混凝土基本力学性能二

c
fc
混凝土棱柱体抗压强度和峰值应变的比 值，即峰值割线模量（N/mm2）。
αa=a1，规范称之为曲线上升段参数。 物理意义：混凝土的初始切线模量与峰值割线模量之比E0/Ep； 几何意义：曲线的初始斜率和峰点割线斜率之比。 上升段曲线方程为：
x 1
y a x (3 2 a ) x ( a 2) x
x 1
解得：
x y d ( x 1) 2 x
⑷
u 1 (1 2 d 1 4 d ) c 2 d
分析或验算结构构件时，混凝土的单轴压应变不宜超过值εu。
按上述公式计算随混凝土抗压强度而变化的各项参数值，经 整理后如表。 混凝土单轴受压应力-应变曲线的参数值
0 u
x 1
c fc
y 1 (1 x) n y 1
取
c x 0
y
c
fc
曲线方程可改写为 式中各参数都随混凝 土的立方体抗压强度 标准值fcu,k而变化，计 算公式为：
cu 1 x 0
1 n 2 ( f cu 50) ≯2.0 60 0 0.002 0.5( f cu 50) 10 6
≮0.002
≯0.0033
u 0.0033 ( f cu 50) 10 6
上升段：
0
c n c f c [1 (1 ) ] 0

70
C80
60
下降段： 0 u
c fc
50
C60
40
1 n 2 ( f cu 50) ≯2.0 60 0 0.002 0.5( f cu 50) 10 6
⑷
x 1
x y d ( x 1) 2 x
⑷
上式满足数学条件描述中的6、7。
当 d 0时，y 1, 峰点后为水平线（全塑性）；
d 时，y 0, 峰点后为垂直线（脆性）。 故 d的取值范围为： 0 d
此外，由数学条件 4 满足：
d y 2 dx
可解得最大曲率点的位置 xE（＞ xD ）
下降段曲线上两个特征点D、E的位置随参数 αd 值而变 化，按式 1 3 2 d [ x 3x (2 )] 2 d d y 0 2 2 3 dx [ d ( x 1) x ]
2 4 2 2 2 2 x 6 d x (8 d 4 d ) x (3 d 4 d 1)] d 3 y 6 d [ d 0 3 2 3 dx [ d ( x 1) x ]
C40
30
20
C20
≮0.002 ≯0.0033
10

0 0.001 0.002 0.003 0.004
u 0.0033 ( f cu 50) 10 6
按上述方程计算的不同强度等级混凝土的受压应力-应变曲线的 各参数值列如下表，各理论曲线如图。
《规范》混凝土应力 - 应变曲线参数 fcu n ≤ C50 2 0.002 0.0033 C60 1.833 0.00205 0.0032 C70 1.667 0.0021 0.0031 C80 1.5 0.00215 0.003
计算结果如图， 与试验 数据一 致 。
对参数取αa 和αd 赋予不等的数值，可得变化的理论曲线。
对于不同原材料和强度等级的结构混凝土，甚至是约束混凝 土，选用了合适的参数值。都可以得到与试验结果相符的理论 曲线。过镇海等建议的参数值见表，可供结构分析和设计应用。
1.3.3规范中的曲线方程和参数值 1、用于非线性分析
x p
绘制峰点坐标为 （1，1）的标准曲线 如图，曲线形状有一 定差别，但具有一致 的几何特性，可用数 学条件描述。
y

fc
这些几何特征与混凝土的受压 其几何特征的数学描 变形和破坏过程（见前）完全 述如下： 对应．具有明确的物理意义。 1. x 0, y 0; d2y 2. 0 x 1, 2 0,即曲线斜率(dy / dx)单调减小，无拐点； dx
εc按下式计算：
c (700 172 f c ) 106
上升段和下降段的曲线参数分别按下式计算：
a 2.4 0.0125 f c d 0.157 f c 0.785 0.905
在应力-应变曲线的下降段上，当应力（残余强度）减至0.5 fc＊ 时，所对应的压应变为εu。其值可由
d / d
fc / p
x 0
E0 a Ep
式中：
dy a1 dx
d E0 d
x 0
d ( / f c ) d ( / p )
x 0

x 0
d / d
fc / p
x 0
E0 a Ep
混凝土的初始切线弹性模量（N/mm2）。
Ep
2
2 d [ x 3x (2
3 2
1
[ d ( x 1) x ]
d
3
)] 0
可解得拐点位置xD（＞1.0） 同理，由数学条件5满足：
2 4 2 2 2 2 x 6 d x (8 d 4 d ) x (3 d 4 d 1)] d 3 y 6 d [ d 0 3 2 3 dx [ d ( x 1) x ]
x 1 x 1
y a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 x y b0 b1 x b2 x 2
⑴ ⑵
下降段曲线方程中包含三个参数，将数学条件描述 中 3 的两个边界条件代入，可解得：
b1 1 2b0 ,
即 αd = b 0
b2 b0
式中b0为独立参数，在混凝土规范中称为下降段参数， 将其代入⑵式，并简化可得： x x 1 y d ( x 1) 2 x
1.3受压应力-应变全曲线
混凝土受压应力-应变全曲线包括上升段和下降段，
是其力学性能的全面宏观反应： ◆曲线峰点处的最大应力即棱柱体抗压强度，相应的应 变为峰值应变εp ； ◆曲线的（割线或切线）斜率为其弹性（变形）模量， 初始斜率即初始弹性模量Ec ； ◆下降段表明其峰值应力后的残余强度；曲线的形状和 曲线下的面积反映了其塑性变形的能力，等等。
0.41
4.2
0.74
3.0
1.06
2.6
1.36
2.3
1.65
2.1
1.94
2.0
2.21
1.9
2.48
1.9
2.74
1.8
3.00
1.8
将这些参数带入式⑶、⑷即得混凝土单轴（轴心）受压应力应变全曲线。 混凝土结构设计规范附录C明确指出，上述公式的适用条件是： 混凝土强度等级C15～C80，质量密度（2200～2400）kg/m3，正 常温、湿度环境和加载速度等。当结构或构件的受力状态或环 境条件不符合此要求时，例如混凝土受有横向和纵向应变梯度、 箍筋约束作用、重复加卸载、持续荷载或快速加载，高温作 用、 … …等因素的影响时，应对应力-应变曲线方程的各参数值 进行适当修正。
混凝土的受压应力-应变曲线方程是其最基本的本构 关系，又是多轴本构模型的基础。在钢筋混凝土结构的 非线性分析中，例如构件的截面刚度、截面极限应力分 布、承载力和延性，超静定结构的内力和全过程分析等 过程中，它是不可或缺的物理方程，对计算结果的准确 性起决定性作用。
1.3.1试验方法
在棱柱体抗压试验时，若应用普通液压式材料试验机加载， 可毫无困难地获得应力应变曲线的上升段．但试件在达到最大 承载力后急速破裂，量测不到有效的下降段曲线。 Whitney很早就指出混凝土试件突然破坏的原因是试验机的 刚度不足。试验机本身在加载过程中发生变形，储存了很大的 弹性应变能。当试件承载力突然下降时，试验机因受力减小而 恢复变形，即刻释放能量，将试件急速压坏。 要获得稳定的应力-应变全曲线，主要是曲线的下降段，必须 控制混凝土试件缓慢地变形和破坏。有两类试验方法： ①应用电液伺服阀控制的刚性试验机直接进行试件等应变速 度加载；
7. 全部曲线x 0, 1 y 0.
为了准确地 拟合混凝土的 受压应力-应变 试验曲线，各 国研究人员提 出了多种数学 函数形式的曲 线方程，如： 多项式、 指数式、 三角函数
有理分式
分段式 等等。
对于曲线的上升段和下降段，有的用统一 方程，有的则给出分段公式。其中比较简单、 实用的曲线形式如图。
混凝土结构设计规范附录C中，建议采用的混凝土单轴（即 轴心）受压应力-应变全曲线方程同前：
x 1
x 1
y a x (3 2 a ) x ( a 2) x
2
3
⑶ ⑷
但式中的纵、横坐标改为：
x y d ( x 1) 2 x
x c
y

f c
式中：fc＊—混凝土的单轴（即轴心）抗压强度（N/mm2），应 根据结构分析方法和极限状态验算的需要，分别取为标准值 （fck）、设计值（fc）或平均值（fcm）；f cm f ck /(1 1.645 c ) εc — 与 fc＊ 相应的峰值压应变。
3. x 1 时, y 1, dy / dx 0,即单峰值；
d2y 4. 当 2 0时，xD 1,即下降段有一拐点(D); dx d3y 5. 当 3 0时，xE 1,即下降段上的最大曲率点(E); dx
dy 6. 当x , y 0时, 0, dx 下降段曲线可无限延长，收 敛与横坐标轴，但不相交；
0 u

比 较
70
C80
60
50
C60
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
40
C40
30
20
C20
10

0 0.001 0.002 0.003 0.004