第四章 层流、湍流与湍流流动详解
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边值条件：
2 v z v z r 2 r z
v z r
vr r
0,v z
r 0
r R
0
0,vr
r 0
r R
0
⑵问题简化：设L为足够长→无限长，流动达到稳态后速度分 布与z无关
v z 0 z
2v z 0 2 z
1 p 0 r
变动量方程为：
2v x 1 p X方向：0 x y 2
g Y方向：
1 p y
2 ⑶简化后的方程为：C 1 p d v x 1 x dy 2 C 则得： v x 1 y 2 Dy B 2
由边界条件：（y=0时，y=h时）
B 0 ， D v 0 1 p h
2v y 2v y 1 p Y方向： v x x v y y g y x 2 y 2 v y v y
边值条件：
v x v x
y 0 y h
0, v0 ,
vy
y 0
0 0
vy
y h
度与固体壁面保持相对静止：
v t t ,x ,y ,z w v w t ,x ,y ,z
v w ：固体壁面的切线速度。
在与固体边壁垂直方向上，流体不能穿透而进入固体之内，即：
vn t ,x ,y ,z w 0
② 对称边值条件。
对称面：物理量在对称面上的变化率为零。 如：管道流中坐标选在管道中心线上时：
4.2 层流流动的定解问题
求解实际流体的流动问题应用连续方程和运动方程。对于不可压缩及 粘性为常量的情况下方程组封闭。否则，需补充状态方程、温度场方 程等。我们首先分析定解条件。 1． 初值问题： 非稳态问题需给出初始时刻值： 0 x ,y ,z 2． 边值问题（边界值）： ① 固体壁面无渗透、无滑移边界条件贴近固体壁面处一层流体的速
第四章 层流、湍流与湍流流动
4.1 流动的两种状态 4.2 层流流动的定解问题
4.3 流动问题求解方法
4.4 层流流动下几种特殊情况的解析解
4.5 湍流
4.6 可压缩流体流动
4.1 流动的两种状态
1883年雷诺实验
结论：当流速不同时，流体质点的运动可能有两种完全不同的形式。
层流：规则的层状流动，流体层与层之间互不相混，质点轨迹为平
h 2 x
v x y h 2 p y y 代入得： v h 2v x h 1 h 0 0
⑷讨论：
vx y dP 0 ① 无压力下流动 dx v 0 h ，速度分布为一直线 d y ② P 0 ，压力梯度使流体加速， 1 0 dx h
⑵定解问题简化 平板无限大，不同 x 处任意截面上速度分 布相同
v x 2v x 0 x x 2
v x dv x y dy
v y y 0
据连续性方程：
v 设：
y
f x
代入边值： v y
y 0
f x y 0 v y
y h
0
∴ vy 0
第二项为正， v 增大，向前突出
x
③
dP 0，压力梯度使流动减速，可能有部分返流。 dx
圆管内的层流流动（P71）
不可压流体，在长为 L ，半径为 R 的圆管内做充分发展的稳态层流， 求管内速度分布及沿程阻力。
⑴定解问题： 圆管中心对称 二维问题
连续方程：
1 v rvr z 0 r r z
r 0
r 0
出入口边值条件。
入口： t ,x ,y ,z
in
0 t ,x ,y ,z （给定）
出口：已知或单方向无影响。
4.3 流动问题求解方法
控制方程 确解 解析法，积分变换求精 边值条件 初值条件 数值法，近似逼值
4.4 层流流动下几种特殊情况的解析解
动量方程： vr vr 2vr 1 p 1 vz rvr 2 X方向： vr r z r z r r r
1 v z v z 1 p v v g Y方向： r z z r z z r r
1 1 p z r r v z r r 0
vr 0
r方向：
z方向：
gz
1 v z 1 dp gz r dz r r r
dp 1 v z gz r dz r r r
1.两平行平板间的等温层流流动（P68）
两无限大平板，其一静止，其二以 v 0 速度匀速运动，流体为等温、
不可压层流流动( =常数)求稳定后的速度场分布。
⑴定解问题：实际流体 两平面无限大→稳定态
连续性方程
：
v x x
+
v y y
=0
运动方程
2v x 2v x v x v x 1 p X方向： v x x vy y x x 2 y 2
滑的随时间变化较慢的曲线。
湍流：无规则的运动方式，质点轨迹杂乱无章而且迅速变化，流体 微团在向流向运动的同时，还作横向、垂向及局部逆向运动，与周 围流体混掺，随机、非定常、三维有旋流。
层流→湍流转变：临界速度。 速度↑v ﹥ v临 发生转变，除此之外，
ρ 、L、μ 也对转变时机构成影响。
所以，定义无量纲特征数： ReRe uL来自衡量流动状态 ：
2100 ~ 2300 光滑管流： Re临 4 5 边界层流： 6 10 ~ 3 . 2 10
流体粘性对流动状态有何影响？
① 粘性对扰动有耗散的作用，保证低Re下层流的稳定。
② 在边界层内，粘性作用使流体内产生较高的速度梯度，产生有旋，粘
性力小于惯性力不能阻止其湍流化。
2 v z v z r 2 r z
v z r
vr r
0,v z
r 0
r R
0
0,vr
r 0
r R
0
⑵问题简化：设L为足够长→无限长，流动达到稳态后速度分 布与z无关
v z 0 z
2v z 0 2 z
1 p 0 r
变动量方程为：
2v x 1 p X方向：0 x y 2
g Y方向：
1 p y
2 ⑶简化后的方程为：C 1 p d v x 1 x dy 2 C 则得： v x 1 y 2 Dy B 2
由边界条件：（y=0时，y=h时）
B 0 ， D v 0 1 p h
2v y 2v y 1 p Y方向： v x x v y y g y x 2 y 2 v y v y
边值条件：
v x v x
y 0 y h
0, v0 ,
vy
y 0
0 0
vy
y h
度与固体壁面保持相对静止：
v t t ,x ,y ,z w v w t ,x ,y ,z
v w ：固体壁面的切线速度。
在与固体边壁垂直方向上，流体不能穿透而进入固体之内，即：
vn t ,x ,y ,z w 0
② 对称边值条件。
对称面：物理量在对称面上的变化率为零。 如：管道流中坐标选在管道中心线上时：
4.2 层流流动的定解问题
求解实际流体的流动问题应用连续方程和运动方程。对于不可压缩及 粘性为常量的情况下方程组封闭。否则，需补充状态方程、温度场方 程等。我们首先分析定解条件。 1． 初值问题： 非稳态问题需给出初始时刻值： 0 x ,y ,z 2． 边值问题（边界值）： ① 固体壁面无渗透、无滑移边界条件贴近固体壁面处一层流体的速
第四章 层流、湍流与湍流流动
4.1 流动的两种状态 4.2 层流流动的定解问题
4.3 流动问题求解方法
4.4 层流流动下几种特殊情况的解析解
4.5 湍流
4.6 可压缩流体流动
4.1 流动的两种状态
1883年雷诺实验
结论：当流速不同时，流体质点的运动可能有两种完全不同的形式。
层流：规则的层状流动，流体层与层之间互不相混，质点轨迹为平
h 2 x
v x y h 2 p y y 代入得： v h 2v x h 1 h 0 0
⑷讨论：
vx y dP 0 ① 无压力下流动 dx v 0 h ，速度分布为一直线 d y ② P 0 ，压力梯度使流体加速， 1 0 dx h
⑵定解问题简化 平板无限大，不同 x 处任意截面上速度分 布相同
v x 2v x 0 x x 2
v x dv x y dy
v y y 0
据连续性方程：
v 设：
y
f x
代入边值： v y
y 0
f x y 0 v y
y h
0
∴ vy 0
第二项为正， v 增大，向前突出
x
③
dP 0，压力梯度使流动减速，可能有部分返流。 dx
圆管内的层流流动（P71）
不可压流体，在长为 L ，半径为 R 的圆管内做充分发展的稳态层流， 求管内速度分布及沿程阻力。
⑴定解问题： 圆管中心对称 二维问题
连续方程：
1 v rvr z 0 r r z
r 0
r 0
出入口边值条件。
入口： t ,x ,y ,z
in
0 t ,x ,y ,z （给定）
出口：已知或单方向无影响。
4.3 流动问题求解方法
控制方程 确解 解析法，积分变换求精 边值条件 初值条件 数值法，近似逼值
4.4 层流流动下几种特殊情况的解析解
动量方程： vr vr 2vr 1 p 1 vz rvr 2 X方向： vr r z r z r r r
1 v z v z 1 p v v g Y方向： r z z r z z r r
1 1 p z r r v z r r 0
vr 0
r方向：
z方向：
gz
1 v z 1 dp gz r dz r r r
dp 1 v z gz r dz r r r
1.两平行平板间的等温层流流动（P68）
两无限大平板，其一静止，其二以 v 0 速度匀速运动，流体为等温、
不可压层流流动( =常数)求稳定后的速度场分布。
⑴定解问题：实际流体 两平面无限大→稳定态
连续性方程
：
v x x
+
v y y
=0
运动方程
2v x 2v x v x v x 1 p X方向： v x x vy y x x 2 y 2
滑的随时间变化较慢的曲线。
湍流：无规则的运动方式，质点轨迹杂乱无章而且迅速变化，流体 微团在向流向运动的同时，还作横向、垂向及局部逆向运动，与周 围流体混掺，随机、非定常、三维有旋流。
层流→湍流转变：临界速度。 速度↑v ﹥ v临 发生转变，除此之外，
ρ 、L、μ 也对转变时机构成影响。
所以，定义无量纲特征数： ReRe uL来自衡量流动状态 ：
2100 ~ 2300 光滑管流： Re临 4 5 边界层流： 6 10 ~ 3 . 2 10
流体粘性对流动状态有何影响？
① 粘性对扰动有耗散的作用，保证低Re下层流的稳定。
② 在边界层内，粘性作用使流体内产生较高的速度梯度，产生有旋，粘
性力小于惯性力不能阻止其湍流化。