含参量积分
含参量积分的分析性质及其应用
含参量积分的分析性质及其应用首先，含参量积分具有连续性。
设函数F(x, t)在区域D上连续且对于每个t ∈ [a, b]，函数F(x, t)在D上也是连续的，则对于t ∈ [a, b]，函数F(x, t)的积分函数∫F(x, t)dx在D上是连续的。
这个性质在函数的极限和连续性分析中起着重要的作用。
其次，含参量积分具有可微性。
设函数F(x, t)在区域D上可微且对于每个t ∈ [a, b]，函数的偏导数∂F/∂t也在D上是连续的，则对于t∈ [a, b]，积分函数∫F(x, t)dx在D上是可微的，并且有d/dt∫F(x, t)dx = ∫∂F/∂t dx。
这个性质在微分方程的研究中非常重要，可以用来求解一些复杂的变量关系。
此外，含参量积分还具有积分区间可微性。
设函数F(x, t)在区域D上连续且对t ∈ [a, b]，积分区间[a, b]上是可微的，则对于任意点x∈ D，积分∫F(x, t)dt的导数存在且有d/dx∫F(x, t)dt = ∫∂F/∂x dt。
这个分析性质对于求解偏微分方程、计算场的变化率等都有重要意义。
1. 曲线长度计算：曲线的参数方程在一定范围内的积分可以得到曲线的长度。
例如，对于曲线x = f(t)，y = g(t)在区间[a, b]上的参数表示，可以通过计算∫sqrt(dx/dt)^2 + sqrt(dy/dt)^2 dt来得到曲线的长度。
2. 曲面面积计算：曲面的参数方程在一定范围内的积分可以得到曲面的面积。
例如，对于曲面z = f(x, y)在区域D上的参数表示，可以通过计算∬sqrt(1 + (df/dx)^2 + (df/dy)^2) dA来得到曲面的面积。
3.物理学中的应用：含参量积分广泛应用于物理学中的各种问题。
例如，对于质点在力场中的运动问题，可以通过计算质点在一段时间内的位移和力的乘积的积分来得到质点所受的总力。
4.工程学中的应用：含参量积分在工程学中也有许多应用。
13-高等数学第十三讲 含参量的积分
387第十三讲 含参量积分§13.1 含参量正常积分一、知识结构 1、含参积分 定义含参积分 ⎰=dcdy y x f x I ),()(和⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F .含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为含参积分. （1）含参积分的连续性 定理1 若函数),(y x f 在区域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在] , [b a 上连续.定理2 若函数),(y x f 在矩形域{}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=),()( ),(上连续, 函数)(x c 和)(x d 在] , [b a 上连续,则函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F 在] , [b a 上连续.（2）含参积分的可微性定理3 若函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在] , [b a 上可导, 且⎰⎰=dcdcx dy y x f dy y x f dxd ),(),(.即积分和求导次序可换.定理4 设函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [q p b a D ⨯=上连续, 函数)(x c 和)(x d 定义在] , [b a 上其值域含于] , [q p 上的可微函数, 则函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F 在] , [b a 上可微, 且 ()())()(,)()(,),()()()(x c x c x f x d x d x f dy y x f x F x d x c x '-'+='⎰.(3) 含参积分的可积性定理5 若函数),(y x f 在区域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数388⎰=dcdy y x f x I ),()(和⎰=badx y x f y J ),()(分别在] , [b a 上和] , [ d c 上可积.定理6 若函数),(y x f 在区域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则⎰⎰⎰⎰=badcdcbadx y x f dy dy y x f dx ),(),(.即在连续的情况下累次积分可交换求积分的次序. 二、解证题方法例1 求⎰+→++αααα122.1limx dx例2 计算积分 dx xx I ⎰++=121)1ln(.例3 设函数)(x f 在点0=x 的某邻域内连续. 验证当||x 充分小时, 函数⎰---=xn dt t f t x n x 01)()()!1(1)(φ的1-n 阶导数存在, 且 )()()(x f x n =φ.§13.2 含参量反常积分一、知识结构 1、含参无穷积分含参无穷积分: 函数),(y x f 定义在) , [] , [∞+⨯c b a 上 (] , [b a 可以是无穷区间) .以⎰+∞=cdy y x f x I ),()(为例介绍含参无穷积分表示的函数)(x I .2. 含参无穷积分的一致收敛性逐点收敛(或称点态收敛)的定义:∈∀x ] , [b a ,c M >∃>∀ , 0ε,使得ε<⎰+∞Mdy y x f ),(.定义 1 (一致收敛性)设函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上有定义.若对389c N >∃>∀ , 0ε, 使得当N M >,∈∀x ] , [b a 都有ε<-⎰Mcx I dy y x f )(),(即ε<⎰+∞Mdy y x f ),( 成立, 则称含参无穷积分⎰+∞cdy y x f ),(在] , [b a 上(关于x )一致收敛.定理1(Cauchy 收敛准则) 积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛⇔,0>∀εM A A M >∀>∃21, , 0 , ∈∀x ] , [b a⇒ε<⎰21),(A A dy y x f 成立 .3、含参无穷积分与函数项级数的关系 定理2 积分⎰+∞=c dy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛⇔对任一数列}{n A )(1c A =,n A ↗∞+, 函数项级数∑⎰∑∞=∞=+=111)(),(n A A n nn nx udy y x f 在] , [b a 上一致收敛.4、含参无穷积分一致收敛判别法定理3（Weierstrass M 判别法）设有函数)(y g ,使得在) , [] , [∞+⨯c b a 上有)(|),(|y g y x f ≤.若积分∞+<⎰+∞)( cdy y g , 则积分⎰+∞cdy y x f ),(在] , [b a 一致收敛.定理4（Dirichlet 判别法） 设⑴对一切实数,c N >含参量积分⎰Ncdy y x f ),(对参量x在] , [b a 上一致有界; ⑵对每个x ∈] , [b a ,函数),(y x g 关于y 是单调递减且当+∞→y 时,对参量x ,),(y x g 一致地收敛于0,则含参量反常积分⎰+∞),(),(dy y x g y x f 在] , [b a 上一致收敛.定理5（Abel 判别法） 设⑴含参量积分⎰+∞cdy y x f ),(在] , [b a 上一致收敛; ⑵对每个x ∈] , [b a ,函数),(y x g 为y 的单调函数且对参量x ,),(y x g 在] , [b a 上一致有界,则含390参量反常积分⎰+∞),(),(dy y x g y x f 在] , [b a 上一致收敛.5、含参无穷积分的解析性质含参无穷积分的解析性质实指由其所表达的函数的解析性质. （1）连续性定理6 设函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续.若积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛, 则函数)(x I 在] , [b a 上连续. (化为级数进行证明或直接证明)推论 在定理6的条件下, 对∈∀0x ] , [b a , 有 ⎰⎰⎰∞+∞+∞+→→⎪⎭⎫ ⎝⎛==cccx x x x dy y x f dy y x f dy y x f .),(lim ),(),(lim000 （2）可微性定理7 设函数f 和x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续.若积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上收敛,积分⎰+∞cx dy y x f ),(在] , [b a 一致收敛.则函数)(x I 在] , [b a 上可微,且⎰+∞='cx dy y x f x I ),()(.（3）可积性定理8 设函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续.若积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛, 则函数)(x I 在] , [b a 上可积, 且有⎰⎰⎰⎰+∞+∞=baccbady y x f dy dy y x f dx ),(),(.定理9 设函数),(y x f 在) , []) , [∞+⨯∞+c a 上连续.若⑴⎰+∞adx y x f ),(关于y 在任何闭区间] , [d c 上一致收敛,⎰+∞cdy y x f ),(在任何闭区间] , [b a 上一致收敛;⑵积分⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ),(与⎰⎰+∞+∞cadx y x f dy ),(中有一个收敛,则另一个也收敛,且391⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=accady y x f dy dy y x f dx ),(),(.6、含参瑕积分简介（略）二、解证题方法例1 证明含参量非正常积分⎰+∞sin dy yxy 在) , [∞+δ上一致收敛,其中0>δ.但在区间) , 0 (∞+内非一致收敛.例2 证明含参无穷积分⎰∞++021cos dx xxy 在+∞<<∞-y 内一致收敛.例3 证明含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xx exy在] , 0 [d 上一致收敛.例4 证明:若函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续,又⎰+∞cdy y x f ),(在) , [b a 上收敛,但在b x =处发散,则⎰+∞cdy y x f ),(在) , [b a 上不一致收敛.例5 计算积分⎰+∞->>-=) , 0 ( , sin sin a b p dx xaxbx eI px例6 计算积分.sin 0dx xax ⎰+∞例7 计算积分⎰+∞-=0.cos )(2rxdx er xϕ例8（北京理工大学2008年）请分别用两种不同方法求()dx xx xI cos 1cos 1lncos 12αααπ-+⋅=⎰，1<α。
第十九章含参量积分
∫ [∫
0
1
b a
b 1 b +∞ 1 1 sin(ln )x y dy ]dx = ∫ dy ∫ sin(ln )x y dx = ∫ dy ∫ e − ( y +1)t sin tdt (令 x = e − t ) 0 a a 0 x x
=∫
1 dy = arctan(1 + b) − arctan(1 + a) . a 1 + (1 + y 2 )
解: 据定理 19.4 知:
Fx ( x, y ) = ∫ x f ( z )dz + y ( x − xy 2 ) f ( xy ) −
y
xy
1 x x f ( )( x − y ) y y y
= ∫ x f ( z )dz + xy (1 − y 2 ) f ( xy )
y
xy
Fxy ( x, y ) = xf ( xy ) +
b
(2) I =
∫
1 b 1 b 1 [cos(ln ) ∫ x y dy ]dx = ∫ dx ∫ x y cos(ln )dy a 0 0 x a x 1
1 ⎧ y ⎪ x cos(ln ) 0 < x ≤ 1 令 f ( x, y ) = ⎨ , 则 f ( x, y ) 在 [0,1] × [a, b] 上连续,据定理 19.5 有 x ⎪ x=0 ⎩0
1 0
+∫
1 0
⎤ 1 dy ) ⎥ 2 x +y ⎦
2
=∫
1 0
1 π dx = . x +1 4
2
类似的,
∫
1 0
dy ∫
x2 − y2 π dx = − 0 ( x 2 + y 2 )2 4
(整理)第16章含参量积分.(可编辑修改word版)
1 - k2 sin 2 t ⎰ b第十六章 含参量积分关于积分理论，我们已经学过一元函数的积分理论：包括常 义积分（积分限有限、被积函数有界）和广义积分，其积分变量和被积函数的变量一样，都是一个。
但在各技术领域，经常会遇到这样的积分：对一个变量的积分还与一个参数有关，如天体力 / 2学中常遇到的椭圆积分： 01 - k2 sin 2 tdt ，从形式可以看出，积分变量为t ，积分过程结果依赖于k ，此时k 称为积分过程中的 参量。
显然，若将k 视为一个变元，记 f (t , k ) = 为一 个二元函数，则上述积分只涉及其中的一个变量，将另一个变量视为参量，像这种积分形式在工程技术领域还有很多。
因此，为解决相应的技术问题，必须先在数学上进行研究，这就是本章的内容：含参变量的积分，包括：常义积分和广义积分两部分，由于这种积分形式的被积函数是多元函数，因此，多元函数理论为参变量积分的研究提供了理论基础。
§1 含参变量的常义积分只考虑一个参量的含参量积分，因此，被积函数是二元函数。
设 f (x , y ) 在 D = [a , b ] ⨯[c , d ]，此时 f (x , y 0 ) 是为关于 x 的一元连续函数，因而可积。
考虑其积分 ⎰a f (x , y 0 )dx ，显然其与 y 0 有关，b记为 I ( y 0 ) = ⎰a f (x , y 0 )dx ，更一般，引入bI ( y ) = ⎰a f (x , y )dx ，称其为含参变量 y 的积分。
注：由此可看出：含参量的积分结果是一个关于参变量的函0 0数，由此就决定了含参量积分的研究内容：不仅在于计算，还要研究其分析性质。
更进一步的，将其分析性质应用于含参量的计算，由此带来了积分计算的新方法：通过引入参变量，将一个一般积分转化为含参量的积分，通过含参量积分的性质进行计算含参量的积分，最后取特定的参量值计算出原积分。
为此，先研究含参量积分的分析性质。
含参量积分的定义论文
1 含参量积分的定义：设函数),(y x f 定义在无界区域R={(x,y)|x ∈I,c ≤y<+∝}上，其中I 为一区间。
若对每都收x 在I 上取值的函数，当记这个函数为Φ（x)时，则有⎰∝+∈=ΦcI x dy y x f x ,,),()( (2)则称（1）式为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分。
2 含参量反常积分的性质定理1（连续性） 设 ),(y x f 在I ×[c,+∝)上连续，若含参量反常⎰∝+=Φcdy y x f x ),()(（2.1）在I 上一致收敛，则)(x Φ在I 上连续。
推论 设),(y x f 在I ×[c,+∝)上连续，若⎰∝+=Φcdy y x f x ),()(在I 上内闭一致收敛，则)(x Φ在I 上连续。
定理2（可微性） 设f （x,y)与 ),(y x fx在区域I ×[c,+∝)上连续。
若⎰∝+=Φcdy y x f x ),()(在I 上收敛，),(y x c xf⎰∝+在I 上一致收敛，则)(x Φ在I 上可微， 且dy y x x cxf),()('⎰Φ∝+= （2.2 ）推论 设f （x,y)与),(y x fx在区域I ×[c,+∝)上连续，若)(x Φ在I 上收敛，而dy y x cxf),(⎰∝+在I 上内闭一致收敛，则)(X Φ在I 上可微，且dy y x cxfx ),()('⎰Φ∝+= （2.3）定理3 （可积性） 设),(y x f 在[a,b]×[c,+∝)上连续，若⎰∝+=Φcdy y x f x ),()(在[a,b]上一致收敛，则)(x Φ在[a,b]上可积， 且 ⎰⎰⎰⎰∝+∝+=b accbadx y x f dy dy y x f dx ),(),( （2.4）定理4 设),(y x f 在[a,+∝）×[c,+∝)上连续，若（i)⎰∝+adx y x f ),(关于y 在[c,+∝)上内闭一致收敛，⎰+cdy y x f ),(关于x 在[a,+∝)上内闭一致收敛。
第十讲含参变量的积分
第十讲含参变量的积分10 . 1 含参变量积分的基本概念含参量积分共分两类：一类是含参量的正常积分；一类是含参量的广义积分． 一、含参量的正常积分 1 ．定义设()y x f ,定义在平面区域[][]d c b a D ,,⨯=上的二元函数，对任意取定的[]b a x ,∈．()y x f ,关于 y 在[]d c ,上都可积，则称函数()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰为含参量二的正常积分．一般地，若 ()()(){}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=,|, ，也称()()()()[]b a x dy y x f x I x d x c ,,,∈=⎰为含参量x 的正常积分．同样可定义含参量 y 的积分为()()[]d c y dx y x f y J ba,,,∈=⎰或()()()()[]d c y dx y x f y J y b y a ,,,∈=⎰2 ．性质（以 I ( x ）为例叙述）( l ）连续性：若 ()y x f ,必在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,连续，即对[]b a x ,0∈∀，()()()()⎰=→000,lim 0x d x c x x dy y x f x I( 2 ）可积性：若()y x f ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,可积．且有()()()⎰⎰⎰⎰⎰==bab ad cbadcdx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,（若 D 为矩形区域， ·( 3 ）可微性：若 ()y x f ,的偏导数()y x f x ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,可导，则()x I 在 []b a ,可导，且()()()()()()()()()()x c x c x f x d x d x f dy y x f x I x d xc x''',,,-+=⎰·以上性质的证明见参考文献［ 1 ] ，这里从略，例10. l 求积分⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛10,ln 1ln sin a b dx xxx x ab 解法 1 （用对参量的微分法）：设()⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,ln 1ln sin a b dx x xx x b I ab ，()()()()()()()b I b b dx x x x x b x d x b dx x x b x b x b x d x dxx x b I b b b b b b b '221010121102101010111'11111ln sin |1ln cos 111ln cos 111ln cos 11|1ln sin 111ln sin 1ln sin +-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰++++所以()()()()()⎰++=++=⇒++=C b db b b I b b I 1arctan11111122'，令a b =，则 ()()()1arctan 1arctan0+-=⇒++==a C C a a I 所以原积分()()()1arctan 1arctan+-+==a b b I I 解法 2 : （交换积分顺序方法）因为xx x dy x ab bayln -=⎰，所以⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=10101ln sin 1ln sin b a y b a y dx x x dy dy x x dx I同解法()⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛1021111ln sin y dx x x y，所以有 ()()()⎰+-+=++=baa b dy y I 1arctan 1arctan1112注：在以上解题过程中，需要验证对参量积分求导和交换积分顺序的条件，为简洁省略了，但按要求是不能省的． 例10.2 设()()()dz z f yz x y x F xyyx ⎰-=,，其中f 为可微函数，求()y x F xy,·解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()xy f y y x y x f y x xy f xy x xy f y y x xy f y x x y f y x xy xf F xy f y yx dz z f xy f xy x y dz z f y x f x x y xy f xy x y dz z f F xy xyyx xyyx xyy x x '2222'222222213213111-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-+⎪⎭⎫⎝⎛+=-+=-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=⎰⎰⎰二、含参量的广义积分含参量的广义积分包括两类：含参量的无穷积分和含参量的瑕积分 （一）含参量的无穷积分1 ．定义：设 ()y x f ,定义在[][)+∞⨯=,,c b a D 上，对每个取定的[]b a x ,∈，积分 ,()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,都收敛（也叫逐点收敛），它是一个定义在[]b a ,上的函数，称该积分为含参量x 的无穷积分 同样可以定义 ()()[]⎰+∞∈=ad c y dx y x f y J ,,,2 ．一致收敛若对c M >∃>∀,0ε，当 A > M 时，对一切[]b a x ,∈，恒有()()()εε<<-⎰⎰+∞AA cdy y x f dy y x f x I ,,或则称含参量积分在[]b a ,上一致收敛．注：非一致收敛定义：若00>∃ε，使得c M >∀，总存在M A >0，及存在[]b a x ,0∈，，使得()()()000000,,εε<<-⎰⎰+∞A A cdy y x f dy y x f x I 或3 ．一致收敛的柯西准则含参量积分（ l ）在[]b a ,上一致收敛⇔对 c M >∃>∀,0ε，当 M A A >>12时，对一切[]b a x ,∈，都有()ε<⎰21,A A dy y x f注：非一致收敛的柯西准则：含参量积分（ 1 ）在[]b a ,上非一致收敛c M >∀>∃⇔,00ε存在M A A >>12，及存在[]b a x ,0∈，使得()0021,ε<⎰A A dy y x f4.一致收敛判别法( I ) M 判别法：若()()()D y x y g y x f ∈∀≤,,,而()⎰+∞cdy y g 收敛，则()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛（同时也绝对收敛） .( 2 ）阿贝尔判别法： ①()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛； ② 对每一个[]b a x ,∈，()y x g ,关于y 单调，月关于x 一致有界，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛．( 3 ）狄利克雷判别法： ①()[]()c A b a x M dyy x f Ac>∀∈∀≤⎰,,,（即一致有一界）;② 对每一个[]()y x g b a x ,,,∈必关于 y 单调，且当 +∞→y 时()y x g ,对x 一致趋于零，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛 ·例 10 . 3 讨沦下列积分的一致收敛性： （1）()⎰∞++-122222dx y xx y 在()+∞∞-,；（2）[)⎰+∞-+∞∈0,0,sin y dx xxe xy 解： ( 1 ）因为()()()()+∞∞-∈∀≤+=++≤+-,112222222222222y xy x y xy x y xx y ，而积分 ⎰+∞121dx x 收敛，由M 发，()⎰∞++-122222dx yx x y 在()+∞∞-,一致收敛 ·( 2 )因为⎰+∞sin dx xx收敛，且与y 无关，故关于y 一致收敛，而xy e -对固定的y 关于x 在[)+∞,1上单调减，且1≤-xye ，对()()()+∞⨯+∞∈∀,0,0,y x ．由阿贝尔判别法知，积分⎰+∞-0sin dx xxe xy在()+∞∈,0y 上一致收敛． 5 ．分析性质( l ）连续性：若满足：① ()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上连续，即()()()dy y x f x I x I cx x ⎰+∞→==,lim 000·( 2 ）可积性：参量 []b a x ,∈若满足： ①()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可积，即()()()⎰⎰⎰⎰⎰+∞+∞==babaccb adx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,参量[)+∞∈,a x ，若满足：① ()y x f ,在 [)[)+∞⨯+∞=,,c a D 上连续； ②()[]()c d d c y dy y x f a>∀∈⎰+∞,,,和()[]()a b b a x dy y x f c>∀∈⎰+∞,,,都一致收敛；③ 积分()⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ,与()⎰⎰+∞+∞cadx y x f dx ,收敛；则()x I 在[]b a ,上收敛，且()()dx y x f dy dy y x f dx acca⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=,,( 3 ）可微性：若满足：①()y x f ,和()y x f x ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞收敛；③()[]b a x dy y x f cx ,,,∈⎰+∞一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可微，且()()[]b a x dy y x f x I cx ,,,'∈=⎰+∞注： ( 1 ）在定理的条件下，必可导出 ② 也是一致收敛的． ( 2 ）定理的条件都是充分而非必要的． 6 ．狄尼（ Dini ）定理若()y x f ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 连续且非负，则()()dy y x f x I c⎰+∞=,在[]b a ,上连续()x I 在[]b a ,上一致收敛．证明：充分性是显然的，下证必要性． （反证法）假设()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞不一致收敛，由定义，00>∃ε，对cM >∀总存在[]b a x M A ,,00∈∃>，使得()()0000,ε≥-⎰A cdy y x f x I ．特别地，取 M 大于c 的自然数n ·则分别存在 []b a x n A n n ,,∈> ，使得()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I · 注意到f 非负，可写作()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I ．由于{}[]b a x n ,⊂有界，记为{}(),...2,1=k x n ，则[]b a x x nk k ,lim 0∈=∞→，不妨设......21<<<<nk n n A A A ，再注意到 f 非负，因此有()()()()⎰⎰≥-≥-10,,n nkA cA cnk nk nk nk dy y x f x I dy y x f x I ε （*）由已知条件，对固定的1n A ，函数()()()⎰-=1,n A cdy y x f x I x F 在[]b a ,上连续，对（*）令∞→k 取极限得()()()00001,ε≥-=⎰dy y x f x I x F n A c．此与()x I 的定义（即逐点收敛）矛盾，即()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛 ·（二）含参量的瑕积分 1 ．定义设()y x f ,在区域[](]d c b a D ,,⨯=上有定义，对取定的[]c y b a x =∈,,为函数 f 的瑕点, 若积分()()[]⎰∈=dcb a x dy y x f x I ,,,收敛，它是一个定义在[]b a ,上的函数，称其为含参量x 的瑕积分．2 一致收敛对c d -<<∃>∀δδε0:,0，当δη<<0时，恒有()εη<⎰+c cdy y x f ,，对一切[]b a x ,∈成立，称()()dy y x f x I dc⎰=,在[]b a ,上一致收敛．3.M 判别法设 g ( y ）为定义在（ c , d ］上以 c y =瑕点的非负函数．且()()[]()b a x y g y x f ,,∈∀≤ ，而()dy y g d c⎰收敛，则()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰必一致收敛其余的可仿照含参量无穷积分的相关内容平行推得，当然也可以将它转化为无穷积分进 行讨论，这里不再赘述．。
含参量积分与函数项级数的联系
含参量积分与函数项级数的联系一、引言积分和级数是高等数学中的两个重要概念，它们在多个领域都有广泛应用。
在本文中，我们将探讨含参量积分与函数项级数之间的联系。
二、含参量积分1.定义含参量积分是指对一个函数进行积分时，其中包含一个或多个参数。
通常表示为：$$F(x)=\int_{a}^{b}f(x,t)dt$$其中，$x$ 是变量，$a$ 和 $b$ 是常数，$f(x,t)$ 是关于 $x$ 和$t$ 的连续函数。
2.求导法则对于含参量积分，我们可以使用求导法则进行求导。
具体来说，如果$F(x)$ 可以表示为上式，则有：$$F'(x)=\frac{d}{dx}\int_{a}^{b}f(x,t)dt=\int_{a}^{b}\frac{\partial}{\p artial x}f(x,t)dt$$其中 $\frac{\partial}{\partial x}$ 表示对 $x$ 求偏导数。
3.应用举例含参量积分在实际应用中有很多场景。
例如，在微积分中，我们可以使用含参量积分来计算曲线的长度、曲率等；在物理学中，我们可以使用含参量积分来计算质心、转动惯量等。
三、函数项级数1.定义函数项级数是指由一系列函数组成的级数，通常表示为：$$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$$其中，$f_n(x)$ 是一系列关于 $x$ 的函数。
2.收敛性与发散性对于函数项级数，我们需要考虑它的收敛性和发散性。
如果该级数在某个区间内收敛，则称该级数在该区间内收敛；如果该级数在某个区间内发散，则称该级数在该区间内发散。
3.应用举例函数项级数在实际应用中也有很多场景。
例如，在微积分中，我们可以使用泰勒展开将一个函数表示为一个无限级数的形式；在物理学中，我们可以使用傅里叶级数将一个周期函数表示为一个无限级数的形式。
四、含参量积分与函数项级数之间的联系1.积分与求和的联系首先，我们注意到含参量积分和函数项级数都涉及到求和操作。
数学《含参量积分》讲义
第十九章 含参量积分§1 含参量正常积分设:[,][,]f a b c d R ⨯→连续, 形如(,)dc f x y dy ⎰的积分, 称为含参量(x 的)正常积分. 若[,]x a b ∀∈,(,)dcf x y dy ⎰存在 (固定x 时, (,)f x y 关于y 可积), 则由()(,)dcx f x y dy ϕ=⎰([,]x a b ∈)定义了[,]a b 上的函数ϕ. 1) ϕ的连续性由于[,]a b 是闭区间,考察连续性就是考察一致连续性, 即需证 12 0,0,||:x x εδδ∀>∃>-<121212|()()||(,)(,)||(,)(,)|dddcccx x f x y dy f x y dy f x y f x y dy ϕϕε-=-≤-<⎰⎰⎰,只需1212[,],||: |(,)(,)|y c d x x f x y f x y d cεδ∀∈-<-<-,而f 在[,][,]a b c d ⨯上连续,则其在[,][,]a b c d ⨯上也一致连续. 因而121212120,0,,[,],,[,], ||,||:x x a b y y c d x x y y εδδδ∀>∃>∀∈∀∈-<-<1122|(,)(,)|f x y f x y d cε-<-特别地, 121212[,],,[,],|-|<: |(,)(,)|y c d x x a b x x f x y f x y d cεδ∀∈∈-<-.故有下面的结论.定理1 若f 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 则函数()(,)dcx f x y dy ϕ=⎰在[,]a b 上连续, 即()lim (,)lim ()()(,)lim (,)d d dccc x xx xx xx f x y dy x x f x y dy f x y dy ϕϕϕ→→→=====⎰⎰⎰.2) ϕ的可导性 设[,],[,]x a b x h a b ∈+∈, 则()()(,)(,)(,), 01(,) (: )dc dx h h cdx x cx h x f x h y f x y dyhhf x h y dy f x y dy f ϕϕθθ+-+-==+⋅<<→⎰⎰⎰条件连续定理2 若f 与x f 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 则函数()(,) ([,])dcx f x y dy x a b ϕ=∈⎰在[,]a b 上连续可导, 且()(,)dx cx f x y dy ϕ'=⎰.更一般地, 我们有定理3 设f 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 则由(,)(,), [,]tcx t f x y dy t c d ψ=∈⎰定义的ψ在[,][,]a b c d ⨯上连续, 且当x f 连续时, 1C ψ∈(因而ψ可微) . 定理4 设f 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 函数:[,][,]a b c d β→连续, 则函数()()(,) , [,]x cx f x y dy x a b βϕ=∈⎰连续. 进一步, 若x f 连续, β可微, 则ϕ可导. 且()'()(,)+(,())()x x cx f x y dy f x x x βϕββ'=⋅⎰定理5 若,,f αβ连续, 则函数()()()(,), [,]x x x f x y dy x a b βαϕ=∈⎰连续. 进一步, 若x f 连续, ,αβ可导, 则ϕ可导, 且()()()(,)+(,()) ()(,()) ()x x x x x f x y dy f x x x f x x x βαϕββαα'''=⋅-⋅⎰注 上述定理中[,]a b 均可改为(,)a b 或任意区间.3) ϕ的可积性定理6 若(,)f x y 在矩形域[,][,]a b c d ⨯上连续, 则()(,), ([,])d cx f x y dy x a b ϕ=∈⎰与()(,), ([,])bay f x y dx y c d ψ=∈⎰分别在[,]a b 和[,]c d 上可积.引入累次积分及记号(,)[(,)],(,)[(,)]bdb da cacdbd bcacadx f x y dy f x y dy dx dy f x y dx f x y dxdy∆∆==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.定理7 (累次积分定理, 交换积分次序) 若(,)f x y 在[,][,]a b c d ⨯上连续, 则(,)(,)bd d baccadx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰例1 1) 1220lim 14x dx x ααπα+→=++⎰.2) 11222223220011111arctan (0)arctan +()22(1)dx dx x x ααααααααα=≠⇒=+++⎰⎰.3) 设f 连续, 10()()()xn x f t x t dt ϕ-=-⎰, 求()n ϕ.4)设cos sin ()x xF x e =⎰, 求'F .5) 设(,)()()xy x y F x y x yz f z dz =-⎰, f 可微, 求xy F .例2 求1(,), (0)ln b ax x I a b dx b a x-=>>⎰.例3 求120ln(1)1x I dx x +=+⎰例4 讨论122()()yf x F y dx x y =+⎰的连续性, 其中f 为[0,1]上的正值连续函数.例5 试分别求累次积分221122200()x y dx dy x y -+⎰⎰与221122200()x y dy dx x y -+⎰⎰.§2 含参量反常积分设函数(,)f x y 定义在无界区域[,][,)a b c ⨯+∞上. 若对任一固定的[,]x a b ∈, 反常积分(,)cf x y dy +∞⎰收敛, 则其值为定义在[,]a b 上(关于x )的函数. 记为()x ϕ.即 ()(,) [,]cx f x y dy x a b ϕ+∞=∈⎰称为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限反常积分, 简称含参量反常积分. 取1,,n A c A =↑+∞ 则 1()(,)() n ndA n A nx f x y dy x ϕϕ+==∑∑⎰.因而我们可仿照讨论函数项级数来讨论反常积分. 先比较一下函数项级数与反常积分性质判别方法x E ∈, )x 收敛)x =∑一致收敛(nx ϕ'∑x E ∈, ,)x y dy )cx dy +∞=⎰一致收敛b 上可微,)x y dy (cf x +∞bdx dx =⎰例1 证Cauchy 准则例2 反常积分()(,)cx f x y dy ϕ+∞=⎰在[,]a b 上一致收敛⇔对任一趋于+∞的递增数列1{},()n A A c = 函数项级数111(,)()n nA n A n n f x y dy x ϕ++∞+∞===∑∑⎰在[,]a b 上一致收敛.例3 证明可微性.例4 证明Abel 和Dirichlet 判别法.例5 1) 证明: 含参量积分2cos 1xydx x+∞+⎰在R 上一致收敛.2) 证明:sin xydy y+∞⎰在[,),(0)δδ+∞>上一致收敛,但在(0,)+∞上不一致收敛. 3) 证明: 11sin ,(0)y x dx y x+∞<⎰在(,],(0)δδ-∞<上一致收敛, 但在(,0)-∞上不一致收敛.4) 证明: 若(,)f x y 在[,][,)a b c ⨯+∞上连续,(,)cf x y dy +∞⎰在[,)a b 上收敛,(,)cf b y dy +∞⎰发散, 则(,)cf x y dy +∞⎰在[,)a b 上不一致收敛.例6 证明: 0sin ()kxxI k e dx x+∞-=⎰在[0,)+∞上连续, 并求()I k 的值.例7 求2cos cos (,),(,0)x xI dx xαβαβαβ+∞-=>⎰.例8 求证: 222400()cos (xx exdx edx γϕγγ+∞+∞---==⇒=⎰⎰.例9 (198P 定理13) (了解,不证明)设(,)f x y 定义在[,)[,)a c +∞⨯+∞上连续. 若 1)(,)af x y dx +∞⎰关于y 在任何闭区间[,]c d 上一致收敛,(,)cf x y dy +∞⎰关于x 在任何闭区间[,]a b 上一致收敛;2) 积分|(,)|acdx f x y dy +∞+∞⎰⎰与|(,)|cady f x y dx +∞+∞⎰⎰中有一个收敛, 则另一个积分也收敛, 且(,)(,)accadx f x y dy dy f x y dx +∞+∞+∞+∞=⎰⎰⎰⎰§3 Euler 积分含参量积分 10(), 0s x s x e dx s +∞--Γ=>⎰1110(,)(1), ,0p q B p q x x dx p q --=->⎰称为Euler 积分, Gamma 函数, Beta 函数. 一、Γ函数11101()()()s x s x s x e dx x e dx I s J s +∞----Γ=+=+⎰⎰对()I s : 1s ≥时, 正常积分; 0<1s <时, 收敛的瑕积分. 对()J s : 0s >时, 收敛的反常积分(无限). 故0s >, ()s Γ有定义.1. ()s Γ在定义域(0,)+∞上连续可导.对任何闭区间[,],(0)a b a >, 对()I s , 当01x ≤≤时, 从而()I s 在闭区间[,]a b 上一致收敛. 而对于()J s , 当1x ≥时, 11s xb xx e x e ----≤, 由于110b x x e dx --⎰收敛, 从而()J s 在闭区间[,]a b 上一致收敛. 从而()s Γ在0s >上连续.又1100()ln s xs x x e dx x e dx s+∞+∞----∂=∂⎰⎰, 类似可证在[,]a b 上一致收敛. 从而()s Γ在[,]a b 上可导. 故()s Γ在0s >上可导. 且10()10()ln , 0()(ln ), 0s x n s x n s x e xdx s s x e x dx s +∞--+∞--'Γ=>Γ=>⎰⎰.2. 0(1)()(1)!!x s s s n n e dx n +∞-Γ+=⋅Γ⇒Γ+==⎰3. Γ图像4. Γ的延拓定义 (1)(), 10, (0,)s s s s n sΓ+Γ=-<<≠-5. Γ的其他形式22210, ()2, (0)s y x y s y e dy s +∞--=Γ=>⎰10, (), (0,0)s s py x py s p y e dy s p +∞--=Γ=>>⎰二、B 函数1. (,)B p q 在定义域 0,0p q >>上连续.1) 定义域 0,0p q >>. 1,1p q ≥≥为正常积分. 当01,1p q <<≥时, 0为瑕点,1()(0)p f x xx -→. 而当1q <时, 0,1为瑕点,1112102()()()f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰,11()(0),()(1)(1)p q f x x x f x x x --→-→. 从而 0p >时, (,),(0)B p q q >收敛.2) 在 0,0p q >>连续.0,0p q ∀>>, 1111(1)(1), (,)p q p q x x x x p p q q -----≤-≥≥ (,)B p q ⇒在,p p q q ≥≥上一致收敛.1. 对称性 (,)(,)B p q B q p =作变换1x y =-得 1111110(,)(1)(1)(,)p q p q B p q x x dx y y dy B q p ----=-=-=⎰⎰2. 递推公式 1(,)(,1) (0,1)1q B p q B p q p q p q -=->>+-1(,)(1,) (1,0)1p B p q B p q p q p q -=->>+-(1)(1)(,)(1,1) (1,1)(1)(2)p q B p q B p q p q p q p q --=-->>+-+-3. 其他形式2212120cos , (,)sin cos q p x B p q d πϕϕϕϕ--==⎰10, (,)1(1)p p q y y x B p q dy y y -+∞+==++⎰ 11101, (,)(1)p q p q y y x B p q dy t y --++==+⎰三、Γ函数与B 函数的关系 1) ()()(,)()p q B p q p q Γ⋅Γ=Γ+2) (,1)()(1)sin B p p p p p ππ-=Γ⋅Γ-=3)1()2Γ=(120111()(,)222B πΓ===⎰) 11()2()22Γ-=-Γ=-321()()232Γ-=-Γ-=1()2n Γ+=1()2n Γ-= 4) 20111(,)sin cos (,), (,1)222p q p q I p q x xdx B p q π++==>-⎰ 特别地, 0,1q p =>-时,20(21)!!111()()()22(2)!!1222sin (2)!!22(1)()22(21)!!p n p p p nn xdx p p n p np n ππ-⎧++Γ⋅ΓΓ⎪=⎪===⎨≠⎪Γ+Γ⎪+⎩⎰三、利用Euler 积分求积分 例 1 1)6111()(1)16663dx x π+∞=ΓΓ-=+⎰2)10113(,)4444B ==⎰习 题 课例 1 证明: 10()(,)F y f x y dy =⎰连续, 这里1(,)01x y f x y x y x y>⎧⎪==⎨⎪-<⎩.例 2 求22222220ln(sin cos ), (0)(0,0)a x b x dx a b a b π++≠>>⎰例 3 求101sin(ln ), (0)ln b ax x dx b a x x->>⎰例 4 证明: 0xy xe dy +∞-⎰在[,],(0)a b a >上一致收敛, 但在(0,]b 上不一致收敛.例 5 求22222(0)a x b x ee dx b a x --+∞->>⎰例 6 1) 对极限202xy xye dy +∞-⎰能否进行极限与积分运算次序.2) 2130(22)xy dy y xy e dx +∞--⎰⎰能否交换积分次序.3) 对230()xy F x x edy +∞-=⎰能否交换积分与求导次序.例 7 设10()(,)()u x k x y v y dy =⎰,其中(1)(,)(1)x y x y k x y y x x y-≤⎧=⎨->⎩,v 为[0,1]上的连续函数, 求证: ()()u x v x ''=-.。
含参量积分求导公式
含参量积分求导公式含参量积分求导公式，这可是数学里一个有点小复杂但又特别有趣的内容。
咱先来说说啥是含参量积分。
想象一下，你正在参加一场寻宝游戏，每个宝藏的位置都和一个神秘的参数有关。
这个参数就像是一把钥匙，能帮你找到隐藏在数学世界里的宝贝。
含参量积分就是这样，积分的结果不是一个确定的数，而是一个随着参数变化的函数。
那含参量积分求导公式呢，就像是你找到宝藏的导航仪。
比如说，咱有个含参量积分F(y) = ∫f(x,y)dx ，从 a 积到 b 。
这时候求导，就得看具体情况啦。
如果积分上限和下限都是常数，那求导就相对简单，直接把被积函数里的 y 当成常数，对参数 y 求导就行。
可要是积分上限或者下限是含 y 的函数，那就得多费点心思啦。
我记得之前给学生讲这个知识点的时候，有个特别有趣的事儿。
有个同学一直搞不明白，皱着眉头问我：“老师，这咋就这么难呢？”我笑着跟他说：“你就把这想象成你在走迷宫，每一步都得小心，但只要找到了规律，就能走出去啦。
”然后我给他举了个特别形象的例子。
假设我们要计算F(y) = ∫(0 到 y) x^2 + y^2 dx 。
这就相当于我们要找到在 0 到 y 这个区间内，x^2 + y^2 这个函数所围成的面积随着 y 的变化而怎么变化。
我们先把积分算出来，F(y) = [1/3 x^3 + y^2 x] (从 0 到y) = 1/3 y^3 + y^3 = 4/3 y^3 。
然后对 y 求导，F'(y) = 4y^2 。
再比如说，如果是F(y) = ∫(y 到 2y) x^2 + y^2 dx ，这时候就得用含参量积分求导的公式啦。
先算积分，F(y) = [1/3 x^3 + y^2 x] (从 y 到 2y) = 8y^3 - 4/3 y^3 = 20/3 y^3 ，再求导，F'(y) = 20y^2 。
通过这样一个一个具体的例子，同学们慢慢就明白了。
其实数学啊，就是这样，多练多琢磨，就能掌握其中的窍门。
含参量积分
d
从而I ( x)在[a, b]上连续. 同理可证: 若f ( x, y)在矩形域R上连续， 则含参量y的积分
J(y) f ( x, y)dx 在[c, d ]上连续. a 注 : 由连续性， 若f ( x, y)在矩形域R上连续， 则x0 [a, b], 都有
x x0 c
( ii ) x [a , b],函数g( x , y )为y的单调函数， 且对参量x ,
g( x, y )在[a, b]上一致有界， 则含参量反常积分
c
f ( x , y ) g( x , y )dy 在[a , b]上一致收敛.
例1 : 证明反常积分
0
cos xy dx 在 (,) 上一致收敛. 2 1 x
F(x) F (x)
'
d ( x)
c( x)
f ( x, y )dy
在 [a, b]上可微, 且
' '
dБайду номын сангаас( x)
c( x)
f x ( x, y )dy f ( x, d ( x)) d ( x) f ( x, c( x))c ( x).
请结合复合函数及活动上限积分的求导法则完成证明
例1 :
求 lim
0
1
dx . 2 2 1 x
解:
dx 记I ( ) . 2 2 1 x 1 由于 ,1 , 都是和x的连续函数， 2 2 1 x 所以I ( )在 0处连续， 从而
1
0
lim
1
1 dx dx I (0) . 2 2 2 0 1 x 1 x 4
第9章含参量积分
第九章 含参变量积分Ⅰ 基本概念与主要结果一 含参量正常积分1 定义设(,)f x y 为矩形区域[,][,]R a b c d =⨯上的二元函数，若[,]y c d ∀∈，一元函数(,)f x y 在[,]a b 上可积，则其积分值是y 在[,]c d 上取值的函数，记为()y ϕ，即()(,),[,].bay f x y dx y c d ϕ=∈⎰称之为含参量的有限积分，y 称为参变量。
更一般地，我们有如下含参量积分：{}((,)()(),)f G x y a y x b y y αβ=≤≤≤≤在()()()(,),[,].b y a y y f x y dx y ϕαβ=∈⎰其中(),()a x b x 为[,]αβ上的连续函数。
2 分析性质 （1）连续性设二元函数(,)f x y 在区域{}(,)()(),G x y c x x d x ax b =≤≤≤≤上连续，其中(),()c x d x 为[,]a b 上连续函数，则函数()()()(,)d x a x F x f x y dy =⎰在],[b a 上连续。
（2）可微性 若函数f 与f x∂∂在[,][,]a b c d ⨯上连续，则 ()(,)dcI x f x y dy =⎰在[,]a b 上可微，且'()(,)dc I x f x y dy x∂=∂⎰（3）可积性 若(,)f x y 在[,][,]a b c d ⨯上连续，则()I x 和()J y 分别在[,]a b 和[,]c d 上可积。
此说明，在连续的假设之下，同时存在两个求积顺序不同的积分：(,)bd ac f x y dy dx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰与(,)d b c a f x y dx dy ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰为了书写简便起见，上述两个积分分别写作：(,)bd acdx f x y dy ⎰⎰与(,)d bcady f x y dx ⎰⎰统称为累次积分。
（4）若(,)f x y 在[,][,]a b c d ⨯上连续，则(,)bd acdx f x y dy ⎰⎰=(,)d bcady f x y dx ⎰⎰一、参量的常积分1、 一致收敛性及其判别法定义1 设函数定义在无界区域{}(,)()(),G x y c x x d x a x b =≤≤≤≤上，若对每一固定的[,]x a b ∈，反常积分(,)cf x y dy +∞⎰都收敛，则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数，记之为()I x ，则有()(,)cI x f x y dy +∞=⎰，[,]x a b ∈ （1）称（1）式为定义在[,]a b 上的含参量的无穷限反常积分，简称含参量无穷积分。
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第19章 含参量积分
则函数
d
I( x) c f ( x, y)dy
在[ a, b]上可微, 且
d
dx
d
d
c
f ( x, y)dy c
fx ( x, y)dy .
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证 对于[a, b]内任意一点x, 设 x x [a, b] (若 x为 区间的端点, 则讨论单侧函数), 则
I( x x) I( x) d f ( x x, y) f ( x, y)dy .
(1)
是定义在 [ a,b]上的函数.
一般地, 设 f ( x, y)为定义在区域
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G {( x, y) | c( x) y d( x) ,a x b}
上的二元函数, 其中c (x), d (x)为定义在[a, b]上的连
续函数(图19-1),
y
y d(x)
G
y c(x)
限运算与积分运算的顺序是可以交换的.
注2 由于连续性是局部性质, 定理19.1中条件 f 在 [a,b][c,d ] 上连续可改为在 [c,d ] 上连续, 其中 为任意区间.
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定理19.2 ( F ( x)的连续性 ) 若二元函数 f ( x, y)在区 域 G {( x, y) | c( x) y d( x) ,a x b}上连续, 其
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dy (d( x) c( x))dt . 所以从(6)式可得
d(x)
F ( x) f ( x, y)dy c( x) 1 0 f ( x, c( x) t(d( x) c( x)))(d( x) c( x))dt.
由于被积函数 f ( x, c( x) t(d( x) c( x)))(d( x) c( x))
含参量积分知识点总结
含参量积分知识点总结一、基本概念1.1 定积分定积分是以Riemann和为基础的，它是衡量函数面积大小的一种方法。
对于定义在闭区间[a, b]上的函数f(x)，如果存在一个数I，使得对于任意给定的ε>0，都存在Δ>0，当对[a, b]上任意一组分割P={x0,x1,…,xn}，只要其划分达到足够细密，所有分点xi∈[xi-1,xi]所决定的区间上的函数值组成的和，都满足如下形式：|∑(f(ηi)Δxi)-I|<ε其中f(ηi)是函数f(x)在区间[ξi-1,ξi]上的某一点的函数值；Δxi=xi-xi-1。
则称函数f在闭区间[a, b]上是可积的，数I称作函数f在闭区间[a, b]上的定积分，记作∫abf(x)dx。
1.2 不定积分不定积分是积分的一个概念，是对原函数的逆运算。
设函数F(x)和f(x)在区间I上是一对反函数，如果对于区间I上的任意一点x∈I，都有F′(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)的不定积分。
不定积分的记号为∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为不定常数。
1.3 微积分基本定理微积分基本定理是微积分的核心定理，描述了积分和求导之间的关系。
设f(x)是闭区间[a, b]上的可积函数，而F(x)是f(x)在[a, b]上的一个原函数，则有：∫abf(x)dx=F(b)-F(a)这个定理说明了一定条件下，函数的积分可以通过求原函数再求差的方式来计算。
1.4 积分中值定理积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它描述了函数的平均值与积分的关系。
设f(x)是在闭区间[a, b]上的一个连续函数，则存在ξ∈[a, b]，使得：∫abf(x)dx=(b-a)f(ξ)这个定理表明了在一定条件下，积分的值可以通过函数在该区间上的某一点的取值来表示。
二、性质与求法2.1 积分的性质积分具有一系列基本的性质，如线性性、可加性、保号性等。
具体来说，对于常数α，β和可积函数f(x)、g(x)，有以下性质：（1）线性性：∫[αf(x)+βg(x)]dx=α∫f(x)dx+β∫g(x)dx（2）可加性：如果f(x)在区间[a, b]上可积，在区间[b, c]上也可积，则有∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx=∫acf(x)dx（3）保号性：如果f(x)在[a, b]上非负，则∫abf(x)dx≥0（4）区间可分性：若f(x)在[a, b]上可积，则在任意子区间[a′, b′]上，f(x)也可积，且有∫a′b′f(x)dx≤∫abf(x)dx2.2 基本积分法对于一些简单的函数，可以直接利用积分表来求积分。
含参量积分
问题 5 定义域不是闭区间的含参量积分有些什么基本性质？ 答 在含参量正常积分的定义中，所得的函数定义在一个闭区间上，对于不
是闭区间的情形可类似定义.此时对其连续性和可微性根据其只与指定点附近的 函数值有关这一特征， 易知教材第十九章 19.1 定理 19.1、 19.3 中将闭区间 [ a, b ] 换 成开区间或半开半闭区间时，结论仍然成立；而有关可积性的定理 19.4，则必须 在闭区间上进行讨论。 问题 6. 答 何谓无穷积分 ò
实质上是一个函数。 问题 3 含参量正常积分和我们学过的积分有什么联系？ 答 含参量积分是以积分形式表达的函数， 而我们已经学过的不定积分表达
的是满足一定条件的一簇函数，定积分表达的则是一个数。如果我们将常数看成 常值函数，则定积分成为含参量正常积分的特殊情形。 问题 4 含参量正常积分除教材上介绍的性质外，还有什么性质？ 答 含参量正常积分表达的是一个函数，在教材中只讨论了三个主要的性
含参量积分
问题 1 讨论含参量积分有何意义？ 答 在第十三章中我们看到，无穷级数是构造新函数的一种重要工具。利用
它我们可以构造出处处不可微的函数，还可以构造出能填满正方形的连续曲线 {参见常庚哲、史济怀《数学分析教程》第三册 17 章§17.8}。含参量积分是构 造新函数的另一种重要的工具， 欧拉积分就是在应用中经常出现的含参量积分表 示的函数。 问题 2 什么是含参量积分正常积分是积分还是函数？ 答 含参量正常积分在形式上是积分, 但积分值随参量的不同而变化。因此
f ( x) = ò e - tx dt , g ( x) = ò
0 x
sin t dt 0 t ，等
x
3．用函数级数。例如：
¥ 1 sin(2 n + 1) x x ( x) = å x ( x > 1), f ( x) = å , x Î R 2n + 1 n =1 n n = 0 ，等。 ¥
含参量积分
定理 19.5(可积性) 若 f ( x, y ) 在矩形区域 续 I ( x) c
d b a
R[a, b; c, d ]
( x) f (t )dt
0
x
于是
( n ) ( x) f ( x).
附带说明，当 x 0 时， (x) 及其各阶导数为
(0) ' (0) ( n 1) (0) 0 。
利用含参量积分的可积性和可微性, 可以计算一些其他
方法难以计算的积分，其思路是 1) 适当引入参量, 得到
M
f ( x, y )dy
对
x [ a , b ]
成立, 则称含参无穷积分 c 敛.
f ( x, y )dy 在 [ a , b ] (
关于 x )一致收
定理 19.7 ( Cauchy 收敛准则 ) 积分 I ( x) c
[ a , b ] 上一致收敛,
f ( x, y )dy 在
2 0
1 5
1 0
5
0
-5
-1 0
-1 5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
由图象看出 函数在定义域 ( 0, ) 内连续可微，下凸， 因此有唯一极小点，位于区间 (1, 2) 内，
lim ( s ) lim ( s )
s 0 s
函数的导函数
G ( x)
y2 ( x ) y1 ( x )
第十九章含参量积分
(ii) 、 可微性:
d
R (a x b, c y d ) 上连续,则
若函数 f ( x, y) 与其偏导数 f ( x, y) 都在矩形域 x
I(x) f ( x, y)dy 在 [a, b] 上可微, 且 c d d d f ( x, y )dy f ( x, y )dy c x dx c
d
c
f ( x, y) dy dx dy f ( x, y ) dx dy
b d a c d b c a
b
a d
dx dy
d
c b
f ( x, y ) dy f ( x, y ) dx
c
a
要研究这两个积分是否相等？
(iii )、 可积性 : 若二元函数 f ( x, y) 在矩形域R(a x b, c y d ) 上连续,
y1 y2 ,
有 f ( x1, y1 ) f ( x2 , y2 ) .
故当x 时有
I(x x) - I(x) f ( x x, y) f ( x, y) dy. dx (d c).
c c d
d
从而I ( x)在[a, b]上连续. 同理可证: 若f ( x, y)在矩形域R上连续， 则含参量y的积分
d u c a
其中u [a, b],则
u a
d u I (u ) I ( x)dx I (u ). dx a
J(y) f ( x, y)dx 在[c, d ]上连续. a 注 : 由连续性， 若f ( x, y)在矩形域R上连续， 则x0 [a, b], 都有
x x0 c
含参量积分与函数项级数的联系
含参量积分与函数项级数的联系引言含参量积分和函数项级数是数学中的两个重要概念，它们在各自的领域中有着广泛的应用。
本文将探讨含参量积分与函数项级数之间的联系，并展示它们在数学分析、物理学和工程学等领域中的应用。
含参量积分1. 定义含参量积分是指在积分的被积函数中含有某个参数的积分形式。
一般形式为：b(x,a)dxI(a)=∫fa其中，f(x,a)是一个含有参数a的函数，[a,b]是积分区间。
参数a可以是任意实数。
2. 性质含参量积分与普通积分在性质上有些区别。
以下是含参量积分的一些基本性质：•若被积函数连续，与参数a连续，则含参量积分连续；•若被积函数一致连续，与参数a一致连续，则含参量积分一致连续；•若被积函数可导，与参数a可导，则含参量积分可导，且可以通过求导来计算。
3. 应用举例含参量积分在数学分析、物理学和工程学中有广泛的应用。
以下是一些应用举例：•确定参数a使得含参量积分为定值；•研究参数a对积分结果的影响；•计算在参数a变化时的导数。
函数项级数1. 定义函数项级数是指由函数项构成的级数。
一般形式为：S (x )=∑f n ∞n=0(x )其中，f n (x )是一列函数项，x 是自变量。
2. 收敛性函数项级数的收敛性可以分为点态收敛、一致收敛和均方收敛。
以下是三种收敛性的定义：•点态收敛：对于任意的x ，级数收敛； •一致收敛：对于给定的ε>0，存在正整数N ，使得当n >N 时，对于所有的x ，有|S (x )−S n (x )|<ε； • 均方收敛：∫|S (x )−S n (x )|2ba dx 随n 趋向于无穷大时趋于0。
3. 应用举例函数项级数在数学分析、物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
以下是一些应用举例：•利用函数项级数展开函数，从而简化计算； •研究级数的收敛性，判断级数的和函数的性质； • 通过级数逼近，求解微分方程的近似解。
含参量积分与函数项级数的联系1. 含参量积分的级数展开对于一个函数f (x,a )，我们可以将其展开成函数项级数的形式。
第十九章含参量积分
第十九章含参量积分§1 含参量正常积分教学目的掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参量正常积分的求导法则．教学要求(1)了解含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参量正常积分的导数的计算公式．(2)掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明．教学建议(1) 要求学生必须理解含参量正常积分的定义．(2) 要求较好学生掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明.教学程序一、含参量正常积分的概念定义设二元函数()y x f,在矩形区域=R[][]d cba,,⨯上有定义，且对[]b a,内每一点x，函数()y x f,关于y在闭区间[]d c,上可积，则定义了x的函数()x I=()⎰dcdyyxf,，x∈[]b a,（1）设二元函数()y x f,在区域G=()()(){}bxaxdyxcyx≤≤≤≤,,上有定义，函数()x c，()x d为[]b a,上的连续函数，且对[]b a,内每一点x，函数()y x f,关于y在闭区间()()[]x dxc,上可积，则定义了x的函数()x F=()()()⎰x dxcdyyxf,，x∈[]b a,（2）称（1）和（2）为含参量x的正常积分．类似可定义含参量y的正常积分．二、含参量正常积分的连续性、可微性与可积性（一）、连续性定理19．1(连续性) 若二元函数()y x f ,在矩形区域R =[][]d c b a ,,⨯上连续，则函数()x I =()⎰dcdy y x f ,在[]b a ,上连续．证明 设[]b a x ,∈，对充分小的x ∆，有[]b a x x ,∈∆+（若x 为区间端点则考虑0>∆x 或0<∆x ），于是()()x I x x I -∆+=()()[]⎰-∆+dcdy y x f y x x f ,, （3）由于()y x f ,在有界闭区域R 上连续，从而一致连续，即对任给的正数ε，总存在某个正数δ，对R 内任意两点()11,y x 与()22,y x ，只要δ<-21x x ,δ<-21y y就有 ()()ε<-2211,,y x f y x f （4） 所以由（3）（4）可得：当δ<∆x ，()()x I x x I -∆+≤()()⎰-∆+dcdyy x f y x x f ,,≤⎰dcdy ε=()c d -ε这就证得()x I 在[]b a ,上连续．（同理，若二元函数()y x f ,在矩形区域R =[][]d c b a ,,⨯上连续，则函数()y J =()⎰badx y x f ,在[]d c ,上连续．）定理19．1的结论可写成：[]b a x ,0∈∀ ()()⎰⎰→→=dc x xd cx x dyy x f dy y x f ,lim ,lim（极限运算与积分运算交换顺序）.定理19．2(连续性) 设二元函数()y x f ,在区域G =()()(){}b x a x d y x c y x ≤≤≤≤,,上连续，其中函数()x c ，()x d 为[]b a ,上的连续函数，则函数()x F =()()()⎰x d x c dy y x f ,，x ∈[]b a , （6） 在[]b a ,上的连续．证明： 对积分（6）作换元，令()()()()x c x d t x c y -+=，则()x F =()()()⎰x d x c dy y x f ,=()()()()()()()()⎰--+1,dt x c x d c c x d t x c x f()()()()()()()()x c x d c c x d t x c x f --+,在矩形[]b a ,[]1,0⨯上连续，由定理19．1即得结论 （二）、可微性定理19．3(可微性) 若函数()y x f ,与其偏导数x ∂∂()y x f ,都在矩形区域R =[][]d c b a ,,⨯上连续，则()x I =()⎰dcdy y x f ,在[]b a ,上可微，且dxd()⎰dcdyy x f ,=()⎰∂∂dc dy y x f x ,证明：设[]b a x ,∈，对充分小的x ∆，有[]b a x x ,∈∆+（若x 为区间端点则考虑单侧导数），于是()()()()dy x y x f y x x f x x I x x I dc ⎰∆-∆+=∆-∆+,,.由于拉格朗日中值定理及x ∂∂()y x f ,在矩形区域R =[][]d c b a ,,⨯上连续（从而一致连续），即对任给的正数ε，总存在某个正数δ，只要δ<∆x ，就有()()()y x f x y x f y x x f x ,,,-∆-∆+=()()εθ<-∆+y x f y x x f x x ,,()10<<θ因此()≤-∆∆⎰d cx dy y x f x I,()()()dyy x f x y x f y x x f dcx ⎰-∆-∆+,,,()c d -<ε这就证得对一切[]b a x ,∈，()=x I dx d()⎰∂∂dc dy y x f x ,．定理19．4(可微性) 若函数()y x f ,与其偏导数x ∂∂()y x f ,都在区域R =[][]q p b a ,,⨯上连续，()x c ，()x d 为定义在[]b a ,上其值含于[]q p ,的可微函数，则()x F =()()()⎰x d x c dy y x f ,， 在[]b a ,上可微，且()x F '=()()()⎰x d xc x dy y x f ,+()()xd x f ,()x d '()()x c x f ,-()x c ' . （7）证明 把()x F 看作复合函数：()x F ＝()d c x H ,,=()⎰dcdy y x f ,,其中()()x d d x c c ==,,由复合函数求导法则及变上限积分的求导法则，有()x F dx d =dx dd d H dx dc c H x H ∂∂+∂∂+∂∂=()()()⎰x d x c x dy y x f ,+()()x d x f ,()x d '()()x c x f ,-()x c '（三）、可积性定理19．5(可积性) 若二元函数()y x f ,在矩形区域R =[][]d c b a ,,⨯上连续，则函数()x I =()⎰d cdy y x f ,和()y J =()⎰badx y x f ,分别在[]b a ,和[]d c ,上可积．证明 由()x I ,()y J 的连续性即知.定理19．6(可积性) 若二元函数()y x f ,在矩形R =[][]d c b a ,,⨯上连续，则⎰b adx ()⎰d cdy y x f ,=⎰d cdy ()⎰badxy x f ,.证 记()=u I 1⎰u a dx ()⎰dcdy y x f ,，()=u I 2⎰dcdy ()⎰uadx y x f ,,其中[]b a u ,∈，现分别求()u I 1与()u I 2的导数.()dudu I ='1()()u I dx x I ua=⎰，对于()u I 2，令()y u H ,=()⎰u adx y x f ,，则有()=u I 2()⎰dcdy y u H ,，因为()y u H ,与()y u H u ,=()y u f ,都在R 上连续，由定理19．3()u I 2'=()()()()u I dy y u f dy y u H dy y u H du ddc d c u d c ⎰⎰⎰===,,,，故得()u I 1'=()u I 2'，[]b a u ,∈，又()a I 1=()02=a I ， 即()u I 1=()u I 2，[]b a u ,∈，取b u =即得所欲证． 三、 应用的例例1 求⎰+→++αααα12201limx dx.解 记()=αI ⎰+++ααα1221x dx ，由于α，α+1，2211α++x 连续，所以⎰+→++αααα12201limx dx＝4112π=+⎰x dx . 例2 计算积分I =()⎰++10211ln dx x x .解 考虑()=αI ()⎰++10211ln dx x x α，由定理19．3()()()⎰++='10211dx x x x I αα=dx x x x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++1022211111αααα =()()011ln 1ln 21arctan 1122⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++x x x ααα=()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++x απαα1ln 2ln 214112，所以()⎰'1ααd I =()ααπααd x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++1021ln 2ln 21411=()()101arctan 2ln 21011ln 82I -++απ=()12ln 4I -π，另一方面()⎰'1ααd I =()()()101I I I =-，所以I =()=1I 2ln 8π，例3 设()x f 在0=x 的某个邻域内连续，验证当x 充分小时，函数()x ϕ=()()()⎰---xn dt t f t x n 01!11的各阶导数存在，且()()x n ϕ=()x f解 ()t x F ,=()()t f t x n 1--及其偏导数()t x F x ,在原点的某方邻域内连续，()x ϕ'=()()()()+---⎰-xn dt t f t x n n 021!11()()()t f x x n n 1!11--- =()()()⎰---xn dt t f t x n 02!21，所以()()x k ϕ=()()()⎰------xk n dt t f t x k n 01!11， ()()x n 1-ϕ=()⎰xdt t f 0，故()()x nϕ=()x f . 例4 求I =⎰-10ln dx x x x ab .解 ⎰b aydyx =x x x ab ln -，所以I =⎰-10ln dx x x x a b =⎰10dx ⎰ba y dy x =⎰⎰ba ydx x dy 10=⎰+ba dy y 11=ab ++11ln ，注：从例子中可体会到含参量的正常积分的分析性质对一些困难的积分的求出提供了方便.思考题:1．根据本节的各定理，在一般的区间I上含参量的正常积分的分析性质有些什么样的结论？2．能否找出更弱的条件使本节的某些定理仍成立，可否给予证明？作业教材178:1—6.§2 含参量反常积分教学目的 掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学要求(1)掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法，含参量反常积分的性质，以及含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法．(2) 掌握和应用狄里克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学建议(1) 本节的重点是含参量反常积分的一致收敛性及魏尔斯特拉斯判别法．要求学生会用魏尔斯特拉斯判别法判别含参量反常积分的一致收敛性．(2) 本节的难点是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性，可微性与可积性定理的证明．对较好学生在这方面提出高要求，布置有关习题；另外，由于这方面内容与函数项级数部分有类似之处，还可要求他们作比较与总结． 教学程序定义 设函数()y x f ,定义在无界区域R =(){}+∞<≤≤≤y c b x a y x ,,上，若对[]b a ,内每一个固定的x ，反常积分()⎰+∞cdyy x f ,都收敛，则它的值定义了[]b a ,上一个x 的函数，记()x I =()⎰+∞cdy y x f ,，x ∈[]b a , . （1） 称（1）式为定义在[]b a ,上的含参量x 的无穷限反常积分. 一、 一致收敛概念及其判别法 （一）、一致收敛的定义定义1 若含参量的反常积分（1）与函数()x I 对任给的正数ε，总存在某个实数c N >，使得当N M >时，对一切x ∈[]b a ,，都有()()ε<-⎰Mcx I dy y x f ,，即()ε<⎰+∞Mdy y x f ,，则称含参量的反常积分（1）在[]b a ,上一致收敛于()x I （二）、一致收敛的柯西准则定理19.7含参量的反常积分（1）在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任给的正数ε，总存在某个实数c M >，使得当M A A >21,时，对一切x ∈[]b a ,，都有()()ε<-⎰21,A A x I dy y x f .例1 证明参量的反常积分⎰+∞0sin dy y xy在[)+∞,δ上一致收敛（其中0>δ），但在()+∞,0上不一致收敛．证 令xy u =，⎰+∞A dy y xysin =⎰+∞Ax du u u sin ，其中0>A ，由于⎰+∞0sin du u u 收敛，故对任给的0>ε，总存在正数M ，使当M A >'时就有ε<⎰+∞'A du u usin .取M A >δ，则当δMA >时，对一切0>≥δx ，有ε<⎰+∞Ady y xysin ，所以⎰+∞0sin dy y xy在0>≥δx 上一致收敛．再证⎰+∞0sin dy y xy在()+∞,0上不一致收敛．按定义只要证明：存在某一正数0ε，使对任何实数()c M >，总相应地存在某个M A >及某个[)+∞∈,0x ，使得sin ε≥⎰+∞Ady y xy，因⎰+∞0sin du u u收敛，故对任何正数0ε与()c M >，总相应地存在某个0>x ，使得sin sin ε<-⎰⎰+∞+∞du u udu u u Mx ，即有<-⎰+∞00sin εdu uu<⎰+∞Mxdu u usin 00sin ε+⎰+∞du u u，令210=ε⎰+∞0sin du u u>0,则可得>⎰+∞Mdy y xysin ⎰+∞Mxdu u usin 000002sin εεεε=-=->⎰+∞du u u，所以⎰+∞0sin dy y xy在()+∞,0上不一致收敛． （三）、一致收敛的充要条件定理19.8含参量的反常积分（1）在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞+的递增数列{}n A （其中c A =1），函数项级数()∑⎰∞=+11,n A A n ndyy x f =()∑∞=1n n x u在[]b a ,上一致收敛．证 [必要性]由（1）在[]b a ,上一致收敛，故对任给的正数ε，必存在c M >，使当M A A >'>''时，对一切∈x []b a ,总有()ε<⎰'''A A dy y x f ,， （8）又由+∞→n A ()∞→n ，所以对正数M ，存在正整数N ，只要N n m >>时，就有M A A n m >>．由（8）对一切∈x []b a ,，就有()()()()ε<++=++⎰⎰++11,,m mn nA A A A m n dy y x f dy y x f x u x u ，这就证明了级数(7)在上一致收敛.[充分性]略（四）、一致收敛的M 判别法设有函数()y g ，使得()()x g y x f ≤,，b x a ≤≤，+∞<≤y c ，若()⎰+∞cdyy g 收敛，则()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛．（五）、一致收敛的狄里克莱判别法（ⅰ）对一切实数c N >，含参量的反常积分()⎰Ncdyy x f ,对参量x 在[]b a ,上一致有界，即存在正数M ，对一切，c N >及一切x ∈[]b a ,，都有()Mdy y x f Nc≤⎰,；（ⅱ）对每一个x ∈[]b a ,，函数()y x g ,关于y 是单调递减且当y +∞→时，对参量x ，()y x g ,一致地收敛于0，则含参量的反常积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛．（六）、一致收敛的阿贝尔判别法（ⅰ）设()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛；（ⅱ）对每一个x ∈[]b a ,，函数()y x g ,关于y 是单调函数，且对参量x ，()y x g ,在[]b a ,上一致有界，则含参量的反常积分，()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛．例2 证明含参量的反常积分⎰+∞+021cos dy x x在()+∞∞-,上一致收敛．证 由22111cos x x x +≤+，因⎰+∞+0211dy x 收敛和一致收敛的M 判别法即可得．例3 证明含参量的反常积分⎰+∞-0sin dy x xe xy在[]d ,0上一致收敛．证` 由⎰+∞0sin dx x x收敛从而一致收敛，1≤=--xy xy e e ，()[)[]d y x ,0,0,⨯+∞∈及对每一[]d y ,0∈单调，据阿贝尔判别法即得．例4 证明：若()y x f ,在[][)+∞⨯,,c b a 上连续，又()⎰+∞cdy y x f ,在[)b a ,上一致收敛，但在b x =处发散，则()⎰+∞cdy y x f ,在[)b a ,上不一致收敛．证 反证法．假若积分()⎰+∞cdy y x f ,在[)b a ,上一致收敛．则对于任给的0>ε，总存在c M >，当M A A >',时对一切∈x [)b a ,恒有，()ε<⎰'A Ady y x f ,，由假设()y x f ,在[][)+∞⨯,,c b a 上连续，所以()⎰+∞cdy y x f ,在[)b a ,上是x 的连续函数．在上面不等式中令b x →，得到当M A A >'>时，()ε≤⎰'A Ady y b f ,，而ε是任给的，因此()⎰+∞cdyy x f ,在b x =处收敛，这与假设矛盾．所以()⎰+∞cdyy x f ,在[)b a ,上不一致收敛． 二、含参量反常积分的性质 （一）、连续性定理19．9设()y x f ,在[][)+∞⨯,,c b a 上连续，若含参量反常积分()x I =()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛，则()x I 在[]b a ,上连续．证明 由定理19．8，对任一递增且趋于∞+的数列{})(1c A A n =，函数项级数()()()∑∑⎰∞=∞=+==111,n n n A A x u dy y x f x I n n在[]b a ,上连续．又由于()y x f ,在[][)+∞⨯,,c b a 上连续，故每个()x u n 都在[]b a ,上连续．由函数项级数的连续性定理，函数()x I 在[]b a ,上连续．（二）、可微性定理19．10设()y x f ,和()y x f x ,在[][)+∞⨯,,c b a 上连续，若含参量反常积分()x I =()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上收敛，()⎰+∞cxdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛，则()x I 在[]b a ,上可微，且()x I '=()⎰+∞cx dy y x f ,证明 对任一递增且趋于∞+的数列{})(1c A A n =，令()()⎰+=1,n nA A n dyy x f x u ，由定理19．3()()⎰+='1,n nA A x ndyy x f x u ，由()⎰+∞cx dy y x f ,在[]b a ,上一致收敛，及定理19．8，可得()()∑⎰∑∞=∞=+='111,n A A xn nn ndy y x f x u 在[]b a ,上一致收敛，据函数项级数逐项求导定理即可得()='x I ()()∑⎰∑∞=∞=+='111,n A A xn nn ndy y x f x u =()⎰+∞cxdy y x f ,，即dxd ()⎰+∞cdy y x f ,=()⎰+∞cxdyy x f ,.（三）、可积性定理19.11设()y x f ,在[][)+∞⨯,,c b a 上连续，若()x I =()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛，则()x I 在[]b a ,上可积，且⎰b adx ()⎰+∞cdy y x f ,=()⎰⎰+∞c badxy x f dy ,.证明 由定理19．9知()x I []b a ,上连续从而可积，又由定理19．9的证明函数项级数()()()∑∑⎰∞=∞=+==111,n n n A A x u dy y x f x I n n在[]b a ,上一致收敛，由逐项求积定理，即有⎰b adx ()⎰+∞cdy y x f ,=()⎰ba dx x I =()∑⎰∞=1n b andx x u =()∑⎰⎰∞=+11,n baA A n ndy y x f dx =()⎰∑⎰∞=+ban A A dxy x f dy n n,11=()⎰⎰+∞cbadxy x f dy ,.定理19.12设()y x f ,在[][)+∞⨯,,c b a 上连续，若（ⅰ）()⎰+∞adxy x f ,关于y 在任何闭区间[]d c ,上一致收敛，()⎰+∞cdyy x f ,于x 在任何闭区间[]b a ,上一致收敛，（ⅱ）积分()⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ,与()⎰⎰+∞+∞c adxy x f dy , （18）中有一个收敛，则（18）中的另一个也收敛，且()⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ,=()⎰⎰+∞+∞c adxy x f dy ,.证明 不妨设（18）中第一个积分收敛，由此得()dyy x f dx ac⎰⎰+∞+∞,也收敛．当c d >时，d I =()()⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞-d caacdyy x f dx dx y x f dy ,,=()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞--d caaaddcdyy x f dx dy y x f dx dx y x f dy ,,,，根据条件（ⅰ）及定理19.11，可推得d I =()⎰⎰+∞+∞addy y x f dx ,≤()()⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+A dA a d dyy x f dx dy y x f dx ,,，≤()()⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+AdA addyy x f dx dy y x f dx ,, . （20）由条件（ⅱ），对任给的0>ε，有0>G ，使当G A >时，有()⎰⎰+∞+∞Addy y x f dx ,ε<，选定A 后，由()⎰+∞cdyy x f ,的一致收敛性，存在0>M ，使得当M d >时有()()d A dy y x f d-<⎰+∞2,ε，这两个结果应用到（20）式得到d I εεε=+<22.即0lim =+∞→d d I ，这就证明了（19）式．三、应用的例例5 计算I =⎰+∞--0sin sin dxx axbx e px（a b p >>,0）解 x ax bx sin sin -=⎰ba xydycos ，I =⎰+∞--0sin sin dx x axbx epx=⎰⎰+∞-0)cos (dx xydy e b a px =⎰⎰+∞-b a px dxxy e dy 0cos=⎰+ba dy y p p22=p a p b arctan arctan -. 例6计算⎰+∞0sin dx x ax .解 ()=p F ⎰+∞-0sin dx x axe px=p a arctan ()0>p ， 由连续性⎰+∞0sin dx x ax=()=0F +→0lim p ()=p F +→0lim p ⎰+∞-0sin dx x axe px=+→0lim p p a arctan =asgn 2π.例7 计算()r ϕ=⎰+∞-0cos 2rxdx e x .解 由22cos x x erx e--≤和⎰+∞-02dx ex 收敛，⎰+∞-0cos 2rxdx e x一致收敛，类似⎰+∞-∂∂0)cos (2dx rx e r x =⎰+∞--0sin 2rxdx xe x 也一致收敛，()r ϕ'=⎰+∞--0sin 2rxdx xe x =⎰+∞---∞+0cos 210sin 2122rxdx re rx e x x =⎰+∞--0cos 22rxdxe r x=()r r ϕ2-.于是 ()r ϕln =c r ln 42+-， ()r ϕ=42r ce -，由 ()0ϕ=⎰+∞-02dxe x =2π， 得()r ϕ=422r e-π.四、含参量的无界函数反常积分设()y x f ,在区域R =[][]d c b a ,,⨯上有定义，若对某些x 的值，d y =为函数()y x f ,的瑕点，则称()⎰dcdyy x f ,为参量x 的无界函数反常积分．定义2 对任给正数ε，总存在某正数c d -<δ，使得当δη<<0时，对一切x ∈[]b a ,，都有()εη<⎰-dd dy y x f ,，则称含参量反常积分()⎰dcdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛．注：从例子中可体会到含参量的反常积分的分析性质对一些困难的反常积分的求出提供了方便。
冲刺高考数学含参量积分的概念与性质
冲刺高考数学含参量积分的概念与性质在高考数学的众多考点中，含参量积分是一个相对较难但又十分重要的部分。
对于即将面临高考的同学们来说，深入理解含参量积分的概念与性质，掌握相关的解题方法和技巧，是在数学考试中取得高分的关键之一。
一、含参量积分的概念含参量积分是指被积函数中含有参量的积分。
简单来说，如果积分表达式中的被积函数不仅仅是变量 x 的函数，还包含了另一个变量 y （或其他符号表示的参量），那么这样的积分就称为含参量积分。
例如，我们有积分：∫f(x,y)dx ，其中 y 就是参量。
含参量积分主要有两种类型：含参量正常积分和含参量反常积分。
含参量正常积分是指积分上限和下限都是确定的有限值，并且被积函数在积分区间上连续。
比如：∫ₐᵇ f(x,y)dx ，其中 a 和 b 是确定的常数。
含参量反常积分则是指积分上限或者下限是无穷，或者被积函数在积分区间内存在奇点（即函数在该点无定义或极限不存在）。
比如：∫₀^＋∞ f(x,y)dx 。
二、含参量积分的性质1、连续性若函数 f(x,y) 在矩形区域 a,b×c,d 上连续，则含参量正常积分 I(y) ＝∫ₐᵇ f(x,y)dx 在 c,d 上连续。
这意味着当参量 y 在 c,d 内连续变化时，积分的值也会连续变化。
2、可微性若函数 f(x,y) 及其偏导数f'ₓ(x,y) 在矩形区域 a,b×c,d 上连续，则含参量正常积分 I(y) ＝∫ₐᵇ f(x,y)dx 在 c,d 上可微，并且其导数为 I'（y) ＝∫ₐᵇf'ₓ(x,y)dx 。
这个性质在解决一些与导数相关的问题时非常有用。
3、积分顺序交换对于一些特定的含参量积分，我们可以交换积分顺序。
比如对于二元连续函数 f(x,y) 在矩形区域 a,b×c,d 上的积分，∫ₐᵇ（∫ₐᵈ f(x,y)dy)dx ＝∫ₐᵈ（∫ₐᵇ f(x,y)dx)dy 。
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I ( x) f ( x, y)dy
c
d
在[a, b]上可微, 且
d d d f ( x, y )dy f x ( x, y )dy. c dx c
第 §1 含参量正常积分 十 七 拉格朗日中值定理 章
设 f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)可导, 在存在
多 元 函 数 微 分 学
§1 含参量正常积分
基本内容: 含参量正常积分及其性质 基本要求: 了解含参量正常积分的概念, 掌握含 参量正常积分的性质, 会利用性质计
一些函数的积分
重点难点: 含参量正常积分的性质及其应用
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
§1 含参量正常积分
定义 设 f (x, y)是定义在矩形区域 R[a, b][c, d]上 的二元函数. 若对任意x[a, b], 作为y的一元 函数 f (x, y)在[c, d]上可积, 则称积分
x1 x2 ,
就有
y1 y2 ,
f x1 , y1 f x2 , y2 .
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
§1 含参量正常积分
定理19.3(可微性) 若函数 f (x, y)与 fx(x, y)都在矩形区 域R[a, b][c, d]上连续, 则
内的可微函数, 则函数
F ( x)
在[a, b]上可微, 且
F ( x)
c c a
d
d
b
(8)
闭区间上的连续函数是可积的.
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
§1 含参量正常积分
例1 计算积分
ln(1 x) I dx. 0 1 x2
1
例2 求
xb x a I dx. 0 ln x
1
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
§1 含参量正常积分
I ( x) f ( x, y)dy
c
d
(1)
为定义在[a, b]上含参量x的正常积分, 简称 含参量积分.
J ( y) f ( x, y)dx
a
b
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
§1 含参量正常积分
定理19.1(连续性) 设二元函数 f (x, y)在矩形区域 R[a, b][c, d]上连续, 则函数
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
§1 含参量正常积分
定义 设 f (x, y)定义在区域
G ( x, y) | c( x) y d ( x), a x b
上. 若对任意x[a, b], 作为y的函数 f (x, y)在 [cHale Waihona Puke x), d(x)]上可积, 则称积分
含参量反常积分的一致收敛以及欧拉积
分等概念, 掌握含参量正(反)常积分的 性质和反常积分一致收敛性判别法.
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
第十九章 含 参 量 积 分
重点难点: 含参量正(反)常积分的性质, 含参量反常 积分一致收敛判别法, -函数, B-函数 递推公式及它们的关系.
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
上连续, 其中c(x), d(x)为[a, b]上的连续函数, 则函数
F ( x)
在[a, b]上连续.
d ( x)
c( x)
f ( x, y)dy
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
§1 含参量正常积分
定理19.4(可微性) 设 f (x, y)与 fx(x, y)在R[a, b][p, q] 上连续, c(x), d(x)为定义在[a, b]上其值含于[p, q]
F ( x)
含参量积分.
d ( x)
c( x)
f ( x, y)dy,
x [a, b]
为定义在[a, b]上含参量x的正常积分, 简称
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
§1 含参量正常积分
定理19.2(连续性) 设二元函数 f (x, y)在区域
G ( x, y) | c( x) y d ( x), a x b
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
第十九章 含 参 量 积 分
§1 含参量正常积分 §2 含参量反常积分 §3 欧拉积分
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
第十九章 含 参 量 积 分
基本内容: 含参量正常积分及其性质, 含参量反常 积分及其性质, 含参量反常积分的一致 收敛性及其判别, 欧拉积分. 基本要求: 了解含参量正常积分, 含参量反常积分,
作业 P.178. 习题 2. (2); 4. (2) 5. (1). 10(选做)
补充作业
1. 设 f (x,y) ysin(xy), 求出含参量正常积分
I ( x) f ( x, y)dy
0
1
的定义域及函数的表达式. 2(选做). 计算积分
2 0
I
arctan( tan x) dx. tan x
(a, b), 使得 f (b) f (a) f ( )(b a),
等价地, 存在(0, 1), 使得
f (b) f (a) f a (b a) (b a).
第 §1 含参量正常积分 十 七 中值定理 章 多 元 函 数 微 分 学
f (a h, b k ) f (a, b) f x (a h, b k )h f y (a h, b k )k.
I ( x) f ( x, y)dy
c
d
在[a, b]上连续.
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
§1 含参量正常积分
有界闭域上的连续函数是一致连续的.
设二元函数 f (x, y)在有界闭域D上连续, 则 f 在
D上一致连续, 即对 0, 0, 使得对任意D 中的(x1, y1)和(x2, y2), 只要
其中(0, 1).
第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学
§1 含参量正常积分
定理19.5(可积性) 若 f (x, y)在矩形区域R[a, b][c, d] 上连续, 则I(x)和J(y)分别在[a, b]和[c, d]上可积, 且
b
a
dx f ( x, y)dy dy f ( x, y)dx.