模糊数学 数学建模竞赛
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定义：设 A (aij )mn , B (bij都)m是n 模糊矩阵，定义 相等：A B aij bij 包含：A B aij bij
模糊集合及其运算
并： A B (aij bij )mn 交： A B (aij bij )mn 余： Ac (1 aij )mn
例：设A 1 0.1, B 0.4 0 ,则 0.2 0.3 0.3 0.2
为A与B的合成，其中 cij max{(aik bkj )1 k。 s}
例：设A 0.4 0.1
0.5 0.2
0.6 , 0.3
B
0.1 0.3 0.5
0.2 0.4
,
则
0.6
A B 0.5 0.3
0.6 0.3
B
A
0.1 0.3
0.4
0.2 0.3 0.5
0.2 0.3 0.5
可省略
模糊集合及其运算
（2）序偶表示法 A {( x1, A( x1)),( x2, A( x2 )),,( xn , A( xn ))}
（3）向量表示法 A ( A( x1), A( x2 ),, A( xn ))
若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：
A A( x)
xU x
模糊集合及其运算
模糊集合及其运算
（3）模糊矩阵的转置 定义：设 A (aij )mn称, AT (aijT为)mAn的
转置矩阵，其中 aijT a。ji
（4）模糊矩阵的 截矩阵
定义：设 A (aij )m对n, 任意的 [0称,1],
A (aij( ) )mn 为模糊矩阵A的 截矩阵，其中
aij( )
并： ( A B)(x) A( x) B( x),x U 表示取大； 交： ( A B)(x) A( x) B( x),x U 表示取小。 余： Ac ( x) 1 A( x),x U
模糊集合及其运算
几个常用的算子： （1）Zadeh算子 (,)
a b max{a,b},a b min{a,b} （2）取大、乘积算子 (,)
A B 1 0.1 A B 0.4 0
0.3 0.3
0.2 0.2
Ac 0 0.9 0.8 0.7
Bc 0.6 1 0.7 0.8
模糊集合及其运算
（2）模糊矩阵的合成
定义：设 A (aij )ms , B (bij )称sn模, 糊矩阵 A B (cij )mn
模糊集合及其运算
1、模糊子集
定义：设U是论域，称映射
A : U [0,1],
~
x A( x) [0,1]
~
确定了一个U上的模糊子集 A。映射 A称为 A隶属函
~
~
~
数，A( x)称为 x对
~
A的隶属程度，简称隶属度。
~
模糊子集 A 由隶属函数 A唯一确定，故认为二者
~
~
是等同的。为简单见，通常用A来表示
A
~
和A
~
。
模糊集合及其运算
模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有： （1）Zadeh表示法
A A( x1) A( x2 ) A( xn )
x1
x2
xn
这里 A( xi )表示 xi
x对i 模糊集A的隶属度是
A( xi。)
如“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为
A 1 0.8 0.2 0 12 34
（6）Einstain算子 ( , )
a b
ab
,a b
ab
1 ab
1 (1 a)(1 b)
模糊集合及其运算
3、模糊矩阵 定义：设 R (rij )mn ,0 rij 称 1R, 为模糊矩阵。
当 rij只取0或1时，称R为布尔（Boole）矩阵。
当模糊方阵 R (rij )n的n 对角线上的元素 都rij 为1时， 称R为模糊自反矩阵。 （1）模糊矩阵间的关系及运算
★模糊集合A 完全由隶属函数 A(x)来刻画，当
A (x) = {0,1} 时， A 退化为一~ 个普通集。
~
不是表示积分的意思
xU
x A( x) x
不是分数，它表示点
i 对模糊集A 的隶属度
模糊集合及其运算
2、模糊集的运算 定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义
相等： A B A( x) B( x),x U 包含： A B A( x) B( x),x U
取论域U={全岛刮胡子的人}，
集合A={不给自己刮胡子的人}，用特征函数刻画为
A(某人)
1, 0,
某人不给自己刮胡子 某人给自己刮胡子
问题：显然理发师 U，那么理发师是否属于A？
模糊集合及其运算
二、模糊集合及其运算 美国控制论专家Zadeh教授正视了经典集合描述的
“非此即彼”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数 概念并非都是“非此即彼”那么简单，而概念的差异常以 中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦彼”的模糊现象。 基于此，1965年， Zadeh教授在《Information and Control》杂志上发表了一篇开创性论文“Fuzzy Sets”, 标志着模糊数学的诞生。
模糊集合及其运算
在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个
经典集合A，则必有 u A或者u A ，用函数表示为：
其中
A : U {0,1} u A(u),
A (u)
1, 0,
u A u A
函数 A称为集合A的特征函数。
模糊集合及其运算
罗素（Russell）悖论：在一个孤岛上唯一的一个 理发师，其工作是“专门替那些不给自己刮胡子的人 刮胡子”，现问理发师本人该不该给自己刮胡子？
a b max{a,b},a b ab （3）环和、乘积算子 (ˆ ,)
a ˆ b a b ab,a b ab
模糊集合及其运算
（4）有界和、取小算子 (,)
a b 1 (a b),a b min{a,b}
（5）有界和、乘积算子 (,)
a b 1 (a b),a b ab
主要 内容
模糊数学
模糊集合及其运算 模糊聚类分析 模糊综合评判 模糊线性规划 **模糊决Байду номын сангаас 模糊数学真题分析
模糊集合及其运算
一、经典集合与特征函数 集合：具有某种特定属性的对象集体。
通常用大写字母A、B、C等表示。
论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。
通常用大写字母U、V、X、Y等表示。
论域U中的每个对象u称为U的元素。
模糊集合及其运算
并： A B (aij bij )mn 交： A B (aij bij )mn 余： Ac (1 aij )mn
例：设A 1 0.1, B 0.4 0 ,则 0.2 0.3 0.3 0.2
为A与B的合成，其中 cij max{(aik bkj )1 k。 s}
例：设A 0.4 0.1
0.5 0.2
0.6 , 0.3
B
0.1 0.3 0.5
0.2 0.4
,
则
0.6
A B 0.5 0.3
0.6 0.3
B
A
0.1 0.3
0.4
0.2 0.3 0.5
0.2 0.3 0.5
可省略
模糊集合及其运算
（2）序偶表示法 A {( x1, A( x1)),( x2, A( x2 )),,( xn , A( xn ))}
（3）向量表示法 A ( A( x1), A( x2 ),, A( xn ))
若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：
A A( x)
xU x
模糊集合及其运算
模糊集合及其运算
（3）模糊矩阵的转置 定义：设 A (aij )mn称, AT (aijT为)mAn的
转置矩阵，其中 aijT a。ji
（4）模糊矩阵的 截矩阵
定义：设 A (aij )m对n, 任意的 [0称,1],
A (aij( ) )mn 为模糊矩阵A的 截矩阵，其中
aij( )
并： ( A B)(x) A( x) B( x),x U 表示取大； 交： ( A B)(x) A( x) B( x),x U 表示取小。 余： Ac ( x) 1 A( x),x U
模糊集合及其运算
几个常用的算子： （1）Zadeh算子 (,)
a b max{a,b},a b min{a,b} （2）取大、乘积算子 (,)
A B 1 0.1 A B 0.4 0
0.3 0.3
0.2 0.2
Ac 0 0.9 0.8 0.7
Bc 0.6 1 0.7 0.8
模糊集合及其运算
（2）模糊矩阵的合成
定义：设 A (aij )ms , B (bij )称sn模, 糊矩阵 A B (cij )mn
模糊集合及其运算
1、模糊子集
定义：设U是论域，称映射
A : U [0,1],
~
x A( x) [0,1]
~
确定了一个U上的模糊子集 A。映射 A称为 A隶属函
~
~
~
数，A( x)称为 x对
~
A的隶属程度，简称隶属度。
~
模糊子集 A 由隶属函数 A唯一确定，故认为二者
~
~
是等同的。为简单见，通常用A来表示
A
~
和A
~
。
模糊集合及其运算
模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有： （1）Zadeh表示法
A A( x1) A( x2 ) A( xn )
x1
x2
xn
这里 A( xi )表示 xi
x对i 模糊集A的隶属度是
A( xi。)
如“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为
A 1 0.8 0.2 0 12 34
（6）Einstain算子 ( , )
a b
ab
,a b
ab
1 ab
1 (1 a)(1 b)
模糊集合及其运算
3、模糊矩阵 定义：设 R (rij )mn ,0 rij 称 1R, 为模糊矩阵。
当 rij只取0或1时，称R为布尔（Boole）矩阵。
当模糊方阵 R (rij )n的n 对角线上的元素 都rij 为1时， 称R为模糊自反矩阵。 （1）模糊矩阵间的关系及运算
★模糊集合A 完全由隶属函数 A(x)来刻画，当
A (x) = {0,1} 时， A 退化为一~ 个普通集。
~
不是表示积分的意思
xU
x A( x) x
不是分数，它表示点
i 对模糊集A 的隶属度
模糊集合及其运算
2、模糊集的运算 定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义
相等： A B A( x) B( x),x U 包含： A B A( x) B( x),x U
取论域U={全岛刮胡子的人}，
集合A={不给自己刮胡子的人}，用特征函数刻画为
A(某人)
1, 0,
某人不给自己刮胡子 某人给自己刮胡子
问题：显然理发师 U，那么理发师是否属于A？
模糊集合及其运算
二、模糊集合及其运算 美国控制论专家Zadeh教授正视了经典集合描述的
“非此即彼”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数 概念并非都是“非此即彼”那么简单，而概念的差异常以 中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦彼”的模糊现象。 基于此，1965年， Zadeh教授在《Information and Control》杂志上发表了一篇开创性论文“Fuzzy Sets”, 标志着模糊数学的诞生。
模糊集合及其运算
在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个
经典集合A，则必有 u A或者u A ，用函数表示为：
其中
A : U {0,1} u A(u),
A (u)
1, 0,
u A u A
函数 A称为集合A的特征函数。
模糊集合及其运算
罗素（Russell）悖论：在一个孤岛上唯一的一个 理发师，其工作是“专门替那些不给自己刮胡子的人 刮胡子”，现问理发师本人该不该给自己刮胡子？
a b max{a,b},a b ab （3）环和、乘积算子 (ˆ ,)
a ˆ b a b ab,a b ab
模糊集合及其运算
（4）有界和、取小算子 (,)
a b 1 (a b),a b min{a,b}
（5）有界和、乘积算子 (,)
a b 1 (a b),a b ab
主要 内容
模糊数学
模糊集合及其运算 模糊聚类分析 模糊综合评判 模糊线性规划 **模糊决Байду номын сангаас 模糊数学真题分析
模糊集合及其运算
一、经典集合与特征函数 集合：具有某种特定属性的对象集体。
通常用大写字母A、B、C等表示。
论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。
通常用大写字母U、V、X、Y等表示。
论域U中的每个对象u称为U的元素。