13.1 命题、定理与证明 第2课时 定理与证明 【八年级上册数学(华东师大版)】
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华东师大版八年级上册数学课件13.1命题、定理与证明2.定理与证明
灿若寒星
13.1.2 定理与证明
探究问题二 证明文字叙述的真命题 例 2 求证：两条平行线被第三条直线所截，内错角的 平分线互相平行． 解：已知：如图 13－1－6 所示，AB∥CD，直线 BC 截 AB，CD 于 B，C 两点，BE 平分∠ABC，CF 平分∠BCD. 求证：BE∥CF.
图 13－1－6
∴∠3＝∠__1__(_两_ 直线平行，同位角相等__)．
∵∠3＝∠__2_(__ 对顶角相等
__)，
∴∠1＝∠2(__ 等量代换
__)．
你能体会到推理是怎么进行的吗？
◆知识链接——[新知梳理]知识点二
灿若寒星
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3.1.2 定理与证明
新知梳理
► 知识点一 定理 数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发， 用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一 步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理． ► 知识点二 证明 根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来 判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．
2．命题“直角都相等”的条件是__两个角都是直_角_，结
论是_ 这两个角相等
___．
3．“互补的两个角一定是一个锐角和一个钝角”是
_假_ 命题，可举出反例：__直角的补角仍是直角__．
灿若寒星
13.1.2 定理与证明
活动2 教材导学 1．认识定理
图 13－1－3 完成下面填空，想想这些依据有什么共同点？ 将一副直角三角板如图 13－1－3 放置．若 AE∥BC， 求∠AFD 的度数．在下面解答过程后面的括号里填写上根 据．
灿若寒星
13.1.2 定理与证明
证明：因为 AB∥CD，所以∠ABC＝∠BCD. 又因为 BE 平分∠ABC， 所以∠1＝12∠ABC.同理，∠2＝12∠BCD， 所以∠1＝∠2，所以 BE∥CF. [归纳总结] 证明文字叙述的真命题的一般步骤：(1)分清 条件和结论；(2)画出图形；(3)根据条件写出已知，根据结论 写出求证；(4)证明．
13.1.2 定理与证明
探究问题二 证明文字叙述的真命题 例 2 求证：两条平行线被第三条直线所截，内错角的 平分线互相平行． 解：已知：如图 13－1－6 所示，AB∥CD，直线 BC 截 AB，CD 于 B，C 两点，BE 平分∠ABC，CF 平分∠BCD. 求证：BE∥CF.
图 13－1－6
∴∠3＝∠__1__(_两_ 直线平行，同位角相等__)．
∵∠3＝∠__2_(__ 对顶角相等
__)，
∴∠1＝∠2(__ 等量代换
__)．
你能体会到推理是怎么进行的吗？
◆知识链接——[新知梳理]知识点二
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3.1.2 定理与证明
新知梳理
► 知识点一 定理 数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发， 用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一 步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理． ► 知识点二 证明 根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来 判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．
2．命题“直角都相等”的条件是__两个角都是直_角_，结
论是_ 这两个角相等
___．
3．“互补的两个角一定是一个锐角和一个钝角”是
_假_ 命题，可举出反例：__直角的补角仍是直角__．
灿若寒星
13.1.2 定理与证明
活动2 教材导学 1．认识定理
图 13－1－3 完成下面填空，想想这些依据有什么共同点？ 将一副直角三角板如图 13－1－3 放置．若 AE∥BC， 求∠AFD 的度数．在下面解答过程后面的括号里填写上根 据．
灿若寒星
13.1.2 定理与证明
证明：因为 AB∥CD，所以∠ABC＝∠BCD. 又因为 BE 平分∠ABC， 所以∠1＝12∠ABC.同理，∠2＝12∠BCD， 所以∠1＝∠2，所以 BE∥CF. [归纳总结] 证明文字叙述的真命题的一般步骤：(1)分清 条件和结论；(2)画出图形；(3)根据条件写出已知，根据结论 写出求证；(4)证明．
八年级数学上册 第13章 全等三角形 13.1 命题、定理与证明 第2课时 定理与证明课件 (新版)华东师大版
定理也可以作为判断其他命题真假的依据， 由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.
例如，“三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和”称为“三角形内角和定理的推 论”，也可称为“三角形外角定理”.
练习
• 1、把下列定理改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题 设和结论，并用逻辑推理的方法证明题（1）：
公理与定理
数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结
出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，
这样的真命题叫做公理。
有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的 方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他
命题真假的依据，这样的真命题叫做定理
公理 “全等三角形的对应角、对应边分别相等”
• （1）两平行直线被第三条直线所截，内错角相等。 • （2）平行四边形的对角相等。 • （3）菱形的对角线互相垂直。
编后语
折叠课件作用 ①向学习者提示的各种教学信息; ②用于对学习过程进行诊断、评价、处方和学习引导的各种信息和信息处理; ③为了提高学习积极性，制造学习动机，用于强化学习刺激的学习评价信息; ④用于更新学习数据、实现学习过程控制的教学策略和学习过程的控制方法。 对于课件理论、技术上都刚起步的老师来说，POWERPOINT是个最佳的选择。因为操作上非常简单，大部分人半天就可以基本掌握。所以，就可以花
例如，命题“同角的补角相等”通过推理可以判 断出它是真命题.
由于∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°， 所以∠2=180°-∠1，∠3=180°相等.
要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子 （反例），它符合命题的条件，但不满足命题的结 论，从而就可判断这个命题为假命题.
例如，“三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和”称为“三角形内角和定理的推 论”，也可称为“三角形外角定理”.
练习
• 1、把下列定理改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题 设和结论，并用逻辑推理的方法证明题（1）：
公理与定理
数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结
出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，
这样的真命题叫做公理。
有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的 方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他
命题真假的依据，这样的真命题叫做定理
公理 “全等三角形的对应角、对应边分别相等”
• （1）两平行直线被第三条直线所截，内错角相等。 • （2）平行四边形的对角相等。 • （3）菱形的对角线互相垂直。
编后语
折叠课件作用 ①向学习者提示的各种教学信息; ②用于对学习过程进行诊断、评价、处方和学习引导的各种信息和信息处理; ③为了提高学习积极性，制造学习动机，用于强化学习刺激的学习评价信息; ④用于更新学习数据、实现学习过程控制的教学策略和学习过程的控制方法。 对于课件理论、技术上都刚起步的老师来说，POWERPOINT是个最佳的选择。因为操作上非常简单，大部分人半天就可以基本掌握。所以，就可以花
例如，命题“同角的补角相等”通过推理可以判 断出它是真命题.
由于∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°， 所以∠2=180°-∠1，∠3=180°相等.
要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子 （反例），它符合命题的条件，但不满足命题的结 论，从而就可判断这个命题为假命题.
华师版八年级数学上册 13.1.2 定理与证明
课程讲授
1 基本事实与定理
基本事实、定理、命题的关系：
命题
真命题 假命题
基本事实（正确性由实践总结） 定理（正确性通过推理证实）
课程讲授
2 命题的证明
证明几何命题的一般步骤： 1.明确命题中的__已__知__和_求__证___； 2.根据题意，_画__出__图__形__，并用数学符号表示已知和 求证； 3.经过分析，找出由已知推出_要__证__的__结__论_的途径， 写出证明过程.
可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑 推理的方法判断它们是正确的，可以作为进一步 判断其他命题真假的依据的真命题叫三角形
13.1 命题、定理与证明
13.1.2 定理与证明
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.基本事实与定理 2.命题的证明
新知导入
试一试：根据所学知识，完成下列内容.
下列哪些命题是真命题﹖ 1.两点确定一条直线; 2.两点之间，线段最短; 3.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; 4.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
课程讲授
1 基本事实与定理
定义： 数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命
题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且 可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真 命题叫做定理.
比如:“内错角相等,两直线平行”这条定理就是在“同 位角相等,两直线平行”这条公理的基础上推理而出的, 它又可以作为判定平行线的依据.
课程讲授
2 命题的证明
例 证明命题：直角三角形的两个锐角互余.
A
已知：如图，在△ABC中，∠C=90°.
求证：∠A+∠B=90°.
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角
华东师大版八年级上册数学课件13.1命题、定理与证明2.定理与证明精品课件
二、基本事实、定理
基本事实：数学中有些命题的正确性是人们在长期实
践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的 原始依据，这样的真命题叫做基本事实.
直线截两条平行直线所得的同位角相等；
2、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等， 那么这两条直线平行； 3、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线 平行．
添加“如果”、“那么”后，命题的意义 不能改变，改写的句子要完整，语句 要通顺，使命题的题设和结论更明朗， 易于分辨，改写过程中，要适当增加 词语，切不可生搬硬套。
要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理 的方法加以论证；而要判断一个命题是假命 题，只要举出一个例子，说明该命题不成立， 即只要举出一个符合该命题题设而不符合该 命题结论的例子就可以了．在数学中，这种 方法称为“举反例”．例如，要证明命题 “一个锐角与一个钝角的和等于一个平角” 是假命题，只需举出一个反例“某一锐角与 某一钝角的和不是180°”即可．
定理：
数学中有些命题可以从基本事实或其他真命题出发， 如何证明？见P66 用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进 一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题 叫做定理。
例如：
三角形的内角和等于180°可以证明得到：
直角三角形的两个锐角互余。 真命题分类： 基本事实：是人们实践活动中总结出来的 定理：是通过证明得到的
练习 1.把下列定理改写成“如果……，那么……”的形式， 指出它的题设和结论，并用逻辑推理的方法证明 题（1）： （1）同旁内角互补，两直线平行；
如果两直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两 直线平行。
（2）三角形的外角和等于360°． 2.判断命题“内错角相等”是真命题还是假命题， 并说明理由．
八年级数学上册 13.1 命题、定理与证明 13.1.2 定理与证明教案 (新版)华东师大版
说明：老师和学生一起，写出已知，求证，然后画出图形，再用已经学过的定理进行证明．
1.要求学生注意定理也是命题注意它的两个组成部分：条件和结论．
2．能证明一个较简单的命题是真命题.
【拓展提升】
[厦门中考]A，B，C，D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权．比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队(有且只有两个队)出线．小组赛结束后，如果A队没有全胜，那么A队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由．
例如图13－1－，有下列三个条件：
图13－1－
①DE∥BC：②∠1＝∠2；③∠B＝∠C.
(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题，请你都写出来；
(2)请你就其中的一个真命题给出推理过程．
解：(1)一共能组成2个命题，它们是：题设：①②，结论：③；题设：①③，结论：②；
②[讲授效果反思]
A．重点□B．难点□C．易错点□
举反例说明一个命题是假命题是一个难点，教学时要帮助学困生，关注他们在这方面的不足．证明过程的书写是一个较为长期的训练过程，不期望一节课上学生就能很好地掌握．
③[师生互动反思]
学生根据定理的内容画出相应的图形会有较大的困难，师生共同完成．
④[习题反思]
教学
重点
对数学基本事实、定理的理解．
教学
难点
证明一个命题是真命题的一般方法．
授课
类型
新授课
课时
第一课时
教具
多媒体课件
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
问题1请同学们判断下列命题哪些是真命题？哪些是假命题？
1.要求学生注意定理也是命题注意它的两个组成部分：条件和结论．
2．能证明一个较简单的命题是真命题.
【拓展提升】
[厦门中考]A，B，C，D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权．比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队(有且只有两个队)出线．小组赛结束后，如果A队没有全胜，那么A队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由．
例如图13－1－，有下列三个条件：
图13－1－
①DE∥BC：②∠1＝∠2；③∠B＝∠C.
(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题，请你都写出来；
(2)请你就其中的一个真命题给出推理过程．
解：(1)一共能组成2个命题，它们是：题设：①②，结论：③；题设：①③，结论：②；
②[讲授效果反思]
A．重点□B．难点□C．易错点□
举反例说明一个命题是假命题是一个难点，教学时要帮助学困生，关注他们在这方面的不足．证明过程的书写是一个较为长期的训练过程，不期望一节课上学生就能很好地掌握．
③[师生互动反思]
学生根据定理的内容画出相应的图形会有较大的困难，师生共同完成．
④[习题反思]
教学
重点
对数学基本事实、定理的理解．
教学
难点
证明一个命题是真命题的一般方法．
授课
类型
新授课
课时
第一课时
教具
多媒体课件
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
问题1请同学们判断下列命题哪些是真命题？哪些是假命题？
华东师大版数学八年级上册1命题、定理与证明(2课时20张)
练习：将下列命题改写成“如果…那么…”
的情势，然后指出这个命题的题设和结论。
（1）同角的补角相等。 （2）两直线平行，同位角相等。 （3）在同一平面内，同垂直于第三条
直线的两直线平行。
分析命题“不相等的两个角不可能是对顶角” 条件： 两个角不相等
结论： 这两个角不可能是对顶角
改写成“如果……，那么……”的情势： 如果两个角不相等， 那么这两个角不可能是对顶角。
华师版八年级上学期 第13章 《全等三角形》
1.1—1.2
命题、定理与证明
概念学习：
1、能清楚地规定某一名称或术语的意义 的句子叫做定义。
2、对某一件事情作出正确或不正确的 判断的句子叫做命题。
3、命题由条件和结论两部分组成。
4、命题可以写成“如果...那么...”的情势， 在如果后写条件，在那么后写结论。
5、命题是陈说句。
概念学习：
公理
综合法
真命题
命
定理 证 明
分析法
题
反证法
假命题
证 明
举反例
反例：具有命题条件，但不具有命题结论的例子。
概念学习：
推理方向是从已知到求证的思考方法 叫做综合法.
推理方向是从求证到已知的思考方法 叫做分析法.
先假设命题不成立，从这样的假设出发， 经过推理得出和已知条件矛盾，或者与 定义、公理、定理等矛盾，从而得出假 设不成立是错误的，即所求证命题正确， 这样的思考方法叫做反证法。
A
D
证法二：
1
如图，连接BC. B
2
C
∵在△ABC中, ∠BAC +∠ABC +∠ACB ＝180º
在△BDC中, ∠BDC+∠1+∠2＝180º
华师大版八年级上册1命题、定理与证明课件
∵ DF 平分∠ CDO，BE 平分∠ ABO(已知)，
∴∠ 1= 1 ∠ CDO，∠ 2= 1 ∠ ABO(_角__平__分__线__的__定__义_ ).
2
2
∴∠ 1= ∠ 2(等量代换).
解题秘方：根据上一步的因为条件填写下一步的根据.
感悟新知
4-1. 如图, 已知： 点A,B,C 在同一条直线上.
感悟新知
知1－练
解：条件：两个角互为补角；结论：这两个角相等. 假命题. 条件：a=b；结论：a+c=b+c. 真命题. 条件：两个长方形的周长相等；结论：这两个长方
形的面积相等. 假命题.
感悟新知
知1－练
2-1. 下列命题是真命题的是( A ) A. 如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角 B. 如果a2=b2, 那么a=b C. 两个互补的角一定是邻补角 D. 如果两个角是同位角,那么这两个角一定相等
知2－练
感悟新知
知识点 3 命题证明的一般步骤
知3－讲
1. 证明 根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎 推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做 证明.
感悟新知
知3－讲
2. 命题证明的一般步骤 第一步：分清命题的条件和结论，若命题与图形有关，则
根据题意，画出图形，并在图形上标出相关的字母和符号； 第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证； 第三步：视察图形，分析证明思路，找出证明方法； 第四步：写出证明的过程，并注明根据.
结论不成立，像这样的命题，称为假命题.
感悟新知
知1－练
例 1 把下列命题改写成“如果……，那么……”的情势： 对顶角相等； 平行于同一条直线的两条直线平行； 同角或等角的余角相等. 解题秘方：紧扣命题的结构情势进行改写.
八年级数学上册 13.1 命题、定理与证明 第2课时 定理与证明教案 (新版)华东师大版
13.1 命题、定理与证明第二课时定理与证明教学目标1.知识与技能：了解命题、公理、定理的含义；理解证明的必要性.2.过程与方法：结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识.3.情感、态度与价值观：初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值.重点与难点1.重点：知道什么是公理，什么是定理2.难点：理解证明的必要性.教学过程一、复习引入教师讲解：前一节课我们讲过，要证明一个命题是假命题，只要举出一个反例就行了.这节课，我们将探究怎样证明一个命题是真命题.二、探究新知（一）公理教师讲解：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.我们已经知道下列命题是真命题：两点确定一条直线；两点之间、线段最短；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.在本书中我们将这些真命题均作为公理.（二）定理教师引导学生通过举反例来说明下面两题中归纳出的结论是错误的.从而说明证明的重要性.1、教师讲解：请大家看下面的例子：当n=1时，（n2－5n+5)2=1;当n=2时，（n2－5n+5)2=1；当n=3时，（n2－5n+5)2=1.我们能不能就此下这样的结论：对于任意的正整数（n2－5n+5)2的值都是1呢？实际上我们的猜测是错误的，因为当n=5时，（n2－5n+5)2=25.2、教师再提出一个问题让学生回答：如果a=b,那么a2=b2.由此我们猜想：当a＞b时，a2＞ b2.这个命题是真命题吗？［答案：不正确，因为3＞－5，但3 2＜（－5）2］教师总结：在前面的学习过程中，我们用观察、验证、归纳、类比等方法，发现了很多几何图形的性质.但由前面两题我们又知道，这些方法得到的结论有时不具有一般性.也就是说，由这些方法得到的命题可能是真命题，也可能是假命题.教师讲解：数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.（三）例题与证明例如，有了“三角形的内角和等于180°”这条定理后，我们还可以证明刻画直角三角形的两个锐角之间的数量关系的命题：直角三角形的两个锐角互余.教师板书证明过程.教师讲解：此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理.定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据.三、随堂练习课本P58练习第1、2题.四、课时总结1、在长期实践中总结出来为真命题的命题叫做公理.2、用逻辑推理的方法证明它们是正确的命题叫做定理五、布置作业课本P58 习题13.1 3。
数学华东师大版八年级上册教案：13.1 命题、定理与证明 第二课时 定理与证明
优质资料---欢迎下载课题：13.1 命题、定理与证明第二课时定理与证明＆.教学目标：1、理解公理与命题，公理与定理之间的关系。
2、了解定理的作用，并初步学会运用公理、定理或真命题来证明其他的真命题。
＆.教学重点、难点：重点：公理、定理、命题之间的关系以及定理的作用。
难点：从公理、定理出发，用逻辑推理的方法进行简单的证明。
＆.教学过程：一、问题引入1、复习回顾：一个命题是由哪几部分组成的？2、根据你学过的知识填空.（1）一条直线截两条平行线所得的同位角相等；（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么，这两条直线互相平行；（3）全等三角形的对应边、对应角分别相等。
二、探究新知思考：上述三个命题是真命题吗？以上三个都是真命题，以上的三个真命题均作为本书的公理。
（引出标题）§.公理：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。
注意：（1）公理是真命题，而真命题不一定是公理。
（2）公理可以作为判断其他命题真假的原始依据。
§.探究定理的概念：观察下列判断真命题的推理过程，并在后面括号内填写适当的理由。
（1）命题：垂直于同一条直线的两条直线互相平行.如图所示，ab⊥，ac⊥.求证：cb//证明：∵ab⊥，ac⊥（已知）∴︒=∠901，︒=∠902（垂直的定义）∴21∠=∠（等量代换）a1 2b c∴c b //（同位角相等，两直线平行）（2）如图所示，已知ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，点D 为AB 上任一点，BC DE ⊥. 求证：A ∠=∠1证明：∵︒=∠90C ，BC DE ⊥（已知）∵DE AC //（垂直于同一条直线的两条直线互相平行） ∴A ∠=∠1（两直线平行，同位角相等） §.定理：数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。
13.1 命题、定理与证明 课件 2024-2025学年 华东师大版数学八年级上册
本课结束
【举一反三】 1.(2024·来宾期中)下列命题中,是真命题的是( B ) A.相等的角是对顶角 B.垂线段最短 C.三角形的外角和等于180° D.三角形的外角大于它的内角 2.(2024·吴忠期末)命题“等角的余角相等”的题设是____两__个__角__是_等__角__的__余__角_____, 结论是___它__们__相__等_____.
2.下列说法正确的是( C ) A.命题是定理,定理是命题 B.命题不一定是定理,定理不一定是命题 C.真命题有可能是定理,假命题不可能是定理 D.定理可能是真命题,也可能是假命题
3. 如 图 , 有 如 下 四 个 论 断 : ① AC ∥ DE; ② DC ∥ EF; ③ CD 平 分 ∠ BCA; ④ EF 平 分 ∠BED,请你选择四个论断中的三个作为条件,余下的一个作为结论,构成一个正 确的数学命题并证明它.
5.(8分·推理能力、几何直观)如图,有下列三个条件:①DE∥BC;②∠1=∠2; ③∠B=∠C. (1)若从这三个条件中任选两个作为题设,另一个作为结论, 组成一个命题,一共能组成几个命题?请你都写出来; 【解析】(1)一共能组成三个命题: ①如果DE∥BC,∠1=∠2,那么∠B=∠C; ②如果DE∥BC,∠B=∠C,那么∠1=∠2; ③如果∠1=∠2,∠B=∠C,那么DE∥BC.
13.1 命题、定理与证明 1.命题 2.定理与证明
基础 主干落实 重点 典例研析 素养 当堂测评
课时学习目标 1.了解命题的概念,理解命题的结构,会区分命题的条件 和结论,会将命题改写成“如果……,那么……”的形式 2.掌握已学的5个基本事实,理解定理的概念 3.理解证明的概念,掌握推理证明的格式,并会证明简单 命题的真假
2.五个基本事实: (1)两点确定一条直线; (2)两点之间,__线__段__最__短__; (3)过一点__有__且__只__有__一__条__直__线__与已知直线垂直; (4)过直线外一点__有__且__只__有__一__条__直__线__与这条 直线平行; (5)两条直线被第三条直线所截,如果同位角 相等,那么这两条直线_平__行___.
华东师大版数学八年级上册1第2课命题、定理与证明课件
“内错角相等，两直线平行”是平行线的判定定理.
定理揭示了客观事物的本质属性.
基本事实、定理、命题、真命题、假命题之间有什关系？
命题
真命题
假命题
基本事实
定理
思考1：当n＝1，2，3，4，5时，代数式n2-3n+7的值是 质数吗？你能肯定：对于所有的自然数，式子n2-3n+7的 值都是质数吗？
解：当n=1时，n2-3n+7=5，是质数， 当n=2时，n2-3n+7=5，是质数， 当n=3时，n2-3n+7=7，是质数， 当n=4时，n2-3n+7=11，是质数， 当n=5时，n2-3n+7=17，是质数，
思考1：当n＝1，2，3，4，5时，代数式n2-3n+7的值是 质数吗？你能肯定：对于所有的自然数，式子n2-3n+7的 值都是质数吗？
所以，当n=1，2，3，4，5时，代数式n2-3n+7的值
全都是质数．
当n=6时，n2-3n+7=62-18+7=25=52. 所以，对于所有自然数，式子n2-3n+7的值不都是质数.
已知：如图，已知AB∥CD， OP，MN分别平分∠BOM， ∠OMD，OP、MN交于G点， 求证：MN⊥OP.
证明：∵AB∥CD， ∴∠BOM+∠OMD=180°(两直线平行，同旁内角互补)， ∵OP 、 MN分别平分∠BOM，∠OMD， ∴2∠POM+2∠NMO=180°. ∴∠POM+∠NMO=90°. ∴∠MGO=90°. ∴MN⊥OP．
新知讲授
上面这些命题是通过长期实践总结出来，被大家公认的真 命题.我们将这些命题视为基本事实.
它们是我们在继续学习过程中用来判断其他命题真假的原 始根据，即出发点. “同位角相等，两直线平行”是基本事实，那么七年级我 们学过的命题“内错角相等，两直线平行”是什么呢？
定理揭示了客观事物的本质属性.
基本事实、定理、命题、真命题、假命题之间有什关系？
命题
真命题
假命题
基本事实
定理
思考1：当n＝1，2，3，4，5时，代数式n2-3n+7的值是 质数吗？你能肯定：对于所有的自然数，式子n2-3n+7的 值都是质数吗？
解：当n=1时，n2-3n+7=5，是质数， 当n=2时，n2-3n+7=5，是质数， 当n=3时，n2-3n+7=7，是质数， 当n=4时，n2-3n+7=11，是质数， 当n=5时，n2-3n+7=17，是质数，
思考1：当n＝1，2，3，4，5时，代数式n2-3n+7的值是 质数吗？你能肯定：对于所有的自然数，式子n2-3n+7的 值都是质数吗？
所以，当n=1，2，3，4，5时，代数式n2-3n+7的值
全都是质数．
当n=6时，n2-3n+7=62-18+7=25=52. 所以，对于所有自然数，式子n2-3n+7的值不都是质数.
已知：如图，已知AB∥CD， OP，MN分别平分∠BOM， ∠OMD，OP、MN交于G点， 求证：MN⊥OP.
证明：∵AB∥CD， ∴∠BOM+∠OMD=180°(两直线平行，同旁内角互补)， ∵OP 、 MN分别平分∠BOM，∠OMD， ∴2∠POM+2∠NMO=180°. ∴∠POM+∠NMO=90°. ∴∠MGO=90°. ∴MN⊥OP．
新知讲授
上面这些命题是通过长期实践总结出来，被大家公认的真 命题.我们将这些命题视为基本事实.
它们是我们在继续学习过程中用来判断其他命题真假的原 始根据，即出发点. “同位角相等，两直线平行”是基本事实，那么七年级我 们学过的命题“内错角相等，两直线平行”是什么呢？
最新华东师大版八年级数学上册精品课件13.1 命题、定理与证明 第2课时
一 基本事实与定理
• 单基击本事此实处：编数辑学母中版这些文命本题样的式正确性是人们在长期实践中
总结出• 来第的二，级并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，即 出发点.这• 样第•的三第级真四级命题视为基本事实.我们也称它为公理.
• 第五级
例如下列的真命题作为基本事实：
1.一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；
• 第五级
真命题
命题
定理（正确性通过推理证实考
•（单1）击一此位处同编学在辑钻母研版数文学本题样时发式现：
• 第二2级+1=3， • 第2×三级3+1=7， 2•×第3四×级 5+1=31， 2×3•×第5五×级 7+1=211.
于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论： 从质数2开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定 也是质数.他的结论正确吗？ 试一试：
2.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条
直线平行；
3.全等三角形的对应边、对应角分别相等．
2019/8/21
4
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定理：
• 单数击学此中处，编有辑些母命题版可文以本从样基式本事实或其他真命题出发，
用逻•辑第推二理级的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一 步判断其• 他第三命级题真假的依据，这样的真命题叫做定理.
已知、求证, 我们要证明这个命题,必须: 1.首先必须根据命题的要求准确的画出图形,标出字母. 2.再根据要求按照图中所标字母写出数学语言表示的已知 和求证. 3.如果命题已给出已知和求证,就可以按照所学有关公理、 定理、性质等直接进行证明了.
2019/8/21
12
当堂练习
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• 单基击本事此实处：编数辑学母中版这些文命本题样的式正确性是人们在长期实践中
总结出• 来第的二，级并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，即 出发点.这• 样第•的三第级真四级命题视为基本事实.我们也称它为公理.
• 第五级
例如下列的真命题作为基本事实：
1.一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；
• 第五级
真命题
命题
定理（正确性通过推理证实考
•（单1）击一此位处同编学在辑钻母研版数文学本题样时发式现：
• 第二2级+1=3， • 第2×三级3+1=7， 2•×第3四×级 5+1=31， 2×3•×第5五×级 7+1=211.
于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论： 从质数2开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定 也是质数.他的结论正确吗？ 试一试：
2.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条
直线平行；
3.全等三角形的对应边、对应角分别相等．
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定理：
• 单数击学此中处，编有辑些母命题版可文以本从样基式本事实或其他真命题出发，
用逻•辑第推二理级的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一 步判断其• 他第三命级题真假的依据，这样的真命题叫做定理.
已知、求证, 我们要证明这个命题,必须: 1.首先必须根据命题的要求准确的画出图形,标出字母. 2.再根据要求按照图中所标字母写出数学语言表示的已知 和求证. 3.如果命题已给出已知和求证,就可以按照所学有关公理、 定理、性质等直接进行证明了.
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6．已知：如图所示，∠1和∠D互余，∠C和∠D互余． 求证：AB∥CD.
证明：∵∠1和∠D互余(已知)， ∴∠1＋∠D＝90°(__互为余角的定义__)． ∵∠C和∠D互余(已知)， ∴∠C＋∠D＝90°(__互为余角的定义__)， ∴∠1＝∠C(__同角的余角相等__)， ∴AB∥CD(__内错角相等，两直线平行__)．
解：(1)①∠AED＝70° ②∠AED＝80°③∠AED＝∠A＋∠D.
证明：如图，延长 AE 交 DC 于点 F.∵AB∥DC，∴∠A＝∠EFD.又∵∠AED 是△EFD 的外 角，∴∠AED＝∠D＋∠EFD＝∠A＋∠D (2)点 P 在区域①时：∠EPF＝360°－(∠PEB＋∠ PFC)；点 P 在区域②时：∠EPF＝∠PEB＋∠PFC；点 P 在区域③时：∠EPF＝∠PEB－∠PFC； 点 P 在区域④时：∠EPF＝∠PFC－∠PEB
9．如图所示，在△ABC中，AD，CE是两条高．求证：∠BAD＝∠BCE.
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证明：∵AD，CE 是△ABC 的高，∴∠ADB＝∠BEC＝90°， ∴∠BAD＋∠B＝90°，∠BCE＋∠B＝90°，∴∠BAD＝90° －∠B，∠BCE＝90°－∠B，∴∠BAD＝∠BCE
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11．用逻辑推理的方法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”．(写出已知、求证，并证明)
2 ∵AB∥CD(__已知__)， ∴∠BMN＋∠DNM＝__180°__(__两直线平行，同旁内角互补__)， ∴∠GMN＋∠GNM＝__9 0°__(__等式的性质__)． ∵∠GMN＋∠GNM＋∠G＝__180°__(__三角形的内角和等于 180°__)， ∴∠G＝__9 0°__， ∴MG⊥NG(__垂直的定义__)．
解：已知：如图①，∠1，∠2是直线a，b被直线l所截得到的同旁内角，且∠1与∠2互补．求证：a∥b.
证明：如图②.∵∠1 与∠2 互补(已知)，∴∠1＋∠2＝ 180°(互补的定义)，∴∠1＝180°－∠2(等式的性质)．∵ ∠3＋∠2＝180°，∴∠3＝180°－∠2.∴∠1＝∠3(等量代 换)，∴a∥b(同位角相等，两直线平行)
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12．如图①，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连结EA，ED. (1)探究猜想： ①若∠A＝30°，∠D＝40°，则∠AED等于多少度？ ②若∠A＝20°，∠D＝60°，则∠AED等于多少度？ ③猜想图①中∠AED，∠A，∠D的关系，并证明你的结论． (2)拓展应用： 如图②，射线FE与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①，②，③，④分别是被射线FE隔开 的4个区域(不含边界，其中区域③④位于直线AB上方)，P是位于以上四个区域内的点，猜想∠PEB， ∠PFC，∠EPF的关系(不要求证明)．
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8．如图所示，AB∥CD，直线EF分别与AB，CD相交于点M，N，∠BMN与∠DNM的平分线相交于点G.求证： MG⊥NG. 请补全下面的证明过程：
证明：∵MG 平分∠BMN(__已知__)， ∴∠GMN＝1∠BMN(__角平分线的定义__)．
2 同理∠GNM＝1∠DNM.
4．如图，若∠1＝∠4，则AB∥CD；若∠2＝∠3，则AD∥BC. 根据题意可知，上述判断中所依据的基本事实或定理是_内__错__角__相__等__，__两__直__线__平_．行
5．如图所示，下列推理不正确的是( C ) A．∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠C＝180° B．∵∠1＝∠2，∴AD∥BC C．∵AD∥BC，∴∠3＝∠4 D．∵∠A＋∠ADC＝180°，∴AB∥CD
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第13章 全等三角形
13．1 命题、定理与证明
第2课时 定理与证明
华师专版·八年级上册
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1．下列各命题中，是假命题的是( C ) A．推论都是定理 B．定理都是命题 C．命题都是基本事实 D．基本事实都是命题
判断就不是命题；②真命题都是定理；③基本事实是由基本定义出发， 通过推理判断为正确的命题；④“同位角相等”是定理．其中正确的说法有( A ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
证明：∵∠1和∠D互余(已知)， ∴∠1＋∠D＝90°(__互为余角的定义__)． ∵∠C和∠D互余(已知)， ∴∠C＋∠D＝90°(__互为余角的定义__)， ∴∠1＝∠C(__同角的余角相等__)， ∴AB∥CD(__内错角相等，两直线平行__)．
解：(1)①∠AED＝70° ②∠AED＝80°③∠AED＝∠A＋∠D.
证明：如图，延长 AE 交 DC 于点 F.∵AB∥DC，∴∠A＝∠EFD.又∵∠AED 是△EFD 的外 角，∴∠AED＝∠D＋∠EFD＝∠A＋∠D (2)点 P 在区域①时：∠EPF＝360°－(∠PEB＋∠ PFC)；点 P 在区域②时：∠EPF＝∠PEB＋∠PFC；点 P 在区域③时：∠EPF＝∠PEB－∠PFC； 点 P 在区域④时：∠EPF＝∠PFC－∠PEB
9．如图所示，在△ABC中，AD，CE是两条高．求证：∠BAD＝∠BCE.
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证明：∵AD，CE 是△ABC 的高，∴∠ADB＝∠BEC＝90°， ∴∠BAD＋∠B＝90°，∠BCE＋∠B＝90°，∴∠BAD＝90° －∠B，∠BCE＝90°－∠B，∴∠BAD＝∠BCE
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11．用逻辑推理的方法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”．(写出已知、求证，并证明)
2 ∵AB∥CD(__已知__)， ∴∠BMN＋∠DNM＝__180°__(__两直线平行，同旁内角互补__)， ∴∠GMN＋∠GNM＝__9 0°__(__等式的性质__)． ∵∠GMN＋∠GNM＋∠G＝__180°__(__三角形的内角和等于 180°__)， ∴∠G＝__9 0°__， ∴MG⊥NG(__垂直的定义__)．
解：已知：如图①，∠1，∠2是直线a，b被直线l所截得到的同旁内角，且∠1与∠2互补．求证：a∥b.
证明：如图②.∵∠1 与∠2 互补(已知)，∴∠1＋∠2＝ 180°(互补的定义)，∴∠1＝180°－∠2(等式的性质)．∵ ∠3＋∠2＝180°，∴∠3＝180°－∠2.∴∠1＝∠3(等量代 换)，∴a∥b(同位角相等，两直线平行)
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12．如图①，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连结EA，ED. (1)探究猜想： ①若∠A＝30°，∠D＝40°，则∠AED等于多少度？ ②若∠A＝20°，∠D＝60°，则∠AED等于多少度？ ③猜想图①中∠AED，∠A，∠D的关系，并证明你的结论． (2)拓展应用： 如图②，射线FE与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①，②，③，④分别是被射线FE隔开 的4个区域(不含边界，其中区域③④位于直线AB上方)，P是位于以上四个区域内的点，猜想∠PEB， ∠PFC，∠EPF的关系(不要求证明)．
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8．如图所示，AB∥CD，直线EF分别与AB，CD相交于点M，N，∠BMN与∠DNM的平分线相交于点G.求证： MG⊥NG. 请补全下面的证明过程：
证明：∵MG 平分∠BMN(__已知__)， ∴∠GMN＝1∠BMN(__角平分线的定义__)．
2 同理∠GNM＝1∠DNM.
4．如图，若∠1＝∠4，则AB∥CD；若∠2＝∠3，则AD∥BC. 根据题意可知，上述判断中所依据的基本事实或定理是_内__错__角__相__等__，__两__直__线__平_．行
5．如图所示，下列推理不正确的是( C ) A．∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠C＝180° B．∵∠1＝∠2，∴AD∥BC C．∵AD∥BC，∴∠3＝∠4 D．∵∠A＋∠ADC＝180°，∴AB∥CD
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第13章 全等三角形
13．1 命题、定理与证明
第2课时 定理与证明
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1．下列各命题中，是假命题的是( C ) A．推论都是定理 B．定理都是命题 C．命题都是基本事实 D．基本事实都是命题
判断就不是命题；②真命题都是定理；③基本事实是由基本定义出发， 通过推理判断为正确的命题；④“同位角相等”是定理．其中正确的说法有( A ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个