创新设计高中数学必修一1.2.1

1.2.1函数的概念

[学习目标] 1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域、函数值.

知识点一函数的概念

(1)函数的定义：

设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.

(2)函数的定义域与值域：

函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集.

知识点二函数的三要素

函数的三个要素：定义域，对应关系，值域.

(1)定义域

定义域是自变量x的取值集合.有时函数的定义域可以省略，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合.

(2)对应关系

对应关系f是核心，它是对自变量x进行“操作”的“程序”或者“方法”，是连接x与y 的纽带，按照这一“程序”，从定义域集合A中任取一个x，可得到值域{y|y＝f(x)且x∈A}中唯一确定的y与之对应.

(3)值域

函数的值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应关系确定了，那么它的值域也会随之确定.

思考(1)符号“y＝f(x)”中“f”的意义是什么？

(2)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？

(3)f(x)与f(a)有何区别与联系？

答(1)符号“y＝f(x)”中“f”表示对应关系，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样.例如y＝f(x)＝x2中，“f”表示的对应关系为因变量y等于自变量x的平方，从而f(a)＝a2，f(x＋1)＝(x＋1)2，而函数y＝f(x)＝2x中，“f”表示的对应关系为因变量y等于自变量x的二倍，从而f(a)＝2a，f(x＋1)＝2(x＋1).

(2)这种看法不对.

符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值.y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”.在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数.

(3)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数.

知识点三函数相等

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.

思考函数y＝x2＋x与函数y＝t2＋t相等吗？

答相等，这两个函数定义域相同，都是实数集R，而且这两个函数的对应关系也相同，因此这两个函数相等.函数相等与否与自变量用什么字母没有关系，只是习惯上自变量用x表示.

知识点四区间概念

区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：

取遍数轴上所有的值

思考(1)对于区间[a，b]而言，区间端点a，b应满足什么关系？

(2)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？

(3)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？

答(1)若a，b为区间的左右端点，则a

(2)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示.

(3)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数.以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号.

题型一函数概念的应用

例1设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有()

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

答案 B

解析①错，x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性.②对，同时满足任意性与唯一性.③错，x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性.④错，x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性.

反思与感悟 1.判断一个对应关系是不是函数关系的方法：(1)A，B必须都是非空数集；(2)A 中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应.

注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余.

2.函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”.

跟踪训练1下列对应关系式中是A到B的函数的是()

A.A⊆R，B⊆R，x2＋y2＝1

B.A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，f：x→y＝|x|＋1

C.A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝

1x －2

D.A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1 答案 B

解析 对于A ，x 2＋y 2＝1可化为y ＝±1－x 2，显然对任意x ∈A ，y 值不唯一，故不符合.对于B ，符合函数的定义.对于C,2∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合.对于D ，－1∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合. 题型二 判断是否为同一函数 例2 判断下列函数是否为同一函数：

(1)f (x )＝|x |

x 与g (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

1，x ≥0，－1，x <0；

(2)f (x )＝x x ＋1与g (x )＝x (x ＋1)； (3)f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1； (4)f (x )＝1与g (x )＝x 0(x ≠0).

解 (1)f (x )的定义域中不含有元素0，而g (x )的定义域为R ，定义域不相同，所以二者不是同一函数.

(2)f (x )的定义域为[0，＋∞)，而g (x )的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，定义域不相同，所以二者不是同一函数.

(3)尽管两个函数的自变量一个用x 表示，另一个用t 表示，但它们的定义域相同，对应关系相同，对定义域内同一个自变量，根据表达式，都能得到同一函数值，因此二者为同一函数. (4)f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠0}，因此二者不是同一函数.

反思与感悟 判断两个函数是否相同，只需判断这两个函数的定义域与对应关系是否相同. (1)定义域和对应关系都相同，则两个函数相同； (2)定义域不同，则两个函数不同； (3)对应关系不同，则两个函数不同；

(4)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，也不一定相同，例如y ＝x 和y ＝2x －1的定义域和值域都是R ，但不是同一函数；

(5)两个函数是否相同，与自变量用什么字母表示无关. 跟踪训练2 下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A.y ＝x ＋1与y ＝x 2－1

x －1

B.y ＝x 2与y ＝(x ＋1)2

C.y ＝(3

x )3与y ＝x D.f (x )＝(x )2与g (x )＝x 2