可降阶的高阶微分方程,高阶线性微分方程及其通解结构..
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第三节 可降阶的高阶微分方程
例5
求方程 yy′′ − y′2 0 的通解 。 ＝
dp 解 令 p = y′ ，则 y′′ = p 。 dy dp yp − p2 = 0 。 于是， 于是，原方程化为 dy dy = 0 ，故此时有解 y = C 。 若 p = 0 ，则 dx dp dy = 。 若 p ≠ 0 ，则原方程化为 p y dy p = 0 对应于 C1 = 0 = p = C1 y 。 两边积分，得 两边积分， dx y = C2 eC1x。 运用分离变量法， 运用分离变量法，得此方程的通解为
2 2
（***）
此处取负号是因为物体运动的方向与y轴的正向相反. 在（***）中令 y=R，就得到物体到达地面时的速度为
2 gR(l − R) v=− l
最后求物体落到地面所需的时间. 由（***）式有
1 1 dy = v = −R 2g − , y l dt
分离变量，得
1 l y dt = − dy. R 2g l − y
1 y′′ = 1 + y ′2 a
取原点 O 到点 A 的距离为定值 a ，即 |OA|= a ,则初始条件为：
y x =0 = a, y′ x =0 = 0.
故初值问题为
′′ 1 y = 1 + y ′2 , a y x = 0 = a, y ′ x = 0 = 0
′′ 1 y = 1 + y ′2 , a y x = 0 = a, y ′ x = 0 = 0
令 y ′ = p,
y′′ = p′ 代入上方程，得
dx = a 1 + p2 dp
1 2 p′ = 1+ p . a
x ln( p + 1 + p ) = + C1 a
4.3 可降阶的高阶微分方程
2
设原点到A的距离为定值a,初始条件为:
y (0) = a , y '(0) = 0， 令： y ' = p，
dp dx dp 1 2 ⇒ = . = 1+ p ， 方程变为: 2 a dx a 1+ p x 两端积分得：arshp = + C1 , a 由初始条件得 C1 = 0, 故
x dy x x arshp = , p = = sh , y = ach + C 2 . a dx a a
浙江舟山群岛金塘大桥
——连岛工程的第五座跨海大桥 该桥起自金塘岛，接至宁波的镇海炼化厂西侧。按照工 程设计，该桥跨海全长18.5公里，行车道宽度为26米，双 向四车道；设置三个通航孔道，主航道桥采用主跨620米 的双塔双索面斜拉桥方案，通航等级为50000吨级，通航 净空高度51米，通航净宽544米；副航道桥分别采用主跨 为186米的连续刚构和主跨为150米的连续梁桥。金塘大 桥是继东海大桥、杭州湾跨海大桥后国内第三长的跨海 大桥，在舟山大陆连岛工程5座大桥中规模最大。
由初始条件得 C 2 = 0.
于是绳索的状态方程为: (悬链线) x x − x a a y = ach = ( e + e a ). a 2
悬链线的几何意义
x a y = ach = ( e + e a 2
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
代入验证得 C1 = C 2，所以通解为：y = C (e + 1).
x
例5 一离地面很高的物体，受地球引力的作 用由 静止开始落向地面，求它落到地 面的速度和所需的时间。(不计空气阻力) 解:取连接地心与物体的直线为y 轴，其方向为铅直向上, 取地球中心为 原点O，设物体的质量为m，物体开始 下落时距离地心为h，地球半径为R， 质量为Mk为引力系数，时刻t时物体 所在的位置为 y =y(t)，速度为:
设原点到A的距离为定值a,初始条件为:
y (0) = a , y '(0) = 0， 令： y ' = p，
dp dx dp 1 2 ⇒ = . = 1+ p ， 方程变为: 2 a dx a 1+ p x 两端积分得：arshp = + C1 , a 由初始条件得 C1 = 0, 故
x dy x x arshp = , p = = sh , y = ach + C 2 . a dx a a
浙江舟山群岛金塘大桥
——连岛工程的第五座跨海大桥 该桥起自金塘岛，接至宁波的镇海炼化厂西侧。按照工 程设计，该桥跨海全长18.5公里，行车道宽度为26米，双 向四车道；设置三个通航孔道，主航道桥采用主跨620米 的双塔双索面斜拉桥方案，通航等级为50000吨级，通航 净空高度51米，通航净宽544米；副航道桥分别采用主跨 为186米的连续刚构和主跨为150米的连续梁桥。金塘大 桥是继东海大桥、杭州湾跨海大桥后国内第三长的跨海 大桥，在舟山大陆连岛工程5座大桥中规模最大。
由初始条件得 C 2 = 0.
于是绳索的状态方程为: (悬链线) x x − x a a y = ach = ( e + e a ). a 2
悬链线的几何意义
x a y = ach = ( e + e a 2
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
代入验证得 C1 = C 2，所以通解为：y = C (e + 1).
x
例5 一离地面很高的物体，受地球引力的作 用由 静止开始落向地面，求它落到地 面的速度和所需的时间。(不计空气阻力) 解:取连接地心与物体的直线为y 轴，其方向为铅直向上, 取地球中心为 原点O，设物体的质量为m，物体开始 下落时距离地心为h，地球半径为R， 质量为Mk为引力系数，时刻t时物体 所在的位置为 y =y(t)，速度为:
可降阶的高阶微分方程
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
【例4】
求微分方程yy″－y′2－y′=0的通解． 解方程不显含自变量x，设y′=p，则
，代入方程得
在y≠0,p≠0时，约去p并整理，得
这是关于p的一阶线性微分方程，利用公式解之得 p=C1y－1，即y′=C1y－1，再分离变量并两端积分，便得方程 的通解为
这是一阶方程，设其通解为
因y′=p(x)，于是
p=φ(x,C1)，
dydx=φ(x,C1)，
两端积分，得
y=∫φ(x,C1) dx+C2．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例2】
解方程xy″=y′lny′．
解设y′=p(x)，则
，方程化为
分离变量，得
为所求方程的通解．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例3】
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
方程 y″=f(y,y′)（6-19）
中不显含自变量x．为了求出它的解，我们令y′=p，并利用复合函数 的求导法则把y″化为对y的导数，即
这样，方程（6-19）就成为
这是一个关于y,p变量的一阶微分方程．设它的通解为 y′=p=φ(y,C1)，
分离变量并积分，便得方程的通解为
可降阶的高阶 微分方程
一、形如y″=f(x)型的微分方程
对于微分方程
y″=f(x)，
其右端仅含自变量x，如分得
y′=∫f(x)dx+C1，
y=∫(∫f(x)dx)dx+C1x +C2． 以此类推，对于n阶微分方程，连续积分n次，便得含
有n个任意常数的通解．
一、形如y″=f(x)型的微分方程
【例1】
2007级(下)第29次课第六节可降阶的高阶微分方程
那么称这n个函数在区间I 内线性相关．否则
称线性无关
例如 当x (, )时， e x，ex , e2x线性无关
1，cos2 x, sin2 x 线性相关
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特别地: 若在 I 上有 y1( x) 常数， y2( x)
则函数 y1 ( x)与 y2 ( x)在 I 上线性无关.
dy dx
C1
y,
原方程通解为 y C2ec1x .
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三、恰当导数方程
特点 左端恰为某一函数( x, y, y,, y(n1) ) 对x的导数, 即 d ( x, y, y,, y(n1) ) 0. dx
解法：类似于全微分方程可降低一阶
( x, y, y,, y(n1) ) C, 再设法求解这个方程.
解法： 令 y(k) P( x)
则 y(k1) P,
y P . (n)
(nk )
代入原方程, 得
P(x)的(n-k)阶方程
P (nk) f ( x, P( x),, P (nk1) ( x)). 求得 P( x),
将 y(k) P( x) 连续积分k次, 可得通解.
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五、小结
解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解.
例 5 求方程 yy y2 0的通解.
解
两
端同
乘不
为零
因子
1 y2
,
yy y2 d ( y) 0,
y2
dx y
故 y C1 y,
从而通解为 y C2eC1x .
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另解 原方程变为 y y , y y
称线性无关
例如 当x (, )时， e x，ex , e2x线性无关
1，cos2 x, sin2 x 线性相关
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特别地: 若在 I 上有 y1( x) 常数， y2( x)
则函数 y1 ( x)与 y2 ( x)在 I 上线性无关.
dy dx
C1
y,
原方程通解为 y C2ec1x .
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三、恰当导数方程
特点 左端恰为某一函数( x, y, y,, y(n1) ) 对x的导数, 即 d ( x, y, y,, y(n1) ) 0. dx
解法：类似于全微分方程可降低一阶
( x, y, y,, y(n1) ) C, 再设法求解这个方程.
解法： 令 y(k) P( x)
则 y(k1) P,
y P . (n)
(nk )
代入原方程, 得
P(x)的(n-k)阶方程
P (nk) f ( x, P( x),, P (nk1) ( x)). 求得 P( x),
将 y(k) P( x) 连续积分k次, 可得通解.
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五、小结
解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解.
例 5 求方程 yy y2 0的通解.
解
两
端同
乘不
为零
因子
1 y2
,
yy y2 d ( y) 0,
y2
dx y
故 y C1 y,
从而通解为 y C2eC1x .
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另解 原方程变为 y y , y y
可降阶高阶微分方程
n阶线性非奇次方程
y ( n ) + P1 ( x ) y ( n 1) + P2 ( x ) y ( n 2 ) + + Pn ( x ) y = 0
n阶线性奇次方程 下面以二阶方程为例,讨论高阶线性微分方程解的结构.
一. 二阶线性奇次方程解的结构 一般形式: y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0, 显然, y = 0 是(2)的解. 讨论非平凡解: 定理1. 如果 y1 ( x), y2 ( x) 是(2)的两个解,则 y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) 也是(2)的解,其中 C1 ,C2 为任意常数. 证明: 由于 y1 ( x), y2 ( x)是(2)的两个解, 所以
∴C2 = 1
y = x3 + 3x + 1
三. y′′ = f ( y, y′) 型方程 如果方程不显含 x, dp = f ( y, p) 方程变为: p dy 解出这个以 y 为自变量的一阶方程的通解: 令 y′ = p , 则 y′′ =
dp dp dy dp = =p , dx dy dx dy
二. y′′ = f ( x, y′) 型方程 如果二阶方程不显含 y, 令 y′ = p ,则 y′′ = 方程变为: p′ = f ( x, p ) 解出这个一阶方程的通解: p = ( x, C1 ) 则原方程的通解为: 例:
dp = p′ dx
y = ∫ ( x, C1 ) dx + C2
的特解,则 y1 ( x) + y2 ( x) 是方程
y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f1 ( x ) + f 2 ( x ) ( 4)
高阶微分方程求解
3 2 x 则 ( y ) [ax ( 3a b) x 2bx]e , * 3 2 x ( y ) [ax (6a b) x (6a 4b) x 2b]e , *
* 将 y , ( y ) , ( y ) 代入原方程比较系数得 * *
1 1 a , b , 6 2
[(C0 C1 x C k 1 x k 1 ) cos x ( D0 D1 x Dk 1 x k 1 ) sin x ]e x
若是k重共轭 复根 j
4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x )
二阶常系数非齐次线性方程
y c1 cos x c2 sin x x
例4 设 f (x) 具有连续的二阶导数试确定f (x) 使曲线积分
( 常数) 与路径无关 解 由曲线积分与路径无关的条件得
f ( x ) e x 2 f ( x ) f ( x )
即
x f ( x) 2 f ( x) f ( x) e
1 x f ( x ) (c1 c2 x )e e ( 1)2
x
例5
解
1 求解方程 y 2 y y ( x cos 2 x ). 2 2 r 4 0, 特征方程
特征根
r1, 2 2i ,
对应的齐方的通解为 Y C1 cos 2 x C2 sin 2 x .
(1) ( 2) 设 y x k e x [ Rm ( x ) cos x Rm ( x ) sin x ],
m maxl , n 其中 R ( x ), R ( x )是m次多项式，
(1) m ( 2) m
; 0 j不是特征方程的根时 k . 1 j是特征方程的单根时
* 将 y , ( y ) , ( y ) 代入原方程比较系数得 * *
1 1 a , b , 6 2
[(C0 C1 x C k 1 x k 1 ) cos x ( D0 D1 x Dk 1 x k 1 ) sin x ]e x
若是k重共轭 复根 j
4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x )
二阶常系数非齐次线性方程
y c1 cos x c2 sin x x
例4 设 f (x) 具有连续的二阶导数试确定f (x) 使曲线积分
( 常数) 与路径无关 解 由曲线积分与路径无关的条件得
f ( x ) e x 2 f ( x ) f ( x )
即
x f ( x) 2 f ( x) f ( x) e
1 x f ( x ) (c1 c2 x )e e ( 1)2
x
例5
解
1 求解方程 y 2 y y ( x cos 2 x ). 2 2 r 4 0, 特征方程
特征根
r1, 2 2i ,
对应的齐方的通解为 Y C1 cos 2 x C2 sin 2 x .
(1) ( 2) 设 y x k e x [ Rm ( x ) cos x Rm ( x ) sin x ],
m maxl , n 其中 R ( x ), R ( x )是m次多项式，
(1) m ( 2) m
; 0 j不是特征方程的根时 k . 1 j是特征方程的单根时
【高数(下)课件】10-3可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程
2 y 2 2 x
2 1 2x y dx ln C1 2 2 x 2 2x
再由初始条件 y(1) 2 ,知
C1 2[1 ln( 1 2 )]
故所求解为
1 2x y ln 2[1 ln( 2 1)] 2 2x
可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程
3 x 2 y y 1 x 3
y
x 0
1, y x0 4
3
dy 4(1 x )dx y x 4 x C2
4
再由初始条件 y x0 1, 知C2 = 1 故所求解为
y x4 4 x 1可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程
求微分方程 y 2 y 1 0 的积分曲线, 使该 1 积分曲线过点 0, , 且在该点的切线斜率为2. 2 解 方程 y 2 y 1 0 属y f ( y, y)型
1 p2 C1 y p C1 y 1
dy 即 C1 y 1 dx
属y f ( y, y)型
可分离变量方程
可降阶的高阶微分方程
dy dy dx C1 y 1 C1 y 1 dx
2 C1 y 1 x C 2 C1
三、y f ( y, y) 型的方程
特点 方程缺自变量x dy p p( y ) 解法 设 y dx 2 d p dp d y dp d y 则 y 2 p , 方程变成 d x dy d x dy dx dp p f ( y , p).这是关于变量y , p 的一阶方程. dy 设它的通解为 y p ( y, C1 ). 分离变量并积分, dy x C2 得通解为 ( y , C1 )
第五节可降阶的高阶微分方程
解法：设 y p( y) 则 y dp dy p dP ,
dy dx dy
代入原方程得到新函数P( y)的一阶方程， dy p( y) f ( y, p), dx 先求出P( y),然后求通解y.
例 4 求方程 yy y2 0 的通解.
解1 设 y p( y), 则 y p dP , dy
代入原方程得 y P dP P 2 0, 即 P( y dP P) 0,
dy
dy
由 y dP P 0， dy
可得 P C1 y,
dy dx
C1
y,
原方程通解为 y C2e c1x .
解2 原方程变为 y y , y y
两边积分,得 ln y ln y ln C1， 即 y C1 y，
当y 0,设y p,
y R2 (x C1 )2 C2 . (x C1 )2 ( y C2 )2 R2 .
四、小结
解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解.
补充题: 求方程 xyy xy2 yy 的通解.
解 xyy xy2 yy 同除以y 2得
yy xy2
x(
y2
)
y y
例 6 求曲线，它在任意点处的曲率都等于常数
K( 0). 解 设曲线y y( x),
当y 0,设y p,
则 | y | [1 ( y)2 ]3/2
K,
代入原方程得
dp (1 p2 )3/2
Kdx,
p
1
p2
K(x C1),
p
x C1
,
R2 (x C1)2
R 1 . K
y R2 (x C1)2 C2 .
5. xy y 2 xy .
练习答案
1. y3 y 1 0 .
dy dx dy
代入原方程得到新函数P( y)的一阶方程， dy p( y) f ( y, p), dx 先求出P( y),然后求通解y.
例 4 求方程 yy y2 0 的通解.
解1 设 y p( y), 则 y p dP , dy
代入原方程得 y P dP P 2 0, 即 P( y dP P) 0,
dy
dy
由 y dP P 0， dy
可得 P C1 y,
dy dx
C1
y,
原方程通解为 y C2e c1x .
解2 原方程变为 y y , y y
两边积分,得 ln y ln y ln C1， 即 y C1 y，
当y 0,设y p,
y R2 (x C1 )2 C2 . (x C1 )2 ( y C2 )2 R2 .
四、小结
解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解.
补充题: 求方程 xyy xy2 yy 的通解.
解 xyy xy2 yy 同除以y 2得
yy xy2
x(
y2
)
y y
例 6 求曲线，它在任意点处的曲率都等于常数
K( 0). 解 设曲线y y( x),
当y 0,设y p,
则 | y | [1 ( y)2 ]3/2
K,
代入原方程得
dp (1 p2 )3/2
Kdx,
p
1
p2
K(x C1),
p
x C1
,
R2 (x C1)2
R 1 . K
y R2 (x C1)2 C2 .
5. xy y 2 xy .
练习答案
1. y3 y 1 0 .
可降阶的高阶微分方程
§10.3 可降阶的高阶微分方程
( n) y f ( x ) 型的微分方程 一.
二. y f ( x, y) 型的微分方程
三. y f ( y, y) 型的微分方程
教学目标
1. 掌握三种特殊高阶方程的求解方法.
机动
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从本节起，我们将讨论二阶及二阶以上的微分方程，即
y f ( x, y)
令 y p( x ), 则 y
dp dx
3.
y f ( y, y)
令 y p( y ),
dp 则 y p dy
16
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2018/7/27
思考练习
1. 方程 y f ( y) 如何代换求解 ? 答: 令 y p( x ) 或 y p( y ) 均可. 一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如, y e
1 3 C1 ( x x ) C 2 3
以条件 y x0 1 ， y x0 3 代入得 C1 3 ， C2 1
故所求特解为 y x 3 3 x 1
19
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则
p F ( x,C1 )
dy F ( x,C1 ) dx 这是个一阶微分方程，两端进行积分，便可得方程
(10.3.2)的通解为
y F ( x,C1 )dx C2
7
例2 求微分方程 xy y x 2 0 的通解. 解 由于方程中不显含未知函数 y ，是属于 y f ( x, y) 型. 设 y p, 则
y x 0 3 的特解.
解 令
p y 则原方程化为
( n) y f ( x ) 型的微分方程 一.
二. y f ( x, y) 型的微分方程
三. y f ( y, y) 型的微分方程
教学目标
1. 掌握三种特殊高阶方程的求解方法.
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从本节起，我们将讨论二阶及二阶以上的微分方程，即
y f ( x, y)
令 y p( x ), 则 y
dp dx
3.
y f ( y, y)
令 y p( y ),
dp 则 y p dy
16
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2018/7/27
思考练习
1. 方程 y f ( y) 如何代换求解 ? 答: 令 y p( x ) 或 y p( y ) 均可. 一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如, y e
1 3 C1 ( x x ) C 2 3
以条件 y x0 1 ， y x0 3 代入得 C1 3 ， C2 1
故所求特解为 y x 3 3 x 1
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则
p F ( x,C1 )
dy F ( x,C1 ) dx 这是个一阶微分方程，两端进行积分，便可得方程
(10.3.2)的通解为
y F ( x,C1 )dx C2
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例2 求微分方程 xy y x 2 0 的通解. 解 由于方程中不显含未知函数 y ，是属于 y f ( x, y) 型. 设 y p, 则
y x 0 3 的特解.
解 令
p y 则原方程化为
可降阶的高阶微分方程
dp
2
p 1 y p tan(x C1 )
dx
arctan p x C1
y tan(x C1 ) dx C 2
ln | cos(x C1 ) | C2
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小结
高阶微分方程的基本解法 ——通过代换降低阶数。 1、 y(n) = f (x) 型： 2、 y" = f (x,y') 型： 3、 y" = f (y,y') 型： 连续积分n次； 因变量换元；
1 2 dp dy ln( p 2 1) y C1 , 2 p 1
p
（难!!!）
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2 . 例4 求 y y 1 0 的通解
另解 不显含因变量。 取 p y 为因变量， dp 2 p 1 0 原方程降阶为 （可分离变量） dx
dp 原方程降阶为 p f ( y, p) dy dy ( y; C1 ), 则 若得其解为 p ( y; C1 ), dx
原方程通解为
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dy x C2 . ( y; C1 )
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2 . 例3 求 yy y 0 的通解
解 不显含自变量。取 p y 为因变量，y 为自变量，
C1e x C2 x 2 .
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练 习 题
一、求下列各微分方程的通解: 1、 y xe x ； 2、 y 1 y 2 ； 2 3 y 2 0 . 3、 y ( y ) y ； 4、 y 1 y 二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: 3 y 1、 y 1 0 , y x 1 1 , y x 1 0 ； 2 y a y 0 , y x 0 0 , y x 0 1 ； 2、 3、 y 3 y , y x 0 1 , y x 0 2 . 三、试 求 y x 的 经 过 点 M (0 , 1) 且 在 此 点 与 直 线 x y 1 相切的积分曲线 . 2
2
p 1 y p tan(x C1 )
dx
arctan p x C1
y tan(x C1 ) dx C 2
ln | cos(x C1 ) | C2
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小结
高阶微分方程的基本解法 ——通过代换降低阶数。 1、 y(n) = f (x) 型： 2、 y" = f (x,y') 型： 3、 y" = f (y,y') 型： 连续积分n次； 因变量换元；
1 2 dp dy ln( p 2 1) y C1 , 2 p 1
p
（难!!!）
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2 . 例4 求 y y 1 0 的通解
另解 不显含因变量。 取 p y 为因变量， dp 2 p 1 0 原方程降阶为 （可分离变量） dx
dp 原方程降阶为 p f ( y, p) dy dy ( y; C1 ), 则 若得其解为 p ( y; C1 ), dx
原方程通解为
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dy x C2 . ( y; C1 )
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2 . 例3 求 yy y 0 的通解
解 不显含自变量。取 p y 为因变量，y 为自变量，
C1e x C2 x 2 .
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练 习 题
一、求下列各微分方程的通解: 1、 y xe x ； 2、 y 1 y 2 ； 2 3 y 2 0 . 3、 y ( y ) y ； 4、 y 1 y 二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: 3 y 1、 y 1 0 , y x 1 1 , y x 1 0 ； 2 y a y 0 , y x 0 0 , y x 0 1 ； 2、 3、 y 3 y , y x 0 1 , y x 0 2 . 三、试 求 y x 的 经 过 点 M (0 , 1) 且 在 此 点 与 直 线 x y 1 相切的积分曲线 . 2
7546;可降阶的高阶微分方程
分离变量有 dp dy p 0
p 2y
两端积分得
1 ln p 2 ln y ln C1
故 p C1 y
即 再分离变量
dy C1 dx y
ydy C1dx
再积分得 化简得
2
y
3 2
3
C1x C2
3
y 2 C3 x C4
2
或 y (C3 x C4 ) 3
例 7 已知曲线, 它的方程y=f(x)满足微分方程
（降低了阶数，转化 为p与y的关系）
即 y f ( y, y) 不显含x型
解法
：令 y p(x),则
y dp dp dy p dp . dx dy dx dy
代入原方程 p dp f ( y, p) （降低了阶数，转化
dy
为p与y的关系）
设通解为： p ( y, c1),
dy dx
p2
)
ln
y
ln
c1
,
即
1 1 p2
yc1 ,
p 1
Q y 1, y 1, 上式不满足初始条件的解，
x0
x0
考虑 p 1, 即 dy 1, y x c dx
满足初始条件的解为 y=1-x
小 结 1. y(n) f (x)
解法：视 y(n) [ y(n1) ]，积分一次得
（降了一阶）
三、不显含自变量 x 的二阶微分方程
形如 y'' f ( y, y' )的微分方程。
解法： 令y' p,并利用复合函数的求导法则
把y''化为对y的导数，即
y'' dp dp dy p dp y p. dp
dx dy dx dy
第十二章微分方程(二)
二、 高阶微分方程1．高阶微分方程的定义：'''()(,,,,)0n F x y y y =2．可降阶的高阶微分方程类型及解法 可降阶的高阶微分方程有三种类型： （1）()()n y f x = 解法：逐次积分（2）),(y x f y '='' 特点：不显含y 的方程解法：设p y ='，则p y '=''，代入方程中得),(p x f p ='。
已降为一阶。
（2）),(y y f y '='' 特点：显含x 的方程 解法：设p y ='，则dydp p dx dy dy dp y =⋅='' 代入方程中得),(p y f dydpp=，已降为一阶。
【例1】求微分方程(1)ln (1)x y y x '''++=+的通解.解：由于不显含y ，令()y p x '=，则y p '''=，代入原方程得(1)ln(1)x p p x '++=+ 即 l n (1)11p x p x x+'+=++ 为一阶线性微分方程 利用公式得11ln(1)ln(1)111111ln(1)ln(1)()()111(ln(1))ln(1)111dxdx x x x x x x p e e dx C e e dx C x x C x dx C x x x--++++++⎰⎰=+=+++=++=+-+++⎰⎰⎰即 1l n (1)11Cy x x'=+-++ 积分得 12()ln(1)2y x C x x C =++-+ 【例2】求微分方程2()0y y y '''-=满足初始条件0011,2x x y y =='==的特解。
解：由于不显含x ，令()y p y '=，所以y pp '''=，代入原方程得 20y p pp '+=所以 0p = 或 0y pp '+= 当0yp p '+=时，此方程为可分离变量的方程，分离变量得dp dy p y=-积分得 1l n ||l n ||l n p y C =-+，所以， 1C p y =， 即 1Cy y'= 将0011,2x x y y =='==代入得112C =，从而 12y y'= 分离变量得 22y x C =+，将01x y ==代入得21C = 所求方程的特解为 21y x =+当0p =时，即0y '=，积分得y C =，特解为1y =，含在21y x =+内。
6-3可降阶的高阶微分方程
故 y C1 y ,
从而通解为
y C 2e
C1 x
. C1 , C2 是任意常数
y y , 两边积分,得 解3： 原方程变为 y y
ln | y | ln | y | ln C1， 即 y C1 y Cy，
C x 原方程通解为 y C 2e 1 . C1 , C 2 是任意常数
第七节 目录
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y ( x ln x x C1 )dx
1 2 3 2 x ln x x C1 x C 2 2 4
C1 , C2 是任意常数
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二、 y f ( x , y) 型的微分方程
特点：方程不显含 y
解法：令 y P ( x ), 则 y P
1 ln(1 P 2 ) ln | y | ln C1 两边积分得 2
即 (1 P 2 ) y 2 C , C C12
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(1 P 2 ) y 2 C ,
1 解得 P y C y2 y y 则 dy dx 2 Cy
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y P ( x ) C (1 x 2 ) ,
又 y x0 3
得 C3
即 y P ( x ) 3(1 x 2 )
两边积分得
y 3(1 x 2 )dx 3 x x 3 C
又 y x 0 1
得C 1
故初值问题的解为
由 P 0 , 即 y 0 , 得 y C3 , 也是原方的解，
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两端积分,得 ln(1 p2 ) ln y ln C , 即1 p2 Cy,
dp 解 设y P( y ),则y P d p ,将y, y代入原方程得： yP P 2 0， dy dy dp dy 在y 0、p 0时, 约去p并分离变量再积分得： P y，
dy dy 即ln p ln y ln C1， p C1 y， 分离变量得 : C1dx， 即 C1 y， y dx dy 积分 : C1dx，即 : ln y C1 x ln C2，所以 : y C2e C1 x , y
( n)
f ( x , y , y ,
, y( n1) ).
一、 y( n ) f ( x )型
特点： 不显含未知函数y, y， y( n1) . 解法：接连积分n次，得通解．
4
例1
求方程y e 2 x cos x的通解.
1 2x 解 y e cos x dx e sin x C0 , 2 1 2x 1 2x y e sin x C0 dx e cos x C0 x C2 , 4 2
则原方程的通解为：y C2e C1 x .
9
例5 求微分方程2 yy 1 y 2满足初始条件 y x 0 1,y x 0 1 的特解. dp 解 设y P( y ), 则y P , 将y, y代入原方程得： dy 2p 1 dp 2 dp d y , 2 yP 1 P ，分离变量得 2 1 p y dy
例4 求微分方程yy y 2 0的通解. dp 解 设y P( y ),则y P d p ,将y, y代入原方程得： yP P 2 0， dy dy dp dy 在y 0、p 0时, 约去p并分离变量再积分得： P y，
8
例4 求微分方程yy y 2 0的通解.
7
三、 y f ( y, y) 型的微分方程 特点： 不显含自变量 x. dy dp 解法： 令y P , 则y P , dx dy dP d y dP d dP P ， (y ) y ( y) dy dx dy dx dx dp 代入原方程,得 P f ( y , P ) 这是一阶微分方程. dy
5
二、y f ( x, y) 型的微分方程 特点：不显含未知函数 y. dP 解法： 令y P( x ), 则 y P , dx 代入原方程,得 P f x, P ( x ) . 这是一阶微分方程.
例2 求微分方程(1 x 2 ) y 2 xy满足 y x 0 1,y x 0 3的特解. dP 解 所给方程是y f ( x, y) 型， 令y P( x ), 则 y P , dx 1 2x 1 2x d x, 积分 d P d x, 代入原方程,得 d P 2 2 P 1 x P 1 x 即ln P ln(1 x 2 ) ln C , 则得:P C (1 x 2 ), 由 y x 0 3得： C 3，
10-3 可降阶的高阶微分方程
1
1. 微分方程的概念
复习
微分方程; 阶; 解; 通解; 特解; 定解条件. 2. 可分离变量方程 g( y )d y f ( x )d x 的求解方法:
分离变量法步骤: 1.分离变量;
2.两端积-------隐式通解.
dy y ( )的微分方程. 3.齐次方程 形如 dx x
则:P 3(1 x 2 ), 即y 3(1 x 2 ), 两边积分得: y 3 x x 3 C1 ,
1 C1 , 则所求的特解为:y 3 x x 3 1. 由 y x 0 1得：
6
例3 求微分方程xy y 0的通解.
解 令y P( x ), 则 y P d P , dx dP 代入原方程 xP P 0, 即x P, dx 1 1 积分得 ln P ln x ln C1 分离变量,得 d P d x， P x C1 d y C1 P , 即 ， x dx x 对它两端积分,得 y C1 ln x C2， 原方程通解为 y C1 ln x C2 .
5. 一阶线性非齐次微分方程
dy P ( x ) y Q( x ) dx P ( x )dx P ( x )dx ( Q( x )e dx C ) （2）通解公式 y e
（1）一般式
解法？
3
10-3 可降阶的高阶微分方程 高阶微分方程定义： 二阶及二阶以上的微分方程. 可降阶的高阶微分方程：可以通过代换将它化为较低 这种类型的方程称为可降阶的方程. 阶的方程来解， 相应的解法称为降阶法. 一般形式： y
y dy du 解法： 作变量代换 u , 即 y xu, 则 u x . x dx dx
dy 其它变量代换: ( x y ), 令u x y dx
2
4. 一阶线性齐次微分方程
dy （1）一般式 P( x) y 0 dx P ( x )dx （2）通解公式 y Ce
2x
1 2x y e cos x C0 x C 2 dx 4
1 2x C e sin x C1 x 2 C2 x C 3 , 其中 : C1 0 , 8 2 1 2x 2 y e sin x C x C2 x C3 . 所以原方程通解为 1 8