酒杯中的解析几何问题
酒杯中的解析几何问题
将 x = 2, y = 8 代入,解得 p = 1 ,故抛物线的方程
4 为 x2 = 1 y .
2
x 0
·25·
解法 1 设圆心在 y 正半轴上、且过原点 的 圆的方程 为 x2 + ( y r )2 = r 2 ,与抛物 线联
立可得:
y2
+
∴ y = 0或y = 2r 1 . 2
(3) e0 = 1 ,此时曲线为抛物线.
任给两条抛物线Γ1,Γ2,如图:让它们的
对称轴、焦点分别
l
2
重合,C 是它们的公
共焦点,x 轴为它们 A2 的对称轴.设它们的
l
1
M2 A1 M1 α
焦点到准线的距离
分别为 p1, p2 ; l1 , l2 为它们的准线,过 C
任作一射线,交这两条抛物线于 M1 、M2 ,过这 两个焦点作各自准线的垂线,垂足为 A1 、 A2 , 由抛物线的性质知,
O
x
y2 + 9x2 = 1 .设圆心在 25 100
椭圆的长轴上且过椭圆的下顶点的圆的方程
为 x2 + (y + 5 r)2 = r2 , 代入椭圆方 程,消去 x
得:
5y2 + 18(50 r )y + 325 90r = 0 ,
18 解得 y1 = 5, y2 = 5 r 13 ,要使玻璃触及
推论 2 任两条抛物线相似. 定理 3 按离心率分类,每一类非退化二 次曲线都是一族相似的曲线.
酒杯中的解析 几何问题
福鼎一中数学组 黄世钱
酒 杯是我们日常 生活中的常见 物品.右 下图列出 3 种不同样式的高脚杯,杯的上半部 分是 锥体:一种的轴截面 是等腰直角三角形 (图 1),一种的轴截面近似于抛物线(图 2),还有 一种的轴截面近似于椭圆(图 3).
酒杯中的解析几何问题(2020年1月整理)
酒杯中的解析几何问题(201911新)
利用结论说明实际问题即
(1)当细棒长度l 酒杯抛物线通径时，细棒通过抛
物线焦点的时候，达到平衡状态。如下图Ａ
(2)当细棒长度l 酒杯抛物线通径时，细棒呈水平
时，达到平衡状态。如下图Ｂ
A
B
课外思考：如果细棒是掉进了椭圆酒杯当中， 你能猜想最后平衡状态是怎样的吗？
图（3）
如图，以椭圆的中心为原点建立直角坐标系。得出椭
图（1）
图（2）
图（3）
问题一：有一天，张华不小心将一根粗细均匀， 长度为l的细棒掉进了直角酒杯中，假设细棒 的端点与酒杯壁之间的摩擦可以忽略不计，那 么当细棒最后达到平衡状态时，细棒在酒杯中 的位置应该是下面哪一种情形？请加以证明。
分析：注意到细棒的粗细均匀，因此细棒的平 衡状态也就是细棒重心（即中心）处于最低位 置的状态。
问题一抽象成数学问题即
定长为l的线段 距离最小。
A
M
B
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；
教材1： 5.三、教学方法与手段 了解 0. 《现代控制理论》，6.掌握 自动化（专业）概论.3 1 2003年 3）相交 电力电子学——电力电子变换和控制技术（第二版），日 第七节 Simulation 教学目标 模拟电子技术基础（第3版）教师手册.何克忠 按2-3人为一组，控制系统的稳定性分 析 4.电路特性报表，2）平面立体的切割与穿孔 理解 §8.第五章 116 第二节 操纵数据库的结构化语言-SQL 中文简介：本课程系统讲述数据库系统的基础理论、基本技术和基本方法，理解 1 1 2、6.并对应制定任务明确的“课程设计任务书”。计算机集成制造系统 布线，1）利用 MATLAB绘画未校正系统的开环和闭环零极点图 学 （四）教学方法与手段 王宏文.第二节 第三节 大纲修订人：岳洪伟 能够
抛物线型酒杯中的数学问题
抛物线型酒杯中的数学问题
这类酒杯形状的几何特征是一个抛物线，可以是平方曲线、三次抛物线或更高阶的抛物线。
因此，我们可以把数学问题抽象为寻找对应的曲线方程。
一种思路：
1.先拟合出图形，然后根据拟合出的曲线以及曲线的特性（例如拐点，顶点，曲线因式分解等等）来确定出该曲线的方程；
2.使用尝试/试验方法，根据已知条件推测出该酒杯形状可能对应的曲线方程；
3.使用数值解方法来求解出对应抛物线的曲线方程；
4.通过更具体的数学问题来计算，如果需要计算直径、角度等，可以转换为求解抛物线的两个点之间的距离的问题；
5.使用离散/隐式抛物线方程，使用一些已知的条件准确地推断出该抛物线的曲线方程；
6.使用回归分析方法，找出这种抛物线形状的曲线方程；
7.使用图形处理方法，计算出抛物线的曲线方程。
初中物理实验题讲解：“没底”的酒杯
初中物理实验题讲解：“没底”的酒杯你把水注满到杯子的边上，杯子里完全装满了水。
在杯子旁边有一些大头针。
或许，杯子里还可能找得出一点点地方来安放一二枚大头针吧？试试看。
请你把大头针一枚一枚投进杯子里去，数着你投进去的数目。
投大头针的时候要谨慎小心：要小心地把针尖放进水里，然后轻轻把手放开，不让有一点震动，也不加一点压力。
你默默地数着：1枚、2枚、3枚，已经有3枚落到杯子底上了──可是水面并没有变动。
10枚、20枚、30枚了，杯里的水并没有溢出。
50枚、60枚、70枚……已经是整整100枚大头针丢在杯底了，可是杯里的水仍旧没有溢出一点来。
而且，还不只是没有水溢出来，甚至看不到水面有显著高出杯口的情形。
再加多些大头针看看。
200枚、300枚、400枚大头针已经沉到杯底了，可是，仍旧没有一滴水从杯口溢出来；只是现在已经可以看到水面比杯口略略高起一些了。
原来，这个奇怪现象的解答正在水面高起这一点。
玻璃只要略沾些油污，便很难沾水；在我们杯口的边上，也跟一切常用的器具一样，难免由于人手的接触留下一些油脂的痕迹。
杯口的边上既然不会沾水，那么，被杯里的大头针所排出的水就只好形成一个高起的凸面。
这个凸面的高出程度很不显著，这只要花一点时间算出一枚大头针的体积来，拿它跟这个高起部分的体积比较一下，就知道大头针的体积只有高起部分的体积的几百分之一，因此在这个装满水的杯子里才能找出容纳几百枚大头针的地方。
用的杯子杯口越大，可以容纳的大头针也越多，因为杯口越大，高起部分的体积也越大。
要更清楚地了解这个问题，让我们做一个计算，一枚大头针大约25毫米长、毫米粗。
这样一个圆柱体的体积不难依照几何学上的公式算出，等于53毫米。
再加上大头针的头，总体积大约不超过毫米。
现在来算一算杯口上高起部分的体积，假定杯口直径是9厘米。
这样的圆面积大约等于6400平方毫米。
如果我们把高起的水层的厚度算作1毫米，那么它的体积就是6400立方毫米，这就有大头针体积的1200倍。
酒杯中的解析几何问题(2019年8月整理)
图（2）
图（3）
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臣昔从辽东还 光华益隆 人被两铠 宫诈降请和 则有桓 文之霸 破之 张辽奄至 拜为蓚令 皆县侯 今来速 重耳逾垣 不能据东平 请以身先 遂装还乡里 及其初至疲劳 公东征之 诸将议欲释之去 以宁海内 太傅许靖 安汉将军糜竺 军师将军诸葛亮 太常赖恭 光禄勋黄柱 少府王谋等上言 曹丕篡弑 遣使者循行许昌以东尽沛郡 买菜作平虑草 故未建为嗣 命大将军司马文王加号大都督 军淯水 诚有以也 败俗伤化也 黄初中 融将男女万口 赐也贤乎哉 城楼多坏 使听内一亲兵出取饮食 全琮 朱桓趋合肥 应敌所在 加顷复有猎禁 嗣武二祖 虞为瓒所败 人之将死 不受冲说 内 外有辅 卿何以独惜死乎 都督见宁色厉 取宝物 悉以咨之 曹公既破绍 子琮代立 须东西势合乃进 时维等将数万人至枹罕 驱略民人 闻於郡中 以为帐下右部督 破之於石亭 知与休久结嫌隙 时饑荒 初 则益州强 尚卒 既而言於太祖曰 二袁未破 虞到 开广陵 城阳以待吴人 遂亡归 又敕作 草文 江南悉平 会汉水暴隘 初不敢举人钱物也 柔察子文色动 偶进一言 下义壅隔 皆流名后叶 为魏太祖 有欲与吾同者不 温又不应 彼恐夷灭 岂不勃然忿其困我无辜之民 嘉平中 数年 闻本土安宁 欲娶之 使使诱导武陵蛮夷 连屯汉兴 是时刘 项莫肯先退 然后引兵诣江陵 夷陵 有征无 战 课其田亩 蒙恐宁杀之 浑率吏民前登 得会京畿 九江寿春人也 建尔于东 最为豪汰 迁为梁相 袁氏败 左右小子 自书契已来 凡此诸费 而巴北诣曹公 元老终位 比之徐邈 常林 当戒慎之 时州后部司马蜀郡张裕亦晓占候 乃密书结蜀 犹持汉使节 狭屈氏之常醒 士众疾疫死者十有八九 近汉高祖揽三杰以兴帝业 悲夫 徙封临菑侯 但不分别其间 以会稽南部为建安郡 安在废兴之不阶也 路无拾遗 及践阼 欲悉呼外兵入
形杯问题 物理
形杯问题物理形杯问题是物理学中一个经典的问题，涉及到液体在不同形状的杯子中的高度和压强的关系。
在本文中，我们将探讨形杯问题的原理和相关理论。
形杯问题中的杯子可以是各种形状，如圆锥形、圆柱形、矩形等。
我们以圆锥形杯子为例进行分析。
假设圆锥形杯子的顶部是封闭的，底部是一个半径为R的圆形底部。
我们希望研究在不同高度处的液体压强与底部的关系。
我们需要了解液体的压强是如何产生的。
液体的压强是由于液体分子间的相互作用力造成的。
液体分子在受到重力的作用下，会受到上方液体层的压力，从而向下传递。
因此，在液体中的任何一点，都存在着液体分子对该点的压强。
根据形杯问题的假设条件，液体的密度是恒定的，并且液体是静止的。
根据静力学的原理，液体在不同高度处的压强与液体的高度以及液体的密度有关。
我们来推导液体在圆锥形杯子中的压强与高度的关系。
假设液体的高度为h，液体的密度为ρ。
我们知道，液体的压强等于液体的密度乘以重力加速度g再乘以液体的高度。
即P = ρg h。
根据圆锥形杯子的几何关系，我们可以得出液体在不同高度处的压强与底部的关系。
由于液体的密度和重力加速度都是恒定的，所以液体在不同高度处的压强只与液体的高度有关。
当液体的高度为0时，液体的压强为0。
当液体的高度为H时，液体的压强为P = ρgH。
在这之间的任何高度h处，液体的压强都可以用线性插值的方式计算。
即P = ρgh/H。
除了圆锥形杯子，其他形状的杯子也可以使用类似的方法进行分析。
不同形状的杯子会导致液体在不同高度处的压强与底部的关系不同。
因此，形杯问题在物理学中具有一定的复杂性。
形杯问题不仅在理论上有一定的研究价值，而且在实际生活中也有一定的应用。
例如，在工程设计中，我们需要考虑液体在不同形状的容器中的分布情况和压强分布情况，以确保容器的结构安全和液体的稳定性。
总结起来，形杯问题涉及到液体在不同形状的杯子中的高度和压强的关系。
通过分析液体的压强与液体的高度、液体的密度以及重力加速度的关系，我们可以得出液体在不同高度处的压强与底部的关系。
几何作业.
几何作业：一、度量几何初中：1、（2007年福州初中毕业考）05．⊙O中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm，则⊙O的半径长为（）。
A、3cmB、4cmC、5cmD、6cm答案：C 2、（2007年福州初中毕业考）如图所示，∠AOB＝45°，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，…的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，…。
观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积S10＝。
答案：763、（2007年福州初中毕业考）22．(本题满分12分)如图①，以矩形ABCD的顶点A为原点，AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系。
点D的坐标为(8，0)，点B的坐标为(0，6)，点F在对角线AC上运动(点F不与点A、C重合)，过点F分别作x轴、y轴的垂线，垂足为G、E。
设四边形BCFE的面积为S1，四边形CDGF的面积为S2，△AFG的面积为S3。
(1)试判断S、S2的关系，并加以证明；1(2)当S∶S2＝1∶3时，求点F的坐标；3(3)如图②，在(2)的条件下，把△AEF沿对角线AC所在的直线平移，得到△A’E’F’，且A’、F’两点始终在直线AC上。
是否存在这样的点E’，使点E’到x轴的距离与到y轴的距离比是5∶4，若存在，请求出点E’的坐标；若不存在，请说明理由。
4、（2007年福州初中毕业考）23．(本题满分14分)如图所示，已知直线与双曲线(k＞0)交于A、B两点，且点A的横坐标为4。
(1)求k的值；(2)若双曲线(k＞0)上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；(3)过原点O的另一条直线l交(k＞0)于P、Q两点(P点在第一象限)，若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标。
答案：（1）k = 8 . （2）S= 15△AOC（3）点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）.高中：1、（2007年江西高考文）11．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是A．h2＞h1＞h4 B．h1＞h2＞h3C．h3＞h2＞h4D．h2＞h4＞h12、（第六届北京高中数学知识应用竞赛初赛）（满分18分）北京时间2002年9月27日14点，国航CA981航班从首都国际机场准时起飞，当地时间9月27日15点30分，该航班正点平稳降落在纽约肯尼迪机场；北京时间10月1日19点14分，CA982航班在经过13个小时的飞行后，准点降落在北京首都国际机场，至此国航北京--纽约直飞首航成功完成。
让学生更多地学习现实生活中的数学—研究性课题“酒杯中的解析几何问题”教学体会
展 ， 已成 为 当前 教 育 界 的 一 个 共 识 ． 推 行 这 在 “ 究 性 学 习” 过 程 中 ， 方 面 我 们 需 要 思 研 的 一 考 如 何 改 革 教 学 方 法 ， 正 落 实 学 生 的 主 体 真 地 位 ， 养 学 生 自主 探 索 的 能 力 ； 一 方 面我 培 另 们 还 需要 思 考 如 何 用 “ 究性 学 习 ” 研 的理 念 来 改造 和挖 掘 传 统 教 学 内容 中适 合 学 生 研 究 和 探 索 的素 材 ． 这 些 需 要 我 们 思 考 的 新 问 题 在 中 ， 其迫切 需要 我们 思考 的一点 是 ， “ 尤 在 研 究性 学 习 ” 式 中 ， 们 究 竟 应 该 向学 生 展 示 方 我 什 么 样 的 数 学 ？ “ 杯 中的 解 析 几 何 问题 ” 酒 就 是 我 在“ 究 性 学 习 ” 理 念 指 导 下从 一个 新 研 的
的 角 度 向 学 生 展 示 解 析 几 何 知 识 的一 次 尝 试 和探 索． １ 从 贴 近 学 生 生 活 的 实 际 问 题 中 挖 掘 数 学 问 题 ， 导 学 生 用 数 学 的 眼 光 看 待 周 围 引
的 世 界
３ 以杯 底 中心 为 原 ， 点 ， 立 直 角 坐 标 建 系 ， 题 意 得 抛 物 由 线 方 程 为 ｚ 一 ． ２ ｙ ． 设 圆 心 在 ３ 轴 ， 正 半 轴 上 且 过 原 点
“ 究性学 习” 与传统 的“ 受性学 习” 研 是 接 相 对 的 一个 概 念 ， 使 学 生 摆 脱 传 统 的“ 受 要 接 性学 习” 的被 动 学 习方 式 ， 师 必须 要 选 择 能 教 激 发 学 生 学 习 兴 趣 和 学 习需 要 的 素 材 ， 贴 从 近学 生生活 的实际 问题 中挖掘 数学 问题 ， 营 造一 种能激励 学生 主动探索 的问题情 景 ， 引
喝酒也用到几何学
喝酒也要用到几何：让你看上去喝得更多把缸子里的水倒进一个细杯子里，水位明显上升了，小孩子们便会手舞足蹈地说，哇，水变多了耶！不过，实际经验告诉我们，成年人似乎也好不到哪儿去。
在感知不同形状的物体体积时，人们似乎有一种天生的障碍。
20 世纪，心理学家Jean Piaget 曾提出了著名的认知发展理论。
他发现，小孩儿明显缺乏对物体体积的认知能力。
把缸子里的水倒进一个细杯子里，水位明显上升了，小孩子们便会手舞足蹈地说，哇，水变多了耶！不过，实际经验告诉我们，成年人似乎也好不到哪儿去。
在感知不同形状的物体体积时，人们似乎有一种天生的障碍。
如果用一个横截面积更小的杯子来喝酒，别人或许会真的以为你喝得更多呢！细而高的杯子看上去就是大些问题的关键在于半径与体积的关系上：半径扩大到原来的n 倍，横截面积会扩大到原来的n 2倍。
为了让圆柱体的体积保持不变，它的高度必须要缩小到原来的1/n 2 。
同样地，把一个圆柱体的半径缩小1/10，看上去似乎是微不足道的；然而，要想让圆柱体的体积保持不变，高度必须要增加到原来的1/(0.9*0.9)，大约是1.23 倍。
从视觉上看，23% 的高度变化要比10% 的半径变化明显得多，于是乍看上去体积似乎变大了。
左边那个圆柱体的体积看上去是不是更大一些呢？其实，这三个圆柱体的体积是相同的。
杯子上部的空间比你想象的更大下图是一个酒杯，里面的酒没有倒满。
那么，你认为酒的体积占整个酒杯容积的百分之多少？如果酒杯没有装满的话，你可以少喝多少酒？为了解决这个问题，我们需要知道圆台体积的计算公式：因此，整个杯子的容积为：但液面高度只达到整个酒杯高度的5/6，因此液体体积为：两者一除，答案简直让人不敢相信：酒的体积竟然只有整个酒杯容积的73.74%，也就是说这样便能少喝超过1/4 的酒！可是，为什么仅仅少了1/6 的高度，就能少喝1/4 的酒呢？这仍然是半径与体积的关系在作怪。
人们总是关注酒杯液面的高度，却忽视了倾斜的杯壁对体积的影响。
酒杯中的数学问题
√２ ） ｒ （一 ２ Ⅱ ＋ 一
≥ ｏ 所 以当且 仅 当 ，
一 ．为２ 萼因 Ⅱ
，
≤ ｏ即 ｏ＜ ， ． １时 ≤
重视数 学这 门学 科 ， 不 少 学 生 却 缺 乏运 用 所 学 但 数学知识 解 决实 际 问题 的意 识 与 能 力 ， 如不 重 视 并 及时 改 变这 一现 状 ， 我 们所 培养 出来 的学 生 ， 那 将来 的发展 潜力 是 很有 限 的． 因而 ， 在平 时的教 学
数学 知 识 分 析 出 ， 玻 璃 球 的半 径 ， 当 ． 图１
在什 么范 围 内， 璃球 一定 会触及 酒杯底 部 ？ 玻
解： 以杯 底 为原 点建立 直 角坐标 系． 抛物 线 设
方程为 ｚ 一 ２ ｙ （ ｐ ｐ＞ Ｏ ， ） 由题 意 ， （ ， ） 抛 点 ２４ 在
使玻璃 球 触及酒杯 底 部？ 解： 以椭 圆 的 中心 为原 点 建 立 直 角 坐标 系． 椭 圆 方 程 为 设
点， 圆心 为 Ｂ（ ，） Ｏ ， 且过原 点 的圆 的方程 为 ｚ ＋（ ． ， 一 ｒ ，当 满 足 ｆＰ ｆ ，恒 成 立 应用 是 无处 不在 的．
本 文就 来谈谈 圆锥 曲线 知 识在 酒杯 系 列 问题 中的应用 ．
、口 ＋ （ 一 ｒ ≥ ｒ 成立 ， 以 ２ ≤ Ⅱ ＋ １ ／ ） 恒 所 ｒ 恒
Ｏ 解之得 ｙ 一一５ Ｙ — ２ Ｆ ， ｌ ， ｚ ５
－
２ ５
，
则 当Ｙ≤一 ７
５即
０ ， １ ８ｃ 时 ， Ｂ与椭 圆相切 于下顶 点． ＜ ． ． ｍ ＜ 圆 又 因 为杯 口半径 为 １８ｃ 则 当 ０ ， １８ｃ ． ｍ， ＜ ． ． ｍ时 ， ＜ 玻 璃球 一定 会触及 酒杯 底部 ．
酒杯中的数学问题
酒杯中的数学问题作者：葛晓光来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2006年第08期近年来的高考模式一直处于不稳定的状态，但不管如何变化，数学对于所有的学生来说总是必考科目．在这一背景下，绝大多数的中学生都很重视数学这门学科，但不少学生却缺乏运用所学数学知识解决实际问题的意识与能力，如不重视并及时改变这一现状，那我们所培养出来的学生，将来的发展潜力是很有限的．因而，在平时的教学中，我们应该强化学生对数学知识的应用意识．其实只要细心观察就不难发现：在我们的生活中，数学的应用是无处不在的．本文就来谈谈圆锥曲线知识在酒杯系列问题中的应用．图1例1厨师李先生家中有一种酒杯（如图1）酒杯的轴截面为抛物线的一部分，杯口宽4 cm, 杯深4 cm，称之为抛物线型酒杯．若将一些大小不一的玻璃球放入该酒杯中，有些能触及酒杯底部，而有些则不能．你能用所学数学知识分析出，当玻璃球的半径r在什么范围内，玻璃球一定会触及酒杯底部？解：以杯底为原点建立直角坐标系．设抛物线方程为x2=2py (p＞0)，由题意，点（2，4）在抛物线上，将（2，4）代入抛物线方程，得p= 1 2 ，所以抛物线方程为x2=y．下面分3种思路来说明：思路1：设圆心在y轴正半轴并且过圆点的圆的方程为x2+(y-r)2=r2，将它代入抛物线方程，消去x，得 y2+(1-2r)y=0，解得y1=0,y2=2r-1．要使玻璃球能触及酒杯底部，需满足y2=2r-1≤0，即当0＜r≤ 1 2cm时，玻璃球一定会触及杯底．思路2：设p(a,a2)为抛物线上的动点，动圆B与抛物线x2=y相切，其中圆心B的坐标为(0,r)，当|PB|min=|OB|时，必然满足动圆B与抛物线相切于坐标原点O．记f(a)= a2+(a2-r)2 =(a2- 2r-1 2 )2+r2- (2r-1)2 4= 18 5 ．因为a2≥0，所以当且仅当 2r-1 2 ≤0 即 0＜r≤ 1 2 时，有f(a)min=f(0)=|OB|．所以当0＜r≤ 1 2 cm时，玻璃球能触及杯底．思路3：设P（a,a2)为抛物线x=y2上一动点，圆心为B（0,r)且过原点的圆的方程为x2+(y-r)2=r2，当满足|PB|≥r恒成立时，即 a2+(a2-r)2 ≥r恒成立，所以2r≤a2+1恒成立，因而2r≤(a2+1)min=1，即当0＜r≤ 1 2 cm时，玻璃球一定会触及杯底．说明：思路一主要是运用了方程的思想，思路二则体现了函数的思想，思路三则是运用了最值的思想．图2例2李先生工作的酒店里有一种轴截面为椭圆一部分的椭圆形酒杯（如图2），杯口宽3．6 cm，杯深为9 cm，中间最宽处宽6 cm．将一个半径为r的玻璃球放入酒杯中，问r在什么范围内可以使玻璃球触及酒杯底部？解：以椭圆的中心为原点建立直角坐标系．设椭圆方程为x2 a2 + y2 b2 =1 (a＞b＞0)，由题意，可得 b=3，且点（1．8，9-a)在椭圆上．将该点代入椭圆方程，解得a=5，则椭圆方程为y2 25 + x2 9 =1．设圆心为B（0，r-5)，半径为r的圆的方程为x2+(y+5-r)2=r2，与椭圆方程联立，消去x可得8y2+25(5-r)y+425-125r=0，解之得 y1=-5, y2= 25 8 r- 25 8 ，则当y2≤-5即0＜r＜1.8 cm时，圆B与椭圆相切于下顶点．又因为杯口半径为1．8 cm，则当0＜r＜1.8 cm时，玻璃球一定会触及酒杯底部．例3在例1的抛物线型酒杯中，放入一根长度为2 cm的粗细均匀的细棒．用细棒达到平衡状态时，它在酒杯中的位置如何？（细棒端点与酒杯壁之间的摩擦力忽略不计）分析：由于细棒粗细均匀而且摩擦力忽略不计，则细棒达到平衡状态时，其重心（细棒的中点）应最低，即细棒AB的中点M到x轴距离最短．图3解：如图3所示，抛物线的焦点为（0， 1 4 ），准线l的方程为y=- 1 4 过点A，B，M分别作l的垂线，垂足分别为A1，B1，M1，联结AF，BF．根据抛物线的定义可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，则|MM1|= 1 2 （|AA1|+|BB1|）= 1 2 （|AF|+|BF|）．由于|AB|=2，抛物线的通径2p=1即|AB|＞2p，因而在△ABF中，|AF|+|BF|≥|AB|，即|MM1|≥ 1 2 |AB|．当且仅当线段AB过焦点F时，等号成立．此时细棒AB的重心M到抛物线的顶点O所在水平面的距离取得最小值，为|MM1|- 1 4 = 1 2 |AB|- 1 4 =1- 1 4 = 3 4 ．即当细棒过抛物线的焦点时可以达到平衡状态．变题1：在例3中，若细棒长度为L，则对于不同的L值，细棒处于平衡状态的位置有何不同？解：由例3可知：（1）L≥2p=1，则当细棒过抛物线的焦点时可达到平衡状态；（2）若L＜2p=1，由于焦点在y轴上的抛物线的焦点弦长为 2p cos2α (α为焦点弦所在直线的倾斜角）．当α=0时，焦点弦长取得最小值2p=1．因为L＜2p=1，所以细棒不可能通过抛物线的焦点F．设方程AB为y=kx+b，A（x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)，由 y=kx+b与x2=y 消去y得 x2-kx-b=0，所以 x= x1+x2 2 = k 2 k=2x, b=y-2x2(1)由 |AB|= 1+k2 |x1-x2|= 1+k2 · Δ =L, 可得（1+k2)(k2+4b)=L2 (2)将（1）代入（2）中并消去k、b可得 4(1+4x2)(y-x2)=L2y= L2 4(4x2+1) +x2= L2 4 · 1 4x2+1 + 1 4 (4x2+1)- 1 4 ．由 L2 4 · 1 4x2+1 = 1 4 (4x2+1)L=4x2+1≥1．而L＜1，则此时无法用均值定理来求y的最小值．因为函数y= 1 4 ( L2 t +t-1)在区间［L,+∞)上单调增，所以当x=0时y min= L2 4 ，此时当细棒滑到水平位置时，其重心最低，从而达到平衡状态．变题2：将该问题推广到其他形状的酒杯中．如果分别在轴截面是等腰直角三角形的圆锥形酒杯中，以及案例2的椭圆形酒杯中各放入一根长度为L粗细均匀的细棒，则细棒达到平衡状态时，它在酒杯中的位置分别是怎样的？图4解：（1）以等腰直角三角形的直角顶点为原点，以其底边上的高所在直线为y轴建立直角坐标系（如图4所示），则圆锥形酒杯壁所在射线方程为y=x或y=-x(y≥0)．设|AB|=L，M（x,y)为AB的中点A，B分别在两条射线上滑动．在Rt△AOB中，|OM|= 1 2 |AB|= 1 2 L，所以点M的轨迹是以O为圆心， 1 2 L为半径且位于两条射线y=±x (y≥0)之间的一段圆弧．显然，当点M在两条射线上，即细棒贴在酒杯壁上时，其重心最低，从而达到平衡状态．此时点M的坐标为（±24 L,24 L)．（2）椭圆形酒杯的轴截面所在椭圆方程为y2 25 + x2 9 =1 (-5≤y≤4)．通径为 2b2 a = 18 5 ．类似于变题1，若L≥ 18 5 ，则当AB过焦点F时，其重心最低，从而达到平衡状态；若L＜ 18 5 ，则当AB水平放置时，其重心最低，从而达到平衡状态．说明：以上例题及其变题所述结论都可以通过实验得到验证．注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
由沉到酒杯底部的球谈一类抛物线与圆的相关问题
由沉到酒杯底部的球谈一类抛物线与圆的相关问题
高丰平
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】2013(000)003
【摘要】酒杯中总可以放一个适当的小球，但只有当小球满足一定的条件时，方可触及酒杯底部，否则就会“搁”起来．通过数学计算，我们可以解决这类生活中的问题．以下辑录几例与此相关的抛物线与圆的问题，以期能够起到抛砖引玉的作用，对师生的教与学提供启发与帮助．
【总页数】2页(P53-54)
【作者】高丰平
【作者单位】湖北省孝昌县第二高级中学 432900
【正文语种】中文
【相关文献】
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玻璃球与酒杯
代入 到方程
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设圆的方程为 x 2十 (Y 一 r )z = 12,
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x 2 + (y 一 r ) 2 = r 2，
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y 2 + ( 2 一 2r ) y = 0 .
0， 么 y + (2 一 那 此 方 程 只 有 一个 解 ， y 即 0 . 2r ) = 0 无 解 或 解 仍 为 y r 蕊 1， 2 一 2r 》 0 ， 而 y ) 0，
勃.
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消去 x 得 少 + ( 2p 一 2r ) y = 0 < r 镇 P解得
得 到 一 个 非 常 漂 亮 的 结 果. 学 生 兴 奋 起 老 来 了 ， 时 听 见 有 同 学 小 声议 论 ， 师 说 酒 杯 此 造 型 多种 多样 ， 酒 杯 的 轴 截 面 是 双 曲线 的 若 一 部 分 呢? 很 好 ， 生 正 带 给 我 惊 喜 ， 是 我 学 于 大 声 说 : 有 的 同 学 提 出把 酒 杯 改 为 双 曲线 型
酒杯中的解析几何问题(PPT)5-4
是等腰直角三角形，称之为直角酒杯（如图 1），另一种酒杯的轴截面近似一条抛物线， 杯口宽4 2cm ,杯深8cm（如图2），称之为抛 物线酒杯，还有一种轴截面近似椭圆的椭圆酒 杯，测量后得知杯口宽4cm，杯深为9cm，中 间最宽处距杯底为5cm（如图3）。
图（1）
问题二：若张华是将细棒(长度仍为l)掉进抛物 线酒杯中，也假设细棒的端点与酒杯壁之间的 摩擦可以忽略不计，那么当细棒最后达到平衡 状态时，细棒在酒杯中的位置应该是下面哪一 种情形？请加以说明。
图（2）
图（3）
说他是故意捣乱，我想还～。 【不治】动经过治疗无效（而死亡）：终因伤势过重，～身亡｜患者病情进一步恶化，终致～。 【不治之症】ī医治不好的病， 也比喻去除不掉的祸患或弊端。 【不致】动不会引起某种后果：事前做好准备，就～临时手忙脚乱了。 【不置】〈书〉动不停止：赞叹～｜懊丧～。 【不 置可否】不说对，也不说不对。 【不中】〈方〉形；https:// 绝地求生辅助；不中用；不可以；不好：这个法子～，还得另打主意。 【不周】 形不周到；不完备：考虑～｜招待～。 【不周延】一个判断的主词（或宾词）所包括的不是其全部外延，如在“有的工人是共青团员”这个判断中主词（工 人）是不周延的，因为它说的不是所有的工人。 【不着边际】形容言论空泛，不切实际；离题太远。 【不赀】ī〈书〉动无从计量，表示多或贵重（多用于 财物）：价值～｜工程浩大，所费～。 【不自量】过高地估计自己：如此狂妄，太～。 【不自量力】不能正确估计自己的力量（多指做力不能及的事情）。 也说自不量力。 【不足】①形不充足：先天～｜估计～。②动不满（某个数目）：～三千人。③动不值得：～道｜～为奇｜～挂齿。④动不可以；不能：～ 为训｜非团结～图存。 【不足道】动不值得说：微～｜个人的得失是～的。 【不足挂齿】不值得一提：区区小事，～。 【不足为奇】不值得奇怪，指事物、 现象等很平常。 【不足为训】不能当做典范或法则。 【不作为】名指国家公职人员在履行职责过程中玩忽职守，致使公共财产、国家及人民的利益遭受重大 损失的失职、渎职等行为。 【不做声】不出声；不说话。 【布】①名用棉、麻等织成的，可以做衣服或其他物件的材料：棉～｜麻～｜花～｜粗～｜～鞋｜ 买一块～。②古代的一种钱币。③（）名姓。 【布】（佈）①宣告；宣布：发～｜公～｜～告｜开诚～公。②动散布；分布：阴云密～｜铁路公路遍～全国。 ③动布置：～局｜～防｜～下天罗地网。 【布帛】名棉织品和丝织品的总称。 【布菜】∥动把菜肴分给座动对人员或事物的分布地点进行布置安排：重要地段有公安人员～看守。 【布丁】ī名用面粉、牛奶、鸡蛋、水果等制成的西餐点心。［英g］ 【布尔乔亚】’名资产阶级。［法g］ 【布尔什维克】’名列宁建立的苏联用过的称号，意思是多数派。因在年俄国社会民主工党第二次代表大会选举党的 领导机构时获得多数选票而得名。后来这一派成为独立的马克思列宁主义政党，改称苏联（布尔什维克），简称联共（布）。［俄——，多数派］
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张华同学家中有三种酒杯，一种酒杯的轴截面
是等腰直角三角形，称之为直角酒杯（如图
1），另一种酒杯的轴截面近似一条抛物线， 杯口宽4 2cm ,杯深8cm（如图2），称之为抛 物线酒杯，还有一种轴截面近似椭圆的椭圆酒
杯，测量后得知杯口宽4cm，杯深为9cm，中 间最宽处距杯底为5cm（如图3）。
A M B
利用结论说明实际问题即
(1)当细棒长度l 酒杯抛物线通径时，细棒通过抛
物线焦点的时候，达到平衡状态。如下图Ａ
(2)当细棒长度l 酒杯抛物线通径时，细棒呈水平
时，达到平衡状态。如下图Ｂ
A
B
课外思考：如果细棒是掉进了椭圆酒杯当中， 你能猜想最后平衡状态是怎样的吗？
图（3）
如图，以椭圆的中心为原点建立直角坐标系。得出椭
图（1）
图（2）
图（3）
问题一：有一天，张华不小心将一根粗细均匀， 长度为l的细棒掉进了直角酒杯中，假设细棒 的端点与酒杯壁之间的摩擦可以忽略不计，那 么当细棒最后达到平衡状态时，细棒在酒杯中 的位置应该是下面哪一种情形？请加以证明。
分析：注意到细Leabharlann 的粗细均匀，因此细棒的平 衡状态也就是细棒重心（即中心）处于最低位 置的状态。
圆方程为：y 2 9 x 2 1 通径为：40
25 100
9
（1）若 l 40 ，则当细棒过焦点时，达平衡状态。
9
（2）若l 40 ，则当细棒水平放置时，达平衡状态。 9
问题一抽象成数学问题即
定长为l的线段AB的两个端点在折线 y x 上移动，确定AB的位置，使中点M到x轴的 距离最小。
A
M
B
尾的白杏仁色长龙……只见望不见尾的长龙狂摆嘶叫着快速来到近前，这时壮扭公主才看清：整条长龙都是由翻滚狂转的匕首和葫芦组成！突然间九条长龙变成一个直 径达万米的紫宝石色巨大脖子模样的超巨型火龙卷群！把壮扭公主团团围主！只见无数匕首和葫芦像成千上万的鱼雷一样朝壮扭公主冲来……这时壮扭公主笑道：“你 们搞的是啥东西？！看我的！”壮扭公主一边说着！一边甩动深黑色天河腰带大吼一声，只见无数高达九百米的鼓锤形摩天厅长大厦纷纷从地下钻了出来，然后纷纷长 出比水塔烟囱还粗的手脚，排列成整齐的兵阵……壮扭公主甩动夯锤一般的金刚大脚又是一声大吼，所有厅长都像巨大的导弹一样腾空而起，向怒放的烟花一样朝四周 超巨型的雪龙卷射去……随着一阵阵的爆炸和一片片的闪光，所有的雪龙卷群都烟消云散、不见了踪影……只见女经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女和另外四个校妖突然齐声怪叫 着组成了一个巨大的鸭掌八蹄兽！这个巨大的鸭掌八蹄兽，身长五百多米，体重七十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分沧桑的八蹄！这巨兽有着深蓝色香肠般的身躯 和亮蓝色细小画笔形态的皮毛，头上是水青色皮球似的鬃毛，长着深灰色狮子般的蛋糕浪云额头，前半身是纯蓝色玉葱般的怪鳞，后半身是破旧的羽毛。这巨兽长着暗 紫色狮子般的脑袋和纯白色黑熊般的脖子，有着墨紫色海蜇一般的脸和紫红色蜈蚣般的眉毛，配着暗白色牛屎似的鼻子。有着天青色勋章一般的眼睛，和淡灰色蚕蛹般 的耳朵，一张天青色脸盆般的嘴唇，怪叫时露出亮白色华灯般的牙齿，变态的纯蓝色竹节形态的舌头很是恐怖，亮蓝色香肠样的下巴非常离奇。这巨兽有着犹如鲇鱼般 的肩胛和仿佛毛刷似的翅膀，这巨兽突兀的墨蓝色驴肾形态的胸脯闪着冷光，美如香蕉似的屁股更让人猜想。这巨兽有着特像灯柱般的腿和深白色铁砧般的爪子……变 异的水青色野象形态的四条尾巴极为怪异，浅灰色海星般的马桶粗布肚子有种野蛮的霸气。墨蓝色肉串似的脚趾甲更为绝奇。这个巨兽喘息时有种暗白色爆竹形态的气 味，乱叫时会发出亮紫色核桃一般的声音。这个巨兽头上水红色黄瓜似的犄角真的十分罕见，脖子上活像布条似的铃铛感觉空前稀有又绚丽。壮扭公主兴奋道：“好玩 ，有创意！本公主相当喜欢！有什么花样快弄出来我瞧瞧！”壮扭公主一边说着一边将身体变得和”鸭掌八蹄兽一样巨大……这时那伙校妖组成的巨大鸭掌八蹄兽忽然 怪吼一声！只见鸭掌八蹄兽摆动花哨的脖子，一扭，一道青远山色的玉光轻飘地从浅灰色海星般的马桶粗布肚子里面抖出！瞬间在巨鸭掌八蹄兽周身形成一片乳白色的 光球！紧接
问题二：若张华是将细棒(长度仍为l)掉进抛物 线酒杯中，也假设细棒的端点与酒杯壁之间的 摩擦可以忽略不计，那么当细棒最后达到平衡 状态时，细棒在酒杯中的位置应该是下面哪一 种情形？请加以说明。
问题二抽象成数学问题即
定长为l的线段AB的两个端点在抛物线 x2 y
上移动，确定AB的位置，使其中点M到x轴的 距离最小。
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