二次函数与面积(解析版)

九年级数学下册解法技巧思维培优

专题08 二次函数与面积

【典例1】（2019•海州区二模）如图，一次函数y ＝x +3与坐标轴交于A 、C 两点，过A 、C 两点的抛物线y ＝ax 2﹣2x +c 与x 轴交于另一点B 抛物线顶点为E ，连接AE ．

（1）求该抛物线的函数表达式及顶点E 坐标；

（2）点P 是线段AE 上的一动点，过点P 作PF 平行于y 轴交AC 于点F ，连接EF ，求△PEF 面积的最大值及此时点P 的坐标；

（3）若点M 为坐标轴上一点，点N 为平面内任意一点，是否存在这样的点，使A 、E 、M 、N 为顶点的四边形是以AE 为对角线的矩形？如果存在，请直接写出N 点坐标；若不存在，请说明理由． 【点拨】（1）一次函数y ＝x +3与坐标轴交于A 、C 两点，则点A 、C 的坐标为（﹣3，0）、（0，3），将点A 、C 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（2）S △PEF =1

2

PF ×（x E ﹣x ）=

12×（2x +6﹣x ﹣3）（﹣1﹣x ）=−12

（x +3）（x +1），即可求解； （3）分点M （m ，0）在x 轴上、点M 在y 轴上两种情况分别求解．

【解析】解：（1）一次函数y ＝x +3与坐标轴交于A 、C 两点，则点A 、C 的坐标为（﹣3，0）、（0，3）， 将点A 、C 的坐标代入二次函数表达式得：{0=9a +6+c c =3，解得：{a =−1

c =3，

故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2﹣2x +3，

顶点E （﹣1，4）；

（2）将点A 、E 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线AE 的表达式为：y ＝2x +6， 设点P （x ，2x +6），则点F （x ，x +3），

S △PEF =1

2

PF ×（x E ﹣x ）=

12×（2x +6﹣x ﹣3）（﹣1﹣x ）=−12

（x +3）（x +1）， 当x ＝﹣2时，S △PEF 有最大值为12

， 此时点P （﹣2，2）；

（3）点A 、E 的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣1，4），AE 2＝20， ①当点M （m ，0）在x 轴上时， 设点N （s ，t ），

则AE ＝MN ，且AE 中点坐标为MN 中点坐标， 即：{m +s =−4

t =4(m −s)2+t 2=20，解得：{t =4s =−1或−3m =−3或−1，

故点N （﹣3，4）； ②当点M 在y 轴上时，

同理可得：点N （﹣4，3）或（﹣4，1）；

综上，点N 坐标为：N （﹣3，4）或（﹣4，3）或（﹣4，1）．

【典例2】（2019•望花区四模）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3与x 轴交于A （1，0）、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴为直线x ＝2，交抛物线于点D ，交x 轴于点E ． （1）请直接写出：抛物线的函数解析式及点B 、点D 的坐标；

（2）抛物线对称轴上的一动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度向上运动，连接OP，BP，设运动时间为t秒（t＞0）．在点P的运动过程中，请求出：当t为何值时，∠OPB＝90°？

（3）如图2，点Q在抛物线上运动（点Q不与点A、B重合），当△QBC的面积与△ABC的面积相等时，请求出点Q的坐标．

【点拨】（1）抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（1，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，则点B（3，0），即可求解；

（2）t秒时，点P（2，1+t），则OP2＝4+（1+t）2，BP2＝1+（1+t）2，AB2＝9，即可求解；

（3）则AG=√2

2AB=√2=KH，则KC＝2，故点K（﹣1，0），则直线AQ的函数表达式为：y＝x﹣1，

即可求解．

【解析】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（1，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，则点B（3，0），

抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），

即3a＝﹣3，解得：a＝﹣1，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3…①，

函数的对称轴为：x＝2，则点D（2，1）；

（2）t秒时，点P（2，1+t），

则OP 2＝4+（1+t ）2，BP 2＝1+（1+t ）2，OB 2＝9， ∵∠OPB ＝90°，则4+（1+t ）2+1+（1+t ）2＝9， 解得：t ＝﹣1+√2（负值已舍去）；

（3）如下图，过点A 作BC 的平行线交抛物线于点Q 、交y 轴于点K ，

则△QBC 的面积与△ABC 的面积相等，

过点A 作AG ⊥BC 于点G ，过点K 作KH ⊥BC 于点H ，则AG ＝KH ，

直线BC 的倾斜角为45°，则AG =√2

2AB =√2=KH ， 则KC ＝2，故点K （0，﹣1），

则直线AQ 的函数表达式为：y ＝x ﹣1…②， 联立①②并解得：x ＝1或2（舍去1）， 故点Q （2，1）；

在BC 的下方与AQ 等距离位置作BC 的抛物线交抛物线于点Q ′、Q ″， 同理可得直线Q ′Q ″的表达式为：y ＝x ﹣5…③，

联立①③并解得：x =

3±√17

2

， 故点Q （Q ′、Q ″）的坐标为：（3−√172

，−7−√17

2

）、（3+√172

、−7+√17

2

）；

综上，点Q 的坐标为：（2，1）或（

3−√172，−7−√172）或（3+√172、−7+√17

2

）． 【典例3】（2019•振兴区校级二模）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C 点，D 为抛物线的顶点，A （﹣1，0），B （3，0）． （1）求出二次函数的表达式．

（2）点P 在x 轴上，且∠PCB ＝∠CBD ，求点P 的坐标．

（3）在x 轴上方抛物线上是否存在一点Q ，使得以Q ，C ，B ，O 为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

【点拨】（1）将点A 、B 坐标代入解析式求出b 、c 的值即可得；

（2）∠PCB ＝∠CBD 有两种情况，①P 在B 的左侧时，此时PC ∥BD ，根据一次函数解析式即可求出P ；②P 在B 的左侧时，由∠OCB ＝∠OBC ＝45°，可证明∠OPC ＝∠OHB ，从而△OPC ≌△OHB ，由直线BD 即可求得：OH ＝OP ＝6，从而得到P 点坐标；

（3）分点Q 在y 轴右侧、点Q 在y 轴左侧两种情况分别求解．

【解析】解：（1）函数的表达式为：y ＝﹣（x +1）（x ﹣3）＝﹣x 2+2x +3…①； （2）①当点P 在点B 右侧时，