正弦定理基础知识及常见题型汇总

正弦定理
一、考点、热点回顾
（一）正弦定理及其变形
1． 正弦定理：________＝________＝________＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径． 2． 正弦定理的常用变形
(1)a ∶b ∶c ＝________________；
(2)a ＝__________，b ＝__________，c ＝__________； (3)sin A ＝________，sin B ＝__________，sin C ＝________；
3． 三角形中边角的不等关系
在三角形中，A ＞B ＞C ⇔ a ＞b ＞c ⇔ sinA ＞sinB ＞sinC 。

（二）正弦定理的应用：解三角形 1、 解三角形的概念
2、 利用正弦定理解三角形
利用正弦定理可解决两类解三角形问题： （1）已知两角及一边解三角形
基本思路： 1)由三角形的内角和定理求出第三个角．
2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．
（2）已知两边及其中一边的对角解三角形
基本思路：1)由正弦定理求出另一已知边所对的角．
2)由三角形的内角和定理求出第三个角． 3)由正弦定理公式的变形，求第三条边．
（3）解三角形的解的情况
在△ABC 中，已知a ，b 和A ，以点C 为圆心，以边长a 为半径画弧，此弧与射线AB 的公共点（除去顶点A ）
A 为锐角 A 为钝角或直角 图形
关系式 a ＜b sin A a ＝b sin A b sin A ＜a ＜b
a ≥
b a ＞b a ≤b 解的个数
无解
一解
两解
一解
一解
无解
（三）三角形的面积公式
S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1
2
(a ＋b ＋c )·()()()p p a p b p c ---二、典型例题
考点一、正弦定理概念及变形
例1、已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝________.
变式训练1、（1）在△ ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3
，则a ＝ .
（2）在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋c
sin A ＋sin B ＋sin C
＝________.
考点二、已知两角及一边解三角形
例2、在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.
变式训练2、（1）在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝() A．43B．2 3
C. 3
D.
3 2
（2）在△ABC中，A=45°，B=75°，c=2，则此三角形的最短边的长度是。

考点三、已知两边及其中一边的对角解三角形
例3、在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，求A，C，c.
变式训练3、（1）在△ABC中，c＝6，C＝60°，a＝2，求A，B，b.
（2）已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝cos A且b＜c，则b=
考点四、利用正弦定理判断三角形的形状
例4、（1）在△ABC中，a cos
2A
π⎛⎫
-
⎪⎝⎭＝b cos
2
B
π⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，判断△ABC的形状．
（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为() A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不确定
变式训练4、（1）在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，且sin A＝2sin B·cos C．试判断△ABC的形状．
（2）在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，试判断三角形的形状。

考点五、利用正弦定理证明恒等式
例5、在△ABC中，求证：
222222
a b b c c a
cos A cos B cos B cos C cos C cos A ---
++= +++
变式训练5、在△ABC中，求证：
() 22
2
sin A B a b
c sinC
-
-
=
考点六、三角形解的个数
例6、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a=4，A=30°，b=x （x ＞0），判断此三角形解的个数。

变式训练6、在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有 ( ) A ．无解 B ．两解
C ．一解
D ．解的个数不确定
考点七、三角形面积公式
例7、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a tan B =2b tan A . (1) 求B;
(2) 若A=512
π
，求△ABC 的面积。

变式训练7、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若tan A =3，cos C （1）求B;
（2）若c=4，求△ABC 的面积。

考点八、正弦定理的综合应用 例8、在△ABC 中，AC =6，cos B =45，C =4
π （1） 求AB 的长； （2） 求cos 6A π⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
的值。

变式训练8、在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD=2DC. （1） 求
sin B
sinC
； （2） ∠BAC=60°，求∠B 。

三、课后练习
1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )
A.6
B. 2
C. 3 D ．2 6
解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B
sin A
＝ 6.
2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )
A ．4 2
B ．4 3
C ．4 6 D.32
3
解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B
sin A
＝4 6.
3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )
A ．45°或135°
B ．135°
C ．45°
D ．以上答案都不对
解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝2
2
，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°.
4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )
A ．1∶5∶6
B ．6∶5∶1
C ．6∶1∶5
D ．不确定
解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )
A ．1 B.12 C ．2 D.1
4
解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°
sin45°
＝1.
6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b
a
，则△ABC 是( )
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin B
sin A
，
sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B
即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π
2
.
7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )
A.32
B.34
C.32或 3
D.34或32
解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝3
2
，∵AB ＞AC ，
∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.
再由S △ABC ＝1
2
AB ·AC sin A 可求面积．
8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )
A. 6 B ．2 C. 3 D. 2
解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2
sin C
，
∴sin C ＝1
2
.
又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.
9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π
3
，则A ＝________.
解析：由正弦定理得：a sin A ＝c
sin C
，
所以sin A ＝a ·sin C c ＝1
2
.
又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π
6
.
答案：π6
10．在△ABC 中，已知a ＝43
3，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.
解析：由正弦定理得a sin A ＝b
sin B
⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433
＝3
2
.
答案：3
2
11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.
解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，
由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43， ∴a ＋c ＝8 3. 答案：8 3
12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．
解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ， 代入式子a ＝2b cos C ，得 2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ， 所以sin A ＝2sin B ·cos C ， 即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ， 化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形
13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c
sin A ＋sin B ＋sin C
＝________，c ＝________.
解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°
＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴1
2×12×sin60°×c ＝183，
∴c ＝6.
答案：12 6
14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c
sin A －2sin B ＋sin C
＝________.
解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，
∴2R ＝a sin A ＝1
sin30°
＝2，
又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，
∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin C
sin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：2
15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1
3
，S △ABC ＝43，则b ＝________.
解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝1
2
ab sin C ＝43，
解得b ＝2 3. 答案：2 3
16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．
解析：∵b sin C ＝43×1
2
＝23且c ＝2，
∴c <b sin C ，∴此三角形无解． 答案：0 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？
解：在△ABC 中，BC ＝40×1
2
＝20，
∠ABC ＝140°－110°＝30°， ∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°， 所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°， 由正弦定理得
AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A
＝20sin30°sin45°
＝102(km)．
即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.
18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A
2
，求A 、B
及b 、c .
解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝1
2
，
又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π
6.
由sin B sin C ＝cos 2A
2，得
sin B sin C ＝1
2
[1－cos(B ＋C )]，
即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，
即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，
即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π
6
(舍去)，
A ＝π－(
B ＋
C )＝2π
3.
由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c
sin C
，得
b ＝
c ＝a sin B
sin A ＝23×123
2
＝2.
故A ＝2π3，B ＝π
6
，b ＝c ＝2.
19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝3
5
，sin
B ＝1010
.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．
解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝10
10
，
∴cos B ＝1－sin 2B ＝310
10.
又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝25
5
，
∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22
.
又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π
4
.
(2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝2
2.
由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c
sin C
得
5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .
∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1. ∴a ＝2，c ＝ 5.
20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．
解：由S ＝12ab sin C 得，153＝1
2×603×sin C ，
∴sin C ＝1
2
，∴∠C ＝30°或150°.
又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C . 当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.
又∵ab ＝603，a sin A ＝b
sin B
，∴b ＝215.
当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)． 故边b 的长为215.。