数学竞赛之平面几何

则
S AMDN
1 2
AM
AD sin
1 2
AD
AN sin(
)
= 1 AD[AF cos( )sin AF cos sin( )
2
= 1 AD AF sin(2 ) AF AD BC
2
4R
S ABC
1 2
AB
AF sin(
)
1 2
AC
AF sin
AF (AB CD AC BD) 4R
由托勒密定理可知： AB CD AC BD AD BC ，故结论
成立。
例３.求证四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆 相交于一点，且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直 线上 已知：四条直线ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ中，ＡＢ交ＣＤ于 点Ｅ，ＢＣ交ＡＤ于点Ｆ 求证： ADE， ABF， BCE， CDF 的外接圆相交于一 点，且该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上。
A
M
B
C
证法一：设直线 AM 与 BC 交于 H，连结 BE，CD，
则知∠BEC=∠BDC= 900 ，
直线 FME 与△ACH 相截，直线 GMD 与
△ABH 相截，由梅氏定理得：
AM HF CE 1， AM HG BD 1
D
MH FC EA MH GB DA
两式相除得 FH CF AE BD HG CE BG DA
在 Rt△DBC 与 Rt△EBC 中，有
CD2 BC FC ， BE2 BC BG
BF
A
E M HG C
即 CF CD 2 ，代入上式得 FH CD2 AE BD
BG BE 2
HG BE 2 CE AD
又 ABE∽ACD，有 AD CD 代入上式得 AE BE
FH CD BD = SDBC = DF DM ，从而 MH//DF， HG BE CE SEBC EG MG
则AP、BQ、CR三线共点的充要条件是: BP CQ AR 1 PC QA RB
A
A
RQ
BP
C
P BC
R
Q
3.托勒密定理： 定理：四边形 ABCD 中，有：
AB·CD+AD·BC AC·BD 并当且仅当四边形 ABCD 内接于圆时，等号成立。
A D
B
C
4.西姆松定理：P 是 ΔABC 的外接圆⊙O 上的 任意一点，PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥CA，垂 足为 E、D、F，则 E、D、F 三点共线． 西姆松的逆定理：从一点 P 向 ABC的三边（或延
以上三式相乘得： C1K B1L A1M 1 KB1 LA1 MC1
可以看到，在三角形 B1A1C1 中，L、K、M 分别在 A1B1、 B1C1、C1A1 或其延长线上，根据梅氏定理的逆定理，可判 断 L、K、M 共线。
例 2. 如图，在锐角三角形 ABC 的 BC 边上有两点 E、F， 满足∠BAE=∠CAF，作 FM⊥AB，FN⊥AC（M、N 是垂 足），延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D． 证明：四边形 AMDN 与三角形 ABC 的面积相等．
A
M
N
B
EF
C
D
证明：设∠BAE=∠CAF= ，∠EAF=
A
B
D
C
E
Hale Waihona Puke F证明：如图，设四条直线AB、BC、CD、AD中， AB交CD于点E，BC交AD于点F， 圆BCE与圆CDF的另一个交点为G BGF BGC CGF BEC CDA BGF A 180，即圆ABF过点G 同理圆AED也过点G 圆BCE、圆CDF、圆ABF、圆AED交于同一点G 若点G向AB、BC、CD、DA所作垂线的垂足分别为E、L、M、N、P， 由西姆松定理可知L、M、N在一条直线上， M、N、P在一条直线上， 故L、M、N、P在同一条直线上
例 4．若两个三角形的对应顶点的连线交于一点，则对应边 所在的直线交点必共线。（笛沙格定理）
K
已知：若△A1B1C1 与△A2B2C2 的对应顶点连线 A1A2、B1B2、 C1C2 相交于一点 O，则对应边 B1C1 与 B2C2 的交点 K、C1A1 与 C2A2 的交点 L、A1B1 与 A2B2 的交点 M 共线。
又 BH AB cosB, HG AE cosC
所以 BH AB cosB AC cosB HG AE cosC AD cosC
即 BH AC DM AB DM AB HG AD MG AC MG AD
故 BH GM DA 1 HG MD AB
对△BDG 应用梅氏定理逆定理，知 H，M，A 三点共线 由 AH⊥BC，故 AM⊥BC
第一部分【几个著名定理】 1．梅涅劳斯（Menelauss）定理
设 ABC的边 AB，BC，CA 或其延长线分别交于点 P,Q, R ，且 有奇数个点在边的延长线上（如图）则 P，Q，R 三点共线的充要条
件是： AP BQ CR 1 。 PB QC RA
2.塞瓦定理：
设P、Q、R分别是ABC的BC、CA、AB边上的点， 且有偶数个点在延长线上，
而 DF⊥BC，则 MH⊥BC，故 AM⊥BC
证法二：作高 AH，连 BE，CD，则∠BEC=∠BDC= 900
于是 DF BD sin B BC cosB sin B ， EG BC cosC sin C
所以 DF DM sin B cosB AC cosB EG MG sin C cosC AB cosC
长线）作垂线，若其垂足 L，M，N 在同一直线上，
则点 P 在 ABC的外接圆上。
例1．以△ABC 的底边 BC 为直径作半圆， 分别与 AB、AC 交于点 D 和 E，分别过 D、 E 作 BC 的垂线，垂足依次为 F、G，线段 DG 和 EF 交于点 M，求证：AM⊥BC （IMO-37国家队选拔题）
证明：观察三角形 C1B1O，可以看出，K、B2、C2 分别在 C1B1、B1O、OC1 或其延长线上，且 B2、K、C2 三点共线， 根据梅涅劳斯定理可得： C1K B1B2 OC 2 1
KB1 B2O C2C1 同理：观察三角形 OB1A1，根据梅涅劳斯定理可得： A1L B1B2 OA2 1 LB1 B2O A2 A1 观察三角形 OA1C1，根据梅涅劳斯定理可得： C1M A1 A2 OC 2 1 MA1 A2O C2C1