第06章 信号的时频分析2——小波变换
小波变换的时间频率分布特性分析与应用
小波变换的时间频率分布特性分析与应用小波变换是一种在信号处理领域广泛应用的数学工具，它可以将信号分解成不同频率的成分，并且能够提供信号在时间和频率上的局部信息。
本文将探讨小波变换的时间频率分布特性分析与应用。
一、小波变换的基本原理小波变换是一种基于多尺度分析的信号处理方法。
它使用一组基函数，称为小波函数，来分析信号的时间和频率特性。
小波函数具有时频局部化的特点，即在时间和频率上具有较好的局部集中性。
二、小波变换的时间频率分布特性小波变换可以提供信号在时间和频率上的局部信息。
通过小波变换，我们可以得到信号在不同时间和频率上的能量分布情况。
这种时间频率分布特性可以帮助我们更好地理解信号的时频特性，从而进行进一步的信号分析和处理。
三、小波变换的应用领域1. 信号处理：小波变换在信号处理领域有着广泛的应用。
例如，通过小波变换可以将信号分解成不同频率的成分，从而实现信号去噪、信号压缩等处理操作。
2. 图像处理：小波变换在图像处理中也有着重要的应用。
通过小波变换可以将图像分解成不同频率的子图像，从而实现图像的局部分析和特征提取。
3. 生物医学信号处理：小波变换在生物医学信号处理中有着广泛的应用。
例如，通过小波变换可以对心电图、脑电图等生物医学信号进行时频分析，从而实现疾病的诊断和监测。
4. 语音信号处理：小波变换在语音信号处理中也有着重要的应用。
通过小波变换可以对语音信号进行时频分析，从而实现语音识别、语音合成等处理操作。
四、小波变换的优缺点小波变换作为一种信号处理方法，具有一些优点和缺点。
其优点包括：时频局部化、多尺度分析、适应非平稳信号等；其缺点包括：计算复杂度高、基函数的选择问题等。
五、小波变换的改进方法为了克服小波变换的一些缺点，研究者们提出了一些改进方法。
例如，小波包变换、多小波变换等方法都是对传统小波变换的改进和扩展。
六、结语小波变换作为一种时间频率分析方法，在信号处理领域有着广泛的应用。
通过分析小波变换的时间频率分布特性，我们可以更好地理解信号的时频特性，并且可以应用于信号处理、图像处理、生物医学信号处理、语音信号处理等领域。
一看就懂的小波变换ppt
8
8
[32.5,0, 0.5,0.5,31,-29,27,-25]
Haar小波反变换：
1 1 1 0 1 0 0 0 32.5 64
1
1
1
0 -1
0
0
0
0
2
1 1 -1 0 0 1 0 0 0.5 3
1 1 -1 1 -1 0
0 1
0 -1 00
0 1
0 0
0.5
31
61 60
傅立叶变换： Of M log2 M
小波变换：
Ow M
设有信号f(t):
其傅里叶变
换为F(jΩ):
即：
f (t) 1 F ( j)e jtd
2
பைடு நூலகம் =
1
0. 8
0. 6
0. 4
0. 2
0 -0. 2 -0. 4 -0. 6
Ψ（t）
-0. 8
-1 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
+
1
0. 8
0. 6
二维金字塔分解算法
令I(x,y)表达大小为M N旳原始图像，l(i)表达相对于分析
小波旳低通滤波器系数，i=0,1,2,…,Nl-1， Nl表达滤波器L旳 支撑长度； h(i)表达相对于分析小波旳高通滤波器系数，
i=0,1,2,…,Nh-1， Nh表达滤波器H旳支撑长度，则
IL x,
y
1 Nl
1.2 二维小波变换（二维多尺度分析）
二维小波变换是由一维小波变换扩展而来旳，二维尺度 函数和二维小波函数可由一维尺度函数和小波函数张量 积得到，即：
第二章 时频分析与连续小波变换 ppt课件
定理及傅里叶变换的性
质）
再根据 Schwarz 不等式，有：
2 t
2
1 * (t ) dt ]2
1 f4
t [ f '(t) f *(t) 2
f
'*
(t)
f
(t )]dt
2
4
1 f
4
t(
f
(t
)
2
)
'
dt
2
1 / 4( 考虑到
lim
t
t f (t ) 0 , 再由分部积分
x(n)X(ej)
离散、非连 周续 期、周
信号时域和频域特性之间关系：
本课程中傅里叶变换的记号:
fˆ()
f
(t)eit dt
f (t) 1 fˆ()eitd
2
连续时间傅里叶变换性质
f ( t ) F fˆ
f 1 * f 2 ( t ) F fˆ1 fˆ 2
kN
kN
ak
1 x[n]ejk0n1 x[n]ejk(2/N)n
NnN
NnN
四种傅里叶变换的关系:
连 续 时 间 傅 立 叶 级 数 C F S
x(t) Ak
连续、周 离期 散、非周期
离 散 时 间 傅 立 叶 级 数 D F S
x(n) Ak
An
1 N
x(k)
离 散 、 周 期 离 散 、 周 期
Heisenberg测不准原理结论
t22
1 4
当且仅f当 (t) aeb(tu)2eit时等号成立
证明（ Weyl ）：假定 lim t f (t ) 0 , 不失一般性，只证明该
t
定理对 u 0时成立。
小波变换入门.ppt
f f
(2 j , x, (2 j , x,
y)
y)
2
j
x
y
f f
(x, (x,
y) y)
a a
(x, (x,
y)
y)
2
j
grad
f
(x,
y)
a
(x,
y)
37/103
整个图像的二进小波变换即矢量：
W (1) f (2 j , x, y)
T
W
(
T
2)
f
(2
j,
x,
y)
WT
f
(2
j,
x,
尺度空间的递归嵌套关系： 0 V1 V0 V1 L2 R
小波空间 W是j 和V j 之V间j1 的差，即 时丢V 失j 的信息V j。1 推出：
V0 W0 W1 Wj V j1
V0
Vj，它Wj 捕 V捉j1 由 逼近
V j1
L2 R
V j1
Vj
多分辨率的空间关系图
19/103
两尺度方程
1 ( x, y)
(x) (y)
2 ( x, y)
(x)(y)
3 ( x, y)
(x) (y)
与 (x, y)一起就建立了二维小波变换的基础。
26/103
图像的小波变换实现
1. 正变换 图像小波分解的正变换可以依据二维小波变换按如 下方式扩展，在变换的每一层次，图像都被分解 为4个四分之一大小的图像。
线性
设： xt g t ht
WTx a,b WTg a,b WTh a,b 平移不变性
若 xt WTx a,b，则 xt WTx a,b
伸缩共变性
《小波变换》课件
离散小波变换
定义
离散小波变换是对连续小波变换 的离散化，即将时间和频率轴进 行离散化，使小波变换能够应用 于数字信号处理。
原理
离散小波变换通过将信号进行离 散化，将连续的小波变换转换为 离散的运算，从而能够方便地应 用于数字信号处理系统。
应用
离散小波变换在图像压缩、数字 水印、音频处理等领域有广泛应 用，能够提供较好的压缩效果和 数据隐藏能力。
小波变换的应用拓展
图像处理
研究小波变换在图像压缩、去噪、增强等方面的应用，提高图像 处理的效果和效率。
语音信号处理
将小波变换应用于语音信号的降噪、特征提取等方面，提高语音 识别的准确率。
医学成像
利用小波变换对医学成像数据进行处理，提高医学影像的质量和 诊断准确率。
小波变换的算法优化
快速小波变换算法
《小波变换》ppt课 件 (2)
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 小波变换概述 • 小波变换的基本原理 • 小波变换的算法实现 • 小波变换在图像处理中的应用 • 小波变换的未来发展与挑战
01
小波变换概述
小波变换的定义
小波变换是一种数学分析方法，它通 过小波基函数的平移和伸缩，将信号 分解成不同频率和时间尺度的分量。
提供较好的特征提取和分类能力。
01
小波变换的算法实 现
常用的小波基函数
Haar小波
Daubechies小波
是最简单的小波，具有快速变换的特性， 但缺乏连续性和平滑性。
具有紧支撑性和良好的数学特性，广泛应 用于信号处理和图像处理。
Morlet小波
具有振荡性，适用于分析非平稳信号。
第六章小波分析基础ppt课件
由母小波按如下方式的伸缩平移可构成L2(R)空间的标准正交基
j
j,k (t) 2 2 (2 j t k)，j, k Z，t R
(3.1)
如何构造母小波呢？1989年，Mallat和Meyer提出了按多分辨分析 的思想来构造母小波，其基本思想是：
现构造一个具有特定性质的层层嵌套的闭子空间序列{Vj}jZ， 这个闭子空间序列充满了整个L2(R)空间。 在V0子空间找一个函数g(t)，其平移{g(t-k)}k Z构成V0子空间的 Riesz基。
如图1所示的LENA图像f(x,y)，假设图像的大小是512x512，量 化级是256，即
0 f (x, y) 255 0 x, y 511
y
x
2、L2(R)空间的正交分解和变换[1] 对 f(t)L2(R) ， 存 在 L2(R) 的 一 组 标 准 正 交 基 gi(t) ， t R ，
一、认识小波
1、预备知识 从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本单元，
是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数，这样认识小波 需要L2(R) 空间的基础知识，特别是内积空间中空间分解、函数 变换等的基础知识。
从信号处理的角度讲，小波(变换)是强有力的时频分析(处理) 工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的，所以从信 号处理的角度认识小波，需要傅立叶变换、傅立叶级数、滤波器 等的基础知识。
小波变换有效地克服了傅立叶变换的这一缺点，信号变换到 小波域后，小波不仅能检测到高音与低音，而且还能将高音 与低音发生的位置与原始信号相对应，如图所示。
例2、信号逼近：如图(a)和(b)是原始信号，其余的是逼近信号。
因此我们需要这样一个数学工具：既能在时域很好地刻画信号的局部性，
信号的时频分析与小波分析
其受序列x的长度限制，且必须为正整
数。
实验六 信号的时频分析与小波分析
(4) 离散小波反变换函数idwt实现一维信号单级离散小波反变换，小波 名称以及DWT延拓模式都可以设定。其是函数dwt的逆运算，调用格式为：
x = idwt(cA, cD, 'wname') x = idwt(cA, cD, 'wname',L)
返回变量XD：表示由噪声信号x的DWT经过阈值去噪后得到的信号； 返回变量CXD与LXD：表示信号XD的小波变换，即
[CXD, LXD] = wavedec(XD, N, ‘wname’) 调用参数TPTR：表示阈值规则，主要有'rigrsure', 'heursure', 'sqtwolog', 'minimaxi'规则 调用参数SORH：表示是soft阈值(‘s’)还是hard阈值(‘h’) 调用参数SCAL：表示是否需要设置多重阈值 调用参数N：表示信号离散小波变换的级数，为正整数。
与10 小波分析 0
-10 0
10
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 De-noisedsignal-SoftSURE
0
-10 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
实验思考 题
DFT、STFT和小波分析的实质是什 么？有何区别和联系？
lev=5;
% 利用soft SURE阈值规则去噪
xd1= wden(xn, 'heursure', 's', 'one', lev, 'sym8');
信号的时频分析与小波分析PPT
其调用格式为： [cA,cD] = dwt(x, 'wname') [cA,cD] = dwt(x, 'wname', 'mode', MODE) 返回变量cA：信号DWT对应的近似(Approximation)展开系数 cJ [k ] 返回变量cD：信号离散小波变换对应的细节(Detail)展开系数 d J [k] 调用参数x：表示信号序列，相当于 cJ1[k] 调用参数wname：表示小波名称，参见函数wfilters 调用参数MODE：表示信号DWT延拓模式。
[CXD, LXD] = wavedec(XD, N, ‘wname’) 调用参数TPTR：表示阈值规则，主要有'rigrsure', 'heursure', 'sqtwolog', 'minimaxi'规则 调用参数SORH：表示是soft阈值(‘s’)还是hard阈值(‘h’) 调用参数SCAL：表示是否需要设置多重阈值 调用参数N：表示信号离散小波变换的级数，为正整数。
8
实验六 信号的时频分析与小波分析
(6) 函数wden实现一维信号的去噪，小波名称以及阈值都可以设定。 调用格式为
[XD, CXD, LXD] = wden(x, TPTR, SORH, SCAL, N, 'wname') [XD, CXD, LXD] = wden(C, L, TPTR, SORH, SCAL, N, 'wname') 返回变量XD：表示由噪声信号x的DWT经过阈值去噪后得到的信号； 返回变量CXD与LXD：表示信号XD的小波变换，即
小波变换简介PPT课件
47
X = waverec2(C,S,'wname')
reconstructs the matrix X based on the multi-level wavelet decomposition structure [C,S]
从小波和正弦波的形状可以看出，变化剧烈的信号， 用不规则的小波进行分析比用平滑的正弦波更好， 即用小波更能描述信号的局部特征。
18
连续小波基函数
将小波母函数 进行伸缩和平移后得到 函数
a,b(t)a1 2(t ab),a0,bR
称该函数为依赖于参数a,τ的 小波基函数。a 为尺度因子，b为位移因子 。
39
小波重构
重构概念
把分解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构 (wavelet reconstruction)或合成(synthesis)，数学上叫做 逆离散小波变换(inverse discrete wavelet transform， IDWT)
两个过程
在使用滤波器做小波变换时包含滤波和降采样 (downsampling)两个过程，在小波重构时也包含升采 样(upsampling)和滤波两个过程。
Wavevlet “dB1”二级分解
水平细节分量cH
近似分量cA 垂直细节分量cV 对角细节分量cD
[C,S] = wavedec2(X,N,'wname')
returns the wavelet decomposition of the matrix X at level N, using the wavelet named in string 'wname‘. Outputs are the decomposition vector C and the corresponding bookkeeping matrix S.
小波变换课件
小波变换的基本思想是将信号分 解成一系列的小波函数，每个小 波函数都有自己的频率和时间尺
度。
小波变换通过平移和缩放小波函 数，能够适应不同的频率和时间 尺度，从而实现对信号的精细分
析。
小波变换的特点
01
02
03
多尺度分析
小波变换能够同时分析信 号在不同频率和时间尺度 上的特性，提供更全面的 信号信息。
图像去噪
利用小波变换去除图像中的噪声，提高图像的清晰度和质 量。
在小波变换中，噪声通常表现为高频系数较大的值，通过 设置阈值去除这些高频系数，可以达到去噪的效果。去噪 后的图像能够更好地反映原始图像的特征和细节。
图像增强
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
利用小波变换增强图像的某些特征，突出显示或改善图像的某些部分。
通过调整小波变换后的系数，可以增强图像的边缘、纹理等特定特征。这种增强 方式能够突出显示图像中的重要信息，提高图像的可读性和识别效果。
在信号处理、图像处理、语音识别等 领域有广泛应用。
特点
能够同时分析信号的时域和频域特性 ，具有灵活的时频窗口和多分辨率分 析能力。
离散小波变换
定义
离散小波变换是对连续小波变换 的离散化，通过对小波函数的离 散化处理，实现对信号的近似和
细节分析。
特点
计算效率高，适合于数字信号处理 和计算机实现。
应用
在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有广泛应用，如语音压缩、图像压缩 、数据挖掘等。
CHAPTER 04
小波变换在图像处理中的应用
图像压缩
利用小波变换对图像进行压缩，减少存储空间和传输带宽的 需求。
通过小波变换将图像分解为不同频率的子带，去除高频细节 ，保留低频信息，从而实现图像压缩。压缩后的图像可以通 过逆小波变换重新构造，保持图像质量的同时减小数据量。
小波变换原理与应用ppt课件
信号的时域表示和频域表示只适用于平稳信号，对于
非平稳信号而言，在时间域各种时间统计量会随着时 间的变化而变化，失去统计意义；而在频率域，由于 非平稳信号频谱结构随时间的变化而变化导致谱值失 去意义
幅度 A |Y(f)|
信 号 x(t)的 时 域 波 形 1
0.5
0
-0.5
2
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
1.小波的发展历史——工程到数学
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程 师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信 号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能 得到数学家的认可。幸运的是，1986年著名数学家 Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat 合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后 ，小波分析才开始蓬勃发展起来。
1.小波的发展历史——工程到数学
1909: Alfred Haar——发现了Haar小波 1980：Morlet——Morlet小波，并分别与20世纪70年代提
出了小波变换的概念，20世纪80年代开发出了连续小 波变换CWT（ continuous wavelet transform ） 1986：Y.Meyer——提出了第一个正交小波Meyer小波 1988： Stephane Mallat——Mallat快速算法（塔式分解和 重构算法）
Rx(t1,t2)ExE(t)x(t1)x ( tx2)f(x)dRxx()m,x t2 t1
Ex2(t)
非平稳信号 不满足平稳性条件至少是宽平稳条件的信号
小波变换的几个典型应用
第六章 小波变换的几个典型应用6.1 小波变换与信号处理小波变换作为信号处理的一种手段，逐渐被越来越多领域的理论工作者和工程技术人员所重视和应用，并在许多应用中取得了显著的效果。
同传统的处理方法相比，小波变换取得了质的飞跃，在信号处理方面具有更大的优势。
比如小波变换可以用于电力负载信号的分析与处理，用于语音信号的分析、变换和综合，还可以检测噪声中的未知瞬态信号。
本部分将举例说明。
6.1.1 小波变换在信号分析中的应用[例6-1] 以含躁的三角波与正弦波的组合信号为例具体说如何利用小波分析来分析信号。
已知信号的表达式为For personal use only in study and research; not for commercial use⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤++-≤≤++-=1000501)()3.0sin(50010005001)()3.0sin(5001)(t t b t t t t b t t t s应用db5小波对该信号进行7层分解。
xiaobo0601.m1002003004005006007008009001000-4-3-2-10123456样本序号 n幅值 A图6-1含躁的三角波与正弦波混合信号波形分析：（1） 在图6－2中，逼近信号a7是一个三角波。
（2） 在图6－3中细节信号d1和d2是与噪声相关的，而d3（特别是d4）与正弦信号相关。
01002003004005006007008009001000-101a 701002003004005006007008009001000-202a 601002003004005006007008009001000-202a 501002003004005006007008009001000-202a 401002003004005006007008009001000-505a 301002003004005006007008009001000-505a 2010*******4005006007008009001000-505a 1样本序号 n图6-2 小波分解后各层逼近信号01002003004005006007008009001000-101d 701002003004005006007008009001000-101d 601002003004005006007008009001000-101d 501002003004005006007008009001000-202d 401002003004005006007008009001000-202d 301002003004005006007008009001000-202d 2010*******4005006007008009001000-505d 1样本序号 n图6-3 小波分解后各层细节信号6.1.2 小波变换在信号降躁和压缩中的应用一、信号降躁1．工程中，有用信号一般是一些比较平稳的信号，噪声通常表现为高频信号。
小波变换在信号分析中的应用
小波变换在信号分析中的应用小波变换是一种广泛应用于信号分析的数学工具，它能够提供有关信号的时域和频域信息，具有优秀的时频分辨能力。
在信号处理领域，小波变换被广泛应用于音频、图像、视频处理以及生物医学、金融市场分析等诸多领域。
一、小波变换的基本概念及原理：小波变换是一种基于窗函数的信号分析方法。
与傅里叶变换相比，小波变换具有更好的局部性质。
傅里叶变换将信号分解为全局频域信息，而小波变换将信号分解为时域和频域的局部信息。
这种局部性质使得小波变换在信号分析中具有更强的时频定位能力。
小波变换的核心思想是通过选取适当的母小波函数，将信号分解成一系列不同尺度和不同位置的小波基函数的线性叠加。
小波基函数是通过母小波在时移、尺度（伸缩）、反射等变换下产生的。
通过对不同频率和时域尺度的小波基函数进行线性叠加，可以还原原始信号。
二、小波变换在信号分析中的应用：1. 信号压缩和去噪：小波变换能够将信号分解成不同频率和时域分辨率的小波系数，便于对不同频段的信号进行分析。
在信号压缩中，可以通过选择适当的小波基函数将信号的高频部分进行舍弃，以达到压缩信号的目的。
而在去噪方面，利用小波变换将信号分解成不同频带，可以提取出信号的主要成分，滤除噪声干扰。
2. 信号特征提取：小波变换还可以用于信号特征提取。
通过选择适当的小波基函数，可以将信号分解成不同频率和时域尺度的小波基函数的线性叠加，得到信号的局部特征。
这对于分析非平稳信号和瞬态信号非常有用，可以通过分析小波系数来获取和描述信号的特征。
3. 时间-频率分析：小波变换为信号的时频分析提供了一种有效的方法。
传统的频谱分析方法（如短时傅里叶变换）无法提供较好的时域和频域分辨率，在分析非平稳信号时效果较差。
而小波变换具有更好的时频局部性，能够提供精确的时域和频域信息，因此在时间-频率分析中得到广泛应用。
三、小波变换的应用案例：1. 声音信号分析：小波变换在音频处理中有着广泛的应用。
通过对音频信号进行小波变换，可以提取出每个时间段内不同频率的能量分布，并用于声音的识别、分类、音频编码等方面。
信号分析的显微镜—小波变换简介
cos(5x)
它的尺度函数不存在，且不具有正交性。
2014年12月5日星期五
北京交通大学光电检测技术研究所
Institute of optoelectronic measurement and control technology, Beijing Jiaotong University
3.2常见的小波 3.2.1 Harr小波函数 Harr函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交 小波函数，同时也是最简单的一个函数。Harr函数的定义 为
1 0 x 1/ 2 H 1 1/ 2 x 1 0 其他
2014年12月5日星期五
北京交通大学光电检测技术研究所
0
1 a 2 W f (a, b)Wg (a, b)dbda C R f (t ) g (t )dt
ˆ ( ) 1 2 2 d 特别地， W ( a , b ) dbda C f ( t ) dt f 2 0 a
2
0
性质5（反演公式） f (t )
Institute of optoelectronic measurement and control technology, Beijing Jiaotong University
尺度和位移的连续变化的连续小波基函数构成了一组非正交 的过渡完全基，小波展开系数之间有相关关系，采用如下描述
Institute of optoelectronic measurement and control technology, Beijing Jiaotong University
3.2.2 Morlet（morl）小波 Morlet函数定义为
小波变换与应用(第六章)
2 2
其中，* 表示卷积。 （ 2 ）尺度因子 a 愈大 , ψ ( t / a ) 愈宽，反之亦然。对于一个 持续时间有限的小波，ψ(t) 与ψab(t) 之间的关系以及不同尺 度a下小波分析区间的变化可用图6-4 表示。
2
fk 随时间 k 变化的情况以及相应的时 -频图分别由图 61(b)和图6-1(c)表示。由图可见，当目标距离越近时，信号频 率随时间的变化速率越快，最需要密切监视目标舰和采取必 要的措施。因此，如果没有很好的方法处理快速变化的信 号，图 6-1(c) 时频曲线中间过渡部分将变得模糊不清。这不 仅无法跟踪（锁定）目标，而且还丧失了检测能力。 由于经典的傅立叶变换仅在频域里有局部分析（频谱的 分布）的能力，而在时域里不存在这种能力（时域波形完全
6.1.2 连续小波分析
设 x(t) 是平方可积函数[即 x(t)∈L2(R)]，ψ(t) 是基本小 波或母小波（mother wavelet）函数，则称
1 WTx (a, b) a t b x(t ) ( a ) d t x(t ), ab (t ) （6.1.2）
*
为 x(t) 的小波变换。式中 a >0, 称为尺度因子；b反映时间位 移，其值可正可负。符号< ·>表示内积，而
[τ-Δt/2 ,τ+Δt/2]、[ω-Δω/2，ω+Δω/2]
其中，Δt 和Δω 分别称为窗口的 时宽和频宽，它们表示时 频分析的分辨力。
2015/11/3 小波分析与应用
x(t)
w(t-τ)
ω
STFT
O
t
小波变换课件 第6章 连续小波变换
第6章 连续小波变换6.1 小波及连续小波变换● 定义6.1 设函数12()()()t L R L R ψ∈ ，并且ˆ(0)0ψ=，既()0t dtψ+∞-∞=⎰，则称为一个基本小波或母小波。
对母小波()t ψ做伸缩平移得,()a b t b t a ψ-⎛⎫=⎪⎝⎭（6-1） 称为,()a b t ψ小波函数，简称小波。
其中0a ≠,b 、t 均为连续变量：1） a 为尺度因子，b 为平移因子。
变量a 反映了函数的宽度，b 反映了小波在t 轴上的平移位置，小波函数,()a b t ψ是基本小波函数()t ψ先b 做移位再由a 做伸缩，,a b 不断变化产生的一组函数，又称作小波基函数，或小波基。
2） 母小波的能量集中在原点，小波函数,()a b t ψ的能量集中在b 点。
3）一般，尺度因子0a >，作用是使小波()t ψ做伸缩，a 越大，()t aψ越宽，既小波的持续时间随aa 变化时保持小波,()ab t ψ的能量相等，既2,()a b t ψ2()t ψ=（保范性质）。
● 定义 6.2 设12()()()t L R L R ψ∈ ，且满足条件2ˆ()c d ψψωωω+∞-∞=<∞⎰（6-2） 则称()t ψ为允许小波，上式为允许条件。
由c ψ<+∞知，ˆ(0)0ψ=，既()0t dt ψ+∞-∞=⎰，因此允许小波一定是基本小波；反之，若()t ψ满足1()(1)(0)t c t εψε--≤+>，且ˆ(0)0ψ=，其中c 是一个常数，则式（6-2）成立。
这表明允许条件与()0t dt ψ+∞-∞=⎰几乎是等价的。
从小波的定义知，小波要求由振荡性，既包含着某些频率特征，还要求具有一定的局部性，既它在一定的区间上恒等于零或很快收敛到零。
● 设()t ψ是一个基本小波，,()b a t ψ是连续小波函数，对于()f t 2()L R ∈，其连续小波变换定义为(,)f WT ab ()*t b f t dt a ψ+∞-∞-⎛⎫=⎪⎝⎭,,a b f ψ= （6-3）其中，0a ≠,b 、t 均为连续变量，*()t ψ表示()t ψ的共轭。
小波变换在时频分析中的应用
小波变换在时频分析中的应用时频分析是一种用于研究信号在时间和频率上的变化特征的方法。
它通过将信号分解成不同频率的成分，并观察它们随时间的变化，可以揭示信号中隐藏的特征和模式。
而小波变换作为一种强大的数学工具，已经被广泛应用于时频分析领域。
小波变换是一种基于波形包络的分析方法，它将信号分解成不同尺度的小波函数，通过观察小波系数的变化来分析信号的时频特征。
与傅里叶变换相比，小波变换具有更好的时频局部性，能够更准确地描述信号的瞬时特征。
在时频分析中，小波变换可以用于信号的平滑和去噪。
通过选择适当的小波基函数，可以将信号分解成不同频率的成分，从而实现对信号的频率域滤波。
与传统的低通、高通滤波器相比，小波变换可以更精确地选择滤波频带，避免了频谱混叠等问题。
此外，小波变换还可以用于信号的时频分析。
通过观察小波系数在时间和频率上的变化，可以获得信号的瞬时频率和能量分布。
这对于分析非平稳信号和瞬态信号具有重要意义。
例如，在语音信号处理中，小波变换可以用于分析音频信号的语调和音色特征，从而实现语音识别和语音合成等应用。
此外，小波变换还可以用于图像处理中的时频分析。
通过对图像进行小波变换，可以获得图像在不同频率和尺度上的能量分布，从而实现图像的纹理分析、边缘检测和图像压缩等应用。
小波变换在图像处理中的应用已经成为一个独立的研究领域，涉及到许多重要的技术和算法。
除了上述应用外，小波变换还可以用于信号的压缩和编码。
通过选择适当的小波基函数和阈值处理方法，可以将信号的冗余信息去除，实现信号的高效压缩。
这对于大数据处理和通信系统设计具有重要意义。
综上所述，小波变换作为一种强大的时频分析工具，已经在许多领域得到了广泛应用。
它不仅可以用于信号的平滑和去噪，还可以用于信号的时频分析、图像处理和信号的压缩编码。
随着科学技术的不断进步，小波变换在时频分析中的应用将会越来越广泛，为我们揭示更多信号的隐藏特征和模式。
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§6.4.2 小波变换的基本理念
24
§6.4.2 小波变换的基本理念
25
§6.4.2 小波变换的基本理念
(1) 选择一个小波函数，并将这个小波与要分析的信号起始 点对齐； (2) 计算在这一时刻要分析的信号与小波函数的逼近程度， 即计算小波变换系数C，C越大，就意味着此刻信号与所选择 的小波函数波形越相近，如图所示。
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§6.4.1 函数的表示方法
傅立叶变换的几个基函数
短时傅立叶变换的几个基函数
小波变换的几个基函数
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§6.4.1 函数的表示方法
FT、STFT、WT之比较
20
§6.4.2 小波变换的基本理念
“小波”就是小的波形。所谓“小”是指局部非零，波形 具有衰减性；“波”则是指它具有波动性，包含有频率的特 性。 2 1 定义：设 L L 且 ( 0 ) 0 ，即给定一个基本函数 ( t ) ， 通过伸缩 a 和平移 b 产生一个函数族：
30
§6.4.2 小波变换的基本理念
如果小波函数 t 的傅立叶变换 ( ) 满足容许条件
c
ˆ d
2
则小波变换是可逆的，且具有如下重构公式（小波反变换）
1 x t C
t b dadb {WT x ( b , a )}.{ ( )} 2 a a a R2 1
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§6.4.3 基函数类型及其比较分析
(1) 时间-尺度图
35
§6.4.3 基函数类型及其比较分析
(1)时间-尺度图
W f ( a, b)
|a|
1
xb f ( x) dx a
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§6.4.3 基函数类型及其比较分析
(2) 几种典型的基函数——Harr小波
Haar小波来自于数学家Haar于1910年提出的Haar正交函数 集，其定义是： (t )
1 (t ) 1 0 0 t 1 / 2 1/ 2 t 1 其它
1/ 2
0
( t 1)
2
( t ) 的傅里叶变换是：
0
(t / 2 )
多 分 辨 率 分 析
3
时频分析回顾
FFT
FFT
FFT
4
时频分析回顾
5
时频分析回顾
短时傅立叶变换(STFT)的概念:
S T F T x ( t , ) x ( ) g * ( t ) e j d x ( ), g ( t ) e j
9
§6.4.1 函数的表示方法
(1) 1807: Joseph Fourier
• 傅立叶变换(Fourier transform)是1807年法国科学家 Joseph Fourier在研究热力学问题时所提出来的一种全新 的数学方法，当时曾受到数学界的嘲笑与抵制，后来却得 到工程技术领域的广泛应用，并成为分析数学的一个分 支——傅立叶分析。 • 傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦和余弦函 数之和，叫做傅立叶展开式。 • 用傅立叶表示一个信号时，只有频率分辨率而没有时间分 辨率，这意味我们可以确定信号中包含的所有频率，但不 能确定这些频率出现在什么时候。
c
（1）紧支性 1 由 L 可知
ˆ d
( t ) dt
即 ( t )具有衰减性。 （2）波动性 由允许性条件可知
(t ) dt 0
即 ( t )均值为0，具有波动性，同时也具有带通性。
它必然具有正负交替的振荡波形，“小波”（Wavelet）由此得名。
换，所以分析结果的精度不够或效果不好。迫切需要一种更好
的时频分析方法。
15
§6.4.1 函数的表示方法
(4) 1980: Morlet提出了CWT
• CWT (continuous wavelet transform)
• 20世纪70年代，当时在法国石油公司工作的年轻的地 球物理学家Jean Morlet提出了小波变换WT(wavelet transform)的概念。 • 20世纪80年代,从STFT开发了CWT：
2
4 2 ( ) j sin ( ) e j / 2 a
0
37
§6.4.3 基函数类型及其比较分析
(2) 几种典型的基函数——Mexican hat小波
2 1/ 4 2 t 2 / 2 (t ) (1 t ) e 3
26
§6.4.2 小波变换的基本理念
(3) 将小波函数沿时间轴向右移动一个单位时间，然后重复步 骤(1)、(2)求出此时的小波变换系数C，直到覆盖完整个信号长 度，如图所示；
27
§6.4.2 小波变换的基本理念
(4) 将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后重复步骤(1)、 (2)、(3)，如图所示；
8
时频分析回顾
苏轼名句“横看成岭侧成峰， 远近高低各不同”蕴涵了信号处 理的本质。从不同的角度观测信 号将会得到不同的信息。只有观 测位置得当，才能看到信号的庐 山真面目。
傅立叶变换、短时傅立叶变
换和小波变换的本质区别就是信 号观测角度和观测方法的不同， 这种不同无疑是以基函数的结构 和特点为标志的。
机械工程与应用电子技术学院
现代测试信号分析与处理 (Advanced Signal Analysis and Processing)
胥永刚/张建宇
北京市先进制造技术重点实验室
Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology
1
讲授提纲
1
2 3 4 5 6
16
§6.4.1 函数的表示方法
但并没有受到学术界的重视。直到1986年法国大数学家 Yves Meyer构造出平方可积空间L2的规范正交基——二进制伸 缩平移系，小波才得到数学界的认可。 1987年正在读硕士的Stephane Mallat将自己熟悉的图像 处理的塔式算法引入小波分析，提出多分辨分析的概念和构造 正交小波的快速算法——Mallat算法。
33
§6.4.2 小波变换的基本理念
生理学研究表明，人类感觉（包括视觉、听觉）的生理过 程机制与小波分析颇有类似之处。举例来说，对听觉起关键作 用的耳蜗内基底膜，其作用就相当于一组建立在薄膜振动基础 上的恒带通频率分析器。正因为如此，小波分析现在已广泛地 应用于语音特征提取、计算机视觉等诸多领域。
12
§6.4.1 函数的表示方法
(3) 1945: Gabor提出STFT
• 虽然基于Fourier变换的频谱分析，在需要信号分析及数据 处理的物理、电子、化学、生物、医学、军事、语音、图 像、视频等众多科学研究与工程技术的广阔领域得到了非 常广泛和深入应用，但对既需要频谱分析又要求时空定位 的应用，如雷达探测、语音识别、图像处理、地震数据分 析等等，Fourier分析技术就显得力不从心了。
6
时频分析回顾
STFT的频率分辨率 f STFT的时间分辨率 t
(f )
2
f G( f ) df G( f ) df
2 2 2
(t )
2
t g (t ) dt g (t ) dt
2 2 2
Ω2 Ω1
G t1 , 1 v
G t 2 , 2 v
g t1 , 1
a下与待分析信号x(t)作内积：
WTx a, 1 t x t dt xt , a , t a a
a0
CWT
镜头 推进 方向
以较高频 率作分析
，
以较低频 率作分析 平移方向
22
§6.4.2 小波变换的基本理念
可见，由于小波基的伸缩和平移，决定了小波变换是多分
10
§6.4.1 函数的表示方法
11
§6.4.1 函数的表示方法
(2) 1910: Alfred Haar发现Haar小波
• 哈尔(Alfred Haar)对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似 的基非常感兴趣。 • 1909年他发现了小波，1910年被命名为Haar wavelets • 他最早发现和使用了小波。
辨的。小波变换既看到了森林（信号概貌），又看到了树木 （信号细节），能精确地在时间-频率（时间-尺度）平面内刻
画非平稳信号的特征，被誉为“数学显微镜”。 尺度因子a与频率相对应，时移因子b与时间对应。 当 a 取大于1的值时，
a,b t 为展宽小波，
当 a 取小于1的值时，
a,b t 为缩窄小波。
0
2
当其经过尺度伸缩后，其品质因数
a ,b
2 ˆ a 2 ˆ 带宽 0 中心频率 a
即带宽与中心频率的比与中心频率的位置无关，这样的 适配带通滤波器称为“常数- Q 滤波”。这样，小波基函数 作为带通滤波器，其品质因数不随尺度a变化，是一组频率 特性等 Q 的带通滤波器组。
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§6.4.1 函数的表示方法
1988年法国女科学家Inrid Daubechies构造出具有紧支集 的正交小波基——Daubechies小波。 1990年美籍华裔数学家崔锦泰和武汉大学的数学教授王建 忠又构造出基于样条函数的单正交小波函数——样条小波。1992 年Daubechies在美国费城举行的 CBMS-NFN应用数学大会上 作了著名的《小波十讲, Ten Lectures on Wavelets》报告，掀 起了学习与应用小波的高潮。 1994年Wim Swelden提出了一种不依赖于Fourier变换的新 的小波构造方法——提升模式(lifting scheme)，也叫第二代小波 或整数小波变换。