【数学】江苏省南京市金陵中学2017-2018学年高二下学期期末考试

江苏省南京市金陵中学2017-2018学年

高二下学期期末考试

数学I

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填在答题卡相应位置上. 1.设集合{2,4}A =,{2,6,8}B =,则A

B = .

2.已知复数2

(12i)z =-,其中i 是虚数单位,则||z 的值是 .

3.某校共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本,已知从女学生中抽取的人数为50人,那么n 的值为 .

4.如图是一算法的伪代码,则输出值为 .

5.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中, 3cm AB AD ==,12cm AA =,则三棱锥

111A AB D -的体积为 .

6.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22

21(0)x y m m -=>的一条渐近线方程为

30x y +=,则实数m 的值为 .

7.设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若52378,13a a S -

==,则数列{}n a 的

通项公式为n a =

.

8.将一颗均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为,m n ,则“2m n >”的概率是 . 9.若实数,x y 满足条件14,

23,x y x y -≤+≤⎧⎨

≤-≤⎩

则42z x y =-的取值范围为 .

10.在平面直角坐标系xOy 中,已知()cos f x x =,()3sin g x x =

,两曲线()y f x =与

()y g x =在区间(0,)2

π

上交点为A .若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于,B C 两点,则线段BC 的为 .

11.如图,在平面四边形ABCD 中, O 是对角线AC 的中点,且10OB =，6OD =. 若

28DA DC ⋅=-,则BA BC ⋅的值为 .

12.若对满足64x y xy ++=的任意正实数,x y ,都有2

2

210x xy y ax ay ++--+≥,则实数a 的取值范围为 .

13.在平面直角坐标系xOy 中,记椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若该

椭圆上恰好有6个不同的点P ,使得12F F P ∆为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是 .

14.对于任意的实数,m n ,记min{,}m n 为,m n 中的最小值.设函数2

1

()4f x x a x

=+

+，()ln g x x =-，函数()min{(),()}h x f x g x =,若()h x 在(0,)+∞恰有一个零点,则实数a 的

取值范围是 .

二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程.

15.在平面直角坐标系xOy 中,设向量(sin ,1)m x =-,2

(3cos ,cos )n x x =.

(1)当3

x π

=

时,求m n ⋅的值；

(2)若[0,]4

x π

∈，且31

32

m n ⋅=

-.求cos2x 的值.

16.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,平面PAD ⊥平面ABCD , AP AD =,点M 在棱PD 上, AM PD ⊥,点N 是棱PC 的中点,求证：

(1) MN ∥平面PAB ; (2) AM ⊥平面PCD .

17.如图,在一个水平面内,河流的两岸平行,河宽1(单位:千米)村庄,A B 和供电站C 恰位于一个边长为2(单位:千米)的等边三角形的三个顶点处,且,A C 位于河流的两岸,村庄A 侧的河岸所在直线恰经过BC 的中点D .现欲在河岸上,A D 之间取一点E ,分别修建电缆CE 和EA ,

EB .设DCE θ∠=,记电缆总长度为()f θ (单位:千米).

(1)求()f θ的解析式；

(2)当DCE ∠为多大时,电缆的总长度()f θ最小,并求出最小值

.

18.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的离心率为32,且过

点1

(3,)2

.设F 为椭圆的右焦点, ,A B 为椭圆上关于原点对称的两点,连结,AF BF 并延长,分别交椭圆于,C D 两点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设直线,AB CD 的斜率分别为12,k k ,是否存在实数m ,使得21k mk =?若存在,求出实数m 的值;若不存在,请说明理由.

19.设数列{}n a 的前n 项的和为n S ,且满足12a =,对*n N ∀∈,都有1(1)2n n a p S +=-+ (其中常数1p >),数列{}n b 满足2121

log ()n n b a a a n

=.

(1)求证:数列{}n a 是等比数列； (2)若22017

2

p =,求2018b 的值；

(3)若*

k N ∃∈,使得221

2k p +=,记3

||2

n n c b =-

,求数列{}n c 的前2(1)k +项的和.

20.在平面直角坐标系xOy 中,已知函数()1n (R)f x c x c =∈的图像与直线2

y x e

=相切,其中e 是自然对数的底数

.