高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战31295

高考模拟复习试卷试题模拟卷

【考情解读】

1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；

【重点知识梳理】

1．正、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理

内容

a

sin A＝

b

sin B＝

c

sin C＝2R

a2＝b2＋

c22bccos__A；

b2＝c2＋

a22cacos__B；

c2＝a2＋b2－

2abcos__C

常见

变形

(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin_C；

(2)sin A＝

a

2R，sin B＝

b

2R，sin C＝

c

2R；

(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；

(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A

cos A＝

b2＋c2－a2

2bc；

cos B＝

c2＋a2－b2

2ac；

cos C＝

a2＋b2－c2

2ab

2.S△ABC＝

1

2absin C＝

1

2bcsin A＝

1

2acsin B＝

abc

4R＝

1

2(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.

【高频考点突破】

考点一利用正、余弦定理解三角形

例1、(1)在△ABC中，∠ABC＝

π

4，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝()

A.

10

10 B.

10

5

C.

310

10 D.

5

5

(2)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝

22

3，AB＝32，AD＝3，则

BD的长为________．

【答案】(1)C(2)3 【提分秘籍】

利用正、余弦定理解三角形的关键是合理地选择正弦或余弦定理进行边角互化，解题过程中注意隐含条件的挖掘以确定解的个数．

【变式探究】

在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2asin ⎝

⎛⎭

⎫B ＋π4＝c.

(1)求角A 的大小；

(2)若△ABC 为锐角三角形，求sin Bsin C 的取值范围．

考点二三角形形状的判断

例2、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcos C ＋ccos B ＝asin A ，则△ABC 的形状为()

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形 D．不确定

【答案】B

【提分秘籍】

依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法

(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；

(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．注意：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．

【变式探究】

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc.

(1)求角A的大小；

(2)若sin B·sin C＝sin2A，试判断△ABC的形状．

考点三三角形的面积问题

例3、在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.

(1)求角A的大小；

(2)若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sin Bsin C的值．

【方法技巧】

三角形的面积求法最常用的是利用公式S ＝12absin C ＝12acsinB ＝1

2bcsin A 去求．计算时注意整体运算及正、余弦定理的应用．

【变式探究】

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若acos2C 2＋ccos2A 2＝3

2b. (1)求证：a ，b ，c 成等差数列；

(2)若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积．

考点四解三角形

例4、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos2A －B

2cos B －sin(A －B)sin B ＋cos(A ＋C)＝－35.

(1)求cos A 的值；

(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →

方向上的投影．

【提分秘籍】

正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题、多以解答题形式出现．

【真题感悟】

【高考广东，文5】设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，23c =，

3

cos A =

b c <，则b =（ ） A 3B ．2C ．22．3