3.3非正态总体参数的假设检验和非参数检验 指数分布总体的参数检验

若样本容量充分大，且总体方差未 X 0 知时，可取统计量 U ，当 S/ n n充分大（一般要求 n 100 ）时， U近似服从标准正态分布，故问题也 归结为u检验。
例1. 今从总体抽得样本容量为150的 2 样本，算得 x 0.4, s 16, 试在水 平0.05下检验假设 H0 : 0; H1 : 0. 例2.（伯努利分布总体的参数检验） 某 厂产品的不合格率通常为5%。厂方希 望知道原料产地的影响是否会对产品的 质量产生显著影响，今随机地从一批产 品中抽取100个，发现7个不合格品，试 问厂方可以得出什么结论？（α=0.05）
服从多项分布。
由大数定律知，当n充分大时，频 数ni与理论频数npi越来越小。故ni 与npi之间的差异可以反映出概率分 布 ( p1, p2 ,, pr )是否为总体的真实分 布。令
(ni npi ) npi i 1
2 r
2
称上述统计量为皮尔逊统计量。
定理（皮尔逊定理）设总体的真实 分布为 ( p1, p2 ,, pr ) ，则有
此时的统计量为

2 i 1
r
ˆ i0 ) (ni np ˆ i0 np
2
.
当n充分大时，上述统计量近似服 从自由度为r-m-1的卡方分布。其 ˆ i0是把 1 ,,m 换成极大似然 中的 p ˆ ,, ˆ 后算出的 pi 。 估计 1 m 0
分布拟合检验还可用来检验随机 变量之间的独立性。 假设有一个二维总体(X,Y)。将X和Y 的取值范围分别分成r个和q个互不相 交的区间A1,A2,…,Ar和B1,B2,…,Bq。 从总体抽取一个容量为n的样本 (x1,y1),…(xn,yn),令nij表示样本值中x 落入Ai，y落入Bj的个数。
2. 指数分布总体的参数检验 设总体X服从参数为λ的指数分 布，又设 X1, X2,…, Xn为取自总 体的一个样本。则当 H0 : 0 成 立时，有
2n0 X 20 X i ~ 2n
2 2 i 1 n
故指数分布总体参数检验归结 为卡方检验
非参数假设检验 检验步骤和参数检验的步骤一样， 较多地利用近似分布，故解决非 参数问题时，通常取较大的样本 容量。
~ (r 1)
2 2
由上述定理，当样本容量较大时， 2 统计量 近似服从自由度为r-1的卡 方分布。
pi pi , i 1, 2,, r的检 从而对假设H0： 验转化为卡方检验。对给定的显著 2 2 性水平α，则拒绝域为 1 (r 1)
0
通过把样本值代入上述统计量，最 终判断接受或拒绝原假设H0。
记 ni. nij , n. j nij .
q
r
pij P( X Ai , Y B j ), pi. P( X Ai ), p. j P(Y B j ), i 1, , r , j 1, , q.
则有
j 1
i 1
pi. pij , p. j pij ,
j 1 i 1ห้องสมุดไป่ตู้
q
r
p p
i 1 i. j 1
r
q
.j
1.
故要检验X和Y独立，即是检验
H0 : pij pi. p. j , i 1,, r, j 1,, q.
由前易知，pi.和p.j中有r+q-2个独 立未知参数。 从而，可用统计量
2 2 q r ˆ ˆ ( n np p ) ( n n n / n ) ij i. .j ij i. .j 2 n . ˆ i. p ˆ. j np ni. n. j i 1 j 1 i 1 j 1 r q
无双侧拒绝域！
实际上，还可以用皮尔逊统计量检 验任意的一个总体是否具有某个指 定的分布函数 F0 ( x)。 若我们要检验假设 H0 : F ( x) F0 ( x). 可选取r-1个不相等的实数 y1 yr 1 把实数轴分成r个区间，令
p1 F ( y1 ), pi F ( yi ) F ( yi 1 ), i 2,, r 1, pr 1 F ( yr 1 ).
§3.3 非正态总体参数的 假设检验和非参数检验
1. 非正态总体大样本检验（ n充分大） 设 X1, X2,…, Xn为取自总体的一个样本
总体均值未知，考虑假设检验 H0 : 0 .
若样本容量充分大，当总体方差已 X 0 知时，可取统计量 U ，当 / n n充分大（ n 30 ） 时，U近似服从 标准正态分布，故问题归结为u检验。
记ni为样本值落入第i个区间中的个 数，则如前所示，当 H0 : F ( x) F0 ( x). 成立时，由皮尔逊定理，统计量 r ( n np ) 2 i i0 2 2 ~ (r 1). npi0 i 1
其中的 pi0 是将F0代替F所得的pi值。
在上面的讨论中，F0完全确定，它不 含任何位置参数。如果要检验总体的 分布类型，此时F0可能含有未知参数， 上述方法不再适用。此时若要检验假 H0 : F ( x) F0 ( x;1,,，由于 m ) 设 pi0 未知，故上述检验法不能直接使用， 于是可以用估计量（极大似然估计） 来代替未知参数。
非参数检验的主要思想方法
主要根据：若原假设H0成立，则当n 充分大时，经验分布函数与总体分 布函数不应相差太大。其余的步骤 和参数检验时一样。
皮尔逊 拟合检验
2
设总体X为仅取r个可能值的离散随 机变量，设其分布列为
P( X ai ) pi , i 1, 2,, r
设 X1, X2,…, Xn为取自总体的一个样 x1 , x2 ,, xn为样本值， ni , i 1,, r 本， 表示 x1 , x2 ,, xn 中取值为ai的个数，则 ni , i 1,, r 均为样本的函数，且(n1 , n2 ,nr )