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初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)
初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)初中数学奥林匹克竞赛全真试题（全国联赛卷）（详解版）一、填空题1. 如果函数 f(x)=x^2-2x+1的根为 a,b，那么a + b 等于_____.答案：-12. 已知正整数 m、n 满足 mx+ny=1（m、n 都不为 0），若 m + n 等于 8，则 m - n 等于_____.答案：73. 若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1=3，Sn=15，则 n 的值是_____.答案：64. 在△ABC 中，已知 a=4，b=4，c=8，若 AB+AC=9，则∠B =_____.答案：45°二、选择题5. 已知 A、B 两点的坐标分别为（3，1）、（5，-1），则 AB 是_______.A. 水平的直线B. 斜率为 1 的直线C. 斜率为 -1/3 的直线D. 竖直的直线答案：B6. 若正方形的边长为 x，周长为 5x，则 x 的值等于_______.A. 4B. 5C. 8D. 10答案：A7. 已知tanα=2，cotβ=-3，则 tan（α-β）等于_______.A. 5B. -5C. -1/5D. 1/5答案：B8. 把一个正整数分成 K 份，第一份的数量是剩下的 K-1 份的总和的（）A. 1/2B. 3/2C. 2/3D. 3/4答案：B三、解答题9. 已知函数 f(x)=2x+1，若直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切，求该曲线上点 P 的坐标答：设点 P 的坐标为 (x,y)，因为直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切，所以曲线上点 P 的 y 值可由 4x+3y=37 中求得，即 y=12-4/3x，由函数 f(x)可得 12-4/3x=2x+1，故 x=7，代入 y=12-4/3x 可得 y=12-4/3(7)=8。
点 P的坐标即为 (7, 8)。
10. 已知△ABC 中，a=3，b=3，∠A=120°，求 B 的坐标答：由△ABC 中 A 的坐标为（0，0），a=3，b=3 可知 C 的坐标为（3，0），∠A=120°，∠C=60°，因为∠B=60，则以 C 为外接圆圆心，半径为3 的圆○上可得点B，即B(√3，1)，综上所述，点B 的坐标为（√3，1）。
全国初中数学联赛决赛试卷及其答案(共4页)
20XX 年全国初中数学联赛决赛试卷（4月10日 上午8：45——11：15）考生注意：1．本试卷共三大题（13个小题），全卷满分140分．2．用圆珠笔、签字笔或钢笔作答． 3．解题书写不要超出装订线． 4．不能使用计算器．一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个凸多边形所有对角线的条数总共有（ ） A ．42条 B ．54条 C ．66条 D ．78条2．如图，矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ．若∠CAE＝15°，则∠BOE ＝（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°3．设方程()()0x a x b x ---=的两根是c ，d ，则方程()()0x c x d x --+=的分根是（ ）A ．a ，bB ．－a ，－bC ．c ，dD ．－c ，－d4．若不等式2133x x a -+-≤有解，则实数a 的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．65．若一个三角形的任意两条边都不相等，则称它为“不规则三角形”．用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，“不规则三角形”的个数是（ ） A ．18 B ．24 C ．30 D ．36 6．不定方程2225x y -=的正整数解（x ，y ）的组数是（ ） A ．0组 B ．2组 C ．4组 D ．无穷多组． 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 本题共有4小题，要求直接将答案写在横线上．1．二次函数22y x ax =-+的图象关于直线x =1对称，则y 的最小值是__________． 2．已知1a ，则20122011201022a a a +-的值为_____________．3．已知△ABC 中，ABBC ＝6，CAM 是BC 的中点，过点B 作AM 延长线的垂线，垂足为D ，则线段BD 的长度是_______________．4．一次棋赛，有n 个女选手和9n 个男选手参赛，每位选手都与其余10n －1个选手各对局一次．计分方式为：胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后统计发现，所有男选手的得分总和是所有女选手得分总和的4倍．则n 的所有可能值是__________． 三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分） 1．（本题满分20分）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程22(31)210x a x a +-+-=的两个实数根，使得1212(3)(3)80x x x x --=-成立．求实数a 的所有可能值．O EDB A2．（本题满分25分）抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点M （x 1，0），N （x 2，0），且经过点A （0，1），其中0<x 1<x 2．过点A 的直线l 与x 轴交于点C ，与抛物线交于点B （异于点A ），满足△CAN 是等腰直角三角形， 且S △BMN =52S △AMN ．求该抛物线的解析式． 3．（本题满分25分）如图，AD 、AH 分别是△ABC （其中AB >AC ）的角平分线、高线，M 是AD 的中点．△MDH 的外接圆交CM 于E ．求证：∠AEB ＝90°．20XX 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案说明：评阅试卷时，请依据本评分标准：选择题和填空题只设7分和0分两档；其余各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1、B2、D3、A4、C5、B6、A 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 1、1 2、0 3、234、1 三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分） 1、（本题满分20分）已知21,x x 是关于x 的一元二次方程012)13(22=-+-+a x a x 的两个实数根，使得80)3)(3(2121-=--x x x x 成立。
全国初中数学竞赛试题及答案(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题(共5小题，每小题6分，共30分.)1 (甲).如果实数纠b, C在数轴上的位置如图所示，那么代数式>∕7-∖a + b I +√(c-6∕p + ∖b + c∖可以化简为( ).h a QC(A) 2c-a(B) 2a-2b(C) -" (D) n1(乙).如果t∕=-2 + √2 ,那么1 + —的值为( )•2+——3+ “(A) -√2(B) √2(C) 2 (D) 2√2 2(甲).如果正比例函数V- axα ≠ 0)与反比例函数y-~ (b ≠())X 的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为(一3, -2),那么另一个交点的坐标为( )•(A) (2, 3) (B) (3, -2) (C) (-2, 3) (D) (3,2)2(乙).在平面直角坐标系XOy中，满足不等式Λ-+y≤2x+27的整数点坐标(％y)的个数为( ).(A) 1() (B) 9 (C) 7 (D) 5 3(甲).如果α, b为给定的实数,且l<a<b ,那么1, 4 + 1, 2a+b t a+b+ ∖这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( )•（A ） 1 （D ）；43 （乙）.如图，四边形ABCD 中，AC 9角线,二 5,则仞的长为（）.4 （甲）.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币. 玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的“倍”；小玲对小倩说: “你若给我G 元，我的钱数将是你的2倍”，其中“为正整数，则 G 的可能值的个数是（）.4（乙）.如果关于X 的方程χh∣ = Xp, q 是正整数）的正根小于3,那么这样的方程的个数是（）.5 （甲）.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1, 2, 3,4, 5, 6.掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数宇之和除以4的 余数分别是0,1, 2, 3的概率为Po, Pi ，P v P 3,则Po' Pl ，P V P3中最 大的是（）.'AEC 是等边三角形.ZADC = 30。
全国初中数学联赛试题word版含答案
GFE ABCD全国初中数学联赛试卷1、在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪. 刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( )(A) 36 (B) 37 (C) 55 (D) 902、已知m ＝1＋2，n ＝1－2，且(7m 2－14m ＋a ) (3n 2－6n －7)＝8，则a 的值等于( )(A) －5 (B) 5 (C) －9 (D) 93、Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线y ＝x 2上，并且斜边AB 平行于x 轴. 若斜边上的高为h ，则( )(A) h ＜1 (B) h ＝1 (C) 1＜h ＜2 (D) h ＞24、一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形，则至少要剪的刀数是( )(A) 2004 (B) 2005 (C) 2006 (D) 20075、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ，若QP ＝QO ，则QC 的值为( ) (A) 23－1 (B) 23 (C) 3＋2 (D) 3＋2二、填空题6、已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b ＝2006，c －a ＝2005. 若a ＜b ，则a ＋b ＋c 的最大值为___________.7、如图，面积为a b －c 的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 是整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则 a －c b的值等于________.8、正五边形广场ABCDE 的周长为2000米. 甲、乙两分分别从A ，C 两点同时出发，沿A →B →C →D →E →A →…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分，那么出发后经过________分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上.9、已知0＜a ＜1，且满足[a ＋ 1 30]＋[a ＋230]……＋[a ＋29 30]＝18 ([x ]表示不超过x 的最大整数)，则[10a ]的值等于__________.10、小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码. 小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是_________.三、解答题 11、已知x ＝b a，a 、b 为互质的正整数，且a ≤8，2－1＜x ＜3－1.(1)试写出一个满足条件x ；(2)求所有满足条件的x .12、设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式：⎪⎩⎪⎨⎧--=++=+54141622222a a bc a a c b 求a 的取值范围.13、如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B . 过点A 做PB 的平行线，交⊙O 于点C . 连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，延长AE 交PB 于点K . 求证： PE • AC ＝CE • KB14、有2006个都不等于119的正整数a1，a2，…，a2006排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求a1＋a2＋…＋a2006的最小值.参考答案（1）解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次同时经过这两种设施的千米数是在55千米处．故选C．（2）解：由已知可得m2－2m＝1，n2－2n＝1．又(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)＝8，AD G所以 (7＋a )(3－7)＝8，解得a ＝－9 故选C ．（3）解：设点A 的坐标为（a ，a 2），点C 的坐标为（c ，c 2）（|c|＜|a|），则点B 的坐标为 （－a ，a 2），由勾股定理，得AC 2＝(c －a ) 2＋(c 2－a 2) 2，BC 2＝(c ＋a ) 2＋(c 2－a 2) 2，AC 2＋BC 2＝AB 2， 所以 (a 2－c 2) 2＝a 2－c 2 .由于a 2＞c 2，所以a 2－c 2＝1，故斜边AB 上高h ＝a 2－c 2＝1 故选B ．（4）解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过k 次后，可得(k ＋1)个多边形，这些多边形的内角和为(k ＋1)³360°． 因为这(k ＋1)个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34³(62－2)³180°＝34³60³180°，其余多边形有(k ＋1)－34＝k －33(个)，而这些多边形的内角和不少于(k －33)³180°．所以(k ＋1)³360°≥34³60³180°＋(k －33)³180°，解得k ≥2005．当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34个六十二边形和33³58个三角形．于是共剪了58＋33＋33³58＝2005（刀）． 故选B ．（5）解：如图，设⊙O 的半径为r ，QO ＝m ，则QP ＝m ，QC ＝r ＋m ，QA ＝r －m ． 在⊙O 中，根据相交弦定理，得QA ²QC ＝QP ²QD 即 (r －m )(r ＋m )＝m ²QD ，所以 QD ＝r 2－m2m． 连结DO ，由勾股定理，得QD 2＝DO 2＋QO 2， 即 ( r 2－m 2 m )2＝r 2＋m 2 ，解得m ＝33r所以，QC QA ＝r ＋m r －m ＝3＋13－1＝3＋2 故选D ．（6）解：由a ＋b ＝2006，c －a ＝2005，得a ＋b ＋c ＝a ＋4011．因为a ＋b ＝2006，a ＜b ，a 为整数，所以a 的最大值为1002．于是，a ＋b ＋c 的最大值为5013．（7）解：设正方形DEFG 的边长为x ，正三角形ABC 的边长为m ，则m 2＝43 ，由△ADG∽△ABC，可得xm＝32m－x32m，解得x＝(23－3)m于是：x2＝(23－3)m2＝283－48，由题意，a＝28，b＝3, c＝48，，所以a－cb＝－203．（8）解：设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x米，乙走了46³400x50＝368x米．于是368(x－1)＋800－400(x－1)＞400，所以，12.5≤x＜13.5．故x＝13，此时t＝400³1350＝104．（9）解：因为0＜a＋130＜a＋230＜……＜a＋2930＜2，所以[a＋130]，[a＋230]，…，[a＋2930]等于0或1．由题设知，其中有18个等于1，所以[a＋130]＋[a＋230]……＋[a＋1130]＝0，[a＋1230]＋[a＋1330]……＋[a＋2930]＝1，所以 0＜a＋1130＜1 ，1≤a＋1230＜2．故18≤30a＜19，于是6≤10a＜193，所以 [10a]＝6．（10）解：设原来电话号码的六位数为abcdef，则经过两次升位后电话号码的八位数为2a8bcdef．根据题意，有81³abcdef＝2a8bcdef．记x＝b³104＋c³103＋d³102＋e³10＋f，于是81³a³105＋81x＝208³105＋a³106＋x 解得x＝1250³(208－71a) ．因为0≤x＜105，所以0≤1250³(208－71a)＜105，故12871＜a≤20871．因为a为整数，所以a＝2．于是x＝1250³(208－71³2)＝82500．所以，小明家原来的电话号码为282500．（11）解：（1）x＝12满足条件．（2）因为x＝ba，a，b为互质的正整数，且a≤8，所以2－1＜ba＜3－1，即 (2－1)a＜b＜(3－1)a．当a＝1时，(2－1)³1＜b＜(3－1)³1，这样的正整数b不存在．当a＝2时，(2－1)³2＜b＜(3－1)³2，故b＝1，此时x＝12．当a＝3时，(2－1)³3＜b＜(3－1)³3，故b＝2，此时x＝23．当a＝4时，(2－1)³4＜b＜(3－1)³4，与a互质的正整数b不存在．当a＝5时，(2－1)³5＜b＜(3－1)³5，故b＝3，此时x＝35．当a＝6时，(2－1)³6＜b＜(3－1)³6，与a互质的正整数b不存在．当a＝7时，(2－1)³7＜b＜(3－1)³7，故b＝3，4，5此时x＝37，47，57．当a＝8时，(2－1)³8＜b＜(3－1)³8，故b＝5，此时x＝58.所以，满足条件的所有分数为12，23，35，37，47，57，58.（12）解：由①－2³②得 (b－c) 2＝24(a＋1)＞0，所以a＞－1．当a＞－1时， b2＋c2＝2a2＋16a＋14＝2(a＋1)(a＋7)＞0 ．又当a＝b时，由①，②得c2＝a2＋16a＋14 ，③ac＝a2－4a－5 ④将④两边平方，结合③得a2 ( a2＋16a＋14)＝(a2－4a－5) 2化简得 24a3＋8a2－40a－25＝0，故(6a＋5)(4a2－2a－5)＝0，解得a＝－56，或a＝1±214．所以，a的取值范围为a＞－1且a≠－56，a≠1±214．（13）证明：因为AC∥PB，所以∠KPE＝∠ACE．又PA是⊙O的切线，所以∠KAP＝∠ACE，故∠KPE＝∠KAP，于是△KPE∽△KAP，所以KPKA＝KEKP，即KP2＝KE²KA ．由切割线定理得 KB 2＝KE ²KA 所以KP ＝KB ．因为AC ∥PB ，△KPE ∽△ACE ，于是 PE CE ＝KP AC 故 PE CE ＝KBAC， 即 PE ²AC ＝CE ²KB（14）解：设10个学生为S 1，S 2，…，S 10 ，n 个课外小组G 1，G 2，…，G n ．首先，每个学生至少参加两个课外小组．否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为S 1，由于每两个学生至少在某一个小组内出现过，所以其它9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾．若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设S 1恰好参加G 1，G 2，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与S 1没有同过组，矛盾．所以，每一个学生至少参加三个课外小组．于是n 个课外小组G 1，G 2，…，G n 的人数之和不小于3³10＝30．另一方面，每一课外小组的人数不超过5，所以n 个课外小组G 1，G 2，…，G n 的人数不超过5n ， 故5n ≥30，所以n ≥6．下面构造一个例子说明n ＝6是可以的．G 1＝｛S 1，S 2，S 3，S 4，S 5｝，G 2＝｛S 1，S 2，S 6，S 7，S 8｝，G 3＝｛S 1，S 3，S 6，S 9，S 10｝， G 4＝｛S 2，S 4，S 7，S 9，S 10｝，G 5＝｛S 3，S 5，S 7，S 8，S 9｝，G 6＝｛S 4，S 5，S 6，S 8，S 10｝．容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件．所以，n 的最小值为6．。
全国初中数学联合 竞赛试题及详细解答(含一试二试)
全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4..2．若实数,,a b c 满足等式23||6a b +=，49||6a b c -=，则c 可能取的最大值为 （ ） A ．0. B ．1. C ．2. D ．3.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-ab b a 则 （ ）4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ） A ．－13. B ．－9. C ．6. D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++= （ ）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA 5PC ＝5，则PB ＝______．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，___P_A_C_B求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a . （1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为 C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积._ Q_I _ P_ C_ A_M_B第二试 （B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4. 解： 由已知可推得011a b b c a c -=⎧⇒-=±⎨-=±⎩ 或110a b b c a c -=±⎧⇒-=±⎨-=⎩，分别代入即得。
全国初中数学联赛试题(含参考答案)
全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、设17-=a ，则=--+12612323a a a （ A ）A 、24B 、 25C 、1074+D 、1274+ 2、在ABC ∆中，最大角A ∠是最小角C ∠的两倍，且7=AB ，8=AC ，则=BC （ C ） A 、27 B 、10 C 、105 D 、37 3、用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程[]0322=--x x 的解的个数为（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、 44、设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ B ）A 、143 B 、73 C 、21 D 、74 5、如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，2=BC ，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则=∠CBE sin （ D ）A 、36 B 、32C 、31D 、10106、设n 是大于1909的正整数，使得nn --20091909为完全平方数的n 的个数是 （ B ）A 、3B 、 4C 、 5D 、6 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程0122=-+-t x x 的两个非负实根，则()()1122--b a的最小值是____________.答案：3-2、设D 是ABC ∆的边AB 上的一点，作BC DE //交AC 于点E ，作AC DF //交BC 于点F ，已知ADE ∆、DBF ∆的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.答案：mn 23、如果实数a ，b 满足条件122=+b a ，2212|21|a b a b a -=+++-，则____=+b a . 答案：1-4、已知a ，b 是正整数，且满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 15152是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有_对。
全国初中数学竞赛试题(含答案)-20220207144625
全国初中数学竞赛试题（含答案）20220207144625一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是质数？A. 2B. 3C. 4D. 52. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，那么这个三角形的周长可能是多少？A. 7B. 10C. 11D. 123. 下列哪个分数可以化简为最简分数？A. 2/4B. 3/6C. 4/8D. 5/104. 一个正方形的面积是36平方厘米，那么这个正方形的边长是多少厘米？A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题（每题5分，共20分）1. 7的平方根是______。
2. 0.25的小数点向右移动两位后是______。
3. 一个等边三角形的边长是10厘米，那么这个等边三角形的周长是______厘米。
4. 下列哪个数是立方数？A. 2B. 3C. 4D. 5三、解答题（每题10分，共30分）1. 解方程：2x 5 = 11。
2. 计算下列表达式的值：3(2 + 4) 7。
3. 一个长方形的长是8厘米，宽是4厘米，求这个长方形的面积。
四、答案部分一、选择题1. A2. B3. A4. D二、填空题1. ±√72. 253. 304. C三、解答题1. x = 82. 133. 32平方厘米全国初中数学竞赛试题（含答案）20220207144625四、应用题（每题15分，共30分）1. 小明家有一块长方形的地，长是12米，宽是8米。
小明计划将这块地分成两个相同大小的正方形区域。
请问每个正方形的边长是多少米？2. 小红有一笔钱，她将其中的1/3用于购买书，剩下的钱再将其中的1/2用于购买文具。
她剩下的钱是100元。
请问小红最初有多少钱？五、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：对于任意实数a和b，如果a < b，那么a² < b²。
2. 证明：等腰三角形的底角相等。
六、答案部分四、应用题1. 每个正方形的边长是6米。
2. 小红最初有300元。
初中数学全国竞赛试题及答案
初中数学全国竞赛试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果一个数的平方等于16，那么这个数是：A. 4B. ±4C. 16D. ±163. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 84. 将一个圆分成四个相等的扇形，每个扇形的圆心角是多少度？A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°5. 一个数的立方等于-8，这个数是：A. -2B. 2C. -8D. 8二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的平方根等于它本身，这个数是______。
7. 如果一个数的绝对值等于5，那么这个数可以是______。
8. 一个数的倒数是1/4，那么这个数是______。
9. 一个数的平方是25，这个数可以是______。
10. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，求长方体的体积。
12. 一个圆的半径是r，求圆的面积。
13. 已知一个等腰三角形的两个腰长为a，底边长为b，求三角形的面积。
四、证明题（每题15分，共30分）14. 证明：直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
15. 证明：如果一个角的余弦值等于1/2，那么这个角是60°。
五、应用题（每题20分，共20分）16. 某工厂生产一种零件，每个零件的成本是5元，售价是10元。
如果工厂想要获得10000元的利润，需要生产和销售多少个这种零件？初中数学全国竞赛试题答案一、选择题1. B2. B3. A4. C5. A二、填空题6. 0或17. ±58. 49. ±510. 8三、解答题11. 长方体的体积 = 长× 宽× 高= a × b × c。
全国数学初中联赛_试卷
一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列各数中，是质数的是（）A. 31B. 35C. 40D. 492. 若a，b是方程x^2 - 4x + 3 = 0的两根，则a + b的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 在下列各式中，正确的是（）A. a^2 = aB. a^2 = b^2C. (a + b)^2 = a^2 + b^2D. (a - b)^2 = a^2 - b^24. 已知等腰三角形底边长为10，腰长为8，那么这个三角形的面积是（）A. 40B. 45C. 50D. 555. 一个正方体的体积是64立方厘米，那么它的棱长是（）A. 2厘米B. 4厘米C. 6厘米D. 8厘米二、填空题（每题5分，共25分）6. 若x^2 - 5x + 6 = 0，则x的值是______。
7. 下列数中，是偶数的是______。
8. 在直角三角形中，若两个锐角的正弦值分别为2/3和3/5，则这个三角形的面积是______。
9. 一个圆的半径扩大到原来的2倍，那么它的周长扩大到原来的______倍。
10. 若a，b，c成等差数列，且a + b + c = 15，那么a^2 + b^2 + c^2的值是______。
三、解答题（每题15分，共60分）11. 解方程：2x^2 - 5x + 2 = 0。
12. 已知等腰三角形底边长为6，腰长为8，求这个三角形的面积。
13. 一个正方体的体积是125立方厘米，求这个正方体的表面积。
14. 已知数列{an}是等比数列，且a1 = 2，a3 = 32，求这个数列的公比。
四、附加题（20分）15. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，且f(1) = 4，f(2) = 8，f(3) = 12，求a，b，c的值。
答案：一、选择题1. A2. B3. D4. C5. B二、填空题6. 2或37. 2，4，6，8，10，……8. 6平方厘米9. 2 10. 75三、解答题11. x = 1或x = 2/3。
初中数学联赛试题及答案
初中数学联赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的自然数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A2. 一个等腰三角形的两边长分别为3和5，那么它的周长是多少？A. 11B. 13C. 14D. 16答案：B3. 如果一个数的平方等于36，那么这个数是多少？A. 6B. -6C. 6或-6D. 0答案：C4. 计算下列表达式的值：(2x+3)(2x-3)。
A. 4x^2 - 9B. 4x^2 + 9C. 9 - 4x^2D. 9 + 4x^2答案：A5. 一个圆的直径是10厘米，那么它的半径是多少？A. 5厘米B. 10厘米C. 15厘米D. 20厘米答案：A6. 一个数的相反数是-5，那么这个数是多少？A. 5B. -5C. 0D. 10答案：A7. 计算下列分数的和：1/2 + 1/3。
A. 5/6B. 1/6C. 7/6D. 6/7答案：A8. 一个三角形的内角和是多少度？A. 90度B. 180度C. 360度D. 720度答案：B9. 一个数的绝对值是5，那么这个数可能是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 0答案：C10. 计算下列表达式的值：(3x-2)^2。
A. 9x^2 - 12x + 4B. 9x^2 + 12x + 4C. 9x^2 - 4x + 4D. 9x^2 + 4x + 4答案：A二、填空题（每题3分，共30分）1. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。
答案：82. 如果一个直角三角形的两个直角边长分别是6和8，那么它的斜边长是______。
答案：103. 一个数的倒数是2，那么这个数是______。
答案：1/24. 一个数的平方根是4，那么这个数是______。
答案：165. 一个数的绝对值是3，那么这个数可能是______。
答案：3或-36. 计算下列分数的差：7/8 - 1/4。
答案：5/87. 一个圆的周长是31.4厘米，那么它的半径是______。
全国初中数学联合竞赛试题 及详细 解答(含一试二试)
全国初中数学联合竞赛试题第一试(A)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)1．已知实数a,b,c 满足213390a b c ++=，3972a b c ++=，则32b c a b+=+ （ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 2．已知△ABC 的三边长分别是a,b,c ，有以下三个结论：（1a b c（2）以222,,a b c 为边长的三角形一定存在；（3）以为1,1,1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．若正整数a,b,c 满足a b c ≤≤且=2()abc a b c ++，则称()a b c ，，为好数组.那么，好数组的个数为 （ ）A. 1 B ．2 C ．3 D ．44．设O 是四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，若0180BAD ACB ∠+∠=，且BC=3，AD=4，AC=5 ，AB=6 ，则DO OB= （ ） A. 10/9 B ．8/7 C ．6/5 D ．4/3第4题图 第5题图5．设A 是以BC 为直径的圆上的一点，AD ⊥BC 于点D ，点E 在线段DC 上，点F 在CB 的延长线上， 满足BAF CAE ∠=∠.已知BC=15，BF=6，BD=3，则AE ＝ （ ） A. 43 B. 213 C. 214 D. 2156．对于正整数n ，设a n 是最接近n 的整数，则1232001111...a a a a ++++=（ ） A. 191/7 B ．192/7 C ．193/7 D ．194/7二、填空题（本题满分28分，每小题7分）(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1．使得等式31+1+a a =成立的实数a 的值为______ _．2．如图，平行四边形ABCD 中，072ABC ∠=，AF BC ⊥于点F ，AF 交BD 于点E ，若DE=2AB ，则AED ∠=______．3．设m,n 是正整数，且m>n. 若9m 与9n 的末两位数字相同，则m-n 的最小值为 ．4．若实数x,y满足3331+的最小值为．x y++=，则22x y xy第一试(B)一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．已知二次函数y ax2bx c(c 0)的图象与x轴有唯一交点，则二次函数y a3 x2b3x c3的图象与x 轴的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．不确定．2．题目与（A）卷第1 题相同.3. 题目与（A）卷第3 题相同.4．已知正整数a,b,c满足a26b 3c 9 0，6a b2 c 0，则a2 b2c2＝（）A. 424B. 430C. 441D. 460．5．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若BAD ACB 180，且BC 3，AD 4，AC 5，AB 6，则DO/OB＝（）A. 4/3B. 6/5C. 8/7D. 10/96．题目与（A）卷第5 题相同.二、填空题：（本题满分28 分，每小题7 分）1．题目与（A）卷第1 题相同.2．设O是锐角三角形ABC的外心，D,E分别为线段BC,OA的中点，∠=∠，则OED∠=_________.ABC OED∠=∠,57ACB OED3. 题目与（A ）卷第3 题相同.4. 题目与（A ）卷第4 题相同第二试 （A ）一、（本题满分20 分）已知实数x,y 满足x+y=3，221112x y x y +=++ ，求55x y +的值.二、（本题满分25分）如图，△ABC 中，AB AC ，BAC 45，E 是BAC 的外角平分线与△ABC 的外接圆的交点，点F 在AB 上且EF AB .已知AF 1，BF 5，求△ABC 的面积.三、（本题满分25分）求所有的正整数数对(a, b)，使得34938b a =⨯+第二试 （B ）一、（本题满分20分）已知实数a,b,c 满足a b c ≤≤，++=16a b c ，2221+++=1284a b c abc ， 求c 的值.二、（本题满分25 分）求所有的正整数m ，使得212-2+1m m -是完全平方数.三、（本题满分25分）如图，O 为四边形ABCD 内一点，OAD OCB ，OA OD ，OB OC .求证： AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 .。
全国初中数学联合竞赛试题含答案
( ) 2.满足等式 2 − m m2 −m−2 = 1 的所有实数 m 的和为（A）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
3.已知 AB 是圆 O 的直径，C 为圆 O 上一点， CAB = 15 ， ABC 的平分线交圆 O 于点 D，若 CD = 3 ，则 AB=（A） （A）2 （B） 6 （C） 2 2 （D）3
等式 (at + m)(bt + m) = 17m 即 abt2 + m(a + b)t + m2 = 17m,
( ) ( ) 即 ab 3 − 2 2 + m(a + b) 2 −1 + m2 = 17m ，
整理得 m(a + b) − 2ab 2 + 3ab − m(a + b) + m2 −17m = 0
3.已知 AB 是圆 O 的直径，C 为圆 O 上一点， CAB = 15 ， ABC 的平分线交圆 O 于点 D，若 CD = 3 ，则 AB=（ ） （A）2 （B） 6 （C） 2 2 （D）3
4.不定方程 3x2 + 7xy − 2x − 5y −17 = 0 的全部正整数角（x,y）的组数为（ ）
于是可得
a + b = 2(17 −
ab
=
17m
−
m2
m .
)
,
因此，a,b 是关于 x 的一元二次方程 x2 + 2(m −17)x +17m − m2 = 0 ……○1 的两个整数根，
( ) 方程○1 的判别式 = 4(m −17)2 − 4 17m − m2 = 4(17 − m)(17 − 2m) 0.
全国初中数学联赛试题及答案(修正版)
O1A B O2全国初中数学联赛试题一、选择题1、已知a＝2－1，b＝22－6，c＝6－2，那么a，b，c的大小关系是【】(A) a＜b＜c (B) b＜a＜c (C) c＜b＜a(D)c＜a＜b2、若m2＝n＋2，n2＝m＋2(m≠n)，则m3－2mn＋n3的值为【】(A) 1 (B)0 (C)－1 (D)－23、已知二次函数的图象如图所示，并设M＝|a＋b＋c|－|a－b＋c|＋|2a＋b|－|2a－b|，则【】(A)M＞0 (B)M＝0 (C)M＜0 (D)不能确定M为正、为负或为04、直角三角形ABC的面积为120，且∠BAC＝90º，AD是斜边上的中线，过D作DE⊥AB 于E，连CE交AD于F，则△AFE的面积为【】(A)18 (B)20 (C)22 (D)245、圆O₁与O₂圆外切于点A，两圆的一条外公切线与圆O₁相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则圆O₁与圆O₂的半径之比为【】(A)2：5 (B)1：2 (C)1：3 (D)2：36、如果对于不小于8的自然数n，当3n＋1是一个完全平方数是，n＋1都能表示成个k 完全平方数的和，那么k的最小值为【】(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题P ′QA B C RP 7、 已知a ＜0，ab ＜0，化简，1 │a －b －32│－│b －a ＋3│＝____________8、 如图，7根圆柱形筷子的横截面圆的半径均为r ，则捆扎这7根筷子一周的绳子和长度为___________9、 甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 件10、 设N ＝23x ＋92y 为完全平方数，且不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对 （x ，y ）共有 ____对三、解答题11、已知：a ，b ，c 三数满足方程组⎩⎨⎧=+-=+482882c c ab b a ，试求方程bx 2＋cx －a ＝0的根。
全国初中数学竞赛试题及答案大全
全国初中数学竞赛试题及答案大全试题一：代数基础题目：若\( a \), \( b \), \( c \)为实数，且满足\( a + b + c = 3 \)，\( ab + ac + bc = 1 \)，求\( a^2 + b^2 + c^2 \)的值。
解答：根据已知条件，我们可以使用配方法来求解。
首先，我们知道\( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) \)。
将已知条件代入，得到\( 3^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 \times 1 \)。
简化后，我们得到\( a^2 + b^2 + c^2 = 9 - 2 = 7 \)。
试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，求斜边BC的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边BC的平方等于两直角边的平方和，即\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)。
代入已知数值，得到\( BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)。
因此，\( BC = \sqrt{100} = 10 \)。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项是2，公差是3，求第10项的值。
解答：等差数列的第n项可以通过公式\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)来计算，其中\( a_1 \)是首项，d是公差，n是项数。
将已知条件代入公式，得到\( a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 = 2 + 9 \times 3 = 29 \)。
试题四：概率问题题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出2个球，求取出的两个球颜色相同的概率。
解答：首先计算总的可能情况，即从8个球中取2个球的组合数，用组合公式C(8,2)计算。
然后计算取出两个红球或两个蓝球的情况。
两个红球的情况有C(5,2)种，两个蓝球的情况有C(3,2)种。
历届全国初中数学联赛试题15套.doc
一九九一年第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35．答（ ） ２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18．答（ ） ３． 方程012=--x x 的解是（A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ） ４．已知：)19911991(2111n nx --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ．答（ ）５．若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（ ）７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（ ）８．在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21；答（ ）（C ）c > 2； （D ）c = 2．答（ ）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ．２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+acb 32．3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m xx x x )1(1)1(+=-+恒成立，则=++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．11=S3S =132=S120135第二试xx + y，x －y，x y，y四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．一九九二年第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定. 3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xky 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是 (A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD , ︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , F A=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.一九九三年 第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ; 2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论: Ⅰ.y 没有最小值; Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ 4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++.;;;;52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>; (C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>. 5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A )等于4 (B )小于4 (C )大于5 (D )等于56.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角, 则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22-(B)22 (C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n , p ,那么m :n :p 等于(A)cb a 1:1:1; (B)c b a ::(C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin .答( )8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+答( )二.填空题1.当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC 分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D ,E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,z A．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4B．等于5C．等于6D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( ) 7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
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2007 年全国初中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准明： 卷 ， 依据本 分 准.第一 ， 和填空 只7 分和 0 分两档；第二 各 ， 格按照本 分 准 定的 分档次 分，不要再增加其他中 档次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步 正确，在 卷 参照本 分 准划分的档次， 予相 的分数.第一试一、 （本 分 42 分，每小 7 分）本 共有6 小 ，每 均 出了代号 A, B, C , D 的四个答案，其中有且 有一个是正确的.将你 所 的答案的代号填在 后的括号内 .每小 得7 分；不 、 或 出的代号字母超 一个（不是否写在括号内） ，一律得0 分.1. 已知 x, y, z 足23 5 ， 5x y的（）xy zz xy 2z（ A ） 1.（B ） 1.（ C ）1 . （ D ） 1.332【答】 B.解由 235 得 y 3x, z3x ，所以5x y 5x 3x1x y z z x2y 2z 3x 3x3，故 （ B ） . 注：本 也可用特殊 法来判断.2． 当 x 分 取1 ， 1 ， 1 ，⋯， 1， 1， 2 ，⋯， 2005， 2006 ， 2007 ， 算2007 2006 2005 2代数式1 x 2（）1 的 ，将所得的 果相加，其和等于x2（ A ）－ 1. （B ） 1.（C ） 0.（ D ） 2007.【答】 C.1 ( 1 )2 2220 ，即当 x 分 取 1， n (n 正整数） ， 解 因 n 1 n n1 1 n1 ( 1 )21 n 2n 21 1 n2 nn算所得的代数式的 之和0；而当 x1 ，1120 . 因此，当x 分 取 1 ， 1 ，1 122007 20061 ，⋯，1， 1， 2 ，⋯， 2005 ， 2006 ， 2007 ， 算所得各代数式的 之和0. 故 （ C ）.200523. 设 a,b, c 是△ ABC 的三边长，二次函数 y (ab ) x 2 cx a b在 x 1 时取最小值8b ，则△ ABC 是 22（ ）5（ A ）等腰三角形 .（ B ）锐角三角形 .（ C ）钝角三角形 .（D ）直角三角形 .【答】 D.c 1,b c 2a,b)34解由 题 意 可 得 2( a即所 以 c b ， a23b,5 b ， 因 此b 8 c5a b a5c2b,25a 2 c 2b 2 ，所以△ ABC 是直角三角形 . 故选（ D ） .4. 已知锐角△ ABC 的顶点 A 到垂心 H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠ A 的度数是（）（ A ） 30° . （ B ）45° .（ C ） 60° .（ D ） 75° .A【答】 C.E解 锐角△ ABC 的垂心在三角形内部， 如图，设△ ABC 的外心为 O ，DO为 BC 的中点， BO 的延长线交⊙ O 于点 E ，连 CE 、 AE ，则 CE // AH ，HAE // CH ，则 OB AH CE 2OD ，所以∠ OBD ＝ 30°，∠ BOD ＝ B DC 60°，所以∠ A ＝∠ BOD ＝60° . 故选（ C ） .5． 设 K 是△ ABC 内任意一点，△ KAB 、△ KBC 、△ KCA 的重心分别为 D 、 E 、 F ，则 S △DEF : S △ ABC 的值为（）（ A ） 1.（ B ） 2.（ C ） 4.（D ） 2.9 993【答】 A.解 分别延长 KD 、 KE 、 KF ，与△ ABC 的三边 AB 、BC 、CA 交于点 M 、 N 、 P ，由于 D 、E 、F 分别为△ KAB 、△ KBC 、△ KCA 的重心，易知 M 、 N 、 P 分别为 AB 、 BC 、 CA 的中点，所以 S △ MNP1S △ ABC .42 24 11易证△ DEF ∽△ MNP ，且相似比为 2 : 3 ，所以△△SDEF( )SMNP9 S ABCSABC.1. 故选（ A ） .349所以S △ DEF :S △ABC96． 袋中装有 5 个红球、 6 个黑球、 7 个白球，从袋中摸出 15 个球，摸出的球中恰好有 3 个红球的概率是 （ ）（ A ） 1.（ B ） 1.（ C ） 3.（ D ） 2.105105【答】 B.解 设 摸出的 15 个球中 有 x 个 红球、 y 个黑 球、 z 个 白球 ，则 x, y, z 都 是正 整数， 且x 5, y 6, z 7 ， x y z 15 . y z 13 ，所以 x 可取值 2 3 4 ， 5.因为 ， ，当 x2 时，只有一种可能，即 y6, z 7 ；当 x 3时， y z 12 ，有 2 种可能， 当 x4 时， y z11，有 3 种可能，y 5, z 7 或 y 6, z 6 ；y4, z 7 或 y 5, z 6 或 y6, z 5 ；当 x 5 时， y z 10 ，有 4 种可能， y 3, z7 或 y 4, z6 或 y 5, z 5 或 y 6, z 4 .因此，共有 1＋ 2＋ 3＋ 4＝ 10 种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有 3 个红球的结果有 2 种，所以所求的概率为2110.故选（ B ） .5二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分）1. 设 x1 ， a 是 x 的小数部分， b 是 x 的小数部分，则 a 3 b 3 3ab ____1___.2 1解 ∵ x12 1，而 22 13 ，∴ a x 22 1 .2 1又∵ x2 1 ，而3 2 1 2 ，∴ bx ( 3) 2 2 . ∴ a b 1 ， ∴ a 3 b 33ab (a b)( a 2 ab b 2 ) 3ab a 2abb 2 3ab ( ab) 21.2. 对于一切不小于2的自然数 n ，关于 x 的一元二次方程 x 2 (n 2) x 2n 2 0 的两个根记作a n ,b n （ n2），则11110032)(b 2 2)(a 3 2)(b 3 2) (a 20072)(b 2007 2)=(a 24016 .解 由根与系数的关系得a nb nn 2 ， a n b n2n 2 ，所以(a n2)(b n 2) a n b n 2( a n b n )42n 2 2(n2) 42n( n 1) ，则12)1 1) 1 ( 11 ) ，( a n2)( b n2n(n 2 n n 1111(a 2 2)(b 2 2) (a 3 2)(b 3 2)(a 2007 2)(b 2007 2)＝ 1 ( 11) (1 1) L (11 ) 1 ( 1 1 ) 1003 .2 23 34 2007 2008 2 2 2008 40163. 已知直角梯形ABCD 的四条边长分别为AB 2, BC CD 10, AD 6 ，过B、D两点作圆 , 与BA的延长线交于点 E ，与 CB 的延长线交于点 F ，则 BE BF 的值为____4_____.解延长 CD 交⊙ O 于点 G ，设BE , DG的中点分别为点M , N ，则F易知 AM DN .因为 BC CD 10 ，由割线定理，易证 BF DG ，所 E M A B以 BE BF BE DG 2(BM DN ) 2( BM AM ) 2AB 4 .NCG D4 100a 64 201a 64和均为四位数，且均为完全平方数，则整数 a 的值是___17____.．若解设 100a 64 m2， 201a 64 n2，则 32 m, n 100，两式相减得101a n2 m2 (n m)(n m) ，因为101是质数，且101 n m 101 ，所以 n m 101，故 a n m 2n 101.代入201a 64 n2，整理得 n2 402n 20237 0 ，解得n 59 ，或n343（舍去）.所以 a 2n 101 17 .第二试（A）一、（本题满分 20 分）设m, n为正整数，且m 2 ，如果对一切实数t，二次函数y x 2 (3 mt ) x 3mt 的图象与 x 轴的两个交点间的距离不小于2t n ，求 m, n 的值.解因为一元二次方程 x2 (3 mt) x 3mt 0 的两根分别为mt和3，所以二次函数y x 2 (3 mt ) x 3mt 的图象与 x 轴的两个交点间的距离为mt 3 .由题意， mt 3 2t n ，即(mt 3)2 (2t n)2，即 (m2 4)t 2 (6m 4n)t 9 n2 0 .由题意知， m 2 4 0 ，且上式对一切实数t 恒成立，所以m2 4 0,(6m 4n) 2 4(m 2 4)(9 n 2 ) 0,m 2,m2, m 3, m 6,4(mn 6)20,mn所以n2,或1.6,n二、（本题满分 25 分） 如图，四边形 ABCD 是梯形，点 E 是上底边 AD 上一点， CE 的延长线与BA 的延长线交于点 F ，过点 E 作 BA 的平行线交 CD 的延长线于点 M ，BM 与 AD 交于点 N .证明：∠ AFN =∠ DME .证明 设 MN 与 EF 交于点 P ，∵ NE // BC ，F PM∴△ PNE ∽△ PBC ，∴PNPE ,ADPBPCN E∴ PB PEPN PC .又∵ ME // BF ，∴△ PME ∽△ PBF ，∴ PMPE , BC∴ PB PE PM PF .PBPF∴ PN PCPM PF ,故PMPCPN PF又∠ FPN =∠ MPE ，∴△ PNF ∽△ PMC ，∴∠ PNF ＝∠ PMC ，∴ NF//MC∴∠ ANF ＝∠ EDM.又∵ ME//BF ，∴∠ FAN ＝∠ MED.∴∠ ANF ＋∠ FAN ＝∠ EDM ＋∠ MED ，∴∠ AFN= ∠ DME.三、（本题满分 25 分）已知 a 是正整数， 如果关于 x 的方程x 3( a 17 ) x 2 (38 ) 56 0a x的根都是整数，求 a 的值及方程的整数根 .解 观察易知，方程有一个整数根x 1 1，将方程的左边分解因式，得( x 1) x 2(a 18) x 56因为 a 是正整数，所以关于 x 的方程x 2( a 18)x 56 0（ 1）的判别式(a 18) 2 224 0 ，它一定有两个不同的实数根 .而原方程的根都是整数，所以方程（ 1）的根都是整数，因此它的判别式(a 18)2 224 应该是一个完全平方数 .设(a 18)2 224 k 2 （其中 k 为非负整数） ，则 (a 18) 2 k 2224 ，即( a 18 k )(a 18k )224 .显然 a 18 k 与 a 18 k 的奇偶性相同，且 a 18 k18 ，而 224112 256 4 28 8 ，所以a 18 k 112, a 18 k 56, a 18 k 28, a 39, a12, a 0, a 18 k 2,或18 k 或a18 k 8,解得或k26,或10,a4,k55, k而 a 是正整数，所以只可能a 39, a 12,k或k 26.55,当 a 39 时，方程（ 1）即 x 257 x 56，它的两根分别为1和 56 .此时原方程的三个根 为 1， 1和 56.当 a 12 时，方程（ 1）即 x 2 30x 56 0 ，它的两根分别为2 和 28 .此时原方程的三个根为 1，2 和 28 .第二试 （B ）一、（本题满分 20 分）设 m,n 为正整数，且 m2 ，二次函数 y x 2(3 mt) x 3mt 的图象与x 轴的两个交点间的距离为d 1 ，二次函数 yx 2 ( 2tn)x 2nt 的图象与 x 轴的两个交点间的距离为 d 2 .如果 d 1d 2 对一切实数 t 恒成立，求 m, n 的值 .解 因为一元二次方程 x 2(3 mt ) x 3mt0 的两根分别为 mt 和 3 ，所以 d 1 mt 3 ；一元二次方程 x 2( 2t n)x 2nt 0 的两根分别为 2t 和 n ，所以 d 2 2t n .所以， d 1d 2mt 32t n(mt 3) 2 (2t n) 2(m 24)t 2 (6m 4n)t 9n 2 0（ 1）由题意知， m 24 0 ，且（ 1）式对一切实数 t 恒成立，所以m 24 0,(6m4n)24(m 2 4)(9 n 2 ) 0,m 2,m 2, 所以 m 3, 或 m 6,4(mn 6)20,mnn 2, n 1.6,二、（本题满分 25 分）题目和解答与（ A ）卷第二题相同 .三、（本题满分 25 分）设 a 是正整数， 二次函数 y x 2 (a 17) x 38 a ，反比例函数 y56 ，，求 a 的值 .x如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）y x 2 (a 17) x 38 a, 消去 y 得 x 2 (a 17) x 38 a 56解 联立方程组y56，即x , xx 3 ( a 17)x 2 (38a) x56 0 ，分解因式得( x 1) x 2(a 18)x 56（ 1）显然 x 11是方程（ 1）的一个根，（1， 56）是两个函数的图象的一个交点 .因为 a 是正整数，所以关于 x 的方程x 2( a 18)x 56 0（2）的判别式(a 18) 2224 0 ，它一定有两个不同的实数根 .而 两 个 函 数 的 图 象 的 交 点 都 是 整 点 ， 所 以 方 程 （ 2 ） 的 根 都 是 整 数 ， 因 此 它 的 判 别 式(a 18)2224 应该是一个完全平方数 .设 (a 18)2224 k 2 （其中 k 为非负整数） ，则 (a 18) 2 k 2 224 ，即( a 18k )(a 18 k )224 .显然 a18 k 与 a 18k 的奇偶性相同，且 a 18 k 18 ，而 224 1122 564 28 8 ，所以a 18 k 112, a 18 k 56, a 18 k 28, a 39, a 12, a0,a 18 k 2, 或a18 k 或a 18 k 8, 解得k 或k或k 10,4,55,26,而 a 是正整数，所以只可能a 39, a 12,k或26.55, k当 a39 时，方程（2）即 x 257 x 56 0 ，它的两根分别为1和 56 ，此时两个函数的图象还有两个交点 ( 1, 56) 和 ( 56, 1) .当 a12 时，方程（ 2）即 x 230x 56 0 ，它的两根分别为 2 和 28 ，此时两个函数的图象还有两个交点 ( 2, 28) 和 ( 28, 2) .第二试 （C ）一、（本题满分 25 分）题目和解答与（ B ）卷第一题相同 . 二、（本题满分 25 分）题目和解答与（ A ）卷第二题相同 .三、（本题满分 25 分）设 a 是正整数，如果二次函数y 2x 2 (2a 23) x 10 7a 和反比例函数 y 11 3a 的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值和对应的公共整点 .xy 2x 2 (2a 23) x 10 7a,解联立方程组y 113a ,消去 y 得 2 x 2(2a 23)x 10 7a ＝x11 3a，即 2 x 3 ( 2 a 23) x 2 (107 ) x 3 a 11 0，分解因式得xa(2 x 1) x 2(a 12) x 11 3a 0（ 1）如果两个函数的图象有公共整点，则方程（ 1）必有整数根，从而关于x 的一元二次方程x 2 (a 12) x 11 3a 0（2）必有整数根，所以一元二次方程（2）的判别式应该是一个完全平方数，而(a12) 24(11 3 )a 236 a 100 (a 18) 2 224 .a所以 (a18)2 224 应该是一个完全平方数，设(a18) 2 224 k 2（其中 k 为非负整数），则(a 18) 2 k 2224 ，即 (a 18 k )(a 18 k) 224 .显然 a 18 k 与 a 18 k 的奇偶性相同，且 a 18 k 18 ，而 2241122 56 4 28 8 ，所以a 18 k 112,a 18 k 56,a 18 k28,a39, a 12,a 0,a 18k 2, 或a 18k 4, 或a 18 k8, 解得k55,或或k 10,k26,而 a 是正整数，所以只可能a39, a 12,k或k26.55,当 a39 时，方程（ 2）即 x 251x 106 0 ，它的两根分别为 2 和 53 ，易求得两个函数的图象有公共整点 (2, 53) 和 ( 53,2) .当 a12时，方程（ 2）即 x 2 24x 25 0 ，它的两根分别为 1 和 25 ，易求得两个函数的图象有公共整点 (1, 25) 和 ( 25,1) .。