一次函数几何拔高专题
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-反比例函数和一次函数交点问题(含解析)
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-反比例函数和一次函数交点问题1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y= kx（x＞0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB=4，AD=3（1）求反比例函数y= kx的解析式；（2）若直线y=﹣x+m与反比例函数y= kx（x＞0）的图象相交于两个不同点E、F（点E在点F的左边），与y轴相交于点M①则m的取值范围为（请直接写出结果）②求ME•MF的值．2．如图所示，直线y1=−x+6与反比例函数y2=k x（k≠0，x>0）的图象交于点Q(m，2)、点P．（1）求m的值及反比例函数的解析式．（2）根据图象，写出y1>y2时x的取值范围．3．如图，已知反比例函数y= mx（x＞0）的图象与一次函数y=﹣x+b的图象分别交于A（1，3）、B两点．（1）求m、b的值；（2）若点M是反比例函数图象上的一动点，直线MC△x轴于C，交直线AB于点N，MD△y轴于D，NE△y轴于E，设四边形MDOC、NEOC的面积分别为S1、S2，S=S2﹣S1，求S的最大值．4．如图，一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=k x（k为常数且k≠0）的图象相交于A(−1,m)，B两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）将一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位(b>0)，使平移后的图象与反比例函数y=k x的图象有且只有一个交点，求b的值．5．如图，一次函数与反比例函数y= mx的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P是x轴上的一动点，试确定点P使PA+PB最小，并求出点P的坐标．6．如图，直线y=mx+n(m≠0)与双曲线y=k x(k≠0)交于A、B两点，直线AB与坐标轴分别交于C、D两点，连接OA，若OA=2√10，tan∠AOC=13，点B(−3,b).（1）分别求出直线AB与双曲线的解析式；（2）连接OB，求S△AOB.7．定义：若一次函数y=ax+b与反比例函数y=k x同时经过点P（x，y）则称二次函数y=ax2+bx−k为一次函数与反比例函数的“关联函数”，称点P为关联点．例如：一次函数y=x+2与反比例函数y=8x，都经过（2，4），则y=x2+2x−8就是两个函数的“关联函数”．（1）判断y=2x+1与y=3x是否存在“关联函数”，如果存在，请求出“关联点”和相应“关联函数”．如果不存在，请说明理由；（2）已知：整数a，b，c满足条件c<b<8a，并且一次函数y=(1+b)x+ 2a+2与反比例函数y=2021x存在“关联函数” y=(a+c)x2+(10a−c)x−2021，求a的值．（3）若一次函数y=x+m和反比例函数y=m 2+13x在自变量x的值满足m≤x≤m+6的情况下．其“关联函数”的最小值为6，求其“关联函数”的解析式．8．如图，直线y1=2x−6与反比例函数y2=k x的图象交于点A(4,2)，（1）求k的值及另一个交点的坐标；（2）当y1<y2时，求x的取值范围.9．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=k x的图象经过点A（1，4），B（m，n）．（1）求反比例函数y=k x的解析式；（2）若二次函数y=(x−1)2的图象经过点B，求代数式m 2−2m−34−n+1mn的值；（3）若反比例函数y=k x的图象与二次函数y=a(x−1)2的图象只有一个交点，且该交点在直线y＝x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．10．如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数y=k x（k为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围．11．如图，已知A(−4，12)，B(−1，m)是一次函数y=kx+b与反比例函数y=−2x(x<0)图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D.（1）求一次函数解析式及m的值；（2）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标.12．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，B，C在第一象限，反比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点C，交AB于D，已知OC＝12，OA＝4 √3，△AOC＝60°（1）求反比例函数y＝kx（k≠0）的函数表达式；（2）连结CD，求△BCD的面积；（3）P是线段OC上的一个动点，以AP为一边，在AP的右上方作正方形APEF，在点P的运动过程中，是否存在一点P使顶点E落在△OABC的边所在的直线上，若存在，请求出此时OP的长，若不存在，请说明理由．13．如图所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y =mx交于A(1，t+2)，B(﹣2t，﹣1)两点.（1）求一次函数和反比例函数的函数表达式；（2）点C(x1，y1)和D(x2，y2)是反比例函数y =mx图象上任意两点，①若x1＜x2＜0，p =y1+y28，q =2x1+x2，试判断p、q的大小关系，并说明理由；②若x1＜﹣4，0＜x2＜1，过C、D两点分别作直线AB的垂线，垂足分别为E、F，当x1x2=﹣4时，判断四边形CEFD的形状，并说明理由.14．如图，已知点D在反比例函数y= mx的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B（0，3）．过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tan△OAC= 25．（1）求反比例函数y= mx和直线y=kx+b的解析式；（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA与点M，求△BMC的度数．15．如图，直线y=ax+6经过点A(−3，0)，交反比例函数y=k x(x>0)的图象于点B(1，m)．（1）求k的值；（2）点D为第一象限内反比例函数图象上点B下方的一个动点，过点D作DC⊥y 轴交线段AB于点C，连接AD，求△ACD的面积的最大值．16．已知，如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y= nx（n为常数且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD△x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=6．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求两函数图象的另一个交点坐标；（3）直接写出不等式；kx+b≤ nx的解集．答案解析部分1．【答案】（1）解：设D 的坐标是（4，a ），则A 的坐标是（4，a+3）．又∵点C 是OA 的中点， ∴点C 的坐标是（2， a+32），∴4a=2× a+32 =k ，解得a=1，k=4，∴反比例函数的解析式为y= 4x；（2）m ＞4；82．【答案】（1）解：将点 Q(m ，2) 代入直线 y 1=−x +6 中得： 2=−m +6 ，解得： m =4 ，将点 Q(4，2) 代入 y 2=k x 得： 2=k 4，∴k =8 ，∴反比例函数的解析式为： y 2=8x；（2）解：联立 {y 1=−x +6y 2=8x 得： −x +6=8x ，整理得： x 2−6x +8=0 ，解得： x =2 或 x =4 ， 当 x =2 时， y 1=y 2=4 ， 当 x =4 时， y 1=y 2=2 ， ∴P(2，4) ， Q(4，2) ，∴由函数图象可得，当 y 1>y 2 时x 的取值范围为： 2<x <4 ．3．【答案】（1）解：把A （1，3）的坐标分别代入y= mx 、y=﹣x+b ，∴m=xy=3，3=﹣1+b ， ∴m=3，b=4（2）解：由（1）知，反比例函数的解析式为y= 3x ，一次函数的解析式为y=﹣x+4，∵直线MC△x 轴于C ，交直线AB 于点N ，∴可设点M 的坐标为（x ， 3x），点N 的坐标为（x ，﹣x+4），其中，x ＞0，又∵MD△y 轴于D ，NE△y 轴于E ，∴四边形MDOC 、NEOC 都是矩形， ∴S 1=x• 3x=3，S 2=x•（﹣x+4）=﹣x 2+4x ，∴S=S 2﹣S 1=（﹣x 2+4x ）﹣3=﹣（x ﹣2）2+1．其中，x ＞0， ∵a=﹣1＜0，开口向下，∴有最大值，∴当x=2时，S取最大值，其最大值为14．【答案】（1）解：由题意，将点A(−1,m)代入一次函数y=x+5得：m=−1+5=4∴A(−1,4)将点A(−1,4)代入y=k x得：k−1=4，解得k=−4则反比例函数的表达式为y=−4 x；（2）解：将一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b个单位得到的一次函数的解析式为y=x+5−b联立{y=x+5−b y=−4x整理得：x2+(5−b)x+4=0∵一次函数y=x+5−b的图象与反比例函数y=−4x的图象有且只有一个交点∴关于x的一元二次方程x2+(5−b)x+4=0只有一个实数根∴此方程的根的判别式Δ=(5−b)2−4×4=0解得b1=1,b2=9则b的值为1或9．5．【答案】（1）解：将A（1，4）代入y= m x，∴m=4，∴反比例函数的解析式为：y= 4 x（2）解：将B（4，n）代入y= 4 x，∴n=1，设C与A关于x轴对称，∴C（1，﹣4），设直线BC的解析式为：y=kx+b，将C（1，﹣4）和B（4，1）代入y=kx+b，∴解得{k=53b=−173∴一次函数的解析式为：y= 53x﹣173令y=0代入y= 53x﹣173∴x= 175∴P （ 175，0）6．【答案】（1）解：如图，作 AE ⊥x 轴于点 E∵tan∠AOC =AE OE =13 ，∴ 设 AE =x ， OE =3x ，则 OA =√AE 2+OE 2=√10x =2√10 ， ∴x =2 ，∴ 点 A 的坐标为 (−6,2) ，代入 y =kx，得： k =−12 ，则反比例函数解析式为 y =−12x，当 x =−3 时， y =4 ， ∴ 点 B 的坐标为 (−3,4) ，将点 A(−6,2) 、 B(−3,4) 代入 y =mx +n ，得： {−6m +n =2−3m +n =4， 解得： {m =23n =6， ∴ 直线 AB 的解析式为 y =23x +6 ；（2）解：在直线 y =23x +6 中，当 x =0 时， y =6 ，即点 D(0,6) ，当 y =0 时， 23x +6=0 ，解得 x =−9 ，即点 C(−9,0) ，∴S △AOB =S △COD −S △AOC −S △BOD=12×9×6−12×9×2−12×6×3 =9 .7．【答案】（1）解：存在关联点和关联函数，理由如下：{y =2x +1y =3x， 整理得： 2x 2+x −3=0 ，(x −1)(2x +3)=0 ，解得： x 1=1 ， x 2=−32， 所以，关联点为（1，3）或（ −32，－2）， 关联函数为： y =2x 2+x −3（2）解：由题意知： {y =(1+b)x +2a +2y =2021x， 整理得： (1+b)x 2+(2a +2)x −2021=0 ，因此可得： {1+b =a +c 10a −c =2a +2， 解得： {b =9a −3c =8a −2， ∵c <b <8a ，∴8a −2<9a −3<8a ，解得： 1<a <3 ，∵ a 是整数，∴a =2（3）解：由一次函数 y =x +m 和反比例函数 y =m 2+13x得：“关联函数”的解析式为 y =x 2+mx −(m 2+13) ，函数的对称轴为：x ＝− 12m ； 当m ＋6≤− 12m 时，即m≤−4， x ＝m ＋6，函数取得最小值，即 (m +6)2+m ⋅(m +6)−(m 2+13)=6 ， 解得：m ＝－17或－1（舍去）；当m ＜− 12m ＜m ＋6，即−4＜m ＜0， 函数在x ＝− 12 m 处取得最小值，即 (−12m)2+m ⋅(−12m)−(m 2+13)=6 ，无解；当m≥0时，函数在x ＝m 处，取得最小值，即 m 2+m ⋅m −(m 2+13)=6 ， 解得：m ＝± √19 （舍去− √19 ），综上，m ＝－17或 √19 ，故“关联函数”的解析式为y=x2−17x−302或y=x2+√19x−32．8．【答案】（1）把A(4,2)代入y=k x中得：2=k4，解得k=8，∴y=8 x联立方程组得{y=2x−6y=8x，解得，{x=4y=2或{x=−1y=−8∵A（4，2）∴另一个交点坐标为(−1,−8).（2）由图象可知，不等式y1<y2的解集为0<x<4或x<−1 9．【答案】（1）解：将A（1，4）代入函数y＝k x得：k=4反比例函数y＝kx的解析式是y=4x（2）解：∵B（m，n）在反比例函数y＝kx上，∴mn=4，又二次函数y＝（x－1）2的图象经过点B（m，n），∴(m−1)2=n，即n-1=m2-2m∴m 2−2m−34−n+1mn=mn(m2−2m−3)−4(n+1)4mn=−54（3）解：由反比例函数的解析式为y=4x，令y＝x，可得x2＝4，解得x＝±2．∴反比例函数y=4x的图象与直线y＝x交于点（2，2），（－2，－2）．如图，当二次函数y＝a（x－1）2的图象经过点（2，2）时，可得a＝2；当二次函数y＝a（x－1）2的图象经过点（－2，－2）时，可得a＝－2 9.∵二次函数y＝a（x－1）2图象的顶点为（1，0），∴由图象可知，符合题意的a的取值范围是0＜a＜2或a＜－2 9.10．【答案】（1）解：把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得：0=﹣1+b，∴b=1，∴一次函数解析式为：y=x+1，∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，∴n=1+1，∴n=2，∴点A的坐标是（1，2）．∵反比例函数y=k x的图象过点A（1，2）．∴k=1×2=2，∴反比例函数关系式是：y= 2 x（2）解：反比例函数y= 2x，当x＞0时，y随x的增大而减少，而当x=1时，y=2，当x=6时，y= 1 3，∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值：13≤y≤211．【答案】（1）解：把B(−1，m)代入反比例函数y=−2x得，m=2，y=kx+b的图象过点A(−4，12)，B(−1，2)，则{−4k+b=1 2−k+b=2，解得{k=12b=52，∴一次函数的解析式为y=12x+5 2（2）解：连接PC、PD，如图，设P(x，12x+52)，由△PCA和△PDB面积相等得1 2×12×(x+4)=12×|−1|×(2−12x−52)，解得x=−52，∴y=12x+52=54，∴P点坐标是(−52，5 4)12．【答案】（1）解：如图1，过点C作CG△x轴于点G∴△OGC＝90°∵OC＝12，△AOC＝60°∴cos△AOC＝OGOC=12，sin△AOC＝OGOC=√32∴OG＝12OC＝6，CG＝√32OC＝6 √3∴C（6，6 √3）∵反比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点C∴6 √3＝k6解得：k＝36 √3∴反比例函数的函数表达式为y＝36√3x（2）解：如图2，过点D作DH△BC于点H∵OA＝4 √3，点A在x轴上∴A（4 √3，0）∵四边形OABC是平行四边形∴BC△OA，BC＝OA＝4 √3∴x B＝x C+BC＝6+4 √3，y B＝y H＝y C＝6 √3∴B （6+4 √3 ，6 √3 ）设直线AB 解析式为y ＝ax+b∴{4√3a +b =0(6+4√3)a +b =6√3 解得： {a =√3b =−12∴直线AB ：y ＝ √3 x ﹣12∵点D 为线段AB 与反比例函数图象的交点∴{y =36√3x y =√3x −12 解得： {x 1=6√3y 1=6 或 {x 2=−2√3y 2=−18 （舍去） ∴D （6 √3 ，6）∴DH ＝6 √3 ﹣6∴S △BCD ＝ 12 BC•DH ＝ 12×4 √3 ×（6 √3 ﹣6）＝36﹣12 √3 （3）解：存在点P 使顶点E 落在△OABC 的边所在的直线上． 如图3，过点P 作PM△x 轴于点M ，过点E 作EN△直线PM 于点N∴△AMP ＝△PNE ＝90°∵C （6，6 √3 ）∴直线OC 解析式为y ＝ √3 x∵点P 在线段OC 上∴设点P 坐标为（m ， √3 m ）（0≤m≤6）∴OM ＝m ，PM ＝ √3 m∴AM ＝OA ﹣OM ＝4 √3 ﹣m∵四边形APEF 是正方形∴AP ＝PE ，△APE ＝90°∴△EPN+△APM ＝△APM+△PAM ＝90°∴△EPN ＝△PAM在△PNE 与△AMP 中{∠PNE =∠AMP ∠EPN =∠PAM PE =AP∴△PNE△△AMP（AAS）∴PN＝AM＝4 √3﹣m，NE＝PM＝√3m∴x E＝x N+NE＝m+ √3m，y E＝y N＝MN＝PM+PN＝√3m+4 √3﹣m∴E（m+ √3m，√3m+4 √3﹣m）①若点E落在直线OC上，则√3m+4 √3﹣m＝√3（m+ √3m）解得：m＝√3∴P（√3，3），OP＝√(3+√3)2=2√3②若点E落在直线BC上，则√3m+4 √3﹣m＝6 √3解得：m＝3+ √3∴P（3+ √3，3 √3+3），OP＝√(3+√3)2+(3√3+3)2=6+2√3③若点E落在直线AB上时，直线AB：y＝√3x﹣12∴√3（m+ √3m）﹣12＝√3m+4 √3﹣m解得：m＝3+ √3，即点E落在直线BC与直线AB交点处综上所述，OP＝2 √3或（6+2 √3）时，点E落在△OABC的边所在的直线上．13．【答案】（1）解：将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：1×(t+2)=﹣1×(﹣2t)，解得：t=2，故点A、B的坐标分别为(1，4)、(﹣4，﹣1)，故反比例函数表达式为：y =4 x；将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：k=1，b=3，故一次函数的表达式为：y=x+3；（2）解：①p＜q，理由：设反比例函数过点C(x1，y1)、D(x2，y2)，则y1=4x1，y2=4x2，p =18(y1+y2) =18（4x1+4x2）=x1+x22x1x2，q =2x1+x2，p﹣q =x1+x22x1x2−2x1+x2=（x1−x2）22x1x2（x1+x2），∵x1＜x2＜0，∴x1x2＞0，x1+x2＜0，∴p﹣q＜0，故p＜q；②由题意知，点C 、D 的坐标分别为(x 1， 4x 1 )、(x 2， 4x 2)， 设直线CD 的表达式为：y=ax+b ，将点C 、D 的坐标代入上式得 {ax 1+b =4x 1ax 2+b =4x 2 ，解得：a =−4x 1x 2 ， ∵x 1x 2=﹣4=﹣4a ，解得：a=1.∵a=k=1，∴CD△AB ，又∵CE△DF ，∴四边形CEFD 为平行四边形，又∵CE△AB ，∴四边形CEFD 为矩形.14．【答案】（1）解：∵A （5，0），∴OA=5．∵tan∠OAC =25， ∴OC OA =25，解得OC=2， ∴C （0，﹣2），∴BD=OC=2，∵B （0，3），BD△x 轴，∴D （﹣2，3），∴m=﹣2×3=﹣6，∴y =−6x， 设直线AC 关系式为y=kx+b ，∵过A （5，0），C （0，﹣2），∴{0=5k +b −2=b ，解得 {k =25b =−2， ∴y =25x −2 ； （2）解：∵B （0，3），C （0，﹣2），∴BC=5=OA ，在△OAC 和△BCD 中{OA =BC ∠AOC =∠DBC OC =BD∴△OAC△△BCD （SAS ），∴AC=CD ，∴△OAC=△BCD ，∴△BCD+△BCA=△OAC+△BCA=90°，∴AC△CD ； （3）解：△BMC=45°．如图，连接AD ，∵AE=OC ，BD=OC ，AE=BD ，∴BD△x 轴，∴四边形AEBD 为平行四边形，∴AD△BM ，∴△BMC=△DAC ，∵△OAC△△BCD ，∴AC=CD ，∵AC△CD ，∴△ACD 为等腰直角三角形，∴△BMC=△DAC=45°． 15．【答案】（1）解：把A(−3，0)代入y =ax +6，得−3a +6=0， 解得a =2，∴直线的函数表达式为y =2x +6，∴当x =1时，y =2×1+6=8，∴B(1，8)，把B(1，8)代入反比例函数y =k x，得k =1×8=8． （2）解：设点C 的坐标为(x ，2x +6)，由于DC ⊥y 轴，所以点D 的纵坐标为2x +6，∴点D(82x+6，2x +6)， ∴S △ACD =12CD ×(2x +6)=12(82x+6−x)×(2x +6)=−x 2−3x +4=−(x +32)2+254， ∴当x =−1.5时，S △ACD 最大值=254，答：S △ACD 的最大值为254． 16．【答案】（1）解：∵OB=2OA=3OD=6，∴OB=6，OA=3，OD=2，∵CD△OA ，∴DC△OB ，∴OB CD =AO AD， ∴6CD = 35， ∴CD=10，∴点C 坐标（﹣2，10），B （0，6），A （3，0），∴{b =63k +b =0 解得 {k =−2b =6， ∴一次函数为y=﹣2x+6．∵反比例函数y= n x 经过点C （﹣2，10），∴n=﹣20，∴反比例函数解析式为y=﹣ 20x（2）解：由 {y =−2x +6y =−20x解得 {x =−2y =10 或 {x =5y =−4 ， 故另一个交点坐标为（5，﹣4）（3）解：由图象可知kx+b≤ n x 的解集：﹣2≤x ＜0或x≥5。
一次函数与几何压轴(十大题型)(解析版)—2024-2025学年八年级数学上册(浙教版)
一次函数与几何压轴（十大题型）【题型1 一函数中面积问题】【题型2 一次函数中等腰三角形的存在性问题】【题型3 次函数中直角三角形的存在性问题】【题型4 一次函数中等腰直角三角形的存在性问题】【题型5 一次函数中平行四边形存在性问题】【题型 6 一次函数中菱形的存在性问题】【题型7 一次函数中矩形的存在性问题】【题型8 一次函数中正方形的存在性问题】【题型9 一次函数与相等角/2倍角的问题】【题型10 一次函数中45°角问题】【技巧点睛1】铅锤法求三角形面积【技巧点睛2】处理与一次函数相关的面积问题，有三条主要的转化途径：①知底求高、转化线段；②图形割补、面积和差；③平行交轨、等积变换。
【技巧点睛3】处理线段问题（1）在平面直角坐标系中，若线段与y轴平行，线段的长度时端点纵坐标之差（上减下，不确定时相减后加绝对值），若线段与x轴平行，线段的长度时端点横坐标之差（右减左，不确定时相减后加绝对值）；（2）线段相关计算注意使用”化斜为直”思想。
【技巧点睛4】角度问题（1）若有角度等量关系，不能直接用时，我们要学会角度转化，比如借助余角、补角、外角等相关角来表示，进行一些角度的和差和角度的代换等，直到转化为可用的角度关系。
（2）遇45°角要学会先构造等腰直角三角形，然后构造“三垂直”全等模型，一般情况下是以已知点作为等腰直角三角形的直角顶点【技巧点睛5】最值问题（1）求线段和最值，可以从“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的模型去考虑；（2）注意“转化思想”的运用，将不可用线段进行转化，变成我们熟悉的模型【技巧点睛6】特殊三角形存在问题等腰三角形存在性问题1、找点方法：①以AB 为半径，点A 为圆心做圆，此时，圆上的点（除 D 点外）与A、B构成以 A 为顶点的等腰三角形（原理：圆上半径相等）②以AB 为半径，点B 为圆心做圆，此时，圆上的点（除 E 点外）与A、B构成以 B 为顶点的等腰三角形（原理：圆上半径相等）③做AB 的垂直平分线，此时，直线上的点（除F 点外）与A、B 构成以C 为顶点的等腰三角形（原理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）2、求点方法：二、直角三角形存在性问题若▲ABC是直角三角形，则分三种情况分类讨论：∠A=90°，∠B=90°，∠C=90°，然后利用勾股定理解题。
一次函数拔高题
一次函数拔高题一选择题1．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路线为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y．则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）2．小明一出校门先加速行驶，然后匀速行驶一段后，在距家门不远的地方开始减速，最后停下，下面哪一副图可以近似地刻画出以上情况：( )3．已知自变量为x的一次函数y=a（x-b）的图象经过第二、三、四象限，则（）A．a>0，b<0 B．a<0，b>0 C．a<0，b<0 D．a>0，b>04．若点（x1，y1）和（x2，y2）都在直线y=-3x+5上，且x1>x2，则下列结论正确的是（）A．y1>y2B．y1<y2C．y1=y2D．y1≤y25．若点（3，y1）和（1，y2）都在直线y=-3x+5上，则下列结论正确的是（）A．y1>y2B．y1<y2C．y1=y2D．y1≤y26．一次函数y=kx+b满足kb>0且ｙ随ｘ的增大而减小，则此函数的图象不经过（） A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限8．函数y=(m+1)x-(4m-3)的图象在第一、二、四象限，那么m的取值范围是( )（A） m ＜3/4 （B）-1 ＜m＜3/4 （C）m＜-1 （D）m>-19．如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为( )A.（0，0） B.（－1/2，-1/2） C.（√2/2，-√2/2） D.（-√2/2，-√2/2）10．如图2，直线y=kx+b(k≠0)交坐标轴于A(－3，0)、B(0，5)两点，则不等式-kx-b＜0的解集为（）A．x>5 B．x<5 C．x>-3 D．x<-311．在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋3经过点(－1，1)，求不等式kx＋3＜0的解集．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500m，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2s．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y(m)与乙出发的时间t(s)之间的关系如图所示，给出以下结论：①a＝8；②b＝92；③c＝123．其中正确的是（）A．①②③B．仅有①②C．仅有①③D．仅有②③12．若点(m,n)在函数y=2x+1的图象上，则2m-n的值是（）A.2B.-2C.1D. -113．如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是( )Ａ．B．C．D．14．如图，是张老师出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是15．已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=kx+k的图象大致是（）16．对于函数y＝－k2x（k是常数，k≠0）的图像，下列说法不正确的是（）A是一条直线 B过点（1/k,-k）C．经过一、三象限或二、四象限 D．y随着x增大而减小17．如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的18．通过平移把点A（1，－3）移到点A1（3，0），按同样的方式平移直线y=-2x-3得到y=kx+b，则k,b的值分别为（） A. k=-2,b=-4 B. k=2,b=2 C. k=-2,b=-2 D. k=-2,b=4 19．直线y1＝k1x＋a与y2＝k2x＋b的交点坐标为(1,2)，则使y1< y2的x的取值范围为() A．x＞1 B．x＞2 C．x＜1 D．x＜220．已知直线y= kx+b经过第一、二、四象限，则直线y= bx+ k经过( ).(A)第一、三、四象限 (B)第一、二、三象限 (C)第一、二、三象限 (D)第二、三、四象限21．已知正比例函数y= (2t－1) x的图象上一点(x1, y1)且x1 y1<0，x1 +y1>0那么t的取值范围是( ) .(A)t<0.5 (B)t>0.5 (C)t<0.5或t>0.5 (D)不确定22．若函数y= mx+2x－2,要使函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是( ).(A)m ≥－2 (B)m>－2 (C) m ≤－2 (D)m<－223．已知一次函数y=kx-k,若y随x的增大而减小,则该函数的图象经过___________象限.A.一、二、三B.一、二、四C.二、三、四D.一、三、四24．已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，则直线y=-x+5与y=3x-3的交点坐标是（）A 、（2,0）B、（0,2）C、（3,0）D、（-3,0）25．如图，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，1），则关于x的不等式kx+b＞1的解集是（）A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1 D．x＜126．如图,函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m,3),则不等式2x＜ax+4的解集为（）A． x＜3/2 B． x ＜3 C． x＞3/2 D．x＞327．如图，已知A点坐标为（5，0），直线y=x+b(b＞0)与y轴交于点B，连接AB，∠a=75°，则b的值为（） A．3 B． 5√3/3C．4 D．5√3/428．如图，直线y=kx+b经过点A(-1,-2)和点B(-2,0)，直线y=2x过点A，则不等式2x＜kx+b ＜0的解集为（）A．x＜-2 B．-1＜x＜0 C．-2＜x＜0 D．-2＜x ＜-129．一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx(m ，n是常数，且mn0)图像的是( )．30．函数y=ax－3的图象与y=bx+4的图象交于x轴上一点，那么a∶b等于( )A．－4∶3 B．4∶3 C．(－3)∶(－4) D．3∶(－4)31．如图，四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺序，将下面的四种情境与之对应排序a：运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）b：静止的小车从光滑的斜面滑下（小车的速度与时间的关系）c：一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加（弹簧的长度与所挂重物的质量的关系）d：小明由A地到B地后，停留一段时间，然后按原速度原路返回（小明离A地的距离与时间的关系）（）（）（）（）（A）（B）（C）（D）32、如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x－6上时，线段BC 扫过的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．2433．如图，已知直线l：y=√3/3x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B 作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为（）A、（0，64）B、（0，128）C、（0，256）D、（0，512）34．如图，直线y=-2x+4与x轴，y轴分别相交于A,B 两点，C为OB上一点，且∠1=∠2，则S△ABC= A.1 B.2 C.3 D.435．一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300米．小军先走了一段路程，爸爸才开始出发．图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程S(米）与登山所用的时间t（分）的关系（从爸爸开始登山时计时）．根据图象，下列说法错误的是（）A．爸爸登山时，小军已走了50米B．爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面C．小军比爸爸晚到山顶D．爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟后登山的速度比小军快36．若直线y=-2x-4与直线y=4x+b的交点在第三象限，则b的取值范围是( )．A．-4<b<8 B．-4<b<0 C．b<-4或b>8 D．-4≤6≤837．若实数a、b、c满足a+b+c=0，且a<b<c，则函数y=ax+c的图象可能是( )．二．填空题1．点P（a，b）在第二象限，则直线y=ax+b不经过第象限。
一次函数拔高
求证：EF=BE+FD；
（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？
（1）求点A、C的坐标；
（2）将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；
（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，直线y=2x+m与x轴交于点A（﹣2，0），直线y=﹣x+n与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线y=2x+m相交于点D，若AB=4．（8分）
（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，求∠APD的度数
11．已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．
12．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）求点D的坐标；
（2）求出四边形AOCD的面积；
（3）若E为x轴上一点，且△ACE为等腰三角形，写出点E的坐标（直接写出答案）．
5．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．
（1）点P在运动过程中，若某一时刻，△OPA的面积为6，求此时P的坐标；
一次函数历年真题拔高(几何综合+实际应用)
一次函数综合拔高本专题三个部分：1、一次函数几何综合问题；2、一次函数实际应用——图象问题；3、一次函数实际应用——应用题：第一部分：几何综合问题1、（成外）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，线段OA=6，OB=12，C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD．（1）C点坐标为______；（2）求直线AD的解析式；（3）直线OC绕点O逆时针旋转90°，求出点D的对应点D′的坐标．2、（武侯）如图，长方形OABC在平面直角坐标系xOy的第一象限内，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，点D、E分别是OC、BC的中点，∠CDE=30°，点E的坐标为（2，a）（1）求a的值及直线DE的函数表达式；（2）现将长方形OABC沿直线DE折叠，使顶点C落在坐标平面内的点'C处，过点'C作y轴的平行线分别交x轴和BC于点F、G①求'C的坐标；②若点P为直线DE上一动点，连接P'C，当D为等腰三角形时，求点P的PC'坐标。
3、如图，平面直角坐标系中，直线AB ：b x y +-=31交y 轴于点A （0,1），交x 轴于点B ，直线1=x 交AB 于点D ，交x 轴于点E ，P 是直线1=x 上一动点，且在点D 的上方，设()n P ,1（1）求PD 的长及△ABP 的面积（用含n 的代数式表示）（2）当2=∆ABP S 时，以PB 为边在第一象限做等腰直角三角形BPC ，求出点C 的坐标；（3）当2=∆ABP S 时，在坐标轴上存在点Q ，使得2=∆BPQ S ，请直接写出这些点Q 的坐标（A 除外）4、如图，直线b x y AB --=:分别与x 、y 轴交于()B A ,0,6两点，过点B 的直线交x 轴负半轴于C ，且1:3:=OC OB（1）求直线BC 的函数关系式；（2）如图2，P 为x 轴上A 点右侧的一动点，以P 为直角顶点，BP 为一腰在第一象限内作等腰直角三角形BPQ ，连接QA 并延长交y 轴于点K ，当P 点运动时，K 点的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标，如果变化，请说明理由；（3）直线EF ：y=2x-k （k ≠0）交AB 于E ，交BC 于点F ，交x 轴于点D ，是否存在这样的直线EF ，使得FBD EBD S S ∆∆=？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．5、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记Q 的位置为B．（1）求点B的坐标；（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值；（3）连接OQ，当OQ∥AB时，求出P的坐标；6、如图，已知△ABC三个顶点坐标分别为A（0,4），B（-2，-2），C（3,0）点P在线段AC上移动。
中考数学专题《一次函数与几何综合》高分必刷含答案解析
（培优特训）专项19.3 一一次函数与几何综合高分必刷1．（2023春•普兰店区期中）已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，CD＝4，BD＝AD．点F从点A出发，沿AC﹣CD运动，速度为1cm/s，同时点E从点B出发，沿BD﹣DA运动，运动速度为1cm/s，一个点到达终点，另一点也停止运动．（1）求BD的长；（2）设△AEF的面积为S，点P、Q运动时间为t，求S与的函数关系式，并写出的取值范围．【答案】（1）5cm；（2）S＝．【解答】解：（1）在Rt△ACD中，∠C＝90°，AC＝3cm，CD＝4cm，∴AD＝＝＝5（cm），又∵BD＝AD，∴BD＝5cm；（2）3÷1＝3（s），5÷1＝5（s），（3+4）÷1＝7（s），（5+5）÷1＝10（s）．当0≤t≤3时，如图1所示，AF＝tcm，BE＝tcm，∴CE＝BC﹣BE＝4+5﹣t＝（9﹣t）cm，∴S＝AF•CE＝t（9﹣t）＝（﹣t2+t）cm2；当3＜t≤5时，如图2所示，CF＝（t﹣3）cm，BE＝tcm，∴EF＝BC﹣CF﹣BE＝4+5﹣（t﹣3）﹣t＝（12﹣2t）cm，∴S＝AC•EF＝×3（12﹣2t）＝（﹣3t+18）cm2；当5＜t＜7时，如图3所示，过点E作EM⊥BC于点M，则△DEM∽△DAC．∵CQ＝（t﹣3）cm，BD＝5cm，DP＝（t﹣5）cm，＝，∴DQ＝BC﹣CQ﹣BD＝4+5﹣（t﹣3）﹣5＝（7﹣t）cm，PM＝＝cm，∴S＝DQ•AC﹣DQ•PM＝×3（7﹣t）﹣（7﹣t）＝（t2﹣t+21）cm2．综上所述，S与t的函数关系式为S＝．2．（2023春•鼓楼区期中）如图1，已知直线l1：y＝ax﹣6a交x轴于点A，交轴y于点B，直线l2：y＝bx﹣18a交x轴于点C，交y轴于点D，交直线l1于点E．（1）求点A的坐标；（2）若点B为线段AE的中点，求证：EC＝EA；（3）如图2，已知P（0，m），将线段PA绕点P逆时针方向旋转90°至PF，连接OF，求证：点F在某条直线上运动，并求OF的最小值．【答案】（1）点A（6，0）；（2）证明见解答；（3）证明见解答，OF的最小值为：3．【解答】（1）解：令y＝ax﹣6a＝0，解得：x＝6，则点A（6，0）；（2）证明：对于y＝ax﹣6a，令x＝0，则y＝﹣6a，则点B（0，﹣6a），∵点B为线段AE的中点，则点E（﹣6，﹣12a），将点E的坐标代入y＝bx﹣18a得：﹣12a＝﹣6b﹣18a，解得：b＝﹣a，则直线l2：y＝﹣ax﹣18a，则点C（0，﹣18），由点A、C的坐标知，其中点坐标为（﹣6，0），改点和点E的横坐标相同，即点E在AC的中垂线上，∴EC＝EA；（3）证明：过点F作FT⊥y轴于点T，∵线段PA绕点P逆时针方向旋转90°至PF，则PA＝PF，∠FPA＝90°，∴∠TPF+∠TFP＝90°，∠TPF+∠APO＝90°，∴∠TFP＝∠APO，∵∠AOP＝∠PTF＝90°，PA＝PF，∴△AOP≌△PTF（AAS），∴PT＝OA＝6，FT＝OP＝m，则点F的坐标为：（m，m+6），则点F在直线y＝x+6上，则OF2＝m2+（m+6）2＝2（m+3）2+18≥18，∴OF的最小值为：3．3．（2023春•苍南县期中）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A落在x轴上，点B的坐标为（7，4），AB＝2，点D是OC的中点，点E是线段AD 上一动点，EF⊥BC于点F，连结DF．（1）求点A、C的坐标．（2）求直线AD的函数表达式．（3）若△DEF是等腰三角形，求CF的长．【答案】（1）点A、C的坐标分别为：（5，0）、（2，4）；（2）y＝﹣x+；（3）CF＝或或3．【解答】解：（1）过点B作BT⊥x轴于点T，则BT＝4，则AT＝＝＝2，则OA＝OT﹣AT＝7﹣2＝5＝BC，则点A的坐标为：（5，0），则x C＝x B﹣BC＝7﹣5＝2，点C的坐标为：（2，4），即点A、C的坐标分别为：（5，0）、（2，4）；（2）直线AD的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线AD的表达式为：y＝﹣x+；（3）当DE＝DF时，则点E在A处，则CF＝5﹣2＝3；当DE＝EF时，延长FE交x轴于点H，过点D作DM⊥x轴于点M，作EN⊥DM于点N，设点E（a，﹣a+），则N（1，﹣a+），则DN＝a﹣，NE＝a﹣1，EF＝a+，则（a﹣1）2+（a﹣）2＝（a+）2，解得：a＝2+（负值已舍去）；则CF＝；当DF＝EF时，过点D作DK⊥EF于点K，则FK＝2，DF2＝（a﹣1）2+22，则（a﹣1）2+（a﹣）2＝（a﹣1）2+22，解得：a＝1（舍去）或，则CF＝﹣2＝，综上，CF＝或或3．4．（2023•佳木斯一模）如图，将矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为坐标原点．点A在y轴上，点C在x轴上，OA，OB的长是x2﹣16x+60＝0的两个根，P是边AB上的一点，将△OAP沿OP折叠，使点A落在OB上的点Q处．（1）求点B的坐标；（2）求直线PQ的解析式；（3）点M在直线OP上，点N在直线PQ上，是否存在点M，N，使以A，C．M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）B（8，6）；（2）直线PQ解析式为y＝﹣x+10；（3）存在点M，N，使以A，C．M，N为顶点的四边形是平行四边形，N的坐标为（6，2）或（﹣，）或（，﹣）．【解答】解：（1）由x2﹣16x+60＝0得x＝6或x＝10，∵OA＜OB，∵四边形OABC是矩形，∴∠OAB＝90°，在Rt△AOB中，AB＝＝＝8，∴B（8，6）；（2）过Q作QG⊥AB于G，交OC于H，如图：∵将△OAP沿OP折叠，使点A落在OB上的点Q处，∴∠OQP＝∠OAP＝90°＝∠BQP，AP＝QP，OQ＝OA＝6，∴BQ＝OB﹣OQ＝10﹣6＝4，设AP＝QP＝x，则BP＝AB﹣AP＝8﹣x，在Rt△BPQ中，PQ2+BQ2＝BP2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴AP＝PQ＝3，BP＝8﹣x＝5，∴P（3，6），∵2S△BPQ＝BP•QG＝PQ•BQ，∴QG＝＝＝，∴PG＝＝＝，∴AG＝AP+PG＝，∵∠HGB＝∠ABC＝∠BCO＝90°，∴四边形GBCH是矩形，∴GH＝BC＝OA＝6，∠GHC＝90°，∴QH＝GH﹣QG＝6﹣＝，设直线PQ解析式为y＝kx+b，把P（3，6），Q（，）代入得：，解得，∴直线PQ解析式为y＝﹣x+10；（3）存在点M，N，使以A，C．M，N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：由（2）得P（3，6），直线PQ解析式为y＝﹣x+10，∴直线OP解析式为y＝2x，设M（m，2m），N（n，﹣n+10），又A（0，6），C（8，0），①若MN，AC为对角线，则MN，AC的中点重合，∴，解得，∴N（6，2）；②若MA，NC为对角线，则MA，NC的中点重合，∴，解得；∴N（﹣，）；③若MC，NA为对角线，则MC，NA的中点重合，∴，解得，∴N（，﹣）；综上所述，N的坐标为（6，2）或（﹣，）或（，﹣）．5．（2023春•顺德区校级月考）如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）当x 时，kx+b≥mx﹣n；（2）不等式kx+b＜0的解集是 ；（3）求两个一次函数表达式；（4）若直线l1分别交x轴、y轴于点M、A，直线l2分别交x轴、y轴于点B、N，求点M的坐标和四边形OMPN的面积．【答案】（1）x≤1；（2）x＞3；（3）直线l1的解析式为y＝2x﹣1，直线l2的解析式为；（4）M点的坐标为；四边形OMPN的面积＝1．【解答】解：（1）当x≤1时，kx﹣b≥mx﹣n；故填：x≤1；（2）由图象可知：不等式kx+b＜0的解集为x＞3；故填：x＞3；（3）把A（0，﹣1），P（1，1）分别代入y＝mx﹣n，得，解得，所以直线l1的解析式为y＝2x﹣1，把P（1，1）、B（3，0）分别代入y＝kx+b，得，解得，所以直线l2的解析式为，（4）当y＝2x﹣1＝0时，解得，所以M点的坐标为；当x＝0时，，则N点坐标为，所以四边形OMPN的面积＝S△ONB﹣S△PMB＝＝1．6．（2023春•北碚区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣2与x 轴、y轴分别交于点A、点B，与直线CD：y＝kx+b（k≠0）交于点P，OC＝OD＝4OA．（1）求直线CD的解析式；（2）连接OP、BC，若直线AB上存在一点Q，使得S△PQC＝S四边形OBCP，求点Q的坐标；（3）将直线CD向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x+4；（2）或；（3）（3，3）或．【解答】解：（1）∵直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别交于点A、点B，∴令y＝0，则x＝1，∴点A为（1，0），∴OA＝1，∵OC＝OD＝4OA＝4，∴点C为（4，0），点D为（0，4），设直线CD的解析式为y＝kx+b；∴，∴，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4；（2）解：在y＝2x﹣2中，令x＝0，则y＝﹣2，∴点B为（0，﹣2），∵，解得，∴点P的坐标为（2，2）；∴；∵点Q在直线AB上，则设点Q为（x，2x﹣2），则当点Q在点B的下方时，如图：∵AC＝3，点P的坐标为（2，2），∴，∵S△PQC＝S四边形OBCP，∴，∴，解得：，∴，∴点Q的坐标为；当点Q在点P的上方时，如图：，∴，∴解得：，∴，∴点Q的坐标为；综合上述，点Q的坐标为或；（3）解：∵直线CD向下平移1个单位长度得到直线l，∴直线l为y＝﹣x+3，令y＝0，则x＝3，∴点E的坐标为（3，0），即OE＝3；当OE＝3作为矩形OEMN的边时，如图：∴点N的坐标为（0，3），∴点M的坐标为（3，3）；当OE＝3作为矩形OEMN的对角线时，如图：∴点F的坐标为，∵tan∠OEN＝|﹣1|＝1，∴∠OEN＝45°，∵ON⊥NE，∴△ONE是等腰直角三角形，∴ON＝NE，∴四边形ONEM是正方形，∴MN⊥OE，MN＝OE，∴，∴点M的坐标为；综合上述，则点M的坐标为（3，3）或；7．（2023春•宜兴市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），点B、C都在x轴上，BC＝12，AD∥BC，CD所在直线的函数表达式为y＝﹣x+9，E是BC的中点，点P是BC边上一个动点．（1）当PB＝ 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；（2）点P在BC边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．【答案】（1）1或11；（2）以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形，理由见解析．【解答】解：（1）∵AD∥BC，点A坐标是（0，4），CD所在直线的函数关系式为y＝﹣x+9，∴D点的纵坐标为4，y＝4时，4＝﹣x+9，x＝5，∴D点的横坐标为5，∴D（5，4），∵CD所在直线的函数关系式为y＝﹣x+9，y＝0时，0＝﹣x+9，x＝9，∴C（9，0），∴OC＝9，作DN⊥BC交于N，如图1所示，则四边形OADN为矩形，∴CN＝OC﹣ON＝OC﹣AD＝9﹣5＝4，DN＝4，∴△DNC为等腰直角三角形，∴CD＝＝4，若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则AD＝PE＝5，有两种情况：①当P在E的左边，∵E是BC的中点，∴BE＝6，∴PB＝BE﹣PE＝6﹣5＝1；②当P在E的右边，PB＝BE+PE＝6+5＝11；故当PB＝1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，故答案为：1或11；（2）点P在BC边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形，理由如下：①当BP＝1时，此时CN＝DN＝4，NE＝6﹣4＝2，∴DE＝＝＝2≠AD，故不能构成菱形．②当BP＝11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，∴EP＝AD＝5，过D作DN⊥BC于N，如图2所示：由（1）得：DN＝CN＝4，∴NP＝BP﹣BN＝BP﹣（BC﹣CN）＝11﹣（12﹣4）＝3．∴DP＝＝＝5，∴EP＝DP＝AD＝5，故此时平行四边形PDAE是菱形，即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形．8．（2023春•工业园区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在x轴与y轴上，直线AB的解析式为，以线段AB、BC为边作平行四边形ABCD．（1）如图1，若点C的坐标为（3，7），判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，P为CD边上的动点，点C关于直线BP的对称点是Q，连接PQ，BQ．①当∠CBP＝ °时，点Q位于线段AD的垂直平分线上；②连接AQ，DQ，设CP＝x，设PQ的延长线交AD边于点E，当∠AQD＝90°时，求证：QE＝DE，并求出此时x的值．【答案】（1）四边形ABCD是正方形，理由见解答过程；（2）①30；②证明QE＝DE见解答过程，x的值是．【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，理由如下：过C作CH⊥y轴于H，如图：在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝4，∴A（4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，AB＝＝5，。
一次函数拔高
第六章(一次函数)评价试题(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(共6小题,每小题5分,共30分、在四个选项中,只有一项就是符合题目要求得,请把符合要求一项得字母代号填在题后括号内、)1、经过点(3,2)得一次函数就是()A、y=3x-5B、y=2x+1C、y=x-1D、y=x+12、在函数(1)y=πx,(2)y=2x-1,(3)y=,(4)y=2-1-3x,(5)y=x2-1中,就是一次函数得有( )A、4个B、3个C、2个D、1个3、一次函数y=2x-1得图象大致就是()4、2008年5月12日,四川汶川发生8、0级大地震,我解放军某部火速向灾区推进,最初坐车以某一速度匀速前进,中途由于道路出现泥石流,被阻停下,耽误了一段时间,为了尽快赶到灾区救援,官兵们下车急行军匀速步行前往,下列就是官兵们行进得距离S(千米)与行进时间t(小时)得函数大致图象,您认为正确得就是()5、已知点(-4,y1),(2,y2)都在直线y=-x+2上,则y1、y2大小关系就是()A、y1＞y2B、y1=y2C、y1＜y2D、不能比较6、已知一次函数y=kx+b得图象如图所示,当x＜1时,y得取值范围就是()A、-2＜y＜0B、-4＜y＜0C、y＜-4D、y＜-2二、填空题(共10个空,每空3分,共30分、把答案填在题后得横线上、)7、已知一个正比例函数得图象经过点(-2,4),则这个正比例函数得表达式就是、8、一次函数y=-x-1图象不经过第象限、9、如图,点A得坐标为(1,0),点B在直线y=-x上运动,当线段AB最短时,点B得坐标为、10、已知一次函数y=kx-2,要使y随x得增大而减小,请您写出一个满足条件得k 值、11、一次函数y=-2x+4得图象与x轴交点坐标就是,与y轴交点坐标就是、12、如图就是某种蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间关系得图象,由图象解答下列问题:(1)此蜡烛燃烧1小时后,高度为cm,经过小时燃烧完毕;(2)这个蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间得函数表达式就是;(3)上述函数自变量得取值范围就是、三、解答题(共4小题,第13、14小题各8分,第15、16小题各12分,共40分、解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤、)13、画出函数y=2x+6得图象,利用图象求方程2x+6=0得解、14、已知一次函数y=-2x＋2得图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,求△AOB 面积、15、小明与小亮进行百米赛跑,小明比小亮跑得快、如果两人同时起跑,小明肯定赢、现在小明让小亮先跑若干米、图中l1、l2分别表示两人得路程与小明追赶时间得关系、根据图象回答:(1)直线l1、l2分别表示谁得路程与时间得函数关系？(2)小明让小亮先跑了多少米？(3)小明与小亮得速度各就是多少？(4)谁能赢得这场比赛得胜利？16、已知一次函数图象经过点(0,-1),(3,5)两点、(1)求这个一次函数表达式;(2)求函数图象与坐标轴交点坐标;(3)点(a , 2)在图象上,求a得值、附加题如图,直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于点E、F,点E得坐标为(-8,0),点A得坐标为(-6,0)、(1)求k得值;(2)若点P(x,y)就是第二象限内得直线上得一个动点,在点P得运动过程中,试写出△OPA得面积S与x得函数关系式,并写出自变量x得取值范围;(3)探究:当点P运动到什么位置时,△OPA得面积为,并说明理由、一、1、C 2、B 3、B 4、C 5、A6、D二、7、y=-2x 8、一9、(0、5,-0、5) 10、答案不唯一,k＜0即可11、(2,0) (0,4)12、(1)7cm, (2)y=-8x+15 (3)0≤x≤三、13、图象如图、……4分x=-3、……8分14、根据题意知点A坐标为(1,0),点B坐标为(0,2),…… 4分则△AOB面积为、…… 8分15、(1)直线l1表示小亮得路程与时间得函数关系,l2表示小明得路程与时间得函数关系、……3分(2)小明让小亮先跑了10米、……6分(3)∵35÷5＝7,(40－10)÷5＝6,∴小明得速度就是7米/秒,小亮得速度就是6米/秒、……9分(4)∵,小明赢得这场比赛得胜利、……12分附加题解:(1)把点(-8,0)得坐标代入y=kx+6,得-8k+6=0,解得k=、 (3)分(2)(-8＜x＜0)、……7分(3)当时,解得x=-、把x=-代入y=x+6,解得y=、当P点得坐标为时,△OPA得面积为、……10分第三章(位置得确定)评价试题(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(共5小题,每小题4分,共20分、在四个选项中,只有一项就是符合题目要求得,请把符合要求一项得字母代号填在题后括号内、)1、在平面内,确定一个点得位置一般需要得数据个数就是()A、1B、2C、3D、42、如图,已知校门得坐标就是(1,1),那么下列对于实验楼位置得叙述正确得个数为()(1)实验楼得坐标就是3(2)实验楼得坐标就是(3,3)(3)实验楼得坐标为(4,4)(4)实验楼在校门得东北方向上,距校门200米A、1个B、2个C、3个D、4个3、已知点M到x轴得距离为3,到y轴得距离为2,则M点得坐标为()A、(3,2)B、(-3,-2)C、(3,-2)D、(2,3),(2,-3),(-2,3),(-2,-3)4、点P(-1,3)关于原点对称得点得坐标就是()A、(-1,-3)B、(1,3)C、(1,-3)D、(-3,1)5、平面直角坐标系内有一点A(a,b),若ab=0,则点A得位置在()A、坐标轴上B、x轴上C、y轴上D、原点二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分、把答案填在题中得横线上、)6、点A(-2,1)在第_______象限、7、在直角坐标系内, 将点A(-2、3)向右平移3个单位到B点, 则点B得坐标就是_______、8、已知点P(-3,2),点A与点P关于y轴对称,则点A得坐标就是_______、9、在矩形ABCD中,A点得坐标为(1,3),B点坐标为(1,-2),C点坐标为(-4,-2),则D 点得坐标就是_______、10、一正三角形ABC, A(0,0),B(-4,0),C(-2,),将三角形ABC绕原点顺时针旋转120°得到得三角形得三个顶点坐标分别就是_______、11、如图,一个机器人从O点出发,向正东方向走3米到达A1点,再向正北方向走6米到达A2点,再向正西方向走9米到达A3点,再向正南方向走12米到达A4点,再向正东方向走15米到达A5点、按如此规律走下去,当机器人走到A6点时,离O点得距离就是_______米、三、解答题(共5小题,每小题10分,共50分、解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤、)12、根据图填表:13、在直角坐标系中,描出下列各点:(1)(2,1),(-2,1);(2)(-3,4),(3, 4);(3)(5,-4),(-5,-4)、您能发现上述各对点得位置有何特点吗？它们得坐标有何异同？您能总结出一般得规律吗？14、某地为了城市发展,在现有得四个城市A、B、C、D附近新建机场E、试建立适当得直角坐标系,写出点A、B、C、D、E得坐标、15、对于边长为6得正三角形ABC,建立适当得直角坐标系,写出各个顶点得坐标、16、在直角坐标系中,描出点(1,0),(1,2),(2,1),(1,1),并用线段依次连接起来、(1)纵坐标不变,横坐标分别加上2,所得图案与原图相比有什么变化？(2)横坐标不变,纵坐标分别乘以-1呢？(3)横坐标,纵坐标都变成原来得2倍呢？。
八年级数学一次函数提高练习与常考题和培优难题压轴题(含解析)
一次函数提高练习与常考题和培优难题压轴题( 含解析)9小题）一．选择题（共1．函数的自变量x的取值范围是（）A．x≤ 2 B．x≥ 2 且x≠3C．x≥2D．x≤ 2 且x≠32．关于函数y=﹣x﹣2的图象，有如下说法：①图象过点（0，﹣2）②图象与x 轴的交点是（﹣2，0）③由图象可知y 随x 的增大而增大④图象不经过第一象限⑤图象是与y=﹣x+2 平行的直线，其中正确说法有（）A．5 个B．4 个C．3 个D．2 个3．已知等腰三角形的周长为20cm，底边长为y（cm），腰长为x（cm），y 与x2x，那么自变量x的取值范围是（）的函数关系式为y=20﹣A．x＞0 B．0＜x＜10 C．0＜x＜5 D．5＜x＜104．如图，三个正比例函数的图象对应的解析式为①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、c 的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a5．一辆慢车以50 千米/小时的速度从甲地驶往乙地，一辆快车以75 千米/小时发，则的速度从乙地驶往甲地，甲、乙两地之间的距500 千米，两车同时出离为图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（）A．B． C ．D．6．下列语句不正确的是（）A．所有的正比例函数肯定是一次函数B．一次函数的一般形式是y=kx+bC．正比例函数和一次函数的图象都是直线D．正比例函数的图象是一条过原点的直线7．已知x 关于的一次函数y=mx+n 的图象如上图，则| n﹣m|﹣可化简（）A．n B．n﹣2m C．m D．2n﹣m8．如果一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤ 1 时，﹣1≤y≤7，则k b 的值为（）A．10 B．21 C．﹣10 或2 D．﹣2或102+（1﹣2m）x +1（m 为常数）是一次函数，则m的值为9．若函数y=（2m+1）x（）77页）第2页（共二．填空题（共9小题）10．直线y=kx向下平移2个单位长度后恰好经过点（﹣4，10），则k=．11．已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y=﹣b x+k经过第象限．12．已知点A（﹣4，a）、B（﹣2，b）都在直线y=x+k（k为常数）上，则a与b的大小关系是a b．（填“＞”＜“”或“=）”，且y随x的增大而减小，则m的值是．|m﹣2|13．已知正比例函数y=（1﹣m）x14．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B（a，a），当线段A B最短时，点B的坐标为．15．已知一次函数y=（﹣3a+1）x+a的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，y1＞y2，且图象不经过第四象限，则a的取值范围是．16．如图1，在等腰Rt△ABC中，D为斜边AC边上一点，以CD为直角边，点C为直角顶点，向外构造等腰Rt△CDE．动点P从点A出发，以1个单位/s的速度，S与运动时间t（s）的函沿着折线A﹣D﹣E运动．在运动过程中，△BCP的面积数图象如图2所示，则BC的长是．17．如图，放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，⋯都是边长为a的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，⋯都在同一条直线上，则点A2015的坐标是．18．如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点坐标C（﹣1，0）、B（0，2），点A在第二象限．直线y=﹣x+5与x轴、y轴分别交于点N、M．将菱形ABCD 沿x轴向右平移m个单位．当点A落在MN上时，则m=．19．已知：函数y=（m+1）x+2m﹣6（1）若函数图象过（﹣1，2），求此函数的解析式．（2）若函数图象与直线y=2x+5平行，求其函数的解析式．（3）求满足（2）条件的直线与直线y=﹣3x+1的交点．20．如图，直线l1的函数关系式为，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A（4，0），B（﹣1，5），直线l1与l2相交于点C，（1）求直线l2的解析式；（2）求△ADC的面积；（3）在直线l2上存在一点F（不与C重合），使得△ADF和△ADC的面积相等，请求出F点的坐标；（4）在x轴上是否存在一点E，使得△BCE的周长最短？若存在请求出E点的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（﹣2，0）、B（0，4），直线l经过点B，并且与直线AB垂直．点P在直线l上，且△ABP是等腰直角三角形．（1）求直线AB的解析式；（2）求点P的坐标；（3）点Q（a，b）在第二象限，且S△QAB=S△PAB．①用含a的代数式表示b；②若QA=QB，求点Q的坐标．22．某仓库甲、乙、丙三辆运货车，每辆车只负责进货或出货，每小时的运输量丙车最多，乙车最少，乙车的运输量为每小时6吨，下图是从早晨上班开始库存量y（吨）与时间x（小时）的函数图象，OA段只有甲、丙车工作，AB段只有乙、丙车工作，BC段只有甲、乙工作．（1）甲、乙、丙三辆车中，谁是进货车？（2）甲车和丙车每小时各运输多少吨？（3）由于仓库接到临时通知，要求三车在8小时后同时开始工作，但丙车在运送10吨货物后出现故障而退出，问：8小时后，甲、乙两车又工作了几小时，使仓库的库存量为6吨．23．如图，直线l1的解析表达式为：y=3x﹣3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求△ADC的面积；（2）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，则点P的坐标为；（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C的坐标分别是A（﹣5，1），B（﹣2，4），C（5，4），点D在第一象限．（1）写出D点的坐标；（2）求经过B、D两点的直线的解析式，并求线段BD的长；（3）将平行四边形ABCD先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？并求出平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积．25．已知点A、B分别在x轴，y轴上，OA=OB，点C为AB的中点，AB=12（1）如图1，求点C的坐标；2=OE2+A F2；（2）如图2，E、F分别为OA上的动点，且∠ECF=45°，求证：EF（3）在条件（2）中，若点E的坐标为（3，0），求CF的长．26．如图1，点A的坐标是（﹣2，0），直线y=﹣x+4和x轴、y轴的交点分别为B、C点．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；并求当t等于多少时，S的值等于？②在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．27．如图，一次函数y=﹣x+6 的图象分别与y 轴、x 轴交于点A、B，点P从点B出发，沿BA以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，当点P到达点A 时停止运动，设点P的运动时间为t 秒．（1）点P在运动的过程中，若某一时刻，△OPA的面积为12，求此时P点坐标；（2）在（1）的基础上，设点Q 为y 轴上一动点，当PQ+BQ的值最小时，求Q 点坐标；（3）在整个运动过程中，当t 为何值时，△AOP为等腰三角形？28．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、D（﹣2，0），作直线ADA D为一边向上作正方形ABCD．并以线段（1）填空：点B的坐标为，点C的坐标为．线DA 向上平移，直至正方形的（2）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射顶点C落在y 轴上时停止运动．在运动过程中，设正方形落在y 轴右侧部分的面量t 的取值积为S，求S关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应的自变范围．29．有一根直尺，短边的长为2cm，长边的长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm．如图①，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点 D 与点A 重合，将直尺沿AB方向平移，如图②．设平移0≤x≤10，直尺与直角三角形纸板重合部分的面积（即的长度为x cm，且满足图中阴影部分）为Scm2．（1）当x=0时，S=；当x=4时，S=；当x=10时，S=．（2）是否存在一个位置，使阴影部分的面积为11cm2？若存在，求出此时x的值．30．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．△ABC的边BC在x轴上，A、2+=0，C两点的坐标分别为A（0，m）、C（n，0），B（﹣5，0），且（n﹣3）点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒．（1）求A、C两点的坐标；（2）连接PA，用含t的代数式表示△POA的面积；（3）当P在线段BO上运动时，是否存在一点P，使△PAC是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标并求t的值；若不存在，请说明理由．31．如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰三角形，AB=AC，将△AOC沿直线AC折叠，点O落在直线AD上的点E处，直线AD的解析式为，则（1）AO=；AD=；OC=；（2）动点P以每秒1个单位的速度从点B出发，沿着x轴正方向匀速运动，点Q是射线CE上的点，且∠PAQ=∠BAC，设P运动时间为t秒，求△POQ的面积S 与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，直线CE上是否存在一点Q，使以点Q、A、D、P为顶点的四边形是平等四边形？若存在，求出t值及Q点坐标；若不存在，说明理由．32．已知在平面直角坐标系中，A（a、o）、B（o、b）满足+|a﹣3|=0，P是线段AB上一动点，D是x轴正半轴上一点，且PO=PD，DE⊥AB于E．（1）求a、b的值．（2）当P点运动时，PE的值是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE的值．（3）若∠OPD=4°5，求点D的坐标．33．如图，?ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求AB的长；（2）求CD的所在直线的函数关系式；（3）若动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A方向运动，过P 作x轴的垂线交x轴于点E，若S△PBE=，求此时点P的坐标．34．在平面直角坐标系x oy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非：常距离”，给出如下定义若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．，0），B为y轴上的一个动点，（1）已知点A（﹣①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；（2）已知C是直线y=x+3上的一个动点，①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．35．对于两个已知图形G1、G2，在G1上任取一点P，在G2上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小的长度为图形G1、G2的“密距”；当线段PQ的长度最大值时，我们称这个最大的长度为图形G1、G2的“疏距”．请你在学习、理解上述定义的基础上，解决下面的问题；在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣3，4），点B的坐标为（3，4），矩形ABCD的对称中心为点O．（1）线段AD和BC的“密距”是，“疏距”是；（2）设直线y=x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点E、F，若线段EF与矩形ABCD的“密距”是1，求它们的“疏距”；（3）平面直角坐标系xOy中有一个四边形KLMN，将矩形ABCD绕点O旋转一周，在旋转过程中，它与四边形KLMN的“疏距”的最大值为7，①旋转过程中，它与四边形KLMN的“密距”的取值范围是；②求四边形KLMN的面积的最大值．36．在平面直角坐标系中，已知A，B两点分别在x轴，y轴上，OA=OB=4，C在线段OA上，AC=3，过点A作AE⊥BC，交BC的延长线于E，直线AE交y轴于D．（1）求点D坐标．（2）动点P从点A出发，沿射线AO方向以每秒1个单位长度运动，设点P的运动时间为t秒，△POB的面积为y，求y与t之间的函数关系式并直接写出自变量的取值范围．（3）在（2）问的条件下，当t=1，PB=5时，在y轴上是否存在一点Q，使△PBQ为以PB为腰的等腰三角形？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．37．如图，四边形OABC中，CB∥OA，∠OCB=90°，CB=1，OA=OC，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，直线过A点，且与y轴交于D点．（1）求出A、点B的坐标；（2）求证：AD=BO且AD⊥BO；（3）若点M是直线AD上的一个动点，在x轴上是否存在另一个点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．38．如图，一次函数y=﹣x+的图象与坐标轴分别交于点A和B两点，将△AOB沿直线CD折起，使点A与点B重合，直线CD交AB于点D．（1）求点C的坐标；（2）在射线DC上求一点P，使得PC=AC，求出点P的坐标；（3）在坐标平面内，是否存在点Q（除点C外），使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ACD全等？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理．2﹣4=0 39．已知，如图，在平面直角坐标系中，点 A 、B 的横坐标恰好是方程x的解，点 C 的纵坐标恰好是方程x 2﹣4x+4=0 的解，点 P 从 C 点出发沿 y 轴正方向以 1 个单位/ 秒的速度向上运动，连P A 、PB ，D 为 AC 的中点．1）求直线 BC 的解析式；2）设点 P 运动的时间为 t 秒，问：当 t 为何值时， DP 与 DB 垂直且相等？3）如图 2，若 PA=AB ，在第一象限内有一动点 Q ，连Q A 、QB 、QP ，且∠PQA=60°， 问：当 Q 在第一象限内运动时，∠ APQ+∠ABQ 的度数和是否会发生改变？若不 变，请说明理由并求其值．40．方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从 M 地出发沿一条公路匀 速前往 N 地，设乙行驶的时间为 t （h ），甲乙两人之间的距离为 y （km ），y 与 t 的函数关系如图 1 所示，方成思考后发现了图 1 的部分正确信息，乙先出发 1h ， 甲出发 0.5h 与乙相遇， ⋯ 请你帮助方成同学解决以下问题：（1）分别求出线段B C ，CD 所在直线的函数表达式；（2）当 20＜y ＜30 时，求 t 的取值范围；（3）分别求出甲、乙行驶的路程S 甲、S 乙与时间 t 的函数表达式，并在图 2 所给 的直角坐标系中分别画出它们的图象．优难题压轴题数学初二一次函数提高练习与常考题和培( 含解析)参考答案与试题解析9小题）一．选择题（共1．（2016 春?重庆校级月考）函数的自变量x 的取值范围是（）A．x≤ 2 B．x≥ 2 且x≠3C．x≥2D．x≤ 2 且x≠3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．3≠0，【解答】解：根据题意得：2﹣x≥0 且x﹣解得：x≤ 2 且x≠3，自变量的取值范围x≤2，故选A．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．2．（2016 春?南京校级月考）关于函数y=﹣x﹣2的图象，有如下说法：①图象过点（0，﹣2）②图象与x 轴的交点是（﹣2，0）③由图象可知y随x 的增大而增大④图象不经过第一象限⑤图象是与y=﹣x+2 平行的直线，其中正确说法有（）A．5 个B．4 个C．3 个D．2 个【分析】根据一次函数的性质和图象上点的坐标特征解答．【解答】解：①将（0，﹣2）代入解析式得，左边=﹣2，右边=﹣2，故图象过（0，﹣2）点，正确；②当y=0 时，y=﹣x﹣2 中，x=﹣2，故图象过（﹣2，0），正确；③因为k=﹣1＜0，所以y 随x增大而减小，错误；④因为k=﹣1＜0，b=﹣2＜0，所以图象过二、三、四象限，正确；⑤因为y=﹣x﹣2 与y=﹣x 的k 值（斜率）相同，故两图象平行，正确．故选B．【点评】本题考查了一次函数的性质和图象上点的坐标特征，要注意：在直线y=kx+b 中，当k＞0 时，y 随x 的增大而增大；当k＜0 时，y 随x 的增大而减小．3．（2016 春?农安县月考）已知等腰三角形的周长为20cm，底边长为y（cm），腰长为x（cm），y 与x 的函数关系式为y=20﹣2x，那么自变量x 的取值范围是（）A．x＞0 B．0＜x＜10 C．0＜x＜5 D．5＜x＜10【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行求解．【解答】解：根据三角形的三边关系，得则0＜20﹣2x＜2x，由20﹣2x＞0，解得x＜10，由20﹣2x＜2x，解得x＞5，则5＜x＜10．故选D．【点评】本题考查了三角形的三边关系，一元一次不等式组的解法，正确列出不等式组是解题的关键．4．（2012 秋?镇赉县校级月考）如图，三个正比例函数的图象对应的解析式为①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、c 的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a【分析】根据所在象限判断出a、b、c 的符号，再根据直线越陡，则| k| 越大可得答案．【解答】解：∵y=ax，y=bx，y=cx的图象都在第一三象限，∴a＞0，b＞0，c＞0，∵直线越陡，则| k| 越大，∴c＞b＞a，故选：B．【点评】此题主要考查了正比例函数图象的性质，y=kx中，当k＞0 时，图象经过一、三象限，y随x 的增大而增大；当k＜0 时，图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小．同时注意直线越陡，则| k| 越大．5．（2016 春?重庆校级月考）一辆慢车以50 千米/小时的速度从甲地驶往乙地，一辆快车以75 千米/小时的速度从乙地驶往甲地，甲、乙两地之间的距离为500 千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（）A．B． C ．D．【分析】分三段讨论，①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小，②相遇后向相反方向行驶到特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加，③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大，结合实际选符合的图象即可．【解答】解：①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小；②相遇后向相反方向行驶到特快到达甲地这段时间两车距迅速增加；③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大；结合图象可得C选项符合题意．故选：C．【点评】本题考查了函数的图象，解答本题关键是分段讨论，要结合实际解答，明白每条直线所代表的实际含义及拐点的含义．6．（2015春?浠水县校级月考）下列语句不正确的是（）A．所有的正比例函数肯定是一次函数B．一次函数的一般形式是y=kx+bC．正比例函数和一次函数的图象都是直线D．正比例函数的图象是一条过原点的直线【分析】分别利用一次函数和反比例函数的定义以及其性质分析得出即可．【解答】解：A、所有的正比例函数肯定是一次函数，正确，不合题意；B、一次函数的一般形式是y=kx+b（k≠0），故此选项错误，符合题意；C、正比例函数和一次函数的图象都是直线，正确，不合题意；D、正比例函数的图象是一条过原点的直线，正确，不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了一次函数和反比例函数的定义，正确把握其性质是解题关键．7．（2016春?无锡校级月考）已知x关于的一次函数y=mx+n的图象如上图，则|n﹣m|﹣可化简（）A．n B．n﹣2m C．m D．2n﹣mm、n 的符号，然后由绝对值、【分析】根据一次函数图象与系数的关系，确定二次根式的化简运算法则解得即可．x的一次函数y=mx+n 的图象经过第一、二、四【解答】解：根据图示知，关于象限，∴m＜0，n＞0；∴| n﹣m| ﹣=n﹣m﹣（﹣m）+（n﹣m）=2n﹣m．D．故选【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，二次根式的性质与化简，绝对值的意义．一次函数y=kx+b（k≠0，b≠0）的图象，当k＜0，b＞0 时，经过第一、二、四象限．8．（2015 秋?盐城校级月考）如果一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤ 1 时，﹣1≤y≤7，（）则kb 的值为A．10 B．21 C．﹣10 或2 D．﹣2 或10解．【分析】由一次函数的性质，分k＞0 和k＜0 时两种情况讨论求【解答】解：由一次函数的性质知，当k＞0 时，y 随x 的增大而增大，所以得，解得．即kb=10；当k＜0 时，y 随x 的增大而减小，所以得，解得．即kb=﹣2．所以kb的值为﹣2或10．故选D．【点评】此题考查一次函数的性质，要注意根据一次函数图象的性质分情况讨论．2+（1﹣2m）x+1（m为常数）9．（2015秋?西安校级月考）若函数y=（2m+1）x是一次函数，则m的值为（）A．m B．m=C．m D．m=﹣【分析】根据一次函数的定义列出算式计算即可．【解答】解：由题意得，2m+1=0，解得，m=﹣，故选：D．【点评】本题考查的是一次函数的定义，一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．二．填空题（共9小题）10．（2014春?邹平县校级月考）直线y=kx向下平移2个单位长度后恰好经过点（﹣4，10），则k=﹣3．【分析】根据一次函数与正比例函数的关系可得直线y=kx向下平移2个单位后得y=kx﹣2，然后把（﹣4，10）代入y=kx﹣2即可求出k的值．【解答】解：直线y=kx向下平移2个单位后所得解析式为y=kx﹣2，∵经过点（﹣4，10），∴10=﹣4k﹣2，解得：k=﹣3，故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．11．（2016春?南京校级月考）已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y=﹣bx+k经过第二、三、四象限．【分析】根据直线y=kx+b经过第一、二、四象限可以确定k、b的符号，则易求﹣b的符号，由﹣b，k的符号来求直线y=﹣bx+k所经过的象限．【解答】解：∵直线y=kx+b经过第一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，∴﹣b＜0，∴直线y=﹣bx+k经过第二、三、四象限．故答案是：二、三、四．【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y 轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．12．（2016春?大丰市校级月考）已知点A（﹣4，a）、B（﹣2，b）都在直线y=x+k （k为常数）上，则a与b的大小关系是a＜b．（填“＞”＜“”或“=）”【分析】先根据一次函数的解析式判断出一次函数的增减性，再根据﹣4＜﹣2即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y=x+k（k为常数）中，k=＞0，∴y随x的增大而增大，∵﹣4＜﹣2，∴a＜b．故答案为：＜．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．|m﹣2|，且y随x 13．（2015春?建瓯市校级月考）已知正比例函数y=（1﹣m）x的增大而减小，则m的值是3．【分析】先根据正比例函数的定义列出关于k的不等式组，求出k取值范围，再根据此正比例函数y随x的增大而减小即可求出k的值．【解答】解：∵此函数是正比例函数，∴，解得m=3，故答案为：3．【点评】本题考查的是正比例函数的定义及性质，根据正比例函数的定义列出关于k的不等式组是解答此题的关键．14．（2016春?天津校级月考）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B（a，a），当线段AB最短时，点B的坐标为（﹣，﹣）．【分析】过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，先根据垂线段最短得出当点B与点D重合时线段AB最短，再根据直线OB的解析式为y=x得出△AOD是等腰直角三角形，故OE=OA=，由此可得出结论．【解答】解：过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，∵垂线段最短，∴当点B与点D重合时线段AB最短．∵直线OB的解析式为y=x，∴△AOD是等腰直角三角形，∴OE=OA=1，∴D（﹣，﹣）．故答案为：（﹣，﹣）．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点．的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键15．（2015春?宜兴市校级月考）已知一次函数y=（﹣3a+1）x+a的图象上两点A （x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，y1＞y2，且图象不经过第四象限，则a的是0≤a＜．取值范围【分析】根据y随x的增大而增大可得x的系数大于0，图象不经过第四象限，负数．为非那么经过一三或一二三象限，那么此函数的常数项应【解答】解：∵x1＞x2时，y1＞y2，∴﹣3a+1＞0，解得a＜，∵图象不经过第四象限，∴经过一三或一二三象限，∴a≥0，∴0≤a＜．故答案为：0≤a＜．【点评】考查了一次函数图象上的点的坐标的特点；得到函数图象可能经过的象．限是解决本题的关键16．（2015秋?靖江市校级月考）如图1，在等腰Rt△ABC中，D为斜边AC边上一点，以CD为直角边，点C为直角顶点，向外构造等腰Rt△CDE．动点P从点A出发，以1个单位/s的速度，沿着折线A﹣D﹣E运动．在运动过程中，△BCPB C的长是2．t（s）的函数图象如图2所示，则的面积S与运动时间【分析】由函数的图象可知点P从点A运动到点D用了2秒，从而得到AD=2，D E=4，从而可求得DC=2，于是当点P在DE上时，三角形的面积不变，故此得到AC=2+2，从而可求得BC的长为2+．2）=4．【解答】解：由函数图象可知：AD=1×2=2，DE=1×（6﹣∵△DEC是等腰直角三角形，∴DC===2．∴AC=2+2．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC===．故答案为：．出AD、DE的【点评】本题主要考查的是动点问题的函数图象，由函数图象判断．长度是解题的关键17．（2016春?盐城校级月考）如图，放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，⋯都是边长为a的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，⋯都在同一条直点A2015的坐标是（a，a）．线上，则【分析】根据题意得出直线B B1的解析式为：y=x，进而得出A，A1，A2，A3坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．B1C，垂足为C，B1向x轴作垂线【解答】解：过由题意可得：A（a，0），AO∥A1B1，∠B1OC=60°，∴OC=a，CB1=OB1sin60=°a，∴B1的坐标为：（a，a），∴点B1，B2，B3，⋯都在直线y=x上，∵B1（a，a），∴A1（a，a），∴A2（2a，a），⋯A n（a，）．∴A2015（a，a）．故答案为．，得出A 【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及数字变化类点横纵坐标变化规律是解题关键．18．（2016春?泰兴市校级月考）如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点坐标C（﹣1，0）、B（0，2），点A在第二象限．直线y=﹣x+5与x轴、y轴分别交于点N、M．将菱形ABCD沿x轴向右平移m个单位．当点A落在MN上时，则m=3．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分表示出点A的坐标，再根据直线解析式求出点A移动到MN上时的x的值，从而得到m的取值范围，再根据各选项数据选择即可．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点C（﹣1，0），点B（0，2），∴点A的坐标为（﹣1，4），当y=4时，﹣x+5=4，解得x=2，∴点A向右移动2+1=3时，点A在MN上，∴m的值为3，故答案为3．【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，比较简单．三．解答题（共22小题）19．（2016春?武城县校级月考）已知：函数y=（m+1）x+2m﹣6（1）若函数图象过（﹣1，2），求此函数的解析式．（2）若函数图象与直线y=2x+5平行，求其函数的解析式．（3）求满足（2）条件的直线与直线y=﹣3x+1的交点．【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，把（﹣1，2）代入y=（m+1）x+2m﹣6求出m的值即可得到一次函数解析式；（2）根据两直线平行的问题得到m+1=2，解出m=1，从而可确定一次函数解析式．（3）两直线的解析式联立方程，解方程即可求得．【解答】解：（1）把（﹣1，2）代入y=（m+1）x+2m﹣6得﹣（m+1）+2m﹣6=2，解得m=9，所以一次函数解析式为y=10x+12；（2）因为函数y=（m+1）x+2m﹣6的图象与直线y=2x+5平行，所以m+1=2，解得m=1，所以一次函数解析式为y=2x﹣4．（3）解得，∴两直线的交点为（1，﹣2）．【点评】本题考查了两直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．20．（2015秋?兴化市校级月考）如图，直线l1的函数关系式为，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A（4，0），B（﹣1，5），直线l1与l2相交于点C，（1）求直线l2的解析式；（2）求△ADC的面积；（3）在直线l2上存在一点F（不与C重合），使得△ADF和△ADC的面积相等，请求出F点的坐标；（4）在x轴上是否存在一点E，使得△BCE的周长最短？若存在请求出E点的坐标；若不存在，请说明理由．。
一次函数提高习题拔高用
一次函数提高练习1、对于函数y ＝5x+6，y 的值随x 值的减小而___________。
2、对于函数1223y x =-, y 的值随x 值的________而增大。
3、一次函数 y=(6-3m)x ＋(2n －4)不经过第三象限，则m 、n 的范围是__________。
4、直线y=(6-3m)x ＋(2n －4)不经过第三象限，则m 、n 的范围是_________。
5、已知直线y=kx+b 经过第一、二、四象限，那么直线y=-bx+k 经过第_______象限。
6、无论m 为何值，直线y=x+2m 与直线y=-x+4的交点不可能在第______象限。
7、已知m 是整数，且一次函数(4)2y m x m =+++的图象不过第二象限，则m 为 . 8、若直线y x a =-+和直线y x b =+的交点坐标为(,8)m ，则a b += . 9、在同一直角坐标系内，直线3y x =+与直线23y x =-+都经过点 .10、当m 满足 时，一次函数225y x m =-+-的图象与y 轴交于负半轴. 11、函数312y x =-，如果0y <，那么x 的取值范围是 . 12、一个长120m ，宽100m 的矩形场地要扩建成一个正方形场地，设长增加xm ，宽增加ym ，则y 与x 的函数关系是 .自变量的取值范围是 .且y 是x 的 函数.13、如图1是函数152y x =-+的一部分图像，（1）自变量x 的取值范围是 ；（2）当x 取 时，y 的最小值为 ；（3）在（1）中x 的取值范围内，y 随x 的增大而 .14、已知函数y=（k-1）x+k 2-1，当k_______时，它是一次函数，当k=_______•时，它是正比例函数．15、已知一次函数y kx b =+的图象经过点(2,5)-，且它与y 轴的交点和直线32xy =-+与y 轴的交点关于x 轴对称，那么这个一次函数的解析式为 . 16、一次函数y kx b =+的图象过点(,1)m 和(1,)m 两点，且1m >，则k = ，b 的取值范围是 .17、一次函数1y kx b =+-的图象如图2，则3b 与2k 的大小关系是 ，当b = 时，1y kx b =+-是正比例函数.20、b 为 时，直线2y x b =+与直线34y x =-的交点在x 轴上.21、已知直线42y x =-与直线3y m x =-的交点在第三象限内，则m 的取值范围是 .22、要使y=(m-2)x n-1+n 是关于x 的一次函数,n,m 应满足 , .选择题1、图3中，表示一次函数y mx n =+与正比例函数(y mx m =、n 是常数，且0,0)m n ≠<的图象的是（ ）y kx b =+经过2、直线一、二、四象限，则直线y bx k =-的图象只能是图4中的（ ）11y k x =+与3、若直线24y k x =-的交点在x 轴上，那么12k k 等于（ ） .4A .4B - 1.4C 1.4D -4、直线0px qy r ++=(0)pq ≠如图5，则下列条件正确的是（ ）.,1A p q r == .,0B p q r == .,1C p q r =-= .,0D p q r =-=5、直线y kx b =+经过点(1,)A m -，(,1)B m (1)m >，则必有（ ）A. 0,0k b >> .0,0B k b >< .0,0C k b <> .0,0D k b <<6、如果0ab >，0a c <，则直线a cy x b b=-+不通过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限7、已知关于x 的一次函数27y mx m =+-在15x -≤≤上的函数值总是正数，则m 的取值范围是（ ）A ．7m >B ．1m >C ．17m ≤≤D ．都不对8、如图6，两直线1y kx b =+和2y bx k =+在同一坐标系内图象的位置可能是（ ）图69、已知一次函数2y x a =+与y x b =-+的图像都经过(2,0)A -，且与y 轴分别交于点B ，c ，则ABC ∆的面积为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．710、已知直线(0)y kx b k =+≠与x 轴的交点在x 轴的正半轴，下列结论：① 0,0k b >>；②0,0k b ><；③0,0k b <>；④0,0k b <<，其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 11、已知(0,0)b c a c a bk b a b c a b c+++===>++=，那么y kx b =+的图象一定不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12、如图7，A 、B 两站相距42千米，甲骑自行车匀速行驶，由A 站经P 处去B 站，上午8时，甲位于距A 站18千米处的P 处，若再向前行驶15分钟，使可到达距A 站22千米处.设甲从P 处出发x 小时，距A 站y 千米，则y 与x 之间的关系可用图象表示为（ ）解答题1、已知一次函数(63)(4),y m x n =++-求： （1）m 为何值时，y 随x 的增大而减小；（2）,m n 分别为何值时，函数的图象与y 轴的交点在x 轴的下方？ （3）,m n 分别为何值时，函数的图象经过原点？（4）当1,2m n =-=-时，设此一次函数与x 轴交于A ，与y轴交于B ，试求AOB 面积。
一次函数拔高题含复习资料
一次函数拔高练习（一）一、选择题：1．已知y与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y与x之间的函数关系式为（）（A）y=8x （B）y=2x+6 （C）y=8x+6 （D）y=5x+32．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过（）（A）一象限（B）二象限（C）三象限（D）四象限 3．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（）（A）4 （B）6 （C）8 （D）16 4．若甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数解析式分别为y=k1x+a1和y=k2x+a2，如图，所挂物体质量均为2kg时，甲弹簧长为y1，乙弹簧长为y2，则y1与y2的大小关系为（）（A）y1>y2（B）y1=y2（C）y1<y2（D）不能确定5．设b>a，将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，•则有一组a，b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）6．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过第（）象限（A）一（B）二（C）三（D）四 7．一次函数y=kx+2经过点（1，1），那么这个一次函数（）（A）y随x的增大而增大（B）y随x的增大而减小（C）图像经过原点（D）图像不经过第二象限8．无论m为何实数，直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限9．要得到y=-32x-4的图像，可把直线y=-32x（）．（A）向左平移4个单位（B）向右平移4个单位（C）向上平移4个单位（D）向下平移4个单位 10．若函数y=（m-5）x+（4m+1）x2（m为常数）中的y与x成正比例，则m的值为（）（A）m>-14（B）m>5 （C）m=-14（D）m=511．若直线y=3x-1与y=x-k的交点在第四象限，则k的取值范围是（）．（A）k<13（B）13<k<1 （C）k>1 （D）k>1或k<1312．过点P（-1，3）直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，•这样的直线可以作（）（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条15．在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个19．甲、乙二人在如图所示的斜坡AB上作往返跑训练．已知：甲上山的速度是a米/分，下山的速度是b米/分，（a<b）；乙上山的速度是12a米/分，下山的速度是2b米/分．如果甲、乙二人同时从点A出发，时间为t（分），离开点A的路程为S（米），•那么下面图象中，大致表示甲、乙二人从点A出发后的时间t（分）与离开点A的路程S（米）•之间的函数关系的是（）二、填空题1．已知一次函数y=-6x+1，当-3≤x≤1时，y的取值范围是________．2．已知一次函数y=（m-2）x+m-3的图像经过第一，第三，第四象限，则m的取值范围是________．3．某一次函数的图像经过点（-1，2），且函数y的值随x的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式：_________． 4．已知直线y=-2x+m不经过第三象限，则m的取值范围是_________．5．函数y=-3x+2的图像上存在点P，使得P•到x•轴的距离等于3，•则点P•的坐标为__________．6．过点P（8，2）且与直线y=x+1平行的一次函数解析式为_________．7．y=23x与y=-2x+3的图像的交点在第_________象限．9．若一次函数y=kx+b，当-3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，•则一次函数的解析式为________．三、解答题2．已知y=p+z，这里p是一个常数，z与x成正比例，且x=2时，y=1；x=3时，y=-1．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）如果x的取值范围是1≤x≤4，求y的取值范围5．已知一次函数的图象，交x轴于A（-6，0），交正比例函数的图象于点B，且点B•在第三象限，它的横坐标为-2，△AOB的面积为6平方单位，•求正比例函数和一次函数的解析式．6．如图，一束光线从y轴上的点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），求光线从A点到B点经过的路线的长．8．已知：如图一次函数y=12x-3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点C（4，0）作AB的垂线交AB于点E，交y轴于点D，求点D、E的坐标．9、在直角坐标系x0y中，一次函数y=2x+2的图象与x轴，y轴，分别交于A、B两点，•点C坐标为（1，0），点D在x轴上，且∠BCD=∠ABD，求图象经过B、D•两点的一次函数的解析式．答案:1．B 2．B 3．A 4．A 5．B 6．B 7．B 8．C 9．D 10．C 11．B 12．C 13．B14．D 15．D 16．A 17．C 18．C 19．C 20．A二、1．-5≤y ≤19 2．2<m<3 3．如y=-x+1等．4．m ≥0．提示：应将y=-2x+m 的图像的可能情况考虑周全．5．（13，3）或（53,-3）．6．y=x-6． 8．222()aq bp bp aq --． 9．y=2x+7或y=-2x+3 10．10042009 11．据题意，有t=25080160⨯k ，∴k=325t ． 因此，B 、C 两个城市间每天的电话通话次数为T BC =k ×2801003253205642t t ⨯=⨯=．三、1．（1）由题意得：20244a b a b b +==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩解得∴这个一镒函数的解析式为：y=-2x+4（•函数图象略）．（2）∵y=-2x+4，-4≤y≤4，∴-4≤-2x+4≤4，∴0≤x≤4．2．（1）∵z与x成正比例，∴设z=kx（k≠0）为常数，则y=p+kx．将x=2，y=1；x=3，y=-1分别代入y=p+kx，得2131k pk p+=⎧⎨+=-⎩解得k=-2，p=5，∴y与x之间的函数关系是y=-2x+5；（2）∵1≤x≤4，把x1=1，x2=4分别代入y=-2x+5，得y1=3，y2=-3．∴当1≤x≤4时，-3≤y≤3．另解：∵1≤x≤4，∴-8≤-2x≤-2，-3≤-2x+5≤3，即-3≤y≤3．3．（1）设一次函数为y=kx+b，将表中的数据任取两取，不防取（37.0，70.0）和（42.0，78.0）代入，得21 31 k pk p+=⎧⎨+=-⎩∴一次函数关系式为y=1.6x+10.8．（2）当x=43.5时，y=1.6×43.5+10.8=80.4．∵77≠80.4，∴不配套．4．（1）由图象可知小明到达离家最远的地方需3小时；此时，他离家30千米．（2）设直线CD的解析式为y=k1x+b1，由C（2，15）、D（3，30），代入得：y=15x-15，（2≤x≤3）．当x=2.5时，y=22.5（千米）答：出发两个半小时，小明离家22.5千米．（3）设过E、F两点的直线解析式为y=k2x+b2，由E（4，30），F（6，0），代入得y=-15x+90，（4≤x≤6）过A、B两点的直线解析式为y=k3x，∵B（1，15），∴y=15x．（0≤x≤1），•分别令y=12，得x=265（小时），x=45（小时）．答：小明出发小时265或45小时距家12千米．5．设正比例函数y=kx，一次函数y=ax+b，∵点B在第三象限，横坐标为-2，设B（-2，y B），其中y B<0，∵S△AOB=6，∴12AO·│y B│=6，∴y B=-2，把点B（-2，-2）代入正比例函数y=kx，•得k=1．把点A（-6，0）、B（-2，-2）代入y=ax+b，得1 062 223a b aa bb⎧=-+=-⎧⎪⎨⎨-=-+⎩⎪=-⎩解得∴y=x，y=-12x-3即所求．6．延长BC交x轴于D，作DE⊥y轴，BE⊥x轴，交于E．先证△AOC≌△DOC，∴OD=OA=•1，CA=CD，∴= 5．7．当x≥1，y≥1时，y=-x+3；当x≥1，y<1时，y=x-1；当x<1，y≥1时，y=x+1；当x<•1，y<1时，y=-x+1．2．8．∵点A、B分别是直线y=3x轴和y轴交点，∴A（-3，0），B（0，∵点C坐标（1，0）由勾股定理得设点D的坐标为（x，0）．（1）当点D在C点右侧，即x>1时，∵∠BCD=∠ABD，∠BDC=∠ADB，∴△BCD∽△ABD，∴BC CDAB BD==①∴22321112x xx-+=+，∴8x2-22x+5=0，∴x1=52，x2=14，经检验：x1=52，x2=14，都是方程①的根，∵x=14，不合题意，∴舍去，∴x=52，∴D•点坐标为（52，0）．设图象过B、D两点的一次函数解析式为y=kx+b，5 52b kk bb⎧⎧==-⎪⎪∴⎨⎨+=⎪⎪=⎩⎩∴所求一次函数为（2）若点D在点C左侧则x<1，可证△ABC∽△ADB，∴AD BDAB CB=22113x+=②∴8x2-18x-5=0，∴x1=-14，x2=52，经检验x1=14，x2=52，都是方程②的根．∵x2=52不合题意舍去，∴x1=-14，∴D点坐标为（-14，0），∴图象过B、D（-14，0）两点的一次函数解析式为22综上所述，满足题意的一次函数为2222211．（1）y=200x+74000，10≤x≤30（2）三种方案，依次为x=28，29，30的情况．12．稿费是8000元．13．（1）设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和b元，则原计划是：ax+by=1500，①．由甲商品单价上涨1.5元，乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个情形，得：（a+1.5）（x-10）+（b+1）y=1529，②再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形得：（a+1）（x-5）+（b+1）y=1563．5，③．由①，②，③得：1.51044,568.5.x y ax y a+-=⎧⎨+-=⎩④-⑤×2并化简，得x+2y=186．（2）依题意有：205<2x+y<210及x+2y=186，得54<y<552 3．由于y是整数，得y=55，从而得x=76．14．设每月用水量为xm3，支付水费为y元．则y=8,08(),c x ab x ac x a+≤≤⎧⎨+-+≥⎩由题意知：0<c≤5，∴0<8+c≤13．从表中可知，第二、三月份的水费均大于13元，故用水量15m3、22m3均大于最低限量am3，将x=15，x=22分别代入②式，得198(15)338(22)b a cb a c=+-+⎧⎨=+-+⎩解得b=2，2a=c+19，⑤．再分析一月份的用水量是否超过最低限量，不妨设9>a，将x=9代入②，得9=8+2（9-a）+c，即2a=c+17，⑥．⑥与⑤矛盾．故9≤a，则一月份的付款方式应选①式，则8+c=9，∴c=1代入⑤式得，a=10．综上得a=10，b=2，c=1． ()15．W=200x+300x+400（18-2x）+800（10-x）+700（10-x）+500（2x-10）=-800x+17200．又010,010, 01828,59, x xx x≤≤≤≤⎧⎧∴⎨⎨≤-≤≤≤⎩⎩∴5≤x≤9，∴W=-800x+17200（5≤x≤9，x是整数）．（2）由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，y，18-x-y，发往E市的机器台数分别是10-x，10-y，x+y-10，于是W=200x+800（10-x）+300y+700（10-y）+•400（19-x-y）+500（x+y-10）=-500x-300y-17200．又010,010, 010,010, 0188,1018, x xy yx y x y ≤≤≤≤⎧⎧⎪⎪≤≤∴≤≤⎨⎨⎪⎪≤--≤≤+≤⎩⎩∴W=-500x-300y+17200，且010,010,018.xyx y≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤+≤⎩（x，y为整数）．W=-200x-300（x+y）+17200≥-200×10-300×18+17200=9800．当x=•10，y=8时，W=9800．所以，W的最小值为9800．又W=-200x-300（x+y）+17200≤-200×0-300×10+17200=14200．当x=0，y=10时，W=14200，所以，W的最大值为14200．。
(完整word版)初二数学一次函数拔高训练题
初二数学一次函数拔高训练题1．若直线y=3x-1与y=x-k 的交点在第四象限，则k 的取值范围是（ ）A 、k<31B 、31 < k <1 C 、k>1 D 、k>1或k<31 2．一次函数y=ax+b （a 为整数）的图象过点（98，19），交x 轴于（p,0）,交y 轴于（0，q ）,若p 为质数，q 为正整数，那么满足条件的一次函数的个数为（ ）A. 0B.1C.2D.无数3．在直角坐标系中，横，纵坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线y=x －3与y=kx+k 的交点为整点时，k 的值可以取（ ）（A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）8个4．甲、乙二人在如图所示的斜坡AB 上作往返跑训练．已知：甲上山的速度是a 米/分，下山的速度是b 米/分，（a ＜)b ；乙上山的速度是12a 米/分，下山的速度是2b 米/分．如果甲、乙二人同时从点A 出发，时间为t （分），离开点A 的路程为S （米）．那么下面图象中，大致表示甲、乙二人从点A 出发后的时间t （分）与离开点A 的路程S （米）之间的函数关系的是（ ）5．函数的自变量x 的取值范围是_____。
6．若直线1103457323=+y x 与直线897543177=+y x 的交点坐标是（a ，b ）， 则222004b a +的值是7.若一次函数y ＝kx ＋b ，当－3≤x ≤1时，对应的y 值为1≤y ≤9，则一次函数的解析式为________________________.8．某矿泉水厂生产一种矿泉水，经测算，用一吨水生产的矿泉水所获利润y （元）与1吨水的价格x （元）的关系如图所示。
（1）求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； （2）为节约用水，特规定：该厂日用水量不超过20吨时， 水价为每吨4元；日用水量超过20吨时，超过部分按每吨40元收费。
已知该厂日用水量不少于20吨。
专题5.5 一次函数的几何综合压轴题专项讲练浙教版解析版
专题5.5 一次函数的几何综合【典例1】如图1 ， 在平面直角坐标系中， 一次函数y =−23x +4与x 轴交于点B ， 与y 轴交于点A ， 点C 为线段AB 的中点， 过点C 作DC ⊥x 轴， 垂足为D ．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）若点E 为y 轴负半轴上一点， 连接CE 交x 轴于点F ， 且CF =FE ， 在直线CD 上有一点P ， 使得AP +EP 最小， 求P 点坐标；（3）如图2， 直线CD 上是否存在点Q 使得∠ABQ =45°，若存在， 请求出点Q 的坐标， 若不存在， 请说明理由．（1）已知一次函数y =−23x +4与x 轴交于点B ， 与y 轴交于点A ，利用点在坐标轴上的特点，代数求值即可；（2）已知点C 为线段AB 的中点，DC ⊥x 轴，可求出C(2,3)，且CF =FE ，得到△OFE≅△DFC ，进而F(32,0),E(0,−2)，要求AP +EP 最小，则根据最短路径原理，作对称点连线求值即可；（3）直线CD 上存在点Q 使得∠ABQ =45°，分两种情况，点Q 分别在x 轴的上方和下方，画图找点证明即可．（1）解：一次函数y =−23x +4与x 轴交于点B ，即y =0时，x =6，点B(6,0)，与y 轴交于点A ，即x =0时，y =4，点A(0,4)（2）解：点C 为线段AB 的中点, 由（1）得A(0,4)、B(6,0)，所以根据中点坐标C 为(062,402)，即C(3,2)，∵ CF =FE ，DC ⊥x 轴，∴ △OFE≅△DFC ，∴ OF =FD,OE =CD ，∴ F(32,0),E(0,−2)，作点A 关于直线CD 的对称点A ′，坐标为(6,4)，连接A ′E ，与直线CD 交于点P ，根据最短路径原理，此时AP +EP 最小，设直线A ′E 为一次函数y =kx +b ，将A ′ (6,4)、E(0,−2)代入得：4=6k +b −2=b ，解得k =1b =−2 ，∴ y =x−2，∴当x =3时，y =1，即点P 坐标为(3,1)；（3）解：如图1当点Q 在x 轴上方时，∠ABQ =45°，过点A 作AM ⊥AB ,交BQ 于点M ，过点M 作MH ⊥y 轴于点H ，则△ABM 为等腰直角三角形，∴ AM =AB∵ ∠HAM +∠OAB =∠OAB +∠ABO =90°,∴ ∠HAM =∠ABO ,∵ ∠AHM =∠AOB =90°,∴ △AMH≅△ABO(AAS),∴ MH =AO =4，AH =BO =6,∴ OH =AH +AO =10,∴ M(4,10)设直线BM 为一次函数y =k 1x +b 1，将M(4,10)、B(6,0)代入得：10=4k 1+b 10=6k 1+b 1 ，解得k 1=−5b 1=30 ，∴ y =−5x +30∴当x =3时，y =15，即点Q 坐标为(3,15)；如图2，当点Q 在x 轴下方时，∠ABQ =45°，过点A 作AN ⊥AB ,交BQ 于点N ，过点N 作NG ⊥y 轴于点G ，则△ABN 为等腰直角三角形，同理可得△ANG≅△ABO ,∴ NG =AO =4，AG =BO =6,∴ N(−4,−2)设直线BN 为一次函数y =k 2x +b 2，将N(−4,−2)、B(6,0)代入得：−2=−4k 2+b 20=6k 2+b 2 ，解得k 2=15b 2=−65，∴ y =15x−65∴当x=3时，y=−35，即点Q坐标为(3,−35)；所以Q坐标(3,15)或(3,−35)1．（2022春·广东深圳·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−34x+6交x轴于点A，交y轴于点B．（1）求点A、点B的坐标及△OAB的面积；（2）线段OA上存在一动点P从点O出发沿OA以每秒2个单位的速度向A运动，设P点运动时间为t秒，连接BP，当t为何值时BP平分∠ABO；（3）在（2）的前提下，过点P作PC⊥AB于点C，试问x轴上是否存在一动点M，使得△CPM为等腰三角形，若存在请直接写出M坐标，若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）在y=−34x+6中，求出当x=0时，y的值，求出y=0时，x的值即可得到答案；（2）先利用勾股定理求出AB=10，再根据角平分线的性质得到OP=PC，利用面积法求出OP的长即可得到答案；（3）分当PC=PM=3时，当PC=MC时，当MP=MC时，三种情况根据等腰三角形的定义和性质进行分类讨论求解即可．【解题过程】（1）解：在y=−34x+6中，令x=0，则y=6；令y=0，则x=8，∴A(8,0)，B(0,6)；即，OA=8，OB=6，∴S△OAB=12⋅OA⋅OB=12×8×6=24（2）如图所示，连接BP ，作PC ⊥AB ，∵A(8,0)，B(0,6)，∴OA =8，OB =6，∴ AB 10；∵BP 平分∠ABO ，PC ⊥AB ，∠BOP =90°，∴OP =PC ，∵S △AOB =S △POB +S △ABP ，∴ 12OB ⋅OA =12OB ⋅OP +12AB ⋅PC ，∴ 12×6×8=12×6⋅OP +12×10⋅OP ，∴ OP =3，即2t =3∴t =32；当t =32时，BP 平分∠ABO ；（3）由（2）得PC =3，P(3,0)，则AP =8−3=5，在Rt △APC 中，AC =4，如图，当PC =PM =3时，则M(0,0)或(6,0)；如图所示，当PC =MC 时，过点C 作CN ⊥PM 于N ，则MP =2PN ，∵ S △APC =12AC ⋅PC =12AP ⋅CN ，∴CN =PC⋅AC AP =125，在Rt △CPN 中，由勾股定理得PN =95，∴ MP =185，∴ OM =OP +MP =335，∴ M(335,0)；当MP =MC 时，设M(m,0)，由上一问可知ON =OP +PN =3+95=245，即C(245,125)，∴CM 2=m−+0−∵P(3,0)，∴PM 2=(m−3)2，∴ (m−3)2=(m−245)2+(0−125)2，∴ m =112，∴ M(112,0)；综上所述，点M 的坐标为(0,0)或(6,0)或(335,0)或(112,0)．2．（2023秋·上海普陀·八年级校考期中）如图，已知直线l 1:y =kx(k >0)上有一点A ，直线l 1绕着原点O 旋转45°得直线l 2，过点A 作AB ⊥l 1，交直线l 2于点B ．，且点A的横坐标是4，点B在第一象限内时，求点B的坐标和直线l2的解析式．2（2）当点A的横坐标是m(m>0)时，求旋转后直线的解析式．（用含字母k的式子表示）．【思路点拨】（1）如图：过A作x轴的垂线与过B作y轴的垂线交于点M,即BM⊥AM,然后证△ABM≌△AOC可得BM=AC、AM=OC,再根据坐标与图形求得AM=OC=4,BM=AC=2，进而确定点B的坐标，最后运用待定系数法即可解答；（2）直线l1逆时针旋转和顺时针旋转两种情况，分别按照（1）的方法解答即可．【解题过程】（1）解：如图：过A作x轴的垂线与过B作y轴的垂线交于点M,即BM⊥AM,∴∠OCA=∠BMA=90°,∠BAM+∠ABM=90°,∵AB⊥l1，∴∠BAM+∠CAO=90°，∴∠ABM=∠CAO∵AB⊥l1，∠BOA=45°，∴∠OBA=∠BOA=45°，∴AB=OA,∴△ABM≌△AOC,∴BM=AC,AM=OC,∵k=1，2x，∴直线l1的解析式为y=12∵点A的横坐标是4，∴点A的纵坐标坐标是2，∴AM=OC=4,BM=AC=2∴点B的横坐标为4−2=2，纵坐标为4+2=6，即点B的坐标为(2,6)，设直线l2的解析式为y=k1x，则有6=2k1，解得：k1=3，∴直线l2的解析式为y=3x．（2）解：①如图：当直线l1逆时针旋转时，∵点A的横坐标是m，y=kx，∴点A纵坐标为km，即OC=m,AC=km，由（1）可证：∴△ABM≌△AOC,∴BM=AC,AM=OC,∴点B的横坐标为m−km=m(1−k)，纵坐标为m+km=m(k+1)，即点B的坐标为(m(1−k),m(1+k))，；设直线l2的解析式为y=k2x，则有m(1+k)=m(1−k)k2，解得：k2=1k1−k∴直线l 2的解析式为y =1k 1−k x ；②当直线l 1顺时针旋转时，同理可得：直线l 2的解析式为y =1−k 1k x ．综上，当点A 的横坐标是m (m >0)时，旋转后直线的解析式为y =1k 1−k x 或y =1−k 1k x ．3．（2023秋·广东深圳·八年级深圳市大鹏新区华侨中学校联考期中）如图，一次函数y =kx +b 的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B(0,3)，且OA =OB ．（1）点A 的坐标为___________；点AB 的表达式为___________；（2）在y 轴上有一点C(0,4)，在x 轴上是否存在点P ，使△ACP 是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由：（3）若x 轴上的动点Q 在点A 的右侧，以Q 为直角顶点，BQ 为腰在第一象限内作等腰直角△BQD ，连接DA 并延长，交y 轴于点E ，当Q 运动时，点E 的位置是否发生变化？若不变，请求出点E 的坐标；若变化，请说明理由．【思路点拨】（1）由OA =OB,B(0,3)，得OA =3，从而得到A(3,0)，再用待定系数法求出直线AB 的解析式即可；（2）设点P(x,0)，可得AC =5，分情况三种：CP =CA ；PC =PA ；AP =AC ，分别求出x 的值即可得解；（3）过点D 作DF ⊥x 轴，由AAS 证得△BOQ≌△QFD ，从而得到OQ =DF,BO =QF ，进而推导出△AFD 为等腰直角三角形，OE =OA =3，故E (0,−3)．【解题过程】（1）解：∵B(0,3)，OA =OB∴OA =3，∴A(3,0),设直线AB 的解析式为y =kx +b ，把A(3,0),B (0,3)分别代入得：3k +b =0b =3,故直线AB 的解析式为y =−x +3；故答案为：(3,0)；y=−x+3；（2）在x轴上存在点P，使△ACP是等腰三角形，设P(x,0)．依题意得，AC5，当CP=CA时，点P位置如图中的点P1，如图，∵CO⊥AP1，∴OP1=OA，∴P1(−3,0)；当PC=PA，时点P位置如图1中的点P2，此时，P2A=3−x，在Rt△COP2中，(3−x)2=x2+16，．解得：x=−76∴P2−7,0；6当AP=AC=5时，点P位置如图1中的点P3、P4，∴|x−3|=5，解得：x=8或−2．∴P3(8,0)，P4(−2,0)，综上所述，点P的坐标为(−3,0)或−7,0或(8,0)或(−2,0)；6（3）当Q运动时，点E的位置不发生变化，点E的坐标为(0,−3)，理由如下：过点D作DF⊥x轴，则∠2=90°，则∠1=∠2，如图，∵△BQD 为等腰直角三角形，∠BQD =90°，∴∠BQO +∠DQF =90°，BQ =DQ ，在Rt △BOA 中，∠OBQ +∠BQO =90°，∴∠OBQ =∠DQF ，在△BOQ 和△QFD 中，∠OBQ =∠DQF ∠1=∠2BQ =QD∴△BOQ≌△QFD(AAS)，∴OQ =DF ，BO =QF ，设AQ =a ，则AF =a +3，DF =a +3，∴△AFD 为等腰直角三角形，∴∠OAE =∠DAF =45°，∴OE =OA =3，∴E(0,−3)．4．（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图所示，在直角坐标系中，C (6,0)，D (6,6)，线段AB 在y 轴上平移，且满足AB =2，连接AD 、BC 、CD ．（1）当∠OBC =30°时，BC =__________；（2）当四边形ABCD 的周长取得最小值时，求出此时点B 的坐标及四边形的最小周长；（3）在（2）的条件下，连接BD ，当BD 向下平移的过程中，x 轴上是否存在一点P ，使△BDP为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据直角三角形的性质，即可求解；（2）作点C关于y轴的对称点E，连接BE，将AD沿y轴平移至点B交CD于点F，连接EF，则点E(−6,0)，BE=BC，CE=12，根据平移的性质可得当点E，B，F三点共线时，四边形ABCD的周长取得最小值，再求出直线EF的解析式，即可求解；（3）分三种情况讨论，结合全等三角形的判定和性质，即可求解．【解题过程】（1）解：∵C(6,0)，∴OC=6，∵∠OBC=30°，∠BOC=90°，∴BC=2OC=12；故答案为：12（2）解：如图，作点C关于y轴的对称点E，连接BE，将AD沿y轴平移至点B交CD于点F，连接EF，则点E(−6,0)，BE=BC，CE=12，∵C(6,0)，D(6,6)，∴CD∥y轴，CD=6，∴BF=AD,AB=DF=2，∴BC+AD=BE+BF≥EF，∴AB+BC+CD+AD≥AB+CD+EF，即当点E，B，F三点共线时，四边形ABCD的周长取得最小值，∵CD=6，DF=2，∴CF=4，∴点F的坐标为(6,4)，∴EF==∴四边形ABCD 的周长的最小值为2+6+=8+设直线EF 的解析式为y =kx +b (k ≠0)，把点E (−6,0)，F (6,4)代入得：−6k +b =06k +b =4 ，解得：k =13b =2，∴直线EF 的解析式为y =13x +2，当x =0时，y =2，∴点B 的坐标为(0,2)；（3）解：存在，由（2）得：BD=当∠BDP =90°,BD =PD 时，如图，过点B 作BM ⊥CD 于点M ，则∠BDM +∠PDC =90°，∠BMD =∠DCP =90°，∴∠BDM +∠DBM =90°，∴∠DBM =∠PDC ，∴△BDM≌△DPC ，∴CP =DM,BM =DC =6，∴CP =DM =4，∴OP =10，∴此时点P 的坐标为(10,0)；当∠DBP =90°,BD =PB 时，如图，过点B 作DM ⊥y 轴于点M ，则∠DBM +∠PBO =90°，∠BMD =∠BOP =90°，∴∠PBO+∠OPB=90°，∴∠DBM=∠OPB，∴△BDM≌△PBO，∴OP=BM,DM=OB=6，∴OP=BM=4，∴此时点P的坐标为(−4,0)；当∠BPD=90°,BP=PD时，如图，过点D作DM⊥x轴于点M，则∠OPD+∠DPM=90°,∠PMD=∠BOP=90°，∴△BOP≌△PMD，∴OP=DM,BP=PM，设此时点B的坐标为(0,a)，则BD向下平移(2−a)个单位，PM=OB=−a，∴OP=DM=2−a−6=−a−4，∵OP+PM=6，∴−a−4−a=6，解得：a=−5，∴OP=1，∴此时点P的坐标为(1,0)；综上所述，点P的坐标为(10,0)或(−4,0)或(1,0)．5．（2023春·重庆涪陵·八年级西南大学附中校考开学考试）如图，直线l AB:y=+3的图像与x轴和y轴分别交于点A和点B，将△AOB沿直线l对折使点A和点B重合，直线l与x轴交于点C，与AB交于点D，连接BC．（1）求线段OC的长；（2）若点E是点C关于y轴的对称点，求△BED的面积；（3）已知y轴上有一点P，若以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，请求出所有满足条件的点P的坐标．【思路点拨】（1）根据坐标轴上点的特征，求出点A、B的坐标，设OC=a，由折叠的性质可得BC=AC=，利用勾股定理求解即可；（2）先求出点E的坐标，然后由S△BED=S△ABE−S△ADE，即可获得答案；（3）设点P(0,m)，分三种情况利用等腰三角形两腰相等的性质，建立方程并求解即可获得答案．【解题过程】（1）解：对于直线l AB:y=+3，令x=0，则y=3，∴点B(0,3)，令y=0，则有0=+3，解得x=∴点，设OC=a，∵将△AOB沿直线l对折使点A和点B重合，直线l与x轴交于点C，与AB交于点D，∴BC=AC=，在Rt△OBC中，可有OB2+OC2=BC2，即32+a2=2，解得a=∴线段OC（2）如下图，连接DE，∵点E是点C关于y轴的对称点，线段OC∴，∴AE=AC=∵，B(0,3)，∴，∴S△BED=S△ABE−S△ADE=12AE⋅OB−12AE×|y D|=12×3−12××32=（3）∵线段OC∴，设点P(0,m)，∵点B(0,3)，∴BC2=32+2=12，CP2=2+m2=3+m2，BP2=(m−3)2，∵△PCB为等腰三角形，∴①当CP=BP时，可有3+m2=(m−3)2，解得m=1，∴点P的坐标为(0,1)；②当CP=BC时，可有3+m2=12，解得m=3（舍去）或m=−3，∴点P的坐标为(0,−3)；③当BP=BC时，可有(m−3)2=12，解得m=3+m=∴点P的坐标为(0,3+或．综上所述，点P的坐标为(0,1)或(0,−3)或(0,3+或．6．（2022春·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）如图，直线y=kx+k分别交x轴、y轴于点A，C，直线BCOC，∠CBA=45°，点P是直线BC上的一点．过点C交x轴于点B，且OA=13（1）求直线BC的解析式；（2）若动点P从点B出发沿射线BC/秒，连接AP，设△PAC的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）若点Q是直线AC上且位于第三象限图象上的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当以点B、M、Q 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求点Q和点M的坐标．【思路点拨】（1）先求得点A坐标，进而求得点C、B坐标，然后利用待定系数法求解即可；（2）分点P在线段BC上和点P在射线BC上两种情况，可画出图形，利用S=S△ABC−S△ABP或S=S△ABP−S△ABC求解即可；（3）分∠BMQ=90°、∠BQM=90°、∠QBM=90°三种情况，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，结合坐标与图形性质求解即可．【解题过程】（1）解：令y=0，由kx+k=0得x=−1，则A(−1,0)，OA=1，OC，∴OC=3，则C(0,3)，∵OA=13∵∠CBA=45°，∠BOC=90°，∴OB=OC=3，则B(3,0)，设直线BC的表达式为y=mx+n，将C (0,3)、B (3,0)代入，得3m +n =0n =3，解得m =−1n =3 ，∴直线BC 的表达式为y =−x +3；（2）解：当点P 在线段BC 上时，过P 作PH ⊥x 轴于H ，如图，∵∠CBA =45°，∠PHB =90°，PB =，∴PH =BH ==t ，又AB =OB +OA =4，OC =3，∴S =S △ABC −S △ABP =12AB ⋅OC−12AB ⋅PH =12×4×3−12×4⋅t =6−2t ，∵BC =∴0≤t ≤3；当点P 在射线BC 上时，如图，同理可得S =S △ABP −S △ABC =2t−6，t >3，综上，S 与t 之间的函数关系式为S =6−2t,(0≤t ≤3)2t−6,(t >3) ；（3）解：将C (0,3)代入y =kx +k 中得k =3，∴直线AC 的表达式为y =3x +3设M (0.m )，Q (n,3n +3)，n <−1，①当∠BMQ =90°时，当点M 在x 轴上方，如图，分别过Q 、B 作y 轴的平行线，分别交过点M 与x 轴平行的直线于点G 、H ，则∠QGM =∠BHM =∠BMQ =90°，∴∠GMQ +∠MQG =∠GMQ +∠HMB =90°，∴∠MQG =∠HMB ，又MQ =MB ，∴△QGM≌△MHB (AAS)，∴GQ =MH ，GM =BH ，则m−3n−3=3，−n =m ，解得m =32，n =−32，又3n +3=−32，∴M 0,Q −32同理，当点M 在x 轴下方时，3n +3−m =3，−n =−m ，解得m =n =0，不符合题意，舍去；②当∠BQM =90°时，如图，过Q 作y 轴的平行线，交过点M 与x 轴平行的直线H ，交x 轴于点G ，则∠QGB =∠QHM =∠BQM =90°，∴∠GBQ +∠BQG =∠MQH +∠BQG =90°，∴∠GBQ =∠MQH ，又BQ =QM ，∴△QGB≌△MHQ (AAS)，∴GQ =MH ，GB =QH ，则−3n−3=−n ，3−n =3n +3−m ，解得m =−6，n =−32，又3n +3=−32，∴M (0,−6)，Q −32③当∠QBM =90°时，如图，同理证明△QGB≌△BHM (AAS)，∴GQ =BH ，GB =MH ，则−3n−3=3，3−n =m ，解得m =5，n =−2，又3n +3=−3，∴M (0,5)，Q (−2,−3)，综上，满足题意的点M 、Q 坐标为；M 0,Q −32M (0,−6)、Q −32M (0,5)、Q (−2,−3)．7．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十九中学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 的坐标为(0,6)，在x 轴的负半轴取点A ，在x 轴的正半轴取点B ，△ABC 面积等于36，AC =BC ．（1）求点A 的坐标．（2）如图2，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点A 出发沿AO 方向向终点O 运动，运动时间为t ，过点P作DP⊥OA交AC于点D，在CB的延长线上取点E，使得AD=BE，连接DE交x轴于点G，若△DPG的面积为S，求S与t的关系式．（3）如图3，在（2）的条件下，以DE为底边，在x轴的上方作等腰直角三角形，使得DF=FE，∠F=90°，CE交DF于点K，DF交y轴于点Q，连接GQ，若GQ⊥DF，求点K坐标．【思路点拨】（1）根据AC=BC，可得AB=2OB，再由△ABC面积等于36，可得AB=12，即可求解；（2）过点E作EH⊥x轴于点H，根据题意得：AP=2t，AC=BC=△ADF,△BEH都是等腰直角三角形，可得DP=AP=2t，再由△ADP≌△BEH，可得AP=BH=2t，可证明△DGP≌△EGH，从而得到PG=HG，即可求解；（3）过点E作EH⊥x轴于点H，过点D作DM⊥OC点M，则DM=OP=6−2t，根据题意可得点D(2t−6,2t) ,E(6+2t,−2t)，可求出直线BC的解析式，再根据△DEF是等腰直角三角形，可得△DGQ是等腰直角三角形，再证明△DQM≌△QGO，可得DM=OQ=6−2t，QM=OG=2t，从而得到t=1，进而得到点Q(0,4),D (−4,2)，可求出直线DF的解析式，然后联立两直线解析式，即可求解．【解题过程】（1）解：∵AC=BC，OC⊥AB，∴AB=2OB，∵点C的坐标为(0,6)，∴OC=6，∵△ABC面积等于36，AB×OC=36，∴12∴AB=12，∴OB=6，∴点B的坐标为(6,0)；（2）解：如图，过点E作EH⊥x轴于点H，根据题意得：AP =2t ，AC =BC =由（1）得：OA =OB =OC =6，∴∠BAC =∠ABC =∠ACO =∠BCO =45°，∴∠EBH =∠ABC =∠BAC =45°，∵DP ⊥OA ，∴△ADF,△BEH 都是等腰直角三角形，∴DP =AP =2t ，∵AD =BE ，∴△ADP≌△BEH ，∴AP =BH =2t ，∴PH =PB +BH =PB +AP =AB =12，∵∠DPO =∠EHG =90°,∠DGP =∠EGH ，∴△DGP≌△EGH ，∴PG =HG ，∴PG =GH =6，∴S 与t 的关系式为S =12DP ×PG =12×2t ×6=6t ；（3）解：如图，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，过点D 作DM ⊥OC 点M ，则DM =OP =6−2t ，由（2）得：DG =EG ，EH =DP =2t,OH =6+2t,OP =6−2t ，∴点D (2t−6,2t ),E (6+2t,−2t )，设直线BC 的解析式为y =k 1x +b 1，把点C (0,6),B (6,0)代入得：6k 1+b 1=0b 1=6 ，解得：k 1=−1b 1=6 ，∴直线BC 的解析式为y =−x +6，∵△DEF 是等腰直角三角形，∴∠EDF =45°，∵GQ ⊥DF ，∴△DGQ 是等腰直角三角形，∴DQ =GQ ，∵∠DMQ =∠GOQ =90°，∴∠DQO +∠OQG =∠OGQ +∠OQG =90°，∴∠DQO =∠OGQ ，∴△DQM≌△QGO ，∴DM =OQ =6−2t ，QM =OG =2t ，∴OQ =OM +QM =4t ，∴4t =6−2t ，即t =1，∴点Q (0,4),D (−4,2)设直线DF 的解析式为y =k 2x +b 2，把点Q (0,4),D (−4,2)代入得：−4k2+b2=2b2=4，解得：k2=12b2=4，∴直线DF的解析式为y=12x+4，联立得：y=−x+6y=12x+4，解得：x=43y=143，∴点K8．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考期中）如图1，平面直角坐标系中，O为原点，直线AB的解析式为y=x+4，分别交x轴、y轴于B、A两点，过点A作AC⊥AB交x轴于C．（1）直接写出点A，点B的坐标；（2）如图1，点D在点A上方的y轴上，连接BD，延长CA交BD于E，DE<BE，作DF⊥BD交BA延长线于F，若线段AD的长度为t，四边形AEDF的面积为S，用含t的式子表示S；（3）如图2，在（2）问条件下，在线段BE上取一点G，使BG=DF，K为第一象限∠CAF内部一点，连接KG，KF，∠GKF=45°，过点K作KH⊥DF于H，KH=DF，连接CK，当S=8时，求线段CK的长度．【思路点拨】（1）令x=0，y=0，即可求解；（2）作DI⊥AD交BA的延长线于点I，证明△DEA≌△DFI(AAS)，S=S△DAI=12t2；（3）过点F作FQ⊥FK交BD于点Q，证明△QFD≌△FKH(ASA)，推出△QFK是等腰直角三角形，证得点Q与点G重合，再证明△BDO≌△DHA(SAS)，得到H8，4，根据两直线的交点求得E−43EM⊥AD于点M，过点K作KN⊥AH交AH于点N，交x轴于点T，同理可证△DEM≌△KHN，求得K【解题过程】（1）解：∵直线AB的解析式为y=x+4，令x=0，则y=x+4=0+4=4；令y=0，则0=x+4，解得x=−4；∴点A的坐标为0，4；点B的坐标为−4，0；（2）解：∵DF⊥BD，AC⊥AB，∴∠BDF=∠EDF=90°，∴∠DEA+∠DFA=180°，∵A0，4，B−4，0，∴OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=45°=∠DAF，∠DAE=∠OAC=90°−∠BAO=45°，作DI⊥AD交BA的延长线于点I，∴∠DAI=∠I=45°，∠DFI+∠DFA=180°，∴DI=AD=t，∠DEA=∠DFI，∠DAE=∠I=45°，∴△DEA≌△DFI(AAS)，t2；∴S=S四边形DEAF=S△DAE+S△DAF=S△DAI=12（3）解：∵S=8，t2=8，解得t=4，∴12∴AD=4，D0，8，过点F作FQ⊥FK交BD于点Q，连接AH，∴∠QFD+∠KFH=90°=∠FKH+∠KFH，∴∠QFD=∠FKH，∵KH=DF，∴△QFD≌△FKH(ASA)，∴FQ=FK，∴△QFK是等腰直角三角形，∴∠FQK=∠FKQ=45°，∵∠GKF=45°，∴点Q与点G重合，∴DG=FH，∵BG=DF，∴DB=DH；∵∠BDO=90°−∠ADH=∠DHA，BO=DA=4，∴△BDO≌△DHA(SAS)，∴AH=OD=8，∠DAH=∠BOD=90°，∴AH∥x轴，∴H8，4，∵B−4，0，D0，8，设直线BD的解析式为y=kx+8，代入B−4，0，∴0=−4k+8，解得k=2，∴直线BD的解析式为y=2x+8，同理得直线AC的解析式为y=−x+4，联立2x +8=−x +4，解得x =−43，y =−−+4=163，∴E −43作EM ⊥AD 于点M ，过点K 作KN ⊥AH 交AH 于点N ，交x 轴于点T ，同理可证△DEM≌△KHN ，∴KN =DM =8−163=83，HN =EM =43，∴AN =8−43=203，KT =4−83=43，∴∴CT =203−4=83，∴CK ==9．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，平面直角坐标系中，直线y =−x +4分别交x 、y 轴于A 、B 两点，点P 为线段AB 的中点．（1）直接写出点P 的坐标 ；（2）如图1，点C 是x 轴负半轴上的一动点，过点P 作PD ⊥PC 交y 轴正半轴于点D ，连接CD ，点M 、N 分别是CD 、OB 的中点，连接MN ，求∠MNO 的度数；（3）如图2，点Q 是x 轴上的一个动点，连接PQ ．把线段PQ 绕点Q 顺时针旋转90°至线段QT ，连接PT 、OT ．当PT +OT 的值最小时，求此时点T 的坐标．【思路点拨】（1）求出A 、B 点的坐标，再由中点坐标公式求出P 点坐标即可；（2）过点P 作EF ⊥x 轴交于F 点，过D 点作DE ⊥EF 交于E 点，过M 点作MG ⊥y 轴交于G ，可证明△PED≌△CFP(AAS)，设C(−x ，0)，则D(0，4+x)，M( x 2,x 2+2 )，求出GN =GM ，可得∠GNM =45°，即可求∠MNO =135°；（3）过点Q 作RS ⊥x 轴，过点P 作PR ⊥RS 交于点R ，延长PQ ，使PQ =QK ，过点T 作TS ⊥RS 交于S ，作O 点关于过点T 垂直于x 轴的直线的对称点O ′，连接O ′T ，当O ′、T 、K 三点共线时，PT +OT 的值最小，最小值为KO ′，可证明△PQR≌△QTS (AAS)，设Q(t ，0)，则T(t +2，t−2)，O ′ (2t +4，0)，K(2t−2，−2)，求出直线Q 'K 的解析式为.y =13x−23t−43，再将T 点坐标代入即可求t 的值，从而求出T 点坐标．【解题过程】（1）解：在y =−x +4中，令x =0，则y =4，∴B(0，4)，令y =0，则x =4，∴A(4，0)，∵点P 为线段AB 的中点，，∴P(2，2)，故答案为：(2，2)；（2）解：过点P 作EF ⊥x 轴交于F 点，过D 点作DE ⊥EF 交于E 点，过M 点作MG ⊥y 轴交于G ，∵CP ⊥PD ，∴∠CPD =90°，∴∠EPD +∠FPC =90°，∵∠EPD +∠EDP =90°，∴∠FPC =∠EDP ，∵PF =ED =2，∴△PED≌△CFP(ASA)，∴PE =FC ，设C(−x ，0)，∴FC =x +2，∴EF =4+x ，∴D(0，4+x)，∵M 是CD 的中点，∴M(− x 2,2+x 2 )，∴ GM =x 2,OG =2+x 2，∵N 是OB 的中点，∴N(0，2)，∴GN = x 2，∴GN =GM ，∴∠GNM =45°，∴∠MNO =135°；（3）解：过点Q 作RS ⊥x 轴，过点P 作PR ⊥RS 交于点R ，延长PQ ，使PQ =QK ，过点T 作TS ⊥RS 交于S ，∵PQ =TQ ，∠PQT =90°，∴∠PTQ =45°，∵Q 点是PK 的中点，TQ ⊥QK ，∴TQ=PQ=KQ，∴∠PTK=90°，PT=KT，作O点关于过点T垂直于x轴的直线的对称点O′，连接O′T，∴OT+PT=O′T+TK，∴当O′、T、K三点共线时，PT+OT的值最小，最小值为KO′，如图所示，∴∠PQR+∠TQS=90°，∵∠PQR+∠QPR=90°，∴∠TQS=∠QPR，∴△PQR≌△QTS(AAS)，∴PR=QS，RQ=TS，设Q(t，0)，∴PR=2−t，RQ=2，∴T(t+2，t−2)，∴O′(2t+4，0)，∵Q是PK的中点，∴K(2t−2，−2)，设直线O′K的解析式为y=kx+b，∴(2t+4)k+b＝0 (2t−2)k+b=−2，解得k=13b=−2t−43∴ .y =13x−23t−43，∵T(t +2，t−2)在O ′K 上，∴ t−2=13(t +2)−23t−43，解得t =1，∴T(3，−1)．10．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知：直线y =x +b 分别与x 轴负半轴、y 轴正半轴交于点A 、B ．（1）如图1，若直线AB 过P (1,3)，求S △AOB ．（2）如图2，点B 关于x 轴的对称点为B ′，将线段AB ′沿x 轴正半轴移动到MN ，直线MN 交直线AB 于点E ，直线BN 交x 轴于点F ，求NEAF 的值．（3）如图3，在（1）的条件下，在x 轴上是否存在一点Q ，使得∠PQO =∠APO ，若存在请求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）分别令x,y =0求得点A,B 的坐标，进而即可求解；（2）分别令x,y =0求得点A,B 的坐标，得出B ′(0,−b )，设线段AB ′沿x 轴正半轴移动到MN ，移动了t 个单位，得出直线MN 的解析式为y =−x +t−b ，联立y =−x +t−b y =x +b，得出NE ，进而得出直线BN 的解析式为y =−2b t x +b ，求得AF =t2+b ，即可求解；（3）以OP 为直角边在OP 的右侧作等腰Rt △POH ，连接PQ 交OH 于点G ，过点P 作EF ⊥y 轴于点E ，过点H 作HF ⊥EF 于点F ，根据已知得出∠GOQ =∠GQO ，则GQ =GO ，即点G 在OG 的垂直平分线上，证明△OPE≌△PHF ，可得H (4,2)，进而得出OH 的解析式为y =12x ，设G a,12a ，则Q (2a,0)，求得直线PQ 的解析式为y =31−2a x−61−2a ，将点G a,12a 代入求得a 的值，进而即可求解．【解题过程】（1）解：将点P (1,3)代入y =x +b ，得1+b =3∴b =2，即y =x +2当x =0时，y =2，则B (0,2)，当y =0时，x =−2，则A (−2,0)∴S △AOB =12OA ×OB =12×2×2=2,（2）∵y =x +b ，当x =0时，y =b ，则B (0,b )，当y =0时，x =−b ，则A (−b,0)，∴B ′(0,−b )，设线段AB ′沿x 轴正半轴移动到MN ，移动了t 个单位，则M (−b +t,0),N (t,−b ),t >0，设直线MN 的解析式为y =−x +c ，∴−b =−t +c 解得：c =t−b ，∴直线MN 的解析式为y =−x +t−b ，联立y =−x +t−b y =x +b∴x =t−2b 2y =t 2∴∴NE =b设直线BN 的解析式为y =mx +n ，将点B (0,b ),N (t,−b )代入，n =b mt +n =−b∴m =−2bt n =b ，∴直线BN 的解析式为y =−2bt x +b ，当y =0时，x =t2，+b，∴AF=t2∴NEAF t2（3）解：如图所示，以OP为直角边在OP的右侧作等腰Rt△POH，连接PQ交OH于点G，过点P作EF⊥y轴于点E，过点H作HF⊥EF于点F，∴∠POG=45°，∵P(3,1)，∴EP=1,OE=3∵OA=OB，∠AOB=45°∴△AOB是等腰直角三角形，∵∠APO+∠EOP=45°，∠PQO=∠APO∴∠PQO+∠EOP=45°又∵∠EOP+∠GOQ=90°−∠POG=45°∴∠GOQ=∠GQO∴GQ=GO，即点G在OG的垂直平分线上，∵∠OEP=∠PFH=∠OPH=90°，∴∠OPE=90°−∠FPH=∠PHF，又PQ=PH,∴△OPE≌△PHF，∴EP=FH=1,PF=OE=3，∴H(4,2)，设直线OH的解析式为y=k1x，则2=4k1，12∴OH 的解析式为y =12x 设G a,12a∵点G 在OG 的垂直平分线上，∴Q (2a,0)设PQ 的直线解析式为y =ex +f ，将点P (1,3)，Q (2a,0)代入得，3=e +f 0=2ae +f解得：e =31−2af =−6a1−2a∴直线PQ 的解析式为y =31−2a x−61−2a将点G a,12a 代入得，12a =3a1−2a −6a1−2a∵a ≠0,∴12=31−2a −61−2a解得：a =72（经检验，是原方程的解）∴Q (7,0)．11．（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知A (−4,0),B (0,2)两点．（1）请直接写出直线AB的解析式；（2）如图（1），点C 坐标为(0,−1)，动点D 在线段OA 上，直线CD 交直线AB 于点E ，若S △ADE =S △CDO ，求点D 的坐标；（3）如图（2），F 为y 轴负半轴上任意一点，有一宽度为1的直尺平行于y 轴，在点A ，O 之间平行移动，直尺两长边被线段AB 和线段AF 截得两线段PQ,MN ．设点P 的横坐标为t ，且−4<t <−1，试比较线段MN 与2PQ 的大小．【思路点拨】（1）根据待定系数法求出直线解析式即可得到答案；（2）如图所示，由S △ADE =S △CDO ，得到S △ADE +S 四边形DOBE =S △CDO +S 四边形DOBE ，从而有S △BCE =S △AOB =4，则3(−x E )2=4，解得x E =−83，代入直线AB 的解析式中即可得到E −83再求出y CE =−58x−1，当y D =0时，解得x D =−85，即得到点D 坐标为−85,0；（3）如图，设F (0,m )(m <0)，根据直线AF 过A (−4,0)得−4p +m =0，即p =14m, 从而y AF =14mx +m ，则y P =12t +2,y Q =mt 4+m ，即可得到PQ =t 2−mt 4+2−m ，再由直尺的宽度为1，且MN ∥PQ ，求出MN =t 2−mt4+52−5m4，进而表示出MN−2PQ【解题过程】（1）解：∵ A (−4,0),B (0,2)，设直线AB 的解析式是y =kx +b ，则0=−4k +b2=b，解得k =12b =2，∴ 直线AB 的解析式是y =12x +2；（2）解：如图所示：∵S △ADE =S △CDO ，∴S △ADE +S 四边形DOBE=S △CDO +S 四边形DOBE ，∴S △BCE =S △AOB =4×22=4，∵C (0,−1)，B (0,2)，∴BC =3，∴3(−x E )2=4，解得x E =−83，∴y E =12×−+2=23，即E −83设y CE =k ′x +b ′(k ′≠0)，分别将C (0,−1)和E −83代入，可得b ′=−1−83k ′+b ′=23，解得k =−58b =−1 ，∴y CE =−58x−1，当y D =0时，x D =−85，即点D 坐标为−85,0；（3）解：如图，设F (0,m )(m <0)，设直线AF 的解析式为y AF =px +m,(p ≠0)，将A (−4,0)代入，得−4p +m =0，即p =14m, ∴y AF =14mx +m ，∵PQ ∥y 轴，且点P 的横坐标为t ，则x Q =x P =t ，∴y P =12t +2,y Q =mt 4+m ，∴PQ =+2m =t2−mt4+2−m ，∵直尺的宽度为1，且MN ∥PQ ，∴x M =x N =t +1，∴y M =12(t +1)+2=t2+52，y Q =m (t 1)4+m =mt 4+5m 4，∴MN ==t 2−mt4+52−5m 4，∴MN−2PQ =mt 4+52−mt4+2−m =mt 4−t 2−32+3m4=(t 3)(m−2)4，∵m <0，∴m−2<0，令MN−2PQ =0，可得(t 3)(m−2)4=0，∵m−2≠0，∴t +3=0，解得t =−3，①当−4<t <−3>0，∴MN−2PQ >0，∴MN >2PQ ；②当t =−3时，(t 3)(m−2)4=0，∴MN−2PQ =0，∴MN =2PQ ；③当−3<t <−1时，(t 3)(m−2)4<0，∴MN−2PQ <0，∴MN <2PQ ．综上所得：当−4<t <−3时，MN >2PQ ；当t =−3时，MN =2PQ ；当−3<t <−1时，MN <2PQ ．12．（2023春·湖北随州·八年级统考期末）已知矩形OABC 的边OA ，OC 在坐标轴上，点B (4,3)，直线y =2x−3分别交线段AB 及x 轴、y 轴于点D,E,F ．（1）直接写出点D，E，F的坐标；（2）如图1，P为线段DF（不包括端点）上一动点，连接AP，设点P的横坐标为t，△ADP的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）如图2，M是线段BC上一动点，点N在第一象限，且在直线y=2x−3上，若△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点N的坐标．【思路点拨】（1）根据线段AB及x轴、y轴上点的坐标特征解答；（2）过点P作PH⊥AB于点H，由题意用t表示出PH的值，然后根据三角形的面积公式可以得解；（3）分点M为直角顶点、点N为直角顶点三种情况讨论.【解题过程】（1）解：在y=2x−3中分别令y=3、y=0及x=0可得：x=3，x=3，y=−3，2∴D(3,3)，,0，F(0,−3)；（2）解：如图，过点P作PH⊥AB于点H，∵点P在直线y=2x−3上，∴点P(t,2t−3)，∴PH=3−(2t−3)=6−2t，∵AD=3，×3×(6−2t)=−3t+9．∴S=12∵点P在线段DF上，∴0<t<3．（3）解：①若点M为直角顶点时，点N在第一象限，如图，过点N作NH⊥CB，交CB的延长线于点H，∵△AMN是等腰直角三角形，∴AM=MN，∠AMN=90°，∵∠AMH+∠MAB=90°，∠AMH+∠HMN=90°，∴∠MAB=∠HMN，∴Rt△ABM≌Rt△MHN(AAS)，∴AB=MH=4，HN=BM，设N x，2x−3，则HN=x−4，∴2x−3=4+3−(x−4)，∴x=14，3∴②若点N为直角顶点，点N在第一象限，当点N在点D下方时，如图，设N′x，2x−3，过点N′作N′G′⊥OA于点G′，交BC于点H′，∴∠G′N′A+∠H′N′M=90°，∠G′N′A+∠G′AN′=90°，∴∠H′N′M=∠G′AN′，∵∠AG′N′=∠N′H′M=90°，AN′=N′M，∴△AG′N′≌△N′H′M（AAS），∴AG′=N′H′=3−(2x−3)，∴x+3−(2x−3)=4，∴x=2，∴N′2，1，如图，当点N在点D上方时，过点N″作N″G″⊥OA于点G″，交BC于点H″，设N″(x,2x−3)，同理可得x+2x−3−3=4，∴x=10，3∴N综上所述，点N的坐标可以为：N(2,1)或.13．（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b分别与x轴，y轴交于点A(−1,0)，B(0,2)，过点C(2,0)作x轴的垂线，与直线AB交于点D．（1）求点D的坐标；（2）点E是线段CD上一动点，直线BE与x轴交于点F．i）若△BDF的面积为8，求点F的坐标；ii）如图2，当点F在x轴正半轴上时，将直线BF绕点B逆时针旋转45°后的直线与线段CD交于点M，连接FM，若OF=MF+1，求线段MF的长．【思路点拨】（1）根据题意，易求AD 的函数解析法y =2x +2，点D 在直线AB 上，可求出点D 坐标；（2）i ）解：E 在线段CD 上，且C(2,0)，D(2,6)，设点F(m,0)，分两种情况：①F 在C 点右侧时，根据题图表示△ADF 和△ABF 、△BDF 的关系列出方程，即：3(m +1)=m +1+8，解之得m =3；②F 点在A 点左侧时根据△ADF 、△ABF 、△BDF 三者之间的关系列出方程：(−3−3m)−(−1−m)=8，解得m =−5．综上所述F(−5,0)或(3,0)；ii ）出现45°想到构造等腰直角三角形，证明三角形全等，再利用勾股定理和方程思想求MF ．【解题过程】（1）解：∵y =kx +b 分别与x 轴，y 轴交于点A(−1,0)，B(0,2)，∴ −k +b =0b =2 ，解得k =2b =2 ，∴y =2x +2，∴x =2时，y D =2×2+2=6，∴D(2,6)；（2）解：i ）E 在线段CD 上，且C(2,0)，D(2,6)，设点F(m,0)，分两种情况：①当F 在x 轴正半轴上时，如图所示：∵D(2,6)，A(−1,0)，B(0,2)，DC ⊥x 轴，∴S △ADF =12AF ⋅DC =12(m +1)×6=3(m +1)，S △ABF =12AF ⋅OB =12(m +1)×2=m +1，∵S △DBF =8，∴S △ADF =S △ABF +S △DBF ，即3(m +1)=m +1+8，解得m =3，∴F(3,0)；②当F 在x 轴负半轴上时，如图所示：∵点A(−1,0)，B(0,2)，C(2,0)，D(2,6)，∴S △ADF =12×AF ×CD =12×(−1−m)×6=−3−3m ，S △ABF =12×AF ×OB =12×(−1−m)×2=−1−m ，∵S △BDF =S △ADF −S △ABF =8，∴(−3−3m)−(−1−m)=8，解得m =−5，∴F(−5,0)；综上所述：F(−5,0)或(3,0)；ii ）过M 作MN 垂直于y 轴，垂足为N ，过B 作MB 的垂线交x 轴于G 点，如图所示：∵∠NMB +∠NBM =90°，∠OBG +∠NBM =90°，∴∠NMB =∠OBG ，在△MNB 与△BOG 中，∠NMB =∠OBG MN =BO =2∠MNB =∠BOG =90°，∴△MNB≌△BOG(ASA)，∴NB =OG ，BM =BG ，在△MBF 与△GBF 中，BM =BG ∠MBF =∠GBF BF =BF，∴△MBF≌△GBF(SAS)，∴MF=GF，又∵OF=MF+1，OF=GF+OG，∴OG=1，∴NB=1，∴ON=MC=3，设MF=t，则CF=OF−2=t+1−2=t−1，在Rt△MCF中，由勾股定理可得MC2+CF2=MF2，∴32+(t−1)2=t2，解得t=5，∴MF=5．14．（2023秋·北京朝阳·八年级校考开学考试）在平面直角坐标系xOy中，若P(a,b)，Q(c,d)，式子|a−c|+ |b−d|的值就叫做线段PQ的“勾股距”，记作d PQ=|a−c|+|b−d|．同时，我们把两边的“勾股距”之和等于第三边的“勾股距”的三角形叫做“等距三角形”．在平面直角坐标系xOy中，A(2,3)，B(4,2)，C(m,n)．（1）线段OA的“勾股距”d OA=______________；（2）已知点P(m,−2)，Q(m+4,−2)，E(m+4,6)，F(m,6)，若以点P、Q、E、F为顶点的四边形边上存在一点K，使得d KO=6，则m的最小值为________，最大值为_________；（3）若点C在第三象限，且d OC=2d AB，求d AC并判断△ABC是否为“等距三角形”；（4）若点C在x轴上，△OBC是“等距三角形”，请直接写出m的取值范围________．【思路点拨】（1）根据线段“勾股距”，由O，A两点的坐标求出线段OA的“勾股距”；（2）根据线段“勾股距”定义，由d KO=6在平面直角坐标系中作出图形，分情况讨论，列式求解即可得到答案；（3）现根据“勾股距”的定义求出d AB，d AC，d BC，再根据等距三角形的定义判断即可；（4）根据“等距三角形”分三种情况讨论m的取值．【解题过程】（1）解：由“勾股距”的定义知d OA=|2−0|+|3−0|=2+3=5，故答案为：5；（2）解：若设K(x,y)，则由“勾股距”的定义知d KO=|x|+|y|=6，当x>0,y>0时，x+y=6，即y=−x+6；当x>0,y<0时，x−y=6，即y=x−6；当x<0,y>0时，−x+y=6，即y=x+6；当x<0,y<0时，−x−y=6，即y=−x−6；已知点P(m,−2)，Q(m+4,−2)，E(m+4,6)，F(m,6)，则PQ=4在直线y=−2上移动，EF=4在直线y=6上移动，若以点P、Q、E、F为顶点的四边形边上存在一点K(x,y)，则四边形PQEF的两边在直线y=−2和直线y=6上移动，在平面直角坐标系中作出直线y=−x+6、y=x−6、y=x+6、y=−x−6及四边形PQEF，如图所示：∴K(x,y)是四边形PQEF与四边形MNHL的交点，若EQ边过点M(−6,0)，则K(m+4,y)与M(−6,0)重合，此时m有最小值，如图所示：若FP边过点H(6,0)，则K(m,y)与H(6,0)重合，此时m有最大值，如图所示：则m=6，即m最大值为m=6；故答案为：−10；6；（3）解：∵d AB=|4−2|+|2−3|=2+1=3，∴2d AB=6，∵点C在第三象限，∴m<0，n<0，d OC=|m−0|+|n−0|=|m|+|n|=−m−n=−(m+n)，∵d OC=2d AB，∴−(m+n)=6，即m+n=−6，∴d AC=|2−m|+|3−n|=2−m+3−n=5−(m+n)=5+6=11，d BC=|4−m|+|2−m|=4−m+2−n=6−(m+n)=6+6=12，∵3+11≠12，11+12≠3，12+3≠11，∴△ABC不是为“等距三角形”；（4）解：∵点C在x轴上时，点C(m,0)，则d AC=|2−m|+3，d BC=|4−m|+2，①当m<2时，d AC=2−m+3=5−m，d BC=4−m+2=6−m，若△ABC是“等距三角形”，∴5−m+6−m=11−2m=3，解得：m=4（不合题意），又∵5−m+3=8−m≠6−m，6−m+3=9−m≠5−m，∴△ABC不是“等距三角形”，∴当m<2时，△ABC不是“等距三角形”；②当2≤m<4时，d AC=m−2+3=m+1，d BC=4−m+2=6−m，若△ABC是“等距三角形”，则m+1+6−m=7≠3；若6−m+3=m+1，解得m=4（不合题意）；若m+1+3=6−m，解得：m=1（不合题意）；∴当2≤m<4时，△ABC不是“等距三角形”；③当m≥4时，d AC=m+1，d BC=m−2，若△ABC是“等距三角形”，则m+1+m−2=3，解得m=2（不合题意）；且m−2+3=m+1恒成立；∵当m=8时，A，B，C三点共线，∴m≥4且m≠8时，△ABC是“等距三角形”，综上所述：△ABC是“等距三角形”时，m的取值范围为m≥4且m≠8．x−3交x轴于点A，交y轴15．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−34于点B，交直线x=a于点C，点D与点B关于x轴对称，连接AD交直线x=a于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）在x轴上存在一点P，使得PE+PD的和最小，并求出其最小值；（3）当−4＜a＜0时，点Q为y轴上的一个动点，使得△QEC为等腰直角三角形，求点Q的坐标．【思路点拨】（1）分别计算A、D的坐标，再利用待定系数法可得直线AD的解析式；（2）根据轴对称的最短路径先确认P的位置：连接BE交x轴于P，此时，PD+PE最小，即是BE的长，面积法即可计算BE的长；（3）存在三种情况：分别以Q、E、C三个顶点为直角顶点，画图可得Q的坐标．【解题过程】（1）∵直线y=−34x−3交x轴于点A，交y轴于点B，令x=0，得y=−3，∴B(0,−3)，令y=0，0=−34x−3，∴x=−4，∴A(−4,0)，∵点D与点B关于x轴对称，∴D(0,3)，设直线AD的解析式为y=kx+b，将A(−4,0)，D(0,3)代入得，∴−4k+b=0b=3，。
一次函数拔高题含答案
一次函数拔高题(含答案)一次函数拔高练习（一）一、选择题：1．已知y与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y与x之间的函数关系式为（）（A）y=8x （B）y=2x+6 （C）y=8x+6 （D）y=5x+32．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过（）（A）一象限（B）二象限（C）三象限（D）四象限3．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（）（A）4 （B）6 （C）8 （D）16 4．若甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数解析式分别为y=k1x+a1和y=k2x+a2，如图，所挂物体质量均为2kg时，甲弹簧长为y1，乙弹簧长为y2，则y1与y2的大小关系为（）（A）y1>y2（B）y1=y2（C）y1<y2（D）不能确定5．设b>a，将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，•则有一组a，b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）6．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过第（）象限（A）一（B）二（C）三（D）四 7．一次函数y=kx+2经过点（1，1），那么这个一次函数（）（A）y随x的增大而增大（B）y随x的增大而减小（C）图像经过原点（D）图像不经过第二象限8．无论m为何实数，直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限9．要得到y=-32x-4的图像，可把直线y=-32x（）．（A）向左平移4个单位（B）向右平移4个单位（C）向上平移4个单位（D）向下平移4个单位 10．若函数y=（m-5）x+（4m+1）x2（m为常数）中的y与x成正比例，则m的值为（）（A）m>-14（B）m>5 （C）m=-14（D）m=511．若直线y=3x-1与y=x-k的交点在第四象限，则k的取值范围是（）．（A）k<13（B）13<k<1 （C）k>1 （D）k>1或k<1312．过点P（-1，3）直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，•这样的直线可以作（）（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条15．在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个19．甲、乙二人在如图所示的斜坡AB上作往返跑训练．已知：甲上山的速度是a米/分，下山的速度是b米/分，（a<b）；乙上山的速度是12a米/分，下山的速度是2b米/分．如果甲、乙二人同时从点A出发，时间为t（分），离开点A的路程为S（米），•那么下面图象中，大致表示甲、乙二人从点A出发后的时间t（分）与离开点A的路程S（米）•之间的函数关系的是（）二、填空题1．已知一次函数y=-6x+1，当-3≤x≤1时，y的取值范围是________．2．已知一次函数y=（m-2）x+m-3的图像经过第一，第三，第四象限，则m的取值范围是________．3．某一次函数的图像经过点（-1，2），且函数y的值随x的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式：_________． 4．已知直线y=-2x+m不经过第三象限，则m的取值范围是_________．5．函数y=-3x+2的图像上存在点P，使得P•到x•轴的距离等于3，•则点P•的坐标为__________．6．过点P（8，2）且与直线y=x+1平行的一次函数解析式为_________．7．y=23x与y=-2x+3的图像的交点在第_________象限．9．若一次函数y=kx+b，当-3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，•则一次函数的解析式为________．三、解答题2．已知y=p+z，这里p是一个常数，z与x成正比例，且x=2时，y=1；x=3时，y=-1．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）如果x的取值范围是1≤x≤4，求y的取值范围5．已知一次函数的图象，交x轴于A（-6，0），交正比例函数的图象于点B，且点B•在第三象限，它的横坐标为-2，△AOB的面积为6平方单位，•求正比例函数和一次函数的解析式．6．如图，一束光线从y轴上的点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），求光线从A点到B点经过的路线的长．8．已知：如图一次函数y=12x-3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点C（4，0）作AB的垂线交AB于点E，交y轴于点D，求点D、E的坐标．9、在直角坐标系x0y中，一次函数y=2x+2的图象与x轴，y轴，分别交于A、B两点，•点C坐标为（1，0），点D在x轴上，且∠BCD=∠ABD，求图象经过B、D•两点的一次函数的解析式．答案:1．B 2．B 3．A 4．A 5．B 6．B 7．B 8．C 9．D 10．C 11．B 12．C 13．B14．D 15．D 16．A 17．C 18．C 19．C 20．A二、1．-5≤y ≤19 2．2<m<3 3．如y=-x+1等．4．m ≥0．提示：应将y=-2x+m 的图像的可能情况考虑周全．5．（13，3）或（53,-3）．6．y=x-6． 8．222()aq bp bp aq --． 9．y=2x+7或y=-2x+3 10．10042009 11．据题意，有t=25080160⨯k ，∴k=325t ． 因此，B 、C 两个城市间每天的电话通话次数为T BC =k ×2801003253205642t t ⨯=⨯=．三、1．（1）由题意得：202 44a b ab b+==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩解得∴这个一镒函数的解析式为：y=-2x+4（•函数图象略）．（2）∵y=-2x+4，-4≤y≤4，∴-4≤-2x+4≤4，∴0≤x≤4．2．（1）∵z与x成正比例，∴设z=kx（k≠0）为常数，则y=p+kx．将x=2，y=1；x=3，y=-1分别代入y=p+kx，得2131k pk p+=⎧⎨+=-⎩解得k=-2，p=5，∴y与x之间的函数关系是y=-2x+5；（2）∵1≤x≤4，把x1=1，x2=4分别代入y=-2x+5，得y1=3，y2=-3．∴当1≤x≤4时，-3≤y≤3．另解：∵1≤x≤4，∴-8≤-2x≤-2，-3≤-2x+5≤3，即-3≤y≤3．3．（1）设一次函数为y=kx+b，将表中的数据任取两取，不防取（37.0，70.0）和（42.0，78.0）代入，得21 31 k pk p+=⎧⎨+=-⎩∴一次函数关系式为y=1.6x+10.8．（2）当x=43.5时，y=1.6×43.5+10.8=80.4．∵77≠80.4，∴不配套．4．（1）由图象可知小明到达离家最远的地方需3小时；此时，他离家30千米．（2）设直线CD的解析式为y=k1x+b1，由C（2，15）、D（3，30），代入得：y=15x-15，（2≤x≤3）．当x=2.5时，y=22.5（千米）答：出发两个半小时，小明离家22.5千米．（3）设过E、F两点的直线解析式为y=k2x+b2，由E（4，30），F（6，0），代入得y=-15x+90，（4≤x≤6）过A、B两点的直线解析式为y=k3x，∵B（1，15），∴y=15x．（0≤x≤1），•分别令y=12，得x=265（小时），x=45（小时）．答：小明出发小时265或45小时距家12千米．5．设正比例函数y=kx，一次函数y=ax+b，∵点B在第三象限，横坐标为-2，设B（-2，y B），其中y B<0，∵S△AOB=6，∴12AO·│y B│=6，∴y B=-2，把点B（-2，-2）代入正比例函数y=kx，•得k=1．把点A（-6，0）、B（-2，-2）代入y=ax+b，得1 062 223a b aa bb⎧=-+=-⎧⎪⎨⎨-=-+⎩⎪=-⎩解得∴y=x，y=-12x-3即所求．6．延长BC交x轴于D，作DE⊥y轴，BE⊥x轴，交于E．先证△AOC≌△DOC，∴OD=OA=•1，CA=CD，∴．7．当x≥1，y≥1时，y=-x+3；当x≥1，y<1时，y=x-1；当x<1，y≥1时，y=x+1；当x<•1，y<1时，y=-x+1．2．8．∵点A、B分别是直线y=3x轴和y轴交点，∴A（-3，0），B（0，∵点C坐标（1，0）由勾股定理得，设点D的坐标为（x，0）．（1）当点D在C点右侧，即x>1时，∵∠BCD=∠ABD，∠BDC=∠ADB，∴△BCD∽△ABD，∴BC CDAB BD==①∴22321112x xx-+=+，∴8x2-22x+5=0，∴x1=52，x2=14，经检验：x1=52，x2=14，都是方程①的根，∵x=14，不合题意，∴舍去，∴x=52，∴D•点坐标为（52，0）．设图象过B、D两点的一次函数解析式为y=kx+b，5 52b kk bb⎧⎧==-⎪⎪∴⎨⎨+=⎪⎪=⎩⎩∴所求一次函数为y=-5（2）若点D在点C左侧则x<1，可证△ABC∽△ADB，∴AD BDAB CB=，∴22113x+=②∴8x2-18x-5=0，∴x1=-14，x2=52，经检验x1=14，x2=52，都是方程②的根．∵x2=52不合题意舍去，∴x1=-14，∴D点坐标为（-14，0），∴图象过B、D（-14，0）两点的一次函数解析式为22综上所述，满足题意的一次函数为y=-2522211．（1）y=200x+74000，10≤x≤30（2）三种方案，依次为x=28，29，30的情况．12．稿费是8000元．13．（1）设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和b元，则原计划是：ax+by=1500，①．由甲商品单价上涨1.5元，乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个情形，得：（a+1.5）（x-10）+（b+1）y=1529，②再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形得：（a+1）（x-5）+（b+1）y=1563．5，③．由①，②，③得：1.51044,568.5.x y ax y a+-=⎧⎨+-=⎩④-⑤×2并化简，得x+2y=186．（2）依题意有：205<2x+y<210及x+2y=186，得54<y<5523．由于y是整数，得y=55，从而得x=76．14．设每月用水量为xm3，支付水费为y元．则y=8,08(),c x ab x ac x a+≤≤⎧⎨+-+≥⎩由题意知：0<c≤5，∴0<8+c≤13．从表中可知，第二、三月份的水费均大于13元，故用水量15m3、22m3均大于最低限量am3，将x=15，x=22分别代入②式，得198(15)338(22)b a cb a c=+-+⎧⎨=+-+⎩解得b=2，2a=c+19，⑤．再分析一月份的用水量是否超过最低限量，不妨设9>a，将x=9代入②，得9=8+2（9-a）+c，即2a=c+17，⑥．⑥与⑤矛盾．故9≤a，则一月份的付款方式应选①式，则8+c=9，∴c=1代入⑤式得，a=10．综上得a=10，b=2，c=1． ()15．W=200x+300x+400（18-2x）+800（10-x）+700（10-x）+500（2x-10）=-800x+17200．又010,010, 01828,59, x xx x≤≤≤≤⎧⎧∴⎨⎨≤-≤≤≤⎩⎩∴5≤x≤9，∴W=-800x+17200（5≤x≤9，x是整数）．（2）由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，y，18-x-y，发往E市的机器台数分别是10-x，10-y，x+y-10，于是W=200x+800（10-x）+300y+700（10-y）+•400（19-x-y）+500（x+y-10）=-500x-300y-17200．又010,010, 010,010, 0188,1018, x xy yx y x y ≤≤≤≤⎧⎧⎪⎪≤≤∴≤≤⎨⎨⎪⎪≤--≤≤+≤⎩⎩∴W=-500x-300y+17200，且010,010,018.xyx y≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤+≤⎩（x，y为整数）．W=-200x-300（x+y）+17200≥-200×10-300×18+17200=9800．当x=•10，y=8时，W=9800．所以，W的最小值为9800．又W=-200x-300（x+y）+17200≤-200×0-300×10+17200=14200．当x=0，y=10时，W=14200，所以，W的最大值为14200．。
专题12 一次函数与几何图形综合 专项提升(精讲)
专题12 一次函数与几何图形综合 专项提升（精讲） 一次函数与几何的综合题，共分为六大类：一次函数与等腰三角形、一次函数与直角三角形、一次函数与等腰直角三角形、一次函数与全等三角形、一次函数与面积问题、一次函数的探究规律问题，本文将针对这八大类进行方法与经典题型的专题总结。
高频考点1.一次函数与等腰三角形方法：两圆一线例：点P 在x 轴上，使POA △为等腰三角形。
第一步：画图：第二步：分情况求解：标等边，用公式：①当OP AO =时， ②当AP AO =时，①两点间距离公式求出()()10030122=-+-=AO ①利用三线合一做辅助线：OP AQ ⊥ ②10==OP AO ∴()0101，P ②∴1==OP OQ ∴()022，P③当AP OP =时，①求出x y OA 3=； ②∵PQ OA ⊥；∴1-=⋅PQ OA k k ∴3131-=÷-=PQ k ∴设b x y PQ +-=31 ③求出中点⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++2321230210，，Q 代入，求得3531+-=x y PQ ；④求出直线PQ 与x 轴交点()0,53P 例1．（2022•广东八年级期末）如图，直线l 1：y 1＝﹣x+2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P （m ，3）为直线l 1上一点，另一直线l 2：y 2＝x+b 过点P ，与x 轴交于点C ．（1）求点P 的坐标和l 2的表达式；（2）若动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．①当点Q在运动过程中，请直接写出△APQ的面积S与t的函数关系式；②求出当t为多少时，△APQ的面积等于3；③在动点Q运动过程中，是否存在点Q使△APQ为等腰三角形？若存在，请直接写出此时Q的坐标．解：（1）∵点P（m，3）为直线l1上一点，∴3＝﹣m+2，解得m＝﹣1，∴点P的坐标为（﹣1，3），把点P的坐标代入y2＝x+b得，3＝×（﹣1）+b，解得b＝，∴l2的表达式为y＝x+；（2）①由题意可知CQ＝t，P到x轴的距离为3，令y2＝0可得0＝x+，解得x＝﹣7，∴点C坐标为（﹣7，0），在y1＝﹣x+2中，令y1＝0可得﹣x+2＝0，解得x＝2，∴A点坐标为（2，0）；∴AC＝2﹣（﹣7）＝9，当Q在A、C之间时，则AQ＝AC﹣CQ＝9﹣t，∴S＝×3×（9﹣t）＝﹣t+；当Q在A的右边时，则AQ＝CQ﹣AC＝t﹣9，∴S＝×3×（t﹣9）＝t﹣；②令S＝3可得﹣t+＝3或3＝t﹣，解得t＝7或t＝11，即当t的值为7秒或11秒时△APQ的面积等于3；③设Q（x，0）（x≥﹣7），∵A（2，0），P（﹣1，3），∴PQ2＝（x+1）2+32＝x2+2x+10，AQ2＝（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，AP2＝（2+1）2+32＝18，∵△APQ为等腰三角形，∴有PQ＝AQ、PQ＝AP和AQ＝AP三种情况，当PQ＝AQ时，则PQ2＝AQ2，即x2+2x+10＝x2﹣4x+4，解得x＝﹣1，则Q点坐标为（﹣1，0），∴CQ＝﹣1﹣（﹣7）＝6，即t＝6；当PQ＝AP时，则PQ2＝AP2，即x2+2x+10＝18，解得x＝﹣4或x＝2，则Q点坐标为（﹣4，0）或（2，0）（与A点重合，舍去），∴CQ＝﹣4﹣（﹣7）＝3，即t＝3；当AQ＝AP时，则AQ2＝AP2，即x2﹣4x+4＝18，解得x＝2±3，则Q点坐标为（2+3，0）或（2﹣3，0），综上所述：点Q坐标为（﹣1，0）或（﹣4，0）或（2+3，0）或（2﹣3，0）．变式1．（2022•柳南区校级期末）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．（1）求k、b的值；（2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵点A（4，0）、B（0，4）在直线y＝kx+b上，∴，解得：k＝﹣1，b＝4；（2）存在两种情况：①如图1，当P在x轴的正半轴上时，点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，∠BO'P ＝∠BOP＝90°，∵OB＝OA＝4，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB＝4，∠OAB＝45°，由折叠得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP，∴△OBP≌△O'BP（AAS），∴O'B＝OB＝4，∴AO'＝4﹣4，Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4﹣4＝OP，∴S△BOP＝OB•OP＝＝8﹣8；②如图所示：当P在x轴的负半轴时，由折叠得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4，∵∠BAO＝45°，∴PO'＝PO＝AO'＝4+4，∴S△BOP＝OB•OP＝＝8+8；（3）分4种情况：①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，此时点P的坐标为（0，0）；②当BP＝PQ时，如图3，∵∠BPC＝45°，∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°，∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB，∴∠APB＝22.5°，∴∠ABP＝∠APB，∴AP＝AB＝4，∴OP＝4+4，∴P（4+4，0）；③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合，∵∠BPC＝45°，∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°，△PCA中，∠APC＝22.5°，∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP＝4，∴OP＝4﹣4，∴P（4﹣4，0）；④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，∴此时P（﹣4，0）；综上，点P的坐标是（0，0）或（4+4，0）或（4﹣4，0）或（﹣4，0）．高频考点2.一次函数与直角三角形方法：两线一圆例：点P 在x 轴上，使POA △为直角三角形。
专题十二 一次函数 拔高题 含解析
专题十二一次函数拔高题满分：100学校 __________ 班级 __________ 学生 __________一、选择题( 本大题共20小题每题1 分)1、如图所示,函数y=k(x－1),与y=k(x2－1)(k≠0)在同一坐标系内的图象大致是（）参考答案：C解析：C解析：①当k＞0时，y=kx－k经过一、三、四象限，的两个分支分别在第一、三象限内,开口向上且与y轴负半轴相交，没有符合条件的选项；②当k＜0时，y=kx－k经过第一、二、四象限，的两个分支分别在第二、四象限内，y=kx2－k开口向下且与y轴的正半轴相交，符合条件的选项为C．2、如图所示，在x轴上有五个点，它们的横坐标依次为1,2,3,4,5.分别过这些点作x轴的垂线与这三条直线y＝ax，y＝(a＋1)x，y＝(a＋2)x相交，其中a>0，则图中阴影部分的面积是( )．A．12.5 B．25 C．12.5aD．25a参考答案：A解析：A点拨：本题将一次函数与几何图形的面积相结合，结合点非常巧妙．观察图象并计算可知，AC＝AD－CD＝(a＋2)x－(a＋1)x＝x，CB＝CD－BD＝(a＋1)x－ax ＝x，所以AC＝CB.由此可知OC是△OAB的边AB上的中线，所以△OAC与△OBC 的面积相等．同理可知，直线y＝(a＋1)x与过点(1,0)，(2,0)，(3,0)(4,0)且垂直于x轴的直线的交点平分△OAB中的相应线段，根据几何知识知，上下对应的阴影部分与非阴影部分的面积相等，所以图中阴影部分的面积等于△OAB的面积的一半．∵AB＝(a＋2)×5－a×5＝10，OD＝5，∴△OAB的面积是.∴图中阴影部分的面积是.3、小亮同学骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路(如图)．若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为v1、v2、v3，且v1＜v2＜v3，则小亮同学骑车上学时，离家的路程s与所用时间t的函数关系图像可能是（）．参考答案：C解析：C点拨：前段与后段都是平路，速度不变，则这两段的图像的坡度相同，第二段是下坡，速度快，则图像的坡度陡，第三段是上坡，速度慢，则图像坡度缓，所以整个图像的坡度是斜——变陡——变缓——与开始相同，则选C.4、小明从家中出发，到离家1.2千米的早餐店吃早餐，用了一刻钟吃完早餐后，按原路返回到离家1千米的学校上课，在下列图像中，能反映这一过程的大致图象是（）．参考答案：B解析：B点拨：由吃早餐的过程是离家距离不变的，所以排除A和D，再由吃完早餐后，原路返回去离家1千米的学校上课，排除C.故选B.5、为支援四川灾区，一列满载着2 400多吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发．途中除3次因更换车头等原因停车外，一路快速行驶，经过80小时到达成都，描述上述过程的大致图像是图中的（）．参考答案：D解析：D点拨：火车一开始速度加快，中间一段速度不变．为换车头，速度逐渐变小，直到停止．换车头，速度为零，共四个过程．6、已知直线y＝3x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是6，则b等于（）．A．6 B．－6 C．±6D．±3参考答案：C解析：C点拨：直线与两坐标轴的交点为(0，b)与，所以围成的三角形的两条直角边的长为和.因为围成的三角形的面积为6，所以，即b2＝36，所以b＝±6.7、如图所示，以方程y－2x－2＝0的解为坐标的点组成的图像是（）．参考答案：C解析：C点拨：原方程可化为y＝2x+2，此函数的图像与y轴的交点为(0,2)，且经过第一、二、三象限，则选C.8、函数y1＝|x|，.当y1＞y2时，x的范围是（）．A．x＜－1 B．－1＜x＜2C．x＜－1或x＞2 D．x＞2参考答案：C解析：C点拨：由函数图像可得，两函数的交点分别为(－1,1)，(2,2)．y1＞y2就是函数y1的图像在函数y2的函数图像的上方，观察图像可知，y1＞y2的解集是x＜－1或x＞2.9、小敏从A地出发向B地行走，同时小聪从B地出发向A地行走，如图所示，相交于点P的两条线段l1，l2分别表示小敏、小聪离B地的距离y(km)与已用时间x(h)之间的关系，则小敏、小聪的速度分别是（）．A．3 km/h和4 km/h B．3 km/h和3 km/hC．4 km/h和4 km/h D．4 km/h和3 km/h参考答案：D解析：D点拨：根据图像不难发现：经过1.6 h，小聪走了4.8 km，则其速度为3 km/h；经过2.8－1.6＝1.2(小时)，小敏走了4.8 km，则其速度为4 km/h.10、小亮同学骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路(如图)．若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为v1、v2、v3，且v1＜v2＜v3，则小亮同学骑车上学时，离家的路程s与所用时间t的函数关系图像可能是（）．参考答案：C解析：C点拨：前段与后段都是平路，速度不变，则这两段的图像的坡度相同，第二段是下坡，速度快，则图像的坡度陡，第三段是上坡，速度慢，则图像坡度缓，所以整个图像的坡度是斜——变陡——变缓——与开始相同，则选C.11、小明从家中出发，到离家1.2千米的早餐店吃早餐，用了一刻钟吃完早餐后，按原路返回到离家1千米的学校上课，在下列图像中，能反映这一过程的大致图象是（）．参考答案：B解析：B点拨：由吃早餐的过程是离家距离不变的，所以排除A和D，再由吃完早餐后，原路返回去离家1千米的学校上课，排除C.故选B.12、为支援四川灾区，一列满载着2 400多吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发．途中除3次因更换车头等原因停车外，一路快速行驶，经过80小时到达成都，描述上述过程的大致图像是图中的（）．参考答案：D解析：D点拨：火车一开始速度加快，中间一段速度不变．为换车头，速度逐渐变小，直到停止．换车头，速度为零，共四个过程．13、已知直线y＝3x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是6，则b等于（）．A．6 B．－6 C．±6D．±3参考答案：C解析：C点拨：直线与两坐标轴的交点为(0，b)与，所以围成的三角形的两条直角边的长为和.因为围成的三角形的面积为6，所以，即b2＝36，所以b＝±6.14、如图所示，以方程y－2x－2＝0的解为坐标的点组成的图像是（）．参考答案：C解析：C点拨：原方程可化为y＝2x+2，此函数的图像与y轴的交点为(0,2)，且经过第一、二、三象限，则选C.15、函数y1＝|x|，.当y1＞y2时，x的范围是（）．A．x＜－1 B．－1＜x＜2C．x＜－1或x＞2 D．x＞2参考答案：C解析：C点拨：由函数图像可得，两函数的交点分别为(－1,1)，(2,2)．y1＞y2就是函数y1的图像在函数y2的函数图像的上方，观察图像可知，y1＞y2的解集是x＜－1或x＞2.16、小敏从A地出发向B地行走，同时小聪从B地出发向A地行走，如图所示，相交于点P的两条线段l1，l2分别表示小敏、小聪离B地的距离y(km)与已用时间x(h)之间的关系，则小敏、小聪的速度分别是（）．A．3 km/h和4 km/h B．3 km/h和3 km/hC．4 km/h和4 km/h D．4 km/h和3 km/h参考答案：D解析：D点拨：根据图像不难发现：经过1.6 h，小聪走了4.8 km，则其速度为3 km/h；经过2.8－1.6＝1.2(小时)，小敏走了4.8 km，则其速度为4 km/h.17、如图，小虎在篮球场上玩，从点O出发，沿着O→A→B→O的路径匀速跑动，能近似刻画小虎所在位置距出发点O的距离s与时间t之间的函数关系的大致图象是( )参考答案：B解析：B18、已知一次函数y＝2x＋b和y＝－x＋a的图象都经过点A(0，－4)，且与x轴分别交于B、C两点，则△ABC的面积应为( )A．13B．14 C ．11 D．12参考答案：D解析：解析：因为函数y＝2x＋b和y＝－x＋a都经过A(0，－4)，代入得a＝b＝－4，所以B(2,0)，C(－4,0)．＝×4＝12.所以S△ABC答案：D19、下列各曲线不能表示y是x的函数的是( )参考答案：C解析：解析：根据函数的定义，在一个变化过程中的两个变量x与y，对于x 的每一个确定的值，y总有唯一确定的值与其对应，那么y是x的函数．当过横轴上任意一点作纵轴的平行线时，如果所作的直线与图象的交点不超过一个(交点数目是1个或0个)，此时图象表示的就是函数的关系；若在某一处所作纵轴的平行线与图象的交点有2个或2个以上，这时图象表示的就不是函数关系．其中A、B、D满足函数定义，只有C中对于一个x值，对应的y值的个数不确定，不满足函数关系．答案C20、小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车．车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了骑车速度匀速行驶．下面是行驶路程s(米)关于时间t(分钟)的函数图象，那么符合这个同学行驶情况的图象大致是( )参考答案：C解析：解析：A表明一开始是匀速行驶，一段时间后随着时间的增加路程并不增加，说明一直在休息，不合题意；B开始是匀速行驶，后加快速度行驶，不合题意；D中间有一段下降的斜线段，说明中途又往回走了一段距离，也不合题意．故应选C，C图中的水平线段正体现了“行至中途自行车出了故障，只好停下来修车”这句话．答案：C二、填空题( 本大题共10小题每题2 分)1、商品的销售量也受销售价格的影响，比如，某衬衣定价为100元时，每月可卖出2 000件，价格每上涨10元，销售量便减少50件．那么，每月售出衬衣的总件数y(件)与衬衣价格x(元)销售之间的函数关系式为______．解析：y＝－5x+2 500点拨：根据题意，得每上涨1元，销售量便减少5件，则每月售出的衬衣的总件数等于原可卖出的2 000件减去少卖的件数，即y＝2 000－5(x－100)，整理，得y＝－5x+2 500.2、小红的爸爸为小红存一份教育储蓄，首次存入2万元，以后每个月存入400元，存满4万元为止，则存款的总额y(元)与存入的月数x(月)之间的关系式为______，存满金额需______个月．解析：y＝20 000+400x(0≤x≤50)50点拨：总额等于首次存入的金额加上后来存入的金额，即y＝20 000+400x，由于存满4万元为止，则x的取值范围为0≤x≤50.把y＝40 000代入y＝20 000+400x，得x＝50.3、如图，正方形ABCD的边长为10，点E在CB的延长线上，EB＝10，点P在边CD上运动(C，D两点除外)，EP与AB相交于点F，若CP＝x，四边形FBCP的面积为y，则y关于x的函数关系式是______．解析：(0＜x＜10)点拨：由相似或三角形中位线定理，得BF＝CP＝x.由梯形面积公式，得y ＝×10×(x+x)＝.又因为CP在CD上，所以0＜x＜10.4、商品的销售量也受销售价格的影响，比如，某衬衣定价为100元时，每月可卖出2 000件，价格每上涨10元，销售量便减少50件．那么，每月售出衬衣的总件数y(件)与衬衣价格x(元)销售之间的函数关系式为______．解析：y＝－5x+2 500点拨：根据题意，得每上涨1元，销售量便减少5件，则每月售出的衬衣的总件数等于原可卖出的2 000件减去少卖的件数，即y＝2 000－5(x－100)，整理，得y＝－5x+2 500.5、小红的爸爸为小红存一份教育储蓄，首次存入2万元，以后每个月存入400元，存满4万元为止，则存款的总额y(元)与存入的月数x(月)之间的关系式为______，存满金额需______个月．解析：y＝20 000+400x(0≤x≤50)50点拨：总额等于首次存入的金额加上后来存入的金额，即y＝20 000+400x，由于存满4万元为止，则x的取值范围为0≤x≤50.把y＝40 000代入y＝20 000+400x，得x＝50.6、育英中学需要添置某种教学仪器，方案1：到商家购买，每件需要8元；方案2：学校自己制作，每件4元，另外需要制作工具租用费120元．设需要仪器x件，方案1与方案2的费用分别为y1，y2(元)．(1)写出y1的函数表达式是__________，y2的函数表达式是__________．(2)在下图所示的直角坐标系中，画出两个函数的图象．(3)观察图象发现制作仪器__________件时，两种方案的费用相同；制作仪器__________件时，方案1费用少；制作仪器__________件时，方案2费用少；和你的同学交流，你是怎样发现的．(4)瞬间决策：学校需制作仪器56件，采用方案__________便宜．解析：解：(1)根据题意写出函数解析式为y1＝8x，y2＝4x＋120.(2)在x＞0的范围内，画出两个函数图象．(3)观察图象发现：当x＝30时，两图象相交，即当x＝30时，两方案费用相同；当x＜30时，y1＝8x的图象低于y2＝4x＋120的图象，方案1费用低；当x＞30时，y1＝8x的图象高于y2＝4x＋120的图象，方案2费用低．(4)因为x＝56＞30，所以方案2费用低．7、如图中的折线ABCDE描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)汽车共行驶了__________km；(2)汽车在行驶途中停留了__________h；(3)汽车在整个行驶过程中的平均速度为__________km/h；(4)汽车自出发后3 h至4.5 h之间行驶的方向是__________．解析：解析：图象上的最高点就是汽车离出发点最远的距离．汽车来回一次，共行驶了120×2＝240(km)，整个过程用时4.5 h，平均速度为240÷4.5＝(km/h)，行驶途中1.5 h～2 h之间汽车没有行驶．答案：(1)240 (2)0.5 (3) (4)从目的地返回出发点8、如图，直线y＝kx+b经过A(－1，1)和两点，则不等式0＜kx+x＜－x的解集为_______．解析：【解析】本题考查一次函数的图象与性质，难度较大．解题关键是采用图象法求不等式组的解集．在同一直角坐标系中画出y＝－x的图象．(如图)直线y＝－x过A(－1，1)点．欲求0＜kx+b＜－x，直线y＝kx+b在x轴上方且在直线y＝－x的下方．故.9、如图，直线y＝kx+b经过A(－1，1)和两点，则不等式0＜kx+x＜－x的解集为_______．解析：【解析】本题考查一次函数的图象与性质，难度较大．解题关键是采用图象法求不等式组的解集．在同一直角坐标系中画出y＝－x的图象．(如图)直线y＝－x过A(－1，1)点．欲求0＜kx+b＜－x，直线y＝kx+b在x轴上方且在直线y＝－x的下方．故.10、如图，直线y＝kx+b经过A(－1，1)和两点，则不等式0＜kx+x ＜－x的解集为_______．解析：【解析】本题考查一次函数的图象与性质，难度较大．解题关键是采用图象法求不等式组的解集．在同一直角坐标系中画出y＝－x的图象．(如图)直线y＝－x过A(－1，1)点．欲求0＜kx+b＜－x，直线y＝kx+b在x轴上方且在直线y＝－x的下方．故.三、解答题( 本大题共30小题每题2 分)1、教室里放有一台饮水机(如图①)，饮水机上有两个放水管，课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水，假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学所接的水量都是相等的．两个放水管同时打开时，他们的流量相同，放水时先打开一个水管，过一会儿，再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着，饮水机的存水量y(L)与放水时间x(min)的函数关系如图②所示：（1）求出饮水机的存水量y(L)与放水时间x(min)(x≥2)的函数关系式；（2）如果打开第一个水管后，2 min时恰好有4个同学接完水，然后打开第二个水管，则前22个同学接完水共需要几分钟？（3）按（2）的放法，求出在课间10 min内班级中最多有多少个同学能及时接完水？解析：解：（1）由图象，可设y＝kx+b，将x＝2，y＝17，x＝12，y＝8代入，得，，即．（2）前2min只开放一个水管，4人接完水，即每人接水用时0.5 min，开放两个水管后，每分钟可有四人接完水，即每0.5 min两人接完水，故前22人接完水用时2+18÷2×0.5＝6.5(min)．（3）x＝10时，，即10 min内水管里有水．前2 min有四人接完水，后8min每0.5 min有两人接完水，故课间10 min共可使4+32＝36(人)接完水．2、一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸还可以以0.20元的价格退回报社，在一个月内(以30天计算)，有20天每天可卖出100份，其余10天每天只能卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同．若以报亭每天从报社订购报纸的份数为自变量x，每月所获得利润为y.（1）写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围;（2）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？解析：（1）y＝0.30(20x+10×60)－0.50×10(x－60)＝x+480,60≤x≤100且x为正整数；（2）∵当60≤x≤100时，函数y随x的增大而增大，∴当x＝100时，y有最大值，最大值为100+480＝580.3、某市20位下岗职工在近邻承包50亩土地办农场，这些地可种蔬菜、烟叶或数值1 100750600请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物预计总产值最多．解析：解：设种植蔬菜x亩，烟叶y亩，则小麦为(50－x－y)亩，由题意知，即3x+y＝90，∴y＝90－3x(0≤x≤30)，再设预计总产值为M元，则有M＝1 100x+750y+600(50－x－y)＝500x+150y+30 000.将y＝90－3x代入得M＝500x+150(90－3x)+30 000,M＝50x+43 500，因为50＞0，所以M随x的增大而增大，即当x＝30时，预计总产值最多，当x＝30，y＝0，50－x－y＝20，此时种蔬菜15人，种小麦5人．答：种蔬菜30亩，小麦20亩，不种烟叶时，所有职工都有工作，且农作物预计总产值最多．4、教室里放有一台饮水机(如图①)，饮水机上有两个放水管，课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水，假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学所接的水量都是相等的．两个放水管同时打开时，他们的流量相同，放水时先打开一个水管，过一会儿，再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着，饮水机的存水量y(L)与放水时间x(min)的函数关系如图②所示：（1）求出饮水机的存水量y(L)与放水时间x(min)(x≥2)的函数关系式；（2）如果打开第一个水管后，2 min时恰好有4个同学接完水，然后打开第二个水管，则前22个同学接完水共需要几分钟？（3）按（2）的放法，求出在课间10 min内班级中最多有多少个同学能及时接完水？解析：解：（1）由图象，可设y＝kx+b，将x＝2，y＝17，x＝12，y＝8代入，得，，即．（2）前2min只开放一个水管，4人接完水，即每人接水用时0.5 min，开放两个水管后，每分钟可有四人接完水，即每0.5 min两人接完水，故前22人接完水用时2+18÷2×0.5＝6.5(min)．（3）x＝10时，，即10 min内水管里有水．前2 min有四人接完水，后8min每0.5 min有两人接完水，故课间10 min共可使4+32＝36(人)接完水．5、在一条直线上依次有A，B，C三个港口，甲，乙两船同时分别从A，B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港．设甲，乙两船行驶x(h)后，与B港的距离分别为y1，y2(km)，y1，y2与x的函数关系如图所示．（1）填空：A，C两港口间的距离为________km，a＝________；（2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两船的距离不超过10 km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围．解析：解：（1）120 2（2）由点(3,90)，求得y2＝30x.当x＞0.5时，由点(0.5,0)，(2,90)，求得y1＝60x－30.当y1＝y2时，60x－30＝30x，解得x＝1.此时y1＝y2＝30.所以点P的坐标为(1,30)．该点坐标的意义为：两船出发1 h后，甲船追上乙船，此时两船离B港的距离为30 km.（3）①当x≤0.5时，由点(0,30)，(0.5,0)，求得y1＝－60x＋30.依题意，由(－60x＋30)＋30x≤10，解得.不合题意，舍去．②当0.5＜x≤1时，依题意，由30x－(60x－30)≤10.解得.所以.③当x＞1时，依题意，由(60x－30)－30x≤10.解得.所以.综上所述，当时，甲、乙两船可以相互望见.6、汽车在行驶过程中，速度往往是变化的，下图图像表示的是一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况．（1）汽车从出发到最后停止共经过了多少时间？它的最高时速是多少？（2）汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？（3）出发后8分钟到10分钟之间可能发生了什么情况？解析：解：（1）汽车从出发到最后停止共经过了24分钟，它的最高时速为90千米/时；（2）2分钟～6分钟时速度为30千米/时，18分钟～22分钟时速度为90千米/时；（3）修车或堵车等．7、小刚在劳动艺术课中要制作一个周长为80 cm的等腰三角形，请你写出底边长y(cm)与腰长x(cm)的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．解析：解：y＝80－2x，由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得0＜80－2x＜2x，解得20＜x＜40.即y＝80－2x(20＜x＜40)．8、已知y+5与3x+4成正比例，且当x＝1时，y＝2.（1）求y与x的函数关系式．（2）求当x＝－1时的函数值．（3）如果y的取值范围是0≤y≤5，求x的取值范围．解析：解：（1）因为y+5与3x+4成正比例，所以设y+5＝k(3x+4)．因为当x ＝1时，y＝2，所以k＝1，所以y＝3x－1.（2）当x＝－1时，y＝－4.（3）因为0≤y≤5，所以0≤3x－1≤5，所以.9、已知一次函数y＝(2m+4)x+(3－n)，求：（1）m，n是什么数时，y随x的增大而增大．（2）m，n为何值时，函数的图像与y轴的交点在x轴下方．（3）m，n为何值时，函数的图像经过原点．解析：解：（1）因为y随x的增大而增大，所以2m+4＞0，解得m＞－2，所以当m＞－2，n为任意实数时，y随x的增大而增大．（2）因为图像与y轴的交点在x轴下方，所以解得所以当m≠－2且n＞3时，函数的图像与y轴的交点在x轴下方．（3）因为图像经过原点，所以解得所以当m≠－2，n＝3时，函数图像经过原点．10、某中学要印制期末考试卷．甲印刷厂提出：每套试卷收0.6元的印刷费，另收400元的制版费；乙印刷厂提出：每套试卷收1元的印刷费，但不再收制版费．（1）分别写出两个厂的收费y(元)与印刷数量x(套)之间的函数关系式；（2）请在直角坐标系中分别作出（1）中两个函数的图像，并根据图像回答：若印800套试卷，则选择哪家印刷厂合算？若学校有学生2 000人，为保证每个学生均有一套试卷，那么学校至少要付印刷费多少元？（3）从图像上你还能获得哪些信息？(写出一条与（2）中不同的信息即可)解析：解：（1）y甲＝400+0.6x；y乙＝x(x为非负整数)．（2）如图所示．由图像知，印800套选择乙厂，印2 000套至少要1 600元．（3）当印1 000套时，不论选哪个印刷厂都是一样的；当超过1 000套时，选择甲厂印刷合算；当小于1 000套时，选择乙厂印刷合算．11、汽车在行驶过程中，速度往往是变化的，下图图像表示的是一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况．（1）汽车从出发到最后停止共经过了多少时间？它的最高时速是多少？（2）汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？（3）出发后8分钟到10分钟之间可能发生了什么情况？解析：解：（1）汽车从出发到最后停止共经过了24分钟，它的最高时速为90千米/时；（2）2分钟～6分钟时速度为30千米/时，18分钟～22分钟时速度为90千米/时；（3）修车或堵车等．12、已知y+5与3x+4成正比例，且当x＝1时，y＝2.（1）求y与x的函数关系式．（2）求当x＝－1时的函数值．（3）如果y的取值范围是0≤y≤5，求x的取值范围．解析：解：（1）因为y+5与3x+4成正比例，所以设y+5＝k(3x+4)．因为当x ＝1时，y＝2，所以k＝1，所以y＝3x－1.（2）当x＝－1时，y＝－4.（3）因为0≤y≤5，所以0≤3x－1≤5，所以.13、已知一次函数y＝(2m+4)x+(3－n)，求：（1）m，n是什么数时，y随x的增大而增大．（2）m，n为何值时，函数的图像与y轴的交点在x轴下方．（3）m，n为何值时，函数的图像经过原点．解析：解：（1）因为y随x的增大而增大，所以2m+4＞0，解得m＞－2，所以当m＞－2，n为任意实数时，y随x的增大而增大．（2）因为图像与y轴的交点在x轴下方，所以解得所以当m≠－2且n＞3时，函数的图像与y轴的交点在x轴下方．（3）因为图像经过原点，所以解得所以当m≠－2，n＝3时，函数图像经过原点．14、一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61 000元．设购进A型手机x部，B(1)用含x，y的式子表示购进C型手机的部数；(2)求出y与x之间的函数关系式；(3)假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1 500元．①求出预估利润P(元)与x(部)的函数关系式；(注：预估利润P＝预售总额－购机款－各种费用)②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．解析：解：(1)60－x－y.(2)由题意，得900x＋1 200y＋1 100(60－x－y)＝61 000，即y＝2x－50.(3)①由题意，得P＝1 200x＋1 600y＋1 300(60－x－y)－61 000－1 500，即P＝500x＋500.②购进C型手机部数为60－x－y＝60－x－(2x－50)＝110－3x.根据题意列不等式组，得解得29≤x≤34.∴x的范围为29≤x≤34，且x为整数．∵P是x的一次函数，k＝500＞0，∴P随x的增大而增大．∴当x取最大值34时，P有最大值，最大值为17 500元．此时购进A型手机34部，B型手机18部，C型手机8部．15、小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票．同时，他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆．如图中线段AB、OB分别表示父、子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程s(米)与所用时间t(分钟)之间的函数关系，结合图象解答下列问题(假设骑自行车和步行的速度始终保持不变)：(1)求点B的坐标；(2)小明能否在比赛开始前到达体育馆？解析：解：(1)从图象可以看出：父子俩从出发到相遇时花费了15分钟．设小明步行的速度为x米/分钟，则小明父亲骑车的速度为3x米/分钟，依题意得15x＋45x＝3 600.解得x＝60.∴两人相遇处离体育馆的距离为60×15＝900(米)．∴点B的坐标为(15,900)．(2)小明取票后，赶往体育馆的时间为＝5.小明取票花费的时间为15＋5＝20分钟．∵20＜25，∴小明能在比赛开始前到达体育馆．16、如图，已知一次函数的图象交正比例函数图象于M点，交x轴于点N(－6,0)，又知点M位于第二象限，其横坐标为－4，若△MON的面积为15，求正比例函数和一次函数的解析式．解析：分析：要确定一次函数的解析式，必须知道图象的两个已知点的坐标，而要确定正比例函数又必须知道图象上一个点的坐标．已知条件中给出了△MON的面积，而△MON的面积，因底边NO可求得，所以求出高，就求出了M点的纵坐标，问题得到解决．解：过点M作MC⊥ON于点C，＝×ON×MC.则S△MON∵点N的坐标为(－6,0)，∴|ON|＝6.∴×ON×MC＝15.∴MC＝5.∵点M在第二象限，∴点M的坐标为(－4,5)．设一次函数解析式为y＝k1x＋b，正比例函数解析式为y＝k2x.直线y＝k1x＋b经过点(－6,0)和(－4,5)，∴即解得∴一次函数解析式为y＝x＋15.∵正比例函数y＝k2x的图象经过(－4,5)点，∴k2＝－.∴正比例函数解析式为y＝－x.点拨：确定一次函数(或正比例函数)的解析式，常用待定系数法，其一般过程可简称为“一列二化三解四还原”．一次函数y＝kx＋b(k≠0)中含有两个待定字母，设法建立含k，b的两个方程，解方程组即可．17、某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工的任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16 000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元．(1)若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y1(元)和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y2(元)关于x(个)的函数关系式；(2)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由．解析：解：(1)从纸箱厂定制购买纸箱费用y1＝4x；蔬菜加工厂自己加工纸箱费用y2＝2.4x＋16 000.(2)y2－y1＝(2.4x＋16 000)－4x＝16 000－1.6x，由y1＝y2，得16 000－1.6x＝0，解得x＝10 000.当x＜10 000时，y1＜y2；当x＞10 000时，y1＞y2.因此，当纸箱数量小于10 000个时，选择方案一；当纸箱数量大于10 000个时，选择方案二；当纸箱数量等于10 000个时，两种方案都可以选择．18、某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每(1)设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为w(元)，求w关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；(2)若公司要求总利润不低于17 560元，说明有多少种不同的分配方案，并将各种方案设计出来；(3)为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A，B型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？。
一次函数的图像和性质(拔高)3.6
课题 一次函数的图像与性质1、一次函数的图像的画法（1）画函数图像的三步：列表－描点－连线. （2）一次函数的图象是一条直线。
一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）的图象是一条直线。
一次函数y=kx+b 也称为直线y=kx+b ，这时，我们把一次函数的解析式y=kx+b 称为这一直线的表达式。
（3）因为一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）的图象是一条直线，根据“两点确定一条直线”的基本性质，画一次函数的图象时只需描出图象上的两个点，再作过这两点的直线即可。
2、一次函数的图像的性质（1）一次函数与x 轴交点的纵坐标为0，与y 轴交点的横坐标为0.（2）一次函数111(y k x b k =+、110b k ≠为常数，）与222(y k x b k =+、220b k ≠为常数，）的图像平行时，则12k k =。
反之，当12k k =时，两直线平行，且当12k k =，12b b =时，两直线重合。
（3）当一次函数111(y k x b k =+、110b k ≠为常数，）与222(y k x b k =+、220b k ≠为常数，）的图像的截距相同且不平行时，则12b b =，12k k ≠。
（4）一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）当k>0时函数值随着x 的增大而增大、减小而减小，即该函数为增函数；当k<0时函数值随着x 的增大而减小、减小而增大。
即该函数为减函数。
3、一次函数图像的平移一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）的图象向上平移h 个单位后的函数解析式为y=kx+b+h;向下平移h 个单位后的函数解析式为y=kx+b-h 。
4、一次函数图像经过的象限示意图k 、b 的符号直线y=kx+b 经过的象限增减性一．基础练习：1. 一次函数y=3x-6的图像是 ，它与x 轴的交点坐标是 ，它与y 轴的交点坐标是2. 将直线y=x 向下平移4个单位，得到直线3. 将直线y=-3x-5向上平移4个单位，得到直线4. 若直线y=3x-5与直线y=kx-4相互平行，则k=5. 若直线y=-2x-5与直线y=6x+b 相交于y 轴上同一点，则b=6. 请你在不同的平面直角坐标系中画出下列函数的图像 （1）1105y x =+ （2）1722y x =+（3）4833y x =-- （4）1344y x =--7、已知一次函数2(4)20y m x m =-+-=和22(1)4y m x m =-+-的图像与y 轴的较交点到原点的距离相等，求m 的值。
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一次函数几何专题
经典例题
例1、已知：一次函数y=kx・b的图象经过M (0,2), N(1,3)两点。
(1) 求k,b的值；
⑵若一次函数八kx・b的图象与x轴的交点为A(a，0)，求a的值。
例2、直线y=kx・b与直线y=5-4x平行，且与直线y二一3(x—6)相交，交点在y 轴上，求此直线的解析式.
例3、求直线y=2x ・1向左平移2个单位后的解析式.
例4、已知点P(x,y)是第一象限内的点，且x y=8，点A的坐标为(10 , 0), 设厶OAP 的面积为S.
(1) 求S关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(2) 画出此函数的图象.
例5、在直角坐标系中，是否存在x轴上的动点，使得它到定点P(5 , 5)和到
Q(0, 1)的距离MP十MQ勺值最小？若存在，求出点M的横坐标x；若不存
在，请说明理由
例6、已知，如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为（0,24 ），经过原点的直线i i与经过点A的直线12相交于点B，点B坐标为（18，6）.
⑴求直线i i、I?的表达式；
⑵点C为线段OB上一动点（点C不与点O, B重合），作CD// y轴交直线I?
于点D,过点C, D分别向y轴作垂线，垂足分别为
F, E,得到矩形CDEF
①设点C的纵坐标为a ,求点D的坐标（用含a 代数
式表示）
②若矩形CDEF的面积为60,请直接写出此时点的
坐标.
例7、如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（a , 0），交y轴于点B（0 , 6），且a,b满足•一了N（b-2）2=0，直线y = x交AB于点M.
（I）求直线AB的解析式；
⑵过点M作MCL AB交y轴于点C求点C的坐标；
（3）在直线上是否存在一点D,使得S A ABD =6?
若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说
明理由.
巩固练习
1. 如图，在平面直角坐标系中，一条直线1与X轴相交于点A(2 , 0)，与
正比例函数八kx (k工0,且k为常数) 的图象
相交于点P(1 , 1).
⑴求k的值；
(2) 求厶AOP的面积.
2. 如图，直线y = ；x+i交x轴于B,交丫轴于M点A在y轴负半轴上，
Sx BAO =2S x BMO
(l)求点B、M的坐标;
⑵求点A的坐标；
(3)在直线BM上是否存在一点
画出草图，并求出P的坐标;
说明理由.
3. 如图，已知直角坐标系中，
轴对称，并且MN交x轴于点
点A的横坐标是1 .
⑴求△ OMN勺面积；
(2)试在线段OMk找一点B使得PB = PA，求直线PB的解析式.
4. 如图，直线i i的解析表达式为八亠・3，且i i与x轴交于点D,直线12经过点A B,直线i i,i2交于点Co
(1)求点D的坐标；
(2)求直线12的解析表达式；
⑶求厶ADC的面积；
(4) 在直线上存在异于点C的另一点
ADP与厶ADC的面积相等，请直接写出
点
5. 如图，直线“2x 3和直线y—2X—1分别交y轴于点A、B,两直线交于点C. 1 2
(1)求两直线交点C的坐标；
⑵求厶ABC的面积；
(3) 在直线上能否找到点P,使得S A APC 乂?若能，请求
出点P的坐标；若不能，请说明理由.
6. 如图1直线AB:y= -x-b 分别与x、y轴交于A(6, 0)、B两点，过点B
的直线交x轴负半轴于C,且OB OC=3 1;
(1)求直线BC的解析式；
⑵直线EF:y=kx-k ( k z O)交AB于E,交BC于点F,交x轴于D 是否存在这样
的直线EF,使得S A EBD =S A FBD ?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
⑶如图2, P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象
限内作等腰直角三角形BPQ连结QA并延长交y轴于点K.当P
点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由.
7. 如图1,在平面直角坐标系中，△ AOB为等腰直角三角形，A(4 , 4).
(1) 求B点的坐标；
(2) 如图2,若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ ACD
Z ACD =90。
，连OD 求/ AOD 的度数;
⑶如图3,过点A作y轴的垂线交y轴于E, F为x轴负半轴上一点，G
在EF的延长线上，以EG
为直角边作等腰Rt △ EGH
过A作x轴的垂线交
EH于点M连FM等式
& A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是(2 ,2),点B的坐标是(7 ,
3) •
(1) 一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C,使C点到A、
B两校的距离相等？如果有，请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标.
(2) 若在公路边建一游乐场P,使游乐场到两校距离之和最小，通过作图
在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标.
B (7,3)
A(2,2)
x
AM
OF
FM=1
是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由.。