人教版九年级上册数学 21.2.2：公式法作业

合集下载

21.2.2 公式法第2课根的判别式-九年级数学上册课件(人教版)

2
解得 m≥ 且 m≠1.
3
不解方程，判断关于 x 的方程 x 2 2 2kx k 2
解： Δ ＝( 2 2 k )2 − 4×1×k2 = 4k2.
∵ k2≥0，
∴ 4k2≥0，
即 Δ≥0.
∴ 原方程有两个实数根．
0 根的情况.
在等腰△ABC 中，三边长分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程
（2）方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0，a = 4，b = −12，c = 9，
∴ Δ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为 5y2 −7y + 5 = 0，a = 5，b = −7，c = 5，
∴ Δ = b2－4ac = (−7)2－4×5×5 = −51＜0.
课堂练习
1.已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( B )
A. 该方程有两个相等的实数根
B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程无实数根
D. 该方程根的情况不确定
2.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范
围是（ D ）
A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( B )
课堂小结
根的情况
判别式的情况
Δ= b2 − 4ac > 0
两个不相等的实数根
Δ= b2 − 4ac = 0
两个相等的实数根
Δ = b2 − 4ac< 0
没有实数根
两个实数根
Δ= b2 − 4ac≥0
注意：1.一元二次方程化为一般式

【初中数学】人教版九年级上册21.2.2 公式法(练习题)

人教版九年级上册21.2.2 公式法(153)1.已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+k=0.(1)求证：该方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．2.若a，b，c为常数，且(a−c)2>a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.无实数根D.有一根为03.若关于x的一元二次方程(k−1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k<5B.k<5且k≠1C.k⩽5且k≠1D.k>54.已知等腰三角形的腰长为x，周长为20，且x是方程x2−12x+31=0的根，则x= ．5.用公式法解下列方程：(1)x2+4x−1=0；(2)x2+10=2√5x；(3)x(x−4)=2−8x；(4)3x(x−3)=2(x−1)(x+1)．6.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.(1)当m=3时，判断该方程的根的情况；(2)当m=−3时，求该方程的根．7.已知关于x的一元二次方程x2+2(k−1)x+k2−1=0有两个不相等的实数根．(1)求实数k的取值范围．(2)0可能是该方程的一个根吗？若是，请求出该方程的另一个根；若不是，请说明理由．8.用公式法解方程6x−8=5x2时，a，b，c的值分别是（）A.5，6，−8B.5，−6，−8C.5，−6，8D.6，5，−89.用求根公式求得方程x2−2x−3=0的解为（）A.x1=3,x2=1B.x1=3,x2=−1C.x1=−3,x2=1D.x1=−3,x2=−110.用公式法解方程2x2−7x+1=0，其中b2−4ac=，x1=，x2=．11.用公式法解下列方程：(1)x2+x−2=0;(2)x2−4x+2=0；(3)4x2−3x−5=x−2.12.若关于x的方程2x2+x−a=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．13.不解方程，直接判断下列一元二次方程的根的情况．(1)x2−3x−7=0;(2)9x2+6x+1=0;(3)2x2−5x+4=0.14.用公式法解方程：5x+2=3x2.将方程化为一般形式，得，所以a=，b=，c=，所以b2−4ac=，即x=−b±√b2−4ac==，2a所以．15.以下是方程3x2−2x=−1的根的情况，其中正确的是（）A.∵b2−4ac=−8<0，∴方程有实数根B.∵b2−4ac=−8<0，∴方程无实数根C.∵b2−4ac=8>0，∴方程有实数根D.∵b2−4ac=8>0，∴方程无实数根16.一元二次方程x2−4x+4=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定17.关于x的方程x2−4x+m=0的根的判别式=，当m时，方程有两个不相等的实数根；当m时，方程有两个相等的实数根；当m时，方程没有实数根．参考答案1(1)【答案】证明：∵Δ=[−(2k +1)]2−4(k 2+k)=1>0，∴该方程有两个不相等的实数根【解析】:先计算出Δ=1，然后根据判别式的意义得出结论(2)【答案】∵△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，由(1)知，AB ≠AC ，△ABC 的第三边BC 的长为5，且△ABC 是等腰三角形， ∴必然有AB =5或AC =5，即x =5是原方程的一个解．将x =5代入方程x 2−(2k +1)x +k 2+k =0，得25−5(2k +1)+k 2+k =0，解得k =4或k =5.当k =4时，原方程为x 2−9x +20=0，x 1=5，x 2=4，以5，5，4为边长能构成等腰三角形；当k =5时，原方程为x 2−11x +30=0，x 1=5，x 2=6，以5，5，6为边长能构成等腰三角形． ∴k 的值为4或5【解析】:根据题意推导出x =5是原方程的一个解，将其代入原方程，解出k =4或k =5；然后分别验证当k =4或k =5时，求出的边长能否构成等腰三角形.2.【答案】:B【解析】:∵(a −c)2=a 2+c 2−2ac >a 2+c 2，∴ac <0.在关于x 的方程ax 2+bx +c =0中，b 2−4ac ⩾−4ac >0，∴关于x 的方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根3.【答案】:B【解析】:∵关于x 的一元二次方程(k −1)x 2+4x +1=0有两个不相等的实数根， ∴{k −1≠0,b 2−4ac >0,即{k −1≠0,42−4(k −1)>0,解得k <5且k ≠14.【答案】:6+√5【解析】:由方程x2−12x+31=0得a=1,b=−12,c=31,b2−4ac=(−12)2−4×1×31=20，所以x=12±√202=6±√5，所以x1=6+√5,x2=6−√5．当x=6−√5时，2x=12−2√5<20−12+2√5，不能构成三角形，舍去，故方程x2−12x+31=0的根为6+√55(1)【答案】∵这里a=1，b=4，c=−1，∴b2−4ac=16−4×1×(−1)=20>0，∴x=−4±√202×1，∴x1=−2+√5,x2=−2−√5【解析】:根据公式法解一元二次方程的一般步骤进行求解(2)【答案】方程整理，得x2−2√5x+10=0，∵Δ=(−2√5)2−4×1×10=−20<0，∴此方程无实数根【解析】:根据公式法解一元二次方程的一般步骤进行求解(3)【答案】方程整理，得x2+4x−2=0.∵这里a=1，b=4，c=−2，∴b2−4ac=16+8=24，∴x=−4±√242×1，∴x1=−2+√6,x2=−2−√6【解析】:根据公式法解一元二次方程的一般步骤进行求解(4)【答案】原方程可化为x2−9x+2=0.∵这里a=1,b=−9,c=2，∴b2−4ac=(−9)2−4×1×2=73>0，∴x=9±√732，∴x1=9+√732,x2=9−√732【解析】:根据公式法解一元二次方程的一般步骤进行求解6(1)【答案】当m=3时，原方程变为x2+2x+3=0，∴b2−4ac=22−4×3=−8<0，∴该方程无实数根【解析】:利用一元二次方程的根的判别式，判断该方程的根的情况(2)【答案】当m=−3时，原方程变为x2+2x−3=0，∴b2−4ac=22−4×(−3)=16>0，∴x=−b±√b2−4ac2a =−2±√162，∴x1=1，x2=−3【解析】:考查解一元二次方程的方法7(1)【答案】Δ=4(k−1)2−4(k2−1)=4k2−8k+4−4k2+4=−8k+8.∵原方程有两个不相等的实数根，∴−8k+8>0，解得k<1，即实数k的取值范围是k<1【解析】:方程有两个不相等的实数根，必须满足Δ>0，由此可以得到关于k的不等式，然后解不等式求出实数k的取值范围(2)【答案】可能是．假设0是该方程的一个根，则将x=0代入该方程，得02+2(k−1)×0+k2−1=0，解得k=−1或k=1(舍去)，即当k=−1时，0是该方程的一个根．此时，原方程变为x2−4x=0，解得x1=0，x2=4，∴该方程的另一个根是4【解析】:利用假设的方法，求出它的另一个根8.【答案】:C【解析】:原方程可化为5x2−6x+8=0，∴a =5，b =−6，c =89.【答案】:B【解析】:∵这里a =1，b =−2，c =−3，∴b 2−4ac =4−4×1×(−3)=16>0，∴x =−b±√b 2−4ac 2a =2±√162=2±42， ∴x 1=3，x 2=−110.【答案】:41；7+√414；7−√414【解析】:考查公式法解一元二次方程11(1)【答案】∵这里a =1，b =1，c =−2，∴b 2−4ac =1−4×1×(−2)=9>0，∴x =−b±√b 2−4ac 2a =−1±√92=−1±32， ∴x 1=1，x 2=−2【解析】:根据公式法解一元二次方程的一般步骤进行求解(2)【答案】∵这里a =1,b =−4,c =2，∴b 2−4ac =(−4)2−4×1×2=8，∴x =4±√82， ∴x 1=2+√2,x 2=2−√2【解析】:根据公式法解一元二次方程的一般步骤进行求解(3)【答案】原方程可化为4x 2−4x −3=0.∵这里a =4,b =−4,c =−3，∴b 2−4ac =(−4)2−4×4×(−3)=64>0，∴x =4±√642×4=4±88， ∴x 1=32,x 2=−12【解析】:根据公式法解一元二次方程的一般步骤进行求解12.【答案】:a >−18【解析】:∵关于x的方程2x2+x−a=0有两个不相等的实数根，∴Δ=12−4×2×(−a)=1+8a>0，解得a>−1813(1)【答案】∵a=1,b=−3,c=−7，∴b2−4ac=9−4×1×(−7)=37>0，∴此方程有两个不相等的实数根【解析】:考查一元二次方程的根的判别式(2)【答案】∵a=9，b=6，c=1，∴b2−4ac=36−36=0，∴此方程有两个相等的实数根【解析】:考查一元二次方程的根的判别式(3)【答案】∵a=2,b=−5,c=4，∴b2−4ac=25−4×2×4=−7<0，∴此方程没有实数根【解析】:考查一元二次方程的根的判别式14.【答案】:3x2−5x−2=0.；3；−5；−2；49；5±√492×3；5±76；x1=2,x2=−13.【解析】:考查公式法解一元二次方程的一般步骤15.【答案】:B【解析】:考查一元二次方程根的判别式16.【答案】:B【解析】:在方程x2−4x+4=0中，b2−4ac=(−4)2−4×1×4=0，所以该方程有两个相等的实数根．故选B．17.【答案】:16−4m；<4；=4；>4【解析】:考查一元二次方程的根的判别式。

第二十一章21.2.2公式法

栏目索引
易错点二对形如ax2+bx+c=0的方程有实数根的问题理解错误例2 (2018河南新乡辉县二模)关于x的方程ax2-2x-1=0有实数根,则a的取值范围是 ( ) A.a≥-1 B.a>-1 C.a≥-1且a≠0 D.a>-1且a≠0 解析当a≠0时,∵原方程有实数根, ∴Δ=4+4a≥0,∴a≥-1; 当a=0时,-2x-1=0有实数根.故选A.
根的判别式的应用
(1)不解方程直接判断一元二次方程根的情况; (2)已知一元二次方程根的情况,用根的判别式求方程中未知字母的值或取值范围
21.2.2 公式法
栏目索引
例1 (2017上海中考)下列方程中,没有实数根的是 ( ) A.x2-2x=0 B.x2-2x-1=0 C.x2-2x+1=0 D.x2-2x+2=0 解析 A选项,Δ=(-2)2-4×1×0=4>0,∴有两个不相等的实数根; B选项,Δ=(-2)2-4×1×(-1)=8>0,∴有两个不相等的实数根; C选项,Δ=(-2)2-4×1×1=0,∴有两个相等的实数根; D选项,Δ=(-2)2-4×1×2=-4<0,∴D选项中的方程没有实数根,故选D. 答案 D 点拨不解方程可通过计算Δ的值来判断根的情况.特殊的方程可不必计算Δ的值,如:当a与c异号,或b≠0且c=0时,方程有两个不相等的实数根.
答案 A 点拨首先根据一次函数的定义确定字母的取值范围,然后由字母的取值范围得出判别式的取值范围,最后得出根的情况.
21.2.2 公式法
栏目索引
题型三根的判别式与三角形的综合应用
例3 已知a,b,c分别为△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,若关于x的一元二次方

21.2.2 公式法初中数学人教版九年级上册课后练习(含答案)

21.2.2 公式法一、单选题1．若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．2．一元二次方程的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．无实数根3．当时，下列一元二次方程中两个根是实数的是（）A．B．C．D．4．一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＞1B．m＝1C．m＜1D．m≤15．若关于x的方程的一个根是2，则a的值为（）A．B．C．或D．或6．形如的方程，下列说法错误的是（）A．时，原方程有两个不相等的实数根B．时，原方程有两个相等的实数根C．时，原方程无实数根D．原方程的根为7．关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（）A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠58．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美丽”方程．已知是“美丽”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．9．一元二次方程的较大实数根在下列数轴中哪个范围之内（）A．B．C．D．10．用求根公式法解得某方程的两个根互为相反数，则（）A．B．C．D．二、填空题11．方程的解为________．12．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______．13．若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有两个不同的实数根，则a应满足的条件_________________ 14．已知关于的一元二次方程，若，则________．15．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是____．16．若k为实数，关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2（k+1）x+k+5=0有实数根，则实数k的取值范围为__．17．一元二次方程，当=________时，方程有两个相等的实根；当_______时，方程有两个不相等的实根；当=______时，方程有一个根为0．18．关于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是_____．三、解答题19．已知关于的方程有两个不相等的实数根．求的取值范围；若，且方程的两个实数根都是整数，求的值．20．若关于的一元二次方程无实数根，求的取值范围．21．公式法解方程：（1）；（2）；（3）．22．李老师在课上布置了一个如下的练习题：若，求的值．看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程：解：，①，②．③晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤．23．已知：关于x的方程，（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，两个边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．参考答案1．C【分析】根据判别式的意义得到△=（-2）2-4m＜0，然后解关于m的不等式即可．【详解】解：根据题意得△=（-2）2-4m＜0，解得m＞1．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．2．D【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．【详解】解：∵，∴方程没有实数根．故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．3．A【分析】根据公式法，判断选项中的一元二次方程的实数根是否是题目中给出的那个．【详解】一元二次方程，当，的时候，它有两个实数根．故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的解法——公式法，解题的关键是掌握求根公式．4．A【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解.【详解】解：∵一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×m＜0，∴m＞1．故选A．【点睛】此题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟知根的判别式. 5．D【分析】将2代入方程，得到关于a的方程，求解方程即可；【详解】把代入方程，得，即，所以，解得或，故选D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的知识点，准确理解是解题的关键．6．D【分析】根据应用直接开平方法求解的条件逐项判断即得答案．【详解】解：A、当时，原方程有两个不相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；B、当时，原方程有两个相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；C、当时，原方程无实数根，故本选项说法正确，不符合题意；D、当时，原方程的根为，故本选项说法错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题目，熟练掌握应用直接开平方法求解的条件是关键．7．C【分析】由方程有实数根可知根的判别式b2﹣4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【详解】解：由已知得：，解得：a≥1且a≠5，故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a的一元一次不等式组，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．8．D【分析】根据已知得出方程有x=-1，再判断即可．【详解】把x=−1代入方程得出a−b+c=0，∴b=a+c，∵方程有两个相等的实数根，∴△=，∴a=c，故选D．【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于利用有两个相等的实数根.9．B【分析】利用公式法解方程求得较大的实数根，根据无理数的估算得到这个实数根的范围，即可判断．【详解】解方程得．设是方程的较大的实数根，，，，则，只有B符合要求．故选：B．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，无理数的估算以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握公式法解一元二次方程和无理数大小的估算是解题的关键．10．A【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根，由题意得，可求出．【详解】方程有两根，且．求根公式得到方程的根为，两根互为相反数，所以，即，解得．故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程－公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．11．或【分析】首先把方程转化为一般形式，再利用公式法求解．【详解】（x-1）（x+3）=12x2+3x-x-3-12=0x2+2x-15=0x=,∴x1=3，x2=-5故答案是:3或-5．【点睛】考查了学生解一元二次方程的能力，解决本题的关键是正确理解运用求根公式．12．9【分析】根据方程两个相等的实数根可得根的判别式，求出方程的解即可．【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，△，解得：，故答案为：9．【点睛】本题考查了根的判别式．一元二次方程的根与△有如下关系：①当△时，方程有两个不相等的实数根；②当△时，方程有两个相等的实数根；③当△时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．13．a<1【分析】若一元二次方程x2+2x+a=0有两个不同的实数根，则根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．【详解】解：∵方程有两个不同的实数根，a＝1，b＝2，c＝a，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．14．【解析】【分析】找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，将a，b及c的值代入计算，即可求出m的值．【详解】∵a=1，b=m，c=6，∴∴m=.故答案为：.【点睛】本题考查一元二次方程的解法，掌握公式法是解题的关键.15．0【分析】根据一元二次方程根的存在性，利用判别式求解即可；【详解】一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=4，∴故答案为0【点睛】本题考查一元二次方程的根的存在性；熟练掌握利用判别式确定一元二次方程的根的存在性是解题的关键．16．且【分析】根据二次项系数非零及一元二次方程根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2（k+1）x+k+5=0有实数根，∴∴且故答案为：且．【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．17．-1 ＞-1 0【分析】先计算，当4+4m=0，方程有两个相等的实根；当4+4m＞0，方程有两个不等实根；把x=0代入方程，得-m=0；然后分别解方程或不等式即可得到对应得答案．【详解】∵，，，，当，即时，方程有两个相等的实根；当，即时，方程有两个不等实根；令，则有，即时，方程有一个根为0．故答案为：；；0．【点睛】本题考查了一元二次方程()的根的判别式．当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根．18．且k≠0【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴解得：﹣≤k＜且k≠0故答案为﹣≤k＜且k≠0．点睛：本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及二次根式有意义的条件，根据一元二次方程的定义、二次根式下非负以及根的判别式列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．19．；，或．【分析】(1)关于x的方程x2-2x-2n=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2-4ac>0，即可得到关于n的不等式，从而求得n的范围；(2)利用配方法解方程，然后根据n的取值范围和限制条件“方程的两个实数根都是整数”来求n的值即可．【详解】∵关于的方程的二次项系数、一次项系数、常数项，∴，解得；由原方程，得，解得，∵方程的两个实数根都是整数，且，不是负数，∴，且是完全平方形式，∴，或，解得，或．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．20．【分析】确定a、b、c，计算，根据方程没有实数根得关于m的不等式，继而根据一元二次方程的定义可得答案．【详解】∵，，，∴，∵方程无实数根，∴，解得，又根据一元二次方程的定义，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程()的根的判别式：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＜0，方程有两个相等的实数根；当△=0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．21．（1）；（2）；（3）．【分析】（1）直接利用公式法求解即可；（2）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可；（3）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可．【详解】（1），，，即；（2），，，，，；（3），整理，得，，，，．【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．22．晓梅的解题步骤在第③步出错了，正确解题步骤详见解析．【分析】根据的值非负即可判断出错的解题步骤，根据直接开平方法和的非负性解答即可．【详解】解：晓梅的解题步骤在第③步出错了．正确解题步骤如下：，，．不论为何值都不等于，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和代数式求值，解决此类问题时，我们需要注意所求代数式的范围，本题容易忽略的值是非负的，所以要找出题干所隐含的条件再解题．23．（1）证明见解析；（2）△ABC的周长为5．【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系即可得答案；（2）分a为底边和a为腰两种情况，当a为底边时，b=c，可得方程的判别式△=0，可求出k值，解方程可求出b、c的值；当a为一腰时，则方程有一根为1，代入可求出k值，解方程可求出b、c的值，根据三角形的三边关系判断是否构成三角形，进而可求出周长．【详解】（1）∵判别式△=[-(k+2)]²-4×2k=k²-4k+4=(k-2)²≥0，∴无论k取任何实数值，方程总有实数根．（2）当a=1为底边时，则b=c，∴△=(k-2)²=0，解得：k=2，∴方程为x2-4x+4=0，解得：x1=x2=2，即b=c=2，∵1、2、2可以构成三角形，∴△ABC的周长为：1+2+2=5．当a=1为一腰时，则方程有一个根为1，∴1-（k+2）+2k=0，解得：k=1，∴方程为x2-3x+2=0，解得：x1=1，x2=2，∵1+1=2，∴1、1、2不能构成三角形，综上所述：△ABC的周长为5．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；熟练掌握根与判别式的关系是解题关键。

人教版九年级数学上册课件：21.2.2公式法

21.2.2 公式法
(2)方程整理，得 x2－2 5x＋10＝0，
∵Δ＝b2－4ac＝(－2 5)2－4×1×10＝－20<0，∴此方程无实数根．
(3)方程整理，得 x2＋4x－2＝0.∵a＝1，b＝4，c＝－2，
∴b2－4ac＝16＋8＝24>0，∴x＝－42±×1 24，
∴x1＝－2＋ 6，x2＝－2－ 6. (4)原方程可化为 x2－9x＋2＝0.∵a＝1，b＝－9，c＝2，
1)·(－2)＝9＋8(a－1)≥0，且 a－1≠0，即得 a≥－81且 a≠1.
21.2.2 公式法
13．已知等腰三角形的腰长为 x，周长为 20，则方程 x2－ 12x＋31＝0 的根为___6＋___5__．
【解析】由方程 x2－12x＋31＝0 得 a＝1，b＝－12，c＝31，b2－4ac＝(－12)2 12± 20
(2)方程的根为 x＝，即 x ＝2，x ＝k＋1.∵方程总有一个根艰闹群垛漆除蛾多悠纷铝终锰炕毅贞绵粳压谣灸艇磁诧酱述凶妖喧朝芋疡人教版九年级数学上册课件：211.
2
2 2公式法作业本人教版九年级数学上册课件：21.
馏亥磨甩僵钾河纪灿翼大实刃昂拎赣崇捍您戌登棺秤渣肃例笆荚弗窿鼻冗人教版九年级数学上册课件：21.
2公式法作业本人教版九年级数学上册课件：21.
【解析】∵点 P(a，c)在第二象限，∴a＜0，c＞0，第二十一章一元二次方程
敞憨厦打员寨玩缠厦驰农头宗怂在例沫呢蒲绥河谣泞躲结旧双峻饯喘兽纸人教版九年级数学上册课件：21.
敞憨厦打员寨玩缠厦驰农头宗怂在例沫呢蒲绥河谣泞躲结旧双峻饯喘兽纸人教版九年级数学上册课件：21.
21.2.2 公式法
14．用公式法解下列方程：

人教版九年级上册数学公式法同步习题

21．2 解一元二次方程21.2.2 公式法1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当__b2－4ac≥0___时，x＝－b±b2－4ac2a，这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的__求根公式___．2．式子__b2－4ac___叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，常用Δ表示，Δ＞0⇔ax2＋bx＋c ＝0(a≠0)有__有两个不等的实数根___；Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有__两个相等的实数根___；Δ＜0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__没有实数根___．知识点1：根的判别式1．下列关于x的方程有实数根的是( C )A．x2－x＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0C．(x－1)(x＋2)＝0 D．(x－1)2＋1＝02．(2014·兰州)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，下列选项中正确的是( B ) A．b2－4ac＝0 B．b2－4ac＞0C．b2－4ac＜0 D．b2－4ac≥03．一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的情况是( D )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．利用判别式判断下列方程的根的情况：(1)9x2－6x＋1＝0；解：∵a＝9，b＝－6，c＝1，∴Δ＝(－6)2－4×9×1＝0，∴此方程有两个相等的实数根(2)8x2＋4x＝－3；解：化为一般形式为8x2＋4x＋3＝0，∵a＝8，b＝4，c＝3，∴Δ＝42－4×8×3＝－80＜0，∴此方程没有实数根(3)2(x2－1)＋5x＝0.解：化为一般形式为2x2＋5x－2＝0，∵a＝2，b＝5，c＝－2，∴Δ＝52－4×2×(－2)＝41＞0，∴此方程有两个不相等的实数根知识点2：用公式法解一元二次方程5．方程5x＝2x2－3中，a＝__2___，b＝__－5___，c＝__－3___，b2－4ac＝__49___．6．一元二次方程x2－x－6＝0中，b2－4ac＝__25___，可得x1＝__3___，x2＝__－2___．7．方程x 2－x －1＝0的一个根是( B ) A ．1－ 5 B .1－52C ．－1＋ 5D .－1＋528．用公式法解下列方程：(1)x 2－3x －2＝0；解：x 1＝3＋172，x 2＝3－172(2)8x 2－8x ＋1＝0；解：x 1＝2＋24，x 2＝2－24(3)2x 2－2x ＝5.解：x 1＝1＋112，x 2＝1－1129．(2014·广东)关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为( B )A．m＞94B．m＜94C．m＝94D．m＜－9410．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有实数根，则实数k的取值范围是( C )A．k＞－1 B．k＜1且k≠0C．k≥－1且k≠0 D．k＞－1且k≠011．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋b－1＝0有两个相等的实数根，则b 的值是__2___．12．关于x 的方程(a＋1)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足的条件是__a≥－5___．13．用公式法解下列方程：(1)x(2x－4)＝5－8x；解：x1＝－2＋142，x2＝－2－142(2)(3y －1)(y ＋2)＝11y －4.解：y 1＝3＋33，y 2＝3－3314．当x 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜3x －3，12（x －4）＜13（x －4）时，求出方程x 2－2x －4＝0的根．解：解不等式组得2<x<4，解方程得x 1＝1＋5，x 2＝1－5，∴x ＝1＋ 515．(2014·梅州)已知关于x 的方程x 2＋ax ＋a －2＝0.(1)若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．解：(1)a＝12，另一个根为x＝－32(2)∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴无论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根16．关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实数根．(1)求a的最大整数值；(2)当a取最大整数值时，求出该方程的根．解：(1)∵关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实根，∴a－6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a－6)×9≥0，解得a≤709且a≠6，∴a的最大整数值为7 (2)当a＝7时，原一元二次方程变为x2－8x＋9＝0.∵a＝1，b＝－8，c＝9，∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28，∴x＝－（－8）±282＝4±7，即x1＝4＋7，x2＝4－717．(2014·株洲)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC 三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．解：(1)△ABC是等腰三角形．理由：∵x＝－1是方程的根，∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0，∴a ＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形(2)∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形(3)当a＝b＝c时，可整理为2ax2＋2ax＝0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1先制定阶段性目标—找到明确的努力方向每个人的一生,多半都是有目标的,大的目标应该是一个十年、二十年甚至几十年为之奋斗的结果,应该定得比较远大些,这样有利于发挥自己的潜能。

人教版九年级上册数学 21.2---21.3考点检测题含答案不全

21.2解一元二次方程-公式法1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（）．A ．．． D ．2x 2=0的根是（）．A.x 1=，x 21=6，x 2 C.x 1，x 2 D.x 1=x 23．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（）．A ．4B ．-2C ．4或-2D ．-4或24、方程x 2-4x ＋4＝0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；C.有一个实数根；D.没有实数根.6、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A ．x 2＋1＝0 B. x 2+x-1＝0 C. x 2+2x ＋3＝0 D. 4x 2-4x ＋1＝07、若关于x 的方程x 2-x ＋k ＝0没有实数根，则（）A.k ＜41B.k ＞41C. k ≤41D. k ≥41 8、关于x 的一元二次方程x 2-2x ＋2k ＝0有实数根，则k 得范围是（）A.k ＜21B.k ＞21C. k ≤21D. k ≥219．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________．10．若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____．11.用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2 （3）（x-2）（3x-5）=0（4）4x 2-3x+1=0 （5）x 2-3x-41=0 （6）3x 2-6x-2=0 （7）x 2-4x-7=0 （8）2x 2-22x+1=0 （9）5x 2-3x=x+1 （10）x 2+17=8x12.不解方程，判断方程根的情况。

（1）x 2＋2x －8＝0；（2）3x 2＝4x －1；（3）x （3x －2）－6x 2＝0；（4）x 2＋(3＋1)x＝0；（5）x （x ＋8）＝16；（6）（x ＋2）（x －5）＝1；13．说明不论m 取何值，关于x 的方程（x －1）（x －2）＝m 2总有两个不相等的实数根.14. 某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22mx +（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．（2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出．15、ｋ取什么值时，关于x 的方程4x 2-(ｋ＋2)x ＋ｋ－１＝0有两个相等的实数根？求出这时方程的根.16、说明不论ｋ取何值，关于x 的方程x 2＋(2ｋ＋１)x ＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实根.21.3 实际问题与一元二次方程一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 某商店四月份的利润为6.3万元，此后两个月进入淡季，利润均以相同的百分比下降，至六月份利润为5.4万元．设下降的百分比为x，由题意列出方程正确的是（）A.5.4(1+x)2=6.3B.5.4(1−x)2=6.3C.6.3(1+x)2=5.4D.6.3(1−x)2=5.42. 凯达公司一月份利润是1万元，二月份、三月份平均每月增长10%，则第一季度的总利润是（）A.(1+10%)2万元B.(1+10%)10%万元C.[(1+10%)+(1+10%)2]万元D.[1+(1+10%)+(1+10%)2]万元3. 已知两数之差为4，积等于45，则这两个数是（）A.5和9B.−9和−5C.5和−5或−9和9D.5和9或−9和−54. 要组织一次排球邀请赛，计划安排28场比赛，每两队之间都要比赛一场，组织者打算邀请x个队参赛，则可列出方程（）=28A.x(x−1)=28B.x(x−1)2x2=28C.x2=28D.125. 如图，有一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为35米，与墙平行的边留有1米宽的门（门用其它材料做成），若鸡场的面积为160平方米，则鸡场与墙垂直的边长为（）A.7.5米B.8米C.10米D.10米或8米6. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．则每轮传染中平均一个人传染了几个人？（）A.5人B.6人C.7人D.8人7. 某种商品经过两次降价，由每件100元降低了19元，则平均每次降价的百分率为（）A.9%B.9.5%C.8.5%D.10%8. 某公司年前缴税20万元，今年缴税24.2万元．若该公司这两年的年均增长率相同，设这个增长率为x，则列方程（）A.20(1+x)3=24.2B.20(1−x)2=24.2C.20+20(1+x)2=24.2D.20(1+x)2=24.29. 某学校计划在一块长8米，宽6米的矩形草坪块的中央划出面积为16平方米的矩形地块栽花，使这矩形地块四周的留地宽度都一样，求这宽度应为多少？设矩形地块四周的留地宽度为x，根据题意，下列方程不正确的是（）A.48−(16x+12x−4x2)=16B.16x+2x(6−2x)=32C.(8−x)(6−x)=16D.(8−2x)(6−2x)=1610. 若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，按这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有（）A.20人B.22人C.61人D.121人二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 某药品原价每盒16元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒9元，则该药品平均每次降价的百分率是________．12. 已知矩形的面积是4，长比宽多2，如果设宽为x，则根据题意可以列出关于x的方程：________．13. 某公司一月份的产值为70万元，二、三月份的平均增长率都为x，三月份的产值比二月份产值多10万元，则可列方程为________．14. 已知两个连续奇数的积是15，设较小的奇数为x，由此列出方程：________．15. 某商品原价是400元，连续两次降价后的价格为289元，则平均每次降价的百分率为________．16. 某学校八年级组织了一次乒乓球比赛，每班派一名同学代表班级进行比赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，共比赛28场，该校八年级共有________个班级．17. 一件衬衫的原价为100元，通过两次连续提价后为121元，若每次提价的百分率相同，则平均每次提价的百分率为________．18. 某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店的销售额平均每月的增长率是________．19. 某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？小明的解法如下：设每盆花苗增加x株，可列一元二次方程为________．20. 如图，小明家有一块长150cm，宽100cm的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍．若设花色地毯的宽为xcm，则根据题意列方程为________．（化简为一般式）三、解答题（本题共计6 小题共计60分，）21. 某商场销售某品牌童装，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，经调查发现，每件童装每降价1元，商场平均可多销售2件，若商场每天想盈利1200元，则童装应降价多少元？22. 一块长方形铁皮长为4dm，宽为3dm，在四角各截去一个面积相等的正方形，做成一个无盖的盒子，要使盒子的底面积是原来铁皮的面积一半，若设盒子的高为xdm，根据题意列出方程，并化成一般形式．23. 为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵，已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级两年来植树数的年平均增长率．（只列式不计算）24. 如图，在宽为20m长为30m的矩形场地上，修筑同样宽的两条道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为500m2．若设路宽为xm，列出方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．25. 某服装柜在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件，现商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要想平均每天销售这种服装盈利l200元，同时又要使顾客得到较多的实惠，那么每件服装应降价多少元？26. 如图，在△ABC中，∠B=90∘，AB=6cm，BC=6cm，点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围．（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过多长时间，△PBQ的面积为8cm2？（3）如果P、Q分别从A、B同时出发，当P、Q两点运动几秒时，PQ有最小值，并求这个最小值．。

人教版数学九年级上册 21.2.2 公式法

小结
用公式法解一元二次方程的关键是解题步骤：
１.先写出a，b，c
２.再求出 b2 4ac
３.最后代入公式
当 b2 4ac 0 时，有两个实数根当 b2 4ac 0 时，方程无实数
解
7、虚弱的人会游说各地的不幸，而坚强的人只会在沉默中变得更强。 26.同样的一瓶饮料，便利店里块钱，五星饭店里块。很多时候，一个人的价值取决于所在的位置。 22.忍无可忍，就重新再忍！ 87.把生活当作游戏，谁游戏人生，生活就惩罚谁，这不是劝诫，而是--规则！ 57.不好用借口搪塞失败，不好让骄傲占据心灵。 82.当你想要放弃的时候，想想当初为什么要开始。 32.如果有一天我们在路上重逢，而我告诉你：“我现在很幸福。”我一定是伪装的如果只能够跟你重逢，而不是共同生活，那怎么会幸福呢？告诉你我很幸福，只是不想让你知道我其实很伤心。
2. 求出 ∆ 的值。 3. (a)当 ∆ >0 时，代入求根公式 : x b b2 4ac
写出一元二次方程的根(有两个不相等的实2a数根）：
x1 = ______ ，x2 = ______ 。 (b)当∆=0时，代入求根公式：
x1
x2
b 2a
写出一元二次方程的根(有两个相等的实数根）：
x1 = x2 = ______ 。 (b)当∆<0时，方程无实数根。
x2＋px＋ ( p )2 = －q＋ ( p )2
方程右边
开方：根据平方根的2 意义，方程两边2 开平方。是非负数
( x+ p )2 =－q＋ ( p )2
2
2
求解：解一元一次方程。
定解：写出原方程的解。
新课导入
一元二次方程的一般形式是什么？
ax2＋bx＋c = 0(a≠0)

人教版九年级上册数学 21.2.1 ---21.2.2同步练习题含答案

21.2.1 配方法1.用配方法解方程x2-4x-4=0时,原方程应变形为( )(A)(x-2)2=0 (B)(x-2)2=8(C)(x+2)2=0 (D)(x+2)2=82.已知关于x的方程(2x-1)2=3-k没有实数根,那么k的取值范围是.3.已知方程x2+4x+n=0可以配方成(x+m)2=3,则(m-n)2020= .4.解方程:(1)4x2=81;(2)x2+2x+1=4;(3)x2-4x-7=0.21.2.2 公式法1.一元二次方程x2-8x=-17根的情况是( )(A)无实数根(B)有两个相等的实数根(C)有两个不相等的实数根(D)无法确定2.已知一元二次方程x2-x-3=0的较小根为x1,则下面对x1的估计正确的是( )(A)-2<x1<-1 (B)-3<x1<-2(C)2<x1<3 (D)-1<x1<03.若一元二次方程x2+mx+2=0有两个相等的实数根,则m的值是.4.将方程(4y-3)(3y-1)=4化成一般形式为ay2+by+c=0,则b2-4ac= ,此方程的根是.5.解方程(1)2x2-4x-1=0;(2)y(y-1)+2y-2=0.21.2.1 配方法1.B2.k>33.14.解:(1)由原方程,得x2=,两边开平方,得x=±,解得x1=4.5,x2=-4.5.(2)配方,得(x+1)2=4,两边开平方,得x+1=±2,解得x1=-3,x2=1.(3)移项,得x2-4x=7,配方,得x2-4x+4=11,即(x-2)2=11,两边开平方,得x-2=±,解得x 1=2+,x2=2-.21.2.2 公式法1.A 2.A 3.±2 4.2175.解:(1)因为a=2,b=-4,c=-1,所以Δ=b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24>0, 方程有两个不相等的实数根,x==1±,即x1=1+,x2=1-.(2)方程化为y2+y-2=0,a=1,b=1,c=-2,所以Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-2)=9>0,方程有两个不相等的实数根,y=,即y1=-2,y2=1.21.2.2公式法一、选择题1. 已知a,b,c分别是三角形的三边长,则方程(a+b)x2+2cx+(a+b)=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.可能有且只有一个实数根D.没有实数根2．用公式法解方程（x+2）2＝6（x+2）﹣4时，b2﹣4ac的值为（）A．52 B．32C．20 D．﹣123. 用求根公式求得方程x2－2x－3＝0的解为( )A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝3，x2＝－1C．x1＝－3，x2＝1 D．x1＝－3，x2＝－14．以下是方程3x2－2x＝－1的解的情况，其中正确的是( ) A．∵b2－4ac＝－8<0，∴方程有实数根B．∵b2－4ac＝－8<0，∴方程无实数根C．∵b2－4ac＝8>0，∴方程有实数根D．∵b2－4ac＝8>0，∴方程无实数根5. 若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,则一次函数y=kx+b的大致图象可能是( )6．一元二次方程x2﹣px+q＝0的两个根是（4q＜p2）（）A．B．C．D．7．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是( )A．x2＋6x＋9＝0 B．x2＝xC．x2＋3＝2x D．(x－1)2＋1＝08. 一元二次方程x2+x-1=0的根是( )A.x=1-B.x=C.x=-1+D.x1=,x2=9．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m－2＝0有两个实数根，m 为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为( )A．6 B．5 C．4 D．310. 关于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+3=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )A.k<B.k<且k≠1C.0≤k≤D.k≠1二、填空题11．一元二次方程x2+x＝3中，a＝，b＝，c ＝，则方程的根是．12．完成下面的解题过程：用公式法解方程：2x（x﹣1）+6＝2（0.5x+3）解：整理，得．a＝，b＝，c＝．b2﹣4ac＝＝＞0．x＝＝，x1＝，x2＝．13．若关于x的一元二次方程12x2－2mx－4m＋1＝0有两个相等的实数根，则(m－2)2－2m(m－1)的值为____.14.等腰三角形的边长是方程x2-2x+1=0的两根,则它的周长为.15．把方程（x+3）（x﹣1）＝x（1﹣x）整理成ax2+bx+c＝0的形式，b2﹣4ac的值是．16．定义：如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a ＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则mn＝______.17．用公式法解方程2x2﹣x﹣1＝0的根是．三、解答题18.用公式法解方程:(1)x2+x-3=0;(2)3x2+1=2x;(3)2(x-1)2-(x+1)(1-x)=(x+2)2.19．不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：(1)9x2＋6x＋1＝0;(2)16x2＋8x＝－3.20．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0.(1)当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况；(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．21．已知关于x的方程x2－(2k＋1)x＋4(k－12)＝0.(1)求证：这个方程总有两个实数根；(2)若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边b，c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．答案1. D2． C3. B4． B5. B6． A7． B8. D9． B10. B11． 1 ﹣3 x 1＝﹣1+ x2＝﹣1﹣12． 2x2﹣3x＝0；2，﹣3，0；（﹣3）2﹣4×2×0，9；，；0，．13．7 214. 3+115． 2x2+x﹣3＝0；25．16．－217．18. (1)∵a=1,b=1,c=-3,∴Δ=b2-4ac=12-4×1×(-3)=13>0, ∴x==,∴x1=,x2=.(2)整理,得3x2-2x+1=0,a=3,b=-2,c=1,Δ=(-2)2-4×3×1=0,x=,所以x1=x2=.(3)整理,得2x2-8x-3=0,a=2,b=-8,c=-3,Δ=(-8)2-4×2×(-3)=88,x==, 所以x 1=,x 2=.19．解：(1)∵a ＝9，b ＝6，c ＝1，∴Δ＝b 2－4ac ＝36－36＝0， ∴此方程有两个相等的实数根(2)化为16x 2＋8x ＋3＝0，∵a ＝16，b ＝8，c ＝3，∴Δ＝b 2－4ac ＝64－4×16×3＝－128<0，∴此方程没有实数根 20．解：(1)a ≠0，Δ＝b 2－4a ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4a ＋4－4a ＝a 2＋4，∵a 2＞0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根 (2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b 2－4a ＝0，若b ＝2，a ＝1，则方程变形为x 2＋2x ＋1＝0，解得x 1＝x 2＝－1 21．解：(1)∵Δ＝(2k ＋1)2－4×4(k －12)＝(2k －3)2≥0，故方程总有两个实数根(2)若底边为a ＝4，则b ＝c ，Δ＝(2k －3)2＝0，∴k ＝32，x 1＝x 2＝2，有b ＋c ＝a ，不能构成三角形；若腰为a ＝4时，显然4是该方程的一个根，代入可得k ＝52，从而解得x 1＝2，x 2＝4，∴三边为4，4，2，周长为10。

临猗县第一中学九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.2公式法导学案新版

第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法学习目标：1.经历求根公式的推导过程.2.会用公式法解一元二次方程.3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.重点：运用公式法解一元二次方程. 难点：一元二次方程求根公式的推导.一、知识链接如何用配方法解方程2x 2+4x -1=0?二、要点探究探究点1：求根公式的推导合作探究任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0)，能否也用配方法得出它的解呢？问题1 用配方法解一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0).解：移项，得ax 2+bx =－c ，二次项系数化为1，得x 2+ x =c a配方，得x 2+ x +( )2=( )2c a即(x +2b a)2=2244b aca ①问题2 对于方程①接下来能直接开平方解吗？要点归纳：∵a ≠0，∴4a 2>0.要注意式子b 2－4ac 的值有大于0、小于0和等于0三种情况. 探究点2：一元二次方程根的判别式22= b 2－4ac.练一练按要求完成下列表格.4403x21103x x 10的值x 2+x =1，下列判断正确的是( ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根D.该方程根的情况不确定例2 不解方程，判断下列方程的根的情况．(1) 3x 2+4x －3=0； (2) 4x 2=12x －9； (3) 7y =5(y 2+1).方法总结：现将方程变形为一般形式ax 2+bx +c =0，再根据根的判别式求解即可.例3 若关于x 的一元二次方程x 2+8x +q =0有两个不相等的实数根，则q 的取值范围是( ) A. q ≤4 B. q ≥4C. q <16D. q >16【变式题】二次项系数含字母若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( ) A. k >－1 B. k >－1且k ≠0C. k <1D. k <1且k ≠0方法总结：当一元二次方程二次项系数为字母时，一定要注意二次项系数不为0，再根据根的判别式求字母的取值范围.【变式题】删除限制条件“二次”若关于x 的方程kx 2－2x －1=0有实数根，则k 的取值范围是( ) A. k ≥－1 B.k ≥－1且k ≠0C.k <1D.k <1且k ≠0探究点3：用公式法解方程由上可知，当≥0时，方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)的实数根可写为242bb acxa的形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.p11例2)用公式法解下列方程：(1) x 2－4x －7=0； (2) 2x 2－+1=0；(2) 5x 2－3x =x +1； (4) x 2+17=8x .要点归纳：公式法解方程的步骤： 1.变形：化已知方程为一般形式； 2.确定系数：用a ，b ，c 写出各项系数；3.计算：b 2－4ac 的值；4.判断：若b 2－4ac ≥0，则利用求根公式求出；若b 2－4ac <0，则方程没有实数根.1.不解方程，判断下列方程的根的情况．(1) 2x 2+3x －4=0； (2) x 2－x +14=0； (3) x 2－x +1=0.2.解方程：x 2+7x –18 = 0.3.解方程：(x －2) (1－3x ) = 6.4.解方程：2x 2－ + 3 = 0.5.（1）关于x的一元二次方程220x x m有两个实根，则m的取值范围是；（2）若关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m=2有实数根．求m的取值范围.6.不解方程，判别关于x的方程22x kx k的根的情况.220能力提升：在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6－b=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长.参考答案自主学习一、知识链接解：方程整理得212.2x x 配方，得23+12x .直接开平方，得6+12x ，∴12661122x x ，.课堂探究二、要点探究探究点1：求根公式的推导问题1 b a b a 2b a 2ba问题2 不能，需要注意右边式子有大于0，等于0，小于0三种情况.探究点2：一元二次方程根的判别式两个不相等实数根两个相等实数根没有实数根两个实数根练一练从上往下，从左到右依次为0，13，4，有两个相等实数根，没有实数根，有两个不相等的实解析：原方程变形为x 2+x －1=0.∵b 2－4ac =1－4×1×(－1)=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.例2 解：（1）3x 2+4x －3=0，a =3，b =4，c =－3，∴b 2－4ac =42－4×3×(－3)=52＞0.∴方程有两个不相等的实数根．（2）方程化为：4x 2－12x +9=0，∴b 2－4ac =(－12)2－4×4×9=0.∴方程有两个相等的实数根．（3）方程化为：5y 2－7y +5=0，∴b 2－4ac =(－7)2－4×5×5=－51＜0.∴方程无实数根．例3 C 解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b 2－4ac >0，即82－4q >0.解得q ＜16，故选C.【变式题】B 解析：方程有两个不相等的实数根，则b 2－4ac >0，即(－2)2+4k >0.又二次项系数不为0，可得k >－1且k ≠0，故选B.【变式题】A 思路分析：分k =0或k ≠0两种情况进行分类讨论. 探究点3：用公式法解方程例4 解：(1)a =1，b =－4，c =－7，b 2－4ac =(－4)2－4×1×(－7)=44＞0.方程有两个不相等的实数根24(4)44211.221bb ac xa即12211211x x ，.(2)a =2，b =22，c =1，b 2－4ac =(22)2－4×1×2=0.方程有两个相等的实数根，即212422022222bb ac x x a. (3)方程化为5x 2－4x －1=0，a =5，b =－4，c =－1，b 2－4ac =(－4)2－4×5×(－1)=36＞0.方程有两个不相等的实数根24(4)3646.22510bb ac xa 即12115x x ，. (4)方程化为x 2－8x +17=0，a =1，b =－8，c =17，b 2－4ac =(－8)2－4×1×17=－4＜0.方程无实数根. 当堂检测1.解：(1)a =2，b =3，c =－4，b 2－4ac =32－4×2×(－4)=41＞0.方程有两个不相等的实数根.(2)a =1，b =－1，c =14，b 2－4ac =(－1)2－4×1×14=0.方程有两个相等的实数根.(3)a =1，b =－1，c =1，b 2－4ac =(－1)2－4×1×1=－3＜0.方程无实数根.2.解：这里a =1，b =7，c =－18，b 2－4ac =72－4×1×(－18)=121＞0.∴247121711.2212bb ac xa1292x x ，.3. 解：去括号，得x －2－3x 2+ 6x = 6，化为一般式为3x 2－7x + 8 = 0，这里a =3，b =－7，c =8，b 2－4ac =(－7)2–4×3×8 =49－96=－47＜0.∴原方程无实数根. 4.这里a =2，b =33，c =3，b 2－4ac =(33)2－4×2×3=3＞0. ∴24333.24bb acxa12332x x ，. 5.(1)m ≤1(2)解：化为一般式(m －1)x 2－2mx +m －2=0．Δ＝4m 2−4(m −1)(m −2)≥0，且m －1≠0，解得23m且m ≠1. 6.解：222222241844kk k k k ，∵20k ，∴240k ，∴0.∴方程有两个实数根.能力提升解：关于x 的方程x 2+(b +2)x +6－b =0有两个相等的实数根，所以Δ=b 2－4ac =(b －2)2－4(6－b )=b 2+8b －20=0.所以b =－10或b =2.将b =－10代入原方程得x 2－8x +16=0，x 1=x 2=4；将b =2代入原方程得x 2+4x +4=0，x 1=x 2=－2（舍去）；所以△ABC 的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13.第2章圆2.1 圆的对称性【知识与技能】1.通过观察实验操作,使学生理解圆的定义.2.结合图形理解弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念.3.圆既是轴对称图形又是中心对称图形.4.点与圆的位置关系.【过程与方法】通过举出生活中常见圆的例子,经历观察画图的过程多角度体会和认识圆.【情感态度】结合本课教学特点,向学生进行爱国主义教育和美育渗透.激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.【教学重点】圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的理解.【教学难点】圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系.一、情境导入，初步认识圆是生活中常见的图形,许多物体都给我们以圆的形象.1.观察以上图形，体验圆的和谐与美丽.请大家说说生活中还有哪些圆形.2.请同学们在草稿纸上用圆规画圆,体验画圆的过程,想想圆是怎样形成的.【教学说明】学生很容易找出生活中关于圆的例子,通过画圆,有利于学生从直观形象认识上升到抽象理性认识.二、思考探究，获取新知1.圆的定义问题如教材P43图所示，通过用绳子和圆规画圆的过程，你发现了什么？由此你能得到什么结论？【教学说明】由于学生通过操作已经得出圆的定义，教师加以规范，有利于加深印象.如右图:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的圆形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆,记作“⊙O”，读作“圆O”.注意:圆指的是圆周,不是圆面.【教学说明】使学生能准确地理解并掌握圆的定义.2.点与圆的位置关系一般地,设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d,则有（1）点P在⊙O内d＜r（2）点P在⊙O上d=r（3）点P在⊙O外d＞r3.与圆有关的概念弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.(如:线段AB、AC)直径：经过圆心的弦(如AB)叫做直径.注:直径是特殊的弦,但弦不一定是直径.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.如图,以A、B为端点的弧记作,AB,读作:弧AB.注:①圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.②大于半圆的弧,用三个点表示,如图中的ABC,叫做优弧.小于半圆的弧,用两个点表示,如图中的AC,叫做劣弧.等圆:能够重合的两个圆叫做等圆.注:半径相等的两个圆是等圆,反过来,同圆或等圆的半径相等.等弧:在等圆或同圆中,能够互相重合的弧叫等弧.注:①等弧是全等的，不仅是弧的长度相等.②等弧只存在于同圆或等圆中.【教学说明】结合图形,使学生准确地掌握与圆有关的概念,为后面的学习打下基础.4.圆的对称性（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.（2）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.【教学说明】上述两个结论是通过教材P44探究1、2而得出来的，教师应引导学生仔细体会，必要时可通过画图或折叠圆心纸片演示.思考车轮为什么做成圆形的?如果车轮不是圆的(如椭圆或正方形等),坐车人会是什么感觉?【分析】把车轮做成圆形,车轮上各点到车轮中心(圆心)的距离都等于车轮的半径,当车轮在平面滚动时,车轮中心与平面的距离保持不变.因此,车辆在平路上行驶时,坐车的人会感到非常平稳.如果车轮不是圆的,车辆在行驶时,坐车人会感觉到上下颠簸,不舒服.三、运用新知，深化理解1.在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=3cm,BC=2cm,以点A为圆心，2cm长为半径作圆，则点C（）A.在⊙A内B.在⊙A上C.在⊙A外D.可能在⊙A上也可能在⊙A外2.（1）以点A为圆心，可以画____个圆.(2)以已知线段AB的长为半径,可以画____个圆.(3)以A为圆心，AB长为半径,可以画___个圆.3.如图，半圆的直径AB=________.第3题图第4题图4.如图，图中共有____条弦.【教学说明】学生自主完成,加深对新学知识的理解和检测对圆的有关概念的掌握情况,对学生的疑惑教师及时指导,并进行强化.【答案】1.C 2.(1)无数(2)无数(3)1 3.22 4.2四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾圆的两种定义，弦（直径），弧（半圆、优弧、劣弧、等弧），等圆等知识点.2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流.【教学说明】教师引导学生回顾知识点,让学生大胆发言,进行知识提炼和知识归纳,对于某些概念性的知识,要结合图形加以区别和理解.1.布置作业:从教材“习题2.1”中选取.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课是从学生感受生活中圆的应用开始,到通过学生动手画圆,培养学生动手、动脑习惯,在操作过程中观察圆的特点,加深对所学知识的认识,并运用所学知识解决实际问题,体验应用知识的成就感,激发他们学习的兴趣.二次函数与一元二次方程的关系1.抛物线2283y x x =--与x 轴有______个交点，因为其判别式24b ac -=_____0，相应二次方程23280x x -+=的根的情况为_______．2.二次函数269y x x =-+-的图像与x 轴的交点坐标为________．3.关于x 的方程25mx mx m ++=有两个相等的实数根，则相应二次函数25y mx mx m =++-与x 轴必然相交于 ______点，此时m =__________．4. 函数22y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（）Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．1个或2个5.关于x 的二次函数22(81)8y mx m x m =+++的图像与x 轴有交点，则m 的范围是（）Ａ．116m <-Ｂ．116m -≥且0m ≠ Ｃ．116m =- Ｄ．116m >-且0m ≠ 6.函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的一元二次方程230ax bx c ++-=的根的情况是（）Ａ．有两个不相等的实数根Ｂ．有两个异号的实数根Ｃ．有两个相等的实数根Ｄ．没有实数根7. 若二次函数2y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（）Ａ．a c + Ｂ．a c - Ｃ．c - Ｄ．c8.已知抛物线21()3y x h k =--+的顶点在抛物线2y x =上，且抛物线在x 轴上截得的线段长是h 和k 的值．9.已知函数22y x mx m =-+-．（1）求证：不论m 为何实数，此二次函数的图像与x 轴都有两个不同交点；（2）若函数y 有最小值54-，求函数表达式．10.已知二次函数2224y x mx m =-+．（1）求证：当0m ≠时，二次函数的图像与x 轴有两个不同交点；（2）若这个函数的图像与x 轴交点为A ，B ，顶点为C ，且△ABC的面积为此二次函数的函数表达式．11.已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于C 点，与x 轴交于1(0)A x ，，212(0)()B x x x <，两点，顶点M 的纵坐标为4-，若1x ，2x 是方程222(1)70x m x m --+-=的两根，且221210x x +=．（1）求A ，B 两点坐标；（2）求抛物线表达式及点C 坐标；（3）在抛物线上是否存在着点P，使△PAB面积等于四边形ACMB面积的2倍，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．。

人教版九年级数学上册21.2.2公式法-根的判别式同步练习题

一元二次方程根的判别式同步练习题一、选择题1.用公式法解一元二次方程2x2＋3x＝1时，化方程为一般式当中的a、b、c依次为（）A．2，－3，1 B．2，3，－1 C．－2，－3，－1 D．－2，3，12.一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3.下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋x＋2＝0 C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝04.下列方程有两个相等的实数根的是（）A．x2＋x＋1＝0 B．4x2＋2x＋1＝0 C．x2＋12x＋36＝0 D．x2＋x－2＝0 5.下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2－4x＋c＝0一定有实数根的是（）A．a＞0 B．a＝0 C．c＞0 D．c＝06.若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b 的大致图象可能是（）7. 如果关于x的一元二次方程k2x2－(2k＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＞－14B．k＞－14且k≠0 C．k＜－14D．k≥－14且k≠08．x）A．3x2＋5x＋1＝0 B．3x2－5x＋1＝0 C．3x2－5x－1＝0 D．3x2＋5x－1＝0二、填空题9.若关于x的一元二次方程(k−1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．10.若关于x的一元二次方程x2−2x−k=0有两个相等的实数根，则k=______．11.已知关于x的方程(m−2)x2−2x+1=0有实数根，则实数m的取值范围是______．12.若关于x的一元二次方程x2+3x−k=0有两个相等的实数根，则k的值是______．13.如果关于x的一元二次方程kx2−3x+1=0有两个实数根，那么k的取值范围是________．14.若关于x的一元二次方程(3−m)x2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为_____________________．三、解答题15.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1，求m的值及方程的根？16.已知:关于x的方程mx2-4x+1=0(m≠0)有实数根(1)求m的取值范围;(2)若方程的根为有理数，求正整数m的值17.已知关于x的方程mx2+(2m-1)x+m-1=0(m≠0).(1)求证:方程总有两个不相等的实数根。

人教版九年级数学上册第21章一元二次方程2 公式法

定的？
（ − 的值）
小组讨论
两人一组编题互判，首先根据根的判别式独立编制
出三个不同根的情况的一元二次方程，然后将所编
方程让同桌判断根的情况，并用公式法求解.
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
教师讲评
知识点1：根的判别式（难点）
一般地，式子 − 叫方程a ＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式.
元一次方程）
自主探究
2.请同学们利用配方法解方程 ² + + = ≠ .
（原方程可变形为
所以 +

=±

+

=
−
,

−
,

− + −
− − −
=
, =
)

自主探究
3.请同学们思考以下问题：
2.回忆用配方法解方程的一般步骤.
(1)移常数项，二次项系数化为1；(2)配方，两边都加上一次项系数
一半的平方；(3)写成(x+n)²=p(p≥0)的形式；(4)直接开平方法解方程.
对于一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），
能不能利用配方法求出它的解呢？应该怎样做呢？
请同学们任意选择一个方程求解：
洁美，产生热爱数学的情感.
旧知回顾
1.用配方法解下列方程：
(1)2x2-9x+8=0 ；
(2)3x2+2x+1=0.
(1)原方程可变形为 −

(2)原方程可变形为 +

=

,所以

21.2.2公式法(同步教学设计)2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂(人教版)

教学方法/手段/资源：
- 自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。
- 反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。
作用与目的：
- 巩固学生在课堂上学到的公式法知识点和技能。
- 通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。
- 通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。
5. 练习题库：准备一些与本节课内容相关的练习题，包括不同类型的一元二次方程求解题目，以及一些实际问题的解决题目。这样可以帮助学生巩固所学知识，并进行实际应用。
6. 教学工具：准备黑板、粉笔、多媒体投影仪等教学工具，以便进行讲解和展示。
7. 教学课件：制作与本节课内容相关的教学课件，包括教学目标、教学内容、实例讲解、练习题等，以便进行多媒体教学。
- 帮助学生提前了解本节课的课题，为课堂学习做好准备。
- 培养学生的自主学习能力和独立思考能力。
2. 课中强化技能
教师活动：
- 导入新课：通过一个实际问题案例，引出公式法的重要性，激发学生的学习兴趣。
- 讲解知识点：详细讲解公式法的推导过程和应用步骤，结合实例帮助学生理解。
- 组织课堂活动：设计小组讨论，让学生共同探讨如何应用公式法解决实际问题。
- 鼓励学生进行自我评估和反思，总结自己的学习成果和不足，制定改进计划，不断提高自己的学习效果。
- 鼓励学生参加数学竞赛或挑战赛，如数学奥林匹克、数学挑战赛等，以提高自己的数学水平和竞争力。
2. 拓展要求：鼓励学生利用课后时间进行自主学习和拓展。教师可提供必要的指导和帮助，如推荐阅读材料、解答疑问等。
- 要求学生阅读《数学之美》一书中关于一元二次方程的章节，并回答相关问题，以加深对一元二次方程和公式法的理解。

人教版九年级上册数学21章一元二次方程分课时练习题及答案

21.1一元二次方程基础导练1.把一元二次方程(x－3)2＝5化为一般形式为________________，二次项为________，一次项系数为__________，常数项为________.2.若(a－1)x2＋bx＋c＝0是关于x的一元二次方程，则( )A．a≠0 B．a≠1C．a＝1 D．a≠－13．一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x(x－1)化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m的值为( )A．－1 B．1 C．－2 D．2能力提升4．方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝_______________.5．若关于x的方程mx2＋(m－1)x＋5＝0有一个解为2，则m的值是______．6．已知关于x的一元二次方程(2m－1)x2＋3mx＋5＝0有一根是x＝－1，求m的值．参考答案1.x2－6x＋4＝0 x2－6 42.B3.B4.25.－1 26．解：把x＝－1代入原方程，得2m－1－3m＋5＝0，解得m＝4.21.2.1配方法基础导练1.下列方程中，一定有实数解的是（）A.210x +=B.2(21)0x +=C.2(21)30x ++=D.21()2x a a -= 2.若224()x x p x q -+=+，那么p 、q 的值分别是（）A.p =4，q =2B.p =4，q =-2C.p =-4，q =2D.p =-4，q =-23.若28160x -=，则x 的值是_________．能力提升4.无论x 、y 取任何实数，多项式222416x y x y +--+的值总是_______数（填“正”或“负”）．5.如果16（x -y ）2+40（x -y ）+25=0，那么x 与y 的关系是．6.解一元二次方程22(3)72x -=．7.如果a 、b b 2-12b +36=0，求ab 的值．参考答案1.B2.B3.正 5.x -y =-54 6.解：方程两边同除以2，得2(3)36x -=，∴36x -=±，∴129,3x x ==-．7.2(6)0b -=，∴34060a b +=⎧⎨-=⎩， ∴43a =-，6b =，∴8ab =-. 21.2.2公式法基础导练1.一元二次方程2210x x --=的根的情况为（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2.若关于x 的一元二次方程220x x m -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．1m <B ．1m >-C ．1m >D ．1m <-3.若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根，则实数m 的取值范围是_____________. 能力提升4.如果关于x 的方程022=--k x x 没有实数根，则k 的取值范围为_____________.5.用公式法解下列方程.（1）1)4(2=+x x ；（2）(2)(35)1x x --=；（3）20.30.8y y +=.6.求证：关于x 的方程01)12(2=-+++k x k x 有两个不相等的实数根．参考答案 1.B 2.C 3.94m ≤4.1k <-5.解：（1）将方程化为一般形式22810x x +-=，∴2a =，8b =，1c =-,∴224842(1)720b ac -=-⨯⨯-=>,∴84222x -±-±==⨯，∴142x -+=，242x --=．（2）将方程化为一般形式231190x x -+=，∴3a =，11b =-，9c =,∴224(11)439130b ac -=--⨯⨯=>,∴x ==1x =2x =．（3）将方程化为一般形式20.30.80y y +-=，∴0.3a =，1b =，0.8c =-,∴224140.3(0.8) 1.960b ac -=-⨯⨯-=>,∴y =1101420.36--±=⨯，∴14y =-，223y =．6. 证明：∵∆＝2224(21)41(1)450b ac k k k -=+-⨯⨯-=+>恒成立，∴方程有两个不相等的实数根．21.2.3一元二次方程的根与系数的关系基础导练1．若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根，则x 1x 2的值是( )A ．4B ．3C ．－4D ．－32．如果关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是( )A ．－3,2B ．3，－2C ．2，－3D ．2,33．已知一元二次方程的两根之和为7，两根之积为12，则这个方程为____________________．能力提升4．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根是1，则它的另一个根是______，m 的值是______．5．已知x 1，x 2是方程x 2－3x －3＝0的两根，不解方程可求得x 21＋x 22＝________.6.已知1x 、2x 是方程2630x x ++=的两实数根，求2112x x x x +的值.参考答案1．B 2.A 3．x 2－7x ＋12＝0(答案不唯一) 4．2 2 5.156.解：由一元二次方程根与系数的关系可得：121263x x x x +=-⎧⎨=⎩，∴222221121212121212()2(6)23103x x x x x x x x x x x x x x ++---⨯+====. 21.3实际问题与一元二次方程基础导练1.一台电视机成本价为a 元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，•所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（）A ．（1+25%）（1+70%）a 元B ．70%（1+25%）a 元C ．（1+25%）（1-70%）a 元D ．（1+25%+70%）a 元2.某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程正确的是（）A ．2002(1%)a +=148B ．2002(1%)a -=148C ．200(12%)a -=148D ．2002(1%)a -=1483.为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2012年用于绿化投资20万元，2014年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x ，根据题意所列方程为（）A ．22025x =B ．20(1)25x +=C ．220(1)25x +=D ．220(1)20(1)25x x +++=能力提升4.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有（）人.A ．12B ．10C ．9D ．85.某县化肥厂第一季度增产a 吨化肥，以后每季度比上一季度增产%x ，则第三季度化肥增产的吨数为（）A ．2)1(x a +B ．2%)1(x a +C ．2%)1(x +D ．2%)(x a a +6.某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐月上升，三月份生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x ，则可列出方程为________________________．7.某公司一月份营业额为10万元，第一季度总营业额为33.1万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？（分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ，•那么二月份的营业额就应该是10(1)x +，三月份的营业额应是102(1)x +．）参考答案1.B2.B3.C4.C5.B6.215(1)60x +=7.解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ．则依题意得：21010(1)10(1)x x ++++=33.1把（1+x ）看成一个整体，配方得：21(1)2x ++=2.56，即23()2x +=2.56, ∴x +32=±1.6，即x +32=1.6或x +32=-1.6. ∴1x =0.1=10%，2x =-3.1∵因为增长率为正数，∴取x =10%.答:该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．。

21.2.2公式法课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

典例精析
例1. 一元二次方程 − − = ��的根的情况为（ D
A．没有实数根
）
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
变式1-1 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ B ）
A．x2+6x+9=0
B．x2=x
C．x2+3=2x
D．（x﹣1）2+1=0

2
2a
4a

2
b

都不能使 x ＜0 ，因此方程无实数根.
2a

2
小结归纳
1.概念：一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式.
2.表示：通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac.
3.由前面的推导可知：
（1）当Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根；
典例精析

例2 . 一元二次方程mx2+mx﹣ ＝0有两个相等实数根，则m的值为（ C ）
A．0
B．0或﹣2
C．﹣2
D．2
典例精析

例3 如果关于x的一元二次方程 − + − = 有实数根，那么m的
取值范围是（ D ）
A． >
B． ≥
C． < D．m≤5
变式3-1 已知关于的方程 + − = 有两个不相等的实数根，则
根,求m的取值范围.
解：由题意得:Δ＞0且m2≠0.
即 (2m+1)2-4m2＞0且m≠0
解得：m＞-1/4且m≠0.
拓展训练

人教版数学九年级上册公式法

b
c
x x ,
a
a
2
方程两边都除以a，得
2
配方，得
即
b
c b
b
x2 x

a
a 2a
2a
b
b 2 4ac

x 2a
4a 2

2
.
2
,
探究新知
a 0, 4a 2 0, 当 b 4ac ≥ 0,
2
b
b 2 4ac
一般的，式子 b2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通
常用希腊字母“∆”来表示，即∆＝b2-4ac.
探究新知
一元二次方程的根的情况
【注意】若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得
到判别式的值的符号呢？
当一元二次方程有两个不相等的实数根时， b2-4ac ＞0;
当一元二次方程有两个相等的实数根时， b2-4ac = 0;
A. k>-1
B. k>-1 且k≠ 0
C. k<1
D. k<1 且k≠0
课堂检测
3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx
＝1－2m必有两个不相等的实数根.
证明：∵ x 2 2 x m 1 0 没有实数根，
∴ 4-4(1-m)<0, ∴m<0.
2
2
x
对于方程 x ＋mx＝1-2m ，即 mx 2m 1 0
⊿=m2 8m 4 ，∵
m＜0 ，∴ △>0.
∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.
.
课堂小结
定

专题21.2一元二次方程的解法【十大题型】-2024-2025学年九年级数学上册[含答案]

专题21.2 一元二次方程的解法【十大题型】【人教版】【题型1 直接开平方法解一元二次方程】【题型2 配方法解一元二次方程】【题型3 公式法解一元二次方程】【题型4 因式分解法解一元二次方程】【题型5 十字相乘法解一元二次方程】【题型6 用适当方法解一元二次方程】【题型7 用指定方法解一元二次方程】【题型8 用换元法解一元二次方程】【题型9 解含绝对值的一元二次方程】【题型10 配方法的应用】知识点1：直接开平方法解一元二次方程根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法．直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为()20x p p =³或()()200mx n p p m +=³¹，的形式；②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解．【题型1 直接开平方法解一元二次方程】【例1】（23-24九年级上·广东深圳·期中）1．将方程2219()x =－的两边同时开平方，得21x =－，即21x －＝或21x －＝，所以1x ＝，2x ＝．【变式1-1】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）2．用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )A ．x 2+9＝0B ．－2x 2=0C ．x 2－3=0D ．(x －2)2=0【变式1-2】（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）3．如果关于x 的一元二次方程()257x m -=-可以用直接开平方求解，则m 的取值范围是．【变式1-3】（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）4．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程()46x x +=．解：原方程可变形，得：()()22226x x éùéù+-++=ëûëû．()22226x +-=，()2210x +=．直接开平方并整理，得．12x =-+22x =-我们称小明这种解法为“平均数法”(1)下面是小明用“平均数法”解方程()()595x x ++=时写的解题过程．解：原方程可变形，得：()()5x a b x a b +-++=éùéùëûëû．()225x a b +-=，∴()225x a b +=+．直接开平方并整理，得．1=x c ，2x d =．上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为______，______，______，______．(2)请用“平均数法”解方程：()()5712x x -+=．知识点2 配方法解一元二次方程将一元二次方程配成()2x m n +=的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为()200ax bx c a ++=¹的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型2 配方法解一元二次方程】【例2】（23-24九年级上·广东深圳·期中）5．用配方法解方程，补全解答过程．251322x x -=．解：两边同除以3，得______________________________．移项，得21566x x -=．配方，得_________________________________，即21121()12144x -=．两边开平方，得__________________，即1111212x -=，或1111212x -=-．所以11x =，256x =-．【变式2-1】（23-24九年级下·广西百色·期中）6．用配方法解方程2610x x --=时，配方结果正确的是（）A ．()239x -=B ．()2310x -=C ．()238x +=D ．()238x -=【变式2-2】（24-25九年级上·全国·假期作业）7．用配方法解方程：2220x mx m +-=．【变式2-3】（2024·贵州黔东南·一模）8．下面是小明用配方法解一元二次方程22480x x +-=的过程，请认真阅读并完成相应的任务．①小明同学的解答过程，从第步开始出现错误；②请写出你认为正确的解答过程．知识点3 公式法解一元二次方程当240b ac -³时，方程()200ax bx c a ++=¹通过配方，其实数根可写为x =的形式，这个式子叫做一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．【题型3 公式法解一元二次方程】【例3】（23-24九年级上·山西大同·9．用公式法解关于x 的一元二次方程，得x =是．【变式3-1】（23-24九年级上·广东深圳·期中）10．用公式法解一元二次方程：()()2350x x --=．解：方程化为2311100x x -+=．3,a b == ，10c =．2Δ4b ac =-=431010-´´=>．方程实数根．x = =，即1x =，253x =．【变式3-2】（23-24九年级上·河南三门峡·期中）11．用公式法解方程20(0)ax bx c a -+-=¹，下列代入公式正确的是（）A ．x =B ．x =C ．x =D ．x =【变式3-3】（23-24九年级上·广东深圳·期中）12．用求根公式法解得某方程20(a 0)++=¹ax bx c 的两个根互为相反数，则（）A ．0b =B ．0c =C ．240b ac -=D ．0b c +=知识点4 因式分解法解一元二次方程当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．【题型4 因式分解法解一元二次方程】【例4】（23-24九年级下·安徽亳州·期中）13．关于x 的一元二次方程()22x x x -=-的根是（）A ．1-B ．0C ．1和2D ．1-和2【变式4-1】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）14．以下是某同学解方程2326x x x -=-+的过程：解：方程两边因式分解，得()()323-=--x x x ，①方程两边同除以()3x -，得2x =-，②∴原方程的解为2x =-．③(1)上面的运算过程第______步出现了错误．(2)请你写出正确的解答过程．【变式4-2】（23-24九年级下·安徽安庆·期中）15．对于实数m ，n ，定义运算“※”：22m n m n =-※，例如：2232232=-´=-※．若50x x =※，则方程的根为（）A ．都为10B ．都为0C ．0或10D ．5或5-【变式4-3】（13-14九年级·浙江·课后作业）16．利用因式分解求解方程（1）243y y =；(2)(23)(23)(23)0x x x x +--+=．【题型5 十字相乘法解一元二次方程】【例5】（23-24九年级下·广西百色·期中）17．以下是解一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的一种方法：二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1212a a c c ，，，排列为：然后按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若此时满足1221a c a c b +=，那么20(a 0)++=¹ax bx c 就可以因式分解为1122()()0a x c a x c ++=，这种方法叫做“十字相乘法”．那么2611100x x --=按照“十字相乘法”可因式分解为（）A ．(2)(65)0x x -+=B ．(22)(35)0x x +-=C ．(5)(62)0x x -+=D ．(25)(32)0x x -+=【变式5-1】（23-24九年级上·江西上饶·期末）18．试用十字相乘法解下列方程(1)2540x x ++=；(2)23100x x +-=．【变式5-2】（23-24九年级下·广西梧州·期中）19．解关于x 的方程227120x mx m -+=得（）A ．13x m =-，24x m =B ．13x m =，24x m =C ．13x m =-，24x m=-D ．13x m =，24x m=-【变式5-3】（23-24九年级下·重庆·期中）20．阅读下面材料：材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于x ，y 的二次三项式22ax bxy cy ++，如图1，将2x 项系数12a a a =×，作为第一列，2y 项系数12c c c =×，作为第二列，若1221a c a c +恰好等于xy 项的系数b ，那么22ax bxy cy ++可直接分解因式为：()()221122ax bxy cy a x c y a x c y ++=++示例1：分解因式：2256x xy y ++解：如图2，其中111=´，623=´，而51312=´+´；∴2256(2)(3)x xy y x y x y ++=++；示例2：分解因式：22412x xy y --．解：如图3，其中111=´，1262-=-´，而4121(6)-=´+´-；∴22412(6)(2)x xy y x y x y --=-+；材料二：关于x ，y 的二次多项式22ax bxy cy dx ey f +++++也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将12a a a =作为一列，12c c c =作为第二列，12f f f =作为第三列，若1221a c a c b +=，1221a f a f d +=，1221c f c f e +=，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：()()22111222ax bxy cy dx ey f a x c y f a x c y f +++++=++++；示例3：分解因式：2243283x xy y x y -+-+-．解：如图5，其中111=´，3(1)(3)=-´-，3(3)1-=-´；满足41(3)1(1)-=´-+´-，21(3)11,8(3)(3)(1)1-=´-+´=-´-+-´；∴2243283(3)(31)x xy y x y x y x y -+-+-=---+请根据上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：232x x ++= ；2256220x xy y x y -+++-= ；（2）若x ，y ，m 均为整数，且关于x ，y 的二次多项式2262120x xy y x my +--+-可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出m 的值，并求出关于x ，y 的方程22621201x xy y x my +--+-=-的整数解．【题型6 用适当方法解一元二次方程】【例6】（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）21．用适当的方法解下列方程：(1)24x x =；(2)()2340x --=；(3)22450x x --=；(4)()()()1222x x x -+=+．【变式6-1】（23-24九年级上·山西太原·期中）22．用适当的方法解下列一元二次方程：(1)2420x x +-=；(2)()3515x x x +=+.【变式6-2】（23-24九年级下·山东泰安·期末）23．用适当的方法解下列方程(1)2354x =；(2)()()1311x x +-=；(3)()()421321x x x +=+；(4)2610x x +=．【变式6-3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）24．用适当的方法解下列方程．(1)2(2)250x +-=；(2)2450x x +-=；(3)22310x x -+=．【题型7 用指定方法解一元二次方程】【例7】（23-24九年级下·山东日照·期末）25．用指定的方法解下列方程：（1）4（x ﹣1）2﹣36=0（直接开方法）（2）x2+2 x ﹣3=0（配方法）（3）（x +1）（x -2）=4（公式法）（4）2（x +1）﹣x （x +1）=0（因式分解法）【变式7-1】（23-24九年级下·山东烟台·期中）26．用指定的方法解方程：(1)2410x x --=（用配方法）(2)23119x x -=-（用公式法）(3)()22539x x -=-（用因式分解法）(4)2242y y y +=+（用适当的方法）【变式7-2】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）27．用指定的方法解方程：(1)212502x x --=（用配方法）(2)2820x x =+（用公式法）(3)()()23430x x x -+-=（用因式分解法）(4)()()23110x x +-=（用适当的方法）【变式7-3】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）28．按指定的方法解下列方程：(1)289x x =+（配方法）；(2)2273=0y y ++（公式法）；(3)()2236x x +=+（因式分解法）．【题型8 用换元法解一元二次方程】【例8】（23-24九年级下·浙江杭州·期中）29．已知()()22222150a b a b +++-=，求22a b +的值．【变式8-1】（23-24九年级下·安徽合肥·期中）30．关于x 的方程()2222230x x x x +++-=，则2x x +的值是（）A ．3-B ．1C ．3-或1D ．3或1-【变式8-2】（23-24九年级上·广东江门·期中）31．若()()5567a b a b +++=，则5a b += ．【变式8-3】（23-24九年级上·山东临沂·期中）32．利用换元法解下列方程：(1)422320x x --=；(2)()()222540x x x x ---+=．【题型9 解含绝对值的一元二次方程】【例9】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）33．阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：23||100x x --=．解：分两种情况：①当x ≥0时，原方程化为23100x x --=解得125,2x x ==-（舍去）；②当x <0时，原方程化为23100x x +-=，解得345,2x x =-=（舍去）．综上所述，原方程的解是125,5x x ==-．请参照上述方法解方程2|1|10x x -+-=．【变式9-1】（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）34．解方程22240x x ++-=【变式9-2】（23-24九年级下·安徽滁州·阶段练习）35．解方程222390x x -++=【变式9-3】（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）36．解方程2|5|20x x ---=【题型10 配方法的应用】【例10】（23-24九年级上·河北沧州·期中）37．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例：求代数式248y y ++的最小值．解：22248444(2)4y y y y y ++=+++=++，∵()220y +³，∴()2244y ++³∴当2y =-时，248y y ++的最小值是4．(1)【类比探究】求代数式2612x x -+的最小值；(2)【举一反三】若22y x x =--当x =________时，y 有最________值（填“大”或“小”），这个值是________；(3)【灵活运用】已知224250x x y y -+++=，则x y +=________；(4)【拓展应用】如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为15m ），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，栅栏的总长度为24m ．当BF 为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【变式10-1】（2023·河北石家庄·一模）38．已知226A x x n =++，2224B x x n =++，下列结论正确的是（）A ．B A -的最大值是0B ．B A -的最小值是1-C ．当2B A =时，x 为正数D ．当2B A =时，x 为负数【变式10-2】（23-24九年级上·四川攀枝花·期中）39．已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（）A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【变式10-3】（23-24九年级下·浙江宁波·期中）40．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用.例如：已知x 可取任何实数，试求二次三项式223x x ++的最小值．解：22223212(1)2x x x x x ++=+++=++；Q 无论x 取何实数，都有2(1)0x +³，2(1)22x \++³，即223x x ++的最小值为2．【尝试应用】（1）请直接写出22410x x ++的最小值______ ；【拓展应用】（2）试说明：无论x【创新应用】（3）如图，在四边形ABCD 中，AC BD ^，若10AC BD +=，求四边形ABCD 的面积最大值．1． ±3 3 －3 2 －1【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可【详解】∵2219()x =－∴21x =－±3∴21x －＝3，21x －＝-3∴1x ＝2，2x ＝-1【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键2．A【分析】根据负数没有平方根即可求出答案．【详解】解：（A ）移项可得29x =-，故选项A 无解；（B ）220x -=，即20x =，故选项B 有解；（C ）移项可得23x =，故选项C 有解；（D ）()220x -=，故选项D 有解；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．3．7m ³【分析】根据平方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可．【详解】解：∵方程()257x m -=-可以用直接开平方求解，∴70-³m ，解得：7m ³，故答案为：7m ³．【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出关于m 的不程是解此题的关键．4．(1)7，2，4-，10-．(2)11x =-+，21x =--【分析】（1）仿照平均数法可把原方程化为()()72725x x +-++=éùéùëûëû，可得()279x +=，再解方程即可；（2）仿照平均数法可把原方程化为()()161612x x +-++=éùéùëûëû，可得()2148x +=，再解方程即可；【详解】（1）解：∵()()595x x ++=，∴()()72725x x +-++=éùéùëûëû，∴()2745x +-=，∴()279x +=，∴73x +=或73x +=-，解得：14x =-，210x =-．∴上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为7，2，4-，10-．（2）∵()()5712x x -+=，∴()()161612x x +-++=éùéùëûëû，∴()213612x +-=，∴()2148x +=，∴1x +=，1x +=-解得：11x =-+21x =--【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，新定义运算的含义，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．5．25166x x -= 2221151()()612612x x -+=+ 1111212x -=±【分析】方程两边除以3把二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【详解】251322x x -=．解：两边同除以3，得25166x x -=．移项，得21566x x -=．配方，得2221151(()612612x x -+=+，即21121()12144x -=．两边开平方，得1111212x -=±，即1111212x -=，或1111212x -=-．所以11x =，256x =-．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．B【分析】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤．根据配方法的步骤，求解即可．【详解】解：2610x x --=移项得：261x x -=配方得：26919x x -+=+即()2310x -=故选：B7．1x m =-，2x m =-【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法．先移项，再进行配方，最后开方即可得．【详解】解：移项得222x mx m +=，配方得22222x mx m m m ++=+，即()222x m m +=，所以原方程的解为：1x m =-，2x m =-．8．①第三步；②详见解析【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，先将方程22480x x +-=变为224x x +=，然后配方为()218x +=，再开平方即可．【详解】解：①小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误；②22480x x +-=，移项，得2248x x +=，二次项系数化为1，得224x x +=，配方，得()215x +=，由此可得1x +=所以，1211x x =-=-．9．24610x x ++=【详解】解： x =Q 4a \=，6b =，1c =，从而得到一元二次方程为24610x x ++=，故答案为：24610x x ++=．【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键．10． 11- 2(11)- 有两个不相等的 1116± 2【分析】根据公式法解一元二次方程的解法步骤求解即．【详解】解：方程化为2311100x x -+=．3a =，11b =-，10c =．2Δ4b ac =-=()211431010--´´=>．方程有两个不相等的实数根．x ==1116±，即1x =2，253x =．故答案为：11-；2(11)-1116±；2．【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程的解法步骤是解答的关键．11．B【分析】先将方程进行化简，然后根据一元二次方程的求根公式，即可做出判断．【详解】解：方程20(0)ax bx c a -+-=¹可化为20ax bx c -+=由求根公式可得：x ==故选：B【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，准确的识记求根公式是解答本题的关键．12．A【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根12x x 、，由题意得120x x +=，可求出0b =．【详解】Q 方程20(a 0)++=¹ax bx c 有两根，240b ac \D =-…且所以120x x +=0=，解得0b =．故选：A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程－公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．13．D【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．【详解】解：∵()22x x x -=-，∴()()220x x x -+-=，∴()()120x x +-=，∴10x +=或20x -=，解得1x =-或2x =，故选：D ．14．(1)②(2)过程见解析【分析】（1）根据等式的性质作答即可；（2）先移项，然后用因式分解法求解．【详解】（1）解：∵()3x -可能为0，∴不能除以()3x -，∴第②步出现了错误故答案为②．（2）解：方程两边因式分解，得()()323-=--x x x ，移项，得()()3230-+-=x x x ，∴()()320x x -+=，∴13x =，22x =-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．15．C【分析】本题考查的知识点是新定义运算、解一元二次方程，解题关键是理解题意．现根据新定义运算得出一元二次方程，再求解即可．【详解】解：根据定义运算22m n m n =-※可得，50x x =※即为25·20x x -=，即()100x x -=，10x \=，210x =，则方程的根为0或10．故选：C ．16．（1）1230,4y y ==；（2）123,32x x =-=【分析】(1)利用移项、提公因式法因式分解求出方程的根；(2)利用提公因式法分解因式求出方程的根.【详解】(1) 243y y =；2430y y -=(43)0y y -=y=0或4y-3=0∴1230,4y y ==，故答案为：1230,4y y ==；(2) (23)(23)(23)0x x x x +--+=(23)(3)0x x +-=230x +=或30x -=123,32x x =-=，故答案为：123,32x x =-=．【点睛】本题考查利用因式分解解方程，关键是防止丢掉方程的根．例如：解方程243y y =时，给方程两边同除以y ，解得34y =，而丢掉y=0的情况．17．D【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出()()2611102532x x x x --=-+即可．【详解】∵∴()()26111025320x x x x --=-+=．故选：D ．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．18．(1)1241x x =-=-，；(2)1225x x ==-，．【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．（1 ）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，进一步求解可得答案；（2 ）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，进一步求解可得答案．【详解】（1）解：2540x x ++=()()410x x ++=40x +=或10x +=∴1241x x =-=-，；（2）解：23100x x +-=()()520x x +-=50x +=或20x -=∴1225x x ==-，．19．B【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法求解即可．直接运用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：227120x mx m -+=，()()340x m x m --=，30x m -=或40x m -=，13x m =，24x m =．故选B ．20．（1）(1)(2)x x ++，(35)(24)x y x y -+--；（2）5456m m ==-，14x y =-ìí=î和24x y =ìí=-î【分析】（1）①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；（2）用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m 值．【详解】解：（1）①1=1×1，2=1×2，3=1×1+1×2，∴原式=(1)(2)x x ++；②1=1×1，6=（-2）×（-3），-20=5×（-4）满足（-5）=1×（-2）+1×（-3），1=1×5+1×（-4），2=（-2）×5+（-3）×（-4）∴原式=(35)(24)x y x y -+--；（2）①111222135124a c f a c f --- 1221122211221512a c a c a f a f c f c f +=-ìï+=íï+=î②12101312-- 12211221122112a c a c a f a f c f c f m +=ìï+=-íï+=î 12121310--22(210)(312)62120x y x y x xy y x my -++-=+--+-∴54m =22(212)(310)62120x y x y x xy y x my --++=+--+-∴56m =-当54m =时，(210)(312)1x y x y -++-=-21013121x y x y -+=ìí+-=-î或21013121x y x y -+=-ìí+-=î，75245x y ì=-ïïíï=ïî（舍），14x y =-ìí=î当56m =-时，(212)(310)1x y x y --++=-21213101x y x y --=ìí++=-î或21213101x y x y -==ìí++=î，24x y =ìí=-î或69525x y ì=ïïíï=ïî（舍）综上所述，方程22621201x xy y x my +--+-=-的整数解有14x y =-ìí=î和24x y =ìí=-î；方法二：()2262120(3)(2)212x xy y x my x y x y x my y++--+-=+--+-(3)(2)(3)(2)()(32)x y a x y b x y x y a b x b a y ab=++-+=+-+++-+2123210120a b a b a m b ab +=-ì=-ìï-=Þíí=îï=-î或10541256a m b m ==ìÞí=-=-î．【点睛】本题考查了因式分解的方法——十字相乘法，弄清题目中的十字相乘的方法是解题关键．21．(1)14x =，20x =(2)15x =，21x =(3)1x =2x =(4)12x =-，23x =【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；（2）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；（3）利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答；（4）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答．【详解】（1）解：240x x -=()40x x -=，解得14x =，20x =（2）解：()()32320x x ---+=()()510x x --=，解得15x =，21x =（3）解：2a =Q ，4b =-，5c =-()()()2244425164056b ac \-=--´´-=--=x \=解得（4）解：()()()12220x x x -+-+=()()2120x x +--=，()()230x x +-=，20,30x x \+=-=，解得12x =-，23x =22．(1)12x =，22x =(2)13x =-，25x =【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．（1）利用配方法解方程；（2）先移项，再利用提公因式法解方程．【详解】（1）解：移项，得242x x +=，配方，得24424x x ++=+，()226x +=，两边开平方，得2x +=所以，12x =，22x =；（2）解：原方程可变形为：()()353x x x +=+，()()3530x x x +-+=，()()350x x +-=，30x +=或50x -=，所以，13x =-，25x =23．(1)1x =，2x =-(2)1x =2x =(3)112x =-，234x =(4)13x =-，23x =-【分析】（1）方程整理后，利用直接开平方法求解即可；（2）方程整理后，利用求根公式法求解即可；（3）方程利用因式分解法求解即可；（4）方程利用配方法求解即可．【详解】（1）解：方程整理得：218x =，开方得：x =±解得：1x =2x =-（2）解：方程整理得：23220x x +-=，这里3a =，2b =，2c =-，Q △2243(2)424280=-´´-=+=>，x \2（3）解：方程移项得：4(21)3(21)0x x x +-+=，分解因式得：(21)(43)0x x +-=，所以210x +=或430x -=，解得：112x =-，234x =；（4）解：配方得：26919x x ++=，即2(3)19x +=，开方得：3x +=解得：13x =-23x =-【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，直接开平方法，配方法，熟练掌握根据方程的特征选择恰当的解法是解本题的关键．24．(1)13x =，27x =-(2)11x =，25x =-(3)112x =，21x =【分析】（1）利用平方差公式，可以解答此方程；（2）利用因式分解法解方程即可；（3）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：2(2)250x +-=，()()25250x x +-++=，30x \-=或70x +=，解得13x =，27x =-；（2）解：2450x x +-=，()()150x x -+=，10x \-=或50x +=，解得11x =，25x =-；（3）解：22310x x -+=，()()2110x x --=，210x \-=或10x -=，解得112x =，21x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．25．（1）x 1＝4，x 2＝﹣2；（2）x 1＝1，x 2＝﹣3；（3）x 1＝3，x 2＝﹣2；（4）x 1＝﹣1，x 2＝2．【分析】（1）直接利用开方法进行求解即可得到答案；（2）直接利用配方法进行求解即可得到答案；（3）直接利用公式法进行求解即可得到答案；（4）直接利用因式分解法进行求解即可得到答案；【详解】解：（1）∵()241360x --=∴（x ﹣1）2＝9，∴x ﹣1＝±3，∴x 1＝4，x 2＝﹣2；（2）∵x 2+2x ＝3，∴x 2+2x +1＝4，∴（x +1）2＝4，∴x +1＝±2，∴x 1＝1，x 2＝﹣3；（3）∵x 2﹣x ﹣6＝0，∴△（﹣6）＝25，∴x 152±=，∴x 1＝3，x 2＝﹣2；（4）∵()()2110x x x +-+=∴（x +1）（2﹣x ）＝0，∴x +1＝0或2﹣x ＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法.26．(1)12x =+，22x =(2)12x x ==(3)12932x x ==，(4)12122y y ==-，【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答．（2）先化为一般式，再根据24b ac D =-算出，以及代入x =答．（3）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x 的值，即可作答．（4）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x 的值，即可作答．【详解】（1）解：2410x x --=移项，得241x x -=配方，得24414x x -+=+，即()225x -=∴2x -=解得12x =，22x =+；（2）解：23119x x -=-231190x x -+=243912110813D =´´=-=∴x =解得2x =（3）解：()22539x x -=-()()225390x x ---=()()()253330x x x ---+=()()()()()353334180x x x x x ù-é--+=--=ëû则304180x x -=-=，解得12932x x ==，；（4）解：2242y y y +=+()22420y y y +-+=()()2220y y y +-+=()()2120y y -+=∴21020y y -=+=，解得12122y y ==-．27．(1)1222x x ==(2)1210,2x x ==-(3)123,0.6x x ==(4)1243,3x x =-=【分析】（1）利用配方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可；（3）利用因式分解法解方程即可；（4）先将给出的方程进行变形，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）移项，得：21252x x -=，系数化1，得：2410x x -=，配方，得：24414x x -+=，2(2)14x -=，2x -=∴12x =22x =；（2）原方程可变形为28200x x --=，1a =，8b =-，20c =-，()()28412064801440D =--´´-=+=>，原方程有两个不相等的实数根，8122x ±\===，∴110x =，22x =-；（3）原方程可变形为：()()3340x x x --+=，整理得：()()3530x x --=，解得13x =，20.6x =；（4）原方程可变形为：2352100x x +--=，整理得：235120x x +-=，()()3430x x -+=，∴13x =-，243x =【点睛】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本步骤，一元二次方程的求根公式是解题关键．28．(1)19x =，21x =-．(2)13x =-，212x =-．(3)12x =-，21x =．【分析】（1）先把方程化为281625x x -+=，可得()2425x -=，再利用直接开平方法解方程即可；（2）先计算27423492425>0=-´´=-=V ，再利用求根公式解方程即可；（3）先移项，再把方程左边分解因式可得()()210x x +-=，再化为两个一次方程，再解一次方程即可．【详解】（1）解：289x x =+，移项得：289x x -=，∴281625x x -+=，配方得：()2425x -=，∴45x -=或45x -=-，解得：19x =，21x =-．（2）解：2273=0y y ++，∴23492425>0==-=V ，∴754x -±==，∴13x =-，212x =-．（3）解：()2236x x +=+，移项得：()()22320x x +-+=，∴()()210x x +-=，∴20x +=或10x -=，解得：12x =-，21x =．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程”是解本题的关键．29．3【分析】先用换元法令22(0)a b x x +=>，再解关于x 的一元二次方程即可．【详解】解：令22(0)a b x x +=>，则原等式可化为：(2)150x x +-=，解得：123,5x x ==-，0x Q >，3x \=，即223a b +=．22a b +的值为3．【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意22a b +为非负数是本题的关键．30．B【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设2x x t +=，则此方程可化为2230t t +-=，然后用因式分解法求解即可．【详解】解：设2x x t +=，则此方程可化为2230t t +-=，∴()()130t t -+=，∴10t -=或30t +=，解得11t =，23t =-，∴2x x +的值是1或3-．当23+=-x x 时，230x x ++=，∵112110D =-=-<，∴此方程无解，∴2x x +的值是1．故选：B ．31．1或7-【分析】本题主要考查解一元二次方程，设5a b x +=，则原方程可变形为()67x x +=，方程变形后运用因式分解法求出x 的值即可得到结论．【详解】解：设5a b x +=，则原方程可变形为()67x x +=，整理得，2670x x +-=，()()170x x -+=，10x -=，70x +=，∴1x =，7x =-，即51a b +=或7-，故答案为：1或7-．32．(1)12x x ==(2)1234x x x x ====【分析】本题主要考查换元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解题的关键．（1）根据换元思想，设2y x =，则2y =或12y =-，由此即可求解；（2）设2y x x =-，则4y =或1y =，由此即可求解．【详解】（1）解：设2y x =，则原方程化为22320y y --=，∴2y =或12y =-，当2y =时，22x =，∴12x x ==，当12y =-时，212x =-，此时方程无解，∴原方程的解是12x x ==（2）解：设2y x x =-，则原方程化为2540y y -+=，∴4y =或1y =，当4y =时，2x -∴12x x ==，当1y =时，2x x -∴34x x =∴原方程的解是1234x x x x ===．33．122,1x x ==-【分析】根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解．【详解】解：分两种情况：①当10x +³，即1x ³-时，原方程化为()2110x x -+-=，解得122,1x x ==-；②当10x +<，即1x <-时，原方程化为()2110x x ++-=，解得30x =（舍去），41x =-（舍去）．综上所述，原方程的解是122,1x x ==-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．34．1202x x ，==-【分析】本题考查了解含绝对值的一元二次方程．熟练掌握绝对值的意义，分类讨论，解一元二次方程，是解决问题的关键．对2x +为非负、负，两种情况讨论，先把绝对值号化简，方程变形为一般的一元二次方程，再利用因式分解法解出方程的解，最后结合x 的取值范围最终确定答案即可．【详解】解：①当20x +³，即2x ³-时，方程变形得：()22240x x ++-=∴220x x +=∴()20x x +=∴1202x x ，==-；②当20x +<，即2x <-时，方程变形得：()22240x x -+-=∴228=0x x --∴()()240x x +-=∴12x =-（舍去），24x =（舍去）∴综上所述，原方程的解是10x =或22x =-35．1213x x ==，【分析】本题考查了解含绝对值的一元二次方程．熟练掌握绝对值的非负性，分类讨论化简绝对值，解一元二次方程，是解题的关键．分32x ³-与32x <-，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解．【详解】当2+30x ³，即32x ³-时，原方程可化为：()222390x x +-+=，整理得：2430x x -+=，解得：1213x x ==，，当230x +<，即32x <-时，原方程可化为：()222390x x +++=，整理得24150x x ++=，∵244115440D ´=--=´<，∴此方程无实数解．综上所述，原方程的解为：1213x x ==，．36．12x x 【分析】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，根据题意分50x -³和50x -<两种情况，分别解方程即可．【详解】解：①当50x -³时，即5x ≥时，原方程化为2520x x +--=，即230x x -+=，113a b c ==-=，，，∴()22Δ4141311<0b ac =-=--´´=-，∴原方程无解，②当50x -<时，即5x <时，原方程化为2520x x +--=，即270x x +-=，=1=1=7a b c -，，，∴()22Δ4141729>0b ac =-=-´´-=，x2x ．37．(1)3(2)1-；大；1(3)1(4)当4m BF =，矩形养殖场的总面积最大，最大值为248m ．【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键：（1）把原式利用配方法变形为()233x -+，再仿照题意求解即可；（2）把原式利用配方法变形为()211x -++，再仿照题意求解即可；（3）把原式利用配方法变形为()()22210x y -++=，再利用非负数的性质求解即可；（4）设m BF x =，则22m CF BF x ==，则3m BC x =，进而求出243m 3x AB -=，则()2243334483ABCD xS x x -=×=--+矩形，据此可得答案．【详解】（1）解：2612x x -+()2693x x =-++()233x =-+，∵()230x -³，∴()2333x -+³，∴当3x =时，2612x x -+的最小值为3；（2）解：22y x x=--2211x x =---+()211x =-++，∵()210x +³，∴()210x -+£，∴()2111x -++£，∴当1x =-时，22y x x =--有最大值，最大值为1，故答案为：1-；大；1；（3）解：∵224250x x y y -+++=，∴()()2244210x x y y -++++=，∴()()22210x y -++=，∵()()222010x y -³+³，，∴()()22210x y -=+=，∴2010x y -=+=，，∴21x y ==-，，∴211x y +=-=；（4）解：设m BF x =，则22m CF BF x ==，∴3m BC x =，∴243m 3x AB -=，∴24333ABCD x S x -=×矩形 2324x x=-+()23448x =--+，∵()240x -³，∴()2340x --£，∴()2344848x --+£，∵315AD BC x ==£，∴05x <£，∴当4x =时，ABCD S 矩形最大，最大值为48，∴当4m BF =，矩形养殖场的总面积最大，最大值为248m ．38．B【分析】利用配方法表示出B A -，以及2B A =时，用含n 的式子表示出x ，确定x 的符号，进行判断即可．【详解】解：∵226A x x n =++，2224B x x n =++，∴()2222246B A x x n x x n -=+++-+2222246x x n x x n =--++-22x x=-()211x =--；∴当1x =时，B A -有最小值1-；当2B A =时，即：()22222426x x n x x n =++++，∴2222242122x x n x x n =++++，∴280x n -=³，∴0x £，即x 是非正数；故选项A,C,D 错误，选项B 正确；故选B ．【点睛】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键．39．C【分析】先利用配方法对含a 的式子和含有b 的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a 和b 的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【详解】解：∵a 2-10a +b 2-16b +89=0，∴（a 2-10a +25）+（b 2-16b +64）=0，∴（a -5）2+（b -8）2=0，∵（a -5）2≥0，（b -8）2≥0，∴a -5=0，b -8=0，∴a =5，b =8．∵三角形的三条边为a ，b ，c ，∴b -a ＜c ＜b +a ，∴3＜c ＜13．又∵这个三角形的最大边为c ，∴8＜c ＜13．故选：C ．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．40．（1）8；（2）见解析；（3）252【分析】（1）利用配方法把22410x x ++变形为22(1)8x ++，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值；（2）利用配方法得到22172()24x x x ++=++，则可判断220x x ++>，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论x （3）利用三角形面积公式得到四边形ABCD 的面积12AC BD =××，由于10BD AC =-，则四边形ABCD 的面积()1102AC AC =××-，利用配方法得到四边形ABCD 的面积2125(5)22AC =--+，然后根据非负数的性质解决问题．【详解】解：（1）()2224102210x x x x ++=++()2221110x x =++-+ 22(1)8x =++，Q 无论x 取何实数，都有22(1)0x +³，2(1)88x \++³，即223x x ++的最小值为8；故答案为：8；（2）22172()24x x x ++=++，21(02x +³Q ，220x x \++>，\无论x 都有意义；（3）AC BD ^Q ，\四边形ABCD 的面积12AC BD =××，10AC BD +=Q ，10BD AC \=-，\四边形ABCD 的面积()1102AC AC =××-。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

3/7
1．C 2．C 3．B 4．B 5．B 6．D 7．C 8．C 9．C 10．C
11． a 1
16
14．3 17．1．
12．-1 15．四．
（1）求证：无论实数 m 取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根的平方等于 4，求 m 的值． 20．已知关于 x 的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中 a、b、c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果 x=﹣1 是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 21．如图，是小明的作用，请你认真阅读，解答下列问题：
九年级上册数学 21.2.2 公式法作业
一、单选题 1．已知关于 x 的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1=0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是（）
A．a＞2
B．a＜2
C．a＜2 且 a≠1
D．a＜－2
2．一元二次方程 x2﹣2x﹣1＝0 的根是（）
A．x1＝1，x2＝2
B．x1＝﹣1，x2＝﹣2
C．x1＝1+ 2 ，x2＝1﹣ 2
D．x1＝1+ 3 ，x2＝1﹣ 3
3．关于 x 的一元二次方程 x2 − 2x + k = 0 有两个实数根，则 k 的取值范围在数轴上可以表示为（）
A．
B．
C．
D．
4．若关于 x 的一元二次方程 x2 + 6x + k = 0 有两个相等的实数根，则 k 的值为（）
从而达到“降次”的目的，又如 x3 = x x2 = x( px − q) = …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法
1/7
可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2 − x −1 = 0 ，且 x 0 ，则 x4 − 2x3 + 3x 的值为（）
A．1− 5
B． 3 − 5
A．2
B．1
C．0
D．－1
9．关于 x 的方程 ax2 + (1− a)x −1 = 0 ，下列结论正确的是（）
A．当 a = 0 时，方程无实数根
B．当 a = −1 时，方程只有一个实数根
C．当 a = 1时，有两个不相等的实数根 D．当 a 0 时，方程有两个相等的实数根
10．将关于 x 的一元二次方程 x2 − px + q = 0 变形为 x2 = px − q ，就可以将 x2 表示为关于 x 的一次多项式，
（1）小明的作业从第
步开始出现错误；
（2）请给出正确的解答过程.
22．綦江中学新校区建设正按计划顺利推进，其中有一块矩形地面准备用同样规格的黑、白两色的正方
形瓷砖按如图所示的设计进行铺设，请观察下列图形并解答有关问题．
(1) 第 n 个图中共有块瓷砖 ( 用含 n 的代数式表示 ) ； (2) 按上述铺设方案，铺这块矩形地面共用了 506 块瓷砖，求此时 n 的值； (3) 是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明理由．
23．已知□ABCD 的两边 AB、BC 的长是关于 x 的一元二次方程方程 x2 − mx + m − 1 = 0 的两个实数根． 24
（1）试说明：无论 m 取何值，原方程总有两个实数根；（2）当 m 为何值时，□ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长；（3）若 AB﹦2，求 BC 的长．
答案
A．10
B． 9
C． 8
D． 6
5．若关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的最大整数是（）
A．1
B．0
C．﹣1
D．﹣2
6．下列一元二次方程0
B． x2 + 4x −1 = 0
C． 3x2 − 5x + 2 = 0
D． 2x2 − 4x + 3 = 0
( ) ( ) 7．已知 a、b、c 是 ABC 的三边长，且方程 a 1+ x2 + 2bx − c 1− x2 = 0 的两根相等，则 ABC 为 (
)
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形
8．关于 x 的一元二次方程 (a −1) x2 − 2x + 3 = 0 有实数根，则整数 a 的最大值是（）
解方程： x2 + 2 3x = 2 . 小明同学解答如下： ∵a = 1,b = 2 3, c = 2 ……………………………① ∴b2 − 4ac = (2 3)2 − 41 2 = 4 0 …………②
∴x = −2 3 4 = − 3 1………………………③ 21
∴x1 = − 3 +1, x2 = − 3 −1 ………………………④
记阴影部分的面积为 S1 ，空白部分的面积为 S2 ，大正方形的边长为 m ，小正方形的边长为 n ，若 S1 = S2 ，则 n 的值为______．
m
14．关于 x 的一元二次方程(2-k) x2-2x+1=0 有两个不相等的实数根，则整数 k 的最小值是______. 15．若关于 x 的一元二次方程 ax2 − x − 1 = 0(a 0) 有两个不相等的实数根，则点 P(a + 1, −a − 3 ) 在第____
4 象限．
16．已知 a2 +5a = - 2, b2 +5b = - 2, 则 a + b 的值=___________
17．若 x1，x2 是方程 x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0 的两个根，且 x1+x2=1﹣x1x2，则 m 的值为____．
三、解答题 18．用适当的方法解下列方程：（1）x（2-x）=x2-2 （2）（x-1）（x-3）=8． 19．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣（m+3）x+m+2=0．
C．1+ 5
D． 3 + 5
二、填空题 11．一元二次方程 x2﹣ 1 x+a＝0 无实数根，则 a 的取值范围为_____．
2 12．若方程 x2 − c = 0 有一个根是 1，则另一根是_________． 13．如图 1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图 2 的图案，