不等式：基本不等式、对勾函数、判别式解法

不等式

不等式是高考必考的热点内容，考查的广度和深度是其他章节无法比拟的，任何一份高考试卷中，涉及到不等式内容的考点所占比例超过70%。一方面，考查不等式的性质、解法、证明以及实际应用；另一方面，与高中阶段的数学各个部分都存在着密切的联系。因此，对于不等式的学习，应达到多层面，多角度熟练掌握的程度。

第一节 基本不等式

1.若a,b ∈R,则a 2+b 2≥2ab ，等号成立的条件：a =b ；

证明：当a,b ∈R 时，(a −b)2≥0,展开后即可得到所求不等式及等号成立的条件。 2.基本不等式的变形（包括2个方面）

①若a,b ≥0的实数，则a +b ≥2√ab , 等号成立的条件：a =b ； 若a,b ∈R,ab >0则b

a +a

b ≥2, 等号成立的条件：a =b ；

若x ∈R,x >0则x +1x ≥2, 等号成立的条件：x =1；(上述3个不等式，考虑如何证明？)

注：上述的a,b 不能仅仅理解为两个参数，它可以是表达式或函数的解析式。 ②若a,b ∈R,则a 2+b 2≥

(a+b)2

2≥2ab;等号成立的条件：a =b （注意：不等式的右边是(a +b)2）

例题1.已知x,y ∈(0,+∞),且4

x +3

y =1，求x +y 的最小值及xy 的最小值。 解：x +y =(x +y )(4

x +3

y )=7+(4y

x +

3x

y

)≥7+2√4y x ×3x y

=7+4√3，∴x +y 的最小值为：7+4√3；

求(xy)min 有两种方法，其一是配式，1

xy

=1

12×4

x ×3

y ≤1

12(4x +3

y

2

)2=1

48，∴(xy)max =48；另一种方法是，由4

x +3

y =1→

xy =4y +3x ≥2√3x ×4y =4√3√xy ,∵x,y ∈(0,+∞)→√xy ≥4√3，∴(xy)min =48。 例题2. 已知a√1−b 2+b√1−a 2=1,求证：a 2+b 2=1。 证明：由基本不等式得：a√1−b 2≤

a 2+(√1−

b 2)2

2

=

a 2+1−

b 2

2

(这里等号成立的条件是，a =√1−b 2)；

同理，b√1−a 2≤

b 2+1−a 2

2

(这里等号成立的条件是，b =√1−a 2)，∴a√1−b 2+b√1−a 2≤1 (∗)

而条件是a√1−b 2+b√1−a 2=1,即对于不等式(∗)等号成立，即b =√1−a 2且a =√1−b 2即a 2+b 2=1。 注：本题把等号成立的条件，作为求证的目标，比较新颖。 例题3.已知x,y ∈R,满足x +y =1,求(x +1

x )2+(y +1

y )2的最小值。 解：(x +1

x

)2+(y +1

y

)2=x 2+y 2+

x 2+y 2x 2y 2

+4=(x 2+y 2)(1+

1x 2y 2

)+4,这里

x 2+y 2

≥

(x+y)2

2

=1

2

, xy ≤

(x+y)2

4

=1

4

→

1

x 2y

2≥16∴(x +1x

)2+(y +1

y

)2≥

12

(1+16)+4=252

.

注：解答本题的关键是，如何运用好x +y =1，两次使用了基本不等式，但不矛盾。 例题4. 求y =√x +√3−x 的最大值。

解：函数的定义域为x ∈[0,3],可以用其它的方法来解，比如用两边平方转化成二次函数求极值等。但由于√x 与√3−x

的两式平方和为常数3，故应用基本不等式的变形公式简单些。 ∵(√x +√3−x)2≤2((√x)2+(√3−x)2)=6

∴√x +√3−x ≤√6，当且仅当√x =√3−x →x =3

2∈[0,3]时成立，故y max =√6。

例题5. 已知a >b >0,则a 2+16

b(a−b)的最小值为（ ）。 解：a 2+16

b(a−b)≥a 2+

16

(b+a−b 2

)

2

=a 2+64a 2≥16,当且仅当a =2√2,b =√2等号成立，a 2+16

b(a−b)的最小值为16.

注：这里要求2元表达式的a 2+

16b(a−b)

的最值，不能直接整体应用基本不等式（即不能直接整体消去a 、b ）而且也

没有给出条件等式（即不可能代入消元）,因此，对局部b(a −b)用基本不等式的变形公式进行处理。 例题6.若二次函数f (x )=ax 2−4x +c 的值域为[0,+∞),则c

a 2+4+a

c 2+4的最小值为（ ）。 解：由题意得a >0,Δ=16−4ac =0,即ac =4,c >0, 则

c a 2+4+

a c 2+4

=

c a 2+ac

+

a c 2+ac

=

a 2+c 2ac(a+c)

≥

(a+c)22ac(a+c)

=

a+c 2ac

≥

√

ac

=1

2，当且仅当a=c=2时，等号成立，所以c

a 2+4+a

c 2+4的最小值为1

2。 注：本题也可用消元法，由Δ=16−4ac =0消去a 或c ，比较麻烦。

例题7.已知a,b,c>0,且a 2+2ab +2ac +4bc =9,则a +b +c 的最小值为( 3 )。

例题8.已知a,b,c>0,且a +b +c =1，则√3a +1+√3b +1+√3c +1的最大值为（ ）。

解：(√3a +1+√3b +1+√3c +1)2=6+2√3a +1√3b +1+2√3b +1√3c +1+2√3c +1√3a +1 ≤6+2(3a +1+3b +1+3c +1)=18,当且仅当a =b =c =1

3等号成立，∴所求的最大值为18。 例题9.已知函数f (x )=( x a −1)2+( b

x −1)2的定义域是[a,b],其中a,b ∈R +且a

−1)

2

]2

=2[

(x a +b x

)−2

2

]2,∵x a ,b x

∈R +则x a

+b x

≥2√b

a

∴f (x )≥

2[

2√b a

−22

]2=2( √b

a

−1)2,上面各式等号成立的条件都是：x

a

−1=b x

−1,x =√ab 时取得（虽然两次使用了基本不等

式，但x 的取值不矛盾），∴f min (x)=2( √b

a −1)2。

(2)设a =1,b =s,x 1∈[1,s ]时，由(1)的结论可得：f(x 1)≥2( √s

1−1)2=2( √s −1)2 ①,同理f(x 2)≥2( √4

s −1)2=2(

√s

−1)2 ②由①+②得：f(x 1)+f (x 2)≥

2( √s −1)2+2( √

s 1)2=2[

( √s−1)2+( 2

√s

−1)2

2

]2≥4[

( √s−1)+(2√s

−1)

2

]2=4[

( √s+2√s

)−2

2

]2=4( √2−1)2.

上面两次用到基本不等式，等号成立的条件都是s=2时取得，∴(2)得证。 例题10. 已知两条直线l 1：y =m 和l 2：y =

82m+1

(m >0),l 1与函数y =|log 2x |的图象从左至右相交于A,B,l 2与函数

y =|log 2x |的图象从左至右相交于C,D,记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a,b,当m 变化时，b

a 的最小值为（ ）。

解：在同一坐标系中作出y =m , y =8

2m+1(m >0),y =|log 2x |图象，令|log 2x |