高等数学期中考试题
大学期中考试高等数学试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列函数中，属于奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = x^42. 函数f(x) = 2x^3 - 3x + 1在x=1处的导数是（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 下列极限中，属于无穷小的是（）A. lim x→0 (sinx/x)B. lim x→0 (1/x)C. lim x→0 (x^2)D. lim x→0 (x^3)4. 函数f(x) = x^2 + 3x + 1在区间[-2, 1]上的最大值是（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 下列微分方程中，属于可分离变量的微分方程是（）A. dy/dx = y^2B. dy/dx = 2xyC. dy/dx = x^2yD. dy/dx = 2y/x二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2的导数为______。
7. lim x→0 (1 - cosx)/x^2 = ______。
8. 函数f(x) = 2x^3 - 3x + 1的极值点为______。
9. 函数f(x) = x^2 + 3x + 1的导数在x=1处的值是______。
10. 分离变量后，微分方程dy/dx = 2xy的解为______。
三、解答题（共50分）11. （10分）求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在区间[-1, 2]上的最大值和最小值。
12. （10分）求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的极值。
13. （10分）求极限lim x→0 (sinx/x)。
14. （10分）解微分方程dy/dx = 2xy。
15. （10分）证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) < 0，f(b) > 0，则至少存在一点c∈(a, b)，使得f(c) = 0。
注意：本试卷共75分，考试时间为120分钟。
大学高数期中考试试卷
大学高数期中考试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=\(\frac{1}{x}\)在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 可积2. 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则：A. 必存在最大值B. 必存在最小值C. 必存在零点D. 以上都不对3. 微分方程\(\frac{dy}{dx} + y = e^x\)的解是：A. \(y = e^x - xe^x\)B. \(y = e^x + ce^{-x}\)C. \(y = e^x - ce^x\)D. \(y = e^x\)4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 无法确定5. 函数\(\sin(x)\)的原函数是：A. \(x\)B. \(\cos(x)\)C. \(-\cos(x)\)D. \(\sin(x)\)6. 若f(x)在区间(a,b)内可导，则f(x)在该区间内：A. 必定单调递增B. 必定单调递减C. 必定连续D. 以上都不对7. 曲线y=\(\sqrt{x}\)与直线x=4所围成的面积是：A. \(\frac{16}{3}\)B. \(\frac{32}{3}\)C. \(\frac{64}{3}\)D. \(\frac{128}{3}\)8. 函数\(\ln(x)\)的泰勒展开式是：A. \(x - 1 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 + \cdots\)B. \(x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \cdots\)C. \(x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \cdots\)D. \(\frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} -\cdots\)9. 若\(\int_{0}^{1} f(x)dx = 2\)，则\(\int_{0}^{1} x f(x)dx\)的值是：A. 0B. 1C. 2D. 无法确定10. 函数\(\frac{1}{1+x^2}\)的不定积分是：A. \(\ln(1+x^2)\)B. \(\arctan(x)\)C. \(\ln|x|\)D. \(\ln|x+1|\)二、填空题（每空1分，共10分）1. 若\(\frac{dy}{dx} = 3x^2\)，则\(dy\) = __________。
高等数学期中A考卷及答案海大
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心概念是（）A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分2. 函数f(x)在x=a处可导，那么f'(a)等于（）A. f(a)的值B. f(x)在x=a处的斜率C. f(a)的极限D. f(a)的平均变化率3.下列函数中，奇函数是（）A. f(x) = x²B. f(x) = x³C. f(x) = cos(x)D. f(x) = e^x4. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）A. ln|x| + CB. x + CC. 1/x + CD. e^x + C5. 多元函数f(x, y)的偏导数f_x表示（）A. 仅对x求导B. 对x和y同时求导C. x和y的乘积求导D. f对x的积分二、判断题（每题1分，共5分）1. 极限存在的充分必要条件是左极限和右极限相等。
（）2. 一切初等函数在其定义域内都可导。
（）3. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调增加，则f'(x)≥0。
（）4. 二重积分可以转化为累次积分。
（）5. 泰勒公式是麦克劳林公式的推广。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x)在点x=a处的极限为______，记作______。
2. 若f(x) = 3x² 5x + 2，则f'(x) =______。
3. 不定积分∫sin(x)dx的结果是______。
4. 二重积分∬D dA表示______的面积。
5. 泰勒公式中，f(n)(a)表示______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述导数的定义。
2. 解释什么是函数的极值。
3. 简述定积分的基本思想。
4. 举例说明如何应用微分方程解决实际问题。
5. 简述多元函数求导的基本法则。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 求函数f(x) = x²e^x的导数。
2. 计算定积分∫(从0到π) sin(x)dx。
高数期中考试题目及答案
高数期中考试题目及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个选项是函数f(x)=x^2的导数？A. 2xB. x^2C. 2x^2D. x答案：A2. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是多少？A. 0B. 1C. πD. ∞答案：B3. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = xD. f(x) = |x|答案：B4. 积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是多少？A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A5. 以下哪个选项是函数f(x)=e^x的原函数？A. e^x + CB. e^xC. 1/e^xD. ln(e^x)答案：A6. 函数f(x)=x^3-3x+2在哪个区间内是增函数？A. (-∞, 1)B. (1, +∞)C. (-∞, -1)D. (-1, 1)答案：B7. 以下哪个选项是函数f(x)=ln(x)的导数？A. 1/xB. xC. ln(x)D. 1答案：A8. 求不定积分∫x^2 dx的结果是什么？A. x^3 + CB. 2x^2 + CC. x^3/3 + CD. 2x^3 + C答案：C9. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = sin(x)C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)答案：B10. 以下哪个选项是函数f(x)=x^3的二阶导数？A. 3x^2B. 3xC. 3D. 6x答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3的一阶导数是_________。
答案：3x^22. 函数f(x)=x^2+2x+1的极小值点是_________。
答案：-13. 函数f(x)=x^2在区间[-1, 1]上的定积分是_________。
答案：2/34. 函数f(x)=sin(x)的原函数是_________。
答案：-cos(x) + C5. 函数f(x)=e^x的二阶导数是_________。
高等数学期中A考卷及答案海大
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心概念是（）。
A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分A. f(x) = |x|B. f(x) = x^2 + 1C. f(x) = 1/xD. f(x) =√x3. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）。
A. ln|x| + CB. x + CC. x^2/2 + CD. e^x + C4. 多元函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(1, 1)处的偏导数f_x'是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 35. 线性方程组Ax=b有唯一解的条件是（）。
A. A为满秩矩阵B. A为方阵C. A为可逆矩阵D. A为零矩阵二、判断题（每题1分，共5分）1. 极限存在的充分必要条件是左极限等于右极限。
（）2. 任何连续函数都一定可导。
（）3. 二重积分可以转换为累次积分。
（）4. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。
（）5. 两个矩阵的乘积一定是方阵。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = e^x在x=0处的导数f'(0)等于______。
2. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则该函数在该区间上______。
3. 微分方程y'' y = 0的通解是______。
4. 矩阵A的行列式记作______。
5. 向量组线性相关的充分必要条件是______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简要说明罗尔定理的内容。
2. 什么是函数的极值？如何求函数的极值？3. 简述泰勒公式的意义。
4. 什么是特征值和特征向量？5. 简述空间解析几何中直线的方程。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 计算极限lim(x→0) (sin x)/x。
2. 求函数f(x) = x^3 3x的导数。
3. 计算不定积分∫(cos x)dx。
4. 求解微分方程y' = 2x。
5. 计算二重积分∬D (x^2 + y^2) dxdy，其中D是由x轴，y轴和直线x+y=1围成的区域。
大一高等数学期中试卷
高等数学期中试卷班级 姓名 计分 一．填空题（本题满分30分，共有10道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．1．函数（ ）2．已知，2lim (2)0,2x x x →-=-则称函数当( )时为无穷小。
3．设x x x y arcsin 12-+=，则='y ______________________．4．设函数()x y y =由方程42ln 2x y y =+所确定，则=dx dy _______________．5.设 = _________．6.函数()22sin x x e x f x +--=在区间()∞+∞-，上的最小值为_____________． 7.3201sin limsin 2x x x x →=8.设()231ln e x y ++=，则='y 9.设⎩⎨⎧==t y t x ln 2 则=dxdy10.曲线23bx ax y +=有拐点()3,1，则，a= . b=二选择题（请选择一个正确答案序号填在括号中，共8小题，每小题3分共24分）1、指出下列哪些是基本初等函数（ ）（1）2y x =；(2) y =； 3；(sin y x = 4；)32ln(x y +=2、设在[0,1]上函数f(x)的图像是连续的，且()f x '>0,则下列关系一定成立的是( ) 1；f(0)<0 2；f(1)>0 3；f(1)>f(0) 4；f(1)<f(0)3、函数y=1+3x-x3有（ ）（A ）极小值-1,极大值1 （B ）极小值-2,极大值3 （C ）极小值-2,极大值2 （D ）极小值-1,极大值34、曲线1704,4y P x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭上一点处的切线方程是( )（A ）5x+16y+8=0 （B ）5x-16y+8=0 （C ）5x+16y-8=0 （D ）5x-16y-8=0351lim 232+--→x x x x5、31xy +=的反函数是（ ）A ；3ln 1y x =+（）B ；1y =C ；13-=x yD ；31x y e +=（）6、函数f(x)=xsinx+2x 2是（ ）A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.有界函数7、设函数f(x)在区间I 连续,那么f(x)在区间I 的原函数（ ）A.不一定存在B.有有限个存在C.有唯一的一个存在D.有无穷多个存在8.函数y=ex-x-1单调增加的区间是（ ） A.[)+∞-,1 B.()+∞∞-, C.(]0,∞- D.[)+∞,0 三、求函数321)(2--+=x x x x f 的连续区间，并求极限)(lim 0x f x →,)(lim 3x f x →（10分）四、求函数 y=e -x ×conx 的二阶及三阶导数（8分）五、判断曲线21y x x =- 的凹 凸性和拐点（10分）六、某质点的运动方程是S=t 3-(2t-1)2,则在t=1s 时的瞬时速度为 。
高数下期中考试题及答案
高数下期中考试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 以下哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = x^4 \)D. \( f(x) = x^5 \)答案：B2. 极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\) 的值是多少？A. 0B. 1C. πD. 2答案：B3. 函数 \( f(x) = e^x \) 的导数是？A. \( e^x \)B. \( e^{-x} \)C. \( \ln x \)D. \( \frac{1}{e^x} \)答案：A4. 以下哪个积分是发散的？A. \(\int_0^1 \frac{1}{x} dx\)B. \(\int_0^1 e^{-x} dx\)C. \(\int_0^1 x^2 dx\)D. \(\int_0^1 \sin x dx\)5. 以下哪个级数是收敛的？A. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)B. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\)C. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\)D. \(\sum_{n=1}^{\infty} n\)答案：A6. 以下哪个是二阶偏导数？A. \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\)B. \(\frac{\partial f}{\partial x}\)C. \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\)D. \(\frac{\partial f}{\partial y}\)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 的拐点是 \( x =\_\_\_\_\_\_\_\)。
高等数学(下)期中考试题及答案
f ( x, y ) d x + ∫ d y ∫ y 2 f ( x, y ) d x ．
0 2
v
2
2
二、记 x − y = u ， ln x = v ，则 x = e ， y = e − u ，代入右端，得
f (u , v ) =
即
u u −2 v e ， v
x x −2 y e ． y ∂f 1 + x x −2 y ∂f x(1 + 2 y ) x−2 y = e ， =− e ． y y2 ∂x ∂y
五、设 F ( x, y, z ) = xyz + λ ( x + y + z − 5r ) ，令
3 2 2 2 2
Fx = yz 3 + 2λ x = 0 , Fy = xz 3 + 2λ y = 0 , Fz = 3 xyz 2 + 2λ z = 0 , x 2 + y 2 + z 2 = 5r 2 ,
x +1 y − 3 z = = 相交 1 1 2
参考答案
一、
⎡ ⎤ 2x 2y 1． d z |(1,2) = ⎢ dx+ d y⎥ 2 2 2 2 1+ x + y ⎣1 + x + y ⎦ 1 2 = dx+ d y． 3 3
2 2
3 2 a ．因此 4
M = ∫∫∫ z d V = ∫∫ d x d y ∫
Ω
D
a2 − x2 − y 2 a− a2 − x2 − y2
zdz =
1 [ 2a a 2 − x 2 − y 2 − a 2 ] d x d y ∫∫ 2 D
a 5 1 2π d θ ∫ 2 [ 2 a a 2 − ρ 2 − a 2 ] ρ d ρ = πa 4 ． ∫ 0 2 0 24 G G 2 八、(1) τ = 1,−2t ,3t ， n = (0 , 3 , 2 ) ． G G 令 τ ⋅ n = 0 ，得 t1 = 0 ， t 2 = 1 ，即 G G τ 1 = (1 , 0 , 0 ) ， τ 2 = (1 , − 2 , 3 ) ．
高等数学期中复习题加答案
高等数学期中复习题加答案# 高等数学期中复习题加答案一、选择题1. 函数f(x) = sin(x) + 2x^2在区间(-π, π)内是：- A. 单调递增- B. 单调递减- C. 有增有减- D. 常数函数答案：C2. 若f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1，求导后f'(x) = 0的解为： - A. x = 1- B. x = 2- C. x = 1 或 x = 2- D. 无解答案：C3. 曲线y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2在点(2, 6)处的切线斜率为： - A. 0- B. 6- C. 12- D. 18答案：A4. 若∫(0 to 1) f(x) dx = 2，则∫(0 to 1) (2f(x) + 3) dx =： - A. 10- B. 8- C. 7- D. 无法确定答案：A5. 函数f(x) = e^x在区间[0, 1]的定积分的值为：- A. e - 1- B. 1 - e- C. 1- D. 0答案：A二、填空题1. 若函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5，则f''(x) = __________。
答案：6x + 22. 函数y = ln(x)的导数是 __________。
答案：1/x3. 若f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1，则f'(1) = __________。
答案：04. 定积分∫(1 to e) (x^2 - 1) dx的值是 __________。
答案：(e^3 - e^2 - 1)/35. 若曲线y = x^2与直线y = 4x相切于点(2, 8)，则切线方程是__________。
答案：y = 4x - 4三、解答题1. 求导数：给定函数f(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 1，求其导数f'(x)。
解答：\[ f'(x) = 4x^3 - 9x^2 + 4x - 1 \]2. 求不定积分：计算不定积分∫(3x^2 - 2x + 1) dx。
大一下学期高等数学期中考试试卷及答案
大一下学期高等数学期中考试试卷及答案一、选择题（共40题，每题2分，共80分）1. 计算∫(4x-3)dx的结果是：A. 2x^2 - 3x + CB. 2x^2 - 3x + 4C. 2x^2 - 3x + 1D. 2x^2 - 3x答案：A2. 曲线y = 2x^3 经过点(1, 2)，则函数y = 2x^3的导数为：A. 2x^2B. 6x^2C. 6xD. 2x答案：D3. 若a,b为实数，且a ≠ 0，则 |a|b 的值等于：A. aB. abC. 1D. b答案：B4. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 1，g(x) = 2x - 1，则f(g(-2))的值为：A. 19B. 17C. 16D. 15答案：C5. 已知√2是无理数，则2-√2是：A. 有理数B. 无理数C. 整数D. 分数答案：A二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 设函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，则f'(1)的值为____。
答案：42. 已知函数f(x) = 4x^2 + ax + 3，若其图像与x轴有两个交点，则a的取值范围是____。
答案：(-∞, 9/4) ∪ (9/4, +∞)3. 三角形ABC中，AB = AC，角A的度数为α，则角B的度数为____。
答案：(180°-α)/24. 若函数y = f(x)在点x = 2处的导数存在，则f(x)在点x = 2处____。
答案：连续5. 若直线y = kx + 2与曲线y = x^2交于两个点，则k的取值范围是____。
答案：(-∞, 1) ∪ (1, +∞)三、解答题（共5题，每题20分，共100分）1. 计算∫(e^x+1)/(e^x-1)dx。
解：令u = e^x-1，则du = e^xdx。
原积分变为∫(1/u)du = ln|u| + C = ln|e^x-1| + C。
2. 求函数y = x^3 + 2x^2 - 5x的驻点和拐点。
高等数学考试试卷集锦
高等数学（上）期中考试试卷 1（答卷时间为 120 分钟）一.选择题（每小题 4 分）1.以下条件中（x →x +0（C ） f ′(x 0 ) 存在2.以下条件中（）不是函数 f (x ) 在 x 0 处连续的充分条件. （A ） lim f (x ) = lim f (x)x →x 0 -0（B ） lim f (x ) = f (x 0 )x →x 0（D ） f (x ) 在 x 0 可微）是函数 f (x ) 在 x 0 处有导数的必要且充分条件.（A ） f (x ) 在 x 0 处连续（C ） lim ∆x →0f ( 0x +∆ x ) - f ( 0x -∆ x )存在∆x 3. x = 1是函数 f (x ) =（A ）可去x -1sin πx 的（（B ） f (x ) 在 x 0 处可微分 （D ） lim f ′(x ) 存在x →x 0）间断点.（C ）无穷（D ）振荡（B ）跳跃4.设函数 f (x ) 在闭区间 [a ,b ] 上连续并在开区间 (a ,b ) 内可导，如果在 ( a , b ) 内f ′(x ) > 0 ，那么必有（ ）.（A ）在[ a , b ] 上 f (x ) > 0 （C ）在[ a , b ] 上 f (x ) 单调减少 5.设函数（B ）在[ a , b ]上 f (x ) 单调增加 （D ）在[ a , b ] 上 f (x ) 是凸的f (x ) = (x 2 - 3x + 2)sin x ，则方程 f ′(x ) = 0 在 ( 0 , π ) 内根的个数为（（A ）0 个（B ）至多 1 个（C ） 2 个）.（D ） 至少 3个二.求下列极限（每题 5 分） ln b (1+ ax )1. lim x →0 （ a > 0 ）.sin axa2. limx →∞ ax + b sin xcx + d cos x1（ c ≠ 0 ）. 3. lim ⎜⎜ε x -1 ⎟x （ a ≠ 0 ）.⎝ ⎠ 三.求下列函数的导数（每题 6 分）x →∞ ⎟1. y = ln ⎜ tan ⎛ ⎝x ⎞⎟ - cos x ln(tan x ) ,求 y ′ .2 ⎠⎛ ⎞ 4. lim ⎜x →0 ⎝ ⎛ sin x ⎞ x ⎟ ⎠x 2. 2.设 F (x ) 是可导的单调函数，满足 F ′(x ) ≠ 0 ， F (0) = 0 .方程F (xy ) = F (x ) + F ( y )确定了隐函数 y = y (x ) ，求dy dx x0=⎧ .⎪x = ln 1+ t ⎩⎪ψ = arctan t2 3.设 y = y (x ) 是参数方程 ⎨ ⎧ln(x + e )4.设函数 f (x ) = ⎨d 2 y dx 2确定的函数，求 . （ a > 0 ），问 a 取何值时 f ′(0) 存在？.⎩ax x > 0 x ≤ 0四.（8 分）证明：当 x > 0 时有 e x ≥ x e ，且仅当 x = e 时成立等式.五.（8 分）假定足球门宽度为 4 米，在距离右门柱 6 米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进，问：他在离底线几米的地方将获得最大的射门张角？4 6θ x六.（10 分）设函数 f (x ) 在区间 [a ,b ] 上连续，在区间 (a ,b ) 内有二阶导数.如果f (a ) = f (b ) 且存在 c ∈ (a ,b ) 使得 f (c ) > f (a ) ，证明在 (a ,b ) 内至少有一点 ξ ，使得 f ′′(ξ ) < 0 .七.（10 分）已知函数 y = f (x ) 为一指数函数与一幂函数之积，满足： （1） lim f (x ) = 0 ， lim f (x ) = +∞ ；x →+∞ x →-∞（2） y = f (x ) 在 (-∞ ,+∞ ) 内的图形只有一条水平切线与一个拐点. 试写出 f (x ) 的表达式.高等数学（上）期中考试试卷 2（答卷时间为 120 分钟）一.填空题（每小题 4 分）⎧ 11.已知函数 f (x ) = ⎪ 1( - sin x ) ⎨ ⎪a⎩ x x ≠ 0x = 0 在 x = 0 连续，则 a =.2. x = 0 是函数 f (x ) = 11e x +1的 间断点.（可去.跳跃.无穷.振荡） 3.若 f ′(x ) = 1 ，则 lim 0ε →0 =f (x 0 - 3ε ) - f (x 0 )2ε. 24.函数 f (x ) = (x - 3x + 2)sin x 在 ( 0 , π ) 内的驻点的个数为（（A ）0 个 （B ）至多 1 个 （C ） 2 个 5.设 a > 0 ，若 lim x →+∞ ）. （D ） 至少 3 个 2 ax + bx + c + dx = e ，则 a 与 d 的关系是.二.计算题（每题 6 分） ⎡1 ⎤⎥ x ⎦ 1.求 limx → ⎣⎢01ln(1+ x ) - .2.求 lim (cos x ) x →03. y = ln ⎜ tan ⎛ ⎝1x 2x ⎞⎟ - cos x ln(tan x ) ,求 y ′ .2 ⎠4.设 y = y (x ) 是参数方程 ⎨ ⎩ ⎧x = e t cos t ⎪ ⎪y = e t sin td 2 ydx 2确定的函数，求 ⎰ 1 +sin 4 x dx⎰ x x 2-1sin x cos x5.求6.求dx . π三.（8 分）证明：当 0 < x < 时有 sin x + tan x > 2x .2四 .（8 分）设函数 f (x ) 有二阶导数，且 f (0) = 0 ，又满足方程 f ′(x ) + f (x ) = x ，证 明 f (0) 是极值，并说出它是极大值还是极小值？五.（8 分）设 a 和 b 是任意两个满足 ab = 1的正数，试求 a +b 的最小值（其中常数 m n > 0 ）使得 f (ξ ) = ξ ；又若 f ′(x ) ≠ 1（ x ∈ ( 0 , 1 ) ），证明这样的ξ 是唯一的.mn ` 六.（10 分）设函数 f (x ) 在区间[ 0 , 1 ]上可导，且 0 < f (x ) < 1，证明 ∃ξ ∈ ( 0 , 1 ) ， 七.（10 分）（1）设 (a n ) n 1= （2）对上述数列 (a n )n 1=∞∞是单调增加的正数列，在什么条件下，存在极限 lim a n ？n →∞，令 x n = (a + a +" + a)lim x n = lim a. n n 12 nn n →∞ n →∞n1n ，试用夹逼准则证明高等数学（上）期末考试试卷 1（答卷时间为 120 分钟）一 .填空题（每题 4 分）1.函数 f (x ) 在[ a , b ] 上有界是 f (x ) 在[ a , b ] 上可积的 在[ a , b ] 上连续是 f (x ) 在[ a , b ] 上可积的2.函数 y =11 + tan x的间断点为 x =条件.，它是条件，函数 f (x )间断点.3.当 x → 0 时，把以下的无穷小：（A ） a -1 (a > 0, a ≠ 1 ；)（C ）1- cos 4x ； 按 x 的低阶至高阶重新排列是x4. limn →∞1 ⎡ π sin n ⎢⎣ n+ sin 2π n （B ） x - sin x ； （D ） ln(1+ x )， .（以字母表示）⎰ 1 0 dx = . ，，(n -1)π ⎤n ⎥ ⎦ +" + sin = 1 5.设函数 f (x ) 在闭区间 [ 0 , 1 ] 上连续，且 ⎰ f (x )dx = 0 ，则存在 x ∈ (0,1) ，使f (x 0 ) + f (1- x 0 ) = 0 .证法如下：0 x1令 F (x ) = ⎰f (t )dt +⎰, ) 内 ，且F (0) = 0 1- xf (t )dt ，x ∈[0,1] ，则 F (x ) 在闭区间[0,1]上连续，在开区间， F (1) = ，故根据微分学中的 定理知，(0 1 x 0 ∈ (0,1) 使得 F ′(x 0 ) = f (x 0 ) + f (1- x 0 ) = 0 ，证毕.二 .计算题（每题 6 分）11.若 lim (1+ x ) x →-0cx2.设 y = y (x ) 是由方程 e + y = sin(xy ) 确定的隐函数，求 y ′ .3.求极限lim ⎰x →0ln xx π4.求⎰ dx x 2( t 2e -1 dt)2= e ，求 c 的值.y .ln(1+ x 6) 5.求⎰ -π x (sin x + cos x )dx .224 +∞6.求⎰2x 4dx2x -1x 三 .（8 分）设 f (x ) = ⎰e dt ，求 ⎰f (x )dx x四.（8 分）设函数 f (x ) 在区间[ 0 , 1 ]上连续，且 f (x ) < 1，证明方程 2x - ⎰f (t )dt = 1 在开区间 (0,1 ) 内有且仅有一个根.1五 .（8 分）求由抛物线 y = 2x 与直线 x = 所围成的图形绕直线 y = -1旋转而成的2立体的体积.-2t10 21六.（8 分）设半圆形材料的方程为 y = R - x ，其线密度为 ρ = k - y ，(k > R ) 求该材料的质量.七 .（12 分）在一高为 4 的椭圆底柱形容器内储存某种液体，并将容器水平放置，如果 2 2x 2椭圆方程为4 + y 2 = 1（单位：m ），问：（ 1）液面在 y (-1 ≤ y ≤ 1) 时，容器内液体的体积V y与 y 的函数关系是什么？（ 2）如果容器内储满了液体后以每分钟 0.16m 的速 度将液体从容器顶端抽出，当液面在 y = 0 时，液面下降的速度是每分钟多少 m ？ 3（ 3）如果液体的比重为 1（ N需作多少功？m 3 ），抽完全部液体Ox高等数学（上）期末考试试卷 2（答卷时间为 120 分钟）一.填空题（每小题 4 分）1.极限 lim f (x ) 存在是函数 f (x ) 在 x 0 处连续的x → x 0数 f (x ) 在 x 0 处连续的（A ）充分 （C)充分且必要2.若 f ′(0) = 1，则 limε →0 条件；导数 f ′(x 0 ) 存在是函条件. ——填入适当的字母即可：（B)必要（D ）既不充分也不必要f ( 2h ) - f (-h )h =.3.设 f (x ) = x (x -1)(2x -1)(3x -1)"(nx -1) ，则 f ′′(x ) 在 ( 0 , 1 ) 内有π4.设 f (x ) 是[-1 , 1 ]上连续的偶函数，则 ⎰[ 1+ xf (sin x )]dx =-π 个零点. .5.平面过点 ( 1 , 1 ,-1 ) ， (-2 , - 2 , 2 ) 和 ( 1 , -1 , 2 ) ，则该平面的法向量为 二.基本题（每小题 7 分）（须有计算步骤）2 x ⎰ π0 01.求极限 limx →02.求定积分⎰ln(1+ t )dt1- cos x2..3.设 y = y (x ) 是方程 e + ⎰e dt - x -1 = 0 确定的隐函数，证明 y = y (x ) 是单调增加 t 2函数并求 y ′ x =0 .4.求反常积分⎰1u 31- u 2du .4 x tan xdx .yy三.（10 分）设 a 和 b 是任意两个满足 a + b = 1的正数，试求 a ⋅ b 的最大值（其中 常数 m n > 0 ）四.（10 分）一酒杯的容器部分是由曲线 y = x （ 0 ≤ x ≤ 2 ，单位：cm ）绕 y 轴旋转mn`33而成，若把满杯的饮料吸入杯口上方 2cm 的嘴中，要做多少功？（饮料的密度为 1g/cm ） 五 .（10 分）教材中有一例叙述了用定积分换元法可得等式⎰ xf (sin x )dx =2 ππ π⎰ f (sin x )dx . 0 如果将上式左端的积分上限换成 (2k -1)π （ k ∈ Z ），则将有怎样的结果？进一步设kTf (x ) 是周期为T 的连续的偶函数， ⎰ xf (x )dx 将有怎样相应的表达式？六.（10 分）设动点 M (x , y , z ) 到 xOy 面的距离与其到定点 (1 ,-1 , 1 ) 的距离相等，M的轨迹为 ∑ .若 L 是 ∑ 和柱面 2z = y 的交线在 xOy 面上的投影曲线，求 L 上对应于1 ≤ x ≤2 的一段弧的长度.x0 2七.（12 分）设 f 0 (x ) 是[ 0 , + ∞) 上的连续的单调增加函数，函数 f 1(x ) =⎰ 0f 0(t )dtx.（ 1）如何补充定义 f 1(x ) 在 x = 0 的值，使得补充定义后的函数（仍记为 f 1(x ) ）在[ 0 , + ∞) 上连续？（ 2）证明 f 1(x ) < f 0 (x ) （ x > 0 ）且 f 1(x ) 也是[ 0 , + ∞) 上的连续的单调增加函数； (t )dt （ 3）若 f 2(x ) =⎰xf (1t )d t x ， f 3 (x ) =⎰xf 2 (t )dt x，⋯， f n (x ) =⎰xf n -1 x，则对任意的x > 0 ，极限 lim f n (x ) 存在. n →∞高等数学（下）期中考试试卷 1（答卷时间为 120 分钟）一 .填空题（每小题 6 分）1.有关多元函数的各性质：（A ）连续；（B ）可微分；（C ）可偏导；（D ）各偏导数连续，它们的 关系是怎样的？若用记号" X ⇒ Y "表示由 X 可推得Y ，则（2 ）⇒ （ ） ⇒ ⎨ ⎩( ⎧( ) ).2.函数 f (x , y ) = x - xy + y 在点 ( 1 , 1 ) 处的梯度为大值是 .2 ，该点处各方向导数中的最3.设函数 F (x , y ) 可微，则柱面 F (x , y ) = 0 在点 (x , y , z ) 处的法向为⎧F (x , y ) =0⎨ ⎩z =0 在点 (x , y ) 处的切向量为 .f (x , y )dy =1 π，平面曲线π 4.设函数 f (x , y ) 连续，则二次积分 π dx1⎰ ⎰sin x2.f (x , y )dx ；f (x , y )dx .1 π(A) ⎰ dy ⎰ 0 1f (x , y )dx ；f (x , y )dx ；π+arcsin yπ +arcsin y(B)⎰ dy ⎰1 (D) ⎰ dy ⎰0 π-arcsin yπ -arcsin yπ (C)⎰ dy ⎰ 0π二 .（6 分）试就方程 F (x , y , z ) = 0 可确定有连续偏导的函数 y = y (z , x ) ，正确叙述隐函数存在 定理.三 .计算题（每小题 8 分）1.设 z = z (x , y ) 是由方程 f (x - z , y - z ) = 0 所确定的隐函数，其中 f (u ,v ) 具有连续的偏导数 ∂z 且∂f ∂u + ∂f ∂v ≠ 0 ，求 + ∂x ∂z∂y的值.2. 设 二 元 函 数 f (u , v ) 有 连 续 的 偏 导 数 ， 且 f u (1,0) = f v (1,0) = 1 . 又 函 数 u =u (x , y ) 与v = v (x , y ) 由方程组 ⎨ ⎧x = au + bv ⎩y = au - bv.（ a + b ≠ 0 ）确定，求复合函数 z = f [u (x , y ),v (x , y )]的偏导22 数∂z ∂x ，( x , y )=( a , a )∂z ∂y( x , y )=( a , a )3.已知曲面 z = 1- x - y 上的点 P 处的切平面平行于平面 2x + 2y + z = 1，求点 P 处的切平面方程.22 4 计算二重积分：sin⎰⎰D角形区域. x y3d σ ，其中 D 是以直线 y = x ， y = 2 和曲线 y = x 为边界的曲边三 5.求曲线积分 ⎰(x + y )dx + (x - y )dy ， L 为曲线 y = 1- | 1- x | 沿 x 从 0 增大到 2 的方向.2 2 2 2L五 .（10 分）球面被一平面分割为两部分，面积小的那部分称为"球冠"；同时，垂直于平面的直径被该平面分割为两段，短的一段之长度称为球冠的高. 证明：球半径为 R 高为 h 的球冠的面积与整个球面面积之比为 h : 2R .六.（10 分）设线材 L 的形状为锥面曲线，其方程为：x = t cos t ，y = t sin t ，z = t （ 0 ≤ t ≤ 2π ），其线密度 ρ(x , y , z ) = z ，试求 L 的质量.七 .（10 分）求密度为 ∝ 的均匀柱体 x + y ≤ 1， 0 ≤ z ≤ 1，对位于点 M ( 0 , 0 , 2 ) 的单位质点的引力.2 2高等数学（下）期中考试试卷 2（答卷时间为 120 分钟）一 .简答题（每小题 8 分）⎧x = t - cos t⎪ ⎛π ⎞1.求曲线 ⎨y = 3 + sin 2t 在点 ⎜ , 3 , 1 ⎟ 处的切线方程.⎝ 2 ⎠⎩ 1 + cos3t2.方程 xy - z ln y + e = 1在点 (0 , 1 , 1 ) 的某邻域内可否确定导数连续的隐函数 z = z (x , y ) 或 y = y (z , x ) 或 x = x ( y , z ) ？为什么？3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路：⎪z = x zy 2 z 2设椭球面 小距离.x a 2 2 ++ = 1与平面 Ax + By + Cz + D = 0 没有交点，求椭球面与平面之间的最 b 2 c 234.设函数 z = f (x , y ) 具有二阶连续的偏导数， y = x 是 f 的一条等高线，若 f y (1 ,1) = -1，求f x 1 1) .,(二 .（8 分）设函数 f 具有二阶连续的偏导数， u = f (xy , x + y ) 求 2∂ u ∂x ∂y. 三.（8 分）设变量 x , y , z 满足方程 z = f (x , y ) 及 g (x , y , z ) = 0 ，其中 f 与 g 均具有连续的偏导数，求dy dx.⎧xyz = 0,四 .（8 分）求曲线 ⎨ 在点 (0 1 1，，) 处的切线与法平面的方程.⎩x - y -1 = 0 2五.（8 分）计算积分）⎰⎰e dxdy ，其中 D 是顶点分别为 ( 0 , 0 ) . ( 1 , 1 ) . ( 0 , 1 ) 的三角形区域.y 2D六 .（8 分）求函数 z = x + y 在圆 (x - 2) + ( y - 2) ≤ 9 上的最大值和最小值.七 . （ 14 分 ） 设 一 座 山 的 方 程 为 z = 1000 - 2x - y ， M (x , y ) 是 山 脚 z = 0 即 等 量 线 22 22 2 2 2 2x + y = 1000 上的点.（ 1）问： z 在点 M (x , y ) 处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率；（ 2）攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点 M 使得上述增 长率最大，请写出该点的坐标.八.（14 分） 设曲面∑ 是双曲线 z - 4y = 2（ z > 0 的一支）绕 z 轴旋转而成，曲面上一点 M处的切平面 ∏ 与平面 x + y + z = 0 平行.（ 1）写出曲面∑ 的方程并求出点 M 的坐标；2 2 22 2（2）若Ω是∑. ∏和柱面x + y =1围成的立体，求Ω的体积.高等数学（下）期末考试试卷 1（答卷时间为 120 分钟）一.简答题（每小题 5 分，要求：简洁.明确）1.函数 z = y -x 在点 (1 , 1) 处沿什么方向有最大的增长率，该增长率为多少？xz2.设函数 F (x , y , z ) = (z +1)ln y + e -1，为什么方程 F (x , y , z ) = 0在点 M (1,1, 0)的某 个邻域内可以确定一个可微的二元函数 z = z (x , y ) ？22 23.曲线 x = t -1 , y = t +1 , z = t4.设平面区域 D : x 2a23在点 P (0 , 2 , 1) 处的切线方程是什么？b 2 ≤1(a > 0,b > 0) ,积分 (ax + by +c )dxdy 是多少？ꐀ_3 5Dy 2 ⎰⎰ ∞n =0 n 5.级数∑2 2 n+1n x 的收敛域是什么？0 ≤ x ≤ π ,6.设函数 f (x ) = ⎨ 数 a 02 2 ⎧e x +1, ⎪ ⎪e ⎩ - x - 1, -π ≤ x < 0 的傅里叶系数为 a 0 , a n ,b n (n = 1,2,3,") ，问级∞+ a 的和是多少？ ∑n =1 n二.计算积分1.（8 分） I = 2π πdy⎰⎽ⵔ π y -π dx sin xx22.（8 分） I = ⎰ (x + y )dx + ( y - x )dy ， L 为上半椭圆 x + =1(y ≥ 0) 取逆时针方La 2b 2三.（12 分）设∑ 是由曲线 ⎨ ⎧z = y 2 ,⎩x = 0( 0 ≤ z ≤ 2) 绕 z 轴旋转而成的曲面.y 2向.（1）写出∑ 的方程和 ∑ 取外侧（即朝着 z 轴负方向的一侧）的单位法向量；（2）对（1）中的定向曲面∑ ，求积分 I =⎰⎰ 4(1- y )dzdx + (8y +1)zdxdy .∑四.（10 分）求微分方程 (1+ x ) y ′ = xy + x y 的通解 222 2五.（10 分）把函数 f (x ) =六.应用题y 1.（10 分）求曲面 x a 2 2 + b 2 π - x 222 + zc 2( 0 ≤ x ≤ π ) 展成正弦级数. = 1 (a > 0,b > 0,c > 0) 在第一卦限的切平面，使 该切平面与三个坐标面围成的四面体的体积为最小，并写出该四面体的体积.2.（12 分）设Ω 是由曲面 z = ln x22+ y 与平面 z = 0 , z = 1所围成的立体. 求：（1）Ω 的体积V ；（2）Ω 的表面积 A .高等数学（下）期末考试试卷 2（答卷时间为 120 分钟）一.填空题（每小题 4 分）1.函数 z = f (x , y ) 的偏导数 与 在区域 D 内连续是 z = f (x , y ) 在 D 内可微的∂z ∂z∂x ∂y条件.（充分，必要，充要）G2.函数 z = f (x , y ) 在点 (x 0 , y 0 ) 处沿 l = {cos α , cos β }的方向导数可以用公式 ∂f∂l = f (x , y ) cos α + f (x , y ) cos β 来计算的充分条件为 z = f (x , y ) 在点 x 0 0 y 0 0 (x 0 , y 0 ) 处 .（连续，偏导数存在，可微分） 为3.若三阶常系数齐次线性微分方程有解 y 1= e . y 2= xe . y 3=e ，则该微分方程.x ⎧x 0 5.< x < 14.周期为 2 的函数 f (x ) 在一个周期内的表达式为 ⎨ ⎩1 级数在 x = -3.5 处的和为 ∞5.幂级数∑n =2x n的收敛域是ln n.，则它的傅里叶 - 1 ≤ x ≤ 0.5-x -x .二 .（8 分）设函数 f (u , v ) 有二阶连续的偏导数，且 f u (0,0) = 1， f v (0,0) = -1. 函数z = f ⎜ xy , ⎜⎝⎛ x ⎞y ⎟⎟ ，求 ⎠ 2∂ z ∂x ∂y . 三 .（8 分）求抛物面 z = x + y 到平面 x + y + z +1 = 0 的最近距离. 四 .计算下列积分：（每题 8 分）21.⎰⎰ D2.⎰⎰ e d σ ，其中 D 为三直线 y = 0 . y = x 与 x = 1所围成的平面区域.xydydz + yzdzdx + zxdxdy ，其中∑ 是平面 x = 0, y = 0, z = 0 及 x + y + z = 1所x 2( x , y )=( 0 , 1 )2 ∑围成的四面体的边界面的外侧.3. ⎰ Γ五 .级数xyz dz ，其中 Γ 是曲线 ⎨ ⎩x ⎧y - z = 02 + y + z = 1 2 2 ，从 z 轴正向看去，沿逆时针方向.∞∑n =11.（8 分）设 a n 是等差数列，公差 d ≠ 0 ，s n = a 1 + a 2 + " + a n .问：级数是绝对收敛还是条件收敛或是发散的？说明理由.∞2.（12 分）求幂级数∑n =1(-1) n -12nx 的收敛域与和函数 s (x ) .2n -1 (-1) s nn -1六 .微分方程1.（8 分）求微分方程 xy ′ + y = x ln x 的通解.2.（12 分）设函数 f (x ) 有二阶连续的导数且 f (0) = 0 ， f ′(0) = 1.如果积分2⎰[x - f (x )]y dx + [ f ′(x ) + y ] dyL与L的路径无关，求f (x) .。
《高等数学II》期中考试试卷
2017-2018第二学期《高等数学II 》期中考试试卷一、 填空题1、 二元函数f (x,y )=√4x−y 2ln(1−x 2−y 2)的定义域是__________________2、 设f (x,y )=ln(x −√x 2−y 2),(x >0,y >0),则f (x +y,x −y )=__________________________ 3、 limx→0y→01−cos√x 2+y 2(x 2+y 2)e x 2+2y 2=___________________________ 4、 设z =y x,则∂2z∂xðy=___________________________________5、 设ln√x 2+y 2=arctan y x,则dy dx=__________________6、 设z =f(x +y +z,xyz),其中函数f(u,v)有一阶连续偏导数，则∂z ∂x=_____________________7、 曲线{z =√x 2+y 2x 2+y 2+z 2=4在xoy 面的投影方程为_______________ 8、 已知球面经过(0,−3,1)且与xoy 面交成圆周{x 2+y 2=16z =0,则此球面方程为________________________9、 已知空间曲线的方程为{z =√1−x 2−y 2(x −12)2+y 2=14,则其在xoy 面的投影曲线方程为_____________________________10、 曲面z =4−12(x 2+y 2)与平面z =2所围成立体的体积为_______________________ 11、极坐标下的二次积分∫dθ∫f (rcosθ,rsinθ)rdr 1π20转化为直角坐标系下的二次积分是___________________________12、 求积分∫dx ∫e −y2dy 2x20=________________________13、 计算二重积分∬(2−√x 2+y 2)dσD,其中D:x 2+y 2≤4.则其值等于_________________________14、 设闭区域D:x 2+y 2≤y,x ≥0.f(x,y)为D 上的连续函数，且f (x,y )=√1−x 2−y 2−8π∬f(u,v)dudv D ,则f (x,y )等于_________________________15、 设 z =f (2x −y,ysinx ),其中f(u,v)有二阶连续偏导数，则ð2z ðxðy=___________________________16、 设区域D 由y =x 2,y 2=x 所围成，将二重积分∬f (x,y )dσD化为累次积分_________17、 设z =f (x,y )连续且满足limx→0y→1√x 2+(y−1)2=0,则dz|(0,1)=____________________18、 设z =z(x,y)由方程(z +y)x =xy 确定，则dz |(1,2)=_________ 19、 设函数f(x)在区间[0,1]上连续，并设∫f (x )dx =A 1,则∫dx ∫f (x )f (y )dy =1x10____________________20、 当x >0,y >0,z >0时，求函数u =lnx +2lny +3lnz 在球面x 2+y 2+z 2=6r 2上的最大值为________________________ 二、 计算题1、 求表面积为2a 2而体积最大的立方体的体积。
高等数学期中复习题加答案
高等数学期中复习题加答案一、选择题1. 函数\( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)在区间\( (0, 2) \)上的值域是：A. \( (-1, 1) \)B. \( (-\infty, 1) \)C. \( (-\infty, 2) \)D. \( (-1, +\infty) \)答案： A2. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值是：A. 0B. 1C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \infty \)答案： B二、填空题1. 函数\( y = x^3 - 2x^2 + x \)的导数是 \( y' =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)。
答案： \( 3x^2 - 4x + 1 \)2. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是\( \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)。
答案： \( \frac{1}{3} \)三、计算题1. 计算极限 \( \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + 1} \)。
答案： 12. 求函数 \( f(x) = \ln(x) \) 在区间 \( [1, e] \) 上的定积分。
答案： \( x - e^x \) 在 \( [1, e] \) 上的定积分为 \( e - 2 \)。
四、证明题1. 证明：函数 \( f(x) = x^3 \) 是严格递增函数。
答案：首先求导 \( f'(x) = 3x^2 \)，由于 \( x \) 为实数，\( x^2 \geq 0 \)，所以 \( f'(x) \geq 0 \)。
当 \( x \neq 0 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，因此函数 \( f(x) = x^3 \) 是严格递增函数。
高数期中考试试题
高数期中考试试题高数期中考试试题一、概述高等数学是大学理工科专业中的一门重要课程，也是对学生数学思维和逻辑推理能力的一次全面考验。
期中考试是对学生基础知识和能力的一次检验，下面将给出一些典型的高数期中考试试题，帮助学生更好地复习和备考。
二、选择题1. 设函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 4，求f'(x)的导函数。
2. 已知函数f(x) = ln(x^2 + 1)，求f'(x)的导函数。
3. 求曲线y = x^3 - 3x^2 + 2x的拐点坐标。
4. 设函数f(x) = sin^2(x)，求f''(x)的导函数。
5. 求函数f(x) = e^x在点x = 1处的切线方程。
三、解答题1. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的最大值和最小值。
解：首先求f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，令f'(x) = 0，解得x = 1和x = 2。
将x = 1和x = 2代入f(x)得到f(1) = 0和f(2) = 2。
由于f''(x) = 6x - 6 > 0，所以x = 1是最小值点，x = 2是最大值点。
因此，f(x)的最小值为0，最大值为2。
2. 求函数f(x) = ln(x^2 + 1)的反函数。
解：令y = ln(x^2 + 1)，则e^y = x^2 + 1，再令u = x^2 + 1，则e^y = u。
对u求导得到du/dx = 2x，对e^y = u求导得到d(e^y)/dy * dy/dx = 1，即e^y * dy/dx = 1。
将du/dx = 2x和e^y * dy/dx = 1代入，得到2x = 1，解得x = 1/2。
因此，函数f(x) = ln(x^2 + 1)的反函数为f^(-1)(x) = sqrt(e^x - 1)。
四、证明题证明：对任意实数x，有sin^2(x) + cos^2(x) = 1。
高数期中考试及答案详解
高等数学期中试题一、填空题（每题3分，共15分）1、262sin0lim(1)x x x →+= ;2、设21y x ，则dy ；3、0000(2)()()2,lim h f x h f x f x h→+-'== ;4、曲线⎩⎨⎧=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程为 ; 5、当0x →时，21cos 2x kx -，k = 。
二、选择题（每题3分，共15分）1、21()1x f x x 在1x 处为 （ ） A 无穷间断点； B 第一类可去间断点 ；C 第一类跳跃间断点 ；D 震荡间断点。
2、()1xf x x ，则(4)(0)f =（ ）A 4!-；B 4!；C 5!- ；D 5! 。
3、若()()f x f x =--，在()0,+∞内()()'0,''0f x f x >>，则在(),0-∞内（ ）.A ()()'0,''0f x f x <<；B ()()'0,''0f x f x <>；C ()()'0,''0f x f x ><；D ()()'0,''0f x f x >>.4.设3()(1)f x x x x =--，()f x 不可导点的个数为（ ）A 0；B 1；C 2 ；D 3 。
5.设()()()F x g x x ϕ=，()x ϕ在x a =处连续，但又不可导，又()'g a 存在，则()0g a =是()F x 在x a =处可导的（ ）条件.A 充要；B 充分非必要；C 必要非充分；D 非充分非必要三、求下列极限（20分）1．)tan 11(lim 20x x x x -→ ； 2. 2tan )1(lim 21x x x π-→；3.x x x x 10)cos sin 2(lim +→； 4．)2112111(lim n n +++++++∞→四、求下列导数或微分（20分）1．,2222x x x x y +++=求：y '2．)(,)(ln )(x f e x f y x f ⋅=二阶可导，求：dy dx3．33cos sin x t y t⎧=⎨=⎩求：224d ydx x π= 4．设)(x y y =是由方程arctan y x =所确定的函数，求：dy dx 。
2023中国药科大学《高等数学》期中试卷(A1卷)
中国药科大学《高等数学》期中试卷(A1卷)2022-2023学年第一学期专业 班级 考试号 姓名一．单项选择题（每小题4分，共36分）1．极限 limx→0sin2x x=（ ）．A ．0B ．12C ．2D ． ∞ 2．关于函数arctanx ,下列说法错误的是（ ）．A ．它是有界函数 B. 由 y =arc u 和u =tan x 复合而成 C. lim n→∞arctan n =π2D ． lim x→∞arctanx 不存在3.《庄子·天下篇》有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”关于这段话的理解，错误的是（ ）．A ． 2天以后就取完了 B. 蕴含了丰富的极限思想 C. 第10天取了1210尺 D. 第n 天取后剩下了12n 尺 4. 已知f (x )在点x =1处可导且f ′(1)=2，则limℎ→0f(1−ℎ)−f(1+ℎ)ℎ=（ ）．A ．4B ．-1C ．1D ． -4 5. 关于x →0的等价无穷小，下列说法正确的是（ ）．A. e x ~1+xB. 1−cosx~x2 C. √1+x −1~x D. ln (1+x)~x6. 已知f (x )={0 x <12x +1 1≤x <2x 2+1 x >2，它的间断点为（ ）．A. x =1B. x =2C. x =1和x =2D. 没有7.已知f ′(x 0)=1，当自变量的增量∆x →0时，那么y dy ∆−是比∆x （ ）的无穷小．A .高阶 B. 等价 C ．同阶但不等价 D ．低阶 8.已知一个函数的微分为1x dx ，那么该函数是（ ）（选最佳的）.A . ln (−x)+C B. ln |x|+C C . lnx +C D . −1x 2+C9. 下列导数计算正确的是（ ）．A．(tan2x)′=2sec 2x B．(arctanx2)′=√1+x4C．(arcsin√x)′=2√x√1−x D．(sec1x)′=1x2sec1xtan1x二．填空题（每小题3分，共32分）10. 极限limx→∞(1−1x)x= .11. 函数y=(4，2)处的切线方程为 y=．12. 已知f(x)=sinx,那么f(2022)(π2)= .13. 极限limx→0√1−cos2xx= .14. 极限limx→∞2x+sinx2x−sinx= .15．V和S分别是半径为r的球体积和表面积，那么dvds|r=2= .16．已知函数f(x)可导，F(x)=f(sin2x)+f(cos2x)，那么F′(π4) = .17.已知极限limx→−1x3−ax2−x+4x+1=b，那么a+b= .三．计算证明题（每小题8分，共32分）18. 求极限limx→∞xx2+1cos√x19. 已知xe y+y=1,求 y′|x=0．20. 已知函数f(x)在区间[0,1]上连续,且f(0)=0，f(1)=1(1) 如果f(x)=x,求x∈(0,1),使得f(x)=1−x(2) 证明:至少存在一点x∈(0,1),使得f(x)=1−x.21. 已知f(x)={ 2x x≥1x2 x <1,试利用导数的定义，判断f(x)在x=1处是否可导，如果可导求出导数的大小，如果不可导，请说明理由.。
高等数学a2期中测试题及答案
高等数学a2期中测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B2. 函数f(x)=x^2+3x+2在x=-1处的导数是多少？A. -4B. -2C. 4D. 2答案：A3. 以下哪个选项是正确的不定积分？A. ∫x dx = x^2 + CB. ∫e^x dx = e^x + CC. ∫sin(x) dx = cos(x) + CD. ∫cos(x) dx = sin(x) + C答案：B4. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + ...B. 1 - 1/2 + 1/4 - ...C. 1 + 2 + 3 + ...D. 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 设函数f(x)=3x^2-2x+1，求f'(x)。
答案：6x-26. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。
答案：1/37. 求函数y=ln(x)的反函数。
答案：e^y8. 计算二重积分∬(D) xy dA，其中D为x^2+y^2≤1的区域。
答案：π/8三、解答题（每题10分，共60分）9. 求极限lim(x→∞) (x^3-1)/(x^2+1)。
解：lim(x→∞) (x^3-1)/(x^2+1) = lim(x→∞) (x^3/x^2) =lim(x→∞) x = ∞10. 求函数f(x)=x^3-6x+8的极值点。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-6，令f'(x)=0，解得x=±√2。
检查二阶导数f''(x)=6x，当x=√2时，f''(x)>0，因此x=√2是极小值点；当x=-√2时，f''(x)<0，因此x=-√2是极大值点。
11. 计算定积分∫(0 to π/2) sin(x) dx。
高等数学期中考试练习题
一、单选题 1．设 | a | 3 , | b | 4 , 且 a b , 则 | (a b ) (a b ) | (
)．
(A) (C)
4
24
(B) 14 (D) 25
2．已知直线 l1 :
x 4 y 1 z 2 x 1 y 1 z 3 和 l2 : , 则它们是( 2 3 5 3 2 4
1 y sin
x
.
x2 y2 2 f 2 f 17．设 f (u, v) 有二阶连续偏导数, 且满足 2 2 1 , 又 g ( x, y ) f xy, , 则 u v 2
2
2 g 2 g x 2 y 2
三、综合题
． ．
18. 函数 u ln( x 2 y 2 z 2 ) 在点 M(1,2, 2 )处的梯度 gradu M
12． 设 l0 是直线 l :
.
x 1 y z 1 在平面 : x y 2 z 1 0 上的投影直线, 则 l0 绕 y 轴旋 1 1 1
．
转一周而成的曲面方程为
13．设 0 是曲面 z 4 x 2 y 2 的平行于 : 2 x 2 y z 3 0 的切平面, 则 与 0 的距离
19 ．假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品 , 两个市场需求函数分别是
p1 18 21 , p2 12 2 , 其中 p1 , p2 分别表示该产品在两个市场的价格(单位:万元/吨),
1 和 2 分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量, 单位: 吨), 并且该企业生产这种产
d
.
14 ．设 u f ( x, y, z ) 有一阶连续偏导数 , 又函数 y y ( x) 与 z z ( x) 分别由下列两式确定,
大学高等数学统考卷下10届期中考试附加答案
大学高等数学统考卷下（10届）期中考试附加答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则下列结论正确的是（）A. f'(0)存在B. f'(0)不存在C. f(x)在x=0处连续D. f(x)在x=0处不可导2. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)=f(b)，则下列结论正确的是（）A. f(x)在区间(a, b)内至少存在一个极值点B. f(x)在区间(a, b)内至少存在一个拐点C. f(x)在区间(a, b)内恒为常数D. f(x)在区间(a, b)内单调递增3. 下列级数收敛的是（）A. ∑(n=1 to +∞) n^2B. ∑(n=1 to +∞) (1)^n / nC. ∑(n=1 to +∞) 1 / nD. ∑(n=1 to +∞) n / 2^n4. 设函数f(x)在区间(0, +∞)上可导，且f'(x) > 0，则下列结论正确的是（）A. f(x)在区间(0, +∞)上单调递增B. f(x)在区间(0, +∞)上单调递减C. f(x)在区间(0, +∞)上存在极值点D. f(x)在区间(0, +∞)上恒为常数5. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，下列积分中正确的是（）A. ∫(a to b) f(x) dx = 0B. ∫(a to b) f(x) dx = f(a) + f(b)C. ∫(a to b) f(x) dx = f(a) f(b)D. ∫(a to b) f(x) dx = (b a) f(a)二、填空题（每题4分，共40分）1. 设函数f(x) = x^3 3x，求f'(x) = ______。
2. 设函数f(x) = e^x，求f''(x) = ______。
3. 设函数f(x) = ln(x + 1)，求f'(x) = ______。
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高等数学期中考试题
一、填空题(每题3分)
1、一单位向量AB的终点为B（1，3，-2），且它与三坐标轴的正向构成相等的锐角，则A的坐标为A（，，）
2、（a+b）·（a-b）=
(a+b)×(a-b) =
3、设直线L1：x−1
1=y−5
2
=z+8
1
,及L2：
x−y=6
3y+z=3,则L1与L2的夹角
是：。
4、lim x→0
y→0
(1+xy) siny =
5、设Z=(x+y)xy,则∂z
∂x
= 二、单项选择(每题3分)
1、设L1：x−1
1=y+1
2
=z−1
γ
,及L2:x+1=y-1=z相交于一点，则γ=（）
A．1 B.0 C.5
D.−5
2、若球面x2+y2+z2+Dx+Ey+Fz+G=0与xoy坐标面相切，则其系数必须满足关系式：
A.D2+F2=4G
B.D2+E2=4G
C.E2+F2=4G
D.D2+G2=4F
3、在曲线x=t，y=-t2，z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线（）
A．只有1条 B. 只有2条 C. 只有3条 D.不存在
4、设f（x，y）=sin（x2+y2）
x+y
，x2+y2≠0
，x2+y2=0
，则它在原点处（）
A．无定义 B.无极限 C.有极限，但不连续 D.连续
5、设z=f（x，y）在（x0，y0）处沿任何方向的方向导数均存在，则（）
A.f’x(x0,y0), f’y(x0,y0),存在
B.z在（x0，y0）连续
C.z在（x0，y0）可微
D.以上均不对
三、计算题(每题8分)
1、求过点A（-1，0，4）且平行于平面3x-4y+z-10=0，又与直线
x+1 1=y−3
1
=z
2
，相交的直线方程。
2、求两直线L1：x=1
y=z和L2：
z=−2
x=−2y间的最短距离。
3、求曲线
z=2−x2−y2
z=(x−1)2+(y−1)2
在xoy面和yoz面上的投影曲线
方程。
4、设z=f(x,y)=arctan x+y
1−xy ,求f’x(0,0)及dz|x=0
y=0。
5、设u=f(x,y,z),φ(x2,e y,z)=0,y=sin x，其中f ,φ有一阶连续偏导数，且
∂φ∂z ≠0,求du
dx。
6、确定正数q，使曲面xyz=q与曲面x2
a +y2
b
+z2
c
=1在某一点相切，
其中a,b,c>0.
四、（11分）设变换u=x−2y
v=x+ay把方程6
∂2z
∂x2
+∂2z
∂x∂y
- ∂2z
∂y2
= 0简化为
∂2z
∂u∂v
= 0，其中z=f(x,y)有二阶连续偏导数，求常数a。
五、（11分）设曲面：φx,y,z=0,其中φ有一阶连续偏导数，P(x0,y0,z0)为外一点，|pq|为P到的最短距离，q（x1,y1,z1）∈。
证明pq是上q点处的法向量。