可降阶的高阶微分方程,高阶线性微分方程及其通解结构..

dp 解 设y P( y ),则y P d p ,将y, y代入原方程得： yP P 2 0， dy dy dp dy 在y 0、p 0时, 约去p并分离变量再积分得： P y，
dy dy 即ln p ln y ln C1， p C1 y， 分离变量得 : C1dx， 即 C1 y， y dx dy 积分 : C1dx，即 : ln y C1 x ln C2，所以 : y C2e C1 x , y
y dy du 解法： 作变量代换 u , 即 y xu, 则 u x . x dx dx
dy 其它变量代换: ( x y ), 令u x y dx
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4. 一阶线性齐次微分方程
dy （1）一般式 P( x) y 0 dx P ( x )dx （2）通解公式 y Ce
两端积分,得 ln(1 p2 ) ln y ln C , 即1 p2 Cy,
例4 求微分方程yy y 2 0的通解. dp 解 设y P( y ),则y P d p ,将y, y代入原方程得： yP P 2 0， dy dy dp dy 在y 0、p 0时, 约去p并分离变量再积分得： P y，
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例4 求微分方程yy y 2 0的通解.
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二、y f ( x, y) 型的微分方程 特点：不显含未知函数 y. dP 解法： 令y P( x ), 则 y P , dx 代入原方程,得 P f x, P ( x ) . 这是一阶微分方程.
例2 求微分方程(1 x 2 ) y 2 xy满足 y x 0 1,y x 0 3的特解. dP 解 所给方程是y f ( x, y) 型， 令y P( x ), 则 y P , dx 1 2x 1 2x d x, 积分 d P d x, 代入原方程,得 d P 2 2 P 1 x P 1 x 即ln P ln(1 x 2 ) ln C , 则得:P C (1 x 2 ), 由 y x 0 3得： C 3，
5. 一阶线性非齐次微分方程
dy P ( x ) y Q( x ) dx P ( x )dx P ( x )dx ( Q( x )e dx C ) （2）通解公式 y e
（1）一般式
解法？
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10-3 可降阶的高阶微分方程 高阶微分方程定义： 二阶及二阶以上的微分方程. 可降阶的高阶微分方程：可以通过代换将它化为较低 这种类型的方程称为可降阶的方程. 阶的方程来解， 相应的解法称为降阶法. 一般形式： y
则原方程的通解为：y C2e C1 x .
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例5 求微分方程2 yy 1 y 2满足初始条件 y x 0 1,y x 0 1 的特解. dp 解 设y P( y ), 则y P , 将y, y代入原方程得： dy 2p 1 dp 2 dp d y , 2 yP 1 P ，分离变量得 2 1 p y dy
10-3 可降阶的高阶微分方程
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1. 微分方程的概念
复习
微分方程; 阶; 解; 通解; 特解; 定解条件. 2. 可分离变量方程 g( y )d y f ( x )d x 的求解方法:
分离变量法步骤: 1.分离变量;
2.两端积分-------隐式通解.
dy y ( )的微分方程. 3.齐次方程 形如 dx x
( n)
f ( x , y , y ,
, y( n1) ).
一、 y( n ) f ( x )型
特点： 不显含未知函数y, y， y( n1) . 解法：接连积分n次，得通解．
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例1
求方程y e 2 x cos x的通解.
1 2x 解 y e cos x dx e sin x C0 , 2 1 2x 1 2x y e sin x C0 dx e cos x C0 x C2 , 4 2
2x


1 2x y e cos x C0 x C 2 dx 4
1 2x C e sin x C1 x 2 C2 x C 3 , 其中 : C1 0 , 8 2 1 2x 2 y e sin x C x C2 x C3 . 所以原方程通解为 1 8
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三、 y f ( y, y) 型的微分方程 特点： 不显含自变量 x. dy dp 解法： 令y P , 则y P , dx dy dP d y dP d dP P ， (y ) y ( y) dy dx dy dx dx dp 代入原方程,得 P f ( y , P ) 这是一阶微分方程. dy
则:P 3(1 x 2 ), 即y 3(1 x 2 ), 两边积分得: y 3 x x 3 C1 ,
1 C1 , 则所求的特解为:y 3 x x 3 1. 由 y x 0 1得：
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例3 求微分方程xy y 0的通解.
解 令y P( x ), 则 y P d P , dx dP 代入原方程 xP P 0, 即x P, dx 1 1 积分得 ln P ln x ln C1 分离变量,得 d P d x， P x C1 d y C1 P , 即 ， x dx x 对它两端积分,得 y C1 ln x C2， 原方程通解为 y C1 ln x C2 .