北师大版一元二次方程根与系数的关系

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北师大版九年级上册15一元二次方程的根与系数的关系教学设计

-反馈评价：及时给予学生反馈，强化正确的方法，纠正错误的理解，鼓励学生不断进步。
3.教学方法的设想：
-采用问题驱动的教学方法，引导学生通过问题解决来学习新知识，提高解决问题的能力。
-结合信息技术，利用数学软件或在线平台，让学生在互动中学习，提高学习的趣味性和效率。
4.对于学习困难的学生的设想：
-提供个性化的辅导，针对不同学生的学习困难，给予具体的指导和帮助。
4.小组合作任务要充分发挥团队合作精神，每个成员都要积极参与，共同为解决问题贡献力量。
作业批改与反馈：
1.教师要及时批改学生作业，关注学生的解题思路和方法，给予针对性的评价和建议。
2.鼓励学生主动请教教师和同学，及时纠正作业中的错误，不断提高自己的数学素养。
3.定期对学生的作业情况进行总结和反馈，对表现优秀的学生给予表扬，激发学生的学习积极性。
3.将实际问题转化为数学模型，用一元二次方程解决，并能够解释结果的实际意义。
-这是培养学生数学应用能力的重点，学生需要学会从实际问题中抽象出数学模型，并理解数学结果在实际情境中的含义。
（二）教学设想
1.对于重难点的教学，我设想采用以下策略：
-引导学生通过探索和发现，而不是直接灌输知识，以增强他们的理解和记忆。
2.培养学生勇于挑战困难、克服挫折的精神，增强自信心。
-在解决一元二次方程问题时，教师要引导学生面对困难，勇于尝试，克服挫折。
-学生在成功解决问题后，能够增强自信心，激发进一步学习的动力。
3.培养学生的数学思维，使其认识到数学在生活中的重要性，提高学生的综合素质。
-教师要引导学生运用数学思维解决实际问题，让学生认识到数学在生活中的价值。
-利用多媒体和教具，如抛物线图像、表格等，将抽象的知识具体化，帮助学生形象地理解根与系数的关系。

一元二次方程的两个根和系数的关系

一元二次方程的两个根和系数的关系
一元二次方程的两个根与方程的系数之间存在着一定的关系。

设一元二次方程为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。

方程的两个根分别记为x₁和x₂。

根据求根公式，方程的两个根可以通过以下公式计算得出：
x₁ = (-b + √(b²-4ac)) / (2a)
x₂ = (-b - √(b²-4ac)) / (2a)
从以上公式可以发现，方程的两个根与系数a、b、c之间存在着一定的关系。

具体来说：
1. 系数b的正负会影响根与根之间的大小关系。

当b>0时，根x₁<根x₂；当b<0时，根x₁>根x₂。

2. 系数c的正负会影响根的正负。

当c>0时，根为两个正数；当c<0时，根为两个负数。

3. 系数a的正负会影响抛物线的开口方向。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

总之，一元二次方程的两个根与方程的系数之间存在着密切的关系，系数的改变将会影响根与根之间的大小关系、根的正负以及抛物线的开口方向。

北师大版数学九年级上册：一元二次方程的根与系数的关系课件

∴符合条件的m的值为 3 ．
2
6.已知在关于x的分式方程 k 1 =2①和一元二次方程
x 1
（2-k）x2+3mx+（3-k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．（1）求k的取值范围；（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且 k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1-k） +x2（x2-k）=（x1-k）（x2-k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
x1
x2
1. 2
1∵ x1 x2 2 x12 2x1x2 x22,
x12 x22 x1 x2 2 2x1x2
3 2
2
2
1 2
13 4
;
2
1 x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
3 2
1 2
3.
练习
1．设一元二次方程x2－6x＋4＝0的两实根分别为x1和 x2，则(x1＋x2)－x1· x2 ＝( C )
(二)合作探究
1．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，视察表中 x1＋x2，x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
一元二次
方程
x1
x2
x1＋x2
x1·x2
x2＋3x－4＝0
1
－4
－3
－4
x2－2x－5＝0 1＋ 6 1－ 6
2
－5
2x2－3x＋1＝0 1
解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0,

北师大版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》教案

《一元二次方程的根与系数的关系》教案教学目标（一）知识与技能掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．（二）过程与方法培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．（三）情感、态度与价值观1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：根与系数的关系及其推导．2．教学难点：正确理解根与系数的关系．3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．教学过程（一）明确目标一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．（二）整体感知一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．（2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0．观察、思考两根和、两根积与系数的关系．在教师的引导和点拨下，由学生得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．以上一名学生在板书，其它学生在练习本上推导．由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1我们就可把它写成x2+px+q=0．结论2．如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q．结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（1）x2-2x＋1＝0；（2）x2-9x＋10＝0；（3）2x2-9x＋5＝0；（4）4x2-7x＋1＝0；（5）2x2-5x＝0；（6）x2-1＝0此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系．3．一元二次方程根与系数关系的应用．（1）验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成标准型，（2）不要漏除二次项系数，（3）还要注意-b/a 的负号。

数学北师大版九年级下册小专题(六) 一元二次方程根与系数关系的运用

小专题(六) 一元二次方程根与系数关系的运用【例】 (泸州中考)已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的两个实数根．(1)若(x 1－1)(x 2－1)＝28，求m 的值；(2)已知等腰△ABC 的一边长为7，若x 1、x 2恰好是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．【思路点拨】 (1)根据根与系数的关系，求得m 的值，再由判别式确定m 的值；(2)根据等腰三角形的性质，边长为7分底边长、腰长两种情况求解．【方法归纳】一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)根与系数关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a，是求解一元二次方程中未知字母的值的重要数量关系，可结合两根之差通过配方相互进行转化．另外，注意运用它们的前提条件是方程必须要有两个实数根．1．(防城港中考)x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋m －2＝0的两个实数根，是否存在实数m 使1x 1＋1x 2＝0成立？则正确的结论是( )A ．m ＝0时成立B ．m ＝2时成立C ．m ＝0或2时成立D ．不存在2．关于方程49x 2－98x －1＝0的解，下列叙述正确的是( )A ．无解B ．有两正根C ．有两负根D ．有一正根及一负根3．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x 2－16x ＋m ＝0(0＜m ≤32)的两根，则矩形的周长为________．4．(江西中考)若一个一元二次方程的两个根分别是Rt △ABC 的两条直角边长，且S △ABC ＝3，请写出一个符合题意的一元二次方程____________________．5．已知方程x 2－6x ＋m 2－2m ＋5＝0的一个根为2，求另一个根及m 的值．6．不解方程，判别方程2x2＋3x－7＝0两根的符号．7．小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程时，小明在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是8和2；小红在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－9和－1，你知道原来的方程是什么吗？8．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少？9．已知方程x2－3x＋1＝0的两根分别为x1和x2，不解方程：(1)求代数式x21＋x22的值；(2)试证明两根中一根大于1，另一根小于1.10．已知：关于x的方程x2－(k＋3)x＋3k＝0的两根为α，β.(1)是否存在实数k使1α＋1β＝23成立？若成立，求k的值；若不成立，说明理由；(2)若Rt△ABC的一边长为4，另两边长恰好是此方程的两根α，β，求Rt△ABC的周长．参考答案【例】∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的两实数根，∴x 1＋x 2＝2(m ＋1)，x 1x 2＝m 2＋5.∴(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝m 2＋5－2(m ＋1)＋1＝28.解得m ＝－4或m ＝6.又∵Δ＝[－2(m ＋1)]2－4(m 2＋5)＝4(m ＋1)2－4(m 2＋5)＝4m 2＋8m ＋4－4m 2－20＝8m －16≥0，解得m ≥2. ∴m ＝6.(2)当7为底边时，此时方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝4(m ＋1)2－4(m 2＋5)＝0，解得m ＝2.∴方程变为x 2－6x ＋9＝0，解得x 1＝x 2＝3.∵3＋3＜7，∴不能构成三角形．当7为腰时，设x 1＝7，代入方程得49－14(m ＋1)＋m 2＋5＝0，解得m ＝10或4；当m ＝10时，方程变为x 2－22x ＋105＝0，解得x ＝7或x ＝15.∵7＋7＜15，∴不能组成三角形；当m ＝4时，方程变为x 2－10x ＋21＝0，解得x ＝3或x ＝7.此时三角形的周长为7＋7＋3＝17.针对训练1．A 2.D 3.16 4.x 2－5x ＋6＝0(答案不唯一)5.设方程的另一个根为x 2，根据题意由根与系数关系，得x 1＋x 2＝－(－6)＝6，x 1x 2＝m 2－2m ＋5，∵x 1＝2，∴把x 1＝2代入x 1＋x 2＝6，可得x 2＝4.∴把x 1＝2，x 2＝4代入x 1x 2＝m 2－2m ＋5，可得m 2－2m ＋5＝8，解得m 1＝3，m 2＝－1.∴方程x 2－6x ＋m 2－2m ＋5＝0的另一根为4，m 的值为3或－1.6.∵2x 2＋3x －7＝0，∴Δ＝32－4×2×(－7)＝65＞0.∴方程有两个不相等的实数根．设方程的两个根为x 1，x 2，∵x 1x 2＝－72＜0，∴原方程有两个异号的实数根． 7.设此方程的两个根是α、β，根据题意，得α＋β＝－b a ＝10，αβ＝c a＝9，则以α、β为根的一元二次方程是x 2－10x ＋9＝0.8.∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0.∴(2k －1)2－4(k 2＋3)＞0，即－4k －11＞0.∴k ＜－114. 令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52.∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝25.∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25.∴k 2－2k －15＝0.∴k 1＝5，k 2＝－3.∵k ＜－114，∴k ＝－3.把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4.∴直角三角形的两直角边分别为3和4.9.(1)由题可得x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝1，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝32－2×1＝7.(2)证明：∵(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝1－3＋1＝－1＜0，∴(x 1－1)与(x 2－1)异号．若x 1－1＞0，则x 2－1＜0，∴x 1＞1，x 2＜1，即两根中一根大于1，另一根小于1.10.(1)存在．∵α＋β＝k ＋3，αβ＝3k ，而1α＋1β＝23，∴α＋βαβ＝23.∴k ＋33k ＝23，解得k ＝3.当k ＝3时，Δ＝0，∴实数k ＝3使1α＋1β＝23成立．(2)解方程x 2－(k ＋3)x ＋3k ＝0得α＝k ，β＝3，当4为斜边时，α2＋β2＝42，即16＋32＝k 2，解得k 1＝7，k 2＝－7(舍去)，此时Rt △ABC 的周长为4＋3＋7＝7＋7；当4为直角边时，42＋β2＝k 2，即16＋32＝k 2，解得k 1＝5，k 2＝－5(舍去)，此时Rt △ABC 的周长为4＋3＋5＝12.。

2.5 一元二次方程的根与系数的关系课件-2024—-2025学年北师大版数学九年级上册

下列代数式的值:
(1)12
+
22 ;
1
(2)
1
−
1
.
2
解:∵方程x2+3x-5=0的两个实数根分别为x1,x2,
∴x1+x2=-3,x1x2=-5.
(1)12 + 22 =(x1+x2)2-2x1x2=(-3)2-2×(-5)=19.
(2)∵x1-x2=± (1 + 2 )2 − 41 2 =± (−3)2 − 4 × (−5)=± 29,
−+ 2 −4
−− 2 −4
两个根:x1=
,x2=
,你能计算出两根之和
2
2
与两根之积吗?
−+ 2 −4
解:x1+x2=
2
+
−− 2 −4
2
−+ 2 −4 −− 2 −4
x1·x2=
·
2
2

.

=
=
−2
=- ;
2

(−)2 −( 2 −4)2
(4)|x1-x2|
= (1 − 2 )2
= (1 + 2 )2 − 41 2 .
探
究
与
应
用
应用二已知方程一根求另一根及未知字母的值
例2 已知关于x的一元二次方程x2-(k+1)x-8=0的一个根是4,
求方程的另一个根和k的值.
解:∵方程x2-(k+1)x-8=0的一个根是4,
设方程的另一个根为x1,则两根之积4x1=-8,解得x1=-2.
42
=
2 −2 +4
42
=

专题2.1 一元二次方程根与系数的关系(压轴题专项讲练)(北师大版)(解析版)

专题2.1 一元二次方程根与系数的关系【典例1】已知关于x的二次方程x2−ax+a2−4=0．（1）a为何值时，方程有两个不同的正根；（2）a为何值时，方程只有一个正根．（1）根据一元二次方程有两个不相等正根，则根的判别式Δ=(−a)2−4(a2−4)>0，x₁+x₂＞0，x₁·x₂＞0，组成不等式组求出a的取值范围即可；（2）根据一元二次方程只有一个正实数根，分为三种情况，一是有且只有一个正根，二是有两个根其中一个是正根，另一个根式负根或0，结合判别式以及根与系数的关系列不等式，求出a的值即可．解：（1）根据题意得，方程x2−ax+a2−4=0有两个不同的正根，∴Δ=(−a)2−4(a2−4)=−3a2+16＞0①，且x₁+x₂=a＞0②，x₁·x₂=a²-4＞0③，解由①②③组成的不等式组得，2＜a故当2＜a（2）Ⅰ当方程x2−ax+a2−4=0只且只有一个正根时，∴Δ=(−a)2−4(a2−4)=−3a2+16=0①，且x₁+x₂=a＞0②，x₁·x₂=a²-4＞0③，解①得：a=当②、③，而a=②，故舍去，故当Ⅱ 当方程x 2−ax +a 2−4=0有一个正根，一个负根，则Δ=(−a )2−4(a 2−4)=−3a 2+16>0①，且x₁·x₂=a²-4＜0②解①得：a 解②得：-2＜a ＜2，即−2<a <2Ⅲ 当方程x 2−ax +a 2−4=0有一个正根，一个0，则Δ=(−a )2−4(a 2−4)=−3a 2+16>0①，且x₁·x₂=a²-4=0②x₁+x₂=a ＞0③解①得：a 解②得： a=±2，由③a ＞0即a=2综上所述：−2<a ≤21．（2022·四川宜宾·九年级专题练习）关于x 的方程ax 2+（a +2）x +9a ＝0有两个不等的实数根x 1，x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是（）A ．﹣27＜a ＜25B ．a ＞25C ．a ＜﹣27D ．﹣211＜a ＜0【思路点拨】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a 的不等式，求出a 的取值范围．又存在x 1＜1＜x 2，即（x 1-1）（x 2-1）＜0，x 1x 2-（x 1+x 2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a 的取值范围．【解题过程】解：∵方程有两个不相等的实数根，则a≠0且△＞0，由（a+2）2-4a×9a=-35a2+4a+4＞0，解得−27<a<25，又∵x1＜1＜x2，∴x1-1＜0，x2-1＞0，那么（x1-1）（x2-1）＜0，∴x1x2-（x1+x2）+1＜0，∵x1+x2=−a2a，x1x2=9，即9+1<0，解得−211<a<0，综上所述，a的取值范围为：−211<a<0.故选D．2．（2023春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）若方程x2+2px−3p−2=0的两个不相等的实数根x1、x2满足x12+x13=4−(x22+x23)，则实数p的所有值之和为（）A．0B．−34C．−1D．−54【思路点拨】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到x12+2px1−3p−2=0，x1+x2=−2p，进而推出x13 =3px1+2x1−2px12，则x13+x12=3px1+2x1−2px12+x12，x23+x22=3px2+2x2−2px22+x22，即可推出(3p+2)(x1+x2)+(1−2p)(x12+x22)=4，然后代入x1+x2=−2p，x12+x22=(x1+x2)2−4p得到2p(4p+3)(p+1)=0，再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案．【解题过程】解：∵x1、x2是方程x2+2px−3p−2=0的两个相等的实数根，∴x12+2px1−3p−2=0，x1+x2=−2p，x1x2=−3p−2，∴x12+2px1=3p+2，∴x13+2px12=3px1+2x1，∴x13=3px1+2x1−2px12，∴x13+x12=3px1+2x1−2px12+x12，同理得x23+x22=3px2+2x2−2px22+x22，∵x12＋x13=4−(x22+x23)，∴x12+x13+(x22+x23)=4，∴3px1+2x1−2px12+x12+3px2+2x2−2px22+x22=4，∴(3p+2)(x1+x2)+(1−2p)(x12+x22)=4，∴(3p+2)(−2p)+(1−2p)(−2p)2−2(−3p−2)=4，∴−6p2−4p+(1−2p)4p2+6p+4=4，∴−6p2−4p+4p2+6p+4−2p4p2+6p+4=4，∴−2p2+2p−2p4p2+6p+4=0，∴−2p4p2+6p+4+p−1=0，∴2p4p2+7p+3=0，∴2p(4p+3)(p+1)=0，，解得p1=0，p2=−1，p3=−34∵Δ=(2p)2+4(3p+2)>0，∴p2+3p+2>0，∴(p+1)(p+3)>0，∴p=−1不符合题意，∴p1+p3=−34∴符合题意，故选B．3．（2022秋·全国·九年级专题练习）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②(m−1)2+(n−1)2≥2；③−1≤2m−2n≤1，其中正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【思路点拨】设方程x2+2mx+2n=0的两根为x1、x2，方程y2+2ny+2m=0同的两根为y1、y2．①根据方程解的情况可得出x1•x2=2n＞0、y1•y2=2m＞0，结合根与系数的关系可得出x1+x2=-2m、y1+y2=-2n，进而得出这两个方程的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，将（m-1）2+（n-1）2展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出2m-2n=（y1+1）（y2+1）-1、2n-2m=（x1+1）（x2+1）-1，结合x1、x2、y1、y2均为负整数即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．综上即可得出结论．【解题过程】解：设方程x2+2mx+2n=0的两根为x1、x2，方程y2+2ny+2m=0同的两根为y1、y2．①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，∴x1•x2=2n＞0，y1•y2=2m＞0，∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n，∴这两个方程的根都是负根，①正确；②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确；③∵y1•y2=2m，y1+y2=-2n，∴2m-2n=y1•y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，∵y1、y2均为负整数，∴（y1+1）（y2+1）≥0，∴2m-2n≥-1．∵x1•x2=2n，x1+x2=-2m，∴2n-2m=x1•x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，∵x1、x2均为负整数，∴（x1+1）（x2+1）≥0，∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．∴-1≤2m-2n≤1，③成立．综上所述：成立的结论有①②③．故选D．4．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2−(n+2)x−2n2=0的两个根为a n,b n(n≥2)，则1(a2−2)(b2−2)+1(a3−2)(b3−2)+⋯+1(a2021−2)(b2021−2)=__________．【思路点拨】由根与系数的关系得a n+b n=n+2，a n⋅b n=−2n2，所以(a n−2)(b n−2)=a n b n−2(a n+b n)+4=−2n2−2(n+2)+4=−2n(n+1)，则1(a n−2)(b n−2)=−12n(n1)=−12(1n−1n1)，然后代入即可求解．【解题过程】由根与系数的关系得a n+b n=n+2，a n⋅b n=−2n2，所以(a n−2)(b n−2)=a n b n−2(a n+b n)+4=−2n2−2(n+2)+4=−2n(n+1)，则1(a n−2)(b n−2)=12n(n1)=−12(1n−1n1)，则1(a2−2)(b2−2)+1(a3−2)(b3−2)+⋯+1(a2021−2)(b2021−2)=−12[(12−13)+(13−14)+…+(12021−12022)]=−12×(12−12022)=−12×10102022=−5052022．故答案为：−5052022．5．（2022秋·全国·九年级专题练习）关于x的方程x2−(m−2)x−m24=0两个实根x1,x2满足|x1|=|x2|+3，则m的值为_______．【思路点拨】先判断一元二次方程根的情况，然后利用根与系数的关系，得到x1+x2=m−2，x1•x2=−m24≤0，结合|x1 |−|x2|=3，通过变形求值，即可求出m的值.【解题过程】解：在方程x2−(m−2)x−m24=0中，有Δ=[−(m−2)]2−4×1×(−m24)=2m2−4m+4=2(m−1)2+2>0，∴原方程有两个不相等的实数根；根据根与系数的关系，有：x1+x2=−−(m−2)1=m−2，x1•x2=−m241=−m24≤0，∵|x1|=|x2|+3，∴|x 1|−|x 2|=3，∴x 21−2|x 1•x 2|+x 22=9，∴(x 1+x 2)2−2x 1•x 2−2|x 1•x 2|=9，∴(x 1+x 2)2−2x 1•x 2+2x 1•x 2=9，∴(m−2)2=9，解得：m 1=5，m 2=−1；故答案为：5或−1.6．（2022春·九年级课时练习）已知实系数一元二次方程ax 2+2bx +c ＝0有两个实根x 1，x 2，且a ＞b ＞c ，a +b +c ＝0，设d =|x 1−x 2|，则d 的取值范围为_____．【思路点拨】先根据一元二次方程根与系数的关系求出d 2的表达式，再根据二次函数性质求其取值范围即可．【解题过程】解：∵实系数一元二次方程ax 2+2bx +c ＝0有两个实根x 1、x 2，∴x 1+x 2＝﹣2b a ，x 1·x 2＝c a ，∴d 2＝|x 1﹣x 2|2=（x 1+x 2）2﹣4x 1·x 2＝（﹣2b a ）2﹣4c a＝−﹣4c a −4ac a 2＝4[（c a ）2+c a +1]＝4[（c a +12）2+34]，∵a ＞b ＞c ，a +b +c ＝0，∴a ＞0，c ＜0，a ＞﹣a ﹣c ＞c ，解得：﹣2＜c a ＜﹣12，∵y ＝4[（c a +12）2+34]的对称轴为：c a ＝﹣12，∴当﹣2＜ca ＜﹣12时，y随ca增大而减小，∴3＜d2＜12，<d<d<7．（2022秋·八年级单元测试）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，甲由于看错了二次项系数，求得两个根为3和6，乙由于看错了某一项系数的符号，求得两个根为3+2b3c4a=____________【思路点拨】先利用两根分别表示出错误的方程为：对于甲：设k(x−3)(x−6)=0，得：kx2−9kx+18k=0；对于乙：设+=0，得：px2−6px−12p=0，乙的错误不可能是看错了一次项系数的符号，分两种情况：①若乙看错了二次项系数的符号，那么甲和乙的方程里面一次项和常数项分别相等；②若乙看错了常数项的符号，那么甲和乙的方程里面一次项相等，常数项互为相反数，则正确的方程为px2−6px+12p=0，求代数式的值即可.【解题过程】解：对于甲：设k(x−3)(x−6)=0得：kx2−9kx+18k=0对于乙：设+=0得：px2−6px−12p=0分情况讨论：①若乙看错了二次项系数的符号，那么−9k=−6p18k=−12p解得：k=p=0，不符合题意，舍去②若乙看错了常数项的符号，那么−9k=−6p18k−12p=0解得：p=32k则a=p,b=−6p,c=12p2b3c 4a =−12p36p4p=6③若乙看错了一次项项的符号，那么−9k=6p18k=−12p解得：p=−32k则a=p,b=6p,c=−12p2b+3c4a =12p−36p4p=−6故答案为±68．（2022春·四川内江·九年级专题练习）将两个关于x的一元二次方程整理成a(x+ℎ)2+k＝0（a≠0，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)2−2=0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x1、x2，则b－2c＝______，ax1+x1x2+ax2的最大值是______．【思路点拨】利用ax2+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)2−2=0是“同源二次方程”得出b=2a，c=a−2，即可求出b−2c；利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=−2，x1x2=a−2a，进而得出ax1+x1x2+ax2=−2a+1，设a+1a=t（t>0），得a2−t⋅a+1=0，根据方程a2−t⋅a+1=0有正数解可知Δ=t2−4≥0，求出t的取值范围即可求出ax1+x1x2+ax2的最大值．【解题过程】解：根据新的定义可知，方程ax2+bx+c=0（a≠0）可变形为a(x+1)2−2=0，∴a(x+1)2−2=ax2+bx+c，展开，ax2+2ax+a−2=ax2+bx+c，可得b=2a，c=a−2，∴b−2c=2a−2(a−2)=4；∵x1+x2=−2，x1x2=a−2a，∴ax1+x1x2+ax2=a(x1+x2)+x1x2=−2a+a−2a=−2a+1，∵方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x1、x2，∴Δ=b2−4ac=(2a)2−4a(a−2)=8a≥0，且a≠0，∴a>0，=t（t>0），得a2−t⋅a+1=0，设a+1a∵方程a2−t⋅a+1=0有正数解，∴Δ=t2−4≥0，≥2，解得t≥2，即a+1a∴ax1+x1x2+ax2=−2a+1≤−3．故答案为：4，-3．9．（2022秋·广东江门·九年级统考阶段练习）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）．①方程x2−x−2=0是“倍根方程”；②若(x−2)(mx+n)=0是“倍根方程”，则4m2+5mn+n2=0；③若p,q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是“倍根方程”；④若方程ax2+bx+c=0是“倍根方程”，则必有2b2=9ac．【思路点拨】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；③当p,q满足pq=2时，有px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0，求出两个根，再根据pq=2代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；④用求根公式求出两个根，当x1=2x2或2x1=x2时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．【解题过程】解：①解方程x2−x−2=0，得x1=2，x2=−1，∵x1≠2x2，∴方程x2−x−2=0不是“倍根方程”．故①不正确；②∵(x−2)(mx+n)=0是“倍根方程”，且x1=2，因此x2=1或x2=4．当x2=1时，m+n=0，当x2=4时，4m+n=0，∴4m2+5mn+n2=(m+n)(4m+n)=0，故②正确；③∵pq=2，∴px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0，∴x1=−1p，x2=−q，∴x2=−q=−2p=2x1，因此px2+3x+q=0是“倍根方程”，故③正确；④方程ax2+bx+c=0的根为x1=2若x1=2x2×2，2=0，=0，∴b+=0，∴=−b，∴9(b2−4ac)=b2，∴2b2=9ac，若2x1=x22==0，∴−b+=0，∴b=∴b2=9(b2−4ac)，∴2b2=9ac．故④正确，故答案为：②③④．10．（2023春·全国·八年级专题练习）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使1x1−1x2＝1成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求得k的取值范围．（2）利用根与系数的关系，根据1x 1−1x 2=x 2−x 1x 1x 2,即可求出k 的值，看是否满足（1）中k 的取值范围，从而确定k 的值是否存在．【解题过程】解：（1）由题意知，k ≠0且△＝b 2﹣4ac ＞0∴b 2﹣4ac ＝[﹣2（k +1）]2﹣4k （k ﹣1）＞0，即4k 2+8k +4﹣4k 2+4k ＞0，∴12k ＞﹣4解得：k ＞−13且k ≠0（2）存在，且k =7±∵x 1+x 2=2(k 1)k ,x 1x 2=k−1k,又有1x 1−1x 2=x 2−x 1x 1x 2=1,∴x 2−x 1=x 1x 2,∴x 22−2x 1x 2+x 21=x 21x 22,∴(x 1+x 2)2−4x 1x 2=(x 1x 2)2,∴2−4k−4k =(k−1k)2, ∴(2k +2)2−k(4k−4)=(k−1)2, ∴k 2−14k−3=0, ∵a =1,b =−14,c =−3, ∴Δ=b 2−4ac =208,∴k =7±∵ k ＞−13且k ≠0，∵≈−0.21＞−13, 7+−13.∴满足条件的k 值存在，且k =7±．11．（2022·浙江·九年级自主招生）已知方程x 2+4x +1=0的两根是α、β．（1）求|α−β|的值；（2（3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于α、β的倒数的立方．（参考公式：x 3+y 3=(x +y)x 2+y 2−xy ．【思路点拨】（1）利用一元二次方程根与系数的关系可得α+β=−4,αβ=1，再求得(α−β)2的值，进而求得|α−β|的值．（2）+α最后将α+β=−4,αβ=1代入计算即可；（3）+的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可解答．【解题过程】（1）解：∵方程x 2+4x +1=0的两根是α、β∴α+β=−4,αβ=1∴(α−β)2=(α+β)2−4αβ=12∴|α−β|=（2）解：由（1）可知：α<0，β<0，∵=αβ+βα+2=α2+β2αβ+2=(α+β)2−2αβαβ+2=16，4（负值舍去）；（3+=(1α+1β+−===−1=−52==1所以新的一元二次方程x 2+52x +1=0．12．（2022春·四川南充·九年级专题练习）已知：关于x 的方程(k−1)x 2−2kx +k +2=0有实数根．（1）求k 的取值范围．（2）若x 1，x 2是方程(k−1)x 2−2kx +k +2=0的两个实数根，问：是否存在实数k ，使其满足(k−1)x 21+2k x 2+k +2=4x 1x 2，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式，再求解即可；（2）根据已知得出(k−1)x 21−2kx 1+k +2=0①，x 1+x 2=−−2kk−1=2kk−1，x 1⋅x 2x 2=2kk−1−x 1，求出(k−1)x 21−2kx 1+k +2+4k 2k−1=4⋅k 2k−1②，把①代入②得出4k 2k−1=4⋅k 2k−1，最后求出k 即可.【解题过程】解：（1）当k−1=0即k =1时，方程−2x +3=0，x =32，即方程有实数根，当k−1≠0时，Δ=(−2k)2−4⋅(k−1)⋅(k +2)≥0，方程有实数根，即k ≤2，综合上述：k 的取值范围是k ≤2．（2）∵x 1，x 2是方程(k−1)x 2−2kx +k +2=0的两个实数根，∴(k−1)x 21−2kx 1+k +2=0，①x 1+x 2=−−2kk−1=2kk−1，x 1⋅x 2=∴x 2=2kk−1−x 1，∵(k−1)x 21+2kx 2+k +2=4x 1x 2，∴(k−1)x 21+1+k +2=4⋅k 2k−1，∴(k−1)x 21+4k 2k−1−2kx 1+k +2=4⋅k 2k−1，即：(k−1)x 21−2kx 1+k +2+4k 2k−1=4⋅k 2k−1，②把①代入②得：4k 2k−1=4⋅k 2k−1，k 2−k−2=0，k =2，k =−1，由（1）可知k 需满足：k ≤2且k ≠1，∴k =2或−1．13．（2022秋·九年级单元测试）已知关于x 的一元二次方程x 2−2x−a 2−a =0(a >0)．（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；（2）若对于a =1，2，3，…，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α1和β1,α2和β2,α3和β3，…，α2019和β2019,α2020和β2020，+1α2+1α3+…+1α2019+1β2+1β3+…+1β2019的值．【思路点拨】（1）设方程的两根是α1，β1，得出α1+β1=2，α1·β1=−a 2−a ，代入(α1−2)(β1−2)，=α1β1−2(α1+β1)+4，求出其结果是−a 2−a ，求出−a 2−a <0即可；（2）得出α1+β1=2，α1·β1=−a 2−a =−a(a +1)，把(1α1+1α2+1α3+…+1α2019+1α2020)+(1β1+1β2+1β3+…+1β2019+1β2020)112233+20202020−2×(1−12+12−13+13−14+…+12020−12021)，推出−2×(1−12021)，求出即可．【解题过程】解：（1）证明：设方程的两根是α1，β1，则α1+β1=2，α1·β1=−a 2−a ，∴(α1−2)(β1−2)=α1β1−2(α1+β1)+4=−a 2−a−2×2+4=−a 2−a ，∵a >0，∴−a 2−a <0，即这个方程的一根大于2，一根小于2；（2）∵α1+β1=2，α1·β1=−a2−a=−a(a+1)∵对于a=1，2，3，…，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α1和β1，α2和β2，α3和β3，…，α2019和β2019，α2020和β2020，∴(1α1+1α2+1α3+…+1α2019+1α2020)+(1β1+1β2+1β3+…+1β2019+1β2020)=1α1+1β1+1α2+1β2+1α3+1β3+…+1α2019+1β2019+1α2020+1β2020=α1+β1α1β1+α2+β2α2β2+α3+β3α3β3+…+α2020+β2020α2020β2020=2−1×2+2−2×3+2−3×4+…+2−2020×2021=−2×(11×2+12×3+13×4+…+12020×2021)=−2×(1−12+12−13+13−14+…+12020−12021)=−2×(1−1 2021)=−40402021．14．（2022秋·九年级课时练习）一元二次方程x2+2ax+6−a=0的根x1,x2分别满足以下条件，求出实数a 的对应范围．（1）两个根同为正根；（2）两个根均大于1；（3）x1x2=3．【思路点拨】（1）由一元二次方程x2+2ax+6−a=0有两个正根，可列不等式组∴{△=(2a)2−4(6−a)≥0①x1+x2=−2a>0②x1x2=6−a>0③，再解不等式组即可；（2）由一元二次方程x2+2ax+6−a=0两个均大于1，可得(x1−1)(x2−1)>0,即x1x2−(x1+x2)+1>0,再结合根与系数的关系列不等式，结合△≥0，从而可得答案；（3）由x1x2=3可得x1=3x2,结合x1+x2=−2a,求解x1,x2,再利用x1x2=6−a,再解方程求解a的值，再检验即可.【解题过程】（1）解：∵一元二次方程x2+2ax+6−a=0有两个正根，∴{△=(2a)2−4(6−a)≥0①x 1+x 2=−2a >0②x 1x 2=6−a >0③由①得：a 2+a−6≥0, 解得：a ≥2或a ≤−3, 由②得：a <0, 由③得：a <6,所以a 的取值范围为：a ≤−3；（2）解：由（1）得：a ≤−3,一元二次方程x 2+2ax +6−a =0两个均大于1，∴(x 1−1)(x 2−1)>0, 即x 1x 2−(x 1+x 2)+1>0, 而x 1+x 2=−2a,x 1x 2=6−a, ∴6−a +2a +1>0, 解得：a >−7, 综上−7<a ≤−3（3）解：∵ x 1x 2=3，则x 1=3x 2, ∵x 1+x 2=−2a, 解得：x 1=−32a,x 2=−12a, ∵x 1x 2=6−a, ∴34a 2=6−a,整理得：3a 2+4a−24=0,∴a ==∵ a ≥2或a ≤−3,经检验：a =a =.15．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m 是不小于﹣1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2（m ﹣2）x ＋m 2﹣3m ＋3＝0有两个实数根x 1，x 2．（1）若x 21+x 22=2，求m 的值；（2）令T ＝mx 11−x 1＋mx 21−x 2，求T 的取值范围．【思路点拨】首先根据方程有两个实数根及m是不小于-1的实数，确定m的取值范围，根据根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形x12+x22为（x1+x2）2-2x1x2，代入用含m表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m的取值范围得到m的值；（2）化简T，用含m的式子表示出T，根据m的取值范围，得到T的取值范围．【解题过程】解：（1）∵关于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有两个实数根，∴Δ=4（m-2）2-4（m2-3m+3）≥0，解得m≤1，∵m是不小于-1的实数，∴-1≤m≤1，∵方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2=-2（m-2）=4-2m，x1•x2=m2-3m+3．∵x12+x22=2，∴（x1+x2）2-2x1x2=2，∴4（m-2）2-2（m2-3m+3）=2，整理得m2-5m+4=0，解得m1=1，m2=4（舍去），∴m的值为1；（2）T＝mx11−x1＋mx21−x2，=mx1(1−x2)mx2(1−x1)(1−x1)(1−x2)12)121−42m3=−2m(m−1)2m2−m=−2m(m−1)2m(m−1)=2-2m．∵当x=1时，方程为1＋2（m﹣2）＋m2﹣3m＋3＝0，解得m=1或m=0．∴当m=1或m=0时，T没有意义．∴−1≤m<1且m≠0∴0<2-2m≤4且T≠2．即0<T≤4且T≠2．16．（2022秋·福建泉州·九年级石狮市石光中学校考期中）已知关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0(m≠0)．（1）求证：方程有两个实数根；（2）若m<0，方程的两个实数根分别为x1,x2（其中x1<x2），若y是m的函数，且y=x1−1x2，求这个函数的解析式．（3）若m为正整数，关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0(m≠0)的两个根都是整数，a与a+b(b≠0)分别是关于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0的两个根．求代数式4a2+12ab+5b2+16b+8的值．【思路点拨】（1）利用Δ求出关于m的式子，然后证明关于m的式子大于或等于0即可；（2）利用公式法确定两根，代入即可得出这个函数解析式；（3）利用根与系数的关系求出m的值，即可得到a与a+b(b≠0)分别是关于x的方程x2+4x+3−b=0的两个根，利用根与系数的关系得到a+a+b=−4，即a=−4b4，代入代数式化简即可求出答案．【解题过程】（1）解：∵由题意可知Δ=(3m+1)2−4m×3=9m2−6m+1=(3m−1)2≥0，∴方程有两个实数根；（2）mx2+(3m+1)x+3=0解：由（1）可知，方程有两个实数根，∴x<0)，∴x=−3m−1±(1−3m)2m，∵x1<x2，∴x1=−3，x2=−1m，∴y=x1−1x2=−3−1−1m=−3+m,(m<0)．∴y=−3+m,(m<0)．（3）解：∵a与a+b(b≠0)分别是关于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0的两个根．∴a+a+b=2a+b=−3m1m =−3−1m，a(a+b)=3m，∵a与b是整数，∴1m 与3m同为整数，∵m是正整数，∴m=1，∴方程为x2+4x+3=0，∴a+a+b=2a+b=−4，∴a=−4−b2，将a=−4−b2代入4a2+12ab+5b2+16b+8原式=4×++5b2+16b+8=16+8b+b2−24b−6b2+5b2+16b+8=24．17．（2022秋·福建·九年级统考期末）已知关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0有实数根．（1）若方程的两根之和为整数，求m的值；（2）若方程的根为有理根，求整数m的值．【思路点拨】（1）根据关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0有两个根，且为实数根，先利用一元二次方程的根的判别式确定m的取值范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x1+x2=m−1m，若方程的两根之和为整数，即m−1m为整数，即可确定m的值；（2）分两种情况讨论：当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，求解可得x=−2，符合题意；当m≠0时，对于关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0可有x m为整数，则Δ=m2−10m+1为某一有理数的平方，据此分析即可获得答案．【解题过程】（1）解：∵关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0有两个根，且为实数根，∴m≠0，且Δ=[−(m−1)]2−4m×2=m2−10m+1≥0，根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x1+x2=−−(m−1)m =m−1m，若方程的两根之和为整数，即m−1m为整数，∵m−1m =1−1m，∴1m是整数，∴m=±1，当m=1时，Δ=1−10+1=−8<0，不符合题意；当m=−1时，Δ=1+10+1=12>0，m−1m =−1−1−1=2，为整数，符合题意；∴m的值为−1；（2）当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，解得x=−2；当m≠0时，对于关于x的方程mx2−(m−1)x+2=0的根为：x若方程的根为有理根，且m为整数，则Δ=m2−10m+1为完全平方数，设m2−10m+1=k2（k为正整数），则：m==5±∵m为整数，设24+k2=n2（n为正整数），∴(k+n)(n−k)=24，∴k+n=12n−k=2或k+n=6n−k=4或k+n=8n−k=3或k+n=24n−k=1，解得：k=5n=7或k=1n=5或k=52n=112（不合题意，舍去）或k=232n=252（不合题意，舍去）∴m2−10m+1=12=1或m2−10m+1=52=25；当m2−10m+1=1时，解得m=10或m=0（舍去）；当m2−10m+1=25时，解得m=−2或m=12，综上所述，若方程的根为有理根，则整数m的值为0或10或−2或12．18．（2022秋·四川资阳·九年级统考期末）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，若x1<x2<0，且3<x1x2<4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30=0的两根为x1=−10，x2=−3，因−10<−3<0，3<−10−3<4，所以一元二次方程x2+13x+30=0为“限根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：（1）判断一元二次方程x2+9x+14=0是否为“限根方程”，并说明理由；（2）若关于x的一元二次方程2x2+(k+7)x+k2+3=0是“限根方程”，且两根x1、x2满足x1+x2+x1x2 =−1，求k的值；（3）若关于x的一元二次方程x2+(1−m)x−m=0是“限根方程”，求m的取值范围．【思路点拨】（1）解该一元二次方程，得出x1=−7，x2=−2，再根据“限根方程”的定义判断即可；（2）由一元二次方程根与系数的关系可得出x1+x2=−k72，x1x2x1+x2+x1x2=−1，即可求出k1=2，k2=−1．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可；（3）解该一元二次方程，得出x1=−1，x2=m或x1=m，x2=−1．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出Δ>0，m<0且m≠−1，可求出m 的取值范围．最后分类讨论即可求解．【解题过程】（1）解：x2+9x+14=0，(x+2)(x+7)=0，∴x+2=0或x+7=0，∴x1=−7，x2=−2．∵−7<−2，3<−7−2=72<4，∴此方程为“限根方程”；（2）∵方程2x2+(k+7)x+k2+3=0的两个根分比为x1、x2，∴x1+x2=−k72，x1x2=．∵x1+x2+x1x2=−1，∴=−1，解得：k1=2，k2=−1．分类讨论：①当k=2时，原方程为2x2+9x+7=0，∴x1=−72，x2=−1，∴x1<x2<0，3<x1x2=72<4，∴此时方程2x2+(k+7)x+k2+3=0是“限根方程”，∴k=2符合题意；②当k=−1时，原方程为2x2+6x+4=0，∴x1=−2，x2=−1，∴x1<x2<0，x1x2=2<3，∴此时方程2x2+(k+7)x+k2+3=0不是“限根方程”，∴k=−1不符合题意．综上可知k的值为2；（3）x2+(1−m)x−m=0，(x+1)(x−m)=0，∴x+1=0或x−m=0，∴x1=−1，x2=m或x1=m，x2=−1．∵此方程为“限根方程”，∴此方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0，m<0且m≠−1，∴(1−m)2+4m>0，即(1+m)2>0，∴m<0且m≠−1．分类讨论：①当−1<m<0时，∴x1=−1，x2=m，∵3<x1x2<4，∴3<−1m<4，解得：−13<m<−14；②当m<−1时，∴x1=m，x2=−1，∵3<x1x2<4，∴3<m−1<4，解得：−4<m<−3．综上所述，m的取值范围为−13<m<−14或−4<m<−3．19．（2022秋·福建泉州·九年级福建省泉州第一中学校联考期中）已知方程①：2(x−k)=x−4为关于x的方程，且方程①的解为非正数；方程②：(k−1)x2+2mx+3−k+n=0（k、m、n均为实数）为关于x的一元二次方程．（1）求k的取值范围；（2）如果方程②的解为负整数，k−m=2，2k−n=6且k为整数，求整数m的值；（3）当方程②有两个实数根x1，x2满足(x1+x2)(x1−x2)+2m(x1−x2+m)=n+5，且k为正整数，试判断m2≤4是否成立？并说明理由．【思路点拨】（1）将k当作已知数解出方程2(x−k)=x−4的解，根据该方程的解为非正数，可得出k的取值范围，方程②：(k−1)x2+2mx+3−k+n=0（k、m、n均为实数）为关于x的一元二次方程，二次项系数不为0，即k −1≠0，解得k≠1，即可求出k的取值范围；（2）根据k−m=2，2k−n=6可得m=k−2，n=2k−6，代入方程②，可得(k−1)x2+2(k−2)x+(3−k)+2k−6=0，可得x1=−1+2k−1，x2=−1，由于②的解为负整数且k为整数，所以k−1=−1或k−1=−2，可得k=0或−1，即可求出整数m的值；（3）方法1：由（1）可知k≤2且k≠1，且k为正整数，可知k=2，所以方程②为x2+2mx+1+n=0，因为方程②有两个实数根x1，x2，所以Δ≥0，x1+x2=−2m，x1⋅x2=1+n，由Δ≥0可求出m2≥n+1，将x1+x2=−2 m，x1⋅x2=1+n，代入(x1+x2)(x1−x2)+2m(x1−x2+m)=n+5，可得n=2m2−5，将其代入m2≥n+1，即可证明m2≤4；方法2：先得出k=2，m2≥n+1，x1+x2=−2m，x1⋅x2=1+n，根据x1+x2=−2m，x1⋅x2=1+n求出(x1−x2)2=4(m2−1−n)，可得x1−x2x1−x2x1−x2=−2x1+x2=−2m，x1⋅x2=1+n，代入(x1+x2)(x1−x2)+2m(x1−x2+m)=n+5，可得n=2m2−5，将其代入m2≥n+1，即可证明m2≤4．【解题过程】（1）解：∵关于x的方程2(x−k)=x−4的解为x=2k−4，且该方程的解为非正数，∴2k−4≤0，解得k≤2，又∵关于x 的方程(k−1)x 2+2mx +(3−k )+n =0是一元二次方程，∴k−1≠0，k−1≠0，解得k≠1，综上所述，k 的取值范围是k≤2且k≠1．（2）解：由（1）可知k≤2且k≠1，∵k−m =2，2k−n =6，∴m =k−2，n =2k−6，∴方程②为(k−1)x 2+2(k−2)x +(3−k )+2k−6=0，即(k−1)x 2+2(k−2)x +k−3=0，[(k−1)x +(k−3)](x +1)=0，解得：x 1=3−kk−1=−(k−1)2k−1=−1+2k−1，x 2=−1，∵方程②为(k−1)x 2+2(k−2)x +(3−k )+2k−6=0，方程②的解为负整数，∴k−1=−1或k−1=−2，∴k =0或−1，当k =0时，m =k−2=0−2=−2，当k =−1时，m =k−2=−1−2=−3，∴m 的值为−2或−3．（3）解：方法1：m 2≤4成立，理由如下：由（1）可知k≤2且k≠1，又∵k 为正整数，∴k =2，∴方程②为x 2+2mx +1+n =0，∵方程②有两个实数根x 1，x 2，∴Δ≥0，x 1+x 2=−2m ，x 1⋅x 2=1+n ，∴(2m )2−4×1×(1+n )≥0，∴m 2≥n +1（*）∵(x 1+x 2)(x 1−x 2)+2m (x 1−x 2+m )=n +5，∴−2m (x 1−x 2)+2m (x 1−x 2+m )=n +5即−2m (x 1−x 2)+2m (x 1−x 2)+2m 2=n +5，即2m 2=n +5，即n =2m 2−5代入（*）∴m2≥2m2−5+1∴m2≤4；方法2：m2≤4成立，理由如下：由（1）可知k≤2且k≠1，又∵k为正整数，∴k=2，∴方程②为x2+2mx+1+n=0，∵方程②有两个实数根x1，x2，∴Δ≥0，x1+x2=−2m，x1⋅x2=1+n，∴(2m)2−4×1×(1+n)≥0，∴m2≥n+1，∵(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1⋅x2=(−2m)2−4(1+n)=4(m2−1−n)，∴x1−x2∵(x1+x2)(x1−x2)+2m(x1−x2+m)=n+5∴当x1−x2(−2m)⋅m2m=n+5，∴2m2=n+5，∴n=2m2−5，∴m2≥2m2−5+1，∴m2≤4；当x1−x2=1种情况扣1分）(−2m)⋅−2m−2m=n+5，∴2m2=n+5，∴n=2m2−5，∴m2≥2m2−5+1，∴m2≤4；综上所述，m2≤4成立．20．（2022春·湖南邵阳·九年级邵阳市第二中学校考自主招生）已知关于x的方程|x2+2px−3p2+5|−q=0．其中p，q都是实数．（1）若q=0时方程有两个不同的实数根x1，x2，且1x1+1x2=843．求实数p的值．（2）若方程有三个不同的实数根x1，x2，x3，且1x1+1x2+1x3=0．求实数p和q的值．（3）是否同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4=3若存在，求出所有满足条件的p，q．若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）利用根的判别式，根与系数关系定理，转化为一元二次方程求解即可．（2）根据方程根的情况，判定去绝对值后的两个方程，一个有两个不相等实数根，一个有两个相等实数根，运用根的判别式，根与系数关系定理，转化为一元二次方程求解即可．（3）根据方程根的情况，判定去绝对值后的两个方程，都有两个不相等实数根，运用根的判别式，根与系数关系定理，质数的性质，分类转化为一元二次方程求解即可．【解题过程】解：（1）当q=0时，方程为x2+2px−3p2+5=0，∴由Δ>0得p2>54，∵方程有两个不同的实数根x1，x2，∴x1+x2=−2p，x1x2=5−3p2，∵1 x1+1x2=843，∴x1x2x1x2=843，∴−2p 5−3p2=843，整理，得12p2−43p−20=0，解得：p=4，p=−512舍去，故P=4．（2）原方程化为：x2+2px−3p2+5−q=0，x2+2px−3p2+5+q=0．由题意可知q>0，∴Δ1=44p2−5+q>0，Δ2=44p2−5−q=0，∴x2+2px−3p2+5−q=0，x2+2px+p2=0，不妨设x1+x2=−2p，x1x2=−3p2+5−q，x3=−p，∵1 x1+1x2+1x3=0，12−1x3，∴−2p−3p25−q =−1−p，整理，得p2=5−q，∵4p2−5−q=0，解得q=3，p=±（3）同时存在质数p和整数q使得方程有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4=3，原方程化为：x2+2px−3p2+5−q=0，x2+2px−3p2+5+q=0．由题意及q>0，∴Δ1=44p2−5+q>0，Δ2=44p2−5−q＞0，不妨设x1+x2=−2p，x1x2=−3p2+5−q，x3+x4=−2p，x3x4=−3p2+5+q，∵x1x2x3x4=，∴3p2−5+q3p2−5−q=3p4，∵q>0，p为质数，∴3p2−5+q>3p2−5−q，且3p2−5+q>p2，又3p4=3p4×1=p4×3=3p3×p=p3×3p=3p2×p2，∴3p2−5+q=3p43p2−5−q=1，此时Δ1=36−4×3×11＜0，方程组无解；3p2−5+q=3p33p2−5−q=p，此时3p3−6p2+p+10=0，∴3p2(p−2)+p+10=0，∵q>0，p为质数，∴3p2(p−2)+p+10＞0，此时方程组无解；3p2−5+q=p33p2−5−q=3p，此时p3−6p2+3p+10=0，(p−2)(p2−3p−5)=0，∴p=2或p=5或p=-1(舍去)；当p=2时，q=1；当p=5时，q=55；3p2−5+q=p43p2−5−q=3，此时Δ4=36−4×13×1＜0，方程组无解；3p2−5+q=3p23p2−5−q=p2，解得pq或p=q=，∵p是质数，∴不符合题意；综上所述，p=2，q=1或p=5，q=55．。

北师大版九年级数学上册集体备课教案：2.5一元二次方程根与系数的关系

二．探索新知
1．请大家完成下面的表格：
方程
x
x
x
2.观擦上面的规律，运用你发现的规律填空：
（1）已知方程x 的根是x 和x ，则 =； =
（2）已知方程x +3x－5=0的根是x 和x ，则 =， =
3．猜想：如果方程的根是x 和x ，则 =； =
4．同学们，你们的猜想对不对，请同学们分组来证明你们的猜想，好吗?（合作探讨）
解.设方程的另一个根是，则 3+ =2解之得 =－1。
∵3 =c∴3×（－1）=c∴c=－3
故：方程的另一个根是－1，c=－3。
例2．已知方程的根是x 和x ，求下列式子的值：
（1） + （2）
解.由一元二次方程根与系数的关系知： =5， =－6
（1）原式= +2 －
=
=5 －（－6）
=31
（2）原式=
过程与方法：经过小组讨论和从特殊到一般的数学认知过程的体会。。
情感态度与价值观：利用韦达定理渗透爱国主义精神，激发学生发现问题，提高学生解决问题。
重点
一元二次方程根与系数的关系
难点
韦达定理的论证
教法
引导、探究、合作、交流。
教
学
过
程
教
学
过
程
集体备课
个案修改
一．创设情景
同学们，我们在前面学习过用公式法解一元二次方程，在那里，我们已经看出：一元二次方程的根由系数决定，这说明一元二次方程的根与系数有密切的关系，究竟有怎样的关系呢？那我们今天和大家一起来探索。好吗？
3．已知方程2 的两个根分别是x 和x ，求下列式子的值：
（1）（x +2）（x +2）（2）

专题2-7 一元二次方程的根与系数的关系-重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)

专题2.7 一元二次方程的根与系数的关系-重难点题型【北师大版】【题型1 利用根与系数的关系求代数式的值】【例1】（2020秋•普宁市期末）若一元二次方程x 2﹣x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，则（1+x 1）+x 2（1﹣x 1）＝．【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：由题意可知：x 1+x 2＝1，x 1x 2＝﹣2， ∴原式＝1+x 1+x 2﹣x 1x 2＝1+1﹣（﹣2）＝4，故答案为：4【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．【变式1-1】（2021•龙马潭区模拟）设x 1，x 2是方程x 2+3x ﹣3＝0的两个实数根，则x 2x 1+x 1x 2的值为．【分析】欲求x 2x 1+x 1x 2的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．【解答】解：∵x 1，x 2是方程x 2+3x ﹣3＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝﹣3，x 1•x 2＝﹣3， ∴x 2x 1+x 1x 2=x 12+x 22x 1⋅x 2=(x 1+x 2)2−2x 1⋅x 2x 1⋅x 2=(−3)2−2×(−3)−3=−5．故答案为﹣5．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．【变式1-2】（2020秋•解放区校级月考）一元二次方程x 2+4x +1＝0的两个根是x 1，x 2，则x 2x 1−x 1x 2的值为．（其中x 2＞x 1）【分析】利用根与系数的关系得到x 1+x 2＝﹣4，x 1x 2＝1，再通过通分和完全平方公式变形得到x 2x 1−x 1x 2=(x 1+x 2)√(x 2+x 1)2−4x 1x 2x 1x 2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x 1+x 2＝﹣4，x 1x 2＝1，所以x 2x 1−x 1x 2=x 22−x 12x 1x 2=(x 1+x 2)(x 2−x 1)x 1x 2=(x 1+x 2)√(x 2+x 1)2−4x 1x 2x 1x 2=−4×√(−4)2−4×11＝﹣8√3．故答案为﹣8√3【点评】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=−ba，x 1x 2=c a．【变式1-3】（2020秋•淇滨区校级月考）已知a 、b 是方程2x 2+5x +1＝0的两实数根，则式子a√a b +b √ba 的值为．【分析】利用根与系数的关系可得出a +b =−52，a •b =12，进而可得出a ＜0，b ＜0，再将a +b =−52，a •b =12代入a√ab +b √b a =2√ab中即可求出结论．【解答】解：∵a 、b 是方程2x 2+5x +1＝0的两实数根， ∴a +b =−52，a •b =12， ∴a ＜0，b ＜0，∴a√a b +b √b a =√a⋅a √a⋅b +√b⋅b √a⋅b =22√ab =2√ab =−(−52)2+2×12√12=−21√24．故答案为：−21√2 4．【点评】本题考查了根与系数的关系以及实数的运算，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．【题型2 利用根与系数的关系求系数字母的值】【例2】（2021•成都模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值．【分析】根据判别式的意义得到△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，然后解不等式求得k的取值范围，然后根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，再把x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16变形为﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16，所以﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，然后解方程后即可确定满足条件的k的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根，∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，解得k≤1 4，由根与系数的关系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，即﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16，∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，整理得k2﹣2k﹣15＝0，解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．∴k＝﹣3，故答案为﹣3．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−b a，x1x2=ca．也考查了根的判别式．【变式2-1】（2019秋•萍乡期末）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的二根为x1，x2，且x12﹣x1+x2＝3x1x2，则m＝．【分析】根据根与系数的关系求得x1+x2＝2，x1•x2＝m，且x12﹣2x1+m＝0，然后将其代入已知等式列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0的二根为x 1、x 2， ∴x 1+x 2＝2，x 1•x 2＝m ，且x 12﹣2x 1+m ＝0， ∴x 12﹣x 1＝﹣m +x 1， ∵x 12﹣x 1+x 2＝3x 1x 2， ∴﹣m +x 1+x 2＝3x 1x 2，即﹣m +2＝3m ，解得：m =12，故答案为：12．【点评】本题考查了根与系数的关系．解题时，借用了“一元二次方程的解的定义”这一知识点．【变式2-2】（2020春•文登区期中）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +1）x +k 2﹣2＝0的两根x 1和x 2，且x 12﹣2x 1+2x 2＝x 1x 2，则k 的值是．【分析】先由x 12﹣2x 1+2x 2＝x 1x 2，得出x 1﹣2＝0或x 1﹣x 2＝0，再分两种情况进行讨论：①如果x 1﹣2＝0，将x ＝2代入x 2+（2k +1）x +k 2﹣2＝0，得4+2（2k +1）+k 2﹣2＝0，解方程求出k ＝﹣2；②如果x 1﹣x 2＝0，那么△＝0，解方程即可求解．【解答】解：∵x 12﹣2x 1+2x 2＝x 1x 2， x 12﹣2x 1+2x 2﹣x 1x 2＝0， x 1（x 1﹣2）﹣x 2（x 1﹣2）＝0，（x 1﹣2）（x 1﹣x 2）＝0， ∴x 1﹣2＝0或x 1﹣x 2＝0． ①如果x 1﹣2＝0，那么x 1＝2，将x ＝2代入x 2+（2k +1）x +k 2﹣2＝0，得4+2（2k +1）+k 2﹣2＝0，整理，得k 2+4k +4＝0，解得k ＝﹣2； ②如果x 1﹣x 2＝0，则△＝（2k +1）2﹣4（k 2﹣2）＝0．解得：k =−94．所以k 的值为﹣2或−94．故答案为：﹣2或−9 4．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．【变式2-3】（2020秋•武侯区校级月考）已知二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m+32=0的两个实数根为α和β，若|α|+|β|＝4，求m的值．【分析】先由根与系数的关系得到2m+1＝﹣（α+β），α•β＝m2﹣2m+32=（m﹣1）2+12＞0，那么α和β同号，再由|α|+|β|＝4，分α+β＝﹣4或α+β＝4进行讨论即可．【解答】解：∵二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m+32=0的两个实数根为α和β，∴α+β＝﹣（2m+1），α•β＝m2﹣2m+3 2，∴2m+1＝﹣（α+β），α•β＝m2﹣2m+32=（m﹣1）2+12＞0，∴α•β＞0，即α和β同号，∴由|α|+|β|＝4得：α+β＝﹣4或α+β＝4．当α+β＝﹣4时，2m+1＝4，解得m=3 2；当α+β＝4时，2m+1＝﹣4，解得m=−5 2．∵△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2m+3 2）＝4m2+4m+1﹣4m2+8m﹣6＝12m﹣5≥0，∴m≥5 12；∴m=−52不合题意，舍去，则m=3 2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．【题型3 利用根与系数的关系及代根法综合求值】【例3】（2021•九龙坡区校级期末）如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（）A．7B．6C．﹣2D．0【分析】根据方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，得到α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，将α2+β﹣2αβ变形为α+β+2﹣2αβ后代入即可求值．【解答】解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，∴α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，∴α2+β﹣2αβ＝α+2+β﹣2αβ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7，故选：A．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．【变式3-1】（2020秋•抚州期末）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2+1的值为（）A．10B．9C．8D．7【分析】根据根与系数的关系找出x1+x2＝3、x1•x2＝1，将x12+3x2+x1x2+1变形为3（x1+x2）+x1x2，代入数据即可得出结论．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，∴x12﹣3x1+1＝0，x1+x2＝3，x1•x2＝1，∴x12＝3x1﹣1，则x12+3x2+x1x2+1＝3x1﹣1+3x2+x1x2+1＝3（x1+x2）+x1x2＝3×3+1＝10，故选：A．【点评】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出x1+x2＝3、x1•x2＝1是解题的关键．【变式3-2】（2020秋•宜宾期末）已知α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，则α4+3β的值是（）A．4B．4√2C．5D．5√2【分析】根据方程根的定义得到α2＝a+1，即可得到α4＝α2+2α+1，然后根据根与系数的关系即可求得α4+3β的值．【解答】解：∵α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，∴α2﹣α﹣1＝0，α+β＝1，∴α2＝a+1，∴α4＝α2+2α+1，则α4+3β＝α2+2α+1+3β＝α2﹣α﹣1+3α+3β+2＝3×1+2＝5．故选：C．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是利用整体法代值计算，此题难度一般．【变式3-3】（2020秋•雅安期末）设x1、x2是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，则x13+4x22+x1﹣1的值为．【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝1，x12=4x1﹣1，∴x13=4x12−x1，∴原式＝4x12−x1+4x22+x1﹣1＝4（x12+x22）﹣1＝4（x1+x2）2﹣8x1x2﹣1＝4×16﹣8﹣1＝55，故答案为：55【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．【题型4 构造一元二次方程求代数式的值】【例4】（2021春•柯桥区月考）如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝．【分析】由题意可知m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，又n2＝n+3，利用它们可以化简2n2﹣mn+2m+2021＝2（n+3）﹣mn+2m+2021＝2n+6﹣mn+2m+2021＝2（m+n）﹣mn+2027，然后就可以求出所求的代数式的值．【解答】解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，又n2＝n+3，则2n2﹣mn+2m+2021＝2（n+3）﹣mn+2m+2021＝2n+6﹣mn+2m+2021＝2（m+n）﹣mn+2027＝2×1﹣（﹣3）+2027＝2+3+2027＝2032．故答案为：2032．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．【变式4-1】（2021春•崇川区月考）实数x ，y 分别满足99x 2+2021x ＝﹣1．y 2+2021y ＝﹣99，且xy ≠1．则xy+10x+1y= ．【分析】把y 2+2021y ＝﹣99变形为99（1y）2+2021•1y+1＝0，加上99x 2+2021x +1＝0，则实数x 、1y可看作方程99t 2+2021t +1＝0，利用根与系数的关系得到x +1y =−202199，x •1y =199，再把原式变形为x +10•x y+1y，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵y 2+2021y ＝﹣99， ∴99（1y）2+2021•1y+1＝0，∵99x 2+2021x ＝﹣1，即99x 2+2021x +1＝0，∴实数x 、1y可看作方程99t 2+2021t +1＝0的两实数解，∴x +1y =−202199，x •1y =199，∴原式＝x +10•x y+1y=−202199+10×199 =−201199．故答案为−201199．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=−ba ，x 1x 2=ca ．【变式4-2】（2021•郫都区校级模拟）已知a 2﹣2a ﹣1＝0，b 2+2b ﹣1＝0，且ab ≠1，则ab+b+1b的值为．【分析】先变形b 2+2b ﹣1＝0得到（1b）2﹣2•1b−1＝0，则a 和1b可看作方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两根，然后根据根与系数的关系求解．【解答】解：∵b 2+2b ﹣1＝0， ∴b ≠0，方程两边同时除以b 2，再乘﹣1变形为（1b）2﹣2•1b−1＝0，∵ab ≠1，∴a 和1b 可看作方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两根，∴a +1b =2， ∴ab+b+1b=a +1+1b=2+1＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=−ba ，x 1•x 2=c a．【变式4-3】（2020秋•蕲春县期中）已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则1α2+3β的值为．【分析】原方程变为（1α2）﹣3（1α）﹣1＝0，得到1α、β是方程x 2﹣3x ﹣1＝0的两根，根据根与系数的关系得到关系式，代入求出即可．【解答】解：∵实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1， ∴1α、β是方程x 2﹣3x ﹣1＝0的两根，∴1α+β＝3，βα=−1，1α2=1+3α，∴原式＝1+3α+3β＝1+3（1α+β）＝1+3×3＝10，故答案为10．【点评】本题主要考查对根与系数的关系的理解和掌握，能熟练地根据根与系数的关系进行计算是解此题的关键．【题型5 根与系数的关系与三角形综合】【例5】（2020秋•西工区期中）已知关于x 的方程x 2﹣8x ﹣k 2+4k +12＝0．（1）求证：无论k 取何值，这个方程总有两个实数根；（2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．【分析】（1）先计算出△＝4（k﹣2）2，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用因式分解法求出方程的解为x1＝﹣k+6，x2＝k+2，然后分类讨论：当AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．【解答】（1）证明：∵△＝（﹣8）2﹣4（﹣k2+4k+12）＝4（k﹣2）2≥0，∴无论k取何值，这个方程总有两个实数根；（2）解：x2﹣8x﹣k2+4k+12＝0，（x+k﹣6）（x﹣k﹣2）＝0，解得：x1＝﹣k+6，x2＝k+2，当AB＝AC时，﹣k+6＝k+2，则k＝2；当AB＝BC时，﹣k+6＝5，则k＝1；当AC＝BC时，则k+2＝5，解得k＝3，综合上述，k的值为2或1或3．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．【变式5-1】（2020秋•吉安期中）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？（3）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．【分析】（1）先计算出△＝1，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先求出方程的解，根据此方程的两个根都是正整数列出关于m的不等式，解不等式即可求解；（3）根据等腰三角形的性质和三角形三边关系得到关于m的方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）∵△＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）＝4＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0，[（m﹣1）x﹣（m+1）]（x﹣1）＝0，x 1=m+1m−1，x 2＝1， ∵此方程的两个根都是正整数，∴m+1m−1＞0，当m +1＞0，m ﹣1＞0时，解得m ＞1，当m +1＜0，m ﹣1＜0时，解得m ＜﹣1，∴m ＝2或m ＝3；（3）∵一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣2mx +m +1＝0的解为x 1=m+1m−1，x 2＝1， ∵△ABC 是等腰三角形，第三边BC 的长为5，∴m+1m−1=5，解得m ＝1.5，经检验，m ＝1.5是原方程的解．故m 的值是1.5．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．【变式5-2】（2021春•西湖区校级期中）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +4）x +m 2+4m ＝0．（1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2；①求代数式x 12+x 22−4x 1x 2的最大值；②若方程的一个根是6，x 1和x 2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．【分析】（1）通过判别式△求解．（2）①通过两根之积与两根之和的关系将x 12+x 22−4x 1x 2配方求解．②把x ＝6代入方程求出m ，再将m 代入原方程求出另外一个解，再根据三角形两边之和大于第三边确定x 的值．【解答】解：（1）△＝（2m +4）2﹣4（m 2+4m ）＝16，16＞0，∴此方程总有两个不相等的实数根．（2）①x 12+x 22−4x 1x 2＝（x 1+x 2）2﹣6x 1x 2，∵x1+x2=−−(2m+4)1=2m+4，x1x2＝m2+4m，∴（x1+x2）2﹣6x1x2＝（2m+4）2﹣6（m2+4m）＝﹣2m2﹣8m+16＝﹣2（m+2）2+24，∴当m＝﹣2时x12+x22−4x1x2的最大值为24．②把x＝6代入原方程可得m2﹣8m+12＝0，解得m＝2或m＝6，当m＝2时，原方程化简为x2﹣8x+12＝0，解得x＝2或x＝6，三角形三边长为6，6，2时三角形周长为14，三角形边长为2，2，6时不存在．当m＝6时，原方程化简为x2﹣16x+60，解得x＝6或x＝10．三角形三边长为6，6，10时三角形周长为22，三角形三边长为10，10，6时，三角形周长为26．∴等腰三角形周长为14或22或26．【点评】本题考查一元二次方程综合应用，解题关键是熟练掌握一元二次方程的判别式与根与系数的关系．【变式5-3】（2021•永州模拟）已知关于x的方程x2−2mx+14n2=0，其中m、n是等腰三角形的腰和底边长．（1）说明这个方程有两个不相等的实数根．（2）若方程的两实数根的差的绝对值是8，且等腰三角形的面积是16，求m，n的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝4m2﹣n2＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系求出√m2−14n2=4，根据三角形的面积可求出m，n的值，则可求出答案．【解答】解：（1）∵m、n是等腰三角形的腰和底边长，∴2m＞n，又∵△＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×1×14n2=4m2−n2，∴4m2＞n2，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）由题意得|x 1﹣x 2|＝8，∴（x 1﹣x 2）2＝64，∴（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝64，由韦达定理得：x 1+x 2＝2m ，x 1x 2=14n 2，∴（2m ）2﹣4×14n 2=64，即√m 2−14n 2=4， ∵等腰三角形的面积是16，如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∴BD ＝CD =n 2．∴AD =√AB 2−BD 2=√m 2−14n 2，∴12×n ×√m 2−14n 2=16，∴n ＝8，代入√m 2−14n 2=4，解得m ＝4√2，∴m ＝4√2，n ＝8．【点评】本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系，得出m ，n 的关系式．【题型6 根与系数关系中的新定义问题】【例6】（2020秋•武侯区校级期中）如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个实数根x 1，x 2，且满足数轴上x 1，x 2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有．（填序号）①方程x 2﹣4x ＝0是关于2的等距方程；②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x+1）（mx+n）＝0一定是关于2的等距方程；③若方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x+34=0是关于2的等距方程．【分析】①解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；②解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；③根据方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，且b＝﹣4a（a≠0）得到x1＝x2或x1+x2＝4，当x1＝x2时，x1＝x2=−b2a，不能判断a与b之间的关系，当x1+x2＝4时，即−ba=4，得到b＝﹣4a，据此即可判断；④根据韦达定理和x1＝3x2，得出3x22=34（3x2+x2）＝3x2，解得x2＝1或x2＝0（舍去），然后利用关于2的等距方程的定义进行判断．【解答】解：①∵x2﹣4x＝0，∴x（x﹣4）＝0，∴x1＝0，x2＝4，则|x2﹣2＝|x2﹣2|，①正确；②当m≠0，n≠0时，（x+1）（mx+n）＝0，则x1＝﹣1，x2=n−m，∵5m＝﹣n，∴x2＝5，∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，满足2的等距方程；当m＝n＝0时，原方程x+1＝0不是一元二次方程，故②错误；③对于方程ax2+b+c＝0（a≠0），由韦达定理得：x1+x2=−b a，∵方程是2的等距方程，∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，则x1﹣2＝x2﹣2或x1﹣2＝2﹣x2，∴x1＝x2或x1+x2＝4，当x1＝x2时，x1＝x2=−b2a，不能判断a与b之间的关系，当x1+x2＝4时，即−ba=4，∴b ＝﹣4a ，故ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）是2的等距方程时，b 不一定等于﹣4a ，故③错误；④对于方程px 2﹣x +34=0有两根满足x 1＝3x 2，由韦达定理得：x 1x 2=34p ，x 1+x 2=1p ， ∴x 1x 2=34×1p =34（x 1+x 2），∴3x 22=34（3x 2+x 2）＝3x 2，∴x 2＝1或x 2＝0（舍去），∴x 1＝3x 2＝3，∴|x 1﹣2|＝|x 2﹣2|，即px 2﹣x +34=0是关于2的等距方程，故④正确，故正确的有①④，故答案为①④．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确的理解“关于2的等距方程”的定义是解题的关键．【变式6-1】（2021春•崇川区校级月考）x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个实数根，若满足|x 1﹣x 2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：①x 2﹣4x ﹣5＝0；②2x 2﹣2√3x +1＝0；（2）已知关于x 的方程x 2+2ax ＝0是“差根方程”，求a 的值；（3）若关于x 的方程ax 2+bx +1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）是“差根方程”，请探索a 与b 之间的数量关系式．【分析】（1）据“差根方程”定义判断即可；（2）根据x 2+2ax ＝0是“差根方程”，且x 1＝0，x 2＝﹣2a 得到2a ＝±1，从而得到a ＝±12；（3）设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）的两个实数根，根据根与系数的关系得到√(−b a )2−4⋅1a =1，整理即可得到b 2＝a 2+4a ．【解答】解：（1）①设x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣5＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝4，x 1•x 2＝﹣5，∴|x 1﹣x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√42−4×(−5)=6，∴方程x 2﹣4x ﹣5＝0不是差根方程；②设x 1，x 2是一元二次方程2x 2﹣2√3x +1＝0的两个实数根，∴x 1+x 2=√3，x 1•x 2=12，∴|x 1﹣x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√(√3)2−4×12=1，∴方程2x 2﹣2√3x +1＝0是差根方程；（2）x 2+2ax ＝0，因式分解得：x （x +2a ）＝0，解得：x 1＝0，x 2＝﹣2a ，∵关于x 的方程x 2+2ax ＝0是“差根方程”，∴2a ＝±1，即a ＝±12；（3）设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）的两个实数根，∴x 1+x 2=−b a ，x 1•x 2=1a ，∵关于x 的方程ax 2+bx +1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）是“差根方程”，∴|x 1﹣x 2|＝1，∴|x 1﹣x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1，即√(−b a )2−4⋅1a =1，∴b 2＝a 2+4a ．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键．【变式6-2】（2020秋•石狮市期中）如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t ，则另一根为2t ，因此ax 2+bx +c ＝a （x ﹣t ）（x ﹣2t ）＝ax 2﹣3atx +2t 2a ，所以有b 2−92ac ＝0；我们记“K ＝b 2−92ac ”，即K ＝0时，方程ax 2+bx +c ＝0为倍根方程：下面我们根据所获信息来解决问题：（1）以下为倍根方程的是；（写出序号）①方程x2﹣x﹣2＝0；②x2﹣6x+8＝0；（2）若关于的x方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；（3）若A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，且关于x的一元二次方程x2−√mx+23n＝0是倍根方程，求此倍根方程．【分析】(1)据倍根方程定义判断即可；(2)根据（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，且x1＝2，x2=−nm得到m＝﹣n或m=−14n，从而得到m+n＝0，4m+n＝0，进而得到4m2+5mn+n2＝0；(3)设其中一根为t，则另一个根为2t，据此知ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，从而得倍根方程满足b2−92ac＝0，据此求解可得．【解答】解：(1)①x2﹣x﹣2＝0，（x+1）（x﹣2）＝0，x1＝﹣1，x2＝2，∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；②x2﹣6x+8＝0，（x﹣2)(x﹣4)＝0,x1＝2，x2＝4，∴方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程；故答案为②；（2）mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0，因式分解得：（x﹣2）（mx+n）＝0，解得：x1＝2，x2=−n m，∵方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，∴2=−2nm或4=−nm，即m＝﹣n或m=−14n，∴m+n＝0或4m+n＝0；∵4m2+5mn+n2＝（4m+n）（m+n）＝0；（3）设其中一根为t ，则另一个根为2t ，则ax 2+bx +c ＝a （x ﹣t ）（x ﹣2t ）＝ax 2﹣3atx +2t 2a ，∴b 2−92ac ＝0，∵x 2−√mx +23n ＝0是倍根方程，∴（−√m ）2−92×2×23n ＝0，整理，得：m ＝3n ，∵A （m ，n ）在一次函数y ＝3x ﹣8的图象上，∴n ＝3m ﹣8，∴n ＝1，m ＝3，∴此倍根方程为x 2−√3x +23=0．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，一次函数图像上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．【变式6-3】（2020秋•台儿庄区期中）阅读理解：材料一：若三个非零实数x ，y ，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x ，y ，z 构成“和谐三数组”．材料二：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根分别为x 1，x 2，则有x 1+x 2=−b a ，x 1⋅x 2=c a ．问题解决：（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数；（2）若x 1，x 2是关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ，b ，c 均不为0）的两根，x 3是关于x 的方程bx +c ＝0（b ，c 均不为0）的解．求证：x 1，x 2，x 3可以构成“和谐三数组”.【分析】（1）根据“和谐三数组”写成一组即可得出结论；（2）先根据材料2，得出1x 1+1x 2=−b c ，再求出一元一次方程的解，进而得出1x 3=−b c ，即可得出结论．【解答】解：（1）∵12+13=56， ∴65，2，3是“和谐三数组”；故答案为：65，2，3（答案不唯一）；（2）证明：∵x 1，x 2是关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0 （a ，b ，c 均不为0）的两根，∴x 1+x 2=−b a ，x 1⋅x 2=c a ，∴1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1⋅x 2=−b a c a =−b c ， ∵x 3是关于x 的方程bx +c ＝0（b ，c 均不为0）的解，∴x 3=−c b ，∴1x 3=−b c ， ∴1x 1+1x 2=1x 3，∴x 1，x 2，x 3可以构成“和谐三数组”．【点评】此题主要考查了新定义的理解和运用，一元二次方程根与系数的关系，一元一次方程的解，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．。

2.5 一元二次方程的根与系数的关系北师大版九年级上册教学课件

x1·x2 =
c a
引申：1. 若 ax2 bx c 0 (a 0 0)
（1）若两根互为相反数，则b0；
（二2）、若两合根互作为倒交数，流则a，c；探究新知
（3）若一根为0，则c0 ；
（4）若一根为1，则abc0 ；
（5）若一根为1，则abc0；
（6）若a、c异号，方程一定有两个实数根.
判别式定理一、复习回顾
当b2-4ac＞0时,方程有两个不相等的实数根
当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根
当b2-4ac＜0时,方程没有实数根
当b2-4ac≥0时,方程有两个实数根
判别式逆定理
一、复习回顾若方程有两个不相等的实数根,则b2-4ac＞0
若方程有两个相等的实数根,则b2-4ac=0
一正根，
两个正根
两个负根
一负根二、合作交流，探究新知
{ △＞0 X1X2＜0
△≥0
{ X1X2＞0 X1+X2＞0
△≥0
{ X1X2＞0 X1+X2＜0
例1 已知方程 x2 kx k 2 0 的两个实数根是 x1, x2 且x12 x22 4
求 k 的值.
三、运用新知解：由根与系数的关系得
解得：k=4 或k=－2
x1+x2=-k， x1×x2=k+2 又 x12+ x2 2 = 4 即(x1+ x2)2 -2x1x2=4 k2- 2(k+2）=4
k2-2k-8=0
∵ห้องสมุดไป่ตู้△= k2-4k-8 当k=4时， △＜0 当k=-2时，△＞0 ∴ k=-2
例2 方程 mx 2 2mx m 1 0(m 0) 有一个正根，一个负

2.5一元二次方程的根与系数的关系-九年级上册初三数学(北师大版)

4.总结回顾环节，我发现部分学生对于一元二次方程根与系数关系的掌握程度仍有待提高。在今后的教学中，我会加强对于这一知识点的巩固练习，确保学生能够熟练掌握。
5.课堂氛围较为活跃，学生提问积极性较高，这说明他们在课堂上愿意思考、探究。作为老师，我要继续保持这种良好的课堂氛围，鼓励学生提问，培养他们的质疑精神。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的根与系数关系的基本概念。一元二次方程的根与系数关系是指方程的三个系数a、b、c与其根x1、x2之间的数学关系。这个关系在解决实际问题中起着关键作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何通过已知的根来求解方程的系数，以及如何利用系数关系来解决实际问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的根与系数关系的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这个知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学中，我重点关注了一元二次方程的根与系数关系这一章节。通过引入日常生活中的问题，我希望能够激发学生的兴趣，帮助他们理解数学与实际的联系。在授课过程中，我发现以下几点值得反思：
1.学生对于根的判别式Δ的理解存在困难。在讲解这一部分时，我应该更加形象地使用抛物线图像来帮助学生理解Δ值与方程根的关系。今后，我可以在课堂上增加更多直观的示例，以加深学生的理解。
2.教学难点
-理解根的判别式Δ的含义及其与方程根的关系。

秋北师大版九年级数学上册习题课件：2.5 一元二次方程的根与系数的关系(共22张PPT)

(2)(x＋1)2＝4x(x－1)．解：整理得：3x2－6x－1＝0， x1＋x2＝2, x1x2＝－13.
4. 若关于 x 的一元二次方程 x2－4x＋k－3＝0 的两个实数根为 x1，x2，且满足 x1＝3x2，试求出方程的两个实数根及 k 的值．
解：x1＝3，x2＝1，k＝6.
5. (2017·南充)已知关于 x 的一元二次方程 x2－(m －3)x－m＝0.
◎基础训练
1. (2017·烟台)若 x1，x2 是方程 x2－2mx＋m2－m－
1＝0 的两个根，且 x1＋x2＝1－x1x2，则 m 的值为( D )
A．－1 或 2
B．1 或－2
C．－2
D．1
【解析】由题意，x1＋x2＝2m，x1x2＝m2－m－1， ∵x1＋x2＝1－x1x2，∴2m＝1－(m2－m－1)，解得
7. 若两个不等实数 m、n 满足条件：m2－2m－k＝0， n2－2n－k＝0.
(1)求 k 的取值范围； (2)若 m2＋n2 的值是 6，求 k 的值．
解：(1)由已知得 m、n 分别是方程 x2－2x－k＝0 不
相等的实数根，Δ＝4＋4k>0，得：k>－1.
(2)由 m＋n＝2，mn＝－k， m2＋n2＝(m＋n)2－2mn，得 4＋2k＝6, 解得 k＝1.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/122021/9/122021/9/122021/9/129/12/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月12日星期日2021/9/122021/9/122021/9/12 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/122021/9/122021/9/129/12/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/122021/9/12September 12, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/122021/9/122021/9/122021/9/12

2.5+一元二次方程的根与系数的关系+(课件)2024—2025学年北师大版数学九年级上册

1.一元二次方程根与系数的关系是什么？
如果方程x2+px+q=0的两根是X1，X2，那么 X1+X2= -p,X1X2= q . 2、熟练掌握根与系数的关系； 3、灵活运用根与系数关系解决问题.
课后作业：基础题
5、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2，不解方程，求：
（1）
;（2) ;(3)
1、已知方程是 ,且
的两个实数根 ,求k的值.
2、方程
பைடு நூலகம்
有一个正根，
一个负根，求m的取值范围。
谢谢！
一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦达”发现的,所以我们又称之为韦达定理.
归类探究
类型之一利用根与系数的关系求方程的两根的和与积
例1： A
类型之二：利用根与系数的关系求与方程两根有关的代数式的值
例2：
另外几种常见的求值:
类型之三:利用根与系数的关系解决已知一根求另一根的问题例3:已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，求方程的另一个根．
一元二次方程的根与系数的关系
根据所填写的表格，你能发现x1 + x2， x1x2与方程的系数有什么关系？
在使用根与系数的关系时，应注意： ⑴不是一般式的要先化成一般式； ⑵在使用X1+X2= 时，注意“－ ”不要漏写。
注：能用公式的前提条件为△=b2-4ac≥0
如果方程x2+px+q=0的两根是X1,X2，那么 X1+X2=-p, X1X2= q.
能力提升
3、方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满
足x1＋x2＝x1x2，则m的值是 (
)
A．－2或3

2.5一元二次方程的根与系数的关系北师大版课件

则 x1+x2=
c x 1· x 2= a
b a
注：能用韦达定理的前提条件为△≥0
韦达（1540－1603）
△=
韦达定理的作用：
作用1：验根：
判定两个数是不是方程的两个根。
1 2
3
作用2：求两根之和与两根之积： 1、x2-2x-1=0
x1+x2=2 x1x2=-1 1 3 1 2 2、2x -3x+ 2 =0 x1+x2= x1x2=
2 =-2+( 3 2
)+1= 5
2
6关于x的方程X² -(2m+1)x+m=0 的两根之和与两根之积相等，则
m=___________
（7）一元二次方程x² +5x+k=0 的两实根之差是3，则k=——
1、当k为何值时，方程:
2 2x -(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由韦达定理得x1+x2= ∴(
两个根恰好等于斜边为5的直角三角形
的两条直角边的长,求实数k的值.
灵感
智慧
2.已知关于x的方程kx2+(2k-1)x+k-1=0
(k为整数) ①只有整数根,且关于y的一
元二次方程(k-1)y2-3y+m=0 ②有两个实
数根y1和y2,试确定k的值.
3.已知α，β是 2 方程x +2x-5=0的实数根，求 2 α +αβ+2α的值。
观察、思考两根和、两根积与系数的关系。

北师大版九年级数学上册《一元二次方程——一元二次方程的根与系数的关系》教学PPT课件(2篇)

（3）3x2- 2 3 x+1=0
（4）x2-4x-8=0 △ > 0
△=0
x1+x2= 2 33 ，x1x2 =
1 3
.
x1= x2=
3 3
x1+x2= 4，x1x2 =-8 . x1= 2 + 2 3 x2= 2 - 2 3
3. 已知方程 5x2+kx-6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根两根Fra bibliotek和或积问题
方法
求方程中字母根据已知条件并借助根与系数的关系列出关于
系数的值
字母的方程或不等式
求方程
逆用根与系数的关系确定一次项系数及常数项
解：∵x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，∴x1＋x2 ＝1，
x1x2＝－53. x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝12＋2×53＝133.
例2 已知 x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
(2)x11＋x12.
【思路点拨】根据异分母分式的加法法则进行变形处理，代入求值．
解：（1）△ > 0
x1+x2=
7 12
，x1x2
=
1 12
.
x1=
1 3
x2=
1 4
（2）△ > 0
x1+x2=
5 4
，x1x2 =
3 8
.
x1=
1 4
x2=
3 2
2. 解下列方程：【选自教材P51 习题2.8】（1）12x2+7x+1 = 0；（2）0.8x2 + x = 0.3.
（3）3x2+1= 2 3 x；（4）(x+1)(x-3) = 2x+5.