66 微分方程稳定性理论简介 一阶方程的平衡点及稳定性
微分方程稳定性
det A 0
P0 (0, 0 )的 稳 定 性 由 (9 ) 的 特 征 方 程
det( A I ) 0
(11)
(12)
的根（特征根）决定。方程（12）可写为
2 p q 0 p ( a1 b 2 ) q d et A (1 3)
则特征根为
（ 即 a 0 或 p , q 0） 得到的。在临界情况下 即 a = 0 或 p , q = 0） （
（1）平衡点和稳定性的概念只是对自治方程(1)(6)而言才有意义。
二者可以不一致。 (3) 在讨论平衡点稳定性时，对初始点的要求是存在一个邻 域，这是局部稳定的定义。如果要求对任意的初始点 (3)(8)式成立，成为全局稳定。对于线性方程，局部稳定 和全局稳定是等价的，对于非线性方程，二者不同。 (4) 对于临界情况，和非线性方程的全局稳定，可以用相 轨线分析方法讨论。
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结束
建模与求解：设地球半径为 R ，质量为M ；卫星轨 道半径为r ，卫星质量为m 。
根据假设（ii）和（iii），卫星只受到地球的引力，由牛 顿万有引力定律可知其引力大小为
F= GMm r
2
(1)
其中G 为引力常数。 为消去常数G ，把卫星放在地球表面，则由（1）式得
mg = GMm R
1 k
( 此处 mg k v 0 )
利用初始条件, 得 C ln ( mg ) 代入上式后化简, 得特解 v
mg k
机动 目录
t 足够大时
k m t
v
)
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mg k
(1 e
微分方程稳定性理论
一阶方程的平衡点及稳定性 dx/dt=f(x)---------自治方程
t
f(x)=0 的实根 x=x0------为平衡点
如果 lim x (t ) x0 则称 x0 是稳定,否则 x0 是不稳定的
f ( x0 ) 0 f ( x0 ) 0
则称 x0 是稳定 则称 x0 是不稳定的
fx A 1 g x1 f x2 g x2
q=detA
0 0 p0 ( x1 , x2 )
P ( f X1 g x2 ) P0 平衡点的稳定性判定与上一样
表四
1，2
p, q
平衡点类型
稳定性
1 2 0
p 0, q 0, p 2 4q p 0, q 0, p 2 4q
p0
稳定结点 不稳定结点 鞍点 稳定退化结点 不稳定退化结点 稳定焦点 不稳定焦点 中心
稳定 不稳定 不稳定 稳定 不稳定 稳定 不稳定 不稳定
1 2 0
1 0 2
1 2 0
1 2 0
p 0, q 0, p 2 4q p 0, q 0, p 2 4q p 0, q 0, p 2 4q p 0, q 0, p 2 4q
p 0, q 0
1,2 i, 0
1,2 i, 0 1,2 i, 0
二阶方程的平衡点及稳定性
dx1 dt f ( x1 , x2 ) dx 2 g ( x1 , x2 ) dt
f ( x1 , x2 ) 0 0 0 0 0 的解 x1 x1 -----为平衡点,记为 p0 ( x1 , x2 x2 , x2 ) g ( x1 , x2 ) 0
微分方程中的稳定性理论研究
微分方程中的稳定性理论研究稳定性是微分方程理论中一个重要的概念，它描述了系统在时间和空间上的变化趋势。
稳定性理论研究的是系统的长期行为，即系统是否会趋向于一个确定的状态，或者是否会出现周期性的振荡。
本文将介绍微分方程中的稳定性理论及其应用。
一、基本概念稳定性理论研究的是微分方程的解在初始条件或参数变化下的行为。
稳定性可以分为局部稳定性和全局稳定性两种情况。
局部稳定性指的是系统在某一特定状态附近的解的行为，即如果系统的初始状态足够接近这个特定状态，那么系统的解将会趋近于这个特定状态。
全局稳定性则要求系统的解在整个定义域内都趋近于一个特定的状态，不管初始状态是如何选择的。
二、线性稳定性分析对于线性微分方程，可以通过判断系统的特征根来研究其稳定性。
考虑形如 $\frac{{dx}}{{dt}}=Ax$ 的线性微分方程，其中 $A$ 是一个常数矩阵。
方程的解可以表示为 $x(t)=e^{At}x_0$，其中 $x_0$ 是初始条件。
系统的稳定性取决于矩阵 $A$ 的特征根的实部。
如果所有特征根的实部都小于零，则系统是局部稳定的；如果所有特征根的实部都小于等于零，则系统是渐近稳定的；如果存在特征根的实部大于零，则系统是不稳定的。
三、非线性稳定性分析对于非线性微分方程，稳定性的分析就更加复杂。
一般情况下，无法直接得到解析解，需要借助数值方法或近似方法进行研究。
一种常用的方法是线性化法，即将非线性方程在某一特定点附近进行线性近似。
通过线性化后的方程，可以通过判断线性化方程的稳定性来推断原方程的稳定性。
此外，还可以使用Lyapunov稳定性理论来研究非线性系统的稳定性。
Lyapunov函数是一个标量函数，通过判断其导数的符号来推断系统的稳定性。
如果导数小于零，则系统是局部稳定的；如果导数小于等于零，则系统是渐近稳定的。
四、应用稳定性理论在物理学、工程学、生物学等领域具有广泛的应用。
在控制系统中，稳定性是设计控制器的一个重要指标。
微分方程的平衡点及稳定性分析
者 可 以不 一致 ， 比如 说 ， 线性 近 似方 程 的平衡 点 为 中心 时 ， 用其 它 的方 法来判 断（ ） 要 ４ 式平 衡 点 的稳
１２ 判 定 平 衡 点 稳 定 性 的 方 法 ．
① 间接法 ： 定义３ 的方法称为间接法。 ②直接法 ： 不求方程式（ 的解 ） １ ） ０的方法 ， 称
为直接法。 方法： 在 将 ） 。 处作泰勒展开， 只取一
次项 ， 有微 分方 程 （ ） 近似 为 １可
变化规律 ， 预测它的未来形态时 ， 要建立对象 的动 态模 型 ， 常 要用到 微分方 程模 型 。 通 而稳 定性 模 型 的对象仍是动态过程 ，而建模 的目的是研究时间 充分 长 以后 过程 的变 化趋 势— — 平衡 状 态是 否 稳 定。 稳定性模型不求解微分方程 ， 而是用微分方程
） ） （） １
①羞 ０ ０则称 ）， ＜ 。 为方程（和（的稳定的 １ ３ ） ） 平
衡点。
ｏ 则称 为方 程（） ３的不稳 定 的平 ， １和（） 衡点。
定义２ 代数方程 ） 的实根 。 ： ＝ ０ 称为微分方
程（） １的平衡 点 。 定 义 ３从 某 领 域 的任 意 值 出发 ， 方 程 （ ） ： 使 １
。 ｏ 作 泰勒 展 开 ， ，） ｙ处 只取 一 次项 ， （在 Ｐ 。 。 得 ４ ） ０ ，） Ｙ
的线 性近 似方 程 为 ：
贝 ） 却 ｒ０ 则根据定理 １ｘ Ｏ Ｉ ＝＞ ， ， 是不稳定的平衡 ＝
点 ． Ｉ 一ｒＯ 是稳定的平衡点。 厂） ＜，
分 析 ： 平衡 点 的稳 定性 来 看 ， 从 随着 时 间 的推 移 ， 口的增 长在 人 处 趋于 稳定 ， 也就 是人 口达
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（1） （2）
（3）
（4）
（5）
其中 C 是由初始条件决定的常数。
二、 二阶（平面）方程的平衡点和稳定性
方程的一般形式可用两个一阶方程表示为
dx1 (t ) dt
dx2 (t) dt
右端不显含 t，代数方程组
f g
( x1 , ( x1 ,
x2 x2
) )
f (x1, g ( x1 ,
渐近稳定）。 为了用直接法讨论方法方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程
系数矩阵记作
dx1 (t ) dt
dx2 (t) dt
A
a1 a2
a1x1
a2 x1
b1
Байду номын сангаас
b2
b1x2
b2 x2
并假定 A 的行列式 det A 0 于是原点 P0 (0, 0) 是方程（9）的唯一平衡点，它的稳定性由的特征方程
第五节 微分方程稳定性理论简介
这里简单介绍下面将要用到的有关内容：
一、 一阶方程的平衡点及稳定性
设有微分方程 dx f (x) dt
右端不显含自变量 t，代数方程
f (x) 0
的实根 x x0 称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解）
如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解 x(t) 都满足
x20 )(x1
f x1
gx1
x10 )
x2 P0 ( x10 , x20 )
gf x2
由上表可以看出，根据特征方程的系数 p, q 的正负很容易判断平衡点的稳定
一阶微分方程的平衡点及其稳定性(精)
F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点
xx 0 x x0 x
0
设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，
都有
lim x ( t ) x , 称x0是方程(1)的稳定平衡点 0 t
产量模型
稳定性判断
F ( x0 ) E r, F ( x0 ) 0, F ( x1 ) 0
E r F ( x0 ) 0, F ( x1 ) 0
E~捕捞强度
x0稳定, x1不稳定
x0不稳定, x1稳定
r~固有增长率
F ( x0 )(x x0 ) (2) x
不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法 (1)的近似线性方程
F ( x0 ) 0 x0稳定(对(2), (1)) F ( x0 ) 0 x0不稳定(对(2), (1))
6.1
背景
捕鱼业的持续收获
• 再生资源（渔业、林业等）与 非再生资源（矿业等） • 再生资源应适度开发——在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益。
• 鱼销售价格p
• 单位捕捞强度费用c 收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE
单位时间利润
R T S pEx cE
E R( E ) T ( E ) S ( E ) pNE(1 ) cE r r c r E ( 1 ) E* 求E使R(E)最大 R 2 pN 2 2 rN c 渔场 x N (1 E R ) N c hR (1 2 2 ) R 4 p N 2 2p 鱼量 r
建模
捕捞情况下 渔场鱼量满足
(完整word版)稳定性理论
微分方程的稳定性理论简介一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程()()t f x x •= （1）右端方程不显含自变量t ，称为自治方程。
代数方程()0f x =的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或齐点）它也是方程（1）的解（齐解）。
如果存在某个邻域，使方程（1）的解()x t 从这个邻域内的某个(0)x 出发，满足0lim ()t x t x →∞= （3）则称平衡点0x 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称0x 是不稳定的(不渐近稳定)判断平衡点0x 是否稳定点通常有两种方法。
利用定义即（3）式称间接法。
不求方程（1）的解()x t ，因而不利用（3）式的方法称直接法。
下面介绍直接法。
将()f x 在0x 点做Taylor 展开，只取一次项，方程（1）近似为'00()x t f x x x •=-（）（） （4） （4）称为（1）的近似方程，0x 也是方程（4）的平衡点。
关于0x 点稳定性有如下结论：若'0f x （）<0, 则0x 对于方程（4）和（1）都是稳定的； 若'0f x （）>0，则0x 对于方程（4）和（1）都是不稳定的。
0x 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）式证明，因为若记'0()f x a =，则（4）的一般解是0()at x t ce x =+其中c 是由初始条件决定的常数，显然，当0a <时（3）式成立。
二阶方程的平衡点和稳定性二阶方程可用两个一阶方程表示为112212()(,)()(,)x t f x x x t g x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩gg（6）右端不显含t ，是自治方程。
代数方程组 1212(,)0(,)0f x xg x x =⎧⎨=⎩ （7）的实根011x x =，022x x =称为方程（6）的平衡点，记做00012(,)P x x 。
如果存在某个邻域，使方程（6）的解1()x t ，2()x t 从这个邻域内的某个12((0),(0))x x 出发，满足011lim ()t x t x →∞= ，022lim ()t x t x →∞= （8）则称平衡点0P 是稳定的（渐近稳定）；否则，称0P 是不稳定的（不渐近稳定）。
微分方程的稳定性理论
微分方程的稳定性理论微分方程的稳定性理论是研究微分方程解的行为随参数变化而产生的稳定性问题的数学分支。
在许多实际问题中，人们常常需要分析微分方程在不同参数下的解的性质，以便更好地理解系统的行为和动态特性。
稳定性的概念稳定性是指微分方程解在初始条件或参数扰动下的响应行为。
在微分方程中，对解的稳定性主要分为几种类型：1.渐近稳定：解会收敛到一个稳定的状态。
2.指数稳定：解在某稳定状态附近呈指数形式衰减或增长。
3.李雅普诺夫稳定：指解相对于初始值的具体指数速度趋于稳定。
4.中立稳定：解在稳定状态周围有振荡。
稳定性分析方法微分方程的稳定性理论为研究者提供了一些方法来分析解的稳定性：李雅普诺夫方法李雅普诺夫方法是一种常用的稳定性分析方法，通过构造一个李雅普诺夫函数来研究解的收敛性。
这种方法适用于线性和非线性系统，并且可以用来证明解的全局稳定性。
极限环方法极限环方法是另一种常用的稳定性分析方法，通过将微分方程线性化为极限环系统，探索极限环周围解的动态特性来确定系统的稳定性。
这种方法对周期解和周期性解的稳定性问题有很好的应用。
拉普拉斯变换方法拉普拉斯变换方法是用于求解线性微分方程的一种方法，可以将微分方程转化为代数方程，从而快速得到解的稳定性特性。
这种方法适用于线性系统和光滑函数的稳定性分析。
应用领域微分方程的稳定性理论在许多领域都有着广泛的应用，例如控制理论、动力系统和生态学等。
通过稳定性分析，研究者可以更好地理解系统的稳定性特性和动态行为，为实际问题的解决提供理论支持。
结论微分方程的稳定性理论是微分方程研究中一个重要而深刻的领域，它为研究者提供了丰富的稳定性分析方法和技术工具。
通过深入研究微分方程的稳定性问题，我们可以更好地理解系统的动态特性，为科学研究和工程实践提供理论支持。
微分方程稳定性理论简介
第五节 微分方程稳定性理论简介这里简单介绍下面将要用到的有关内容：一、 一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程()dxf x dt= （1） 右端不显含自变量t ，代数方程()0f x = （2）的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解）如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解()x t 都满足0lim ()t x t x →∞= （3）则称平衡点0x 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称0x 是不稳定的（不渐近稳定）。
判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不求方程（1）的解()x t ，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。
将()f x 在0x 做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为：0'()()dxf x x x dt=- （4） （4）称为（1）的近似线性方程。
0x 也是（4）的平衡点。
关于平衡点0x 的稳定性有如下的结论：若0'()0f x <，则0x 是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。
若0'()0f x >，则0x 不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点0x 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是0'()0()f x t x t ce x =+ （5）其中C 是由初始条件决定的常数。
二、 二阶（平面）方程的平衡点和稳定性方程的一般形式可用两个一阶方程表示为112212()(,)()(,)dx t f x x dtdx t g x x dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （6）右端不显含t ，代数方程组1212(,)0(,)0f x x g x x =⎧⎨=⎩ （7） 的实根0012(,)x x 称为方程（6）的平衡点。
记为00012(,)P x x 如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解12(),()x t x t 都满足101lim ()t x t x →∞= 202lim ()t x t x →∞= （8） 则称平衡点00012(,)P x x 是稳定的（渐近稳定）；否则，称P 0是不稳定的（不渐近稳定）。
微分方程稳定性定理
微分方程稳定性定理微分方程是数学中的一种基础工具，它描述了自然界中的许多现象，例如物理学中的运动、力学、电路等等。
那么如何判断一个微分方程解的稳定性呢？这就需要用到微分方程稳定性定理。
微分方程稳定性定理是微分方程理论中的一个基础定理，通过研究微分方程的解的奇点的性质，可以判断微分方程的解的稳定性。
微分方程的解的稳定性与它的初值条件和参数有关。
下面我们来详细介绍微分方程稳定性定理。
首先，我们来看一个简单的微分方程的例子：$y'=-y$这个微分方程的解为$y=Ce^{-x}$，其中$C$为常数，在不同的初值条件下，这个微分方程的解会发生不同的情况。
如果初值条件为$y(0)>0$，那么解曲线将呈现出一种渐近逼近某个值的趋势，也就是我们所说的稳定性；如果初值条件为$y(0)<0$，那么解曲线将呈现出一种指数增长的趋势，也就是我们所说的不稳定性。
对于一个一阶微分方程$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$，如果它的所有解在某一点$(x_0,y_0)$处存在且唯一，而且$f(x_0,y_0)=0$，那么称这个点$(x_0,y_0)$为微分方程的一个奇点。
奇点可以分为以下三类：1.鞍点若在$(x_0,y_0)$附近的任意一个点$(x,y)$，都有$f(x,y)\neq0$，那么$(x_0,y_0)$就是鞍点，这个点是微分方程的不稳定平衡点。
2.稳定平衡点若在$(x_0,y_0)$附近的所有点$(x,y)$，都有$f(x,y)$的符号相同，那么$(x_0,y_0)$就是稳定平衡点，这个点是微分方程的稳定平衡点。
3.不稳定平衡点若在$(x_0,y_0)$附近的所有点$(x,y)$，都有$f(x,y)$的符号不同，那么$(x_0,y_0)$就是不稳定平衡点，这个点是微分方程的不稳定平衡点。
接下来我们来介绍微分方程稳定性定理，微分方程稳定性定理包含了两个基本的结论：稳定性定理和不稳定性定理。
阶微分方程的平衡点及其稳定性
数值模拟验证
通过数值模拟，我们验证了理论分析的正确性，并展示 了平衡点的稳定性和动态行为。
ABCD
稳定性分析
通过分析微分方程的线性化矩阵，我们确定了平衡点的 稳定性，并给出了稳定性条件。
应用价值
阶微分方程的平衡点及其稳定性研究在物理、工程、生 物等领域具有广泛的应用价值。
研究展望
深入研究其他类型的平衡点
PART 02
阶微分方程基础
REPORTING
WENKU DESIGN
定义与分类
一阶微分方程
描述一个变量随时间变化的速率与其当前值有关的方程。
二阶微分方程
描述一个变量的变化率与该变量的当前值和其变化率有关的方程。
高阶微分方程
描述一个变量的变化率与该变量的多个历史值有关的方程。
平衡点的概念
平衡点
阶微分方程的平衡点 及其稳定性
https://
REPORTING
• 引言 • 阶微分方程基础 • 平衡点的稳定性分析 • 平衡点的分岔现象 • 数值模拟与实例分析 • 结论与展望
目录
PART 01
引言
REPORTING
WENKU DESIGN
主题简介
阶微分方程是描述系统动态行为的数 学模型，平衡点是微分方程的解，表 示系统在某一状态下保持稳定。
当系统的参数发生变化时，平衡点的稳定性可能会发生改变，导致系统行为发生 突然变化，这种现象称为分岔。
分岔的类型与判别
01
叉形分岔
当系统参数变化时，平衡点数量 发生改变，从两个平衡点变为一 个或从一个变为两个。
鞍-结分岔
02
03
霍普夫分岔
当系统参数变化时，平衡点从稳 定变为不稳定或从不稳定变为稳 定。
微分方程的稳定性理论概览
微分方程的稳定性理论概览微分方程是描述自然界中各种现象演化规律的数学工具，而微分方程的稳定性理论则是研究方程解的渐近行为的一个重要分支。
在动力系统中，稳定性理论是研究系统在微小扰动下的性质，以此来预测系统的长期行为。
本文将对微分方程的稳定性理论进行概述。
稳定性的概念在微分方程的稳定性理论中，稳定性是指当自变量（通常是时间）趋于无穷远时，因变量（方程解）的行为。
一个解在某些条件下可能会趋向一个有限值，这种情况被称为渐近稳定。
另一方面，如果解在微小扰动下会发生显著的变化，这种情况被称为不稳定。
稳定性的分类稳定性可以分为以下几种类型： 1. 渐近稳定：当时间趋于无穷时，解趋向于一个有限值。
2. 李亚普诺夫稳定：解在某种度量下趋向于零。
3. 指数稳定：解以某种指数速率趋近于零。
4. 分歧稳定：解在某些区域内保持稳定，但在其他区域内不稳定。
稳定性的判定方法判定微分方程解的稳定性是微分方程理论的关键问题。
常用的方法有： 1. 利雅普诺夫稳定性定理：通过证明存在一个李亚普诺夫函数，证明解在该函数下渐近稳定。
2. 极限环稳定性判据：利用系统的特征值研究系统的稳定性。
3. 稳定性的Lyapunov方法：通过构造Lyapunov函数判定系统的稳定性。
稳定性在实际问题中的应用微分方程的稳定性理论在生物学、化学、物理学等领域都有广泛的应用。
例如，在天体力学中，稳定性理论用于研究行星轨道的长期性质；在生物学中，通过稳定性理论可以研究生态系统的稳定性。
稳定性理论为实际问题的预测和解决提供了有力的数学工具。
结语微分方程的稳定性理论是微分方程理论中的一个重要分支，对系统的稳定性进行分析是研究微分方程解的基础。
通过本文的概览，读者可以了解稳定性的概念、分类、判定方法和应用，进一步深入学习微分方程稳定性的理论。
愿本文能给读者带来启发和帮助。
一阶微分方程的平衡点及其稳定性
封闭式捕捞追求利润 追求利润R(E)最大 最大 捕捞 封闭式捕捞追求利润
ER
过度 开放式捕捞只求利润 开放式捕捞只求利润 只求利润R(E) > 0
令 E R ( E ) = T ( E ) S ( E ) = pNE (1 ) cE =0 r
r c = (1 ) 2 pN
c Es = r (1 ) pN
6.1
背景
捕鱼业的持续收获
再生资源（渔业、林业等）与 再生资源（渔业、林业等） 非再生资源（矿业等） 非再生资源（矿业等） 再生资源应适度开发 再生资源应适度开发——在持续稳 在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益。 产前提下实现最大产量或最佳效益。
问题 及 分析
在捕捞量稳定的条件下，如何控 捕捞量稳定的条件下 的条件下， 制捕捞使产量最大或效益最佳。 制捕捞使产量最大或效益最佳。 如果使捕捞量等于自然增长量，渔 如果使捕捞量等于自然增长量， 场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。 场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。
F(x) = 0
f 与h交点 交点P 交点
0 x0*=N/2 x0
N
E < r x0稳定
P的横坐标 x0~平衡点 的横坐标 平衡点
* *
x
P的纵坐标 h~产量 的纵坐标 产量
* E* = hm / x0 = r / 2
产量最大 P ( x0 = N / 2, hm = rN / 4)
控制渔场鱼量为最大鱼量的一半
建模
捕捞情况下 渔场鱼量满足
记 F ( x ) = f ( x ) h( x )
x x ( t ) = F ( x ) = rx (1 ) Ex N
不需要求解 不需要求解x(t), 只需知道 稳定的条件 只需知道x(t)稳定的条件
微分方程稳定性
目录摘要 (3)ABSTRACT (4)前言 (5)微分方程稳定性分析原理 (6)捕鱼业的持续收获模型 (10)种群的相互竞争模型 (14)参考文献 (18)摘要微分方程稳定性理论是微分方程的一个重要的理论。
微分方程理论就是通过一些定量的计算来研究系统的稳定性，也就是系统在受到干扰项偏离平衡状态后能否恢复到平衡状态或者是平衡状态附近的位置。
用微分方程描述的物质运动的特点依赖于初值，而初值的计算或者测定不可避免的又会出现误差和干扰。
如果描述这个系统运动的微分方程的特解是不稳定的，则初值的微小误差和干扰都会导致严重的后果。
因此，不稳定的特解不适合作为我们研究问题的依据，只有稳定的特解才是我们需要的。
本文就一阶微分方程和二阶微分方程的平衡点及稳定性进行了分析，并且建立了捕鱼业持续收获模型和两种群相互竞争模型。
【关键词】微分方程；平衡点；稳定性；数学建模ABSTRACTDifferential equation stability theory is an important theory of differential equations. Differential equation theory is to study the stability of the system by some quantitative calculation, also is the system in the disturbance of deviating from the equilibrium state after the item will return to equilibrium or is near the equilibrium position. Using differential equation to describe the characteristics of the material movement depends on the initial value, and the calculation of initial value or determination of the inevitable will appear the error and interference. If the special solution of the differential equation describing the system movement is unstable, the initial value of small errors and interference will lead to serious consequences.Therefore, special solution is not suitable for the unstable as the basis of our research question, only stable solution is we need. In this paper, the first order differential equation of second order differential equation and the balance and the stability are analyzed, and the fishing sustained yield model is established and two species and two species competing models.【key words】Differential equations; Balance; Stability; Mathematical modeling前言在现实世界里，无论是在自然科学或者是社会科学的各领域中，存在着许许多多的变化规律可以用某些特定的数学模型来进行描述。
微分方程的稳定性理论
微分方程的稳定性理论微分方程是数学中重要的工具和概念，广泛应用于自然科学和工程学科中。
微分方程的稳定性理论是研究方程解在不同条件下的稳定性和收敛性的分析方法。
本文将介绍微分方程的稳定性理论，并探讨其在实际问题中的应用。
一、引言微分方程的稳定性理论是数学分析中重要的分支之一。
通过对微分方程解的行为进行分析，可以判断系统的稳定性以及解的长期行为。
稳定性分析有助于我们理解和预测系统的演化趋势，对于控制工程、物理学、生物学等学科有着重要的应用价值。
二、稳定性的定义与分类在微分方程的稳定性理论中，稳定性是指系统在扰动下是否会趋向于一个平衡状态。
根据系统的特性，稳定性可以分为渐近稳定、指数稳定和有界稳定等。
渐近稳定是指当系统受到小幅度扰动时，解会渐渐趋向于某个特定的平衡状态。
指数稳定是指系统的解在一定时间内呈指数级收敛到平衡状态。
有界稳定是指系统的解在一定时间内保持在一个有限范围内，不会无限制地增长或衰减。
三、线性系统的稳定性线性微分方程是稳定性分析的基础。
对于线性系统，可以通过特征值的判别方法来确定其稳定性。
当系统的特征值具有负实部或纯虚部时，系统是渐近稳定或有界稳定的。
而当系统的特征值具有正实部时，系统是不稳定的。
四、非线性系统的稳定性对于非线性系统，稳定性分析更加复杂。
常用的方法包括线性化分析、相平面分析和拉普拉斯方法等。
线性化分析将非线性系统近似为线性系统，通过线性系统的稳定性来判断非线性系统的稳定性。
相平面分析通过绘制相图来分析解的长期行为，进而判断系统的稳定性。
拉普拉斯方法将微分方程转化为代数方程进行求解，求得系统的稳定解。
五、应用示例微分方程的稳定性理论在实际问题中有着广泛的应用。
以控制系统为例，稳定性分析可以帮助我们设计合适的控制策略以稳定系统。
此外，在物理学中，稳定性分析常用于研究天体运动、流体力学等问题。
在生物学中，稳定性分析可以用于研究生物种群的增长和竞争关系等。
六、总结微分方程的稳定性理论是数学分析中重要的内容，对于系统行为的理解和预测有着重要的意义。
微分方程的稳定性与解存在性分析
微分方程的稳定性与解存在性分析在数学领域中，微分方程是研究物理、工程、经济和生物等领域中数学建模的一种重要工具。
微分方程的稳定性和解的存在性是微分方程理论中的核心概念。
本文将对微分方程的稳定性和解的存在性进行分析。
一、微分方程的稳定性分析微分方程的稳定性描述了解的行为在不同条件下的稳定情况。
稳定性的分析通常包括平衡点的稳定性和解的稳定性两个方面。
1. 平衡点的稳定性平衡点是微分方程中解保持不变的点。
考虑一个一阶常微分方程dy/dt=f(y)，当f(y)=0时，y的值处于平衡点。
为了判断平衡点的稳定性，有以下三种情况：a) 当f'(y)<0时，该平衡点是稳定的。
意味着当y离开平衡点时，解会回到平衡点附近。
b) 当f'(y)>0时，该平衡点是不稳定的。
当y离开平衡点时，解将远离平衡点。
c) 当f'(y)=0时，无法确定平衡点的稳定性，需要进行进一步的分析。
2. 解的稳定性除了平衡点的稳定性，我们还可以研究解本身的稳定性。
一般来说，稳定解具有以下特征：a) 收敛性：解在特定的条件下趋于一个有限的值。
b) 渐进稳定：解在无穷远处趋于零。
通过稳定性分析，我们可以判断系统是否具有趋于稳定状态的性质，这对于系统控制、优化问题等具有重要意义。
二、微分方程的解存在性分析解的存在性是对微分方程是否能找到满足特定条件的解进行研究。
下面介绍两个常见的解存在性定理。
1. 皮卡-林德勒夫定理对于连续函数f(x,t)和初始条件x(t0)=x0，如果f(x,t)满足利普希茨条件，则方程dx/dt=f(x,t)在区间[t0,t1]上存在唯一的解。
利普希茨条件是指存在一个常数L，使得对于t∈[t0,t1]和x1、x2∈Rn，满足|f(x1,t)-f(x2,t)|≤L|x1-x2|。
2. 广义皮卡-林德勒夫定理对于非线性连续函数f(x)和初始条件x(t0)=x0，如果f(x)满足利普希茨条件，且满足一定的增长条件，则方程dx/dt=f(x)在区间[t0,t1]上存在解。
稳定性理论
二、稳定性理论 （连续动力系统）（根据建立的微分方程的特性，研究充分长时间后，动态过程的变化趋势。
）1.微分方程稳定性理论简介一、一阶方程的平衡点及其稳定性1．定义1： ()()x t f x = （1）若右端不显含t ，称为自治系统。
定义2：()0f x =的根0x x =，称为（1）的平衡点（奇点，不动点），它也是（1）的奇解。
定义3：若对任意初值，（1）的解()x t 满足：0lim ()t x t x →∞=，称平衡点0x x =全局渐进稳定（？）2.定理：方程（1）的平衡点0x ：若0()0f x '<，则0x 稳定；若0()0f x '>，则0x 不稳定。
证明：将()f x 在0x 处作泰勒展开，只取一次项：00()()()x t f x x x '=- （2）（2）称为（1）的线性近似方程。
0x 也是（2）的平衡点。
方程（2）的解为：0()0()f x t x t x ce'⋅=+ 因为：000,()0lim (),()0t x if f x x t if f x →∞'<⎧=⎨'+∞>⎩，故结论成立。
注：？二、方程组的相平面，平衡点及其稳定性1.定义1：()(,)()(,)x t f x y y t g x y =⎧⎨=⎩ (1)若（1）右端不显含t ，称为自治系统。
定义2：（1）的解曲线（积分曲线）在xOy面的投影称为（1）的相轨线，xOy 平面称为（1）的相平面。
定义3：(,)0(,)0f x y g x y =⎧⎨=⎩的实根,x a y b ==组成的点(,)P a b 称为（1）的平衡点，(),()x t a y t b ==也是（1）的解，此时相轨线退化为点 (,)P a b定义4：对于不是奇点的轨线，当t 增加时，动点(,)P x y 在轨线上沿一定方向运动，对应t 增加的方向称为轨线的正方向。
微分方程3——稳定性分析
使得离散自治系统
x1 f1 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0
x
2
f 2 ( x1 , x2 ,...,
xn ) 0
......
xn f n ( x1 , x2 ,..., xn ) 0
成立的点x0=(x10, x20, ... ,xn0)称为其平衡点。
如果 lim x(n) x0，则称其为稳定平衡点，否则称为 n
,
N2 (1 2 1 1 2
)
,
P4(0,0)
仅当1, 2 < 1或1, 2 > 1时，P3才有意义
x1 (t)
r1x11
x1 N1
1
x2 N2
x2 (t)
r2 x2 1 2
x1 N1
x2 N2
模型分析
平衡点及其稳定性
由
A
f x1 g x1
fx2 gx2
r1
1
2 x1 N1
更一般的，对线性离散自治系统
x ( n 1) Ax ( n ) b A x ( n ) A 1b
若A的所有特征值λ都有|λ|<1,那么A-1b是它稳定的平衡点。
对线性自治系统
x Ax b
若A的所有特征值λ都有λ<0, 那么A-1b是它稳定的平衡点。 反之，不是稳定平衡点。
2
微分方程的稳定性
1x2
N2
r2 2 x2
N1
r11x1
N2
r2
1
2 x1
N1
2x2 N2
和
p ( f x1 g x2 )
,pi
q det A
,
pi
i 1,2,3,4
得
平衡点 Pi 稳定条件： p > 0 且 q > 0
微分方程稳定性
x0
则称平衡点 x0 是稳定的；否则称为不稳定的。
稳定点的判断方法：直接法和间接法。 间接法：定义
例7 本章第2节中的Logistic模型
dN k(K N)N dt 共有两个平衡点：N=0和N=K，分别对应微分方程的两 两个特殊解。前者为No=0时的解而后者为No=K时的解。
当No<K时，积分曲线N=N(t)位于N=K的下方；当No>K时，则 位于N=K的上方。从图3-17中不难看出，若No>0，积分曲线在N 轴上的投影曲线（称为轨线）将趋于K。这说明，平衡点N=0和 N=K有着极大的区别。
定义1
自治系统 dx 的空间Rn。dt
f (x)的相空间是指以（x1,…,xn）为坐标
特别，当n=2时，称相空间为相平面。
空间Rn的点集{(x1,…,xn)}|xi=xi(t)满足(3.28)，i=1,…,n}称 为系统的轨线，所有轨线在相空间的分布图称为相图。
图3-17
直接法：考虑近似线性方程
2.二阶方程的平衡点和稳定性 考虑
x&1 (t ) x&2 (t)
f (x1, g ( x1 ,
x2 ), x2 ),
(6)
方程组
f g
( x1 , ( x1 ,
x2 ) x2 )
0, 0,
的解： x1 x10 , x2 x20 为自治方程（6）的平衡点，记作：P0 ( x10 , x20 ) 。
p=0,q>0
不稳定退化结点 稳定焦点 不稳定焦点 中心
不稳定 稳定 不稳定 不稳定
判断准则：
1.若
p 0, q 0
则平衡点稳定；若
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李敖:與大陸軍備競賽會拖垮台灣 2005-6-23 【大公網訊】 無黨籍「立委」李敖 23 日表示，台灣 與大陸軍備競賽是三輪車追汽車，越追越 遠，還未與大陸開戰，台灣的經濟就會被 拖垮，如同前蘇聯與美國軍備競賽，因經 濟崩潰而解體，因此不應購買愛國者三型 飛彈等三項軍購。
2
将f(x)在x0点作Taylor展开，只取一次项， 方程(1)近似为 & (t ) = f ′( x0 )( x − x0 ), x (4) (4)称为(1)的近似线性方程，x0也是方程(4)的 平衡点. 关于x0点稳定性有如下结论： 若f '(x0) < 0，则x0对于方程(4)和(1)都是 稳定的; 若f '(x0) > 0，则x0对于方程(4)和(1)都是 不稳定的.
6.6 微分方程稳定性理论简介 一阶方程的平衡点及稳定性 设有微分方程
& (t ) = f ( x ), x
(1)
右端不含字变量t，称为自治方程. 代数方程 f(x) = 0 (2) 的实根x = x0称为方程(1)的平衡点(或奇点). 它 也是(1)的解(奇解).
1
如果存在某个邻域，使方程(1)的解x(t) 从这个邻域内的某个x(0)出发，满足 lim x (t ) = x0 , (3) t →∞ 则称平衡点x0是稳定的(稳定性理论中称渐进 稳定); 否则，称x0是不稳定的(不渐进稳定). 判断平衡点x0是否稳定通常有两种方法. 利用定义即(3)式称间接法. 不求方程(1)的解 x(t)，因而不利用(3)式的方法称直接法. 下 面介绍直接法.
⎪ ⎨ p = −( a1 + b2 ) . ⎪ q = det A ⎩
(13)
将特征根记作λ1, λ2，则 1 λ1 , λ2 = ( − p ± p 2 − 4q ). 2
(14)
8
方程(9)的一般解具有形式 或
c1e + c2 e
λ1t λ1t λ2 t
(λ1 ≠ λ2 )
c1e +ຫໍສະໝຸດ c2 te (λ1 = λ2 ),
10
6.2 军备竞赛 两个国家或国家集团之间由于相互不 信任和各种矛盾的存在、发展而不断增加 自己的军事力量，防御对方可能发动的战 争. 本节介绍L. F. Richardson1939年提出的 一个模型.
11
军备竞赛
(arms race)
军事大国为了实行对外扩张，争夺世界霸权，竞 相增加、提高军事装备的数量和质量，并向高技术领 域发展的特有过程。第一次世界大战以前，主要在英 国和德国之间进行海军竞赛。第二次世界大战以后主 要在美国、苏联两国之间进行，可分为下列几个阶段： ①常规武器竞赛。战后美、苏在冷战中大规模加强常 规军备。双方不断更新各种武器装备和发展现代技术， 以服务于军事、政治目的。②核武器竞赛。20世纪70 年代，美、苏核武器竞争激烈，结果双方拥有世界核 弹头库存总数的97％，同时双方在核武器运载工具、 多弹头分导等高技术领域的研制投入大量人力和物力。 ③太空武器竞赛。
λ1t
c1, c2为任意常数. (注意：课本p199是否误为 λt −λ t c1e + c2te (λ1 = λ2 ) )
1 1
9
按照稳定性的定义(8)式可知，当λ1, λ2 均为负数或均有负实部时P0(0, 0)是稳定平 衡点; 而当λ1, λ2有一个为正数或有正实部 时P0(0, 0)是不稳定平衡点. 在条件(11)下λ1, λ2均不为零. 按上述理论可得根据特征方程的系数p, q的正负来判断平衡点稳定性的准则： 若 p > 0, q > 0，则平衡点稳定; 若 p < 0, q < 0，则平衡点不稳定. 对一般的非线性方程(6)，仍可在平衡 点作一次Taylor展开，得常系数的近似线性 方程来讨论.
12
军事分析家平可夫: 中日军备竞赛由隐形转向有形 /letter/ 加入日期 2005-5-24 9:02:37 点击次数： 3 防卫厅消息来源声称过去一年以来，航空自卫 队在日本排他经济水域周围监视中国军用飞机的次 数明显增多。它们大半是侦察机。在海上，中国海 军的最新型俄式 “ 现代 ” 导弹驱逐舰的活动也比较频 繁。冷战时代苏联海军太平洋舰队的 “现代”级导弹 驱逐舰经常航行在东海海域，目前中国出现的频率 超过了俄罗斯海军。
3
注: x0点对方程(4)稳定性很容易由定义 (3)证明：记f '(x0) = a，则(4)的一般解为 x(t) = ceat + x0 (5) 其中常数c由初始条件确定，显然，a < 0时 (3)式成立.
4
二阶方程的平衡点和稳定性 二阶方程可用两个一阶方程表为
&1 (t ) = f ( x1 , x2 ) ⎧x , ⎨ & 2 (t ) = g ( x1 , x2 ) ⎩x
(9)
(非齐次方程组，可用平移的方法(x1= u1+c1, x2 = u2+c2)化为齐次方程组) 系数矩阵记作
⎛ a1 A=⎜ ⎜b ⎝ 1 a2 ⎞ ⎟ , ⎟ b2 ⎠
(10)
为研究方程(9)的唯一平衡点P0(0, 0)的稳定 性，假定A的行列式 detA ≠ 0 . (11)
7
P0(0, 0)的稳定性由(9)的特征方程 det(A − λI) = 0 (12) 的根λ(特征根)决定. 方程(12)可以写成更加明晰 的形式 ⎧λ2 + pλ + q = 0
(6)
右端不显含t，是自治方程. 代数方程组
⎧ f ( x1 , x2 ) = 0 ⎨ ⎩ g ( x1 , x2 ) = 0
(7)
的实根x1 = x10, x2 = x20称为方程(6)的平衡点， 记作P0(x10, x20).
5
如果存在某个邻域，使方程 (6) 的解 x1(t), x2(t)从这个邻域内的某个(x1(0), x2(0)) 出发，满足
lim x1 (t ) = x10
t →∞ t →∞
lim x2 (t ) = x
0 2
,
(8)
则称平衡点P0是稳定的(渐进稳定); 否则， 称P0是不稳定的(不渐进稳定).
6
先看线性常系数方程
&1 (t ) = a1 x1 + a2 x2 ⎧x , ⎨ & 2 (t ) = b1 x1 + b2 x2 ⎩x