第06章 信号的时频分析2——小波变换
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0
2
当其经过尺度伸缩后，其品质因数
a ,b
2 ˆ a 2 ˆ 带宽 0 中心频率 a
即带宽与中心频率的比与中心频率的位置无关，这样的 适配带通滤波器称为“常数- Q 滤波”。这样，小波基函数 作为带通滤波器，其品质因数不随尺度a变化，是一组频率 特性等 Q 的带通滤波器组。
8
时频分析回顾
苏轼名句“横看成岭侧成峰， 远近高低各不同”蕴涵了信号处 理的本质。从不同的角度观测信 号将会得到不同的信息。只有观 测位置得当，才能看到信号的庐 山真面目。
傅立叶变换、短时傅立叶变
换和小波变换的本质区别就是信 号观测角度和观测方法的不同， 这种不同无疑是以基函数的结构 和特点为标志的。
10
§6.4.1 函数的表示方法
11
§6.4.1 函数的表示方法
(2) 1910: Alfred Haar发现Haar小波
• 哈尔(Alfred Haar)对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似 的基非常感兴趣。 • 1909年他发现了小波，1910年被命名为Haar wavelets • 他最早发现和使用了小波。
b?
23
§6.4.2 小波变换的基本理念
24
§6.4.2 小波变换的基本理念
25
§6.4.2 小波变换的基本理念
(1) 选择一个小波函数，并将这个小波与要分析的信号起始 点对齐； (2) 计算在这一时刻要分析的信号与小波函数的逼近程度， 即计算小波变换系数C，C越大，就意味着此刻信号与所选择 的小波函数波形越相近，如图所示。
c
（1）紧支性 1 由 L 可知
ˆ d
( t ) dt
即 ( t )具有衰减性。 （2）波动性 由允许性条件可知
(t ) dt 0
即 ( t )均值为0，具有波动性，同时也具有带通性。
它必然具有正负交替的振荡波形，“小波”（Wavelet）由此得名。
b , a (t ) a
1 / 2
tb a
式中 a 和 b 均为常数，且 a>0. 这一函数族叫分析小波（Analysis Wavelet）或连续小波， (t ) 叫基本
小波或母小波。
21
§6.4.2 小波变换的基本理念
小波变换的含义是：把母小波ψ(t)作时移τ，再在不同尺度
a下与待分析信号x(t)作内积：
WTx a, 1 t x t dt xt , a , t ຫໍສະໝຸດ Baidu a a
a0
CWT
镜头 推进 方向
以较高频 率作分析
，
以较低频 率作分析 平移方向
22
§6.4.2 小波变换的基本理念
可见，由于小波基的伸缩和平移，决定了小波变换是多分
绪论
信号分析基础
模拟信号数字化过程 离散信号分析与数字滤波 调制信号的解调分析方法 非平稳信号的时频分析 信号的自适应分解方法 盲信号处理技术及其应用
2
7 8
6.4 小波变换的理论与应用
○ 函数的表示方法
○ 小波变换的基本理念
○ 基函数类型及其比较分析
○ 离散小波变换与塔式算法
○ 小波降噪方法 ○ 小波包分解 ○ 提升小波变换（二代小波） ○ 多小波分析
(5) 对所有的尺度伸缩重复步骤(1)、(2)、(3)、(4)。
28
§6.4.2 小波变换的基本理念
尺度与频率的关系如下：
小尺度a 压缩的小波快速变换的细节高频部分
大尺度a 拉伸的小波缓慢变换的粗部低频部分
29
§6.4.2 小波变换的基本理念
并不是任意函数就可以做母小波，而是要满足一定的条件， 2 即允许性条件：
16
§6.4.1 函数的表示方法
但并没有受到学术界的重视。直到1986年法国大数学家 Yves Meyer构造出平方可积空间L2的规范正交基——二进制伸 缩平移系，小波才得到数学界的认可。 1987年正在读硕士的Stephane Mallat将自己熟悉的图像 处理的塔式算法引入小波分析，提出多分辨分析的概念和构造 正交小波的快速算法——Mallat算法。
18
§6.4.1 函数的表示方法
傅立叶变换的几个基函数
短时傅立叶变换的几个基函数
小波变换的几个基函数
19
§6.4.1 函数的表示方法
FT、STFT、WT之比较
20
§6.4.2 小波变换的基本理念
“小波”就是小的波形。所谓“小”是指局部非零，波形 具有衰减性；“波”则是指它具有波动性，包含有频率的特 性。 2 1 定义：设 L L 且 ( 0 ) 0 ，即给定一个基本函数 ( t ) ， 通过伸缩 a 和平移 b 产生一个函数族：
12
§6.4.1 函数的表示方法
(3) 1945: Gabor提出STFT
• 虽然基于Fourier变换的频谱分析，在需要信号分析及数据 处理的物理、电子、化学、生物、医学、军事、语音、图 像、视频等众多科学研究与工程技术的广阔领域得到了非 常广泛和深入应用，但对既需要频谱分析又要求时空定位 的应用，如雷达探测、语音识别、图像处理、地震数据分 析等等，Fourier分析技术就显得力不从心了。
• 20世纪40年代Gabor开发了STFT (short time Fourier transform)
13
§6.4.1 函数的表示方法
14
§6.4.1 函数的表示方法
虽然窗口Fourier变换能部分解决Fourier变换时空定位问题， 但由于窗口的大小是固定的，对频率波动不大的平稳信号还可 以，但对音频、图像等突变定信号就成问题了。 本来对高频信号应该用较小窗口，以提高分析精度；而对 低频信号应该用较大窗口，以避免丢失低频信息；而窗口Fouri er变换则不论频率的高低，都统一用同样宽度的窗口来进行变
换，所以分析结果的精度不够或效果不好。迫切需要一种更好
的时频分析方法。
15
§6.4.1 函数的表示方法
(4) 1980: Morlet提出了CWT
• CWT (continuous wavelet transform)
• 20世纪70年代，当时在法国石油公司工作的年轻的地 球物理学家Jean Morlet提出了小波变换WT(wavelet transform)的概念。 • 20世纪80年代,从STFT开发了CWT：
17
§6.4.1 函数的表示方法
1988年法国女科学家Inrid Daubechies构造出具有紧支集 的正交小波基——Daubechies小波。 1990年美籍华裔数学家崔锦泰和武汉大学的数学教授王建 忠又构造出基于样条函数的单正交小波函数——样条小波。1992 年Daubechies在美国费城举行的 CBMS-NFN应用数学大会上 作了著名的《小波十讲, Ten Lectures on Wavelets》报告，掀 起了学习与应用小波的高潮。 1994年Wim Swelden提出了一种不依赖于Fourier变换的新 的小波构造方法——提升模式(lifting scheme)，也叫第二代小波 或整数小波变换。
34
§6.4.3 基函数类型及其比较分析
(1) 时间-尺度图
35
§6.4.3 基函数类型及其比较分析
(1)时间-尺度图
W f ( a, b)
|a|
1
xb f ( x) dx a
36
§6.4.3 基函数类型及其比较分析
(2) 几种典型的基函数——Harr小波
26
§6.4.2 小波变换的基本理念
(3) 将小波函数沿时间轴向右移动一个单位时间，然后重复步 骤(1)、(2)求出此时的小波变换系数C，直到覆盖完整个信号长 度，如图所示；
27
§6.4.2 小波变换的基本理念
(4) 将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后重复步骤(1)、 (2)、(3)，如图所示；
辨的。小波变换既看到了森林（信号概貌），又看到了树木 （信号细节），能精确地在时间-频率（时间-尺度）平面内刻
画非平稳信号的特征，被誉为“数学显微镜”。 尺度因子a与频率相对应，时移因子b与时间对应。 当 a 取大于1的值时，
a,b t 为展宽小波，
当 a 取小于1的值时，
a,b t 为缩窄小波。
33
§6.4.2 小波变换的基本理念
生理学研究表明，人类感觉（包括视觉、听觉）的生理过 程机制与小波分析颇有类似之处。举例来说，对听觉起关键作 用的耳蜗内基底膜，其作用就相当于一组建立在薄膜振动基础 上的恒带通频率分析器。正因为如此，小波分析现在已广泛地 应用于语音特征提取、计算机视觉等诸多领域。
Haar小波来自于数学家Haar于1910年提出的Haar正交函数 集，其定义是： (t )
1 (t ) 1 0 0 t 1 / 2 1/ 2 t 1 其它
1/ 2
0
( t 1)
2
( t ) 的傅里叶变换是：
0
(t / 2 )
31
§6.4.2 小波变换的基本理念
* * 1 1 * * 小波时频窗：[ b at a , b at a ] [ ˆ , ˆ ] a a a a
Wavelet
STFT
32
§6.4.2 小波变换的基本理念
若将通带宽度与中心频率的比值称为某一带通滤波器的 品质因数，即 (t )的品质因数
30
§6.4.2 小波变换的基本理念
如果小波函数 t 的傅立叶变换 ( ) 满足容许条件
c
ˆ d
2
则小波变换是可逆的，且具有如下重构公式（小波反变换）
1 x t C
t b dadb {WT x ( b , a )}.{ ( )} 2 a a a R2 1
6
时频分析回顾
STFT的频率分辨率 f STFT的时间分辨率 t
(f )
2
f G( f ) df G( f ) df
2 2 2
(t )
2
t g (t ) dt g (t ) dt
2 2 2
Ω2 Ω1
G t1 , 1 v
G t 2 , 2 v
g t1 , 1
t1
t2
g t 2 , 2
7
时频分析回顾 实际中信号分析的要求：
• 信号高频部分对应时域中的快变成分，如陡峭的 前沿、后沿、尖脉冲等，分析时对时域分辨率要 求高，对频域分辨率要求低。 • 信号低频成分对应时域中的慢变成分，分析对时 域分辨率要求低，对频域分辨率要求高。 因此，短时Fourier变换不能敏感地反映信号的 突变，不能很好地刻画信息。
2
4 2 ( ) j sin ( ) e j / 2 a
0
37
§6.4.3 基函数类型及其比较分析
(2) 几种典型的基函数——Mexican hat小波
2 1/ 4 2 t 2 / 2 (t ) (1 t ) e 3
多 分 辨 率 分 析
3
时频分析回顾
FFT
FFT
FFT
4
时频分析回顾
5
时频分析回顾
短时傅立叶变换(STFT)的概念:
S T F T x ( t , ) x ( ) g * ( t ) e j d x ( ), g ( t ) e j
机械工程与应用电子技术学院
现代测试信号分析与处理 (Advanced Signal Analysis and Processing)
胥永刚/张建宇
北京市先进制造技术重点实验室
Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology
1
讲授提纲
1
2 3 4 5 6
9
§6.4.1 函数的表示方法
(1) 1807: Joseph Fourier
• 傅立叶变换(Fourier transform)是1807年法国科学家 Joseph Fourier在研究热力学问题时所提出来的一种全新 的数学方法，当时曾受到数学界的嘲笑与抵制，后来却得 到工程技术领域的广泛应用，并成为分析数学的一个分 支——傅立叶分析。 • 傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦和余弦函 数之和，叫做傅立叶展开式。 • 用傅立叶表示一个信号时，只有频率分辨率而没有时间分 辨率，这意味我们可以确定信号中包含的所有频率，但不 能确定这些频率出现在什么时候。
2
当其经过尺度伸缩后，其品质因数
a ,b
2 ˆ a 2 ˆ 带宽 0 中心频率 a
即带宽与中心频率的比与中心频率的位置无关，这样的 适配带通滤波器称为“常数- Q 滤波”。这样，小波基函数 作为带通滤波器，其品质因数不随尺度a变化，是一组频率 特性等 Q 的带通滤波器组。
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时频分析回顾
苏轼名句“横看成岭侧成峰， 远近高低各不同”蕴涵了信号处 理的本质。从不同的角度观测信 号将会得到不同的信息。只有观 测位置得当，才能看到信号的庐 山真面目。
傅立叶变换、短时傅立叶变
换和小波变换的本质区别就是信 号观测角度和观测方法的不同， 这种不同无疑是以基函数的结构 和特点为标志的。
10
§6.4.1 函数的表示方法
11
§6.4.1 函数的表示方法
(2) 1910: Alfred Haar发现Haar小波
• 哈尔(Alfred Haar)对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似 的基非常感兴趣。 • 1909年他发现了小波，1910年被命名为Haar wavelets • 他最早发现和使用了小波。
b?
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§6.4.2 小波变换的基本理念
24
§6.4.2 小波变换的基本理念
25
§6.4.2 小波变换的基本理念
(1) 选择一个小波函数，并将这个小波与要分析的信号起始 点对齐； (2) 计算在这一时刻要分析的信号与小波函数的逼近程度， 即计算小波变换系数C，C越大，就意味着此刻信号与所选择 的小波函数波形越相近，如图所示。
c
（1）紧支性 1 由 L 可知
ˆ d
( t ) dt
即 ( t )具有衰减性。 （2）波动性 由允许性条件可知
(t ) dt 0
即 ( t )均值为0，具有波动性，同时也具有带通性。
它必然具有正负交替的振荡波形，“小波”（Wavelet）由此得名。
b , a (t ) a
1 / 2
tb a
式中 a 和 b 均为常数，且 a>0. 这一函数族叫分析小波（Analysis Wavelet）或连续小波， (t ) 叫基本
小波或母小波。
21
§6.4.2 小波变换的基本理念
小波变换的含义是：把母小波ψ(t)作时移τ，再在不同尺度
a下与待分析信号x(t)作内积：
WTx a, 1 t x t dt xt , a , t ຫໍສະໝຸດ Baidu a a
a0
CWT
镜头 推进 方向
以较高频 率作分析
，
以较低频 率作分析 平移方向
22
§6.4.2 小波变换的基本理念
可见，由于小波基的伸缩和平移，决定了小波变换是多分
绪论
信号分析基础
模拟信号数字化过程 离散信号分析与数字滤波 调制信号的解调分析方法 非平稳信号的时频分析 信号的自适应分解方法 盲信号处理技术及其应用
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6.4 小波变换的理论与应用
○ 函数的表示方法
○ 小波变换的基本理念
○ 基函数类型及其比较分析
○ 离散小波变换与塔式算法
○ 小波降噪方法 ○ 小波包分解 ○ 提升小波变换（二代小波） ○ 多小波分析
(5) 对所有的尺度伸缩重复步骤(1)、(2)、(3)、(4)。
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§6.4.2 小波变换的基本理念
尺度与频率的关系如下：
小尺度a 压缩的小波快速变换的细节高频部分
大尺度a 拉伸的小波缓慢变换的粗部低频部分
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§6.4.2 小波变换的基本理念
并不是任意函数就可以做母小波，而是要满足一定的条件， 2 即允许性条件：
16
§6.4.1 函数的表示方法
但并没有受到学术界的重视。直到1986年法国大数学家 Yves Meyer构造出平方可积空间L2的规范正交基——二进制伸 缩平移系，小波才得到数学界的认可。 1987年正在读硕士的Stephane Mallat将自己熟悉的图像 处理的塔式算法引入小波分析，提出多分辨分析的概念和构造 正交小波的快速算法——Mallat算法。
18
§6.4.1 函数的表示方法
傅立叶变换的几个基函数
短时傅立叶变换的几个基函数
小波变换的几个基函数
19
§6.4.1 函数的表示方法
FT、STFT、WT之比较
20
§6.4.2 小波变换的基本理念
“小波”就是小的波形。所谓“小”是指局部非零，波形 具有衰减性；“波”则是指它具有波动性，包含有频率的特 性。 2 1 定义：设 L L 且 ( 0 ) 0 ，即给定一个基本函数 ( t ) ， 通过伸缩 a 和平移 b 产生一个函数族：
12
§6.4.1 函数的表示方法
(3) 1945: Gabor提出STFT
• 虽然基于Fourier变换的频谱分析，在需要信号分析及数据 处理的物理、电子、化学、生物、医学、军事、语音、图 像、视频等众多科学研究与工程技术的广阔领域得到了非 常广泛和深入应用，但对既需要频谱分析又要求时空定位 的应用，如雷达探测、语音识别、图像处理、地震数据分 析等等，Fourier分析技术就显得力不从心了。
• 20世纪40年代Gabor开发了STFT (short time Fourier transform)
13
§6.4.1 函数的表示方法
14
§6.4.1 函数的表示方法
虽然窗口Fourier变换能部分解决Fourier变换时空定位问题， 但由于窗口的大小是固定的，对频率波动不大的平稳信号还可 以，但对音频、图像等突变定信号就成问题了。 本来对高频信号应该用较小窗口，以提高分析精度；而对 低频信号应该用较大窗口，以避免丢失低频信息；而窗口Fouri er变换则不论频率的高低，都统一用同样宽度的窗口来进行变
换，所以分析结果的精度不够或效果不好。迫切需要一种更好
的时频分析方法。
15
§6.4.1 函数的表示方法
(4) 1980: Morlet提出了CWT
• CWT (continuous wavelet transform)
• 20世纪70年代，当时在法国石油公司工作的年轻的地 球物理学家Jean Morlet提出了小波变换WT(wavelet transform)的概念。 • 20世纪80年代,从STFT开发了CWT：
17
§6.4.1 函数的表示方法
1988年法国女科学家Inrid Daubechies构造出具有紧支集 的正交小波基——Daubechies小波。 1990年美籍华裔数学家崔锦泰和武汉大学的数学教授王建 忠又构造出基于样条函数的单正交小波函数——样条小波。1992 年Daubechies在美国费城举行的 CBMS-NFN应用数学大会上 作了著名的《小波十讲, Ten Lectures on Wavelets》报告，掀 起了学习与应用小波的高潮。 1994年Wim Swelden提出了一种不依赖于Fourier变换的新 的小波构造方法——提升模式(lifting scheme)，也叫第二代小波 或整数小波变换。
34
§6.4.3 基函数类型及其比较分析
(1) 时间-尺度图
35
§6.4.3 基函数类型及其比较分析
(1)时间-尺度图
W f ( a, b)
|a|
1
xb f ( x) dx a
36
§6.4.3 基函数类型及其比较分析
(2) 几种典型的基函数——Harr小波
26
§6.4.2 小波变换的基本理念
(3) 将小波函数沿时间轴向右移动一个单位时间，然后重复步 骤(1)、(2)求出此时的小波变换系数C，直到覆盖完整个信号长 度，如图所示；
27
§6.4.2 小波变换的基本理念
(4) 将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后重复步骤(1)、 (2)、(3)，如图所示；
辨的。小波变换既看到了森林（信号概貌），又看到了树木 （信号细节），能精确地在时间-频率（时间-尺度）平面内刻
画非平稳信号的特征，被誉为“数学显微镜”。 尺度因子a与频率相对应，时移因子b与时间对应。 当 a 取大于1的值时，
a,b t 为展宽小波，
当 a 取小于1的值时，
a,b t 为缩窄小波。
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§6.4.2 小波变换的基本理念
生理学研究表明，人类感觉（包括视觉、听觉）的生理过 程机制与小波分析颇有类似之处。举例来说，对听觉起关键作 用的耳蜗内基底膜，其作用就相当于一组建立在薄膜振动基础 上的恒带通频率分析器。正因为如此，小波分析现在已广泛地 应用于语音特征提取、计算机视觉等诸多领域。
Haar小波来自于数学家Haar于1910年提出的Haar正交函数 集，其定义是： (t )
1 (t ) 1 0 0 t 1 / 2 1/ 2 t 1 其它
1/ 2
0
( t 1)
2
( t ) 的傅里叶变换是：
0
(t / 2 )
31
§6.4.2 小波变换的基本理念
* * 1 1 * * 小波时频窗：[ b at a , b at a ] [ ˆ , ˆ ] a a a a
Wavelet
STFT
32
§6.4.2 小波变换的基本理念
若将通带宽度与中心频率的比值称为某一带通滤波器的 品质因数，即 (t )的品质因数
30
§6.4.2 小波变换的基本理念
如果小波函数 t 的傅立叶变换 ( ) 满足容许条件
c
ˆ d
2
则小波变换是可逆的，且具有如下重构公式（小波反变换）
1 x t C
t b dadb {WT x ( b , a )}.{ ( )} 2 a a a R2 1
6
时频分析回顾
STFT的频率分辨率 f STFT的时间分辨率 t
(f )
2
f G( f ) df G( f ) df
2 2 2
(t )
2
t g (t ) dt g (t ) dt
2 2 2
Ω2 Ω1
G t1 , 1 v
G t 2 , 2 v
g t1 , 1
t1
t2
g t 2 , 2
7
时频分析回顾 实际中信号分析的要求：
• 信号高频部分对应时域中的快变成分，如陡峭的 前沿、后沿、尖脉冲等，分析时对时域分辨率要 求高，对频域分辨率要求低。 • 信号低频成分对应时域中的慢变成分，分析对时 域分辨率要求低，对频域分辨率要求高。 因此，短时Fourier变换不能敏感地反映信号的 突变，不能很好地刻画信息。
2
4 2 ( ) j sin ( ) e j / 2 a
0
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§6.4.3 基函数类型及其比较分析
(2) 几种典型的基函数——Mexican hat小波
2 1/ 4 2 t 2 / 2 (t ) (1 t ) e 3
多 分 辨 率 分 析
3
时频分析回顾
FFT
FFT
FFT
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时频分析回顾
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时频分析回顾
短时傅立叶变换(STFT)的概念:
S T F T x ( t , ) x ( ) g * ( t ) e j d x ( ), g ( t ) e j
机械工程与应用电子技术学院
现代测试信号分析与处理 (Advanced Signal Analysis and Processing)
胥永刚/张建宇
北京市先进制造技术重点实验室
Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology
1
讲授提纲
1
2 3 4 5 6
9
§6.4.1 函数的表示方法
(1) 1807: Joseph Fourier
• 傅立叶变换(Fourier transform)是1807年法国科学家 Joseph Fourier在研究热力学问题时所提出来的一种全新 的数学方法，当时曾受到数学界的嘲笑与抵制，后来却得 到工程技术领域的广泛应用，并成为分析数学的一个分 支——傅立叶分析。 • 傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦和余弦函 数之和，叫做傅立叶展开式。 • 用傅立叶表示一个信号时，只有频率分辨率而没有时间分 辨率，这意味我们可以确定信号中包含的所有频率，但不 能确定这些频率出现在什么时候。