§2.2 基本不等式与不等式的综合应用(试题部分)

§2.2 基本不等式与不等式的综合应用

基础篇固本夯基

【基础集训】

考点一 基本不等式及其应用

1.下列结论正确的是 ( ) A.当x>0且x ≠1时,lg x+1

lgx

≥2 B.当x ∈(0,π2

]时,sin x+4

sinx

的最小值为4

C.当x>0时,√x +1x ≥2

D.当0

2.若正数m,n 满足2m+n=1,则1m +1n

的最小值为( ) A.3+2√2 B.3+√2 C.2+2√2 D.3 答案 A

3.已知正数x,y 满足x+y=1,则1x +

4

1+y 的最小值为( )

A.5

B.143

C.92

D.2 答案 C 4.设0

,若1m +

21-2m

≥k 2

-2k 恒成立,则k 的取值范围为( )

A.[-2,0)∪(0,4]

B.[-4,0)∪(0,2]

C.[-4,2]

D.[-2,4] 答案 D

考点二 不等式的综合应用

5.已知关于x 的不等式kx 2

-6kx+k+8≥0对任意x ∈R 恒成立,则k 的取值范围是( ) A.0≤k ≤1 B.01 D.k ≤0或k ≥1 答案 A

6.已知函数f(x)=x 2

+(2m-1)x+1-m,若对任意m ∈[-1,0],都有f(x)>0成立,则实数x 的取值范围为( ) A.(-1,2) B.(1,2)

C.(-∞,-1)∪(2,+∞)

D.(-∞,1)∪(2,+∞) 答案 D

7.已知a>b>0,则a 2+64

b(a -b)

的最小值为 .

答案 32

8.已知函数f(x)=x 2+mx-1,若对于任意x ∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m 的取值范围是 .

答案 (-√2

2

,0)

综合篇知能转换

【综合集训】

考法一 利用基本不等式求最值

1.(2018黑龙江七台河测试)已知m=8-n,m>0,n>0,则mn 的最大值为( ) A.4 B.8 C.16 D.32 答案 C

2.(2019新疆第一次毕业诊断,10)函数y=log a (x-1)+1(a>0且a ≠1)的图象恒过定点A,若点A 在一次函数y=mx+n 的图象上,其中m>0,n>0,则1m +2n

的最小值是( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 C

3.(2019河南信阳一模,8)已知正项等比数列{a n }满足:a 2a 8=16a 5,a 3+a 5=20,若存在两项a m ,a n ,使得√a m a n =32,则1m +4n

的最小值为( )

A.34

B.910

C.32

D.95

答案 A

考法二 一元二次不等式恒成立问题的解法

4.(2018安徽安庆模拟,9)若不等式x 2

+ax+1≥0对一切x ∈(0,12

]恒成立,则a 的最小值是( )

A.0

B.-2

C.-52

D.-3 答案 C

5.(2019福建厦门3月联考,9)对任意m,n ∈R +

,都有m 2

-amn+2n 2

≥0,则实数a 的最大值为( ) A.√2 B.2√2 C.4 D.9

2

答案 B

6.(2018山西太原一模,12)定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),且当x ≥0时, f(x)={-x 2+1,0≤x <1,

2-2x ,x ≥1,若对任意的

x ∈[m,m+1],不等式f(1-x)≤f(x+m)恒成立,则实数m 的最大值是( ) A.-1 B.-12 C.-13 D.13

答案 C

7.(2018江苏南京金陵中学月考,12)已知当0≤x ≤2时,不等式-1≤tx 2

-2x ≤1恒成立,则t 的取值范围是 . 答案 [1,54

]

应用篇知行合一

【应用集训】

1.(2019广东汕头达濠华侨中学、东厦中学第三次联考,10)已知点A,B 是函数y=2x

图象上的相异两点,若点A,B 到直线y=12

的距离

相等,则点A,B 的横坐标之和的取值范围是( )

A.(-∞,-1)

B.(-∞,-2)

C.(-1,+∞)

D.(-2,+∞) 答案 B

2.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是 . 答案 30

3.(2014湖北,16,5分)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v 行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=76 000v

v 2+18v+20l

.

(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为 辆/小时;

(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加 辆/小时. 答案 (1)1 900 (2)100

【五年高考】

考点一 基本不等式及其应用

1.(2019天津,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=5,则√xy

的最小值为 .

答案 4√3

2.(2018天津,13,5分)已知a,b ∈R ,且a-3b+6=0,则2a

+1

8

b 的最小值为 .

答案

14

3.(2017天津,12,5分)若a,b ∈R ,ab>0,则a 4+4b 4+1

ab

的最小值为 .

答案 4

考点二 不等式的综合应用

4.(2017天津,8,5分)已知函数f(x)={x 2-x +3,x ≤1,x +2

x

,x >1.

设a ∈R ,若关于x 的不等式f(x)≥|x

2+a|在R 上恒成立,则a 的取值范围是( ) A.[-47

16

,2] B.[-

4716,3916

] C.[-2√3,2] D.[-2√3,39

16]

答案 A

5.(2019北京,14,5分)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.