随机信号分析基础chapter①王永德 答案

多维随机变量函数的分布
pY ( y1, y2 ,, yN ) pX ( x1, x2 , xN ) J
其中
f 1 y 1 J f 1 y N f N y1 f N y N
4 随机变量的特征函数及其性质
故X与Y是正交的. 又E[Y ] E[6 X 22] 6 3 22 4 E[ X ]E[Y ] 3 4 12
有E[ XY ] 0 E[ X ]E[Y ] 12
故X与Y是相关的.
所以
z2 1 1 pZ ( z1 , z2 ) p( x, y ) p( , z1 ) y z1 y
求边缘概 率密度得:
pZ ( z ) pZ ( z2 ) pZ ( z1, z2 )dz1





1 1 z z p( , z1 )dz1 p( , y)dy y z1 y y
n
X和Y的n+k阶联合原点矩
mnk E[ X Y ]
n k
X和Y的n+k阶联合中心矩
nk E{( X E[ X ]) (Y E[Y ]) }
n k
随机变量数字特征的性质
E[ X Y ] E[ X ] E[Y ]
D[ X ] E[ X ] E [ X ]
2 2
统计独立 不相关 互相正交
Z Y1 Y2
pZ ( z) pY1 ( z) pY 2 ( z);
因为它们是独立的，所以有：
由(1)可知：
pY1 ( z ) Pi ( z ) ( z yi )
i 1 n 1
pY2 ( z ) Pj ( z ) ( z y j )
j 1
n 1
所以：
1.13 解：由 E[Y 2 ] 1; E[Z 2 ] 1; E[YZ ] 0; 可得三个方程：
(1) a 2 2 1; (2) b 2 a 2 c 2 a 2 2bc 1; (3) ab 2 ac 0;
联解以上三个方程可得：
1 a ;b ;c ; 4 2 4 2
E[ X ] E[ xi ] 0;
D[ xi ] i2 2 D[ X ] n n n
所以 X ~ N (0,
X
2
n
)
nx exp( 2 ) 的概率密度为 2 2
n
2
(2)解法二：从特征函数的角度来证明它是高斯随机 变量。 因为
xi N (0, )
2
2u 2 2
n1 n1 pZ ( z ) Pi ( z ) ( z yi ) Pj ( z ) ( z y j ) i 1 j 1
• 因此：
n1 pZ ( z ) Pi ( z ) Pj ( z ) ( z yi y j ) i 1 j 1
2
0
pR (r , )d
0
r

r
2
e


r2 2 2
p ( ) pR (r , )dr
r2 2 2
2
2
e
1 dr 2
表述问题：
P( R, ) R 2
2
2
不完整解：
e
R2 2 2
P( R)
R

e

R2 2
2
pR ( r )




x 2 dx
2
3
所以
D[ X ]
2
3
(2)由特征函数的定义可知:
1 jux C ( ju ) p ( x)e dx e dx 2 1 1 jux ju ju de [ e e ] 2 ju 2 ju 1 sin u * 2 j sin u 2 ju u
1 pX ( x ) 2 1 2




C X (u )e jux du e n du e 2
x2
2 2

e
2u 2 2 n jux
n
从表达式可看出，这是高斯随机变量的概率密度函数。
（3）解法一：
根据中心极限定理，无数个独立同分 布的随机变量之和为高斯分布。所以 X 为 近似高斯分布,而不是指数分布了。
第一章 随机变量基础
本章要点： 1 . 随机变量的概率分布及其概率密度
FX ( x) P( X x)
F ( x1 , x2 ,, xn )
dF ( x ) p ( x) dx
P{ X 1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn }
对于离散随机变量，其概率密度函数为:
p ( )

r 2
r
2

e


r2 2 2
d

r2 2 2
1 P( ) 2

2
e 2
dr
正确解答：
pR ( r )
p ( )
2
r 2
r
2

0
e

r2 2
2
d
r

2
e

r2 2 2

r2 2 2
0
2
2
e
1 dr 2
p XY ( x, y) p X ( x) pY ( y)
RXY E[ X ]E[Y ]
RXY 0
若X、Y是二个相互独立的随机变量，则有
E[ XY ] E[ X ]E[Y ]
3 随机变量的函数
一维随机变量单调函数Y=g(X)的分布
dx pY ( y) p X ( x) J p X ( x) dy
所以雅可比式为：
X J R X Y R cos Y R sin sin R R cos
因此r, θ联合密度函数：
pR (r , ) pXY ( x, y) J
边缘概率密度函数为：
r 2
2
e

r2 2 2
pR (r )
0

jux
1.7 解:(1)由量化器特性图可知：
pY ( y ) Pi ( y ) ( y yi )
其中：
i 1
n 1
Pi ( y)
且有
xi
xi 1
p( x)dx
x0 0; xn1
不完整解：
pY ( y yi ) p( x)dx
xi1
xi
(2)
n 1
其中：
Pi ( z) e dx ex Nhomakorabeaxi 1
xi
xi 1
e
xi
Pj ( z) e dx e
x x j 1
xj
x j 1
e
x j
1.8
1 n 1 n 1 n (1)解: E[ X ] E[ xi ] E[ xi ] i n i 1 n i 1 n i 1
1.11
解： 由于 x, y是统计独立的，有
p( x, y) p( x) p( y)
X N (0, );Y N (0, )
2 2
所以 x, y的联合概率密度函数为：
p( x, y)
1 2
2
e

x2 y 2 2 2
又因有 X R cos ; Y R sin
n 1 n 1 D( X ) D( xi ) 2 D( xi ) n i 1 n i 1 1 n 1 n 2 2 [ D( xi )] 2 i n i 1 n i 1
(2) 解法一： 根据题意：令 i 0, i2 2 . 由于独立同分布的高斯变量的线性组合 仍为高斯变量，所以 X 为高斯变量。
dF ( x) p ( x) pi ( x xi ) dx i
2.随机变量的数字特征 均值 方差
mX E[ X ]
D[ X ] E{( X E[ X ]) }
2 X 2
n阶原点矩
mn E[ X ] n 1,2,
n
n阶中心矩
n E{( X E[ X ]) } n 1,2,
解方法二: 可采用(2)的方法,先求特征函数,再求概 率密度,由于计算复杂这里不累述.
1.10 解： 设 Z1 Y ; Z2 XY
则反函数为： Y Z1; X
则雅可比式为：
Z2
Y
Y Z 2 1 0 1 1 X 0 Y Y Z 2
Y Z 1 J X Z 1
所以它的特征函数为 C xi (u ) e 由性质可知：
Cxi (u) e
n
2u 2 2 2n
根据两两相互独立的随机变量之和的特征函数等 于各个随机变量的特征函数之积这一性质可得：
1.8
CX (u) Cxi (u) e
i 1 n n
2u 2 2n
这样就可通过傅立叶反变换求它的密度函数
C ( ju) E[e
juX
] e


jux
p( x)dx
随机变量的特征函数与概率密度是一对傅立叶变换。 重要性质： 1. 两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于 各个随机变量的特征函数之积。 即：两两相互独立随机变量之和的概率密度等于 两随机变量的概率密度的卷积。 2. 随机变量X的n阶原点矩，可由其特征函数的n次 导数求得。 n
d C X (u) E[ X ] ( j ) n (du)
n n