专题09 分式方程中的参数问题(原卷版)

八下数学思维解法技巧培优小专题

专题9 分式方程中的参数问题题型一由分式方程解的情况求参数的值或取值范围

【典例1】（2019•淅川县期末）若关于x的方程2m−3

x−1−

x

x−1

=0无解，则m的值是（）

A．3B．2C．1D．﹣1

【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x﹣1＝0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．

【典例2】（2019•吉安县期末）若m

x−3−

1−x

3−x

=0无解，则m的值是（）

A．3B．﹣3C．﹣2D．2

【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到m的值，经检验即可得到分式方程的解．

【典例3】（2019•齐齐哈尔）关于x的分式方程2x−a

x−1−

1

1−x

=3的解为非负数，则a的取值范围为

__________________．

【点拨】根据解分式方程的方法和方程2x−a

x−1−

1

1−x

=3的解为非负数，可以求得a的取值范围．

【典例4】（2019•江阴市期中）若分式方程x−2

x−3−2=m

x−3有增根，则m的值为______．

【点拨】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．

【典例5】（2019•江都区四模）若关于x 的分式方程

1

x−2

−

m 2−x

=1的解是正数，求m 的取值范围．

【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出m 的范围即可．

题型二 分式方程与不等式的综合

【典例6】（2019•九龙坡区校级月考）已知关于x 的分式方程

2−ax 1−x

−

1x−1

+1＝0有整数解，且关于x 的

不等式组{3x ≤2(x −1

2)

2x −x−13

＜a

的解集为x ≤﹣1，则符合条件的所有整数a 的个数为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

【点拨】解分式方程得x =4

a+1且x ≠1，则整数a 为0，1，﹣2，﹣3，﹣5时分式方程的解为整数解，再解不等式组得到a ＞−4

3，从而得到满足条件的整数a 的值．

【典例7】（2019•巴南区期中）若关于x 的分式方程

m

2−x

−1＝1−x

x−2的解为正数，且关于y 的不等式组

{2y−5

3

≤−3y −m −1＞−1

无解，那么符合条件的所有整数m 的和为（ ）

A ．5

B ．3

C ．1

D ．0

【点拨】根据题意可以求得m 的取值范围，从而可以得到符合条件的m 的整数值，从而可以解答本题．

【典例8】（2019•沙坪坝区校级月考）若实数a 使关于x 的不等式组{13

x −1≤

x−121

2

a −3x ＞0有且只有4个整数解，且使关于x 的方程

2

x−1

+

5−a 1−x

=−2的解为正数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）

A ．7

B ．10

C ．12

D ．1

【点拨】解不等式组求得其解集，根据不等式组只有4个整数解得出a 的取值范围，解分式方程得出x =

5−a

2

，由方程的解为正数且分式有意义得出a 的取值范围，综合两者所求最终确定a 的范围，据此可得答案．

【典例9】（2019•沙坪坝区校级一模）如果关于x 的不等式组{5x+3

6≤x +11

5

a −x ≥0至少有3个整数解，且关于x 的分式方程ax

x−5

=

1−a 5−x

−

3x

x−5

的解为整数，则符合条件的所有整数a 的取值之和为（ ）

A ．﹣10

B ．﹣9

C ．﹣7

D ．﹣3

【点拨】先分别解不等式组里的两个不等式，因为不等式组有解，写出其解集为﹣3≤x ≤1

5a ，根据不等式组至少有3个整数解，可得a 的取值，再解分式方程得x =a−1

a+3

，根据解为整数即得到a 的范围．得到两个a 的范围必须同时满足，即求得可得到的整数a 的值．

【典例10】（2019•长寿区模拟）若关于x 的方程

k

1−x

=

3x−1

−2有非负实数解，关于x 的一次不等式组

{x−1

2−2x ≤1x +k ≤2

有解，则满足这两个条件的所有整数k 的值的和是________．

【点拨】分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，由分式方程有非负实数解确定出k 的范围，由不等式有解确定出k 的范围，进而确定出k 的具体范围，求出整数解，进而求出之和即可．

巩固练习

1．（2019•九龙坡区期末）关于x 的分式方程

ax−24−x

+

6x−4

=−3的解为正数，且关于x 的不等式组

{x ＞1a+x 2≥x −72有解，则满足上述要求的所有整数a 的绝对值之和为（ ）

A ．12

B ．14

C ．16

D ．18

2．（2019•南岸区模拟）若数k 使关于x 的不等式组{3x +k ≤0

x

3−x−1

2

≤1只有4个整数解，且使关于y 的分式方程