高考数学：命题有纲——六大核心素养

第1讲命题有纲——六大核心素养

命题趋势随着新课程标准的实施，今后的高考命题必将以知识为载体，能力立意、思想方法为灵魂，核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，落实立德树人的根本任务，推动人才培养的改革创新.聚焦核心素养的养成，才能从容应对高考的变化.

类型一用数学的眼光去观察世界——数学抽象、直观想象

数学抽象主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系.

直观想象主要表现为：建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物.

【例1】(1)如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，若共得到 4 095

个正方形，设初始正方形的边长为

2

2，则最小正方形的边长为________.

(2)(2019·西安调研)第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形

中较大的锐角为θ，那么tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

θ＋π4＝________.

(3)(2019·郑州模拟)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )

解析 (1)依题意，正方形的边长构成以22为首项，公比为2

2的等比数列，因为共有4 095个正方形，则1＋2＋22＋…＋2n －1＝4 095，解得n ＝12. 所以最小正方形的边长为22×⎝ ⎛⎭

⎪

⎫

2212－1

＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

2212

＝164. (2)依题意得大、小正方形的边长分别是5，1， 于是有5sin θ－5cos θ＝1⎝ ⎛

⎭⎪⎫0<θ<π2，则sin θ－cos θ＝15.

从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝49

25， 则sin θ＋cos θ＝7

5，

故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝sin θ＋cos θcos θ－sin θ

＝－7.

(3)因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合在一起的方形伞，所以其正视图和侧视图完全相同时，都是一个圆，俯视图是从上向下看，所以俯视图是4条边及2条对角线均为实线的正方形，故选B. 答案 (1)1

64 (2)－7 (3)B

探究提高 1.第(1)题借助毕达哥拉斯的生长程序命题，考查等比数列的求和问题. 2.第(2)题借助第24届国际数学家大会会标命题，考查三角恒等变换问题. 3.第(3)题以古代文化为载体考查三视图.三个小题均较好地考查学生的数学抽象、直观想象素养.

【训练1】 (1)(2019·湖南六校联考)刍甍(chú hōnɡ)，中国古代算数中的一种几何形体.《九章算术》中记载“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形.则搭建它(无底面，不考虑厚度)需要的茅草面积至少为( )

A.8 6

B.16

C.8 5

D.14

(2)已知实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －y ≥2，

x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，

则z ＝x ＋3y 的最大值为________.

(3)(2019·成都诊断)“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件.

已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的9

10.若这堆货物总价是100－200⎝ ⎛⎭

⎪⎫

910n

万元，则n 的值为( )

A.7

B.8

C.9

D.10

解析 (1)茅草面积即为几何体的侧面积，由题意知，该几何体中有两个全等的等腰梯形，两个全等的等腰三角形.其中等腰梯形的上底长为2，下底长为4，高为22＋12＝5；等腰三角形的底边长为2，高为22＋1＝5，因此几何体的侧面

积S ＝2×（2＋4）×52＋2×1

2×2×5＝8 5.

即需要的茅草面积至少为8 5.

(2)作不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示.

由z ＝x ＋3y ，得y ＝－x 3＋z

3，

作出直线y ＝－x 3，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫

52，12时取

到最大值，∴z max ＝52＋3×1

2＝4.

(3)由题意知，茭草垛自上而下堆放的货物件数构成一个等差数列，其通项a n ＝n ，货物单价构成一个等比数列，其通项b n ＝⎝ ⎛⎭

⎪

⎫

910n －1

，所以每一层货物的总价为a n ·b n ，

这堆货物的总价为S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，即S n ＝1×1＋2×910＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫9102

＋…

＋(n －1)×⎝ ⎛⎭

⎪

⎫

910n －2

＋n ×⎝ ⎛⎭

⎪

⎫910n －1

，所以910S n ＝1×910＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫9102

＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭

⎪

⎫

910n －1

＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ，两式相减，得110S n ＝1＋910＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9102

＋…＋⎝ ⎛⎭

⎪

⎫

910n －1

－n ·⎝ ⎛⎭

⎪⎫910n

＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫910n 1－910

－n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＝10－(10＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ，所以S n ＝100－10(10＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫910n

，于是由

100－10(10＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＝100－200⎝ ⎛⎭⎪⎫910n

，得10(10＋n )＝200，解得n ＝10.

答案 (1)C (2)4 (3)D

类型二 用数学的思维去分析世界——数学运算、逻辑推理

数学运算主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果.

逻辑推理主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流.

【例2】 (1)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则( )

A.乙可以知道四人的成绩

B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩

D.乙、丁可以知道自己的成绩

(2)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－

x ，x ≤0，

1，x >0，

则满足f (x ＋1)

是( ) A.(－∞，－1] B.(0，＋∞) C.(－1，0)

D.(－∞，0)