量子力学-含时间的微扰论 Ⅴ.贝利相位和贝利相位因子 第十一章 量子散射的近似方法Ⅰ.一些描述散射的物理量
量子力学中的微扰论
量子力学中的微扰论第一章近似方法无论是经典力学还是量子力学，可以严格求解的物理系统总是少数。
如在经典力学中，两个物体在万有引力作用下运动，即二体问题是可以严格解的，解出来就是位置随时间变化的关系；如果再加上一个物体，即三个物体之间存在着引力，它们的运动规律就是经典力学中著名的三体问题。
19世纪末，法国数学家彭加勒证明了三体问题是不可解的，或说是不可积的，即无法表示为一个轨道的方程甚至无法表示为一个不定积分。
彭加勒证明：对可积问题，初始条件作微量调整，最终轨道也只要作微量修正就行了；如果是不可积问题，初始条件的微小变动就会导致轨道完全不一样，即轨道对初始条件十分敏感。
实际的物理系统大多属于无法严格求解的问题。
为了研究这些数学上无法严格求解的问题，我们可以使用各种近似方法、计算机模拟或数值计算等进行处理。
在什么情况下使用什么样的近似方法，考虑哪些因素，忽略哪些因素，取舍之间蕴涵着丰富的物理内容。
如：经典力学中的三体问题，通常使用微扰论来解决，即把第三个物体的影响当作微扰来处理。
譬如，地球与太阳是两体问题，加上月亮就构成了三体问题。
月亮对地球轨道也有影响，但这个影响很小，这就可以用微扰的方法来处理。
微扰论在经典力学中取得的主要成就有：海王星的发现、星际航行。
量子力学处理的是微观粒子，而实际问题大多包含多个微观粒子，因此量子力学处理实际问题的复杂性还来自于——多体性。
对于具体物理问题的薛定谔方程，能够像粒子在一维无限深势井中运动和氢原子体系这样的问题能够精确求解的问题很少。
在通常遇到的许多问题中，由于系统的哈密顿算符比较复杂，往往不能求出精确的解，只能求近似解。
因此，量子力学中用来求问题的近似解的方法，就显得非常重要。
近似方法通常从简单的问题的精确解出发来求比较复杂的问题的近似解。
在量子力学中，由于体系的哈密顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能够严格求解的情况寥寥可数，因此，引入各种即时方法以求解薛定谔方程的问题显得十分重要。
量子力学的Berry相位
量子力学的Berry相位量子力学的Berry相位是一种描述量子系统的相位效应的概念。
它由英国物理学家Michael Berry于1984年首次提出，被广泛运用于凝聚态物理、光学、量子信息等领域。
1. 简介在传统的量子力学理论中，波函数的演化只与哈密顿量有关。
然而，Berry相位的引入，使我们可以考虑系统在闭合回路中的演化路径对最终态的影响。
即系统在Adiabatic过程中，会积累一种额外的相位，即Berry相位。
2. Berry相位的来源Berry相位的来源主要是系统的哈密顿量的本征值的演化。
当外部参数发生改变时，哈密顿量也会相应地发生改变，导致本征值的变化。
这种变化会影响波函数的相位，从而导致Berry相位的产生。
3. Berry相位的数学表达Berry相位的数学表达式是由Berry在论文中提出的。
对于一个经典系统，其哈密顿量可以写作H(x, p)，其中x是位置，p是动量。
对应的Schrodinger方程可以写作H(x, -i∇)ψ = Eψ。
Berry相位可以用下面的公式表示：Φ_B = i∫[A(x)dxi]其中A(x)是Berry规范势。
这个公式的意义是描述波函数的全局相位随着参量x以某种路径变化时的积分。
4. Berry相位的实验观测Berry相位的存在可以通过实验观测得到证明。
实验上，可以通过施加外磁场、操控光学系统的参数等手段来引入Berry相位，然后通过测量干涉、干扰效应来观测这一相位。
5. 应用与前景Berry相位在凝聚态物理、光学和量子信息等领域有着广泛的应用。
它可以用于解释一些物理现象，如自旋核磁共振、量子霍尔效应等。
同时，Berry相位还为量子计算、量子通信等领域的发展提供了新的思路。
6. 发展与挑战虽然Berry相位在理论和实验上已经得到了广泛的研究，但仍存在一些挑战。
例如，如何将Berry相位与其他相位效应相结合，以及如何在更复杂的系统中描述Berry相位等。
这些问题需要更深入的研究和理解。
量子力学第9章-含时微扰
ˆ ˆ H(t) = H0 + H′(t)
量与时间有关， 因为 Hamilton 量与时间有关，所以体系波函数须由含时 方程解出。但是精确求解这种问题通常是很困难的， Schrodinger 方程解出。但是精确求解这种问题通常是很困难的， 而定态微扰法在此又不适用， 而定态微扰法在此又不适用，这就需要发展与时间有关的微扰理 论。 含时微扰理论可以通过 含时微扰理论可以通过 H0 的定态波函数近似地求出微扰存 在情况下的波函数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰后， 在情况下的波函数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰后， 体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。 体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。
比较等式两边得
(0 (1 δnk = an )(0) +λan )(0) +⋯
(0 an )(0 =δnk ) (1 (2 an )(0 = an )(0 =⋯ 0 ) ) =
n
幂次项得： 比较等号两边同 λ 幂次项得：
不随时间变化，所以a 因 an(0)不随时间变化，所以an(0)(t) = an(0)(0) = δnk。 后加入微扰，则第一级近似： t ≥ 0 后加入微扰，则第一级近似：
(0 (1 (2 an = an ) +λan ) +λ2an ) +⋯
∑
n
n
n
n
m n
零级近似波函数 am 不随时 d m) a(0 间变化， = 0 间变化，它由未微扰时体系 (4)解这组方程 解这组方程， (4)解这组方程，我们可得到关于 所处的初始状态所决定。 所处的初始状态所决定。 t d 的各级近似解， an 的各级近似解，从而得到波函 d (1) am (0 ˆ ′ 的近似解。实际上， 数 Ψ 的近似解。实际上，大多数 iℏ n = ∑ an )H neiωm t m d t 情况下，只求一级近似就足够了。 情况下，只求一级近似就足够了。 n a(2 1， （最后令 λ = 1，即用 H’mn代替 d m) (1 ˆ ′ n iℏ = ∑ an )H neiωm t m d t n λ H’mn，用a m (1)代替 λa m (1)。） ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ = ⋯ ⋯
量子化学 微扰理论
0 2 0 1 ˆ ˆ 1 ( H 0 − E n )∑ b jψ 0 = E nψ n + ( E n − H ' )ψ n j j
0 2 0 1 1 ˆ b j ( E 0 − En )ψ 0 =Enψ n + ( En − H ' )ψ n ∑ j j j
ˆ Hϕ n = Eϕ n
无法得到本征值E和本征函数ϕ 但已知另一个体系的具体情况： 无法得到本征值 和本征函数ϕn。但已知另一个体系的具体情况： 和本征函数
0 ˆ 0 H 0ϕ n = E 0ϕ n
ˆ ˆ 只有很小差别。 并且 H 与 H 0只有很小差别。
例如一维非谐振子具有： 例如一维非谐振子具有： h2 d 2 1 2 ˆ H =− + kx + cx 3 + dx 4 2m dx 2 2
( ( ( ( E n ≈ E n0 ) + E n1) + E n2) = E n0 )
| H ' kn | 2 + H ' nn + ∑ 0 E n − E k0 k ≠n
。（略 当m≠n时，就可求出二级波函数修正者。（略） 时 就可求出二级波函数修正者。（
用微扰理论处理非简并态体系已完成， 用微扰理论处理非简并态体系已完成，整个过程中除几个重要的 公式外，另预注意以下几点： 公式外，另预注意以下几点： （1）一级修正能量值的计算比较方便，只需要计算积分： ）一级修正能量值的计算比较方便，只需要计算积分：
0 0 1 0 0 0 ˆ 0 a j ( E 0 − E n ) ∫ (ϕ m ) *ϕ 0 dτ = E n ∫ (ϕ m ) *ϕ n dτ − ∫ (ϕ m ) *H 'ϕ n dτ ∑ j j j
第六讲.贝利相位.ppt
例如周期变化的磁场的矢势 r
At
可作为
Rt
Rt 的周期变化在参量空间定义了一条闭合曲线 C
若假定周期 T足够大，以致哈密顿算符随时间的
变化很缓慢(此称为绝热变化过程) ，致使系统在每
一瞬间都是准静止的，于是对于某一瞬时t ，瞬时定
态薛定谔方程成立
Hˆ
r R
t
nRt
En Rt
nRt
（1）
2020瞬/4/10时本征函数满足的正交归一化条件
3
mRt nRt mn
瞬时本征态 n Rt ei nt nRt
其中
n
t
1 h
t
0 En
r
Rt
dt
称为动力学相位
（2） （3） （4）
绝热条件下，瞬时本征波函数的含时薛定谔方程
ih t
nRt
En Rt
nRt
（5）
用 mRt 左乘上式，并利用（2）式，则有
2020/4/10
ih
mRt
t
r Bm
r R
算r
r R
Am
r R
i r R
m
r
Rt
r R
m
r
Rt
为实数
m
r R
t
r R
m
r R
t
为纯虚数
r
r
r
Bm
Im r R
mR r
r m R Rr
Im rm R rm R
2020/4/10
R
R
r
r
Im r m R r m R
R
R
9
r
（14）
6
可见（12）式指数中被积函数为纯虚数，若记
微扰理论及其应用
渤海大学本科毕业论文（设计）含时微扰理论及其应用Time-dependent perturbation theory and its application学院（系）：数理学院物理系专业：物理学（师范）学号：10030009学生姓名：庞涛入学年度：2010指导教师：韩萍完成日期：2014 年5 月5 日渤海大学Bohai University摘要在量子力学中，精确求解薛定谔方程是很困难的，一般只能求近似解，应用微扰理论可以求得近似解。
学好微扰理论在以后的学习中具有很大帮助。
微扰理论分为两类，不含时微扰理论和含时微扰理论。
在量子力学中，含时微扰理论研究的是一个量子系统的含时微扰所产生的效应.该理论是由英国物理学家狄拉克首先提出和发展建立起来的。
应用含时微扰理论可以近似的计算出有微扰时的波函数，从而计算无微扰体系在微扰作用下由一个量子态跃迁到另一个量子态的跃迁概率。
含时微扰包括常微扰和周期微扰，在这两种微扰作用下，得到的结果是不同的，我们分析计算了在常微扰和周期微扰两种微扰作用下的跃迁概率，得到了一些结论。
在常微扰作用下时，我们得到了一个重要公式，该公式被称为费米黄金定则。
常微扰是只在一段时间内起作用，时间足够长的话，则跃迁概率与时间无关；而通过计算无微扰体系在周期微扰作用下的跃迁概率，得出的结论是周时，期微扰的频率只有在一定范围内，才会发生跃迁。
只有当外界微扰含有频率mk才会出现明显跃迁。
此外，我们还讨论了光的发射和吸收，给出了偶极跃迁的选择定则。
最后对激光的产生和激光的应用进行了介绍。
关键词：选择定则；含时微扰；跃迁概率；黄金规则Time-dependent perturbation theory and its applicationAbstractIn quantum mechanics, the exact solution of Schrodinger equation is very difficult, generally only approximate solutions, using the perturbation theory can be obtained the approximate solution. To learn a great help to the perturbation theory of learning in the future. Perturbation theory is divided into two categories, not the time-dependent perturbation theory and time-dependent perturbation theory.In quantum mechanics, the time-dependent theory of perturbation is the effect of a quantum system with time-dependent perturbation generated. This theory was first proposed and developed by the British physicist Dirac. Calculated using time-dependent perturbation theory can be approximated by a wave function perturbation, thus calculated without perturbation system under the perturbation induced by a quantum state transition to the transition probability of another quantum state. The time-dependent perturbation included regular perturbation and periodic perturbation, in which two kinds of perturbations, the result is different, analysis of transition probability in constant perturbation and periodic perturbation two perturbation effect was obtained by us, some conclusions were obtained. In the constant under perturbations, we obtain a formula, the formula is called the Fermi golden rule. The perturbation is often work only in a period of time, time is long enough, the transition probability is independent of time; and through the calculation of transition probability without perturbation system in the period under perturbations, it was concluded that the periodic perturbation frequency only in a certain range, the transition will occur. Only when the external perturbation with frequency, will appear obvious transition. In addition, we also discuss the emission and absorption of light, gives the dipole transition selection rule. Application of laser and laser produced finally is introduced in this paper.Key Words：Selection rule；time-dependent perturbation；transition probability；The golden rule目录摘要 (I)Abstract (II)引言 (1)1 含时微扰理论的概述 (2)1.1 含时微扰理论下的薛定谔方程 (2)1.2 跃迁概率 (3)2 常微扰和周期微扰 (5)2.1 跃迁概率和费米黄金定则 (5)2.2 周期微扰 (7)3 含时微扰理论的应用 (10)3.1 光的发射和吸收 (10)3.1.1 爱因斯坦的发射和吸收系数 (10)3.1.2 用微扰理论计算发射和吸收系数 (11)3.2 选择定则 (14)3.3 典例分析 (16)4 激光简介 (18)4.1 激光的产生 (18)4.2 激光的应用 (19)结论 (21)参考文献 (22)引言在量子力学中，对于具体物理问题的薛定谔方程，可以准确求解的问题是很少的，一般只能求近似解。
3Berry相位之争
[第3讲]Berry相位争论分析━━可积与不可积？动力学与几何？I，前言II，关于Berry相位的争论1，Berry之前的看法——Schiff为代表2，Berry, Simon的推导论证3，不同看法（I）——Berry相位是动力学相因子?4，不同看法（II）——Berry相位只能从含时Schrodinger方程导出?5，不同看法（III）——能量本征态叠加有Berry相位?III，“Berry相位本质”争论的澄清1，一个反例：一维准定态的矢量平移总是拓扑平庸的2，正确的说法：一盆有小孩的洗澡水3，不必从含时Schrodinger方程导出Berry相位4，“不同能级本征态叠加中的Berry相位”问题分析IV，Berry相位几何本质的再澄清1，二维流形上矢量平移及协变导数计算2，二维球面和乐（Holonomy）相因子计算3，流形上的协变计算V，小结※※※I ，前 言1984年Berry 提醒人们注意在准稳态含时系统演化中存在一类拓扑相位。
它源自系统含时Hamiltonian 参数空间的非平凡拓扑性质。
它们其实是弯曲空间中矢量平移的和乐（Holonomy ）相位。
II ，关于Berry 相位的争论1，Berry 之前人们的看法——以Schiff 为代表设Hamiltonian 通过含时参量()R t 依赖于时间，即()()()H t H R t =，Schrodinger 方程为 ()()()()()()()0,0n t t i H R t t t R t ψψψϕ=∂==∂ （3.1）假设此含时过程是个绝热演化过程，即，时刻都有准定态方程成立，()()()()()()()()()()()()n n n n n nn H R t R t E R t R t R t R t ϕϕϕϕδ''⎧=⎪⎨=⎪⎩（3.2） 注意，虽然Hamiltonian ()()H R t 变化足够缓慢(标准是不致引起相关量子数改变的状态跃迁)，但经历长时间演化，其变化量可以很大。
量子力学-量子散射的近似方法 Ⅱ. 玻恩近似;Rutherford散射 Ⅲ. 有心势中的分波法和相移
42 K2 42
sin2
K2 42
2
t
而仍处于 Hˆ 0本征值为 BB0的本征态，即 自旋向下态的概率为
PBB0 cos2
K2 2
42
t
K2 K2 42
sin2
K2
2
42
t
0 1
10
2
电子所处的态随时间在这两个态之间震荡。
2
当
0
2BB0
时，电子所处的态
B. 绝热定理 由公式
(t)
am (t)
um(t)
e
i
tti
Em (t)dt
m
am (t) am (0)eim (t)
我们就有绝热定理：若体系在 ti 0 的初始时刻处于 un(0) ，即 am(0) nm , 则在绝热近似条件下，t 时刻体系仍处于
瞬时本征态 un (t) , 体系的绝热近似波函 数为
dn d
即
dn (, )d
比例常数一般是 (, ) 的函数；如入
射方向为轴 z（且束和靶都不极化），则
第二十七讲回顾
Ⅱ. 磁共振 A. 跃迁概率和跃迁率 B. 严格求解—Rabi 振荡 C. 一级近似公式的精确性
Ⅲ. 绝热近似 A. 绝热近似的条件 B. 绝热定理
Ⅲ. 磁共振
电子置于均匀磁场 B0 （在 Z 方向 ） 中，则
Hˆ 0
s
B0
ems me
B0
于是简并态（对自旋）发生分裂，其能量
差
E E E 0 2BB0
2 mm
m B02
(Vm (B))z m / B02
这表明 Vm(B) 是平行磁场 Bˆ (t) ，即
量子力学中的几何相位理论解析
量子力学中的几何相位理论解析量子力学是描述微观粒子行为的物理学理论。
而在量子力学中，除了波函数和概率幅之外，还有一个重要的概念，即相位。
量子力学中的相位非常特殊，它与粒子的运动状态息息相关，并对粒子的行为产生重要影响。
在相位的研究中，几何相位理论是一种非常重要的方法，它揭示了粒子运动中的一些基本规律。
几何相位理论最早由英国物理学家迈克尔贝瑞斯（Michael Berry）在20世纪80年代提出，并在量子力学中得到广泛应用。
它的核心思想是，粒子在路径或演化过程中并非只受到动力学相位的影响，还受到一种独特的几何相关相位的作用。
这种相位与粒子运动的轨迹和磁场等有关。
通过研究几何相位，我们可以更深入地理解粒子行为的规律。
为了理解几何相位的具体含义，我们可以从一个简单的实例入手。
考虑一个自旋1/2的粒子被放置在一个均匀磁场中的情况。
根据常规的动力学相位的计算方法，我们可以算出粒子受磁场作用旋转的角度，而几何相位则围绕着磁场的拓扑特性展开。
当粒子沿着一个闭合路径在磁场中运动时，几何相位与路径的拓扑关系密切相关。
除了自旋，光的传播也是几何相位研究的重要对象。
在几何光学中，我们知道光在传播过程中会经历反射、折射等现象。
而在量子力学中，我们可以通过几何相位理论来深入理解这些现象。
例如，当光穿过一个较弯曲的光学元件时，会产生一种相位变化。
而如果我们采用常规的动力学相位的计算方法，往往无法彻底解释光的行为。
而几何相位理论则可以从一个几何的角度给出更准确的描述。
通过对光路的分析，我们可以计算出光线经过弯曲路径后所引入的相位变化，从而更好地解释光在不同介质中传播的特性。
几何相位理论不仅仅局限于经典情形，对于量子力学中复杂系统的研究也有重要意义。
例如，在量子力学的多粒子系统中，粒子之间的相互作用会导致相位的变化。
几何相位理论可以帮助我们理解这种相位变化背后的物理规律，并为多粒子系统的研究提供指导。
通过对系统的几何结构进行分析，我们可以揭示粒子之间相互作用的本质，并研究它们对粒子行为的影响。
贝里相位和贝里曲率
贝里相位和贝里曲率摘要：本文详细探讨了贝里相位（Berry phase）和贝里曲率（Berry curvature）这两个在量子力学和凝聚态物理中极其重要的概念。
文章首先介绍贝里相位的物理背景和数学定义，然后深入讨论贝里曲率以及它们在几何相位、拓扑绝缘体和量子霍尔效应等方面的应用。
通过严谨的数学推导和清晰的逻辑阐述，旨在为读者提供一个全面理解这些概念及其物理意义的参考。
1. 引言在量子力学领域，系统的演化不仅取决于其哈密顿量，还受到系统参数空间中路径的影响。
贝里相位是一个描述量子系统在绝热循环演化过程中获得的几何相位的概念。
该现象由英国物理学家迈克尔·贝里（Michael Berry）于1984年首次提出。
贝里相位与系统的能级结构紧密相关，而与之直接相关的贝里曲率则揭示了参数空间中的拓扑性质。
2. 贝里相位的基本概念贝里相位是量子绝热定理的一个结果，它描述了当一个量子系统沿一条闭合路径绝热演化时，除了动态相位外，还会获得一个额外的相位。
这个相位与系统参数空间中的路径有关，并且与经典的相空间轨迹不同。
贝里相位的数学表达涉及波函数的演变以及贝里连接数（Berry connection）。
3. 贝里曲率的定义与计算贝里曲率是一个描述在参数空间中贝里连接数强度和方向的矢量场。
它是贝里相位的直接衍生物，可以通过对贝里连接数求导得到。
贝里曲率在数学形式上类似于磁场，其在量子系统中的作用也相似于磁场在经典电磁理论中的角色。
4. 贝里相位和贝里曲率的物理意义贝里相位和贝里曲率不仅仅是理论上的构造，它们在多个物理领域中都有实际应用。
例如，在光学中，贝里相位可以用于设计具有特殊性质的光学元件；在固体物理学中，贝里曲率与电子能带结构的关系对于理解拓扑绝缘体和量子霍尔效应至关重要。
5. 贝里相位和贝里曲率的应用实例文章接下来将通过几个具体的应用案例来进一步阐明贝里相位和贝里曲率的物理内涵和实验观测。
包括量子系统的绝热演化、光学活动中的涡旋光束产生、以及凝聚态物质中的拓扑相变等。
量子力学相位因子
2001 - 05 - 14 收到初稿 ,2001 - 06 - 29 修回
γ( t )
的乘
积 ,即 Ψ ( x , t ) = | Ψ ( x , t ) | ei
γ( t)
.
从量子力学的初等原理已经知道 , 作为与实验结果 2 联系 ,最重要的是| Ψ ( x , t ) | ,一般称其为在某一瞬 时 t ,在空间 x 与 x + Δ x 间测到粒子的几率密度. Ψ ( x , t ) 是相应粒子的波函数 . 迄今量子力学已经 在实践中验证了 70 多年了 . 人们可以说对于波函数 相当清楚了解了 . 知道计算它的方法和它的物理意 义 . 但是仔细地考虑一下 , 可以发现 , 一本量子力学 参考书可以写上千页 ,仍然是不完备的 . 因为量子力 学仍然在发展中 ,尤其是近 10 年来 . 20 世纪初期出 ・668 ・
Δ
70 年 ,迄今实验还未发现单磁荷. 狄拉克本人在晚
年却倾向否定自己几十年来所持的观点 , 而转向支 持磁单极不存在的观点 ! 但是他仍然坚持量子力学 相位因子的重要意义 , 甚至把相位因子看成是比量 子力学算子对易关系更为基本的东西 . 磁单极虽未被实验发现 , 但磁单极场这种类型 的作用则是已经存在于原子分子的结构内部之中. 磁单极如果一旦被实验发现 , 那固然是人类对于自 然界认识的一次突破 . 但即使磁单极不存在于自然 界 ,那么给予的理解也可能是人类对自然界认识的 又一次飞跃 . 因为大自然禁戒了某些理论上合理的 存在 ,往往暗示着有很根本的新的自然规律在起作 用 . 虽然暂时我们对这新的规律还未认识 ,但禁戒的 存在揭示着人们要探求的目标和方向. 弱电统一作 用的希格斯 ( Higg) 粒子也经过了三四十年的探索而 仍未发现 . 如果 Higg 粒子果真不存在 , 那么弱电统
贝利相位的介绍
nRt
En R t m n
（6）
4
考虑一般含时薛定谔方程
i t Hˆ Rt t
t
t 可用 n Rt 展开，即
（7）
t an t n R t an t eint n R t （8）
n
n
（8）式代入（7）式得
i an t eint nRt an t n t eint nR t
在绝热近似条n 件下，利用（6）式，上式可简化为
am t am t mRt mRt （11）
积分得到
a
m
t
a
m
0
exp
t
0
mRt
t
mRt
dt
（12）
其中初始条件 am0 1
式（2）对时间求导
mRt mRt mRt mRt 0 （13）
即 Re mRt mRt 0
2022/3/22
（14）
n
n
i an t ein n 由（4）式
t
t
n
n
t
Rt
1
En
n
an t ein
Rt
t
En
R t
n Rt
a t e n R t 2022/3/22 n
in t
an t eint n R t
0 （9）
n
n
5
mRt 左乘上式，可得
am t an t eintmt m Rt n Rt （10）
例如周期变化的磁场的矢势 At 可作为 Rt
Rt 的周期变化在参量空间定义了一条闭合曲线 C
若假定周期 T足够大，以致哈密顿算符随时间的 变化很缓慢(此称为绝热变化过程) ，致使系统在每
量子力学(第十章微扰论)
(0)
(2)
ˆ (0) 0 E 3 H
ˆ 利用 H 0 的厄米性，以上两边左边应相等，得
E
3
(1)
ˆ E 1 (1) H
利用此式，可以直接用微扰一级近似波函数来 计算能量的三级近似。
10.1.1 非简并态微扰论 1.一级近似解 令一级微扰近似波函数表示为 ˆ (0) E (0) (0) ,H (0) E (0) (0) ˆ H0 n n n 0 k k k
0 (1) 0 k
0
E E
0 k
(6a)
1
1
ˆ (0) E H k
(1)
(2)
ˆ E H
(6b) E
2
(0) k
(6c)
式（6b）、（6c）和（6d在书上p176）两边左 (0) 乘 k ，并利用式（5），可以得到 1 ˆ E (0) H (0) 7a
(1) (0) (1) ' an n n k n
用
得：
(0) k
ˆ ˆ | 左乘(6b)式 H 0 Ek 0 (1) E 1 H k(0)
(0) k
ˆ E 0 (1) (0) | E 1 H (0) ˆ | H0 k k k
例题1：电介质的极化率 考虑各向同性电介质在外电场作用下的极 化现象。当没有外电场作用时，介质中的粒子 在其平衡位置附近作小振动，可视为简谐运动。 设沿x方向加上以均匀外电场 e ，对带电 q 的离子，Hamilton量为
量子力学中的几何相位理论研究
量子力学中的几何相位理论研究量子力学是描述微观粒子行为的理论框架，而几何相位理论则是量子力学中的一个重要分支。
几何相位理论研究的是量子系统在演化过程中由于几何结构的变化而产生的相位变化。
本文将介绍几何相位理论的基本概念、研究方法以及其在实际应用中的意义。
首先，我们来了解一下几何相位的概念。
在量子力学中，相位是描述波函数演化的重要参数，它决定了波函数在空间中的分布和幅度。
而几何相位则是由于系统的几何结构变化而产生的相位变化，与系统的动力学无关。
几何相位的计算可以通过路径积分方法来实现，其中最著名的是贝利相位。
贝利相位是描述量子系统在闭合路径上演化时产生的相位变化。
它的计算方法是通过将路径分割成无限小的小段，并在每个小段上计算相位的变化，然后将这些小段的相位变化相加得到整个路径的相位变化。
贝利相位的计算需要考虑到系统的哈密顿量和路径的几何结构，因此它是一个纯几何效应。
几何相位理论的研究方法主要包括数值计算和实验观测两种。
数值计算是通过计算机模拟的方式来研究几何相位的性质和行为。
研究者可以通过构建合适的模型和算法，来模拟量子系统在不同几何结构下的相位变化。
这种方法可以帮助我们理解几何相位的物理意义，并为实验观测提供指导。
实验观测是通过实际测量来验证几何相位的存在和性质。
研究者可以设计实验装置，通过对量子系统的控制和测量，来观测几何相位的变化。
例如，可以利用光学干涉实验来测量光子的几何相位，或者利用超导量子比特实验来测量量子比特的几何相位。
实验观测的结果可以与数值计算进行比较，从而验证几何相位理论的正确性。
几何相位理论在实际应用中具有广泛的意义。
首先，它可以用于解释和预测量子系统的行为。
通过研究几何相位，我们可以更好地理解量子系统在不同几何结构下的演化规律，从而提供对量子系统行为的深入认识。
其次，几何相位理论还可以用于设计和优化量子器件。
通过控制和调节几何结构，我们可以改变量子系统的几何相位，从而实现对量子态的操控和操作。
量子Berry相因子与相位教学
量子Berry相因子与相位教学第26卷第3期2007年3月大学物理C0LLEGEPHYSICSV o1.26NO.3Mar.2007量子Berry相因子与相位教学易学华,余晓光,付凤兰(1.井冈山学院物理系,江西吉安343009;2.湖南大学应用物理系,湖南长沙410082;3.井冈山学院医务所,江西吉安343009)摘要:回顾了经典物理和量子力学中的相位问题,着重讨论了量子几何Berry相位及在量子力学中如何进行量子相位教学的问题.关键词:量子力学;Berry相因子;量子Hail效应;相位教学中图分类号:0413.1文献标识码:A文章编号:1000—0712(2007)03—0012—04众所周知,相位(phase)无论是在经典物理还是在量子物理中都占有很重要的地位.比如,在经典物理中,研究周期运动时,常常需要比较两个简谐振动的步调是否一致,位移是否同时到达极大,是否同时为零;或比较同一振动中位移,速度,加速度随时间周期性变化的步调上的关系.研究波动或振动的相位差在分析光波或声波的干涉现象,确定其强度分布时是极为重要的.对相位的研究在宏观物理中占有很重要的地位,在微观物理中具有更为深刻的物理意义,对非动力学相位的研究揭示了相位更深一层的物理本质.可以说,相位对应了物理学上的一切相互作用.杨振宁先生在1954年提出的规范场实质上就是相位场,这一理论揭开了物理学新的一幕;大统一宇宙学也是以相位为出发点进行研究的.总之,离开了相位,要想完全揭示微观体系的行为是十分困难的.几何Berry相位的发现,促使人们重新审视许多根本的物理问题,如电磁势的物理效应,介观环中的持续电流的几何效应,约瑟夫森效应以及量子Hall效应等,有力地推动了物理学的基础研究和量子力学的相位教学.1量子力学中的相位及其作用1)量子力学中的虚数单位i在经典物理或电工学中,引入虚数单位i是为了运算的方便,但是在量子力学中引入虚数单位i, 就不是为了方便了,而是本质上的需要.如果去掉i,那么薛定谔方程就将变为一个与描写热传导或扩散现象差不多的经典方程,完全不可能用来描写微观粒子的运动.在量子力学中最重要的或最微妙的是波函数的相位,而波函数的相位必须靠虚数单位i 来表示….2)量子物理中的相位在量子物理中,物质具有波粒二象性,粒子状态用物质波即波函数来描述.例如,具有一定动量p和一定能量E的粒子,满足一维Schr6dinger方程: i矗一()其解为=,tboexpi)(2)这是一种单色波,其中垒就是量子物理中的相位,譬为空间相位,一和粒子的能量有关,具有动力学性质,称为动力学相位.3)量子理论中相位的作用粒子波函数是由振幅和相位组成的.量子力学告诉我们:有观测意义的不是波函数本身,而是它的模的平方JJ,JJ是我们能够观测到的概率.但除此以外还有相位因子,它是模为1的数,它的变化不影响模的平方.这个相位是极其重要的,因为它是所有干涉现象的根源,而它的物理意义收稿日期:2006—03—06基金项目:江西省科技厅工业攻关资助项目[赣科发计字(2003)218,工业攻关计划32];江西省教育厅教改课题资助项目(赣教高字[2005]95号);吉安市2005年度指导性重点科技计划资助项目(吉市科计字[2005325号);井冈山学院自然科学基金资助项目.作者简介:易学华(1965一),男,江西宜春人,井冈山学院物理系讲师,湖南大学应用物理系博士生,主要从事量子相位和金属材料模拟研究及理论物理教学工作.第3期易学华等:量子Berry相因子与相位教学13是隐含难解的.对量子力学的建立和发展作出卓越贡献的狄拉克在1970年4月的一次演讲中说过:"相位这个物理量巧妙地隐藏在大自然中,正因为它隐藏得如此巧妙,人们才没能更早地建立量子力学".2Berry几何相位的提出及其计算公式自从Berry于1984年提出在量子Hamiltonian系统作周期性绝热演化过程中存在几何相位以来,就引起了人们的广泛注意.人们已经在原子分子物理,核物理,量子信息,量子光学,凝聚态物理以及规范场论等各个领域对几何相位做了许多实验验证和理论分析引.这些工作为从物理上解释几何相位提供了丰富的材料,并由此建立了几何相位的数学基础.量子力学中的绝热定理告诉我们:量子系统在缓慢变化的环境中将保持定态.因此,在绝热变化过程中,系统波函数在演化过程中将保持不变,与定态时完全一样,即由f))=exp{一÷jH(z,)dz(0))来描述?这里指数因子exP{一亡j.H(￡)dt}为动力学因子,由系统的哈密顿量决定.但Berry却发现,对于一非简并量子系统,如果其哈密顿量在某参数空间中作绝热演化而形成一条闭合曲线(即该量子系统作周期性绝热演化),则当系统完成一周演化其哈密顿量回到原值时[即H(T)=H(O)],其波函数为l(T))=expER(洲d}.exp[iy(c)]l(0))与上述过程比较,这里出现了一个新的相因子exp [iy(C)],这个新的相因子由哈密顿量在参数空间中的演化路径的几何结构决定,称作几何相因子,也叫Berry相因子.其计算式为y(C)=y(T)一y(0)=i寸)<,(R)l(R))?dR(3)其中l(R))为系统处于该瞬时的哈密顿量H[R(t)]所对应的本征态.此式在计算Berry相位时要求l(R))具有单值性,这有两方面的原因:第一,只有在l(R))为单值的情况下才能比较绝热过程中的初态(t=0)和终态(t:T)的态矢,从而定义几何相位y;第二,只有在l(R))为单值的情况下态矢梯度(R)才有意义,如l)一exp[i(R)]J,2>,则<l)=i+<l)即<l)依赖于单值本征态l(R))的相位选择.运用stocks定理还可求得y(c)=一llds?V(R)(4)其中m尝×,,1((R)lH(R)l(R))}.'J式(4)并不要求l(R))本征函数是单值的.因为式(4)与Vn无关,但计算很繁杂.3相位教学到目前为止,已有不少量子力学教科书¨以专题的形式比较详细地讲述了量子Berry相位.但当前面临课时减少,而相关的知识和内容又日益增多的情况,要想详细地讲述Berry几何相位并非一件易事.鉴于量子力学中最重要的或最微妙的是波函数中的相位n],那么在量子力学教学过程中就很有必要强调相位的重要性,并把Berry相位及其在许多物理领域中的应用作一些介绍.学生在学习量子力学时,了解近20多年来引起物理学界普遍关注的Berry相因子及其几何拓扑背景无疑是大有裨益的.但要严格系统地阐述Berry相因子的几何拓扑背景将涉及到拓扑,现代微分几何等方面的许多知识,而这些知识又超出了当前本科学生的数学基础. 如何在有限课时的前提下,让学生理解并掌握量子力学中的Berry几何相位,是值得我们这些从事量子力学教学的工作者们一起探讨的问题.我们在教学过程中引入量子几何相位的一种思路是:在引入量子相位时,首先可从SchrSdinger方程出发,求出其解,提出量子相位的概念,并说明量子相位的作用,指出量子力学中引入虚数单位i并不是为了数学上的方便,而是客观本质上的需要;接着根据绝热定理简捷而清楚地推导出Berry相因子及Berry相14大学物理第26卷位的计算公式;最后指出量子相位的广泛应用,并举一两个实例来进一步说明Berry相因子的意义及其实际应用.下面举两个例子,它们有助于学生对Berry相位的理解和掌握.例1自旋为的粒子在二能级体系中的几何相位.由于任何二能级体系的哈密顿量都可以化成一个类似于自旋为的粒子在磁场中的哈密顿量,二能级量子系统不仅较能体现量子力学的特色,而且比较简单.在量子力学范畴里,自旋S=的粒子在磁场中的旋度,极化,共振等现象,以及在粒子物理中正,反粒子的振荡等都属于二能级体系,因此对于自旋为的粒子在二能级体系中的几何相位颇具代表性.自旋为的粒子在磁场中的哈密顿量为H=～.O-=一百1/2B.(..i.in0一exp(-sin0expicos0i)c5,●JjJ\(i)一/,'这里/1是粒子磁矩;仃为Pauli矩阵;0,是球坐标系中的方位角,是时间￡的函数;B是磁场,在球坐标中可表为B=B(sin0cos,sin0sin,COS0)讨论本征方程白『)=一B『)(6)l/1)(口=±1)是自旋波函数,口=+1表示自旋向上,口=一1表示自旋向下.该哈密顿量的本征函数可统一表示为n:cos(旦)唧(一i号)cos唧(i詈)当=+1当=一1(7)可以用式(3)来计算Berry相位.对于本征函数式(7)可求得:(+』未:一丢cos(一一):丢cos所以y+(i+』d0JjuIiJ0一j未u1l即y(f)=干In(f)(9)其中(c)=一27rcos0是二能级参数空间的立体角.也可用式(4)来计算Berry相位.厂=e++v//=il—_一expP口十expLPexp(一i础～+'exp(一i础1sinl_口J(+l白l一)=(c.s(导)exp(i詈),sin(导)exp(一i号))'VHsinexp(一i号)cos唧(i詈)1I1一e)(10)同理(一l奇l+)=吾B(+ie)(--)这样有m同理有(8)',一=Iml奇)×(+lV白l————r——一,-●,●,9,一2Lc-,|,,,I_',,,,,I_',,ppXXee,-●f/,-●,/～2～2,,J●_l\,,J●_,\nnSS=.●一r十l—r×,,●●,,ll一厂一.一P×l—r,,,I_'l,一)mm第3期易学华等:量子Berry相因子与相位教学15 一(13)代入式(8)得y+(c)=一dS.v+(R)=一』『ds?一10(c)=7cc.s(14)同理有y一(c)=一dS.v一(R)=lo(c)=一7cc.s即y(c)=干1(c)(15)与利用式(3)计算的结果相一致.例2量子Hall效应与Berry相位的关系.1980年,物理学家冯?克利青因从金属一氧化物一半导体场效应晶体管(MOSFET)中发现量子Hall效应而获得1985年诺贝尔物理学奖.在计算Hall电导率时,采用公式i[一oJ1]wil一Jb其中J:(I.I).当系统处于基态非简并时w_i.J=(.I)])我们知道,上式右边方括号内的积分实际上就是Berry相位y(C.),于是上式又可写成H=ey(c.)(18)HlI对于基态简并有wiezJ?d=(.I)](19)同理,上式右边方括号中的积分正是Berry相位y(C),即有wey(cz)(20)其中k为有限整数.从以上两种情况可知,量子Hall 电导率实质上是一种特殊的Berry相位,因而它具有Berry相位的几何特性.4结束语近年来,几何相位及其引起的量子效应已被公认,并得到实验的验证和广泛支持,随着材料科学与技术的发展,已能制备出许多宏观量子器件,使得量子几何效应已从实验研究进入初步应用阶段.在超导量子干涉,量子Hall效应,量子信息,光纤通信, Hubbard模型,声子极化,核磁共振,跃迁和散射过程,粒子物理等方面几何相位引起了一系列新奇的现象n.几何相位乃至整个相位物理将在各个领域中得到广泛的发展和应用.可见,相位物理在整个物理学特别是量子力学中有着广阔的发展前景. 因此,希望广大从事物理教学的工作者在量子力学教学中重视量子几何相位的教学.参考文献:[1]倪光炯.朝花夕赏:量子力学妙在何处[J].科学, 1998,50(2):38—42.[2]杨振宁.负一的平方根,复相位与薛定谔[J].自然杂志,1988,11(1):58—61.[3]BerryMV.Quantalphasefactorsaccompanyingadiabat—icchanges[J].ProcRoySoc,1984,A392:45—57.[4]ShapereA,WilczekF.QuantumGeometricalPhasein Physics[M].Singapore:WorldScientific,1989:187.[5]ZhuSL,WangZD.Unconventionalgeometricquantum computation[J].PhysRevLett,2003,91(18):187902.[6]李华钟.介观物理的粒子自旋轨道耦合和量子几何相位[J].物理学进展,1999,19(4):386—408.[7]WangZD,ZhuSL.Nonadiabaticnoncyclicgeometric phaseandpersistentcurrentinone—dimensionalrings[J]. PhysRevB,1999,6o(15):10668—10671.[8]YiXX,WangLC,ZhengTY.Berryphaseinacorn—positesystem[J].PhysRevLett,2004,92(15):150406.[9]曾谨言.量子力学:卷Ⅱ[M].3版.北京:科学出版社,2000:227—233.[10]苏汝坚.量子力学[M].2版.北京:高等教育出版社,2002:283'287.[11]熊钰庆,何宝鹏.量子力学导论[M].广州:广东高等教育出版社,2000:282—285.[12]ZhuSL,WangZD.Universalquantumgatesbasedon apairoforthogonalcyclicstates:ApplicationtONMR systems[J].PhysRevA,2003,67:022319.[13]李华钟.简单物理系统的整体性——贝里相位及其他[M].上海:上海科技出版社,1998.(下转2O页)20大学物理第26卷增加,当>1.1R时,增加迅速,特别是当d>1.18R(即接近距离极限)时,增加得非常快.不过此时线圈的尺寸和电流都很大,如当d=1.18R时,中间线圈半径大约是主线圈的11倍,而电流是主线圈电流的652倍.3)从轴向上看,在主线圈之间磁场均匀性较好,但在接近主线圈时突然变差.数值计算发现,当>1.1R时,在主线圈以外,还有一段均匀性超过0.95的区域.4)均匀性最好的三线圈磁场的参数为:距离d介于1.18至1.188之间,中间线圈电流和大小同时符合式(5)和式(6),此时中间线圈的电流远大于主线圈,不过在技术上可简单地通过多匝密绕线圈实现.例如,d=1.183R时,J:1841J,只需密绕1841匝,然后与主线圈串联通电即可.5)均匀性最好的三线圈磁场的空间分布很理想,特别是两主线圈之间是一几乎标准的圆柱体.例如,对d/R=1.18的三线圈,均匀度为0.95以上的空间可以分成三个部分:一个是直径约为6R,高约为2R的圆柱体;一个是两主线圈所在处的直径约1.8R,高约0.28R的两个圆柱体;一个是底面直径约5.7R,高约0.72R的两个圆锥体.参考文献:[1]张引科,等.共轴三线圈磁场的均匀性[J].大学物理,2004,23(6):11—14.[2]张引科,等.3个共轴线圈形成的匀强磁场[J].物理实验,2003,23(10):43.47.[3]曾晓英.平行共轴三线圈产生均匀磁场的原理和计算[J].广东工业大学,200219(1):5—7.[4]晷会萍,等.平行共轴三线圈磁场均匀性分析[J].陕西师范大学(自然科学版),2002,30(2):41—44.[5]向裕民.圆环电流磁场的普遍分布[J].大学物理,1999,18(1):14—17.[6]张伟,等.同轴等大线圈互感系数及相互作用力.的近似解析公式[J].大学物理,2004,23(8):36.37. ThefurtherstudyaboutthehomogeneityofmagneticfieldofthreecoaxialcoilsCHENJun—bin,ZHUXia,ZHANGFu—zhi(DepartmentofPhysics,LogisticsEngineeringUniversity,Chongqing400016,China) Abstract:Accordingtoanalysisandnumeralcalculation,thehomogeneityofvectorfieldwit hanevencentreisdefined.Alsotheequalhomogeneitysurfaceofthreecoaxialcoilsareworkedondifferentpa rametersandthebestparameterwhichhadn'tbeenobtainedinotherrelativearticlesaregiven. Keywords:homogeneity;threecoaxialcoils;bestparameter(上接15页)ThequantumBerry'SphasefactoranditsteachingYIXue.hua一,YUXiao—guang,FUFeng.1an(1.DepartmentofPhysics,JinggangshanUniversity,Ji'an,Jiangxi343009,China;2.Depart mentofPhysics,HunanUniversity,Changsha410082,China;3.OfficeofHospital,JinggangshanUniversity, Ji'an,Jiangxi343009,China)Abstract:Thephaseproblemofclassicalphysicsandquantummechanicsarereviewed,theng eometricalBerry'Sphaseandhowtoperformitsteachinginquantumphysicsarediscussed. Keywords:quantummechanics;Berryphasefactor;quantumHalleffect;phaseteaching。
量子力学名词解释
一、名词解释1．波粒二象性 ：一切微观粒子均具有波粒二象性（2分），满足νh E=（1分），λh P =（1分），其中E 为能量，ν为频率，P 为动量，λ为波长（1分）。
2、测不准原理 ：微观粒子的波粒二象性决定了粒子的位置与动量不能同时准确测量（2分），其可表达为：2/P x x ≥∆∆，2/P y y ≥∆∆，2/P z z ≥∆∆（2分），式中 （或h ）是决定何时使用量子力学处理问题的判据（1分）。
3、定态波函数 ：在量子力学中，一类基本的问题是哈密顿算符不是时间的函数（2分），此时，波函数)t ,r ( ψ可写成r函数和t 函数的乘积，称为定态波函数（3分）。
4、算符使问题从一种状态变化为另一种状态的手段称为操作符或算符（2分），操作符可为走步、过程、规则、数学算子、运算符号或逻辑符号等（1分），简言之，算符是各种数学运算的集合（2分）。
5、隧道效应在势垒一边平动的粒子，当动能小于势垒高度时，按经典力学，粒子是不可能穿过势垒的。
对于微观粒子，量子力学却证明它仍有一定的概率穿过势垒（3分），实际也正是如此（1分），这种现象称为隧道效应（1分）。
6、宇称宇称是描述粒子在空间反演下变换性质的相乘性量子数，它只有两个值 ＋1和－1 （1分）。
如果描述某一粒子的波函数在空间反演变换(r→－r)下改变符号，该粒子具有奇宇称(P ＝－1 )（1分），如果波函数在空间反演下保持不变，该粒子具有偶宇称(P ＝＋1) （1分），简言之，波函数的奇偶性即宇称（2分）。
7、Pauli 不相容原理自旋为半整数的粒子（费米子）所遵从的一条原理，简称泡利原理（1分）。
它可表述为全同费米子体系中不可能有两个或两个以上的粒子同时处于相同的单粒子态（1分）。
泡利原理又可表述为原子内不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的4个量子数n 、l 、ml 、ms ，该原理指出在原子中不能容纳运动状态完全相同的电子，即一个原子中不可能有电子层、电子亚层、电子云伸展方向和自旋方向完全相同的两个电子（3分）。
含时问题与散射问题
10.4.2 S矩阵的解析性和幺正性 . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
10.4.3 哈密顿量H的散射定态 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
10.5 *不稳定束缚态和散射共振态 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
t0),
(10.5)
这个方程的初始条件就是U (t0, t0) = 1。 假 设 我 们 原 来 有 一 个 了 解 得 很 清 楚 的 系 统， 其 哈 密 顿 算 符 为H0 (假
定H0不显含时间)。所谓了解得很清楚意思就是我们完全知道H0的所有本 征态{|n⟩, n = 1, 2, 3...}和相应的本征值En(注意，从这里开始，在这一章 中En都表示H0的本征值，而不是H的本征值), 也即是说
注意这个表达式右边的|n⟩, |m⟩都不依赖于时间。习惯上，人们通常定义一
个新的时间演化算符UI(t, t0), 它的定义是
()
(
)
UI (t, t0) = exp i H0 t U (t, t0) exp −i H0 t0 .
(10.10)
UI(t, t0)也 是 一 个 幺 正 算 符， 它 常 常 被 称 为 相 互 作 用 绘 景 下 的 时 间 演 化 算 符， 人 们 很 容 易 验 证 它 满 足 时 间 演 化 算 符 的 基 本 性 质UI(t, t0) = UI(t, t1)UI(t1, t0), 以及UI(t0, t0) = 1。很显然，根据(10.9)式可以知道，跃 迁概率pn→m可以由下式给出
是在微扰V 的作用下，系统从|n, t0⟩态跃迁到|m, t⟩态的概率，相应的跃迁概
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K2 2
42
eiteit
普遍解为
((t))
Ac1 Ac2
Bc1 Bc2
A
K
Aeit Beit K 2 42 eit B K 2
K2 2
42
eit eit
若 t 0 ，电子处于 Hˆ 0本征值为 BB0 的本征态，其表示为
这要求
10
AB0
A K K2 42 B K K2 42 1
性，等概率）条件下：
单位时间跃迁概率，即跃迁率
wkn
e2 40
42 32
u(nk )
r nk
2
00
1 c2
H 1 A μ0
其中 u(nk ) 为辐射的能量密度分布，即光 强度分布。
第二十七讲
第十章 含时间的微扰论-量子跃迁
Ⅲ. 磁共振
A. 跃迁概率和跃迁率
B. 严格求解—Rabi 振荡
C. 一级近似公式的精确性
e2 4
(4)2 E02 4 (2)3(a03 ) 3
m 2
64a100k 3 (1 k2a02 )6
2
注意： 2m
k2
Ei
, Ei
e2 2a0
0 , 0
e2 2a0
k 2a02
0 0
,
1
k 2a02
0
40
256 3
a03E02
(
0
)6 (
0 0
)3
2
可以看到，在
4 3
0 处跃迁率达到极大。
0
1
2
Bb
2
ei(0 )t 1 2 i(0 )
Bbt
2
sin 1
2 1 ( 2
0
0 )t
t
2
其中 0 2BB0 /
B. 严格求解—Rabi 振荡
电子的总哈密顿量在 H0 表象，即在 Sz 表象中为
Hˆ
BB0 Bbeit
Bbeit BB0
设 t 时刻，电子状态或称自旋态的表
)nk
2
f
(En0
Ek0
)
例：设：有均匀的周期性电场
V e(E0 r)cost
作用在一个氢原子上。该氢原子在 t 0 时处于基态，试用微扰论求氢原子电离的 跃迁率。
末态为平面波
1 (2)3
2
eikr
k k' δ(k k')
k dk k 1
由此可见，在 k 空间中态密度为 1
Wif
2
总振荡磁场为 Bx b cos t By b sin t Bz B0
电子的总哈密顿量 Hˆ s B B B
它在 H0 表象中的表示为
Hˆ Hˆ 0 Hˆ
(Hˆ 0
)
BB0 0
0 BB0
Hˆ
0
Bb(cos
t
i
sin
t
)
Bb(cos t i sin t)
0
0
Bbeit
i
am (t )
u m(t)
e
i
t
ti Em (t)dt
0
m
m
与 un (t) 标积得
an(t)
am (t )
un (t)
u m(t)
i
e
t
ti [En (t)Em (t)]dt
0
m
即
a n (t) an (t) un (t)
u n (t)
am(t) un(t)
u m
(t)
e
i
从一个态跃迁到另一个态的概率或跃迁率.
那时我们要求微扰的非对角矩阵元很小，
以保证
wT 1
w 是跃迁率，T tf ti 。 现在，我们要讨论的另一类问题, 是
在微扰期间里，微扰势随时间的变化率很 小。对于这一类问题，我们可用量子绝热 近似法来处理。
A. 绝热近似的条件 当哈密顿量 Hˆ (t) 随时间变化非常缓慢
则体系处于 Hˆ 0 的各本征态（或定态）的 概率将可能随时间发生变化。
i Hˆ Hˆ Hˆ 0 V r, t
t
仍可按 Hˆ 0 的定态 n (r, t) n (r)eiE(n0)t
展开，其中 Hˆ 0n(r) E(n0)n(r) 。但由于 n 不是 Hˆ 的定态，所以展开系数是与
(t)
(
1 i
)m
n1n2
nm1
t
t0 dtm
tm t0
dt
m1
t2 t0
dt
1
V (t )e V (t )e innm1tm nnm1 m
nm1nm2
m1
inm1nm2 tm1
于是
Vn1k (t1 )ein1kt1
akn (t) akn(i) (t) i1
nk
若 Vnk 很小，即跃迁概率幅很小。我 们只要取一级近似即可，则
Ⅳ. 绝热近似
A. 绝热近似的条件
B. 绝热定理
Ⅲ. 磁共振
电子置于均匀磁场 B0 （在 Z 方向 ）
中，则
Hˆ 0
s
B0
eB0 me
ms
使电子的简并态（对自旋）发生分裂，其
能量差
E E E 0 2BB0
其中
B
e 2me
其中 B e 2me
当电子吸收一光子 ，则将电子激
发到较高能级，即自旋向上的态。 A. 跃迁概率和跃迁率 设：有一垂直于静场的磁场。于是，
1 i
(BB0c1
Bbeitc2
)
i B be it
i ( Bb
eitc1
BB0 Bb
eitc1 )
Bbeit
1 i
(Bbeitc1
BB0c2
)
得
2c1 i 2c1 [ BB0 (Bb)2 (BB0 )2]c1 0
令
c1 eit
22 2 [(BB0 )2 BB0 (Bb)2 ] 0
示为
t
c1 c2
i
d dt
c1 c2
BB0 Bbe it
Bbe it BB0
c1 c2
于是有
ic1 BB0c1 Bbeitc2
ic2 Bbeitc1 BB0c2
c2
i Bb
eitc1
BB0 Bb
eitc1
•
ic1 BB0c1 iBbeitc2 Bbeitc2
于是
ic1
BB0
2
2
于是有
A K2 42
B K2 42
最后有解
(t)
Ac1 Ac2
Bc1 Bc2
eit
ei t
K 2 42
K 2 42
K
K 2 42 eit K
K2
42
eit eit
2 K2 42
2 K2 42
2i K2 42
eit / 2
sin
2 4[(BB0 )2 BB0 (Bb)2 ]
2
(2BB0 )2 4(Bb)2 2
其中
K 2BB0 /
K2 42
2
0 ， Bb /
所以， 时，有解
c1 c2
K
eit
K2 2
42
eiteit
时，有解
c1 c2
K
eit
n (r, t) 的概率为
Pkn ank(1) (t) 2
1
2
t t0
Vnk (t1 )einkt1 dt1
2
我们已举例
1. 处于基态（ t ）的氢原子，
受位势
V(t) e x E0e t
扰动（ 0 为实参数）
并给出了偶极跃迁，rˆ ，的选择定则
l 1
m 0, 1
当 γ 很大（即微扰时间很短），氢原
0 1
的概率为
BB0
的本征态，
PBB0 cos2
K2
2
42
t
K2 K2 42
sin2
K2 2
42
t
记住：
K 2BB0 / 0 ， Bb /
0 1
10
t
2
电子所处的态随时间在这两个态之间震荡。
2
当
2BB0
0
时，电子所处的态随
时间在这两个态之间发生共振
定态
k (r, t0 ) k (r)eiE(k0) t0
于是
akn(0) nk
a
k(1) n
(t)
1 i
tt0
Vnk
( t1 )eink t1 dt1
a
k n
(2)
(t
)
(
1 i
)2
n1
tt0
dt2
tt02
dt1Vnn1
(
t
2
)einn1
t
2
Vn1k
(t1)ein1k
t1
由此类推
akn(m)
Bbe
it
0
若振荡场比静场小
b B0
设 t 0 时刻，电子自旋态的本征值
为 2。在一级近似下，从本征值为 2
的自旋态跃迁到本征值为 2 的自旋态的概
率为
P
1
2
t
1
†
0
0
0
Bbeit
2
Bbe 0
it
0 1
e
i
2BB0t
/
dt
1 2
t
2
Bb 2 ei(0 )tdt
时，则可定义瞬时本征方程
Hˆ (t) um (t) Em (t) um (t)
并有 un (t) um(t) nm 对于 t 时刻，薛定谔方程