含参量积分

F ( x)
含参量积分.
d ( x)
c( x)
f ( x, y)dy,
x [a, b]
为定义在[a, b]上含参量x的正常积分, 简称
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
§1 含参量正常积分
定理19.2(连续性) 设二元函数 f (x, y)在区域
G ( x, y) | c( x) y d ( x), a x b
I ( x) f ( x, y)dy
c
d
(1)
为定义在[a, b]上含参量x的正常积分, 简称 含参量积分.
J ( y) f ( x, y)dx
a
b
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
§1 含参量正常积分
定理19.1(连续性) 设二元函数 f (x, y)在矩形区域 R[a, b][c, d]上连续, 则函数
内的可微函数, 则函数
F ( x)
在[a, b]上可微, 且
F ( x)
含参量反常积分的一致收敛以及欧拉积
分等概念, 掌握含参量正(反)常积分的 性质和反常积分一致收敛性判别法.
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
第十九章 含 参 量 积 分
重点难点: 含参量正(反)常积分的性质, 含参量反常 积分一致收敛判别法, -函数, B-函数 递推公式及它们的关系.
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
I ( x) f ( x, y)dy
c
d
在[a, b]上连续.
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
§1 含参量正常积分
有界闭域上的连续函数是一致连续的.
设二元函数 f (x, y)在有界闭域D上连续, 则 f 在
D上一致连续, 即对 0, 0, 使得对任意D 中的(x1, y1)和(x2, y2), 只要
x1 x2 ,
就有
y1 y2 ,
f x1 , y1 f x2 , y2 .
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
§1 含参量正常积分
定理19.3(可微性) 若函数 f (x, y)与 fx(x, y)都在矩形区 域R[a, b][c, d]上连续, 则
c c a
d
d
b
(8)
闭区间上的连续函数是可积的.
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
§1 含参量正常积分
例1 计算积分
ln(1 x) I dx. 0 1 x2
1
例2 求
xb x a I dx. 0 ln x
1
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
§1 含参量正常积分
作业 P.178. 习题 2. (2); 4. (2) 5. (1). 10(选做)
补充作业
1. 设 f (x,y) ysin(xy), 求出含参量正常积分
I ( x) f ( x, y)dy
0
1
的定义域及函数的表达式. 2(选做). 计算积分
2 0
I
arctan( tan x) dx. tan x
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
§1 含参量正常积分
定义 设 f (x, y)定义在区域
G ( x, y) | c( x) y d ( x), a x b
上. 若对任意x[a, b], 作为y的函数 f (x, y)在 [c(x), d(x)]上可积, 则称积分
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
第十九章 含 参 量 积 分
§1 含参量正常积分 §2 含参量反常积分 §3 欧拉积分
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
第十九章 含 参 量 积 分
基本内容: 含参量正常积分及其性质, 含参量反常 积分及其性质, 含参量反常积分的一致 收敛性及其判别, 欧拉积分. 基本要求: 了解含参量正常积分, 含参量反常积分,
I ( x) f ( x, y)dy
c
d
在[a, b]上可微, 且
d d d f ( x, y )dy f x ( x, y )dy. c dx c
第 §1 含参量正常积分 十 七 拉格朗日中值定理 章
设 f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)可导, 在存在
多 元 函 数 微 分 学
其中(0, 1).
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
§1 含参量正常积分
定理19.5(可积性) 若 f (x, y)在矩形区域R[a, b][c, d] 上连续, 则I(x)和J(y)分别在[a, b]和[c, d]上可积, 且

b
a
dx f ( x, y)dy dy f ( x, y)dx.
§1 含参量正常积分
基本内容: 含参量正常积分及其性质 基本要求: 了解含参量正常积分的概念, 掌握含 参量正常积分的性质, 会利用性质计
一些函数的积分
重点难点: 含参量正常积分的性质及其应用
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
§1 含参量正常积分
定义 设 f (x, y)是定义在矩形区域 R[a, b][c, d]上 的二元函数. 若对任意x[a, b], 作为y的一元 函数 f (x, y)在[c, d]上可积, 则称积分
上连续, 其中c(x), d(x)为[a, b]上的连续函数, 则函数
F ( x)
在[a, b]上连续.
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d ( x)
c( x)
f ( x, y)dy
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
§1 含参量正常积分
定理19.4(可微性) 设 f (x, y)与 fx(x, y)在R[a, b][p, q] 上连续, c(x), d(x)为定义在[a, b]上其值含于[p, q]
(a, b), 使得 f (b) f (a) f ( )(b a),
等价地, 存在(0, 1), 使得
f (b) f (a) f a (b a) (b a).
第 §1 含参量正常积分 十 七 中值定理 章 多 元 函 数 微 分 学
f (a h, b k ) f (a, b) f x (a h, b k )h f y (a h, b k )k.