）10·（310）10=______；（2）若10x=2，10y=3，则102x+3y=_________．分析：（1）如果单独算（313）10·（310）10后再相乘麻烦，但考虑313=103，与310互为倒数，积为1，•能用积的乘方逆运算：即a n b n=（ab）n．（2）102x+3y可以利用同底数幂乘法逆运算：a m+n=a m·a n，则102x+3y=102x·103y=（10x）2·（10y）3即可求．答案：（1）（313）10·（310）10=（103·310）10=1；（2）102x+3y=102x·103y=（10x）2·（10y）3=22·33=4×27=108．拓展延伸：像这类题目灵活逆用幂的运算性质，即a m+n=a m·a n，a mn=（a m）n或a mn=（a n）m（m、n•为正整数），a n b n=（ab）n（n为正整数）．综合点利用幂的运算比较数的大小案例2 比较3555，4444，5333的大小．分析：此题直接计算很困难，但我们知道当x>0，y>0，且x n>y n时，有x>y，又三个数为幂的形式，可以考虑化为同指数的，逆用幂的运算性质．答案：∵3555=3111×5=（35）111=243111，4444=4111×4=（44）111=256111，5333=5111×3=（53）111=125111，根据正整数指数幂的意义有：256111>243111>125111，∴4444>3555>5333．方法提炼：化成同指数是解决这类题的关键．五、针对训练1．计算：（1）-a2·a3=_________;（2）a8·a2·a=________（3）（-a）2·a4=____. 2．计算：（1）（ab2）3·ab2；（2）（x-y）3·（x-y）2；（3）（a-b）2·（b-a）3．3．计算：（a2）3·（a3）2．4．计算：（-x4）3+（-x2）6．5．计算：3（a-b）5（a-b）-[（a-b）3]2．6．计算：-（3a2b）4．7．计算：（-a b2）2．8．计算：（12ab3）3．9．计算：（1）a8÷a2；（2）（-a）8÷（-a）5；（3）（ab）5÷（ab）3；（4）x12÷（-x）4；（5）（a-b）6÷（b-a）3；（6）（x-y）10÷（y-x）5÷（x-y）；（7）（x5）2÷[（x4）2÷（x2）3]．10．下列四个式子中，结果为10的有（）①106+106②（210×510）2③（2×5×105）×106④（103）4A．①②B．③④C．②③D．①④11．计算：（1）9（x-y）3[-9（x-y）m+5]（y-x）2；（2）（x-y）（y-x）4（x-y）m+n+1（y-x）3；（3）（x-2y）2（2y-x）3（3x-6y）4．12．计算（23）2006·（1.5）2005·（-1）2004的结果是（）A．23B．-23C．32D．-3213．计算：（1）0.599×2100；（2）（-14）7×164．14．（1）已知4x=23x-1，求x值；（2）已知22x+3-22x+1=192，求x值．15．22006______42004；3666______6333．（填“>”或“<”）16．若a=255，b=344，c=433，比较a、b、c的大小．17．已知a、b、c都是正数，且a2=2，b3=3，c5=5，试比较a、b、c的大小．答案：【情境联想导入】问题1：1+2+4+23+24＋ (263)问题：64个2相乘，也等于8个256相乘．【思维起点落实】1．乘不变相加a m+n2．不变相乘a mn3．乘方相乘a n b n4．相减a m-n【针对训练】1．解：（1）-a2·a3=-a2+3=-a5；（2）a8·a2·a=a8+2+1=a11；（3）（-a）2·a4=a2·a4=a2+4=a6．点拨：第（1）题中-a2与（-a）2不同，-a2的底数为a，而（-a）2的底数为-a，且（-a）2=a2；第（2）题中第三个因式a的指数是“1”而不是“0”；第（3）题中（-a）2与a4的底数不同，•应先转化为同底数，即（-a）2=a2．2．解：（1）（ab2）3·（ab）2=（ab2）3+1=（ab2）4=a4b8；（2）（x-y）3·（x-y）2=（x-y）3+2=（x-y）5；（3）（a-b）2·（b-a）3=（b-a）2·（b-a）3=（b-a）5．3．（a2）3·（a3）2=a6·a6=a12．4．（-x4）3+（-x2）6=-（x4）3+（x2）6=-x12+x12=0．5．3（a-b）5（a-b）-[（a-b）3]2=3（a-b）6-（a-b）6=2（a-b）6．点拨：第（1）题，确定好运算顺序，先算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法；第（2）•题，负数的偶次幂为正，奇次幂为负，幂的乘方之后合并同类项；第（3）题，遵循先乘方，再乘除，后加减的顺序计算．6．解：-（3a2b）4=-34（a2）4b4=-81a8b4．点拨：运用积的乘方法则时，应特别注意观察底数含有几个因式，•每个因式都分别乘方，注意系数及系数的符号，此题中的4次幂对它前面的“－”号不起作用．7．解：（-a b2）2=a2b4．8．解：（12ab3）3=（12）3a3（b3）3=18a3b9．9．解：（1）a8÷a2=a8-2=a6；（2）（-a）8÷（-a）5=（-a）8-5=（-a）3=-a3；（3）（ab）5÷（ab）3=（ab）5-3=（ab）2=a2b2；（4）x12÷（-x）4=x12÷x4=x12-4=x8；（5）（a-b）6÷（b-a）3=（a-b）6÷[-（a-b）3]=-[（a-b）6÷（a-b）3]=-（a-b）3；（6）（x-y）10÷（y-x）5÷（x-y）=（x-y）10÷[-（x-y）5]÷（x-y）=-（x-y）10-5-1=-（x-y）4；（7）（x5）2÷[（x4）2÷（x2）3]=x10÷（x8÷x6）=x10÷x2=x8．点拨：（1）、（2）、（3）直接按同底数幂除法法则计算；（4）、（5）、（6）底数互为相反数，应化为同底数，再应用法则，一般地有：当n为偶数时，（-a）n=a n；当n为奇数时，（-a）n=-a n．（7）是一个混合运算，应先算乘方．10．B11．解：（1）原式=9（x-y）3[-9（x-y）m+5]·（x-y）2=9×（-9）·（x-y）3·（x-y）m+5·（x-y）2=-81（x-y）10+m；（2）原式=（x-y）·（x-y）4·（x-y）m+n+1·[-（x-y）3]=-（x-y）1+4+m+n+1+3=-（x-y）m+n+9；（3）原式=（x-2y）2·[-（x-2y）3] ·[3（x-2y）]4=-（x-2y）2·（x-2y）3·34·（x-2y）4=-34（x-2y）2·（x-2y）3·（x-2y）4=-81（x-2y）9．点拨：底数为（x-y）和（y-x）的幂相乘，很显然要转化为同底数幂乘法进行运算．•要注意x-y=-（y-x），（x-y）2=（y-x）2，（y-x）3=-（x-y）3．12．A13．（1）0.599×2100=（12）99×299×2=2·（12×2）99=2；（2）（-14）7×164=（-14）7×（42）4=（-14）7×48=（-14×4）7×4=-4．14．（1）∵4x=（22）x=22x，∴22x=23x-1，∴2x=3x-1，∴x=1．（2）∵22x+3-22x+1=22x·23-22x·2=22x（23-2）=22x·6．∴22x·6=192，22x=32，∴2x=5，∴x=52．15．< >16．解：a=255=（25）11=3211；b=344=（34）11=8111；c=433=（43）11=6411．又∵81>64>32，∴b>c>a．点拨：逆用幂的运算性质，先将各数化成同指数幂，•然后通过底数的大小来确定幂的大小．17．∵a2=2，∴（a2）3=23．即a6=8．∵b3=3，∴（b3）2=32，即b6=9，∴a<b．∵a2=2，∴（a2）5=25，即a10=32，c5=5，∴（c5）2=52，即c10=25，∴c<a，∴c<a<b．。
指数幂运算课件(人教版)
例 1. 求值： （2）2ξ3 × 33ξ1.5 × 6ξ12.
解：2ξ3 × 33ξ1.5 × 6ξ12 = 6 × 3 ×
1
3 × 12
=2 6 × 3 × 3 × 2 × 3 × =6×2 + ×3++ = 6 × 20 × 3
= 18.
高中数学
总结：
用分数指数幂的情势来表示根式 ，往往会简化根式运算.
36
6
6
125
高中数学
例 1. 求值： （2）2ξ3 × 33ξ1.5 × 6ξ12.
解 ：提示 ，将根式化为幂ax 情势.
2ξ3 × 33ξ1.5 × 6ξ12 = 2 × 3 × 3 ×
1
3 × 12 .
= 3 × 2 ，12 = ሺ3 × 22 = 3 × 2
公式：a = nξam ，aT ∙ aS = aT +S ， = aT −S .
能产生一列从
1 414，1 4142
于ξ 2的 方 向 1 4 1421， 1
ξ 的数x： 渐逼近 421 3，
高中数学
由此 ， 我们 就能产生一列从 于ξ 2的 方 向逐渐逼 近ξ 的数x
1 4 ， 1 41 ，1 414， 1 4142 1 4 1421， 1 414213，
： 而且 ，2 − 1.96 = 0.04 ，2 − 1.9881 = 0.0119，
T, S ∈ Q .
③ ሺab ሻT = aT ∙ bT ，
常见情势： = aT ∙ a−S = aT −S .
高中数学
例 1. 求值：
−1.5
（1） ቀ25 ቁ ；
36
解 ：提示 ，将−1.5化为分数 ，将25化为幂ax 情势.
初中数学人教版八年级上册幂的运算及整体代入(讲义及答案)
初中数学人教版八年级上册实用资料幂的运算及整体代入（讲义）➢课前预习1.默写下面的法则、公式幂的运算法则：（1）同底数幂相乘，_________，_________．即__________．（2）同底数幂相除，_________，_________．即__________．（3）幂的乘方，___________，_________．即___________．（4）积的乘方等于___________．即_____________．a0=_______（_________）；a-p=______=______（___________________）．2.整体代入的思考方向①___________________，考虑整体代入；②化简___________，对比确定________；③_______________，化简．3.若代数式2a b238++的值为________．a b+的值是12，则代数式246➢知识点睛1.整体思想：整体思想就是通过研究问题的整体形式、结构、特征，从而对问题进行整体处理的解题思想．如：整体代入、整体加减、整体代换、整体补形等．2. 幂的运算法则逆用①观察已知及所求，对比确定____________之间的关系；②根据幂的运算法则对已知或所求进行等价变形，使之成为___________________________． 3. 降幂法整体代入①对比已知及所求，将已知中___________________当作整体； ②对所求进行变形，找到整体，进行代入； ③降幂化简，重复上述过程，直至最简．➢ 精讲精练1. 若35m =，32n =，则2313m n +-=____________．2. 已知34x =，32y =，求2927x y x y --+的值．3. 已知742521052m n ⋅⋅=⋅，则m +n =____________．4. 已知212448x x ++=，则x =__________．5. 已知129372n n +-=，求n 的值．6. 数5553，4444，3335的大小关系是（ ）A ．5553<4444<3335B ．4444<5553<3335C ．3335<4444<5553D ．3335<5553<4444 7. 若3181a =，4127b =，619c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >>8. 数10012与7513的大小关系是（ ） A ．10012<7513 B ．10012>7513C ．100751123=D ．无法确定9. 若20152a b -=，20162c d +=，则()()b c a d +--的值为_____．10. 已知1998a b c +=+=+，求代数式222()()()b a c b c a -+-+-的值．11. 已知0a b c ++=，求()()()a b b c c a abc ++++的值．12. 若220x x +-=，则3222016x x x +-+=___________．13. 若322a a +=-，则6422884a a a ++-=________．14. 若221x x -=，则4324431x x x x -+--=___________．15. 已知331x x -=，求432912372016x x x x +--+的值．【参考答案】 ➢ 课前预习1. 默写下面的法则、公式幂的运算法则：（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即m n m n a a a +⋅=． （2）同底数幂相除，底数不变，指数相减．即m n m n a a a -÷=． （3）幂的乘方，底数不变，指数相乘．即()m n mn a a =．（4）积的乘方等于乘方的积．即()n n nab a b=．a0=1（a≠0）；a-p=1pa=1()pa（a≠0，p是正整数）．2.整体代入的思考方向①求值困难，考虑整体代入；②化简已知及所求，对比确定整体；③整体代入，化简．3.若代数式246a b+的值是12，则代数式2238a b++的值为14．➢知识点睛1.幂的运算法则逆用①观察已知及所求，对比确定幂的底数与指数之间的关系；②根据幂的运算法则对已知或所求进行等价变形，使之成为同底数或同指数的幂．2.降幂法整体代入①对比已知及所求，将已知中最高次项或含字母的项当作整体；②对所求进行变形，找到整体，进行代入；③降幂化简，重复上述过程，直至最简．➢精讲精练1.200 32.723. 54. 25. 16. D7. A8. B9.2015210.22211.012.2 01813.414.115.2 020。
人教版数学七年级上册《幂的乘方》教学设计
人教版数学七年级上册《幂的乘方》教学设计一. 教材分析人教版数学七年级上册《幂的乘方》是初中学段幂的运算部分的重要内容。
学生在学习了有理数的乘方的基础上，进一步学习幂的乘方和积的乘方。
本节课的内容对于学生理解幂的运算规律，提高解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和运算能力，对于有理数的乘方已经有了一定的了解。
但是，对于幂的乘方和积的乘方的运算规律，还需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：理解幂的乘方的概念，掌握幂的乘方的运算规律，能够正确进行幂的乘方的运算。
2.过程与方法：通过实例和练习，培养学生的运算能力和解决问题的能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和细心。
四. 教学重难点1.重点：幂的乘方的概念和运算规律。
2.难点：幂的乘方的运算规律的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过实例和练习，引导学生探究幂的乘方的运算规律，培养学生的运算能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：幂的乘方的概念和运算规律。
2.练习题：巩固幂的乘方的运算规律。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习有理数的乘方，引出幂的乘方，让学生思考：幂的乘方应该如何运算？2.呈现（15分钟）展示幂的乘方的概念和运算规律，让学生跟随讲解，理解并掌握幂的乘方的运算方法。
3.操练（10分钟）让学生独立完成练习题，教师巡回指导，及时纠正错误，帮助学生巩固幂的乘方的运算规律。
4.巩固（10分钟）让学生通过小组讨论，总结幂的乘方的运算规律，并分享给其他小组，教师点评并总结。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：幂的乘方在实际问题中的应用，让学生举例说明。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结幂的乘方的运算规律，并强调其在数学中的重要性。
7.家庭作业（5分钟）布置相关练习题，让学生巩固幂的乘方的运算规律。
8.板书（5分钟）幂的乘方：( (a m)n = a^{mn} )八. 教学反思通过本节课的教学，学生应该已经掌握了幂的乘方的运算规律，并能够应用到实际问题中。
人教版初中数学八年级上册第十四章 同底数幂的乘法
例子 公式 应用 （1）不要忽略指数是“1”的因式. （2）底数可以是单项式，也可以是多项式， 通常把底数看成一个整体来运算.
课后作业
作业 内容
14.1 整式的乘法/
教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
课堂检测
14.1 整式的乘法/
3.计算: (1) x n ·xn+1 ;
解: x n ·xn+1 = xn+(n+1) = x2n+1 (2) (x+y)3 ·(x+y)4 .
am · an = am+n
公式中的a可代表 一个数、字母、 式子等.
解: (x+y)3 ·(x+y)4 = (x+y)3+4 =(x+y)7
解：2x+y =2x×2y =3×6 =18
链接中考
14.1 整式的乘法/
1.计算a6•a2的结果是（ C ）
A．a3
B．a4
C．a8
2.计算：a2•a3= a5 ．
D．a12
课堂检测
14.1 整式的乘法/
基础巩固题
1. x3·x2的运算结果是（ C ）
A. x2
B. x3
C. x5
D. x6
2.计算2x4•x3的结果等于_2_x__7 _．
(-2)×(-2)4×(-2)3 ≠-21+4+3=-28 =-256
巩固练习
14.1 整式的乘法/
下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
（1）b5 ·b5= 2b5 （×） （2）b5 + b5 = b10 （×）
b5 ·b5= b10
人教版七年级数学上册14.1.1同底数幂的乘法说课稿
一、教材分析
（一）内容概述
人教版七年级数学上册14.1.1同底数幂的乘法是初中数学的基础知识之一，本节课的教学内容在整个课程体系中占据重要位置。本节课主要介绍了同底数幂的乘法运算规则，包括同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方等知识点。通过本节课的学习，学生能够掌握同底数幂的乘法运算，并为后续的幂的运算、指数函数等知识的学习打下基础。
（二）教学反思
在教学过程中，我预见到可能出现的问题或挑战包括学生对幂的运算规则的理解困难、运算能力的差异以及学习动机的不足。为了应对这些问题，我将提供个别辅导和额外的练习机会给有困难的学生，采用不同难度的题目满足不同水平的学生，并通过激励性的评价和奖励机制激发学生的学习兴趣。课后，我将通过学生的练习作业和课堂表现来评估教学效果，并根据反馈进行教学反思和改进。具体的反思和改进措施可能包括调整教学方法、丰富教学资源和改进板书设计，以更好地适应学生的学习需求和提高教学效果。
在本节课的教学中，我将以“问题驱动”和“合作学习”为主要教学方法。首先，通过引入生活中的实例，激发学生的兴趣和好奇心，让学生意识到同底数幂的乘法的重要性。然后，设计一系列递进式的问题，引导学生进行思考和探索，激发学生的思维活动。在解决问题的过程中，鼓励学生之间进行合作交流，分享彼此的想法和思路，从而促进学生之间的思维碰撞和知识共享。
（三）教学重难点
1.教学重点：
（1）同底数幂的乘法法则。
（2）幂的乘方与积的乘方的运算规则。
2.教学难点：
（1）同底数幂的乘法法则的理解与应用。
（2）幂的乘方与积的乘方的运算规则的理解与应用。
二、学情分析导
（一）学生特点
面对人教版七年级数学上册的学生，他们正处于青少年时期，具有较强的好奇心和学习热情。他们的认知水平逐渐从形象思维向抽象思维转变，但仍然需要具体事物的支持。在学习习惯上，学生们已经逐渐适应了初中数学的学习节奏，具备了一定的自主学习能力和合作交流意识。然而，由于个体的差异，部分学生在数学学习上存在兴趣缺乏和学习习惯不佳的问题。
八年级-人教版-数学-上册-第2课时-幂的乘方
所以 22x＋y
＝22x×2y
整体代入法
＝(2x)2×2y ＝52×3
同底数幂的乘法的逆运算 幂的乘方的逆运算
＝75．
整体代入法 当已知中的字母不能求出时，把待求 的代数式用已知的代数式表示出来，然后 用整体代入的方法进行求解．
例3 已知a＝2555，b＝3444，c＝4333，d＝5222，则这四个数从大 到小的排列顺序是___b_＞__c_＞__a_＞__d___．
猜想 (am)n 等于什么？
(am)n ＝ amn
说明：
n个am
(am)n ＝am·am·…·am（乘方的意义） n个m
＝am＋m＋…＋ m （同底数幂的乘法的运算法则）
＝amn．
幂的乘方的运算法则 (am)n＝amn（m，n都是正整数）． 幂的乘方，底数不变，指数相乘．
多重乘方可以重复运用上述法则： [(am)n]p＝amnp（m，n，p都是正整数）．
乘法 乘方
计算结果 底数 指数 不变 相加 不变 相乘
思考
(－a2)5和(－a5)2的结果相同吗？为什么？
不相同． (－a2)5表示5个－a2相乘，其结果带有负号； (－a5)2表示2个－a5相乘，其结果没有负号．
归纳
1．进行幂的乘方运算时，要注意系数为－1时的“－”号、 括号里的“－”号与括号外的“－”号的区别．
5．同底数幂的乘法的逆运算： 同底数幂的乘法的运算法则可以逆用， 即 am＋n＝am·an （m，n都是正整数）． 当指数为多项式且项数大于等于 3 时同样适用， 即 am＋n＋p＝am·an·ap （m，n，p都是正整数）．
问题 （1）一个正方体的棱长是102，则它的体积是多少？ (102)3 ＝102×102×102 ＝102＋2＋2＝106． （2）100个104相乘，可以记作什么？ (104)100．
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（A）0
（B） -2×310
（C）2×310
（D） -2×37
思考题：
动脑筋！
1、若 am = 2, 则a3m =__8___. 2、若 mx = 2, my = 3 ,
则 mx+y =__6__, m3x+2y =__7_2___.
积的乘方
（1）(ab)2 = (ab) • (ab) = (aa) • (bb) = a (2 )b(2 ) （2）（ab）3＝___(a_b_)_•__(a_b_)_•_(_a_b_)___________
同底数幂相乘
am·an=am+n
指数相加 底数不变 指数相乘
（a ） =a 其中m , n都是
m n mn
正整数
幂的乘方
练习一 1. 计算：（ 口答）
（1） 105×106 1011
（3） a7 ·a3 a10
（5） x5 ·x5
x10 （7） x5 ·x ·x3
x9
（2） (105)6 1030
课堂测验
计 ①(5ab)2
算 ②(－xy2)3 ③(－2xy3)4
：
④(－2×10) 3
⑤(－3x3)2－[(2x)2]3
⑥(－3a3b2c)4 ⑦(－anbn+1)3 ⑧0.52005×22005 ⑨ (－0.25)3×26 ⑩ (－0.125) 8×230
自从那一天，我衣着脚，挑着行李，沿着崎岖曲折的田埂，离开故乡，走向了城市；从此，我便漂泊在喧嚣和浮躁的钢筋水泥丛林中，穿行于 中国文化三大支柱的儒释道，其内容相当丰富。以浩如海洋来比喻，都不之为过！ 近日，我在“儒风大家”上，看到一篇文章，仅用---三句话、九个字。说出了儒释道，其实并不高高在上，而是与我们的人生和日常生活密切相关！
第一重境界，是出得来，而进不去；第二重境界，是进得去，而出不来；第三重境界，才是进退自如、来去随意。放得下，是因为看透了、超脱了，所以随缘。 跟道家学想得开 。道家是追求超世、讲究自然的，要求心明大道、眼观天地、冷眼看破。概括为三个字，就是“想得开”。什么是“想得开”？且看这个“道”字——一个“走”字旁加一个“首”字，也就是脑袋走或者走脑袋。脑袋走就是动脑子，尽量透彻；走脑袋就是依胸中透彻而行，尽量顺应规律。合起来，就是要明道，并依道而行。这种智慧，就是想得开。
例3 计算：
解（1）（2b）3
＝23b3 ＝8b3
（2）（2×a3）2 ＝22×（a3）2
＝4a6
（3）（－a）3 （4）（－3x）4
＝（－1）3 •a3 ＝ －a3
＝（－3）4 • x4 ＝ 81 x4
75
1.判断下列计算是否正确，并说明理由：
课 本
（1）（xy3）2＝xy6
x3y6
第 （2）（－2x）3＝－2x3
练习二
1．下列各式中，与x5m+1相等的是（ c ）
（A）（x5)m+1
（B）（xm+1)5
（C） x(x5)m
（D） xx5xm
2．x14不可以写成（ c ）
（A）x5(x3)3 （B） (-x)(-x2)(-x3)(-x8)
（C）(x7)7
（D）x3x4x5x2
3．计算(-32)5-(-35)2的结果是（ B ）
积的乘方
试猜想：
（ab）n=? 其中 n是正整数
证明：
（ab）n＝ （ab)(ab)(ab）
n个( )
＝（a a a）（ • b b b ）
n个
n个
＝ a nbn ∴（ab）n ＝ a nbn （n为正整数）
语言叙述：积的乘方，等于各因数乘方的积。
世界上有一种爱很伟大，那就是母爱！世上有一个人最值得我们去回报，那就是母亲。 母亲像什么，母亲像天使一样把一点一滴汗水与祝福慢慢地撒在我们的心里。
母亲是什么，母亲为我们打开成长的大门，母亲是上帝派下来哺育我们的天使。 在人生崎岖坎坷的旅途上，是谁给予你最真诚、最亲切的关爱，是谁对你嘘寒问暖，时刻给予你无私的奉献；是谁不知疲倦地教导着你为人处世的道理；是谁为了你的琐事而烦恼？
13.1幂的运算
回忆: 同底数幂的乘法法则：
am·an=am+n
其中m , n都是正整数
语言叙述： 同底数幂相乘，底数 不变，指数相加
回忆: 幂的乘方法则：
（am）n=amn
其中m , n都是正整数
语言叙述： 幂的乘方，底数不变， 指数相乘
想一想：同底数 幂的乘法法则与 幂的乘方法则有 什么相同点和不 同点？
（4） (a7)3 a21
（6） )3
= y 6 ·y 6 = y 12
练习一 2. 计算：
①10m·10m－1·100= 102m＋1 ②3×27×9×3m= 3m＋6 ③(m－n)4·(m－n) 5·(n－m)6 = (m－n)15 ④ (x－2y)4·(2y－x) 5·(x－2y)6 = (2y－x)15
儒家的最高境界是“拿得起”，佛家的最高境界是“放得下”，道家的最高境界是“想得开”；所以说，儒释道的最高境界，就是这三句话、九个字。中国历史上还曾有过其他一些“人生境界”说，其中三个最著名的，正好可以与儒释道这三大最高境界对照参悟。 跟儒家学拿得起。儒家是追求入世、讲究做事的，要求奋发进取、勇于担当、意志坚定。概括为三个字，就是“拿得起”。什么是“拿得起”？且看这个“儒”字——左边一个“人”，右边一个“需”，合起来就是“人之所需”。人活世上，有各种精神或生存的需要，满足这些需要就需要去获取。去拿，并且拿到了、拿对了，就是拿得起。
对了！是伟大的母亲。母爱是无私的，是永不停息的。没有一位母亲是不爱自己的子女的。不管怎样，母爱终究都是生命中最真挚，最无私的爱。 当我们遇到困难，能倾注所有一切来帮助我们的人，是母亲。 当我们犯错误时，能毫不犹豫地原谅我们的人，是母亲。
当我们取得成功，会衷心为我们庆祝，与我们分享喜悦的，是母亲。 假如我们远在外地，我相信依然牵挂着我们的，一定还是母亲。
-8x3
2.计算：
页 练
（1）（3a）2 =32a2=9a2
习
（2）（－3a）3 =(-3)3a3=-27a3
（3）（ab2）2 =a2(b2)2=a2b4
（4）（－2×103）3 =(-2)3×(103)3=-8×109
(2)(－
(1)24×44×0.1254
4)2005×(0.25)2005
逆 ＝ (2×4×0.125)4
眼光和思维所涉及的面，尽量往大了走、往高了去，则是人人可以努力靠近的。 综上：儒家拿得起、佛家放得下、道家想得开，合起来其实就是一句话：带着佛家的出世心态，凭着道家的超世眼界，去做儒家入世的事业。这也正是南怀瑾所说的人生最高境界：佛为心，道为骨，儒为表，大度看世界。车水马龙的闹市里，双眸里闪烁着都市的霓虹，衣服上沾满着汽车 曾经有一个人，她永远占据在你心最柔软的地方，你愿用自己的一生去爱她，这个人，叫“母亲”；有一种爱，它可以让你随意的索取、享用，却不要你任何的回报，不会向你抱怨，总是自己一个人默默地承受着这一切。这种爱，叫“母爱”！
怎样才能拿得起？王国维《人间词话》中曾提出，古今之成大事业者，须经过三重境界。这三重境界体现的正是儒家精神，所以正是路径所在。 第一重境界是“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”。登上高楼，远眺天际，正是踌(chóu)躇(chú)满志，志存高远，高瞻远瞩，一腔抱负。人生，志向决定方向，格局决定高度；小溪只能入湖，大河则能入海。所以做事，要先立心中志向；成事，要先拓胸中格局。
如何才能想得开？哲学大师冯友兰曾提出“人生四重境界”说，其中最高那层境界正是道家境界，所以正是路径所在。 一是自然境界。有些人做事，可能只是顺着他的本能或者社会的风俗习惯，而对所做的事并不明白或者不太明白。这种“自然”并非道家那个自然，而是指混沌、盲目、原始，那些人云亦云、随波逐流的人就是这种人。
二是功利境界。有些人，会为了利己而主动去思考和做事，虽然未必不道德，却必定是功利的，而且很容易走向自私自利、损人利己。 三是道德境界。有的人，已经超越了自身，而开始考虑利人，譬如为了道义、公益、众生福祉而去做事。他们的眼界已经超越自身而投向了世间，胸中气象和站立高度已经抵达精神层次。 四是天地境界。当一个人的视野放到了整个天地宇宙，目光投向了万物根本，他就抵达了天人合一。这时他就已经不需要动脑子了，因为天地宇宙就是他的脑子，已经事事洞明，就像电脑连接到了互联网。这种境界，正是道家境界。这四重境界，境界越高就越想得开。想开到什么程度，则决定于人的视野放到多大，眼界拔到多高。人处平地，到处都会遮眼阻路；人登顶峰，世间便能一览通途。这就是想得开的秘密——眼界大了，心就宽了；站得高了，事就小了。想不开，往往都是画地为牢、作茧自缚。
(－4×0.25)2005
用 法 则
＝ ＝1 (3)－82000×(－0.125)＝2001
－1
进
行 ＝ －82000×(－0.125)2000× (－0.125)
计
算 ＝ －82000×0.1252000× (－0.125)
＝ －（8×0.125）2000× (－0.125)
＝ －1× (－0.125) ＝ 0.125
如何才能放得下？唐代禅宗高僧青原行思曾提出参禅的三境界，那正是路径所在。 第一重境界是“看山是山，看水是水”。人之最初，比如年少之时，心思是简单的，看到什么就是什么，别人说什么就相信什么。这样看待世界当然是简单而粗糙的，所看到的往往只是表面。但同时，正是因为简单而不放在心上，于是不受其困扰，这就是放下的心境。只是还太脆弱，容易被现实击碎。 第二重境界是“看山不是山，看水不是水”。人随着年龄渐长，经历的世事渐多，就发现这个世界的问题越来越多、越来越复杂，经常是黑白颠倒、是非混淆，无理走遍天下、有理寸步难行，好人无好报、恶人活千年。这时人是激愤的，不平的，忧虑的，怀疑的，警惕的，复杂的。于是人不愿意再轻易地相信什么，容易变得争强好胜、与人比较、绞尽脑汁、机关算尽，永无满足的一天。大多数人都困在这一阶段，虽然纠结、挣扎、痛苦，这却恰恰是顿悟的契机。因为看到了，才能出来；经历了，才能明白。 第三重境界是“看山还是山，看水还是水”。那些保持住本心、做得到忍耐的人，等他看得够了，经得多了，悟得深了，终于有一天豁然顿悟，明白了万般只是自然，存在就有存在的合理性，生会走向灭，繁华会变成寂寞，那些以前认为好的坏的对的错的，都会在规律里走向其应有的结局，人间只是无常，没有一定。这个时候他就不会再与人计较，只是做自己，活在当下之中。任你红尘滚滚，我自清风朗月；面对世俗芜杂，我只一笑了之。这个时候，就是放下了。