4.1.1 圆的标准方程(练习)(解析版)

4.1.1圆的标准方程（练习）
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．方程|x|－1＝1－(y－1)2所表示的曲线是()
A．一个圆B．两个圆
C．半个圆D．两个半圆
【答案】D[由题意，
x|－1)2＋(y－1)2＝1，
|－1≥0，
－1)2＋(y－1)2＝1，
≥1
＋1)2＋(y－1)2＝1，
≤－1，
故原方程表示两个半圆．]
2．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是()
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
【答案】D[由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.选D.]
3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的标准方程为()
A．(x－2)2＋y2＝5
B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5
D．x2＋(y＋2)2＝5
【答案】A[圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2,0)，则圆心关于原点(0,0)对称的点为(2,0)，则所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝5.]
4．若点A(a＋1,3)在圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，则实数m的取值范围是()
A．(0，＋∞)B．(－∞，5)
C．(0,5)D．[0,5]
【答案】C[由题意，得(a＋1－a)2＋(3－1)2＞m，即m＜5，又易知m＞0，∴0＜m＜5，故选C.]
5．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为(
)A ．2
B ．1
C ．3
D ．2【答案】B
[x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为14－52＋122＝
1.]
二、填空题
6．若点P (－1，3)在圆x 2＋y 2＝m 2上，则实数m ＝________.
【答案】±2[∵P 点在圆x 2＋y 2＝m 2上，∴(－1)2＋(3)2＝4＝m 2，
∴m ＝±2.]
7．圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________．
【答案】1＋2[圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，圆心到直线x －y ＝2的距离为|1－1－2|1＋1＝2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2.]
8．已知实数x ，y 满足y ＝9－x 2，则t ＝y ＋3x ＋1
的取值范围是________.
∞，－32∪34，＋[y ＝9－x 2表示上半圆，t 可以看作动点(x ，y )与定点(－1，－3)连线的斜率．如图：
A (－1，－3)，
B (3,0)，
C (－3,0)，
则k AB ＝34，k AC ＝－32
，∴t ≤－32或t ≥34
.]三、解答题
9．求圆心在x 轴上，且过A (1,4)，B (2，－3)两点的圆的方程．
【答案】设圆心为(a,0)，
则(a －1)2＋16＝(a －2)2＋9，所以a ＝－2.
半径r ＝(a －1)2＋16＝5，
故所求圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝25.
10．△ABC 的三个顶点为A (－1,2)，B (2,1)，C (3,4)．
(1)求△ABC 外接圆的标准方程；
(2)求BC 边中线所在直线截其外接圆的弦长．
【答案】(1)设其外接圆方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，因为顶点在圆上，则：
1－a )2＋(2－b )2＝r 2，
－a )2＋(1－b )2＝r 2，
－a )2＋(4－b )2＝r 2
⇒a ＝1，b ＝3，r ＝5，
所以△ABC 外接圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －3)2＝5.
(2)BC 的中点k AD ＝17
，所以直线AD 为：x －7y ＋15＝0，
圆心(1,3)到直线AD 的距离d ＝22，又因为半径为5，所以半弦长为
＝322
，所以弦长为3 2.提升篇
1．点P x 2＋y 2＝1的位置关系是(
)
A ．点在圆内
B ．点在圆外
C ．点在圆上
D ．与t 有关
【答案】C [把点P ＝1＋2t 2＋t 4(1＋t 2)2＝1.所以点P 在圆上．选C.]
2．若直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于(
)A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限【答案】D [由题意，知(－a ，－b )为圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心．由直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，得a ＜0，b ＞0，即－a ＞0，－b ＜0，故圆心位于第四象限．]
3．已知圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，则点M (2,3)到圆上的点的距离的最大值为________．
【答案】5＋2[由题意，知点M 在圆O 内，MO 的延长线与圆O 的交点到点M (2,3)的距离最大，最大距离为(2－3)2＋(3－4)2＋5＝5＋ 2.]
4．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是
________．
【答案】(x －2)2＋(y －1)2＝1[依题意设圆心坐标为(a,1)，
则1＝|4a －3|5
，又a ＞0，∴a ＝2.所以该圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.]
5．已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4，直线l ：14x ＋8y －31＝0，求圆C 1关于直线l 对称的圆C 2的方程.
【答案】设圆C 2的圆心坐标为(m ，n )．
因为直线l 的斜率k ＝－74
，圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4的圆心坐标为(－3,1)，半径r ＝2，
8×1
＋n 2－31＝0，＝4，＝5.
所以圆C 2的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝4.。