郑君里《信号与系统》(第3版)课后习题(模拟与数字滤波器)【圣才出品】
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郑君里《信号与系统》(第3版)配套题库【考研真题+模拟试题】【圣才出品】
第 7 章 离散时间系统的时域分析
一、填空题
1．周期分别为 3 和 5 的两个离散序列的卷积和的周期性为______。[北京航空航天大学
2007 研]
【答案】7
【解析】对于线性卷积，若一个周期为 M，另一个周期为 N，则卷积后周期为 M+N
－1，所以T T1 T2 1 3 5 1 7 。
2．某线性时不变（LTI）离散时间系统，若该系统的单位阶跃响应为
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Y z z 6z 1 8z 2 3z 3
根据时域卷积定理可得：
H
z
z
6 z 1 z
8z2 2 z1
3z 3
使用长除法可得：
H z 1 2z 1 3z 2
取逆变换可得：
h[n] n 2 n 1 3 n 2
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yzs (0) 1, yzs (1) 1/ 2, yzs (2) 5/ 4, yzs (3) 13/ 8, yzs (4) 29 /16, yzs (5) 93/ 32 （2）零输入响应 yzi (n) 的递推方程可以化简为
由于
x[n] u[n 1] u[n] u[n 1] u[n 2]
u[n 1] u[n 1] u[n] u[n 2]
此式又可以写成：
x[n] n 1 2 n n 1 X z z 2 z 1
由题意可知：
yn x n*h n n 1 6 n 1 8 n 2 3 n 3
yzi (n) 0.5 yzi (n 1)
(n)
1 0
(n (n
0)
。当
0)
郑君里《信号与系统》(第3版)(上册)(课后习题 绪 论)【圣才出品】
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（1） ut ut T sin 4π t ；
T
（2） ut 2ut T ut 2T sin 4π t 。
T
解：（1）信号 sin 4π t 的周期为 T ，截取信号 sin 4π t 在区间[0，T]上的波形如
T
2
T
图 1-5(a)所示。
（2）信号 sin 4π t 的周期为 T ，截取信号 sin 4π t 在区间[0，T]上的波形，在区
2
1-3 分别求下列各周期信号的周期 T：
（1） cos10t cos30t；
（2） e j10t ；
（3） 5sin8t2 ；
（4）
1n
ut
nT
ut
nT
T
n为正整数。
|
解：（1）分量 cos(10t) 的周期T1
2 10
5
，分量 cos(30t) 的周期T2
，两者的 15
最小公倍数是 ，所以此信号的周期T 。
eatu(t) 台eatu(t t0 ) eatu(t t0 ) ea(tt0 )u(t t0 )
eatu(t) ea(tt0 )u(t t0 )
（2）表达式（1-17）为
t
（f ）d
1
=
a
(1 eat ), (0
t
t0 )
1 a
(1
e at
)
1 a
1
e a (tt0 )
以上各式中 n 为正整数。
解：（1） eat sin(t) 时间、幅值均连续取值，故为连续时间信号（模拟信号）；
（2） enT 时间离散、幅值连续，故为离散时间信号（抽样信号）；
（3） cos(n ) 时间、幅值均离散，故为离散时间信号（数字信号）；
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第2章 连续时间系统的时域分析【圣才
Ri(t) v1(t) e(t)
Ri(t)
1 C
t
i(
)d
v1 (t )
e(t)
vo (t) v1(t)
消元可得微分方程：
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1
台
C
d
dt
vo (t)
1 R
vo (t)
R
e(t)
2-2 图 2-2-2 所示为理想火箭推动器模型。火箭质量为 m1，荷载舱质量为 m2，两 者中间用刚度系数为 k 的弹簧相连接。火箭和荷载舱各自受到摩擦力的作用，摩擦系数分 别为 f1 和 f2。求火箭推进力 e（t）与荷载舱运动速度 v2（t）之间的微分方程表示。
M
di1 (t ) dt
Ri2 (t)
0
化简方程组可得微分方程：
(L2
M
2
)
d4 dt 4
vo
(t)
2RL
d3 dt 3
vo
(t)
2L C
R2
d2 dt 2
vo
(t)
2R C
d dt
vo
(t)
1 C2
vo
(t)
MR
d2 dt 2
e(t)
（3）由图 2-2-1（c）所示列写电路方程，得：
C
dv1 (t ) dt
b．自由响应由两部分组成，其中，一部分由起始状态决定，另一部分由激励信号决 定，二者都与系统的自身参数有关；当系统 0－状态为零，则零输入响应为零，但自由响应 可以不为零。
c．零输入响应在 0－时刻到 0＋时刻不跳变，此时刻若发生跳变，可能为零状态响应分 量。
《信号与系统》(郑君里)课后习题答案
2
(t )
2
非线性：设 r1 ( t ) = e1
( t ) 、 r2 ( t ) = e2 2 ( t ) ，
2 2 2 2
则⎡ ⎣ c1e1 ( t ) + c2 e2 ( t ) ⎤ ⎦ = c1 e1 ( t ) + c2 e2
2
( t ) + 2c1c2e1 ( t ) e2 ( t ) ≠ c1r1 ( t ) + c2 r2 ( t )
5
即 输 入 x1 ( t ) ， x2 ( t ) 得 到 的 输 出 分 别 为 y1 ( t ) ， y2 ( t ) ， T ⎡ ⎣ x1 ( t ) ⎤ ⎦ = y1 ( t ) ，
T⎡ 。 ⎣ x2 ( t ) ⎤ ⎦ = y2 ( t ) ，则 T ⎡ ⎣ c1 x1 ( t ) + c2 x2 ( t ) ⎤ ⎦ = c1 y1 ( t ) + c2 y2 ( t ) （ c1 ， c2 为常数）
解题过程：
(a-1)
(a-2)
(a-3)
4
(a-4)
(b) f ( t ) 为偶函数，故只有偶分量，为其本身
(c-1)
(c-2)
(c-3)
(c-4)
(d-1)
(d-2)
(d-3)
(d-4)
1-20 分析过程：本题为判断系统性质：线性、时不变性、因果性 （1）线性（Linearity） ：基本含义为叠加性和均匀性
f (t )
1 1
f ( 3t )
→
→
-2
-1
0
1
-2/3
f ( 3t − 2 )
→
1/3
f ( −3t − 2 )
(t )
2
非线性：设 r1 ( t ) = e1
( t ) 、 r2 ( t ) = e2 2 ( t ) ，
2 2 2 2
则⎡ ⎣ c1e1 ( t ) + c2 e2 ( t ) ⎤ ⎦ = c1 e1 ( t ) + c2 e2
2
( t ) + 2c1c2e1 ( t ) e2 ( t ) ≠ c1r1 ( t ) + c2 r2 ( t )
5
即 输 入 x1 ( t ) ， x2 ( t ) 得 到 的 输 出 分 别 为 y1 ( t ) ， y2 ( t ) ， T ⎡ ⎣ x1 ( t ) ⎤ ⎦ = y1 ( t ) ，
T⎡ 。 ⎣ x2 ( t ) ⎤ ⎦ = y2 ( t ) ，则 T ⎡ ⎣ c1 x1 ( t ) + c2 x2 ( t ) ⎤ ⎦ = c1 y1 ( t ) + c2 y2 ( t ) （ c1 ， c2 为常数）
解题过程：
(a-1)
(a-2)
(a-3)
4
(a-4)
(b) f ( t ) 为偶函数，故只有偶分量，为其本身
(c-1)
(c-2)
(c-3)
(c-4)
(d-1)
(d-2)
(d-3)
(d-4)
1-20 分析过程：本题为判断系统性质：线性、时不变性、因果性 （1）线性（Linearity） ：基本含义为叠加性和均匀性
f (t )
1 1
f ( 3t )
→
→
-2
-1
0
1
-2/3
f ( 3t − 2 )
→
1/3
f ( −3t − 2 )
郑君里《信号与系统》(第3版)(下册)配套题库-章节题库(第8章)【圣才出品】
dz
故
F
z
z
d dz
z
z
a
z
az a
2
4．双边序列 x（n）＝（1/2）|n|的 z 变换是______，其收敛域为______。
【答案】3z/[（2z－1）（2－z）]；1/2＜|z|＜2
【解析】利用双边 z 变换的定义式
X
z
xn
n
zn
1
n
1 2
n
z
n
n0
1 2
n
z
n
z 2
z
2z 2z 1
nx（n）→－zX′（z）
而
X（z）＝ln（1＋a/z）
X′（z）＝－az－2/（1＋az－1）
故
(z)X (z)
az 1 1 az1
a(a)n1u n 1
所以
x(n) (1)n1 an u n 1
n
3．序列 f（n）＝（1/2）nu（n）的单边 z 变换 F（z）等于（ ）。 A．z－1/（2z－1） B．z/（2z－1） C．2z/（2z＋1） D．2z/（2z－1） 【答案】D 【解析】方法一：定义法
4
6 5z1 3z1 z2
所以
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Y（z）（4＋3z－1＋z－2）＝X（z）（6＋5z－1） 反变换得到差分方程为
4y（n）＋3y（n－1）＋y（n－2）＝6x（n）＋5x（n－1）
n
6．序列 an bi 的单边 z 变换及其收敛域是______。 i0
三、判断题 线性非时变离散系统稳定的充分必要条件是系统函数的所有极点都位于单位圆内。 （） 【答案】错
故
F
z
z
d dz
z
z
a
z
az a
2
4．双边序列 x（n）＝（1/2）|n|的 z 变换是______，其收敛域为______。
【答案】3z/[（2z－1）（2－z）]；1/2＜|z|＜2
【解析】利用双边 z 变换的定义式
X
z
xn
n
zn
1
n
1 2
n
z
n
n0
1 2
n
z
n
z 2
z
2z 2z 1
nx（n）→－zX′（z）
而
X（z）＝ln（1＋a/z）
X′（z）＝－az－2/（1＋az－1）
故
(z)X (z)
az 1 1 az1
a(a)n1u n 1
所以
x(n) (1)n1 an u n 1
n
3．序列 f（n）＝（1/2）nu（n）的单边 z 变换 F（z）等于（ ）。 A．z－1/（2z－1） B．z/（2z－1） C．2z/（2z＋1） D．2z/（2z－1） 【答案】D 【解析】方法一：定义法
4
6 5z1 3z1 z2
所以
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Y（z）（4＋3z－1＋z－2）＝X（z）（6＋5z－1） 反变换得到差分方程为
4y（n）＋3y（n－1）＋y（n－2）＝6x（n）＋5x（n－1）
n
6．序列 an bi 的单边 z 变换及其收敛域是______。 i0
三、判断题 线性非时变离散系统稳定的充分必要条件是系统函数的所有极点都位于单位圆内。 （） 【答案】错
郑君里《信号与系统》(第3版)章节题库(10-12章)【圣才出品】
第10章模拟与数字滤波器一、解答题1．下面信号流图10-1所示的数字滤波器，已知有始输入数字信号x[n]的序列值依次为4，1，2，0，－4，2，4，…，试求该数字滤波器输出y[n]的前5个序列值。
图10-1答：由信号流图知H（z）＝323 1025 105025.z.z.z−−−−+−则差分方程为y（n）+0.5y（n－2）－0.25y（n-3）＝x（n）－0.25x（n－3）依次代入x[n]的序列值得y[0]＝4，y[1]＝1，y[2]＝0，y[3]＝-0.5，y[4]＝-4。
2．某因果数字滤波器的零、极点如图10-2（a）所示，并已知其（π）＝-1。
试求：图10-2（a）图10-2（b）（1）它的系统函数H（z）及其收敛域，且回答它是IIR、还是FIR的什么类型（低通、高通、带通、带阻或全通）滤波器？（2）写出图10-2（b）所示周期信号[n]的表达式，并求其离散傅里叶级数的系数；（3）该滤波器对周期输入[n]的响应y[n]。
答：（1）由零极点图看出H （z ）的极点有两个，分别为j 和-j ，零点二阶0点，又因（π）＝-1，得H （z ）＝-0.5（1+z -2），|z|＞0，FIR 滤波器，带阻滤波器（2）[n]＝{2δ[n －4k]+δ[n －4k －1]+δ[n －4k －3]}∑−==10)(~)(~N n nkW n x k X ，N ＝4，[0]＝4，[1]＝2，[2]＝0，[3]＝2（3）y [n]＝)(~n x ○*=)(n h -1。
3. 一个LSI 系统的单位取样响应为有限项，即n ＝0，1，…，N-1时h （n ）为非零值，若N 为奇数，且h （n ）＝-h （N-1-n ），试问该系统的幅度响应特性是否为低通？是否为高通？为什么？答：由于h （n ）为奇对称，即h （n ）＝-h （N-1-n ）且N 为奇数，因此而系统的频率响应因此可知该系统的幅度响应不可能是低通特性。
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第4章)【圣才出品】
3．全通函数 如果一个系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，而且零点与极点对于 jω 轴互为镜像，这种系统函数称为全通函数，此系统则称为全通系统或全通网络。它的幅频特 性是常数。
4．最小相移函数 零点仅位于左半平面或 jω轴的网络函数称为“最小相移函数”，该网络称为“最小相 移网络”。非最小相移函数可以表示为最小相移函数与全通函数的乘积，即非最小相移网络 可以用最小相移网络与全通网络的级联来代替。
（1）部分分式展开法求解
首先将 F（s）展开成部分分式之和的形式，再对各部分分式分别取逆变换后叠加即可
得出 f（t）。
（2）留数定理求解
将拉氏逆变换的积分运算转化为求被积函数 F（s）est 在围线中所有极点的留数之和。
L 1[F (s)] 1 j F (s)estds [F (s)est的留数]
1 s
s2
s 2
，故
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L
[1 cos(t)]et
s
1
s (s )2 2
；
（7） L
[t 2
2t]
d2 ds2
1 s
d ds
2 s
2 s3
2 s2
（8） L [2 (t) 3e7t ] 2 3 s7
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二、系统函数与系统特性 1．系统函数 系统的零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比称为系统函数，即 H（s）＝RZS （s）/E（s）。且冲激响应 h（t）↔H（s）。
2．零极点分布
H (s)
（9）e－αtsinh（βt）；
（10）cos2（Ωt）；
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(1-2章)【圣才出品】
第1章绪论
1.1复习笔记
本章作为《信号与系统》的开篇章节，是整个信号与系统学习的基础。
本章介绍了有关信号与系统的基本概念和术语，给出几种典型的信号和系统的表现形式，讲述了各信号与系统的特点以及信号之间的运算和转换。
通过本章学习，读者应掌握：如何判断信号类型、不同信号之间的运算、信号的分解以及系统类型的判断。
一、信号概述
1．信号的概念及分类（见表1-1-1）
表1-1-1信号的概念及分类
2．典型的连续信号（见表1-1-2）
表1-1-2典型的信号及表示形式
3．信号的运算（见表1-1-3）
表1-1-3信号的运算
4．阶跃函数和冲激函数
阶跃信号和冲激信号是信号与系统中最基础的两种信号，许多复杂信号皆可由二者或二者的线性组合表示。
具体见表1-1-4及表1-1-5。
（1）单位阶跃信号u（t）
表1-1-4单位阶跃信号u（t）
（2）单位冲激信号δ（t）
表1-1-5单位冲激信号δ（t）表示形式及性质
5．信号的分解
一个一般信号根据不同类型可分解为以下几种分量，具体见表1-1-6。
表1-1-6信号的分解
二、系统
1．系统概念及分类（见表1-1-7）
表1-1-7系统的概念及分类
系统模型如下：
输入信号经过不同系统可得到不同输出信号，具体见表1-1-8。
表1-1-8不同系统特性
1.2课后习题详解
1-1分别判断图1-2-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？
（a）
（b）
（c）
（d）
（e）
（f）。
郑君里《信号与系统》(第3版)配套模拟试题及详解【圣才出品】
又因为 zn = yn− yn −1 = yn* n− n −1 = yn*hn ；可知该逆系统
的单位冲激响应为
hn = n− n −1 ；hn 为有限长序列，则其收敛域包含整个坐标平面。可见包
含单位圆，则稳定。
4．若连续线性时不变系统的输入信号为 f（t），响应为 y（t），则系统无畸变传输的系
f2 (n)
= cos(n), 周期 N2
=2，
N1 N2
= 2
为无理数，所以
f
(n) =
f1 (n) +
f2 (n) 不是周期
函数。
2．任何系统的全响应必为零状态响应与零输入响应之和（ ）。 【答案】× 【解析】零输入响应为仅由起始状态所产生的响应。零状态响应是系统的初始状态为零 时，仅由输入信号引起的响应。由此可知仅当系统满足线性时，其全响应必为零状态响应与 零输入响应之和。
1
C．
(3 − 2w0) + jw 1
D．
3 + j(w − 2w0)
【答案】D
【解析】根据傅里叶变换频域特性可知
e−3tu (t )
1 3+ j
,则e−(3−2w0 )tu(t)=e20t
e1
j ( − 20
)
4．象函数 F(s) =
2s s
+
2
1
e
−2s
的原函数
f
(t ) 为（
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一、判断题（本大题共 5 小题，每题 2 分共 10 分）判断下列说法是否正确，正确的打
√，错误的打×。
1．两个周期信号之和一定为周期信号。（ ）
【答案】×
的单位冲激响应为
hn = n− n −1 ；hn 为有限长序列，则其收敛域包含整个坐标平面。可见包
含单位圆，则稳定。
4．若连续线性时不变系统的输入信号为 f（t），响应为 y（t），则系统无畸变传输的系
f2 (n)
= cos(n), 周期 N2
=2，
N1 N2
= 2
为无理数，所以
f
(n) =
f1 (n) +
f2 (n) 不是周期
函数。
2．任何系统的全响应必为零状态响应与零输入响应之和（ ）。 【答案】× 【解析】零输入响应为仅由起始状态所产生的响应。零状态响应是系统的初始状态为零 时，仅由输入信号引起的响应。由此可知仅当系统满足线性时，其全响应必为零状态响应与 零输入响应之和。
1
C．
(3 − 2w0) + jw 1
D．
3 + j(w − 2w0)
【答案】D
【解析】根据傅里叶变换频域特性可知
e−3tu (t )
1 3+ j
,则e−(3−2w0 )tu(t)=e20t
e1
j ( − 20
)
4．象函数 F(s) =
2s s
+
2
1
e
−2s
的原函数
f
(t ) 为（
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一、判断题（本大题共 5 小题，每题 2 分共 10 分）判断下列说法是否正确，正确的打
√，错误的打×。
1．两个周期信号之和一定为周期信号。（ ）
【答案】×
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第7章 离散时间系统的时域分析【圣才
图 7-2-2
7-3 分别绘出以下各序列的图形。 （1）x（n）＝sin（nπ/5）； （2）x（n）＝cos（nπ/10－π/5）； （3）x（n）＝（5/6）nsin（nπ/5）。 解：各序列图形如图 7-2-3（a）～（c）所示。
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台
（2）x（n）＝－nu（－n）；
（3）x（n）＝2－nu（n）；
（4）x（n）＝（－1/2）－nu（n）；
（5）x（n）＝－（1/2）nu（－n）；
（6）x（n）＝（1/2）n＋1u（n＋1）。
解：各序列图形如图 7-2-2（a）～（f）所示。
（4）x（n）＝（－2）nu（n）；
（5）x（n）＝2n－1u（n－1）；
（6）x（n）＝（1/2）n－1u（n）。
解：各序列图形如图 7-2-1（a）～（f）所示。
图 7-2-1 【总结】离散序列波形即离散时刻之间隔均匀且线段的长短代表各序列值的大小。
7-2 分别绘出以下各序列的图形。 （1）x（n）＝nu（n）；
n1
y n h n mx m
x n
m0
h 0
7.2 课后习题详解
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7-1 分别绘出以下各序列的图形。
（1）x（n）＝（1/2）nu（n）；
（2）x（n）＝2nu（n）；
（3）x（n）＝（－1/2）nu（n）；
3
33
y
2
2
1 3
y
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第5章 傅里叶变换应用于通信系统——
解：激励信号 e（t）＝e－3tu（t），则 E（jω）＝F[e（t）]＝F[e－3tu（t）]＝1/（jω＋3）
故响应为：
R( j) = E( j)×H ( j) = 1 ×1 = 1 - 1 j + 3 j + 2 j + 2 j + 3
反变换可得： r（t）＝F－1[R（jω）]＝（e－2t－e－3t）u（t）
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图 5-1-1 线性网络的无失真传输 2．引起信号失真的原因 ①系统对信号中各频率分量幅度产生不同程度的衰减，使响应的各频率分量的相对幅 度发生变化，引起幅度失真； ②系统对各频率分量产生的相移与频率不成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的 相对位置产生变化，引起相位失真。 三、滤波 1．理想低通滤波器（见表 5-1-1）
= jπ [e jtan- 11 ( + 1) - e- jtan- 11 ( - 1)] + jπ ×[e jtan- 13 ( + 3) - e- jtan- 13 ( - 3)]
2
10
反变换，可得：
r(t) = F - 1[R( j)]
= 1 sin(t - tan- 11) + 1 sin(3t - tan- 1 3)
5-2 若系统函数H（jω）＝1/（jω＋1），激励为周期信号e（t）＝sin（t） ＋sin（3t），试求响应r（t），画出e（t），r（t）波形，讨论经传输是否引起失真。
解：激励信号 e（t）＝sin（t）＋sin（3t），则 E（jω）＝F[e（t）]＝jπ[δ（ω＋1）－δ（ω－1）]＋jπ[δ（ω＋3）－δ（ω－3）]
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故响应为：
R( j) = E( j)×H ( j) = 1 ×1 = 1 - 1 j + 3 j + 2 j + 2 j + 3
反变换可得： r（t）＝F－1[R（jω）]＝（e－2t－e－3t）u（t）
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图 5-1-1 线性网络的无失真传输 2．引起信号失真的原因 ①系统对信号中各频率分量幅度产生不同程度的衰减，使响应的各频率分量的相对幅 度发生变化，引起幅度失真； ②系统对各频率分量产生的相移与频率不成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的 相对位置产生变化，引起相位失真。 三、滤波 1．理想低通滤波器（见表 5-1-1）
= jπ [e jtan- 11 ( + 1) - e- jtan- 11 ( - 1)] + jπ ×[e jtan- 13 ( + 3) - e- jtan- 13 ( - 3)]
2
10
反变换，可得：
r(t) = F - 1[R( j)]
= 1 sin(t - tan- 11) + 1 sin(3t - tan- 1 3)
5-2 若系统函数H（jω）＝1/（jω＋1），激励为周期信号e（t）＝sin（t） ＋sin（3t），试求响应r（t），画出e（t），r（t）波形，讨论经传输是否引起失真。
解：激励信号 e（t）＝sin（t）＋sin（3t），则 E（jω）＝F[e（t）]＝jπ[δ（ω＋1）－δ（ω－1）]＋jπ[δ（ω＋3）－δ（ω－3）]
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郑君里《信号与系统》(第3版)课后习题详解(7-9章)【圣才出品】
，已知 y(-1)=0，y(-2)=0。 。
即
，解得
故全解为：
代入初始条件
，解得：
所以
y(n)
=
−
1 2
tan1 cos
nπ 2
+
1 2
sin
n
+
1 2
tan1
cos
n
u(n)
。
7-18 解差分方程
，已知 y(-1)=0
解得：
，故全解为：
代入初始条件 y(-1)=0，解得：
，
所以
。 。
7-15 解差分方程
，已知 y(0)=1。
解：由差分方程可得特征方程为 a+2=0，解得特征根 a=-2，故可设齐次解为
。
根据自由项形式设特解为
，将其代入原差分方程，则有
解得：
，故全解为：
。
代入初始条件 y(0)=1，解得：
，
所以
。
7-16 解差分方程
。 代入初始条件
，解得特征根 ，得
，解得
所以
。
（2）由特征方程
，解得特征根
。
代入初始条件
，得
，解得
所以
。
（3）由特征方程
，解得特征根
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，故可设齐次解 ，故可设齐次解为： ，故可设齐次解为：
。 代入初始条件
所以
，得 ，解得
。
7-13 解差分方程
解：根据差分方程，可得特征方程为
4 / 108
所以 （3）当
时，有
，波形图如图 7-5（b）所示。
所以 所示。
，波形图如图 7-5（c）
郑君里《信号与系统》(第3版)配套题库【章节题库(7-9章)】【圣才出品】
（2）可以根据上面#43;α1λ+α2＝0
由单位响应可知特征根为λ1＝2，λ2＝5，故有 λ2+α1λ+α2＝（λ－2）（λ－5）＝λ2—7λ+10
比较方程两边对应次项系数，可得
α1＝－7， α2＝10
将α1，α2 代入系统的差分方程一般表达式为
y（h）－7y（k－1）+10y（k－2）＝b0f（k）+b1f（k－1）+b2f（k－2）
将 f（k）＝δ（k）并代入上式可得
h（k）－7h（k－1）+10h（k－2）＝b0δ（b）+b1δ（k－1）+b2δ（k－2）
①
已知 h（k）的表达式，分别令 k＝0，k＝1，k＝2，可求得
h（0）＝14，h（1）＝13，h（2）＝62 将上述结果分别代入式①，并注意到 h（－1）
＝h（－2）＝0，可解得
2．
（ ）。
A．nsin（ n）
2
B．ncos（ n）
2
C．0
D．2
【答案】C
【解析】
，则
因为 x2 (n) 的周期是 4，且 4 个离散值为{-1,0,1,0}，与{1,1,1,1}相乘并叠加后总为 0。
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其中，α是常数。设初始观察时刻 k0＝0，且已知 y（－1）＝0，试说明该系统是线性 时不变系统。
答：已知 y（－1）＝0，故系统输出 y（k）为零状态响应。 （1）判断是否为时不变系统。设 f1（k）＝δ（k），其输出为 y1（k），因为系统是因果
是单位抽样相应绝对可和，即 |h[n]|＜ ，h[n]＜K 并不能使 h[n]绝对可和。 n
郑君里《信号与系统》(第3版)配套模拟试题及详解(二)【圣才出品】
C．带通
D．带阻
【答案】A
t
t
【解析】由积分器的定义可知 f ( t )dt ，当 f（t）＝ ( t )时， f ( t )dt ＝
t
( t )dt ＝u（t），
(t) 1, u(t) 1 (w) ，由阶跃信号的频谱图形可知，积分器为低通滤波器。 jw
4．序列
的单边 z 变换 F（z）＝（ ）。
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台
郑君里《信号与系统》（第 3 版）配套模拟试题及详解（二）
一、单项选择题（本大题共 6 小题，每题 4 分共 24 分）在每小题列出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的，错选、多选或未选均无分。
1．求信号 A．4
的周期（ ）。
1．已知信号 f（2－t）的波形如图 3 所示，试画出 f（t），f（2t＋1）和 f（2t＋1） 的波形。
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图3
答：f（2－t）＝f[－（t－2）]向左时移 2 个单位 f（－t）倒置 f（t）；f（t） 尺度变换 f（2t） 时移 f[2（t＋ 1 ）]＝f（2t＋1），结果如图 4 所示。
B．2
C．0.2π
D．0.5π
【答案】A
【解析】余弦函数周期 T
2 w
2
4。
2
2．信号
的象函数为（ ）。
【答案】C
【解析】因拉氏变换有
，根据时域微分性质，故
，又根据频域微分性质有：
3．积分器属于何种类型的滤波器？（ ） A．低通
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B．高通
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郑君里《信号与系统》(第3版)配套模拟试题及详解(一)【圣才出品】
e2
2e2 2 j
。
4．为使因果线性时不变离散系统是稳定的，其系统函数 H（z）的极点必须在 z 平面 的______。
【答案】单位圆内 【解析】稳定系统的 z 域必须包括单位圆，由于因果系统的|z|大于等于极点的值，所 以极点必在单位圆内。
四、画图题（本大题共 2 小题，每题 6 分共 12 分）按各小题的要求计算、画图和回
为周期。
2． （ ）。
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，则
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A．nsin（ n）
2
B．ncos（ n）
2
C．0
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D．2
【答案】C
【解析】
因为 x2 (n) 的周期是 4，且 4 个离散值为{－1，0，1，0}，与{1，1，1，1}相乘并叠
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1．
t 0
3
2d
台
＝______。
【答案】－6u（t）
【解析】
t
0
δ
τ 3
τ
2dτ
0
3t
2δ t dt
0
6δ t
6ut
2．已知如下四个系统，f（t）和 x（n）代表输入信号，y（t）和 y（n）代表输出信
移到－ 0 和 0 的位置，由于 ω0>>W，所以频谱无重叠，则频谱宽度为原来的 2 倍。
5．信号
的拉普拉斯变换为（ ）。
【答案】C 【解析】
为 t 与 u（t）的卷积，u（t）的拉氏变换为 1/s，t 的拉
氏变换为 ，时域的卷积对应频域的乘积，所以
。
三、填空题（本大题共 7 个空，每空 5 分共 35 分）不写解答过程，写出每小题空格 内的正确答案。
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（2）对于图 10-2(b)，可得系统函数
不是
两个零点
，均在左半平面。有两个极点，其中
由给定条件写出| Ha ( j) | 在 P ，S 两特定点的方程式，由此联立方程求解 N，c 。
P =2 fP 2 104 rad / s S =2 fS 2 2104 rad / s
-1dB
对应10
1 20
，-20dB
对应101
| Ha ( jP ) |
1
1
10 20
1 (2 104 c )2N
解得： A 0.4913 。
A
CN 2N 1
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故归一化的切比雪夫逼近函数为
Ha
(s)
(s)3
0.4913 0.9883(s)2 1.2384s
0.4913
令 s s ，代入去归一化求得 C
Ha
(s)
s3
通带内允许起伏-1dB 0≤f≤10 kHz
阻带衰减≤-20 dB 20 kHz≤f≤∞
(1)以巴特沃思逼近函数构成，求阶数 N、-3dB 点频率值 以及系统函数
；
(2)以切比雪夫逼近函数构成，选定波纹参数 ε、求阶数 N 以及系统函数
。
解：（1）巴特沃思逼近
①求阶数 N，如图 10-1 所示。
图 10-1
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第 10 章 模拟与数字滤波器
10-1 研究两种典型逼近函数在滤波器阻带的衰减性能：
(1)对巴特沃思滤波器，当
时，证明其衰减速度为 20N dB／dec(N 为阶数)；
(2)对切比雪夫滤波器，重复(1)所问。
(提示：利用
Ha (s) 3.149 1024 (s5 2.568105 s4 3.2981010 s3 2.6181015 s2 1.284 1020 s 3.149 1024 )1
（2）切比雪夫逼近
①求波纹参数
| Ha ( jC ) |
1
1
10 20
1 2
解得： =0.50885 。
②通带边缘角频率： C =2 10103 =2 104 rad / s 阻带边缘角频率： S =2 20103 =4 104 rad / s
| Ha ( jS ) |
1
101
1 (2 2 104 c )2N
N
lg
102
1
1010
1 1
4.29，取N=5
2
lg
2 2104 2 104
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②求-3dB 截止角频率 C ，将 N=5 代入| Ha ( j) | 表达式
| Ha ( j) | =
1
=101
1 (2 2 104 c )10
C 2 2104 10 10 1 2 1.263104 rad / s
③求滤波器系统函数 Ha (s) ，由教材表 10-1 得 N=5 的巴特沃思多项式 BN (s) ，即可
写出
H
a
(s)
，解归一化，令
s C
s ，代入 Ha (s) 后得
N
TN (x) ak xk k 0
故
2N
TN2 (x) bn xn n0
又因为
c ，所以
10
lg
|
Ha ( j 10) | Ha ( j) |2
|2
=10
l切比雪夫滤波器的高频衰减为每十倍频 20N 分贝。
10-2 证明巴特沃思滤波器系统函数之极点表达式可以写作式(10-7)，也即从式(10-3) 导出以下结论：
之条件作近似简化求证；衰减速度为 20N dB／dec 表示频率值从
Ω增大到 10Ω 时，频响特性改变-20N dB，dec 表示 10 倍频。)
证明：（1）巴特沃思滤波器有
| Ha ( j 10) |2 [
1
]2
1 (10 c )2N
10 lg | Ha ( j 10) |2 10 lg[ 1 ( c )2N ]2 =10 lg[ c2N 2N ]2
6.2104 104
1.2187 1014 s2 4.8893109
s
1.2187 1014
10-4 图 10-2 所示两个网络，哪个网络可以等效为一端口无源网络?
图 10-2 解：（1）对于图 10-2(a)，可得系统函数
由于
有一个零点
在右半平面，不是霍尔维兹多项式。因此
策动点阻抗函数，故图 10-2(a)中的网络不可以等效为一端口网络。
按衰减要求有
|Ha (jS )|=1
1 2TN 2 (4 103
2
103 )
20
10 20
TN
(2)
cosh( Nar
cosh
2)
1
102 1 19.5536
N ar cosh 2 2.783 ， 取N 3 ar cosh 2
③按本题要求，1dB 波纹，N=3，查教材表 10-4，同时利用
1
]2
1 2TN 2 (10 c )2N
10 lg |
Ha ( j 10) |2 | Ha ( j) |2
10 lg[
1 2TN 2 ( c )2N ]2 1 2TN 2 (10 c )2N
设切比雪夫多项式
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| Ha ( j) |2
1 (10 c )2N
c2N (10)2N
因为 c ，所以
10 lg | Ha ( j 10) |2 =10 lg 1 20NdB
| Ha ( j) |2
102 N
即 N 阶巴特沃斯滤波器的高频衰减为每十倍频 20N 分贝。
（2）切比雪夫滤波器有
| Ha ( j 10) |2 [
， k -1, 2,3,..., n 1
c
因此 命题得证。
sk
j j (2k 1)
ce 2 e 2N
e j[
(2k 1) 2N
2
]
c
， k 1, 2,3,..., 2N
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10-3 设计满足下列技术指标的低通滤波器：
(其中，k=1，2，3，…，2N，而 N 值可为奇或偶。)
证明：巴特沃思滤波器的系统函数表达式为
| Ha ( j) |2 s j
Ha (s)Ha (s)=
1
1 (1)N (
s
)2N
c
可知上述函数的极点等距离地分布在半径为 c 的圆上，即
(1)N (
s
1
)2N =( 1)n
j (2k -1)
e n