静态最优化与比较静态分析

• 3.应用 应用MATLAB函数解约束静态最优化问题 应用 函数解约束静态最优化问题 • 有约束的静态最优化问题可以用MATLAB函数fmincon求 解，其调用方式如下： • x = fmincon(fun,x0,A,b) • x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) • x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) • x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) • x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) • [x,fval] = fmincon(...) • [x,fval,exitflag] = fmincon(...) • [x,fval,exitflag,output] = fmincon(...) • [x,fval,exitflag,output,lambda] = fmincon(...) • [x,fval,exitflag,output,lambda,grad] = fmincon(...) • [x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]= fmincon(...)
* i
∂w1 ∂w2 ∂p
,
* i
,
* i
i = 1,2
• 将最优解代入一阶条件得到恒等式
p ∂f * * ( x1 ( w1 , w2 , p ), x2 ( w1 , w2 , p )) − w1 ≡ 0 ∂x1
∂f * * ( x1 ( w1 , w2 , p ), x2 ( w1 , w2 , p)) − w2 ≡ 0 ∂x2
9.3 应用MATLAB解利润最大化问题 及比较静态分析
• 1. 利润最大化问题的解 • 利润最大化问题为： 利润最大化问题为：
( x1 , x 2 )
max π = pf ( x1 , x2 ) − w1 x1 − w2 x2
最优解满足一阶必要条件：
∂π ∂f =p − w1 = 0 ∂x1 ∂x1
* 1
* 2
∂L = M − p1 x1 − p2 x2 = 0 ∂λ
* 1
* 2 1
* 2 1
* 2
∂M
∂p1
2
• 经推导得到：
* ∂x1 ∂M * U11 U12 ∂x2 = U 21 U 22 ∂M ∂λ* − p1 − p2 ∂M
s.t. x1 ≤ 400
x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0
• 经整理问题化为：
max x
1/ 2 1
+x
1/ 2 2
+x
1/ 2 3
+x
1/ 2 4
s.t. x1 ≤ 400
1.1x1 + x2 ≤ 440
1.21x1 + 1.1x2 + x3 ≤ 484
1.331x1 + 1.21x2 + 1.1x3 + x4 ≤ 532.4
L = U ( x1 , x2 ) + λ ( M − p1 x1 − p2 x2 )
• 一阶条件为
∂L ∂U = − λp1 = 0 ∂x1 ∂x1 ∂L ∂U = − λ p2 = 0 ∂x2 ∂x2
• 比较静态分析：分析计划约束中常数M和消 费品价格、的变化对最优消费策略的影响， 这需要求 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x • ∂M 、 ∂x 、 、∂p 、∂p 和 ∂p 。
9.5应用MATLAB解效用最大化问题 及比较静态分析
• 设消费者消费两种产品的效用函数为 U ( x1, x2 ) 效用最大化问题是：在收入可用于消费的 计划约束下，求最优消费策略，使效用最 大。即 max U ( x1 , x2 )
x1 , x 2
s.t. p1 x1 + p2 x2 = M
引进Lagrange函数
• 解得
* ∂x1 ∂w f 2 * = p −1 11 ∂x2 f 21 ∂w 2
f12 0 f 22 1
−1
• 类似地有
* ∂x1 ∂w f 2 * = p −1 11 ∂x2 f 21 ∂w 2
∂π ∂f =p − w2 = 0 ∂x2 ∂x2
解这个方程组得到最优解：
* * x1 = x1 ( w1 , w2 , p)
* * x2 = x2 ( w1 , w2 , p)
• 2. 利润最大化问题的比较静态分析 • 利润最大化问题的比较静态分析是分析已 给的条件 w1, w2 , p 变化时对于最优解的影响， 即求 ∂x ∂x ∂x
• 定义拉格朗日函数
L = f ( x1 ,L, xn ) + λg ( x1 ,L, xn )
• 必要条件为
∂L ∂f ∂g = +λ =0 ∂x1 ∂x1 ∂x1
M
M
∂L ∂f ∂g = +λ =0 ∂xn ∂xn ∂xn = 0
∂L = g ( x1 ,L, xn ) = 0 ∂λ
• 由此可以导出
f12 0 f 22 1
−1
恒等式（9-9）、（9-10）关于 p 求偏导数得到
f p 11 f 21
它的解为
* ∂x1 ∂p f * = p −1 11 ∂x2 f 21 ∂p −1
* ∂x1 ∂f − f12 ∂p ∂x1 ∂x* = ∂f f 22 2 − ∂p ∂x2
∂f − f12 ∂x1 f 22 − ∂f ∂x2
9.4 约束静态最优化问题
• 1．有等式约束的静态最优化问题 ． • 有等式约束的静态最优化问题的一般形式 是：
x1 ,L, x n
min y = f ( x1 ,L, xn )
s.t.g ( x1 ,L, xn ) = 0
• 采用简单调用格式x = fmincon(fun,x0,A,b) 时，x0是估计的初始值，fun给出被最小化 的函数，A和b给出线性的约束条件，输出x 显示最优解。 • 采用格式 [x,fval,exitflag,output,lambda] =fmincon(...)时，fval给出最小值，exitflag 描述退出的条件，output给出最优化的有关 信息。Lambda给出解x处的Lagrange乘子。 其他输入、输出变量的说明可以通过 MATLAB Help查阅。
− p1 − p2 0
−1
0 0 − 1
* ∂x1 ∂p 1 * U11 U12 ∂x2 = U ∂p 21 U 22 1 − p1 − p2 ∂λ* ∂p1 * ∂x1 ∂p 2 * U11 U12 ∂x2 = U ∂p 21 U 22 2 − p1 − p2 ∂λ* ∂p2
p
• 这两个恒等式关于 w1 求偏导数，得到
* * ∂x1 ∂x2 pf11 + pf12 =1 ∂w1 ∂w1
* * ∂x1 ∂x2 pf 21 + pf 22 =0 ∂w1 ∂w1
• 写成矩阵形式为
f11 p f 21
* ∂x1 f12 ∂w1 1 ∂x* = 0 f 22 2 ∂w 1
第9章 静态最优化与比较静态 分析
在经济学和管理科学中常常遇到一些 经济体（例如家庭或厂商）试图在一 些约束条件下，使某个目标函数（描 述效用或利润）最大或最小的问题,这 些问题可以表示为静态最优化问题。
9.1经济学与管理科学中的静态最优 化问题
• 1. 利润最大化问题 • 设某公司生产一种产品，生产函数为 设某公司生产一种产品， y = f ( x1 , x2 ) • 产品的价格为 p ，投入要素 xi 的价格 wi 为，则 公司的利润为 π = pf ( x1 , x2 ) − w1 x1 − w2 x2 • 利润最大化问题为：求最优的投入要素组合使公 利润最大化问题为： 司的利润最大， 司的利润最大，即 max π = pf ( x1 , x2 ) − w1 x1 − w2 x2 • （9-1） ） (x ,x ) • 这是一个无约束静态最优化问题。 这是一个无约束静态最优化问题。
* 1 * 2 * n
∂f ∂x = 0 1 M ∂f = 0 ∂xn
• 2.应用 应用MATLAB函数求解无约束静态最优 应用 函数求解无约束静态最优 化问题 • 解无约束静态最优化问题的MATLAB函数 有fminbnd和fminsearch。 • 函数fminbnd的调用格式为： • x = fminbnd(fun,x1,x2) • [x,fval] = fminbnd(...) • 其中Fun给出被最小化的函数，x1、x2给出 变量设定的区间的上、下界，fval给出被最 小化函数的最小值。
1/ 2 i
1 1 max x1 / 2 + x1 / 2 + x3 / 2 + x1 / 2 2 4
x2 ≤ (400 − x1 )(1 + 0.1)
x3 ≤ [( 400 − x1 )(1 + 0.1) − x2 ](1 + 0.1) x4 ≤ {[(400 − x1 )(1 + 0.1) − x2 ](1 + 0.1) − x3}(1 + 0.1)
1 2
s.t. p1 x1 + p2 x2 = M
• 这是一个有等式约束的静态最优化问题。
• 3.资金使用问题 资金使用问题 • 设某部门有资金400万元供4年内使用，若 在第i年使用资金 xi 万元，可得到效益 x 万 元，当年不用的资金可存入银行利率为 10%,设计一个最优资金使用规划使得4年效 益的总和最大。这一问题是：