不确定度的评定

2 i
、
x y
i
i
五个累加数，为此
在没有常用的科学型计算器时，通过列表计算的方式来进行，这对提高计 算速度将会有极大的帮助(参见表2)，并使工作有条理与不易出错。
最小二乘法应用举例
表2：列表计算
i t/℃ ( xi )
19.10 25.10 30.10 36.00 40.00
Rt / ( yi )
式中，Sy是测量值yi的标准偏差，即：
Sy
2 i
n2

2 ( y kx b ) i i
n2
最小二乘法应用举例
巳知某铜棒的电阻与温度关系为：
Rt R0 t 。实验测得7组数据（见表1）
如下：试用最小二乘法求出参量R0、 以及它们的不确定度。 表1：某铜棒的电阻与温度关系数据
u ( y ) u ( x) n 乘方： y x y n x
2 2
一个简单的例子
• 测量一个圆柱体的密度
• 分析待测量
M 4M V D2h
• 间接测量量 转化为3个直接测量量M、D、h
一个简单的例子
• 质量的测量：选用可读性（精度）为0.01g、 不确定度限值为0.02g的电子天平， 测得：M=80.36g
• 不确定度的合成
单次测量、多次测量
• 不确定度的传递
加减、乘除、乘方
不确定度的分类
A类不确定度 uA x (多次测量)

2 ( x x ) i
n
n 1 i 1 , 其中x xi n(n 1) n i 1
B 类不确定度
uB1=d/10（最好） B1 类不确定度， uB1=d/5 （中等） d为仪器的分度值 （单次测量） u =d/2 （较差）
• 高度的测量：选用最小分度值为0.1cm、不确 定度限值为0.01cm的钢尺，估读1/5分度， 测得左端读数：H1＝4.00cm 测得右端读数：H2＝19.32cm
一个简单的例子
• 直径的测量：选用最小分度值为0.002cm、不 确定度限值为0.002cm的游标卡尺， 测得数据如下：
2.014 2.020 2.016 2.020 2.018 D/cm 2.018 2.020 2.022 2.016 2.020
最小二乘法应用举例
表2：列表计算
i
t/℃ ( xi )
19.10
25.10 30.10 36.00 40.00 45.10 50.10
Rt / ( yi )
76.30
77.80 79.75 80.80 82.35 83.90 85.10
t× t ( x2i )
364.8
630.0 906.0 1296 1600 2034 2510
u ( x) u ( x1 ) u ( x 2 ) u ( x)
2 B1 2 B1 2 B2
多次测量：
u ( x) u ( x) u ( x)
2 A 2 B2
不确定度的传递
一般传递公式，当各直接测量的量相互独立无关时：
f 2 y f ( x1 , x2 , x3, xn ) u ( y) x u ( xi ) i 1 i
多保留一位有效数字
一个简单的例子
• 直径的不确定度—“多次测量的不确定度” ：
已知条件：选用最小分度值为0.002cm、不确定度限值为0.002cm的游标卡尺， 测得数据如下：
D/cm
2.014 2.018
2.020 2.020
2.016 2.022
2.020 2.016
2.018 2.020
计算过程中 多保留一位有效数字
76.30 77.80 79.75 80.80 82.35
t× t ( x2i )
364.8 630.0 906.0 1296 1600
Rt Rt ( y2i )
5821.7 6052.8 6360.1 6528.6 6781.5
t× R t ( xi yi )
1457.3 1952.8 2400.5 2908.8 3294.0
一个简单的例子
• 不确定度传递：
怎么选择仪器？
• 长度测量： 米尺、游标卡尺、千分尺？
作图
• 为什么要作图？ • 作图规则？ • 如何读图？
为什么要作图
• 清晰地看到定性关系 • 方便地比较不同特性 • 合理地从图上得到有用的信息
二极管伏安特性
电阻随温度的变化关系
作图规则
• • • 选择图纸（采用标准坐标纸）， 根据自变量－因变量选择图纸的方向（一般取自变量为横坐标），选择合适的比例，图纸上 1格所表示的数据量值符合原数据量值变化的1、2、5等数（或它们的十进倍率）。 画坐标轴、分度线（等间距、 勿太密）并标明物理量名称 斜体）及单位（正体）。 画数据点（不标数据值，要 用 端 正 的 “ +” 或 者 “ ⊙ ” 符号来表示）。 画直线或曲线，标明特殊点 ( 特殊点所用符号应有别于 数据点的符号）及坐标值 （计算斜率用的点，曲线的 峰、谷等）。 写出实验名称、图名、实验 者、实验日期。
n
2
加减：
几 个 常 用 的 传 递 公 式
y x1 x2 u 2 ( y) u 2 ( x1 ) u 2 ( x2 )
2 2 2
u ( y ) u ( x1 ) u ( x2 ) x1 乘除： y x1 x2或y x2 y x x 1 2
45825.9
20060.8
2845×10-4
最小二乘法应用举例
计算k 和b的不确定度，由公式计算，可得：
S y S Rt
Sk S

2845 104 0.239() n2 72
Sy
2
2 i
( xi ) x n
2 i

0.239 9340 .8 (245.50) 7
R计算 /
i /
i2×10-4 /
1 2 3 4 5
6
7
45.10
50.10
83.90
85.10
2034
2510
7039.2
7242.0
3783.9
4263.5
n xi
7 245.50
y
i

x
2 i

y
2 i

x y
i
i

566.00
Βιβλιοθήκη Baidu
9340.8
45825.9
20060.8
•
•
•
如何读图
• 读某个数据点时－有效数字 • 读单一坐标值时－有效数字、单位
• 通过图求斜率时
－取点、标出坐标值、计算斜率（单位）
取点三个规则：不能取原始数据点、尽量远但不超 数据范围、取与X轴刻度线的交点。
例：如何读图
例：关于作图
• 在伏安法测电阻的实验中，同学根据测得的数据如下：
如何找到一条最佳的拟合直线？
最小二乘法直线拟合的不确定度估算：以 y kx b 为例
在假设只有yi 存在随机误差的条件下（且y的仪器不确定度远小于其A类 不确定度），则k 和b的不确定度分别为：
Sk
Sy
2 x i
( xi ) 2 n
2 x i
Sb S k
2 x i
n
Sy
n xi2 ( xi ) 2
B1
uB1=d
（特殊情况，比如数字显示）
B2 类不确定度 a a为仪器的不确定度限值 （仪器不确定度） u B2 c C称为“置信因子”，本实 验课上，一般取 3 。
不确定度的合成
单次测量：
u ( x) u ( x) u ( x)
2 B1 2 B2
在长度测量中，长度值是两个位置读数x1和x2之差， 其不确定度合成公式为：
t/℃ Rt /
19.10 76.30
25.10 77.80
30.10 79.95
36.00 80.80
40.00 82.35
45.10 83.90
50.10 85.10
分析：此例中只有两个待定的参量R0和，为得到它们的最佳系数，所需要
的数据有n 和
x 、 yi 、 x
i
2 i
、
y
前登记5-16周实验的同学们重新选择填写，由此
带来的不便表示歉意！
• 不确定度的评定 • 作图 • 最小二乘法
• 参考资料 1. 网上搜索：实验数据处理 2. 图书馆馆藏目录中搜索： 实验数据处理 不确定度
不确定度的评定
• 不确定度评定的意义
过大？过小？
• 不确定度的分类
A类不确定度、B1和B2类不确定度
Rt Rt ( y2i )
5821.7
6052.8 6360.1 6528.6 6781.5 7039.2 7242.0
t× R t ( xi yi )
1457.3
1952.8 2400.5 2908.8 3294.0 3783.9 4263.5
R计算 /
76.26
77.99 79.43 81.13 82.28 83.75 85.19
最小二乘法应用举例
根据表2中所求得的数据，代入公式可得 ：
k
7 20060 .8 245.50 566.00 1472 .6 0 0 . 28788 / C 7 9340 .8 (245.50) 2 5115 .35
566 .00 245 .50 0.28788 70.76078 7 7
解方程得：
k
l xy
1 xi yi n
l xx
1 l xx ( xi x) 2 xi2 ( xi ) 2 n
b y kx
相关系数：
r
l xy l xx l yy
l yy yi y yi2
2


1 yi 2 n
如果y和x的相关性好（r的值越接近1，表示x和y的线性关系越好），可以 粗略考虑b的有效位数的最后一位与y的有效数字最后一位对齐，k的有效数 字与yn-y1和xn-x1中有效位数较少的相同。
相关系数保留到第一 个非9的数字
说明：电阻Rt与温度t的线性关系良好，所以取R0的有效数字与R对齐，即：R0＝70.76； 又因为t7－t1 = 31.00℃，R7－R1 = 8.80，取k有效数字为以上两个差值中较少的位数3位， 则k = 0.288/C。 t 由此可以得到电阻与温度的相关关系为： Rt 70.76 0.288
2
0.239 0.03699 0.0088 ( / C)
Sb S R0 S k
故：
2 x i
n
0.0088
基础物理实验
数据处理
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重要通知
• 因选课人数增加，点名表和分组表在原有基础上
作了扩充调整，请同学们在网上或橱窗内查看。 • 由于以上原因，再加上有部分同学登记错误，上 周对每个房间的选实验登记表作了扩充调整，原 有的选实验记录（5-16周）已被清空，请上周之
i /
+0.04
-0.19 +0.32 -0.33 +0.07 +0.15 -0.09
i2×10-4 /
16
361 1024 1089 49 225 81
1
2 3 4 5 6 7
n xi
7 245.50
y
i

x
2 i

y
2 i

x y
i
i


2 i

566.00
9340.8
R0 b

x y n x y
i i i
1
i
1 1 [ xi2 ( xi ) 2 ] [ yi2 ( yi ) 2 ] n n
20060 .8
245.50 566.00 7 0.99757 0.998 2 2 (245.50) (566.00) [9340.8 ] [(45825 .9 )] 7 7
一个简单的例子
• 质量的不确定度—“单次测量的不确定度” ：
已知条件：选用可读性（精度）为0.01g、不确定度限值为0.02g的电子 天平，测得：M=80.36g
多保留一位有效数字
一个简单的例子
• 高度的不确定度—“单次测量的不确定度” ：
已知条件：选用最小分度值为0.1cm、不确定度限值为0.01cm的钢尺，估读1/5 分度，测得左端读数：H1＝4.00cm，测得右端读数：H2＝19.32cm；
这幅图中存在什么问题呢？
最小二乘法
• 最小二乘法认为：若最佳拟合的直线为： y kx b ，则所测各值与拟合直线上相应的 各估计值 y kx b 之间的偏差的平方和为最小，即： s i i

( y y )
i 1 i i
n

2
min
最小二乘法
l xy ( xi x)( yi y ) ( xi yi )