学考复习第七讲 幂函数 函数与方程

(1)函数零点的定义 对于函数 y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y
＝f(x)的零点．
(2)几个等价关系
方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函
零点
数 y＝f(x)有
．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是
考向二 函数零点性质的应用
例 2.已知函数 f(x)＝ax3－2ax＋3a－4 在区间(－1,1)上有一个零 点． (1)求实数 a 的取值范围； (2)若 a＝3127，用二分法求方程 f(x)＝0 在区间(－1,1)上的根． 解 (1)若 a＝0，则 f(x)＝－4 与题意不符，∴a≠0， ∴f(－1)·f(1)＝8(a－1)(a－2)＜0，∴1＜a＜2.
考向三 幂函数的图象和性质 【例 3】►已知幂函数 f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于 y 轴对称，且在(0， ＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－m3 ＜(3－2a)－m3 的 a 的取值范围．
[审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3＜0，再结合m是整数， 及幂函数是偶数可得m的值．
基础梳理
1．幂函数的定义
一般地，形如
y＝xα (α∈R)的函数称为幂函数，其中
底数 x是自变量，α 为常数．
2．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系下，幂函数 y＝x，y＝x2，
y＝x3，y＝ ，y＝x－1 的图象分别如右图．
3．幂函数的性质
函数
特征
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝
y＝x－1
性质
定义域 R
解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3. ∵m∈N*，∴m＝1,2. 又函数的图象关于y轴对称， ∴m2－2m－3是偶数， 而22－2×2－3＝－3为奇数， 12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m＝1.
而f(x)＝x－13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数， ∴(a＋1)－13＜(3－2a)－13等价于a＋1＞3－2a＞0 或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a. 解得a＜－1或23＜a＜32. 故a的取值范围为a|a＜－1或23＜a＜32.
相应于曲线 C1，C2，C3，C4 的 n 值依次为( B )．
A．－2，－12，12，2
B．2，12，－12，－2
C．－12，－2,2，12
D．2，12，－2，－12
3．若函数 y＝f(x)在 R 上递增，则函数 y＝f(x)的零点( )．
A．至少有一个
B．至多有一个
C．有且只有一个
D．可能有无数个
五个代表 函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝x－1 可做为研究和学习幂 函数图象和性质的代表． 一个口诀 用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值 计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎 么办？精确度上来判断．
两个防范 (1)函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，是数不是点． (2)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并 且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，满足这些条 件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图， f(a)·f(b)＞0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两 个．所以说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．
法二 方程log3x＋x－3＝0可化为log3x＝3－x，在同一坐标系 中作出y＝log3x和y＝3－x的图象如图所示，可观察判断出两图 象交点横坐标在区间(2,3)内．
答案 C
对函数零点个数的判断可从以下几个方面入手考 虑：(1)结合函数图象；(2)根据零点存在定理求某些点的函数 值；(3)利用函数的单调性判断函数的零点是否唯一等．
第7讲 幂函数 函数与方程
【复习要求】 1．了解幂函数的概念，知道几种特殊函数的图象和性质，会用幂函数的图 象和性质分析解决有关问题． 2．理解方程的根与函数的零点的概念及其关系，会判断简单函数的零点所 在区间和零点个数。 3．知道用二分法求方程的近似解的步骤． 【复习指导】 (1) 本讲复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握幂函数的图象和性 质，准确理解函数零点的概念，方程的根、函数与 x 轴的交点，三者之间的 区别与联系，能够实现彼此之间的灵活转化，并能利用特殊点的函数值，根 据零点存在性定理来判断函数零点所在的区间；(2)灵活运用函数图象，将
(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下： ①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；②求区间 (a，b)的中点c；③计算f(c)； (ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点； (ⅱ)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))； (ⅲ)若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))． ④判断是否达到精确度ε.即：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值 a(或b)；否则重复②③④.
,
则使函数
y
x
的定义域为
R且为奇函数的所有 值为
（A）
A.1,3
B.-1,1
C.-1,3
1 D.1,3，2
解析 当 =1，3时，y x的定义域为R且为奇函
数，当
=-1时，y
1 x
的定义域为{x|x≠0,x∈R},
1
淘汰B、C,当 1 时,y x 2 的定义域为[0,+∞),
2
排除D.故选A.
2．如图中曲线是幂函数 y＝xn 在第一象限的图象．已知 n 取±2，±12四个值，则
三种方法 函数零点个数的判断方法： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几 个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是 连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性 质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； (3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的 个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零 点．
答案 B
4．如图所示的函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求 图中交点横坐标的是( )．
A．①② 答案 B
B．①③
C．①④
D．③④
5．在下列区间中，函数 f(x)＝ex＋4x－3 的零点所在的区间为( )．
A.－14，0
B.0，14
C.14，12
D.12，34
解析 因为 f14＝e14＋4×14－3＝e14－2＜0，f12＝e12＋4×12－3＝e12
m＜x1＜x2
Δ＞0
－2ba＞m fm＞0
x1＜m＜x2 m＜x1＜x2＜n
f(m)＜0
Δ＞0 m＜－2ba＜n fm＞0 fn＞0
m＜x1＜n＜x2＜p 只有一根在(m，n)之间
ffnm＜＞00 fp＞0
Δ＝0 m＜－2ba＜n 或
f(m)·f(n) ＜0
6.二分法求方程的近似解 (1)二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)＜0 的函数 y＝ f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间 一分为二 ， 使区间的两个端点逐步逼近 零点 ，进而得到零点近似值的 方法叫做二分法．
R
R [0，＋∞) {x|x∈R 且 x≠0}
值域 奇偶性
R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R 且 y≠0 }
奇
偶
奇 非奇非偶
奇
x∈[0，＋∞)
单
时，增，x∈
x∈(0，＋∞)时，减 ，
调增
增增
(－∞，0]时，
x∈(－∞，0)时，减
性
减
定
(0,0)，(1,1)
(1,1)
点
4．函数的零点
(2)若a＝3127，则f(x)＝3127x3－6147x＋2187， ∴f(－1)＞0，f(1)＜0，f(0)＝2187＞0， ∴零点在(0,1)上，又f12＝0， ∴f(x)＝0的根为12.
解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程 的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间 的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．
本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性 较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问 题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性) 求出 m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数 的图象求出参数 a 的取值范围．
双基自测
1.设
1,1,
1 2
,3
－1＞0，所以 f(x)＝ex＋4x－3 的零点所在的区间为14，12.
答案 C
6．已知函数 f(x)＝x2＋x＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数 a 的 取值范围是________． 解 析 函 数 f(x) ＝ x2 ＋ x ＋ a 在 (0,1) 上 递 增 ． 由 已 知 条 件
f(0)f(1)<0，即 a(a＋2)<0，解得－2<a<0. 答案 (－2,0)
考向一 函数零点与零点个数的判断
【例 1】 函数 f(x)＝log3x＋x－3 的零点一定在区间( )． A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析 法一 函数 f(x)＝log3x＋x－3 的定义域为(0，＋∞)，并 且在(0，＋∞)上递增连续，又 f(2)＝log32－1＜0，f(3)＝1＞0， ∴函数 f(x)＝log3x＋x－3 有唯一的零点且零点在区间(2,3)内．
条曲线，并且有
f(a)·f(b)＜0
连续 不断的一 ，那么，函数y＝
f(x)在区Байду номын сангаас(a，b)
内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝
0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
5．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)零点的分布
根的分布(m＜ n＜p 为常数)
图象
满足条件
x1＜x2＜m
Δ＞0
－2ba＜m fm＞0