郑君里《信号与系统》(第3版)课后习题(模拟与数字滤波器)【圣才出品】

（2）对于图 10-2(b)，可得系统函数
不是
两个零点
，均在左半平面。有两个极点，其中
通带内允许起伏-1dB 0≤f≤10 kHz
阻带衰减≤-20 dB 20 kHz≤f≤∞
(1)以巴特沃思逼近函数构成，求阶数 N、-3dB 点频率值 以及系统函数
；
(2)以切比雪夫逼近函数构成，选定波纹参数 ε、求阶数 N 以及系统函数
。
解：（1）巴特沃思逼近
①求阶数 N，如图 10-1 所示。
图 10-1
| Ha ( jS ) |
1
101
1 (2 2 104 c )2N
N
lg
102
1
1010
1 1
4.29，取N=5
2
lg
2 2104 2 104
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②求-3dB 截止角频率 C ，将 N=5 代入| Ha ( j) | 表达式
解得： A 0.4913 。
A
CN 2N 1
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故归一化的切比雪夫逼近函数为
Ha
(s)
(s)3
Βιβλιοθήκη Baidu
0.4913 0.9883(s)2 1.2384s
0.4913
令 s s ，代入去归一化求得 C
Ha
(s)
s3
之条件作近似简化求证；衰减速度为 20N dB／dec 表示频率值从
Ω增大到 10Ω 时，频响特性改变-20N dB，dec 表示 10 倍频。)
证明：（1）巴特沃思滤波器有
| Ha ( j 10) |2 [
1
]2
1 (10 c )2N
10 lg | Ha ( j 10) |2 10 lg[ 1 ( c )2N ]2 =10 lg[ c2N 2N ]2
(其中，k=1，2，3，…，2N，而 N 值可为奇或偶。)
证明：巴特沃思滤波器的系统函数表达式为
| Ha ( j) |2 s j
Ha (s)Ha (s)=
1
1 (1)N (
s
)2N
c
可知上述函数的极点等距离地分布在半径为 c 的圆上，即
(1)N (
s
1
)2N =( 1)n
j (2k -1)
e n
| Ha ( j) | =
1
=101
1 (2 2 104 c )10
C 2 2104 10 10 1 2 1.263104 rad / s
③求滤波器系统函数 Ha (s) ，由教材表 10-1 得 N=5 的巴特沃思多项式 BN (s) ，即可
写出
H
a
(s)
，解归一化，令
s C
s ，代入 Ha (s) 后得
按衰减要求有
|Ha (jS )|=1
1 2TN 2 (4 103
2
103 )
20
10 20
TN
(2)
cosh( Nar
cosh
2)
1
102 1 19.5536
N ar cosh 2 2.783 ， 取N 3 ar cosh 2
③按本题要求，1dB 波纹，N=3，查教材表 10-4，同时利用
Ha (s) 3.149 1024 (s5 2.568105 s4 3.2981010 s3 2.6181015 s2 1.284 1020 s 3.149 1024 )1
（2）切比雪夫逼近
①求波纹参数
| Ha ( jC ) |
1
1
10 20
1 2
解得： =0.50885 。
②通带边缘角频率： C =2 10103 =2 104 rad / s 阻带边缘角频率： S =2 20103 =4 104 rad / s
N
TN (x) ak xk k 0
故
2N
TN2 (x) bn xn n0
又因为
c ，所以
10
lg
|
Ha ( j 10) | Ha ( j) |2
|2
=10
lg
1 102 N
20NdB
即 N 阶切比雪夫滤波器的高频衰减为每十倍频 20N 分贝。
10-2 证明巴特沃思滤波器系统函数之极点表达式可以写作式(10-7)，也即从式(10-3) 导出以下结论：
| Ha ( j) |2
1 (10 c )2N
c2N (10)2N
因为 c ，所以
10 lg | Ha ( j 10) |2 =10 lg 1 20NdB
| Ha ( j) |2
102 N
即 N 阶巴特沃斯滤波器的高频衰减为每十倍频 20N 分贝。
（2）切比雪夫滤波器有
| Ha ( j 10) |2 [
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第 10 章 模拟与数字滤波器
10-1 研究两种典型逼近函数在滤波器阻带的衰减性能：
(1)对巴特沃思滤波器，当
时，证明其衰减速度为 20N dB／dec(N 为阶数)；
(2)对切比雪夫滤波器，重复(1)所问。
(提示：利用
6.2104 104
1.2187 1014 s2 4.8893109
s
1.2187 1014
10-4 图 10-2 所示两个网络，哪个网络可以等效为一端口无源网络?
图 10-2 解：（1）对于图 10-2(a)，可得系统函数
由于
有一个零点
在右半平面，不是霍尔维兹多项式。因此
策动点阻抗函数，故图 10-2(a)中的网络不可以等效为一端口网络。
1
]2
1 2TN 2 (10 c )2N
10 lg |
Ha ( j 10) |2 | Ha ( j) |2
10 lg[
1 2TN 2 ( c )2N ]2 1 2TN 2 (10 c )2N
设切比雪夫多项式
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， k -1, 2,3,..., n 1
c
因此 命题得证。
sk
j j (2k 1)
ce 2 e 2N
e j[
(2k 1) 2N
2
]
c
， k 1, 2,3,..., 2N
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10-3 设计满足下列技术指标的低通滤波器：
由给定条件写出| Ha ( j) | 在 P ，S 两特定点的方程式，由此联立方程求解 N，c 。
P =2 fP 2 104 rad / s S =2 fS 2 2104 rad / s
-1dB
对应10
1 20
，-20dB
对应101
| Ha ( jP ) |
1
1
10 20
1 (2 104 c )2N