第二讲 特殊二次函数的图像

九年级上册数学教案 特殊的二次函数图像

第二讲 特殊二次函数的图像

知识框架

知识点

1、 二次函数2y ax c =+的图像

一般地，二次函数2y ax c =+的图像是抛物线，称为抛物线2y ax c =+，它可以通过将抛物线2y ax =向上（0c >时）或向下（0c <时）平移c 个单位得到．

抛物线2y ax c =+（其中a 、c 是常数，且0a ≠）的对称轴是y 轴，即直线x = 0；顶点坐标是（0，c ）．抛物线的开口方向由a 所取值的符号决定，当0a >时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，开口向下，顶点是抛物线的最高点

2.二次函数()2

y a x m =+的图像

一般地，二次函数()2

y a x m =+的图像是抛物线，称为抛物线()2

y a x m =+，它可以通过将抛物线2y ax =向左（0m >时）或向右（0m <时）平移m 个单位得到．

抛物线()2

y a x m =+（其中a 、m 是常数，且0a ≠）的对称轴是过点（-m ，0）且平行（或重合）于y 轴的直线，即直线x = -m ；顶点坐标是（-m ，0）．当0a >时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．

【例1】 在同一平面直角坐标系中，画出函数21y x =+、2y x =和21y x =-的图像

【例2】 将函数21y x =+、21y x =-与函数2y x =的图像进行比较，函数21y x =+、21y x =-的图像有哪些特征？完成下表．

【例3】 说出下列函数的图像如何由抛物线2

12

y x =

平移得到，

再分别指出图像的开口方向、 对称轴和顶点坐标． （1）2

122

y x =

+； （2）2

112

y x =

-．

【例4】 在函数123y x =；22213y x =

+；325

24

y x =--中，图像开口大小按题号顺序表 示为（ ） A ．1>2>3

B ．1>3>2

C ． 2>3>1

D ．2>1>3

九年级上册数学教案 特殊的二次函数图像

【例5】 抛物线22y x =，22y x =-，221y x =+共有的性质是（ ）

A ．开口向上

B ．对称轴都是y 轴

C ．都有最高点

D ．顶点相同

【例6】 已知1a <-，点（a – 1，y 1）、（a ，y 2）、（a + 1，y 3）都在函数2

122

y x =

-的图像上， 则（ ） A ．123y y y <<

B ． 132y y y <<

C ．321y y y <<

D ． 213y y y <<

【例7】 将抛物线21y x =+的图像绕原点O 旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是

_____________．

【例8】 若函数2y ax b =+的图像经过点（0，1），（1，2），求2a + b 的值．

【例9】 若二次函数228y x =+，当x 取1x ，2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数的值为________．

【例10】

若抛物线()2

43

25m

m y x m --=+-的顶点在x 轴下方，求m 的值．

【例11】 若函数241y x =+的函数值为5，则自变量x 的值为__________．

【例12】

若点P （-1，a ）和点Q （1，b ）都在抛物线21y x =-+上，求线段PQ 的长．

【例13】

如图，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．

（1）求A 、B 、C 三点的坐标；

（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．

【例14】

在同一平面直角坐标系中，画出函数()2

21y x =-+、22y x =-和()2

21y x =--

的图像． 【例15】

将函数()2

21y x =-+、()2

21y x =--与函数22y x =-的图像进行比较，函数

()2

21y x =-+、()221y x =--的图像有哪些特征？完成下表．

九年级上册数学教案 特殊的二次函数图像

【例16】

说出下列函数的图像如何由抛物线21

3

y x =-平移得到，再分别指出图像的开

口方向、对称轴和顶点坐标． （1）()2

123

y x =-

+； （2）()2

143

y x =-

-．

【例17】

已知函数2

23y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭，当x = ______时，函数取得最______值，为______；

已知函数()2

3y x =-+，当x = ______时，函数取得最______值，为______．

【例18】

把抛物线21

3

y x =-向左平移2个单位得到抛物线____________；若将它向下

平移2个单位，得到抛物线____________． 【例19】

已知抛物线()2

1y x =--，当x > 1时，y 随着x 的增大而______；当x < 1时，

y 随着x 的增大而______．