虚位移原理与力学的变分原理
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WR Ri ri 0，i为质点数
注意：对每个质点上约束力所做的元功求和，是对质点数求和。
理想约束：力与位移垂直，或相互抵消。 常见的几种理想约束 :
(1) 光滑支承面/不可伸长的绳索。约 束力恒垂直于虚位移，在质点系的任何虚 位移中约束力的元功都等于零。
δr FN
(2) 连结两刚体的滑轮。如图所示。绳
图中杠杆ＡＢ在水平位置的虚位移是绕Ｏ点的微 小转动，即由ＡＢ转过一微小角度到。
虚位移处在约束曲面的切平面内。
二、虚位移的计算
各质点的虚位移，必须满足约束条件，存在一定的关系。常用的 分析方法有几何法和解析法。虚位移与速度成比例。
1、几何法
rB vBt vB rA vAt vA
方法①：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度在此两点连线上 的投影相等——速度投影定理
§1.2 虚功原理
参考：P5－12(T)，P25-29(L)
静力学
动力学
➢ 虚位移及其计算
➢ 虚功和理想约束
➢ 虚位移原理及其应用
拉格朗日方程
重点 1.理解虚位移的概念和实位移的对比。 2.虚功原理的含义和应用。
一、虚位移的概念
在给定瞬时，质点或质点系为约束所容许的任何微小位 移，称为该质点或质点系的虚位移。
对整个质点系：
(Fi Ni ) ri 0
或：
F i ri N i ri 0
由于是理想约束 Ni ri 0
所以
Fi ri 0
(2) 充分性：即 Fi ri 0 成立，质点系一定平衡。 反证法：假设 Fi ri 0 成立，质点系不平衡（运动）。 设质点系开始处于静止，在主动力和约束力作用下，质点系 中至少有一个质点由静止开始运动。令Mi为这样的质点，则
xB , yA
xB2
y
2 A
l2
有约束方程 xA 0, yB 0
方法1：对上式进行变分运算得：
2xBxB 2 yAyA 0
xB yA tg
yA
xB
y
yA A(xA, yA )
l
xB
O
x
B(xB , yB )
参考：变分的运算规则
( y1 y2 ) y1 y2
( y1
•
y2 )
y1y2
Fi Ni Ri 0 在 Ri 作用下Mi产生实位移 dri ，取 ri dri ，则
(Fi Ni ) ri Ri ri 0
对质点系： (Fi Ni ) ri 0 理想约束： Ni ri 0
所以
xB tg
yA
y
yA A(xA, yA )
l
xB
O
x
B(xB , yB )
几何法直观，且较为简便，而解析法比较规范。
3.广义虚位移 ri ri (q1 , q2 , , qk )
xi
xi q1
q1
xi q2
q2
xi qk
qk
yi
yi q1
q1
yi q2
q2
yi qk
qk
zi
zi q1
以后用 x,y,z,r代表虚位移，以区别实位移 dx, dy, dz, , dr, 。
3在完整定常约束的情形下，实位移必然是虚位移之一。 4在完整非定常约束情形下，所谓虚位移，是指在给定瞬时，把约束看作不 变的，而为约束所容许的任何微小位移。实位移就不再是虚位移之一。
三.虚位移原理
1.理想约束:设某一约束的约束力在质点系的任何虚位移中 的元功(虚功)之和等于零，则该约束称为理想约束 .
子作用于两刚体的力FN与F`N大小和方 向都相同，即FN＝F`N。但两刚体的虚 位移刚好大小相等，方向相反。
W FN r FN r FN r FN r 0
2. 虚位移原理 可表述如下：受理想、双面、定常约束的质点系在某一位置保 持平衡的必要与充分条件是：作用于质点系的所有主动力在任 何虚位移中的元功之和等于零。
C
vB cos vA cos 90 ( ) vA sin( )
y
rB vB sin( )
rA vA
cos
三角形OAB内角和 Θ+φ+∠OAB= 180º
A
O
rA
B rB
x
方法②：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度分布，等同于平 面图形绕其速度瞬心的定点转动。－瞬心法
若已知平面图形上A、B 两点速度VA 、VB 的方向，则作VA 、VB 的垂 线，其交点P 为该瞬时平面图形的速度瞬心,其速度为零。
设用Fi代表作用于任一质点Mi的主动力的合力，以δri 代表该点的虚位移，则上述原理可用数学公式表示为：
F r 0 i i
注意：对每个质点上主动力所做的元功 求和，也是对质点数求和。
证明：(1) 必要性：即质点系平衡， Fi ri 0 成立。
质点系处于平衡 →任一质点Mi也平衡→ Fi Ni 0 设Mi 的虚位移为 ri ，则 (Fi Ni ) ri 0
由于 C为AB的瞬心，故
vA AC*
=
vB BC*
= AB
由正弦定理可得出
C
y
A
O
rA
B rB
x
BC
sin(
)
AC
sin(90
)
AC
cos
2、解析法
由速度投影定理 vA sin vB cos
yA vA ctg xB vB
解析法是利用对约束方程或坐标表达式进行变分以求出虚位移之间的关系。
q1
zi q2
Βιβλιοθήκη Baidu
q2
zi qk
qk
虚位移
广义虚位移
ri
ri q1
q1
ri q2
q2
ri qk
qk
(i=1,2,……,n)
解析法实例 OC=CB=a
将C、A、B点的坐标表示成
广义坐标 的函数，得
对广义坐标 求变分，得各点虚
位移在相应坐标轴上的投影：
xC acos , yC asin xA lcos , yA lsin xB 2acos , yB 0
y2y1
(
y1 y2
)
y2y1 y1y2
y22
(xy) xy
(dy) d (y)
(
dy dx
)
d dx
(y)
t2 ydt t2 ydt
t1
t1
(x 0)
方法2：把xB , yA表示成 的函数，
也可求出虚位移间的关系。
因为 xB l cos yA l sin
作变分运算
xB l sin yA l cos
xC asin , yC acos xA lsin , y A lcos xB 2asin , yB 0
问题一：虚位移与实位移的区别
1实位移是在力的作用下和实际发生的；虚位移则是在约束容许的条件下可能 发生的。一个静止的质点或质点系不会发生实位移，但可以使其有虚位移。
2实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的概念，与时间无关。
注意：对每个质点上约束力所做的元功求和，是对质点数求和。
理想约束：力与位移垂直，或相互抵消。 常见的几种理想约束 :
(1) 光滑支承面/不可伸长的绳索。约 束力恒垂直于虚位移，在质点系的任何虚 位移中约束力的元功都等于零。
δr FN
(2) 连结两刚体的滑轮。如图所示。绳
图中杠杆ＡＢ在水平位置的虚位移是绕Ｏ点的微 小转动，即由ＡＢ转过一微小角度到。
虚位移处在约束曲面的切平面内。
二、虚位移的计算
各质点的虚位移，必须满足约束条件，存在一定的关系。常用的 分析方法有几何法和解析法。虚位移与速度成比例。
1、几何法
rB vBt vB rA vAt vA
方法①：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度在此两点连线上 的投影相等——速度投影定理
§1.2 虚功原理
参考：P5－12(T)，P25-29(L)
静力学
动力学
➢ 虚位移及其计算
➢ 虚功和理想约束
➢ 虚位移原理及其应用
拉格朗日方程
重点 1.理解虚位移的概念和实位移的对比。 2.虚功原理的含义和应用。
一、虚位移的概念
在给定瞬时，质点或质点系为约束所容许的任何微小位 移，称为该质点或质点系的虚位移。
对整个质点系：
(Fi Ni ) ri 0
或：
F i ri N i ri 0
由于是理想约束 Ni ri 0
所以
Fi ri 0
(2) 充分性：即 Fi ri 0 成立，质点系一定平衡。 反证法：假设 Fi ri 0 成立，质点系不平衡（运动）。 设质点系开始处于静止，在主动力和约束力作用下，质点系 中至少有一个质点由静止开始运动。令Mi为这样的质点，则
xB , yA
xB2
y
2 A
l2
有约束方程 xA 0, yB 0
方法1：对上式进行变分运算得：
2xBxB 2 yAyA 0
xB yA tg
yA
xB
y
yA A(xA, yA )
l
xB
O
x
B(xB , yB )
参考：变分的运算规则
( y1 y2 ) y1 y2
( y1
•
y2 )
y1y2
Fi Ni Ri 0 在 Ri 作用下Mi产生实位移 dri ，取 ri dri ，则
(Fi Ni ) ri Ri ri 0
对质点系： (Fi Ni ) ri 0 理想约束： Ni ri 0
所以
xB tg
yA
y
yA A(xA, yA )
l
xB
O
x
B(xB , yB )
几何法直观，且较为简便，而解析法比较规范。
3.广义虚位移 ri ri (q1 , q2 , , qk )
xi
xi q1
q1
xi q2
q2
xi qk
qk
yi
yi q1
q1
yi q2
q2
yi qk
qk
zi
zi q1
以后用 x,y,z,r代表虚位移，以区别实位移 dx, dy, dz, , dr, 。
3在完整定常约束的情形下，实位移必然是虚位移之一。 4在完整非定常约束情形下，所谓虚位移，是指在给定瞬时，把约束看作不 变的，而为约束所容许的任何微小位移。实位移就不再是虚位移之一。
三.虚位移原理
1.理想约束:设某一约束的约束力在质点系的任何虚位移中 的元功(虚功)之和等于零，则该约束称为理想约束 .
子作用于两刚体的力FN与F`N大小和方 向都相同，即FN＝F`N。但两刚体的虚 位移刚好大小相等，方向相反。
W FN r FN r FN r FN r 0
2. 虚位移原理 可表述如下：受理想、双面、定常约束的质点系在某一位置保 持平衡的必要与充分条件是：作用于质点系的所有主动力在任 何虚位移中的元功之和等于零。
C
vB cos vA cos 90 ( ) vA sin( )
y
rB vB sin( )
rA vA
cos
三角形OAB内角和 Θ+φ+∠OAB= 180º
A
O
rA
B rB
x
方法②：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度分布，等同于平 面图形绕其速度瞬心的定点转动。－瞬心法
若已知平面图形上A、B 两点速度VA 、VB 的方向，则作VA 、VB 的垂 线，其交点P 为该瞬时平面图形的速度瞬心,其速度为零。
设用Fi代表作用于任一质点Mi的主动力的合力，以δri 代表该点的虚位移，则上述原理可用数学公式表示为：
F r 0 i i
注意：对每个质点上主动力所做的元功 求和，也是对质点数求和。
证明：(1) 必要性：即质点系平衡， Fi ri 0 成立。
质点系处于平衡 →任一质点Mi也平衡→ Fi Ni 0 设Mi 的虚位移为 ri ，则 (Fi Ni ) ri 0
由于 C为AB的瞬心，故
vA AC*
=
vB BC*
= AB
由正弦定理可得出
C
y
A
O
rA
B rB
x
BC
sin(
)
AC
sin(90
)
AC
cos
2、解析法
由速度投影定理 vA sin vB cos
yA vA ctg xB vB
解析法是利用对约束方程或坐标表达式进行变分以求出虚位移之间的关系。
q1
zi q2
Βιβλιοθήκη Baidu
q2
zi qk
qk
虚位移
广义虚位移
ri
ri q1
q1
ri q2
q2
ri qk
qk
(i=1,2,……,n)
解析法实例 OC=CB=a
将C、A、B点的坐标表示成
广义坐标 的函数，得
对广义坐标 求变分，得各点虚
位移在相应坐标轴上的投影：
xC acos , yC asin xA lcos , yA lsin xB 2acos , yB 0
y2y1
(
y1 y2
)
y2y1 y1y2
y22
(xy) xy
(dy) d (y)
(
dy dx
)
d dx
(y)
t2 ydt t2 ydt
t1
t1
(x 0)
方法2：把xB , yA表示成 的函数，
也可求出虚位移间的关系。
因为 xB l cos yA l sin
作变分运算
xB l sin yA l cos
xC asin , yC acos xA lsin , y A lcos xB 2asin , yB 0
问题一：虚位移与实位移的区别
1实位移是在力的作用下和实际发生的；虚位移则是在约束容许的条件下可能 发生的。一个静止的质点或质点系不会发生实位移，但可以使其有虚位移。
2实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的概念，与时间无关。