圆锥曲线综合题向量PPT
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( AP BP ) ( AQ BQ ) ( R, 1), 设AP、BP、 AQ、BQ的 斜 率 分 别 为 k1 , k 2 , k3 , k4 .
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求证： k1k2 k3k4且k1 k2 k3 k4 0;
( x1 , y1 )、 [解析] (1) 设 点P、Q的 坐 标 分 别 为 x y ( x 2 , y 2 ), 则 1, a b 2 2 x2 y2 2 1, 2 a b
2 2 2
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由OA OB ( x1 x 2 , y1 y2 ), a ( 3,1), OA OB与a共 线, 得 3( y1 y2 ) ( x1 x2 ) 0, 又y1 x1 c , y2 x 2 c , 3( x1 x2 2c ) ( x1 x 2 ) 0, 3 2a c 3c 2 2 x1 x 2 c , 即 2 , a 3 b . 2 2 a b 2 6a c 6 c a b ,故 离 心 率 e . 3 a 3
2 2 4
a a a c 2 2 2 即(b 2 ) x 2 2 cx ( 2 a b ) 0, b b b 4 2 a c 2 2 ( 2 a b ) b x1 x 2 0, 4 a 2 b 2 b 4 4 b a .
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4 2
即b a , c a a .
a ab P ( , ). OA 、 OB 、 OF 成 等 比 数 列 , c c 2 a ab A( ,0). PA (0, ). c c
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a ab OP ( , ), c c 2 b ab FP ( , ), c c
2
ab ab PA OP 2 , PA FP 2 . c c PA OP PA FP .
2 2 2
利用向量的运算性质，特别是向量垂直、相 等、共线等，研究圆锥曲线的几何性质。
[例3] (05年高考题)已知双曲线C：
x y 2 1(a 0, b 0), B是右顶点, F是 2 a b 右焦点, 点A在x轴正半轴上, 且满足 OA、 OB 、 OF 成等比数列, 过F作双曲线C在第 一、三象限的渐近线的 垂线l , 垂足为P. (1)求证 : PA OP PA FP;
2 2
( 2) 若l与 双 曲 线 C的 左 、 右两支分别相 交于点 D、E , 求 双 曲 线 C的 离 心 率 e的 取 值 范 围. a [解析] (1) l： y ( x c) b a y ( x c) b , 解 得: y b x a
2 2 2 2 2
e 2. 即e 2 .x y 1(a b 0) 2 2 a b 2 2 x y 和 双 曲 线 2 2 1的 公 共 顶 点 , P、Q分 别 为 a b 双曲线和椭圆上不同两 于 点A、 B的 动 点 ,且有
HP PM (a,3) (a,b) a 3b 0, 3 2 a 3b, 设M ( x, y ), PM MQ. 2 3 b a 1 2 2 x 2 a , y 3b, y x . 3 3 4 1 1 2 2
2
体现了向量的工具性，以向量 为题目的背景，求轨迹的方程。题 目仍然可以进一步研究曲线的几何 性质。
2 1 2 2 1 2
a 2 2 a 2 2 即x a 2 y1 , x 2 a 2 y2 . b b y1 y1 k1 , k2 , x1 a x1 a 2 2 2 y1 y1 b k1 k 2 2 2 2, 2 a 2 a x1 a y1 2 b 2 b 同理可得： k 3 k4 2 , a
2 1 2
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于 是k1k 2 k 3 k4 , y1 y1 2 x1 y1 2b x1 k1 k 2 2 2 , 2 x1 a x1 a x1 a a y1 2b 2 x 2 同 利 可 得: x 3 x4 2 . a y2 设O为 原 点 ,则 AP BP 2OP , AQ BQ 2OQ,
ab ab PA OP 2 , PA FP 2 . c c PA OP PA FP .
a y ( x c) ( 2) b b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 a 2 2 2 b x 2 ( x c) a b . b
练习（2006年高考题）
D
B
[例2]
已知椭圆的中心为坐标 原点O, 焦点 在x轴上, 斜率为1且过椭圆右焦点F的直线 交椭圆于A、B两点, OA OB 与 a (3,1) 共线. 求椭圆的离心率；
x y [解析] 设 椭 圆 方 程 为 2 2 1(a b 0), a b F (c ,0), 则 直 线 AB的 方 程 为 y x c, 代 入 x y 2 1, 化 简 得: 2 a b 2 2 2 2 2 2 2 2 (a b ) x 2a cx a c a b 0. 2a c 令A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), 则x1 x 2 2 , 2 a b 2 2 2 2 a c a b x1 x 2 . 2 2 a b
圆锥曲线综合题
（向量的应用）
[例1] 已知点H (0,3),点P在x轴上, 点Q 在y轴正半轴上, 点M在直线PQ上, 且满足 3 HP PM 0, PM MQ. 2 当点P在x轴上移动时, 求动点M的 轨迹曲线C的方程.
[解析] (1) 设P (a,0), Q (0, b),则
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求证： k1k2 k3k4且k1 k2 k3 k4 0;
( x1 , y1 )、 [解析] (1) 设 点P、Q的 坐 标 分 别 为 x y ( x 2 , y 2 ), 则 1, a b 2 2 x2 y2 2 1, 2 a b
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由OA OB ( x1 x 2 , y1 y2 ), a ( 3,1), OA OB与a共 线, 得 3( y1 y2 ) ( x1 x2 ) 0, 又y1 x1 c , y2 x 2 c , 3( x1 x2 2c ) ( x1 x 2 ) 0, 3 2a c 3c 2 2 x1 x 2 c , 即 2 , a 3 b . 2 2 a b 2 6a c 6 c a b ,故 离 心 率 e . 3 a 3
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a a a c 2 2 2 即(b 2 ) x 2 2 cx ( 2 a b ) 0, b b b 4 2 a c 2 2 ( 2 a b ) b x1 x 2 0, 4 a 2 b 2 b 4 4 b a .
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即b a , c a a .
a ab P ( , ). OA 、 OB 、 OF 成 等 比 数 列 , c c 2 a ab A( ,0). PA (0, ). c c
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a ab OP ( , ), c c 2 b ab FP ( , ), c c
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ab ab PA OP 2 , PA FP 2 . c c PA OP PA FP .
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利用向量的运算性质，特别是向量垂直、相 等、共线等，研究圆锥曲线的几何性质。
[例3] (05年高考题)已知双曲线C：
x y 2 1(a 0, b 0), B是右顶点, F是 2 a b 右焦点, 点A在x轴正半轴上, 且满足 OA、 OB 、 OF 成等比数列, 过F作双曲线C在第 一、三象限的渐近线的 垂线l , 垂足为P. (1)求证 : PA OP PA FP;
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( 2) 若l与 双 曲 线 C的 左 、 右两支分别相 交于点 D、E , 求 双 曲 线 C的 离 心 率 e的 取 值 范 围. a [解析] (1) l： y ( x c) b a y ( x c) b , 解 得: y b x a
2 2 2 2 2
e 2. 即e 2 .x y 1(a b 0) 2 2 a b 2 2 x y 和 双 曲 线 2 2 1的 公 共 顶 点 , P、Q分 别 为 a b 双曲线和椭圆上不同两 于 点A、 B的 动 点 ,且有
HP PM (a,3) (a,b) a 3b 0, 3 2 a 3b, 设M ( x, y ), PM MQ. 2 3 b a 1 2 2 x 2 a , y 3b, y x . 3 3 4 1 1 2 2
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体现了向量的工具性，以向量 为题目的背景，求轨迹的方程。题 目仍然可以进一步研究曲线的几何 性质。
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a 2 2 a 2 2 即x a 2 y1 , x 2 a 2 y2 . b b y1 y1 k1 , k2 , x1 a x1 a 2 2 2 y1 y1 b k1 k 2 2 2 2, 2 a 2 a x1 a y1 2 b 2 b 同理可得： k 3 k4 2 , a
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于 是k1k 2 k 3 k4 , y1 y1 2 x1 y1 2b x1 k1 k 2 2 2 , 2 x1 a x1 a x1 a a y1 2b 2 x 2 同 利 可 得: x 3 x4 2 . a y2 设O为 原 点 ,则 AP BP 2OP , AQ BQ 2OQ,
ab ab PA OP 2 , PA FP 2 . c c PA OP PA FP .
a y ( x c) ( 2) b b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 a 2 2 2 b x 2 ( x c) a b . b
练习（2006年高考题）
D
B
[例2]
已知椭圆的中心为坐标 原点O, 焦点 在x轴上, 斜率为1且过椭圆右焦点F的直线 交椭圆于A、B两点, OA OB 与 a (3,1) 共线. 求椭圆的离心率；
x y [解析] 设 椭 圆 方 程 为 2 2 1(a b 0), a b F (c ,0), 则 直 线 AB的 方 程 为 y x c, 代 入 x y 2 1, 化 简 得: 2 a b 2 2 2 2 2 2 2 2 (a b ) x 2a cx a c a b 0. 2a c 令A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), 则x1 x 2 2 , 2 a b 2 2 2 2 a c a b x1 x 2 . 2 2 a b
圆锥曲线综合题
（向量的应用）
[例1] 已知点H (0,3),点P在x轴上, 点Q 在y轴正半轴上, 点M在直线PQ上, 且满足 3 HP PM 0, PM MQ. 2 当点P在x轴上移动时, 求动点M的 轨迹曲线C的方程.
[解析] (1) 设P (a,0), Q (0, b),则